វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី២០

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់នៅខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវមានតែមួយគត់៖

១ \(ABC\) ជាត្រីកោណកែងកំពូល \(A\) មាន \(AB = 2\), \(AC = \sqrt{5}\), \(BC = 3\) និង \(AH\) ជាកម្ពស់ ។ គណនា \(AH\) ។

☐ ក. \(AH = \dfrac{\sqrt{5}}{6}\)☐ ខ. \(AH = \dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)☐ គ. \(AH = \dfrac{3\sqrt{5}}{2}\)☐ ឃ. \(AH = \dfrac{2\sqrt{5}}{3}\)

២ គេមានបន្ទាត់ពីរ \((l) : y + x - 2 = 0\) និង \((d) : y = 2mx + 5\) ។ រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ \((l)\) និង \((d)\) កែងគ្នា ។

☐ ក. \(m = 2\)☐ ខ. \(m = -2\)☐ គ. \(m = \dfrac{1}{2}\)☐ ឃ. \(m = -\dfrac{1}{2}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

គេចង់ត្បាញកន្ទេលរាងចតុកោណកែងមួយដែលមានបណ្តោយ \(20\,\mathrm{dm}\) និងផ្ទៃក្រឡាធំជាង \(260\,\mathrm{dm}^2\) តែតូចជាង

\(340\,\mathrm{dm}^2\) ។ តើគេអាចជ្រើសរើសយកទទឹងកន្ទេល ដែលជាចំនួនគត់ស្មើនឹងប៉ុន្មានដេស៊ីម៉ែត្រ?

III. (១៥ ពិន្ទុ)

ចម្ការមួយមានរាងចតុកោណកែង ដែលមានបរិមាត្រ \(300\,\mathrm{m}\) ។ គេដឹងថា ផលដករវាង ២ដងទទឹង និងបណ្តោយ

ស្មើនឹង \(30\,\mathrm{m}\) ។

១ រកផ្ទៃក្រឡានៃចម្ការ ។

២ រកចំនួនដើមស្វាយ បើ \(10\,\mathrm{m}^2\) គេដាំដើមស្វាយបាន 3 ដើម ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

នៅក្នុងប្រអប់មួយមានថ្នាំជីវជាតិអា 5 គ្រាប់ ថ្នាំជីវជាតិសេ 4 គ្រាប់ និងថ្នាំជីវជាតិដេ 7 គ្រាប់ ។ កុមារម្នាក់

បានលេបថ្នាំនោះ 1 គ្រាប់ដោយចៃដន្យ បន្ទាប់មកកុមារីម្នាក់ទៀតបានលេបថ្នាំនោះ 1 គ្រាប់ដោយចៃដន្យដែរ ។

១ រកប្រូបាបដែល កុមារបានលេបថ្នាំជីវជាតិដេ និងកុមារីបានលេបថ្នាំជីវជាតិអា ។

២ រកប្រូបាបដែល កុមារទាំងពីរនាក់បានលេបថ្នាំជីវជាតិសេ ។

V. (១៥ ពិន្ទុ)

បន្ទាត់ \(d: y = -x + 3\) និងចំណុច \(A(-1, 1)\) នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) មួយ ។

១ គណនាតម្លៃកន្សោម \(OA \times 5\sqrt{3} - 4\sqrt{6}\) ។

២ រកសមីការបន្ទាត់ \(d'\) កាត់តាមចំណុច \(A\) ហើយកែងនឹង \(d\) ។

៣ សង់បន្ទាត់ \(d\) និង \(d'\) ក្នុងតម្រុយ \((xOy)\) ។

VI. (៣០ ពិន្ទុ)

កន្លះរង្វង់មួយមានផ្ចិត \(O\) និងអង្កត់ផ្ចិត \(MN\) ។ បន្ទាត់ \((D_1)\) និង \((D_2)\) កែងនឹង \(MN\) ត្រង់ \(M\) និង \(N\)

រៀងគ្នា ។ បន្ទាត់ \((D_3)\) ប៉ះកន្លះរង្វង់ត្រង់ \(I\) ហើយកាត់ \((D_1)\) ត្រង់ \(P\) និងកាត់ \((D_2)\) ត្រង់ \(Q\) ។

១ គណនា \(\angle MIN\) និង \(\angle POQ\) ។

២ ប្រៀបធៀប \(\triangle MOP\) និង \(\triangle NQO\) ។

៣ បង្ហាញថា \(OM^2 = MP \times NQ\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនា \(AH\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ៖

\[\begin{aligned} AH \times BC &= AB \times AC \\ AH \times 3 &= 2 \times \sqrt{5} \\ AH &= \frac{2\sqrt{5}}{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ឃ. \(\displaystyle AH = \frac{2\sqrt{5}}{3}\)

២ រកតម្លៃ \(m\)

បន្ទាត់ \((l): y + x - 2 = 0 \Rightarrow y = -x + 2\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_1 = -1\)

បន្ទាត់ \((d): y = 2mx + 5\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_2 = 2m\)

ដើម្បីឱ្យ \((l) \perp (d)\) លុះត្រាតែ \(a_1 \times a_2 = -1\)

\[\begin{aligned} -1 \times (2m) &= -1 \\ 2m &= 1 \\ m &= \frac{1}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle m = \frac{1}{2}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

រកទទឹងកន្ទេល ដែលជាចំនួនគត់

តាង \(W\) ជាទទឹងកន្ទេល (គិតជា \(\mathrm{dm}\), \(W \in \mathbb{N}\))

ផ្ទៃក្រឡាកន្ទេលគឺ \(S = \) បណ្តោយ \( \times \) ទទឹង \( = 20 \times W\)

ដោយផ្ទៃក្រឡាធំជាង \(260\,\mathrm{dm}^2\) តែតូចជាង \(340\,\mathrm{dm}^2\) ៖

\[\begin{aligned} 260 &< 20W < 340 \\ \frac{260}{20} &< W < \frac{340}{20} \\ 13 &< W < 17 \end{aligned}\]

ដោយ \(W\) ជាចំនួនគត់ នោះ \(W\) អាចស្មើនឹង \(14, 15, 16\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle W \in \{14\,\mathrm{dm}, 15\,\mathrm{dm}, 16\,\mathrm{dm}\}\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

តាង \(x\) ជាទទឹងចម្ការ និង \(y\) ជាបណ្តោយចម្ការ (\(x, y > 0\) គិតជាម៉ែត្រ)

១ រកផ្ទៃក្រឡានៃចម្ការ

បរិមាត្រ \(300\,\mathrm{m}\) នោះ \(2(x + y) = 300 \Rightarrow x + y = 150 \quad{} (1)\)

ផលដករវាង ២ដងទទឹង និងបណ្តោយស្មើនឹង \(30\,\mathrm{m}\) នោះ \(2x - y = 30 \quad{} (2)\)

បូកសមីការ (1) និង (2) អង្គនិងអង្គ៖

\[\begin{aligned} (x + y) + (2x - y) &= 150 + 30 \\ 3x &= 180 \Rightarrow x = 60 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 60\) ក្នុង (1)៖

\[60 + y = 150 \Rightarrow y = 90\]

ផ្ទៃក្រឡាចម្ការគឺ៖

\[S = x \times y = 60 \times 90 = 5400\,\mathrm{m}^2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle S = 5400\,\mathrm{m}^2\)

២ រកចំនួនដើមស្វាយ

ផ្ទៃដី \(10\,\mathrm{m}^2\) ដាំបានស្វាយ 3 ដើម

ចំនួនដើមស្វាយសរុបគឺ៖

\[\frac{5400}{10} \times 3 = 540 \times 3 = 1620\text{ ដើម}\]

ដូចនេះ ៖ ចំនួនដើមស្វាយ \(\displaystyle 1620\) ដើម

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

ចំនួនថ្នាំសរុបមាន \(5 + 4 + 7 = 16\) គ្រាប់។

១ រកប្រូបាបដែល កុមារលេបថ្នាំដេ និងកុមារីលេបថ្នាំអា

កុមារលេបថ្នាំមុន នោះចំនួនករណីអាចគឺ \(16\)
និងមានថ្នាំដេចំនួន \(7\) គ្រាប់

កុមារីលេបថ្នាំបន្ទាប់ នោះចំនួនករណីអាចសល់ \(15\)
និងមានថ្នាំអាចំនួន \(5\) គ្រាប់

\[\begin{aligned} P(\text{កុមារ ដេ, កុមារី អា}) &= \frac{7}{16} \times \frac{5}{15} \\ &= \frac{7}{16} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{48} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P = \frac{7}{48}\)

២ រកប្រូបាបដែល កុមារទាំងពីរនាក់លេបថ្នាំជីវជាតិសេ

ចំនួនថ្នាំសេមាន 4 គ្រាប់ នោះកុមារលេបបានថ្នាំសេមានប្រូបាប \(\frac{4}{16}\)

កុមារីលេបបន្ទាប់ពីកុមារ នោះថ្នាំសេសល់ \(3\) គ្រាប់
និងថ្នាំសរុបសល់ \(15\) គ្រាប់

\[\begin{aligned} P(\text{សេ, សេ}) &= \frac{4}{16} \times \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{20} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P = \frac{1}{20}\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

១ គណនាតម្លៃកន្សោម \(OA \times 5\sqrt{3} - 4\sqrt{6}\)

ប្រវែង \(OA\) ៖

\[\begin{aligned} OA &= \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} \\ &= \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} \\ &= \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \end{aligned}\]

ជំនួសចូលកន្សោម៖

\[\begin{aligned} &OA \times 5\sqrt{3} - 4\sqrt{6} \\ &= \sqrt{2} \times 5\sqrt{3} - 4\sqrt{6} \\ &= 5\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = \sqrt{6} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ តម្លៃកន្សោម \(\displaystyle = \sqrt{6}\)

២ រកសមីការបន្ទាត់ \(d'\)

បន្ទាត់ \(d: y = -x + 3\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a = -1\)

បន្ទាត់ \(d' \perp d\) នាំឱ្យ \(a' \times a = -1 \Rightarrow a'(-1) = -1 \Rightarrow a' = 1\)

បន្ទាត់ \(d'\) កាត់តាម \(A(-1, 1)\)៖

\[\begin{aligned} y - y_A &= a'(x - x_A) \\ y - 1 &= 1(x - (-1)) \\ y - 1 &= x + 1 \\ y &= x + 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle d':\ y = x + 2\)

៣ សង់បន្ទាត់ \(d\) និង \(d'\)

លំហាត់ VI (៣០ ពិន្ទុ)

១ គណនា \(\angle MIN\) និង \(\angle POQ\)

ដោយ \(MN\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃកន្លះរង្វង់ ហើយ \(I\) ជាចំណុចនៅលើកន្លះរង្វង់ នោះ \(\angle MIN\) ជាមុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់។

\[\angle MIN = 90^\circ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle MIN = 90^\circ\)

តាមលក្ខណៈបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ចេញពីចំណុចមួយនៅក្រៅរង្វង់៖

\(OP\) ជាបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle MOI \Rightarrow \angle POI = \frac{1}{2}\angle MOI\)
\(OQ\) ជាបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle NOI \Rightarrow \angle QOI = \frac{1}{2}\angle NOI\)

គេបាន

\[\begin{aligned} \angle POQ &= \angle POI + \angle QOI \\ &= \frac{1}{2}\angle MOI + \frac{1}{2}\angle NOI \\ &= \frac{1}{2}(\angle MOI + \angle NOI) \\ &= \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle POQ = 90^\circ\)

២ ប្រៀបធៀប \(\triangle MOP\) និង \(\triangle NQO\)

គេមាន

\[\angle PMO=90^\circ\quad{} \text{(បម្រាប់)}\]

\[\angle ONQ=90^\circ\quad{} \text{(បម្រាប់)}\]

នាំឱ្យ

\[\angle PMO = \angle ONQ = 90^\circ\]

ក្នុងត្រីកោណកែង \(MOP\) គេមាន \(\angle MPO + \angle MOP = 90^\circ\)

ម្យ៉ាងទៀត \(\angle MOP + \angle POQ + \angle NOQ = 180^\circ\) ដោយ \(\angle POQ = 90^\circ\) នាំឱ្យ

\[\angle MOP + \angle NOQ = 90^\circ\]

ដូចនេះ

\[\angle MPO = \angle NOQ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle MOP \sim \triangle NQO \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

៣ បង្ហាញថា \(OM^2 = MP \times NQ\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle MOP & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{MP}{ON} = \frac{OM}{NQ}\\[-1pt] \triangle NQO & \end{array}\]

\[OM \times ON = MP \times NQ\]

ដោយ \(OM = ON\) (កាំរង្វង់តែមួយ) នោះ

\[\begin{aligned} OM \times OM &= MP \times NQ \\ OM^2 &= MP \times NQ \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle OM^2 = MP \times NQ\)