វិញ្ញាសាព្យាករណ៍សញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{x}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{63}}{x}\)

☐ ក. \(x=\pm 3\sqrt{7}\)☐ ខ. \(x=\pm\sqrt{21}\)☐ គ. \(x=3\)☐ ឃ. \(x=21\)

២ គេមានត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ដែលមានកម្ពស់ \(AH\) ចំពោះអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\)។ បើ \(BH=3\,\mathrm{cm}\)

និង \(HC=12\,\mathrm{cm}\)។ រកប្រវែង \(AH\)

☐ ក. \(AH=6\,\mathrm{cm}\)☐ ខ. \(AH=3\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\)☐ គ. \(AH=4\,\mathrm{cm}\)☐ ឃ. \(AH=15\,\mathrm{cm}\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោម \(A=404\sqrt{9}+303\sqrt{16}+\sqrt{(-6)^2}\) និង \(B=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយវិសមីការ \(5(3-x)-4\ge 2(x+1)-5\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} 2x+y=7\\ 3x-2y=7 \end{cases}\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោម \(A=x^2-6x+9+(x+2)(9-3x)+4(x^2-9)\)

១ ពន្លាតកន្សោម \(A\) រួចរៀបតាមលំដាប់ដឺក្រេចុះនៃ \(x\)

២ ដាក់កន្សោម \(A\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១

៣ ដោះស្រាយសមីការ \(A=0\)

V. (១០ ពិន្ទុ)

សួនច្បារមួយរាងចតុកោណកែងមានផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹង \(40\,\mathrm{m}^2\)។ គេដឹងថាប្រវែងបណ្តោយវែងជាង

ប្រវែងទទឹង \(6\,\mathrm{m}\)។

១ រកប្រវែងទទឹង និងប្រវែងបណ្តោយនៃសួនច្បារ

២ គណនាបរិមាត្រនៃសួនច្បារនោះ

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិកពណ៌ខៀវ \(8\) ដើម និងប៊ិកពណ៌ក្រហម \(6\) ដើម។ គេចាប់យកប៊ិកម្ដង \(2\) ដើម

ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។

១ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម

២ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិចមួយដើម

VII. (២០ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) ចូរដៅចំណុច \(A(1,-2)\), \(B(3,4)\) និងសង់បន្ទាត់ \(d:y=2x+5\)។

១ គណនាចម្ងាយ \(AB\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) កណ្តាលអង្កត់ \(AB\)

២ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \(AB\)

៣ បង្ហាញថា បន្ទាត់ \(AB\) មិនកែងនឹងបន្ទាត់ \(d\) ហើយរកសមីការបន្ទាត់ដែលកាត់តាម \(M\) និងកែងនឹង \(d\)

VIII. (៣០ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB=15\,\mathrm{cm}\)។ \(M\) ជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ ដែល \(BM=9\,\mathrm{cm}\)។

គេគូសបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(B\) ហើយដៅចំណុច \(D\) លើបន្ទាត់ប៉ះនោះ ដោយ \(BD=20\,\mathrm{cm}\)។ បន្ទាត់ \(AD\)

កាត់រង្វង់ម្តងទៀតត្រង់ចំណុច \(N\)។

១ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ \(AMB\) និងគណនាប្រវែង \(AM\)

២ គណនាប្រវែង \(AD\) ហើយប្រៀបធៀប \(\triangle ABD\) និង \(\triangle BND\)

៣ ទាញបញ្ជាក់ថា \(BD^2=AD\times DN\) និងរកប្រវែង \(DN\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{x}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{63}}{x}\)

\[\begin{aligned} \frac{x}{\sqrt{7}}&=\frac{\sqrt{63}}{x}\\ x^2&=\sqrt{7}\cdot\sqrt{63}\\ x^2&=\sqrt{441}=21\\ x&=\pm\sqrt{21} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle x=\pm\sqrt{21}\)

២ រកប្រវែង \(AH\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\)៖

\[\begin{aligned} AH^2 &= BH \times HC \\ &= 3 \times 12 = 36 \\ AH &= \sqrt{36} = 6\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle AH=6\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ) គណនាកន្សោម \(A\) និង \(B\)
\[\begin{aligned} A&=404\sqrt{9}+303\sqrt{16}+\sqrt{(-6)^2}\\ &=404(3)+303(4)+|-6|\\ &=1212+1212+6\\ &=2430 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=2430\)

\[\begin{aligned} B&=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} +\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\\ &=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2+(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}\\ &=\frac{(7-2\sqrt{21}+3)+(7+2\sqrt{21}+3)}{7-3}\\ &=\frac{10-2\sqrt{21}+10+2\sqrt{21}}{4}\\ &=\frac{20}{4}=5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=5\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} 5(3-x)-4&\ge 2(x+1)-5\\ 15-5x-4&\ge 2x+2-5\\ 11-5x&\ge 2x-3\\ -5x-2x&\ge -3-11\\ -7x&\ge -14\\ x&\le \frac{-14}{-7}\\ x&\le 2 \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x\le 2\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} 2x+y=7 \quad{} &(1)\\ 3x-2y=7 \quad{} &(2) \end{cases}\]

គុណសមីការ \((1)\) នឹង \(2\)

\[\begin{cases} 4x+2y=14\\ 3x-2y=7 \end{cases}\]

បូកសមីការទាំងពីរអង្គនិងអង្គ

\[7x=21 \Rightarrow x=\frac{21}{7}=3\]

យកតម្លៃ \(x=3\) ជំនួសក្នុងសមីការ \((1)\)

\[\begin{aligned} 2(3)+y&=7\\ 6+y&=7\\ y&=7-6=1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(3,1)\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោម \(A=x^2-6x+9+(x+2)(9-3x)+4(x^2-9)\)

១ ពន្លាតកន្សោម \(A\) រួចរៀបតាមលំដាប់ដឺក្រេចុះនៃ \(x\)

\[\begin{aligned} A&=x^2-6x+9+(9x-3x^2+18-6x)+4x^2-36\\ &=x^2-6x+9-3x^2+3x+18+4x^2-36\\ &=(1-3+4)x^2+(-6+3)x+(9+18-36)\\ &=2x^2-3x-9 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=2x^2-3x-9\)

២ ដាក់កន្សោម \(A\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១

\[\begin{aligned} A&=x^2-6x+9+(x+2)(9-3x)+4(x^2-9)\\ &=(x-3)^2-3(x+2)(x-3)+4(x-3)(x+3)\\ &=(x-3)[(x-3)-3(x+2)+4(x+3)]\\ &=(x-3)(x-3-3x-6+4x+12)\\ &=(x-3)(2x+3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=(x-3)(2x+3)\)

៣ ដោះស្រាយសមីការ \(A=0\)

\[\begin{aligned} (x-3)(2x+3)&=0\\ x-3=0\quad{} &\text{ឬ}\quad{} 2x+3=0\\ x=3\quad{} &\text{ឬ}\quad{} x=-\frac{3}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=3\) ឬ \(\displaystyle x=-\frac{3}{2}\)

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

១ រកប្រវែងទទឹង និងប្រវែងបណ្តោយនៃសួនច្បារ

តាង \(x\) ជាប្រវែងទទឹង \((x>0)\) គិតជាម៉ែត្រ
\(x+6\) ជាប្រវែងបណ្តោយ

ផ្ទៃក្រឡាសួនច្បារជា \(40\,\mathrm{m}^2\) គេបានសមីការ៖

\[\begin{aligned} x(x+6)&=40\\ x^2+6x-40&=0 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (x+10)(x-4)&=0\\ x+10=0\quad{} &\text{ឬ}\quad{} x-4=0\\ x=-10\quad{} &\text{ឬ}\quad{} x=4 \end{aligned}\]

ដោយប្រវែងជានិច្ចវិជ្ជមាន នោះ \(x=4\,\mathrm{m}\) ។
ប្រវែងទទឹងគឺ \(4\,\mathrm{m}\)
ប្រវែងបណ្តោយគឺ \(4+6=10\,\mathrm{m}\)

ផ្ទៀងផ្ទាត់ចម្លើយ៖ \(4 \times 10 = 40\,\mathrm{m}^2\) ពិត។

ដូចនេះ ៖ ទទឹង \(\displaystyle 4\,\mathrm{m}, \) បណ្តោយ \(\displaystyle 10\,\mathrm{m}\)

២ បរិមាត្រនៃសួនច្បារ

\[P = 2(10 + 4) = 28\,\mathrm{m}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P=28\,\mathrm{m}\)

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនប៊ិកសរុបគឺ \(8+6=14\) ដើម។ គេចាប់យកប៊ិកម្តង \(2\) ដើមដោយចៃដន្យ (អាចគិតថាចាប់ម្តងមួយមិនដាក់ចូលវិញដើម្បីងាយគណនាប្រូបាប)។

១ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម

\[\begin{aligned} P(\text{ខៀវ, ខៀវ}) &=\frac{8}{14}\times\frac{7}{13}\\ &=\frac{4}{7}\times\frac{7}{13}=\frac{4}{13} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ខៀវ, ខៀវ \(\displaystyle )=\frac{4}{13}\)

២ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិចមួយដើម

ព្រឹត្តិការណ៍នេះជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹងការចាប់បានប៊ិកពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម។

\[\begin{aligned} P(\text{ក្រហមយ៉ាងតិច១}) &= 1 - P(\text{ខៀវ, ខៀវ})\\ &=1-\frac{4}{13}\\ &=\frac{9}{13} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ក្រហមយ៉ាងតិចមួយ \(\displaystyle )=\frac{9}{13}\)

លំហាត់ VII (២០ ពិន្ទុ)

ដៅចំណុច \(A(1,-2)\), \(B(3,4)\) និងសង់បន្ទាត់ \(d:y=2x+5\)

តារាងតម្លៃលេខសម្រាប់បន្ទាត់ \(d\)

\[\begin{array}{c|cc} x&0&-2\\ \hline y&5&1 \end{array}\]

១ គណនាចម្ងាយ \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុច \(M\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(3-1)^2+(4-(-2))^2}\\ &=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}\\ &=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \end{aligned}\]

រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) កណ្តាល \(AB\)

\[\begin{aligned} M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) &=M\left(\frac{1+3}{2},\frac{-2+4}{2}\right)\\ &=M(2,1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=2\sqrt{10},\quad{} M(2,1)\)

២ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \(AB\)

\[\begin{aligned} \text{សមីការ}\qquad{} & y-y_A=a(x-x_A)\\ \text{ដោយ}\qquad{} a&=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{4-(-2)}{3-1}\\ &=\frac{6}{2}=3\\[3pt] \text{នោះ}\qquad{} y-(-2)&=3(x-1)\\ y+2&=3x-3\\ y&=3x-5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB:\ y=3x-5\)

៣ បង្ហាញថា បន្ទាត់ \(AB\) មិនកែងនឹងបន្ទាត់ \(d\)

បន្ទាត់ \(AB:y=3x-5\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_{AB}=3\)
បន្ទាត់ \(d:y=2x+5\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_d=2\)

ផលគុណមេគុណប្រាប់ទិស៖

\[a_{AB}\times a_d=3\times 2=6 \neq -1\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB\) មិនកែងនឹង \(\displaystyle d\) ទេ

រកសមីការបន្ទាត់ \(\Delta\) ដែលកាត់តាម \(M\) និងកែងនឹង \(d\)

ដោយ \(\Delta \perp d\) នោះ

\[a_\Delta \times a_d = -1 \Rightarrow a_\Delta \times 2 = -1 \Rightarrow a_\Delta = -\frac{1}{2}\]

សមីការ \(\Delta\) ដែលកាត់តាម \(M(2,1)\) មានរាង៖

\[\begin{aligned} y - y_M &= a_\Delta(x - x_M) \\ y - 1 &= -\frac{1}{2}(x - 2) \\ y &= -\frac{1}{2}x + 1 + 1 \\ y &= -\frac{1}{2}x + 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \Delta:\ y=-\frac{1}{2}x+2\)

លំហាត់ VIII (៣០ ពិន្ទុ)

១ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ \(AMB\) និងគណនាប្រវែង \(AM\)

គេមាន

\[\angle AMB=90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹកកន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle AMB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(M\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle AMB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle M\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(AMB\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ

\[\begin{aligned} AM^2&=AB^2-BM^2\\ &=15^2-9^2=225-81=144\\ AM&=\sqrt{144}=12\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AM=12\,\mathrm{cm}\)

២ គណនាប្រវែង \(AD\) ហើយប្រៀបធៀប \(\triangle ABD\) និង \(\triangle BND\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABD\) (\(d\) ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(B\) នាំឱ្យ \(AB \perp BD\)) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} AD^2&=AB^2+BD^2\\ &=15^2+20^2=225+400=625\\ AD&=\sqrt{625}=25\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AD=25\,\mathrm{cm}\)

ប្រៀបធៀប \(\triangle ABD\) និង \(\triangle BND\)

គេមាន \(\angle ABD = 90^\circ\) (ដោយ \(d \perp AB\) ត្រង់ \(B\))

\(\angle ANB = 90^\circ\) (មុំចារឹកកន្លះរង្វង់) នាំឱ្យ \(\angle BND = 90^\circ\) ដែរ

នោះ \(\angle ABD = \angle BND = 90^\circ\)

\(\angle D\) ជាមុំរួម

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABD\sim\triangle BND \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

៣ ទាញបញ្ជាក់ថា \(BD^2=AD\times DN\) និងរកប្រវែង \(DN\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle ABD & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{BD}{ND}=\frac{AD}{BD}\\[-1pt] \triangle BND & \end{array}\]

\[\begin{aligned} BD\times BD&=AD\times ND\\ BD^2&=AD\times DN \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BD^2=AD\times DN\)

គណនាប្រវែង \(DN\)

\[\begin{aligned} DN&=\frac{BD^2}{AD}=\frac{20^2}{25}=\frac{400}{25}=16\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle DN=16\,\mathrm{cm}\)