វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១០

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់៖

១ គេមានបន្ទាត់ពីរ \((d): y = mx + 80\) និង \((L): y = -2x + 66\) ។

កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ \((d) \perp (L)\)

☐ ក. \(m = 1\)☐ ខ. \(m = -2\)☐ គ. \(m = \dfrac{1}{2}\)☐ ឃ. \(m = -\dfrac{1}{2}\)

២ ត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) បើ \(BH = 3\,\mathrm{cm}\), \(HC = 6\,\mathrm{cm}\) និង \(AH\) ជាកម្ពស់លើ

អ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\) ។ គណនាកម្ពស់ \(AH\)

☐ ក. \(AH = 9\,\mathrm{cm}\)☐ ខ. \(AH = 18\,\mathrm{cm}\)☐ គ. \(AH = 3\sqrt{2}\,\mathrm{cm}\)☐ ឃ. \(AH = 2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\)

II. (២០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ក. \(\begin{cases} 3x + 4y = -1 \\ 7x + 9y = 0 \end{cases}\) ខ. \(\begin{cases} \dfrac{3}{2x+1} + \dfrac{2}{y-1} = 16 \\[10pt] \dfrac{5}{2x+1} - \dfrac{3}{y-1} = -5 \end{cases}\)

III. (២៥ ពិន្ទុ)

១ ពូសុខវិនិយោគប្រាក់ ៥លានរៀល ក្នុងធនាគារចំនួនពីរ ដើម្បីដាក់យកការប្រាក់ទៅតាមអត្រាការ

ប្រាក់រៀងគ្នា \(8\%\) និង \(6\%\) ។ ដោយដឹងថាគាត់ទទួលបានការប្រាក់សរុប \(360\,000\,\) ៛ ក្នុងមួយឆ្នាំ។

រកដើមទុន ដែលគាត់បានដាក់ក្នុងធនាគារនីមួយៗ

២ ផលបូកមុំក្នុងនៃពហុកោណមួយ មានរង្វាស់ \(1080^\circ\) ។

ក ប្រាប់ឈ្មោះពហុកោណនេះ

ខ គូសពហុកោណនេះ រួចគណនាចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃពហុកោណនេះ

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានចំណុច \(A(-1, 3)\) និង \(B(3, 1)\) នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) ។

ក រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((AB)\)

ខ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((d)\) ដែលជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([AB]\)

V. (៣០ ពិន្ទុ)

គេមានត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ហើយមាន \(AB = 3\,\mathrm{cm}\) និង \(AC = 4\,\mathrm{cm}\) ។ រង្វង់ \((C_1)\)

មានអង្កត់ផ្ចិត \(AB\) ហើយជួបជ្រុង \(BC\) ត្រង់ \(H\) ។

ក បង្ហាញថា \(AH\) ជាកម្ពស់នៃត្រីកោណ \(ABC\) ។ គណនា \(BC\) និង \(AH\)

ខ រង្វង់ \((C_2)\) មួយទៀតចារឹកក្រៅត្រីកោណ \(AHC\) ។ \(M\) ជាចំណុចមួយនៅលើធ្នូ \(CH\) បន្ទាត់ \((CM)\)

ជួបបន្ទាត់ \((AH)\) ត្រង់ \(N\) ។ ចូរប្រៀបធៀប \(\triangle MAN\) និង \(\triangle HCN\) រួចទាញថា \(AM \times HN = MN \times HC\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ កំណត់តម្លៃ \(m\)

បន្ទាត់ \((d): y = mx + 80\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_d = m\)

បន្ទាត់ \((L): y = -2x + 66\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_L = -2\)

ដើម្បីឱ្យ \((d) \perp (L)\) លុះត្រាតែ \(a_d \times a_L = -1\)

\[\begin{aligned} m(-2) &= -1 \\ m &= \frac{1}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle m = \frac{1}{2}\)

២ គណនាកម្ពស់ \(AH\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\)

\[\begin{aligned} AH^2 &= BH \times HC \\ &= 3 \times 6 = 18 \\ AH &= \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle AH = 3\sqrt{2}\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (២០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ក \(\begin{cases} 3x + 4y = -1 \quad{} (1) \\ 7x + 9y = 0 \quad{} (2) \end{cases}\)

គុណសមីការ (1) នឹង \(9\) និងសមីការ (2) នឹង \(-4\)

\[\begin{cases} 27x + 36y = -9 \\ -28x - 36y = 0 \end{cases}\]

បូកសមីការទាំងពីរអង្គនិងអង្គ

\[-x = -9 \Rightarrow x = 9\]

ជំនួស \(x = 9\) ក្នុងសមីការ (1)

\[\begin{aligned} 3(9) + 4y &= -1 \\ 27 + 4y &= -1 \\ 4y &= -28 \\ y &= -7 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = (9, -7)\)

ខ \(\begin{cases} \dfrac{3}{2x+1} + \dfrac{2}{y-1} = 16 \\[10pt] \dfrac{5}{2x+1} - \dfrac{3}{y-1} = -5 \end{cases}\)

តាង \(u = \dfrac{1}{2x+1}\) និង \(v = \dfrac{1}{y-1}\)

ប្រព័ន្ធសមីការក្លាយជា

\[\begin{cases} 3u + 2v = 16 \quad{} (1) \\ 5u - 3v = -5 \quad{} (2) \end{cases}\]

គុណសមីការ (1) នឹង \(3\) និងសមីការ (2) នឹង \(2\)

\[\begin{cases} 9u + 6v = 48 \\ 10u - 6v = -10 \end{cases}\]

បូកសមីការទាំងពីរអង្គនិងអង្គ

\[19u = 38 \Rightarrow u = 2\]

ជំនួស \(u = 2\) ក្នុង (1)

\[\begin{aligned} 3(2) + 2v &= 16 \\ 6 + 2v &= 16 \\ 2v &= 10 \Rightarrow v = 5 \end{aligned}\]

ដោយ \(u = \dfrac{1}{2x+1} = 2 \Rightarrow 2x+1 = \dfrac{1}{2} \\ \Rightarrow 2x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{1}{4}\)

ដោយ \(v = \dfrac{1}{y-1} = 5 \Rightarrow y-1 = \dfrac{1}{5} \Rightarrow y = \dfrac{6}{5}\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{6}{5}\right)\)

លំហាត់ III (២៥ ពិន្ទុ)

១ រកដើមទុនដែលដាក់ក្នុងធនាគារនីមួយៗ

តាង \(x\) ជាប្រាក់ដែលដាក់ក្នុងធនាគារទី១ (អត្រា \(8\%\))

និង \(y\) ជាប្រាក់ដែលដាក់ក្នុងធនាគារទី២ (អត្រា \(6\%\))

តាមប្រធានលំហាត់ គេបានប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} x + y = 5\,000\,000 \quad{} (1)\\ 0.08x + 0.06y = 360\,000 \quad{} (2) \end{cases}\]

គុណសមីការ (2) នឹង \(100\) \(8x + 6y = 36\,000\,000\)

តាមសមីការ (1) គេបាន \(y = 5\,000\,000 - x\) ជំនួសចូលសមីការ (2)

\[\begin{aligned} 8x + 6(5\,000\,000 - x) &= 36\,000\,000 \\ 8x + 30\,000\,000 - 6x &= 36\,000\,000 \\ 2x &= 6\,000\,000 \\ x &= 3\,000\,000 \end{aligned}\]

នាំឱ្យ \(y = 5\,000\,000 - 3\,000\,000 = 2\,000\,000\)

ដូចនេះ ៖ ធនាគារទី១ \(\displaystyle 3\,000\,000\,\) ៛ \(\displaystyle , \) ធនាគារទី២ \(\displaystyle 2\,000\,000\,\) ៛

២ ក. ប្រាប់ឈ្មោះពហុកោណនេះ

តាង \(n\) ជាចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណ (\(n \geq 3\))។ ផលបូកមុំក្នុងស្មើនឹង \(1080^\circ\)

\[\begin{aligned} (n - 2) \times 180^\circ &= 1080^\circ \\ n - 2 &= 6 \\ n &= 8 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជាអដ្ឋកោណ

ខ. គូសពហុកោណ និងគណនាចំនួនអង្កត់ទ្រូង

ចំនួនអង្កត់ទ្រូង

\[\frac{n(n - 3)}{2} = \frac{8(8 - 3)}{2} = 4 \times 5 = 20\]

ដូចនេះ ៖ ចំនួនអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle 20\)

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

ក រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស

\[a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - 3}{3 - (-1)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]

សមីការមានរាង \(y - y_A = a_{AB}(x - x_A)\)

\[\begin{aligned} y - 3 &= -\frac{1}{2}(x + 1) \\ y &= -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 3 \\ y &= -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\)

ខ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((d)\)

រកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(I\) នៃអង្កត់ \(AB\)

\[I = \left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = (1, 2)\]

ដោយបន្ទាត់ \((d)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\) នាំឱ្យ \((d) \perp (AB)\)

\[a_d \times a_{AB} = -1 \Rightarrow a_d \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \Rightarrow a_d = 2\]

សមីការមានរាង \(y - y_I = a_{d}(x - x_I)\)
ដោយកាត់តាម \(I(1, 2)\)

\[\begin{aligned} y - 2 &= 2(x - 1) \\ y &= 2x - 2 + 2 \\ y &= 2x \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (d):\ y = 2x\)

លំហាត់ V (៣០ ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថា \(AH\) ជាកម្ពស់ រួចគណនា \(BC\) និង \(AH\)

គេមាន

\[\angle AHB = 90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់ \((C_1)\))}\]

នាំឱ្យ \(AH \perp BC\) ត្រង់ \(H\)

ហេតុនេះ \(AH\) ជាកម្ពស់នៃ \(\triangle ABC\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2 \\ &= 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \\ BC &= \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\)៖

\[\begin{aligned} AH \times BC &= AB \times AC \\ AH &= \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} AH\text{ ជាកម្ពស់នៃ }\triangle ABC \\ BC = 5\,\mathrm{cm}, \quad{} AH = 2.4\,\mathrm{cm} \end{gathered}\)

ខ ប្រៀបធៀប \(\triangle MAN\) និង \(\triangle HCN\)

គេមាន

\[\angle MNA = \angle CNH \quad{} \text{(មុំរួម)}\]

ដោយរង្វង់ \((C_2)\) ចារឹកក្រៅ \(\triangle AHC\) កែងត្រង់ \(H\) នាំឱ្យអង្កត់ \(AC\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ \((C_2)\)។

ដោយ \(M\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់ \((C_2)\) នាំឱ្យ

\[\angle AMC = 90^\circ \quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

ហេតុនេះ \(\angle AMN = 90^\circ\quad{} \) (មុំជាប់បន្ថែមនឹង \(\angle AMC\text{)}\)

ក្នុង \(\triangle HCN\) កែងត្រង់ \(H\) គេមាន \(\angle CHN = 90^\circ\)

នាំឱ្យ

\[\angle AMN = \angle CHN = 90^\circ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle MAN \sim \triangle HCN \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

ទាញបញ្ជាក់ថា \(AM \times HN = MN \times HC\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle MAN & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{AM}{HC} = \frac{MN}{HN}\\[-1pt] \triangle HCN & \end{array}\]

គេបាន

\[AM \times HN = MN \times HC\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AM \times HN = MN \times HC\)