មេរៀនទី ២ : សមាមាត្រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

ប្រវត្តិនៃសមាមាត្រ និងផលធៀបក្នុងអរិយធម៌មនុស្សជាតិ

សមាមាត្រ (Proportion) និង ផលធៀប (Ratio) គឺជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏ចំណាស់បំផុតមួយ ដែលមនុស្សជាតិបានប្រើប្រាស់តាំងពីរាប់ពាន់ឆ្នាំមុនគ្រិស្តសករាជ ៖

ទ្រឹស្តីសមាមាត្ររបស់អឺដុកស៊ុស (Eudoxus of Cnidus, ៤០៨-៣៥៥ មុន គ.ស.) ៖ គណិតវិទូក្រិក Eudoxus បានបង្កើតទ្រឹស្តីផលធៀប និងសមាមាត្រដ៏ល្អឥតខ្ចោះ ដែលត្រូវបាន Euclid ចងក្រងទុកក្នុងសៀវភៅទី ៥ នៃ Elements។ ទ្រឹស្តីនេះអាចអនុវត្តបានទាំងលើចំនួនសនិទាន និងចំនួនអសនិទាន ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ និងការវាស់វែង។
ប្រភពនៃនិមិត្តសញ្ញាភាគរយ $\%$ ៖ ពាក្យ «ភាគរយ» មកពីភាសាឡាតាំង "Per Centum" មានន័យថា «ក្នុងចំណោមមួយរយ»។ និមិត្តសញ្ញា $\%$ បានវិវត្តបន្តិចម្តងៗនៅប្រទេសអ៊ីតាលីក្នុងសតវត្សទី ១៥ ពីពាក្យកាត់ "per 100" ទៅជា "p 100" ហើយក្លាយជាសញ្ញា $\%$ នៅសតវត្សទី ១៧។
ការគណនាការប្រាក់ និងពាណិជ្ជកម្មបុរាណ ៖ នៅបាប៊ីឡូនបុរាណ (ប្រហែល ២០០០ មុន គ.ស.) ផ្ទាំងដីឥដ្ឋគ្លីនិកបានកត់ត្រាការគណនាការប្រាក់សមាសលើប្រាក់កម្ចីស្រូវ និងប្រាក់។ ក្រោយមក គណិតវិទូអារ៉ាប់ Al-Khwarizmi បានសរសេរបញ្ចូលក្បួនសមាមាត្រត្រីគុណ (Rule of Three) ក្នុងសៀវភៅពិជគណិតរបស់លោក។
ស្ថាបត្យកម្មប្រាសាទអង្គរវត្ត ៖ ក្នុងការរៀបចំផែនទី និងសំណង់ប្រាសាទអង្គរវត្ត បុព្វបុរសខ្មែរបានប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធមាត្រដ្ឋានសមាមាត្រយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ដូចជាផលធៀប $1 : 2$, $2 : 3$, $3 : 4$ និងផលធៀបមាស ដើម្បីកំណត់ទំហំខឿន កម្ពស់កំពូល និងចម្ងាយរវាងគូទឹកនិងកំពែងប្រាសាទ ធ្វើឱ្យសំណង់ទាំងមូលមានតុល្យភាពស្ថាបត្យកម្មដ៏អស្ចារ្យ។

សមាមាត្រ និងលក្ខណៈគ្រឹះ

និយមន័យសមាមាត្រ

សមាមាត្រ

សមាមាត្រ គឺជាសមភាពរវាងពីរផលធៀប ៖

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad{} \text{ឬ} \quad{} a : b = c : d \quad{} (b \ne 0, d \ne 0)\]

$a$ និង $d$ ហៅថា តួចុង (Extremes)
$b$ និង $c$ ហៅថា តួកណ្ដាល (Means)

លក្ខណៈគ្រឹះនៃសមាមាត្រ

ក្នុងគ្រប់សមាមាត្រ ផលគុណតួចុងស្មើនឹងផលគុណតួកណ្ដាល (ផលគុណខ្វែង) ៖

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\]

ពីសមាមាត្រនេះ គេអាចទាញបានសមាមាត្រសមមូលដទៃទៀត ៖

\[\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \quad{} ; \quad{} \frac{d}{b} = \frac{c}{a} \quad{} ; \quad{} \frac{b}{a} = \frac{d}{c}\]

លក្ខណៈនៃផលធៀបស្មើគ្នា

បើ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ នោះចំពោះគ្រប់ចំនួន $m, n$ (ដែលភាគបែងមិនសូន្យ) គេបាន ៖

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d} = \frac{ma + nc}{mb + nd} = k\]

ឧទាហរណ៍

រកតម្លៃ $x$ ក្នុងសមាមាត្រ ៖ $\dfrac{x+2}{6} = \dfrac{5}{3}$

ដំណោះស្រាយ

តាមលក្ខណៈផលគុណខ្វែង ៖

\[3(x + 2) = 6 \times 5 \implies 3x + 6 = 30 \implies 3x = 24 \implies x = 8\]

ប្រតិបត្តិ

ចែកប្រាក់ $300\,\$$ ទៅឱ្យមនុស្សពីរនាក់តាមផលធៀប $2 : 3$។

ចំណោទសមាមាត្រ និងការប្តូរខ្នាត

ខ្នាតរង្វាស់អន្តរជាតិដែលត្រូវចងចាំ

$1\,$ inch (អ៊ីញ) $ \approx 2.54\,\text{cm}$
$1\,$ foot (ហ្វឺត) $ \approx 0.3048\,\text{m} = 30.48\,\text{cm}$ ($1\,\text{ft} = 12\,\text{in}$)
$1\,$ mile (ម៉ាយ) $ \approx 1.609\,\text{km}$
$1\,$ pound (ផោន/lb) $ \approx 0.453\,\text{kg}$

ឧទាហរណ៍

រថយន្តមួយបើកបរដោយល្បឿនថេរ ចំណាយសាំង $6\,\text{L}$ សម្រាប់ចម្ងាយ $90\,\text{km}$។ តើរថយន្តនោះត្រូវចំណាយសាំងប៉ុន្មានលីត្រ ប្រសិនបើធ្វើដំណើរចម្ងាយ $240\,\text{km}$?

ដំណោះស្រាយ

តាង $x$ ជាបរិមាណសាំងដែលត្រូវចំណាយ (គិតជា $\text{L}$)។
ដោយបរិមាណសាំង និងចម្ងាយចរជាសមាមាត្រផ្ទាល់ ៖
\[\frac{x}{240} = \frac{6}{90} \iff x = \frac{6 \times 240}{90} = 16\,\text{L}\]
ដូចនេះ រថយន្តត្រូវចំណាយសាំង $16\,\text{L}$។

ប្រតិបត្តិ

ម៉ាស៊ីនបោះពុម្ពមួយអាចព្រីនបាន $150$ សន្លឹកក្នុងរយៈពេល $5$ នាទី។ តើម៉ាស៊ីននោះត្រូវការពេលប៉ុន្មាននាទី ដើម្បីព្រីនបាន $480$ សន្លឹក?

ចំណោទភាគរយ កំណើន និងតំហយ

ភាគរយ

ភាគរយ គឺជាផលធៀបដែលមានភាគបែងស្មើ $100$។ ភាគរយនៃ $a$ ធៀបនឹង $b$ គិតជា ៖

\[P = \frac{a}{b} \times 100\%\]

រូបមន្តភាគរយកំណើន និងតំហយ

បើបរិមាណមួយប្រែប្រួលពីតម្លៃដើម $V_1$ ទៅតម្លៃថ្មី $V_2$ ៖

បើ $V_2 > V_1$ (កំណើន) ៖
\[\text{ភាគរយកំណើន} = \frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100\%\]
បើ $V_2 < V_1$ (តំហយ/បញ្ចុះតម្លៃ) ៖
\[\text{ភាគរយតំហយ} = \frac{V_1 - V_2}{V_1} \times 100\%\]

ឧទាហរណ៍

អាវមួយមានតម្លៃដើម $25\,\$$។ ហាងបានបញ្ចុះតម្លៃ $20\%$។

គណនាប្រាក់ដែលបានបញ្ចុះ។
គណនាតម្លៃអាវក្រោយពេលបញ្ចុះ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ដែលបានបញ្ចុះ ៖ $25 \times 20\% = 25 \times \dfrac{20}{100} = 5\,\$$
តម្លៃអាវក្រោយពេលបញ្ចុះ ៖ $25 - 5 = 20\,\$$
ដូចនេះ ប្រាក់បញ្ចុះគឺ $5\,\$$ និងតម្លៃលក់គឺ $20\,\$$។

ប្រតិបត្តិ

កុំព្យូទ័រមួយគ្រឿងមានតម្លៃដើម $600\,\$$។ ក្នុងឱកាសបុណ្យចូលឆ្នាំ ហាងបានបញ្ចុះតម្លៃ $15\%$។ គណនាតម្លៃលក់ថ្មីនៃកុំព្យូទ័រនោះ។

ការប្រាក់ទោល និងការប្រាក់សមាស

ការប្រាក់ទោល និងការប្រាក់សមាស

តាង $P_0$ ជាប្រាក់ដើម, $r$ ជាអត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ (គិតជាទសភាគ), $t$ ជារយៈពេលគិតជាឆ្នាំ ៖

ការប្រាក់ទោល (Simple Interest) ៖ ការប្រាក់គិតតែលើប្រាក់ដើមប៉ុណ្ណោះ ៖
\[I = P_0 \times r \times t \quad{} ; \quad{} \text{ប្រាក់សរុប } A = P_0 + I = P_0(1 + rt)\]
ការប្រាក់សមាស (Compound Interest) ៖ ការប្រាក់នៃឆ្នាំនីមួយៗត្រូវបានបូកបញ្ចូលក្នុងប្រាក់ដើមដើម្បីបង្កើតជាប្រាក់ដើមថ្មីសម្រាប់ឆ្នាំបន្ទាប់ ៖
\[P_t = P_0(1 + r)^t\]

ឧទាហរណ៍

លោកសុខបានយកប្រាក់ $2000\,\$$ ទៅផ្ញើធនាគារដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ទោល $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។ រកការប្រាក់ និងប្រាក់សរុបដែលគាត់ទទួលបានក្រោយពេលផ្ញើរយៈពេល $3$ ឆ្នាំ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ដើម $P_0 = 2000\,\$$, អត្រាការប្រាក់ $r = 6\% = 0.06$, រយៈពេល $t = 3$ ឆ្នាំ។
ការប្រាក់ទោល ៖ $I = P_0 \times r \times t = 2000 \times 0.06 \times 3 = 360\,\$$
ប្រាក់សរុប ៖ $A = P_0 + I = 2000 + 360 = 2360\,\$$
ដូចនេះ គាត់ទទួលបានការប្រាក់ $360\,\$$ និងប្រាក់សរុប $2360\,\$$។

ប្រតិបត្តិ

គេយកប្រាក់ $5000\,\$$ ទៅផ្ញើធនាគារក្នុងអត្រាការប្រាក់ទោល $5\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។ រកប្រាក់សរុបដែលទទួលបានក្រោយរយៈពេល $4$ ឆ្នាំ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

រកតម្លៃនៃ $x$ ក្នុងសមាមាត្រខាងក្រោម ៖

$\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$
$\dfrac{24}{x} = \dfrac{6}{7}$
$\dfrac{x+1}{8} = \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{5}{x-2} = \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{2x-1}{3} = \dfrac{x+4}{2}$
$\dfrac{3x+2}{5} = \dfrac{2x-1}{3}$

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃ $x$ តាមផលគុណខ្វែង ៖

a. $5x = 60 \implies x = 12$
b. $6x = 168 \implies x = 28$
c. $4(x+1) = 24 \implies 4x = 20 \implies x = 5$
d. $2(x-2) = 15 \implies 2x = 19 \implies x = 9.5$
e. $2(2x-1) = 3(x+4) \implies 4x-2 = 3x+12 \implies x = 14$
f. $3(3x+2) = 5(2x-1) \implies 9x+6 = 10x-5 \implies x = 11$

២លំហាត់ទី ២

ចូរប្តូរឯកតារង្វាស់តាមប្រព័ន្ធខ្នាតអន្តរជាតិ ($1\,\text{in} \approx 2.54\,\text{cm}, 1\,\text{ft} \approx 0.3048\,\text{m}, 1\,\text{mi} \approx 1.609\,\text{km}, 1\,\text{lb} \approx 0.453\,\text{kg}$) ៖

ប្តូរ $2.5\,\text{m}$ ទៅជា $\text{inches}$
ប្តូរ $50\,\text{miles}$ ទៅជា $\text{km}$
ប្តូរ $12\,\text{feet}$ ទៅជា $\text{m}$
ប្តូរ $10\,\text{kg}$ ទៅជា $\text{lb}$

មើលដំណោះស្រាយ

ប្តូរឯកតារង្វាស់ ៖

a. $2.5\,\text{m} = 250\,\text{cm} \approx \frac{250}{2.54} \approx 98.43\,\text{in}$
b. $50\,\text{mi} \approx 50 \times 1.609 = 80.45\,\text{km}$
c. $12\,\text{ft} \approx 12 \times 0.3048 = 3.658\,\text{m}$
d. $10\,\text{kg} \approx \frac{10}{0.453} \approx 22.08\,\text{lb}$

៣លំហាត់ទី ៣

អាងទឹកមួយមានចំណុះ $9000\,\text{L}$។ បើគេបង្ហូរទឹកចូលក្នុងល្បឿន $150\,\text{L}$ ក្នុងរយៈពេល $2$ នាទី តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មាននាទីទើបទឹកពេញអាង?

មើលដំណោះស្រាយ

គណនារយៈពេលបញ្ចូលទឹក ៖ ល្បឿនបញ្ចូលទឹកគឺ $\frac{150\,\text{L}}{2\,\text{mn}} = 75\,\text{L/mn}$។ រយៈពេលបំពេញទឹកពេញអាង ៖

\[t = \frac{9000}{75} = 120\,\text{នាទី} = 2\,\text{ម៉ោង}\]

៤លំហាត់ទី ៤

រថយន្តមួយធ្វើដំណើរដោយល្បឿនថេរ បើកបរបានចម្ងាយ $210\,\text{km}$ ក្នុងរយៈពេល $3$ ម៉ោង។

គណនាចម្ងាយផ្លូវដែលរថយន្តបើកបរបានក្នុងរយៈពេល $5$ ម៉ោង។
តើរថយន្តត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានម៉ោង ដើម្បីធ្វើដំណើរបានចម្ងាយ $490\,\text{km}$?

មើលដំណោះស្រាយ

ចម្ងាយនិងពេលវេលារថយន្ត ៖ ល្បឿនរថយន្ត $v = \frac{210}{3} = 70\,\text{km/h}$។

a. ក្នុងរយៈពេល $5\,\text{h}$ ៖ $d = 70 \times 5 = 350\,\text{km}$
b. រយៈពេលធ្វើដំណើរ $490\,\text{km}$ ៖ $t = \frac{490}{70} = 7\,$ ម៉ោង

៥លំហាត់ទី ៥

កង់ម៉ាស៊ីនមួយវិលបាន $2400$ ជុំក្នុងរយៈពេល $8$ វិនាទី។ តើក្នុងរយៈពេល $1$ នាទី កង់នោះវិលបានប៉ុន្មានជុំ?

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាចំនួនជុំនៃកង់ម៉ាស៊ីន ៖ ក្នុងរយៈពេល $1\,\text{s}$ វិលបាន $\frac{2400}{8} = 300\,$ ជុំ ។ ក្នុងរយៈពេល $1\,\text{mn} = 60\,\text{s}$ វិលបាន ៖

\[N = 300 \times 60 = 18\,000\,\text{ជុំ}\]

៦លំហាត់ទី ៦

បើជាងសំណង់ $6$ នាក់សង់ជញ្ជាំងមួយរួចរាល់ក្នុងរយៈពេល $12$ ថ្ងៃ។ បើគេបង្កើនជាងដល់ $9$ នាក់ តើការងារនោះត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានថ្ងៃទើបរួចរាល់ (សមាមាត្រច្រាស)?

មើលដំណោះស្រាយ

សមាមាត្រច្រាស ៖ កម្លាំងពលកម្ម $6$ នាក់ធ្វើការ $12$ ថ្ងៃ $\implies$ បរិមាណការងារ $6 \times 12 = 72$ នាក់-ថ្ងៃ។ បើមានជាង $9$ នាក់ រយៈពេលចំណាយគឺ ៖

\[t = \frac{72}{9} = 8\,\text{ថ្ងៃ}\]

៧លំហាត់ទី ៧

ចែកប្រាក់ចំនួន $450\,\$$ ទៅឱ្យមនុស្សពីរនាក់តាមផលធៀប $4 : 5$។ រកប្រាក់ដែលម្នាក់ៗទទួលបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកប្រាក់តាមផលធៀប $4 : 5$ ៖ ផលបូកភាគ $4 + 5 = 9$ ភាគ។ តម្លៃមួយភាគ $\frac{450}{9} = 50\,\$$។

អ្នកទីមួយ ៖ $4 \times 50 = 200\,\$$
អ្នកទីពីរ ៖ $5 \times 50 = 250\,\$$

៨លំហាត់ទី ៨

ចែកប្រាក់ចំនួន $1200\,\$$ ទៅឱ្យកូនបីនាក់តាមផលធៀប $2 : 3 : 5$។ រកប្រាក់ដែលកូនម្នាក់ៗទទួលបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកប្រាក់តាមផលធៀប $2 : 3 : 5$ ៖ ផលបូកភាគ $2 + 3 + 5 = 10$ ភាគ។ តម្លៃមួយភាគ $\frac{1200}{10} = 120\,\$$។

កូនទីមួយ ៖ $2 \times 120 = 240\,\$$
កូនទីពីរ ៖ $3 \times 120 = 360\,\$$
កូនទីបី ៖ $5 \times 120 = 600\,\$$

៩លំហាត់ទី ៩

ត្រីកោណមួយមានមុំទាំងបីសមាមាត្រនឹងចំនួន $2, 3, 4$។ គណនារង្វាស់មុំនីមួយៗនៃត្រីកោណនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វាស់មុំត្រីកោណ ៖ ផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណគឺ $180^\circ$។ ផលបូកភាគ $2 + 3 + 4 = 9$ ភាគ។ តម្លៃមួយភាគ $\frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$។

មុំទីមួយ ៖ $2 \times 20^\circ = 40^\circ$
មុំទីពីរ ៖ $3 \times 20^\circ = 60^\circ$
មុំទីបី ៖ $4 \times 20^\circ = 80^\circ$

១០លំហាត់ទី ១០

ចតុកោណកែងមួយមានបរិមាត្រ $64\,\text{cm}$ ហើយផលធៀបរវាងបណ្ដោយ និងទទឹងគឺ $5 : 3$។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចតុកោណកែង ៖ កន្លះបរិមាត្រ $L + W = 32\,\text{cm}$។ ផលបូកភាគ $5 + 3 = 8$ ភាគ។ មួយភាគ $\frac{32}{8} = 4\,\text{cm}$។

បណ្ដោយ $L = 5 \times 4 = 20\,\text{cm}$
ទទឹង $W = 3 \times 4 = 12\,\text{cm}$
ផ្ទៃក្រឡា $S = L \times W = 20 \times 12 = 240\,\text{cm}^2$

១១លំហាត់ទី ១១

គណនាតម្លៃនៃ $n$ ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម ៖

$25\%$ នៃ $n$ ស្មើនឹង $60$
$n\%$ នៃ $180$ ស្មើនឹង $45$
$35\%$ នៃ $240$ ស្មើនឹង $n$
$12.5\%$ នៃ $n$ ស្មើនឹង $25$

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ $n$ ៖

a. $0.25n = 60 \implies n = 240$
b. $\frac{n}{100} \times 180 = 45 \implies 1.8n = 45 \implies n = 25$
c. $n = 0.35 \times 240 = 84$
d. $0.125n = 25 \implies n = 200$

១២លំហាត់ទី ១២

តេស្តគណិតវិទ្យាមួយមាន $40$ សំណួរ។ វិបុលឆ្លើយត្រូវចំនួន $34$ សំណួរ។ គណនាភាគរយនៃសំណួរដែលវិបុលឆ្លើយត្រូវ និងភាគរយដែលឆ្លើយខុស។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាគរយនៃសំណួរ ៖

ភាគរយឆ្លើយត្រូវ ៖ $\frac{34}{40} \times 100\% = 85\%$
ភាគរយឆ្លើយខុស ៖ $100\% - 85\% = 15\%$

១៣លំហាត់ទី ១៣

ក្នុងចំណោមសិស្ស $500$ នាក់នៃសាលារៀនមួយ មានសិស្សស្រី $260$ នាក់។

រកភាគរយនៃសិស្សស្រីក្នុងសាលា។
រកភាគរយនៃសិស្សប្រុសក្នុងសាលា។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាគរយសិស្ស ៖

a. សិស្សស្រី ៖ $\frac{260}{500} \times 100\% = 52\%$
b. សិស្សប្រុស ៖ $100\% - 52\% = 48\%$

១៤លំហាត់ទី ១៤

ទឹកអំបិលមួយកែវមានទម្ងន់ $400\,\text{g}$ ដែលមានផ្ទុកអំបិលសុទ្ធ $24\,\text{g}$។ គណនាកំហាប់ភាគរយនៃអំបិលក្នុងទឹកនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

កំហាប់ភាគរយអំបិល ៖

\[C = \frac{24}{400} \times 100\% = 6\%\]

១៥លំហាត់ទី ១៥

លោហៈផ្សំមួយដុំទម្ងន់ $850\,\text{g}$ មានផ្ទុកទង់ដែង $68\%$។ គណនាទម្ងន់ទង់ដែងសុទ្ធដែលមានក្នុងដុំលោហៈនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ទម្ងន់ទង់ដែងសុទ្ធ ៖

\[m = 850 \times 68\% = 850 \times 0.68 = 578\,\text{g}\]

១៦លំហាត់ទី ១៦

បណ្ណាល័យមួយមានសៀវភៅសរុប $3500$ ក្បាល។ ក្នុងនោះសៀវភៅវិទ្យាសាស្ត្រមាន $32\%$ សៀវភៅអក្សរសាស្ត្រមាន $45\%$ និងសៀវភៅដែលនៅសល់ជាសៀវភៅប្រវត្តិវិទ្យា។ រកចំនួនសៀវភៅប្រភេទនីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនសៀវភៅតាមប្រភេទ ៖

សៀវភៅវិទ្យាសាស្ត្រ ៖ $3500 \times 32\% = 1120$ ក្បាល
សៀវភៅអក្សរសាស្ត្រ ៖ $3500 \times 45\% = 1575$ ក្បាល
សៀវភៅប្រវត្តិវិទ្យា ៖ $3500 - (1120 + 1575) = 805$ ក្បាល (ឬ $23\%$)

១៧លំហាត់ទី ១៧

ក្នុងដំណើរការបោះឆ្នោតមួយ មានអ្នកចុះឈ្មោះបោះឆ្នោត $12\,000$ នាក់។ នៅថ្ងៃបោះឆ្នោត មានអ្នកមកបោះឆ្នោត $92\%$។ គណនាចំនួនអ្នកដែលមិនបានមកបោះឆ្នោត។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនអ្នកមិនបានមកបោះឆ្នោត ៖ ភាគរយអ្នកមិនមកគឺ $100\% - 92\% = 8\%$។

\[N = 12\,000 \times 8\% = 960\,\text{នាក់}\]

១៨លំហាត់ទី ១៨

ក្រុមហ៊ុនមួយមានបុគ្គលិក $250$ នាក់។ ក្រុមហ៊ុនបានសម្រេចចិត្តកាត់បន្ថយបុគ្គលិក $8\%$។ រកចំនួនបុគ្គលិកដែលនៅសល់។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនបុគ្គលិកនៅសល់ ៖ ភាគរយនៅសល់គឺ $100\% - 8\% = 92\%$។

\[N = 250 \times 92\% = 250 \times 0.92 = 230\,\text{នាក់}\]

១៩លំហាត់ទី ១៩

កសិករម្នាក់ប្រមូលផលស្រូវបាន $15$ តោន។ គាត់លក់ចេញ $60\%$ ទុកសម្រាប់បរិភោគ $25\%$ និងនៅសល់ទុកធ្វើពូជ។ គណនាទម្ងន់ស្រូវទុកធ្វើពូជជាគីឡូក្រាម។

មើលដំណោះស្រាយ

ទម្ងន់ស្រូវទុកធ្វើពូជ ៖ ភាគរយទុកធ្វើពូជគឺ $100\% - (60\% + 25\%) = 15\%$។

\[m = 15\,\text{តោន} \times 15\% = 2.25\,\text{តោន} = 2250\,\text{kg}\]

២០លំហាត់ទី ២០

សិស្សម្នាក់ចំណាយពេល $24$ ម៉ោងក្នុងមួយថ្ងៃ ៖ ដេក $33\frac{1}{3}\%$, រៀននៅសាលា $25\%$, ស្វ័យសិក្សា $16\frac{2}{3}\%$ និងពេលនៅសល់សម្រាប់កីឡានិងសម្រាក។ គណនាចំនួនម៉ោងនៃសកម្មភាពនីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

ម៉ោងនៃសកម្មភាព ៖

ដេក ៖ $24 \times \frac{1}{3} = 8$ ម៉ោង
រៀននៅសាលា ៖ $24 \times 25\% = 6$ ម៉ោង
ស្វ័យសិក្សា ៖ $24 \times \frac{1}{6} = 4$ ម៉ោង
កីឡានិងសម្រាក ៖ $24 - (8 + 6 + 4) = 6$ ម៉ោង

២១លំហាត់ទី ២១

គណនាភាគរយកំណើន ឬតំហយក្នុងករណីខាងក្រោម ៖

តម្លៃកើនពី $50\,\$$ ដល់ $65\,\$$
តម្លៃកើនពី $120\,\$$ ដល់ $150\,\$$
តម្លៃថយពី $80\,\$$ មកត្រឹម $60\,\$$
តម្លៃថយពី $200\,\$$ មកត្រឹម $170\,\$$

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាភាគរយកំណើន ឬតំហយ ៖

a. កំណើន ៖ $\frac{65-50}{50} \times 100\% = 30\%$
b. កំណើន ៖ $\frac{150-120}{120} \times 100\% = 25\%$
c. តំហយ ៖ $\frac{80-60}{80} \times 100\% = 25\%$
d. តំហយ ៖ $\frac{200-170}{200} \times 100\% = 15\%$

២២លំហាត់ទី ២២

ទំនិញមួយមានតម្លៃដើម $180\,\$$។ ហាងបានបិទស្លាកលក់បញ្ចុះតម្លៃ $15\%$។

គណនាប្រាក់ដែលបានបញ្ចុះតម្លៃ។
គណនាតម្លៃលក់ជាក់ស្ដែងនៃទំនិញនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបញ្ចុះតម្លៃ ៖

a. ប្រាក់បញ្ចុះ ៖ $180 \times 15\% = 27\,\$$
b. តម្លៃលក់ ៖ $180 - 27 = 153\,\$$

២៣លំហាត់ទី ២៣

អាវមួយត្រូវបានលក់ក្នុងតម្លៃ $34\,\$$ ក្រោយពេលបញ្ចុះតម្លៃ $15\%$។ គណនាតម្លៃដើមនៃអាវនោះមុនពេលបញ្ចុះតម្លៃ។

មើលដំណោះស្រាយ

តម្លៃដើមមុនបញ្ចុះតម្លៃ ៖ តាង $P$ ជាតម្លៃដើម ៖ $P(1 - 0.15) = 34 \implies 0.85P = 34 \implies P = \frac{34}{0.85} = 40\,\$$។

២៤លំហាត់ទី ២៤

អ្នកលក់ម្នាក់ទិញទូរទស្សន៍មួយគ្រឿងថ្លៃ $350\,\$$ រួចលក់បន្តដោយយកចំណេញ $20\%$។ គណនាតម្លៃលក់នៃទូរទស្សន៍នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តម្លៃលក់យកចំណេញ $20\%$ ៖

\[P_{\text{sell}} = 350 \times (1 + 0.20) = 350 \times 1.2 = 420\text{ ដុល្លារ}\]

២៥លំហាត់ទី ២៥

ម៉ូតូមួយគ្រឿងលក់ក្នុងតម្លៃ $1320\,\$$ ដោយទទួលបានប្រាក់ចំណេញ $10\%$ លើតម្លៃដើម។ រកតម្លៃដើមនៃម៉ូតូនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តម្លៃដើមម៉ូតូ ៖

\[P_{\text{cost}} = \frac{1320}{1 + 0.10} = \frac{1320}{1.1} = 1200\text{ ដុល្លារ}\]

២៦លំហាត់ទី ២៦

ទូរស័ព្ទមួយគ្រឿងលក់ខាត $12\%$ ក្នុងតម្លៃ $264\,\$$។ គណនាតម្លៃដើមនៃទូរស័ព្ទនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តម្លៃដើមទូរស័ព្ទលក់ខាត $12\%$ ៖

\[P_{\text{cost}} = \frac{264}{1 - 0.12} = \frac{264}{0.88} = 300\text{ ដុល្លារ}\]

២៧លំហាត់ទី ២៧

ប្រាក់ខែបុគ្គលិកម្នាក់កាលពីឆ្នាំមុនគឺ $320\,\$$ ក្នុងមួយខែ។ ឆ្នាំនេះគាត់ទទួលបានការដំឡើងប្រាក់ខែ $12.5\%$។ គណនាប្រាក់ខែថ្មីរបស់គាត់។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ខែថ្មីក្រោយដំឡើង $12.5\%$ ៖

\[P_{\text{new}} = 320 \times (1 + 0.125) = 320 \times 1.125 = 360\text{ ដុល្លារ}\]

២៨លំហាត់ទី ២៨

សាលារៀនមួយកាលពីឆ្នាំមុនមានសិស្ស $960$ នាក់។ ឆ្នាំនេះចំនួនសិស្សកើនឡើងដល់ $1080$ នាក់។ គណនាភាគរយនៃកំណើនសិស្ស។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាគរយកំណើនសិស្ស ៖

\[\text{កំណើន} = \frac{1080 - 960}{960} \times 100\% = \frac{120}{960} \times 100\% = 12.5\%\]

២៩លំហាត់ទី ២៩

ប្រេងសាំងចុះថ្លៃពី $4600$ រៀល ក្នុងមួយលីត្រ មកត្រឹម $4140$ រៀល ក្នុងមួយលីត្រ។ គណនាភាគរយនៃការចុះថ្លៃប្រេងសាំង។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាគរយចុះថ្លៃប្រេងសាំង ៖

\[\text{តំហយ} = \frac{4600 - 4140}{4600} \times 100\% = \frac{460}{4600} \times 100\% = 10\%\]

៣០លំហាត់ទី ៣០

ហាងមួយបានបញ្ចុះតម្លៃទំនិញពីរដងបន្តបន្ទាប់គ្នា ៖ លើកទីមួយបញ្ចុះ $10\%$ ហើយលើកទីពីរលើតម្លៃថ្មីបញ្ចុះថែម $20\%$ ទៀត។ បើតម្លៃដើមគឺ $100\,\$$ តើតម្លៃចុងក្រោយស្មើនឹងប៉ុន្មាន? តើស្មើនឹងការបញ្ចុះតម្លៃតែម្តងប៉ុន្មានភាគរយ?

មើលដំណោះស្រាយ

បញ្ចុះតម្លៃពីរដងបន្តបន្ទាប់ ៖ លើកទី ១ ៖ $100 \times (1 - 0.10) = 90\,\$$។ លើកទី ២ ៖ $90 \times (1 - 0.20) = 72\,\$$។ ស្មើនឹងការបញ្ចុះតម្លៃតែម្តងគឺ $100 - 72 = 28\%$ (មិនមែន $30\%$ ទេ)។

៣១លំហាត់ទី ៣១

ពូសុខផ្ញើប្រាក់ $2000\,\$$ នៅធនាគារមួយដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ទោល $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។

គណនាការប្រាក់ដែលគាត់ទទួលបានក្រោយរយៈពេល $3$ ឆ្នាំ។
គណនាប្រាក់សរុប (ប្រាក់ដើម + ការប្រាក់) ក្រោយរយៈពេល $3$ ឆ្នាំ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការប្រាក់ទោល ៖

a. ការប្រាក់ $I = 2000 \times 0.06 \times 3 = 360\,\$$
b. ប្រាក់សរុប $A = 2000 + 360 = 2360\,\$$

៣២លំហាត់ទី ៣២

អ្នកស្រីចិន្តាបានខ្ចីប្រាក់ពីធនាគារចំនួន $5000\,\$$ ក្នុងអត្រាការប្រាក់ទោល $8\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ក្រោយរយៈពេល $2$ ឆ្នាំកន្លះ តើគាត់ត្រូវសងប្រាក់សរុបទៅធនាគារវិញចំនួនប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

សងប្រាក់កម្ចី ៖ ការប្រាក់ $I = 5000 \times 0.08 \times 2.5 = 1000\,\$$។ ប្រាក់សរុបត្រូវសង $A = 5000 + 1000 = 6000\,\$$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

មីងម៉ៅបានផ្ញើប្រាក់ $1500\,\$$ ក្នុងគណនីសន្សំមួយ។ ក្រោយរយៈពេល $4$ ឆ្នាំ គាត់ទទួលបានការប្រាក់សរុប $360\,\$$។ រកអត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំនៃគណនីនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអត្រាការប្រាក់ ៖ $I = P_0 \times r \times t \implies 360 = 1500 \times r \times 4 \implies 6000r = 360 \implies r = \frac{360}{6000} = 0.06 = 6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

តើត្រូវផ្ញើប្រាក់ដើមចំនួនប៉ុន្មាន ដើម្បីទទួលបានការប្រាក់ $450\,\$$ ក្នុងរយៈពេល $3$ ឆ្នាំ តាមអត្រាការប្រាក់ទោល $5\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ?

មើលដំណោះស្រាយ

រកប្រាក់ដើម ៖ $I = P_0 \times r \times t \implies 450 = P_0 \times 0.05 \times 3 \implies 0.15P_0 = 450 \implies P_0 = \frac{450}{0.15} = 3000\,\$$។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

លោកវិចិត្រដាក់ប្រាក់ $3000\,\$$ នៅធនាគារតាមអត្រាការប្រាក់សមាស $5\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។ គណនាប្រាក់សរុបដែលគាត់ទទួលបាននៅដំណាច់ឆ្នាំទី ៣ ($P_3 = P_0(1+r)^3$)។

មើលដំណោះស្រាយ

ការប្រាក់សមាស ៖

\[\begin{aligned} P_3 &= 3000 \times (1 + 0.05)^3 = 3000 \times (1.05)^3 \\ &= 3000 \times 1.157625 = 3472.875\text{ ដុល្លារ} \end{aligned}\]

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ពូហេងបានផ្ញើប្រាក់ $10\,000\,\$$ នៅធនាគារមួយក្នុងអត្រាការប្រាក់សមាស $8\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។

គណនាប្រាក់សរុបនៅដំណាច់ឆ្នាំទី ១ និងឆ្នាំទី ២។
គណនាផលដកនៃការប្រាក់សមាស និងការប្រាក់ទោលក្រោយរយៈពេល $2$ ឆ្នាំ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការប្រាក់សមាសធៀបនឹងការប្រាក់ទោល ៖

a. ឆ្នាំទី ១ ៖ $P_1 = 10\,000(1.08) = 10\,800\,\$$
ឆ្នាំទី ២ ៖ $P_2 = 10\,800(1.08) = 11\,664\,\$$
b. ការប្រាក់សមាស $2$ ឆ្នាំគឺ $1664\,\$$។ ការប្រាក់ទោលគឺ $10\,000 \times 0.08 \times 2 = 1600\,\$$។ ផលដកគឺ $1664 - 1600 = 64\,\$$។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

យុវជនម្នាក់អាយុ ២០ ឆ្នាំ បានផ្ញើប្រាក់ $1000\,\$$ នៅធនាគារក្នុងអត្រាការប្រាក់សមាស $10\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។ តើគាត់នឹងទទួលបានប្រាក់សរុបប៉ុន្មាននៅពេលគាត់មានអាយុ ២៣ ឆ្នាំ?

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់សរុបអាយុ ២៣ ឆ្នាំ ($3$ ឆ្នាំក្រោយ) ៖

\[P_3 = 1000 \times (1 + 0.10)^3 = 1000 \times 1.331 = 1331\text{ ដុល្លារ}\]

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

កសិករម្នាក់ខ្ចីប្រាក់ $4000\,\$$ ពីគ្រឹះស្ថានមីក្រូហិរញ្ញវត្ថុក្នុងអត្រាការប្រាក់សមាស $12\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។ រកចំនួនប្រាក់ដែលត្រូវសងសរុបនៅដំណាច់ឆ្នាំទី ២។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់សងសរុប ៖

\[\begin{aligned} P_2 &= 4000 \times (1 + 0.12)^2 \\ &= 4000 \times 1.2544 = 5017.6\text{ ដុល្លារ} \end{aligned}\]

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

តើប្រាក់ដើម $P_0$ ត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានឆ្នាំ ដើម្បីកើនឡើងទ្វេដង ($2P_0$) តាមអត្រាការប្រាក់ទោល $10\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ?

មើលដំណោះស្រាយ

ពេលកើនឡើងទ្វេដង (ការប្រាក់ទោល $10\%$) ៖ $I = P_0 \implies P_0 \times 0.10 \times t = P_0 \implies 0.10t = 1 \implies t = 10\,$ ឆ្នាំ ។

៤០លំហាត់ទី ៤០

តើប្រាក់ដើម $P_0$ ត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានឆ្នាំ ដើម្បីកើនឡើងទ្វេដងតាមអត្រាការប្រាក់ទោល $8\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ?

មើលដំណោះស្រាយ

ពេលកើនឡើងទ្វេដង (ការប្រាក់ទោល $8\%$) ៖ $P_0 \times 0.08 \times t = P_0 \implies 0.08t = 1 \implies t = \frac{1}{0.08} = 12.5\,$ ឆ្នាំ (១២ ឆ្នាំ ៦ ខែ)។

៤១លំហាត់ទី ៤១

គេមានសូលុយស្យុងអាស៊ីតពីរកែវ ៖ កែវទីមួយមានកំហាប់ $20\%$ និងកែវទីពីរមានកំហាប់ $50\%$។ តើត្រូវយកសូលុយស្យុងពីកែវនីមួយៗប៉ុន្មានលីត្រ ដើម្បីលាយបញ្ចូលគ្នាឱ្យបានសូលុយស្យុងថ្មីចំណុះ $60\,\text{L}$ ដែលមានកំហាប់ $30\%$?

មើលដំណោះស្រាយ

ល្បាយសូលុយស្យុងអាស៊ីត ៖ តាង $x$ ជាចំណុះកែវទីមួយ និង $y = 60 - x$ ជាចំណុះកែវទីពីរ ៖

\[\begin{aligned} 0.20x + 0.50(60 - x) &= 0.30 \times 60 \\ 0.20x + 30 - 0.50x &= 18 \implies -0.30x = -12 \end{aligned}\]

\[x = 40\,\text{L} \quad{} ; \quad{} y = 20\,\text{L}\]

៤២លំហាត់ទី ៤២

ទឹកអំបិល $300\,\text{g}$ មានកំហាប់អំបិល $6\%$។ តើគេត្រូវបន្ថែមទឹកសុទ្ធប៉ុន្មានក្រាមទៀត ដើម្បីឱ្យកំហាប់អំបិលធ្លាក់ចុះមកត្រឹម $4\%$?

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ថែមទឹកសុទ្ធ ៖ បរិមាណអំបិលថេរ $300 \times 0.06 = 18\,\text{g}$។ ទម្ងន់ទឹកអំបិលថ្មី $M = \frac{18}{0.04} = 450\,\text{g}$។ ទឹកសុទ្ធត្រូវបន្ថែម $450 - 300 = 150\,\text{g}$។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ទឹកផ្លែឈើ $500\,\text{mL}$ មានជាតិស្ករ $12\%$។ តើគេត្រូវរម្ងួតទឹកឱ្យហួតអស់ប៉ុន្មាន $\text{mL}$ ទើបកំហាប់ស្ករកើនឡើងដល់ $15\%$?

មើលដំណោះស្រាយ

រម្ងួតទឹក ៖ បរិមាណស្ករថេរ $500 \times 0.12 = 60\,\text{g}$។ ចំណុះទឹកថ្មី $V = \frac{60}{0.15} = 400\,\text{mL}$។ ទឹកត្រូវរម្ងួតឱ្យហួត $500 - 400 = 100\,\text{mL}$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

មនុស្សបីនាក់ $A, B, C$ ចូលទុនរកស៊ីជាមួយគ្នា ៖ $A$ ចូលទុន $3000\,\$$ រយៈពេល $12$ ខែ, $B$ ចូលទុន $4000\,\$$ រយៈពេល $9$ ខែ និង $C$ ចូលទុន $5000\,\$$ រយៈពេល $6$ ខែ។ នៅដំណាច់ឆ្នាំ ក្រុមហ៊ុនទទួលបានប្រាក់ចំណេញ $5100\,\$$។ រកប្រាក់ចំណេញដែលម្នាក់ៗទទួលបានស្របតាមសមាមាត្រនៃទុននិងពេលវេលា។

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកប្រាក់ចំណេញតាមទុននិងពេលវេលា ៖

$A$ ៖ $3000 \times 12 = 36\,000$ ភាគ
$B$ ៖ $4000 \times 9 = 36\,000$ ភាគ
$C$ ៖ $5000 \times 6 = 30\,000$ ភាគ

ផលធៀប $36 : 36 : 30 = 6 : 6 : 5$ (សរុប $17$ ភាគ)។ មួយភាគ $\frac{5100}{17} = 300\,\$$។

$A$ ទទួលបាន ៖ $6 \times 300 = 1800\,\$$
$B$ ទទួលបាន ៖ $6 \times 300 = 1800\,\$$
$C$ ទទួលបាន ៖ $5 \times 300 = 1500\,\$$

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

បើ $x, y, z$ ផ្ទៀងផ្ទាត់សមាមាត្រ $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$ និង $2x^2 + 3y^2 - z^2 = 76$។ រកតម្លៃនៃ $x, y, z$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $x, y, z$ ៖ តាង $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k \implies x = 2k, y = 3k, z = 4k$។ ជំនួស ៖ $2(4k^2) + 3(9k^2) - 16k^2 = 76 \implies 19k^2 = 76 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$។

បើ $k = 2$ ៖ $(x, y, z) = (4, 6, 8)$
បើ $k = -2$ ៖ $(x, y, z) = (-4, -6, -8)$

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

បង្ហាញថា ប្រសិនបើ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ នោះគេបាន ៖

\[\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{ac}{bd}\]

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញសមភាព ៖ តាង $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \implies a = bk, c = dk$។ អង្គខាងឆ្វេង ៖ $\frac{b^2k^2 + d^2k^2}{b^2 + d^2} = \frac{k^2(b^2 + d^2)}{b^2 + d^2} = k^2$។ អង្គខាងស្តាំ ៖ $\frac{ac}{bd} = \frac{(bk)(dk)}{bd} = k^2$។ អង្គទាំងពីរស្មើគ្នា។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

បង្ហាញថា ប្រសិនបើ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ នោះគេបាន ៖

\[\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \quad{} (a \ne b, c \ne d)\]

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញសមភាព ៖ តាង $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \implies a = bk, c = dk$។ $\frac{a+b}{a-b} = \frac{bk+b}{bk-b} = \frac{k+1}{k-1}$ $\frac{c+d}{c-d} = \frac{dk+d}{dk-d} = \frac{k+1}{k-1}$។ ដូចនេះ $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

កសិករម្នាក់មានចំណីសត្វល្មមសម្រាប់ចិញ្ចឹមគោ $20$ ក្បាលក្នុងរយៈពេល $30$ ថ្ងៃ។ ក្រោយចិញ្ចឹមបាន $10$ ថ្ងៃ គាត់បានទិញគោបន្ថែមចំនួន $5$ ក្បាលទៀត។ តើចំណីដែលនៅសល់អាចចិញ្ចឹមគោទាំងអស់បានប៉ុន្មានថ្ងៃទៀត?

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណីសត្វដែលនៅសល់ ៖ ក្រោយ $10$ ថ្ងៃ ចំណីដែលនៅសល់ល្មមសម្រាប់គោ $20$ ក្បាលស៊ីបាន $20$ ថ្ងៃទៀត ($20 \times 20 = 400$ គោ-ថ្ងៃ)។ ពេលមានគោ $25$ ក្បាល ចំនួនថ្ងៃស៊ីបានគឺ ៖

\[t = \frac{400}{25} = 16\,\text{ថ្ងៃ}\]

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ជាងកាត់ដេរ $5$ នាក់ កាត់អាវបាន $60$ ក្នុងរយៈពេល $4$ ថ្ងៃ។ តើជាងកាត់ដេរ $8$ នាក់ អាចកាត់អាវបានប៉ុន្មានក្នុងរយៈពេល $6$ ថ្ងៃ (សមាមាត្រចម្រុះ)?

មើលដំណោះស្រាយ

សមាមាត្រចម្រុះ ៖ កម្លាំង $1$ នាក់ក្នុង $1$ ថ្ងៃកាត់បាន $\frac{60}{5 \times 4} = 3$ អាវ។ ជាង $8$ នាក់ក្នុងរយៈពេល $6$ ថ្ងៃ កាត់បាន ៖

\[N = 8 \times 6 \times 3 = 144\,\text{អាវ}\]

៥០លំហាត់ទី ៥០

ក្រុមហ៊ុនមួយលក់ដីមួយកន្លែងបានប្រាក់កម្រៃជើងសារ $3\%$ ដែលស្មើនឹង $2700\,\$$។ ក្រោយមក ក្រុមហ៊ុនយកប្រាក់កម្រៃនេះទៅទិញភាគហ៊ុន ហើយទទួលបានចំណេញ $15\%$ បន្ថែមទៀត។ គណនាតម្លៃលក់នៃដី និងប្រាក់សរុបចុងក្រោយដែលក្រុមហ៊ុនទទួលបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ដីនិងប្រាក់កម្រៃ ៖

តម្លៃដី ៖ $\frac{2700}{0.03} = 90\,000\,\$$
ប្រាក់កម្រៃចំណេញបន្ថែម $15\%$ ៖ $2700 \times (1 + 0.15) = 3105\,\$$

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២ សមាមាត្រ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត