វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១៩

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់នៅខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវមានតែមួយគត់៖

១ សមីការ \(\sqrt{2}x - 1 = \sqrt{2}\) មានឫស

☐ ក. \(x = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)☐ ខ. \(x = 2 + \sqrt{2}\)☐ គ. \(x = 2 - \sqrt{2}\)☐ ឃ. \(x = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}\)

២ ត្រីកោណ \(ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់កំពូល \(A\) ។ \([AH]\) កែងនឹង \([BC]\) ត្រង់ \(H\) ដែល \(BH = 4.5\,\mathrm{cm}\)

និង \(HC = 2\,\mathrm{cm}\) ។ រកប្រវែង \(AH\)

☐ ក. \(AH = 9\,\mathrm{cm}\)☐ ខ. \(AH = 6.5\,\mathrm{cm}\)☐ គ. \(AH = \pm 3\,\mathrm{cm}\)☐ ឃ. \(AH = 3\,\mathrm{cm}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} x+y=3 \\ 2x+3y=11 \end{cases}\)

២ ដោះស្រាយវិសមីការ \((2x+1)^2 > 4x^2 + x\) រួចបកស្រាយចម្លើយលើអ័ក្សនៃចំនួនពិត ។

III. (១៥ ពិន្ទុ)

នៅក្នុងគ្រួសារមួយ ឪពុកមានអាយុច្រើនជាងកូនច្បងចំនួន \(25\) ឆ្នាំ ហើយកូនច្បងមានអាយុច្រើនជាងកូនប្អូន

ចំនួន \(5\) ឆ្នាំ ។ រកអាយុម្នាក់ៗ បើដឹងថាផលបូកនៃអាយុអ្នកទាំងបីស្មើនឹង \(65\) ឆ្នាំ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

សិស្សប្រុស \(3\) នាក់ និងស្រី \(3\) នាក់ បានឈរឈ្មោះបោះឆ្នោត ដើម្បីជ្រើសរើសធ្វើជាប្រធានថ្នាក់ និងបន្ទាប់មក

ជ្រើសរើសអនុប្រធានថ្នាក់ម្នាក់ទៀត ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖

១ ជ្រើសរើសបានប្រធានថ្នាក់ជាសិស្សប្រុស ។

២ ជ្រើសរើសបានប្រធានថ្នាក់ជាសិស្សស្រី ។

៣ ជ្រើសរើសបានប្រធានថ្នាក់ជាសិស្សស្រី និងអនុប្រធានថ្នាក់ជាសិស្សប្រុស ។

V. (១៥ ពិន្ទុ)

នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) គេមានបន្ទាត់ \((L_1): y = x - 2\) និងមានចំណុច \(A(1,2)\) ។

១ រកសមីការបន្ទាត់ \((L_2)\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(A(1,2)\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ \((L_1)\) ។

២ រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ \((L_1)\) និង \((L_2)\) ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់លទ្ធផលតាមក្រាប ។

VI. (៣០ ពិន្ទុ)

រង្វង់ផ្ចិត \(O\) មានអង្កត់ផ្ចិត \([BC]\) ដែល \(BC=4\,\mathrm{cm}\) ។ \(A\) ជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ \((O)\) ដែល \(\angle ABC=30^\circ\) ។

បន្ទាត់កាត់តាម \(A\) មួយជួបជាមួយអង្កត់ \([BC]\) ត្រង់ \(D\) និងកាត់រង្វង់ \((O)\) ម្តងទៀតត្រង់ \(E\) ។

១ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ \(ABC\) និងត្រីកោណ \(AOC\) ។

២ គណនា \(AB\), \(AC\), \(\angle AEB\) ។

៣ ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(ACD\) និងត្រីកោណ \(BED\) ។ រួចស្រាយបញ្ជាក់ថា \(DA \times DE = DB \times DC\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} \sqrt{2}x - 1 &= \sqrt{2} \\ \sqrt{2}x &= \sqrt{2} + 1 \\ x &= \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{2+\sqrt{2}}{2} = 1+\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle x = 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\)

២ គណនាប្រវែង \(AH\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) ដែល \(AH \perp BC\) គេមាន

\[\begin{aligned} AH^2 &= BH \times HC \\ &= 4.5 \times 2 = 9 \\ AH &= 3\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ឃ. \(\displaystyle AH = 3\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} x+y=3 \quad{} &(1)\\ 2x+3y=11 \quad{} &(2) \end{cases}\]

តាមសមីការ (1) គេបាន \(x = 3-y\) ។ ជំនួសចូល (2)

\[\begin{aligned} 2(3-y)+3y &= 11 \\ 6-2y+3y &= 11 \\ y &= 5 \end{aligned}\]

នាំឱ្យ

\[x = 3-5 = -2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(-2,5)\)

២ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} (2x+1)^2 &> 4x^2+x \\ 4x^2+4x+1 &> 4x^2+x \\ 3x+1 &> 0 \\ 3x &> -1 \\ x &> -\frac{1}{3} \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើអ័ក្សចំនួនពិត

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x > -\frac{1}{3}\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ) រកអាយុអ្នកទាំងបី

តាង \(x\) ជាអាយុកូនប្អូន \((x>0)\)
\(x+5\) ជាអាយុកូនច្បង
\(x+30\) ជាអាយុឪពុក

ដោយ ផលបូកនៃអាយុអ្នកទាំងបីស្មើនឹង \(65\) ឆ្នាំ
គេបានសមីការ

\[\begin{aligned} x+(x+5)+(x+30) &= 65 \\ 3x+35 &= 65 \\ 3x &= 30 \\ x &= 10 \end{aligned}\]

ផ្ទៀងផ្ទាត់ចម្លើយ

\[\begin{aligned} x+(x+5)+(x+30) &= 65 \\ 10+(10+5)+(10+30) &= 65 \\ 10+15+40 &= 65 \\ 65 &= 65\quad{} \text{ពិត} \end{aligned}\]

អាយុកូនប្អូន \(10\) ឆ្នាំ
អាយុកូនច្បង \(10+5=15\) ឆ្នាំ
អាយុឪពុក \(10+30=40\) ឆ្នាំ

ដូចនេះ ៖ ឪពុក \(\displaystyle 40\) ឆ្នាំ \(\displaystyle ,\quad{} \) កូនច្បង \(\displaystyle 15\) ឆ្នាំ \(\displaystyle ,\quad{} \) កូនប្អូន \(\displaystyle 10\) ឆ្នាំ

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

សិស្សសរុបមាន \(3+3=6\) នាក់។ ជ្រើសរើសប្រធានម្នាក់ និងអនុប្រធានម្នាក់ផ្សេងទៀត។

ចំនួនករណីអាចគឺ

\[n(S)=6\times5=30\]

១ រកប្រូបាបដែលជ្រើសរើសបានប្រធានថ្នាក់ជាសិស្សប្រុស

ជ្រើសប្រធានប្រុសបាន \(3\) របៀប ហើយជ្រើសអនុប្រធានពីអ្នកនៅសល់បាន \(5\) របៀប។

\[\begin{aligned} P(\text{ប្រធានប្រុស})&=\frac{3\times5}{30}\\ &=\frac{15}{30}=\frac{1}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ប្រធានប្រុស \(\displaystyle )=\frac{1}{2}\)

២ រកប្រូបាបដែលជ្រើសរើសបានប្រធានថ្នាក់ជាសិស្សស្រី

ជ្រើសប្រធានស្រីបាន \(3\) របៀប ហើយជ្រើសអនុប្រធានពីអ្នកនៅសល់បាន \(5\) របៀប។

\[\begin{aligned} P(\text{ប្រធានស្រី})&=\frac{3\times5}{30}\\ &=\frac{15}{30}=\frac{1}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ប្រធានស្រី \(\displaystyle )=\frac{1}{2}\)

៣ រកប្រូបាបដែលជ្រើសរើសបានប្រធានថ្នាក់ជាសិស្សស្រី និងអនុប្រធានថ្នាក់ជាសិស្សប្រុស

ជ្រើសប្រធានស្រីបាន \(3\) របៀប ហើយជ្រើសអនុប្រធានប្រុសបាន \(3\) របៀប។

\[\begin{aligned} P(\text{ប្រធានស្រី, អនុប្រធានប្រុស})&=\frac{3\times3}{30}\\ &=\frac{9}{30}=\frac{3}{10} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ប្រធានស្រី, អនុប្រធានប្រុស \(\displaystyle )=\frac{3}{10}\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានបន្ទាត់ \((L_1): y=x-2\) និងចំណុច \(A(1,2)\)។

១ រកសមីការបន្ទាត់ \((L_2)\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(A(1,2)\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ \((L_1)\)

បន្ទាត់ \((L_1)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_1=1\)។ ដោយ \((L_2)\perp(L_1)\) នោះ \(a_2=-1\)។

បន្ទាត់ \((L_2)\) កាត់តាម \(A(1,2)\)

\[\begin{aligned} \text{សមីការ}\qquad{} & y-y_A=a_2(x-x_A)\\ \text{នោះ}\qquad{} y-2 &= -1(x-1) \\ y &= -x+1+2 \\ y &= -x+3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (L_2):\ y=-x+3\)

២ រកចំណុចប្រសព្វរវាង \((L_1)\) និង \((L_2)\)

នៅចំណុចប្រសព្វ គេមាន

\[\begin{aligned} x-2 &= -x+3 \\ 2x &= 5 \\ x &= \frac{5}{2} \end{aligned}\]

ជំនួសចូល \(y=x-2\)

\[y=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle I\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)\)

លំហាត់ VI (៣០ ពិន្ទុ)

១ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ \(ABC\) និង \(AOC\)

ដោយ \(BC\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ ហើយ \(A\) ស្ថិតលើរង្វង់ នោះ

\[\angle BAC=90^\circ\]

ដូចនេះ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\)។

ម្យ៉ាងទៀត \(\angle ABC=30^\circ\) នោះ

\[\angle ACB=60^\circ\]

ដោយ \(OA=OC=R=2\,\mathrm{cm}\) នោះ \(\triangle AOC\) ជាត្រីកោណសមបាត ហើយ

\[\angle ACO=\angle ACB=60^\circ\]

នាំឱ្យ \(\angle OAC=60^\circ\) និង \(\angle AOC=60^\circ\)។ ដូចនេះ \(\triangle AOC\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស។

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} \triangle ABC\text{ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ }A \\ \triangle AOC\text{ ជាត្រីកោណសម័ង្ស} \end{gathered}\)

២ គណនា \(AB\), \(AC\), \(\angle AEB\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) មាន \(BC=4\,\mathrm{cm}\) និង \(\angle B=30^\circ\)។

ជ្រុងឈមនឹងមុំ \(30^\circ\) គឺ \(AC\) ដូចនេះ

\[AC=\frac{BC}{2}=2\,\mathrm{cm}\]

តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ

\[\begin{aligned} AB^2 &= BC^2-AC^2 \\ &= 4^2-2^2=16-4=12 \\ AB &= 2\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

មុំ \(\angle AEB\) និង \(\angle ACB\) ជាមុំចារឹកស្កាត់ធ្នូ \(AB\) ដូចគ្នា ដូចនេះ

\[\angle AEB=\angle ACB=60^\circ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm},\quad{} AC=2\,\mathrm{cm},\quad{} \angle AEB=60^\circ\)

៣ ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(ACD\) និង \(BED\)

គេមាន

\[\angle ADC=\angle BDE\]

ព្រោះជាមុំទល់កំពូល។

ម្យ៉ាងទៀត

\[\angle ACD=\angle ACB \quad{}\text{និង}\quad{} \angle BED=\angle BEA\]

ហើយ \(\angle ACB=\angle BEA\) ព្រោះជាមុំចារឹកស្កាត់ធ្នូ \(AB\) ដូចគ្នា។

ដូចនេះ

\[\angle ACD=\angle BED\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ACD \sim \triangle BED \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle ACD & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{CD}{DE}\\[-1pt] \triangle BED & \end{array}\]

នាំឱ្យ

\[AD \times DE = BD \times CD\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle DA \times DE = DB \times DC\)