KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ៩
  3. មេរៀនទី ១
១
មេរៀនទី ១ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

ចំនួនអសនិទាន

ពីជគណិត៥ ផ្នែកលំហាត់ ៥០សំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០
ប្រវត្តិនៃចំនួនអសនិទាន និងវិបត្តិគណិតវិទ្យាលើកទីមួយ

ចំនួនអសនិទាន (Irrational Numbers) គឺជាការរកឃើញដ៏រំជើបរំជួល និងមានឥទ្ធិពលបំផុតក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រគណិតវិទ្យាបុរាណ ៖

  • សាលាពីតាគ័រ និងវិបត្តិលើកទីមួយ (Pythagorean Crisis, សតវត្សទី ៥ មុន គ.ស.) ៖ ទស្សនវិទូពីតាគ័រ (Pythagoras) ធ្លាប់ជឿជាក់យ៉ាងមុតមាំថា «គ្រប់យ៉ាងទាំងអស់ក្នុងចក្រវាលសុទ្ធតែជាចំនួនសនិទាន» (អាចសរសេរជាផលធៀបពីរចំនួនគត់ \(\frac{a}{b}\))។ ប៉ុន្តែ នៅពេលគណិតវិទូ Hippasus of Metapontum បានអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រលើការេដែលមានជ្រុងប្រវែង \(1\) ឯកតា គាត់បានរកឃើញថា អង្កត់ទ្រូងមានប្រវែង \(\sqrt{2}\) ដែលមិនអាចសរសេរជាប្រភាគនៃពីរចំនួនគត់បានឡើយ! ការរកឃើញនេះបានបង្កជា «វិបត្តិគណិតវិទ្យាលើកទីមួយ» ព្រោះវាបានរុះរើជំនឿគ្រឹះរបស់សាលាពីតាគ័រទាំងស្រុង។

  • កង់ខ្យងរបស់ធីអូដូរូស (Spiral of Theodorus, ៤៦៥-៣៩៨ មុន គ.ស.) ៖ គណិតវិទូ Theodorus of Cyrene បានពង្រីកការស្រាវជ្រាវដោយសាងសង់ត្រីកោណកែងបន្តបន្ទាប់គ្នា និងបង្ហាញថា \(\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \dots, \sqrt{17}\) សុទ្ធតែជាប្រវែងដែលមិនអាចបម្លែងជាប្រភាគសនិទានបាន។

  • ការកកើតនិមិត្តសញ្ញារ៉ាឌីកាល់ \(\sqrt{}\) ៖ និមិត្តសញ្ញាឫស \(\sqrt{}\) ដែលយើងប្រើប្រាស់សព្វថ្ងៃ ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ Christoff Rudolff ក្នុងឆ្នាំ ១៥២៥ ក្នុងសៀវភៅ Die Coss ដោយយកលំនាំតាមអក្សរ «\(r\)» តូចនៃពាក្យឡាតាំង "radix" ដែលមានន័យថា «ឫស» (Root)។ បន្ទាប់មក René Descartes បានបន្ថែមរបារផ្ដេកពីលើក្នុងឆ្នាំ ១៦៣៧។

  • ក្នុងស្ថាបត្យកម្មខ្មែរបុរាណ ៖ ក្នុងការកសាងប្រាសាទអង្គរវត្ត បុព្វបុរសខ្មែរបានប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធខ្នាត «ហត្ថ» និងផលធៀបធរណីមាត្រនៃអង្កត់ទ្រូងការេ \(\sqrt{2}\) និង \(\sqrt{3}\) យ៉ាងប៉ិនប្រសប់ក្នុងការរៀបខឿនប្រាសាទ កំពែង និងថែវ ឱ្យមានសមាមាត្រមាស និងលំនឹងរឹងមាំរាប់ពាន់ឆ្នាំ។

ឫសការេ និងឫសគូបនៃមួយចំនួន

ឫសការេនៃមួយចំនួនពិត

ឫសការេ

បើ \(a\) ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ឬសូន្យ (\(a \ge 0\)) ឫសការេ នៃចំនួន \(a\) គឺជាចំនួន \(x\) ដែល \(x^2 = a\)។

  • ចំនួនវិជ្ជមាន \(a > 0\) មានឫសការេពីរជាចំនួនផ្ទុយគ្នា គឺ \(\sqrt{a}\) (ឫសការេវិជ្ជមាន) និង \(-\sqrt{a}\) (ឫសការេអវិជ្ជមាន)។

  • ចំនួន \(0\) មានឫសការែតែមួយគត់គឺ \(\sqrt{0} = 0\)។

  • ចំនួនអវិជ្ជមាន (\(a < 0\)) គ្មានឫសការេក្នុងសំណុំចំនួនពិត \(\mathbb{R}\) ឡើយ ពីព្រោះការេនៃគ្រប់ចំនួនពិតតែងតែមិនអវិជ្ជមាន (\(x^2 \ge 0\))។

សម្គាល់កុំច្រឡំ!

  • សញ្ញា \(\sqrt{a}\) តាងឱ្យ ឫសការេវិជ្ជមាន នៃ \(a\) ជានិច្ច ដូចនេះ \(\sqrt{25} = 5\) (មិនមែន \(\pm 5\) ទេ)។

  • ប៉ុន្តែ សមីការ \(x^2 = 25\) មានចម្លើយពីរគឺ \(x = \sqrt{25} = 5\) ឬ \(x = -\sqrt{25} = -5\) (\(x = \pm 5\))។

  • ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(a\) គេបាន ៖ \(\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & \text{បើ } a \ge 0 \\ -a & \text{បើ } a < 0 \end{cases}\)

ឧទាហរណ៍

គណនាតម្លៃនៃឫសការេខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{81}\)

  2. \(\sqrt{0.0064}\)

  3. \(\sqrt{(-7)^2}\)

ដំណោះស្រាយ

  1. ដោយ \(9^2 = 81\) នោះ \(\sqrt{81} = 9\)។

  2. ដោយ \((0.08)^2 = 0.0064\) នោះ \(\sqrt{0.0064} = 0.08\)។

  3. តាមរូបមន្ត \(\sqrt{a^2} = |a|\) គេបាន \(\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7\)។

អនុវត្តន៍ឫសការេ

រកឫសការេនៃសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(x^2 = 144\)

  2. \(x^2 = \dfrac{25}{49}\)

ឫសគូបនៃមួយចំនួនពិត

ឫសគូប

ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(a \in \mathbb{R}\) ឫសគូប នៃចំនួន \(a\) កំណត់តាងដោយនិមិត្តសញ្ញា \(\sqrt[3]{a}\) គឺជាចំនួន \(x\) ដែល ៖

\[x^3 = a \iff x = \sqrt[3]{a}\]

  • ចំនួនវិជ្ជមានមានឫសគូបជាចំនួនវិជ្ជមាន ៖ ឧទាហរណ៍ \(\sqrt[3]{8} = 2\) ព្រោះ \(2^3 = 8\)។

  • ចំនួនអវិជ្ជមានមានឫសគូបជាចំនួនអវិជ្ជមាន ៖ ឧទាហរណ៍ \(\sqrt[3]{-27} = -3\) ព្រោះ \((-3)^3 = -27\)។

  • ចំនួន \(0\) មានឫសគូបគឺ \(\sqrt[3]{0} = 0\)។

លក្ខណៈគ្រឹះនៃឫសគូប

ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(a\) គេបាន ៖

\[\sqrt[3]{a^3} = (\sqrt[3]{a})^3 = a \quad{} ; \quad{} \sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\]

ចំនួនសនិទាន និងចំនួនអសនិទាន

ចំនួនអសនិទាន

ចំនួនអសនិទាន (Irrational Number) គឺជាចំនួនពិតដែលមិនអាចសរសេរជាទម្រង់ប្រភាគ \(\dfrac{a}{b}\) បានឡើយ ដែល \(a, b \in \mathbb{Z}\) និង \(b \ne 0\)។

  • ចំនួនអសនិទាន ត្រូវបានតំណាងដោយចំនួនទសភាគ មិនកំណត់ និងមិនខួប (Non-terminating, Non-repeating Decimals)។

  • ឧទាហរណ៍ ៖ \(\sqrt{2} = 1.41421356\dots\), \(\sqrt{3} = 1.7320508\dots\), \(\pi = 3.14159265\dots\), \(e = 2.7182818\dots\)

សំណុំចំនួនពិត \(\mathbb{R}\)

សំណុំចំនួនពិត \(\mathbb{R}\) កើតឡើងពីការផ្គុំគ្នារវាងសំណុំចំនួនសនិទាន \(\mathbb{Q}\) និងសំណុំចំនួនអសនិទាន \(\mathbb{Q}'\) ៖

\[\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' \quad{} \text{និង} \quad{} \mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' = \emptyset\]

ប្រមាណវិធីគុណ និងចែកលើរ៉ាឌីកាល់

វិធានផលគុណ និងផលចែករ៉ាឌីកាល់

  1. ចំពោះឫសការេ ៖ បើ \(a \ge 0\) និង \(b \ge 0\) គេបាន ៖

    \[\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\]
    ហើយបើ \(b > 0\) គេបាន ៖
    \[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\]

  2. ចំពោះឫសគូប ៖ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(a, b\) គេបាន ៖

    \[\sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab} \quad{} ; \quad{} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \quad{} (b \ne 0)\]

ឧទាហរណ៍

គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(A = \sqrt{2} \times \sqrt{18}\)

  2. \(B = \dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)

ដំណោះស្រាយ

  • \(A = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6\)

  • \(B = \sqrt{\dfrac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\)

ប្រតិបត្តិ

គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(M = \sqrt{3} \times \sqrt{27}\)

  2. \(N = \dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}\)

ការបញ្ចេញ និងបញ្ចូលកត្តាក្នុងរ៉ាឌីកាល់

ការបញ្ចេញកត្តាពីរ៉ាឌីកាល់

ចំពោះ \(a \ge 0\) និង \(b \ge 0\) គេបាន ៖

\[\sqrt{a^2 b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b} = a\sqrt{b}\]
ចំពោះឫសគូប គ្រប់ \(a, b \in \mathbb{R}\) គេបាន ៖
\[\sqrt[3]{a^3 b} = a\sqrt[3]{b}\]

ការបញ្ចូលកត្តាទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់

ចំពោះ \(a \ge 0\) និង \(b \ge 0\) គេបាន ៖

\[a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \times b}\]
ចំពោះ \(a \in \mathbb{R}\) គេបាន ៖
\[a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 \times b}\]

ឧទាហរណ៍

  1. បញ្ចេញកត្តាពីរ៉ាឌីកាល់ ៖ \(\sqrt{75}\) និង \(\sqrt[3]{54}\)

  2. បញ្ចូលកត្តាទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ ៖ \(3\sqrt{2}\) និង \(2\sqrt[3]{5}\)

ដំណោះស្រាយ

  • \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\) ; \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}\)

  • \(3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \times 2} = \sqrt{18}\) ; \(2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \times 5} = \sqrt[3]{40}\)

ប្រតិបត្តិ

  1. បញ្ចេញកត្តាពីរ៉ាឌីកាល់ ៖ \(\sqrt{98}\) និង \(\sqrt[3]{128}\)

  2. បញ្ចូលកត្តាទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ ៖ \(4\sqrt{3}\) និង \(3\sqrt[3]{2}\)

ការបូក ដក រ៉ាឌីកាល់ និងការបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង

ការបូក ដក រ៉ាឌីកាល់ដូចគ្នា

រ៉ាឌីកាល់ដូចគ្នា គឺជាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ដែលមានសន្ទស្សន៍ដូចគ្នា និងរ៉ាឌីកង់ដូចគ្នា។ ដើម្បីបូក ឬដករ៉ាឌីកាល់ដូចគ្នា គេបូក ឬដកមេគុណរបស់វា ហើយរក្សារ៉ាឌីកាល់នៅដដែល ៖

\[m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m + n)\sqrt{a} \quad{} ; \quad{} m\sqrt{a} - n\sqrt{a} = (m - n)\sqrt{a}\]

ការបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង

  1. ករណីភាគបែងជាឯកធា \(\sqrt{b}\) (\(b > 0\)) ៖ គេគុណភាគយក និងភាគបែងនឹង \(\sqrt{b}\) ៖

    \[\frac{A}{\sqrt{b}} = \frac{A \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac{A\sqrt{b}}{b}\]

  2. ករណីភាគបែងជាទ្វេធា \(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\) (ប្រើកន្សោមឆ្លាស់) ៖

    • កន្សោមឆ្លាស់នៃ \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) គឺ \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\)

    • តាមរូបមន្ត \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) គេបាន ៖

      \[\frac{A}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{A(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{A(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} \quad{} (a \ne b)\]

ឧទាហរណ៍

សម្រួល និងបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង ៖

  1. \(A = \sqrt{12} + 3\sqrt{27} - \sqrt{48}\)

  2. \(B = \dfrac{4}{\sqrt{5} - 1}\)

ដំណោះស្រាយ

  • \(A = \sqrt{4 \times 3} + 3\sqrt{9 \times 3} - \sqrt{16 \times 3} = 2\sqrt{3} + 3(3\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)

  • គុណនឹងកន្សោមឆ្លាស់ \(\sqrt{5} + 1\) ៖

    \[B = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5} + 1\]

ប្រតិបត្តិ

សម្រួល និងបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង ៖

  1. \(P = 2\sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{32}\)

  2. \(Q = \dfrac{6}{\sqrt{7} + 1}\)

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

រកឫសការេនៃសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(x^2 = 36\)

  2. \(x^2 = 121\)

  3. \(x^2 = \dfrac{49}{64}\)

  4. \(x^2 = 0.04\)

  5. \(x^2 = 0.0001\)

  6. \(x^2 = \dfrac{1}{10000}\)

មើលដំណោះស្រាយ

រកឫសការេនៃសមីការ ៖

  • a. \(x^2 = 36 \implies x = \pm \sqrt{36} = \pm 6\)

  • b. \(x^2 = 121 \implies x = \pm \sqrt{121} = \pm 11\)

  • c. \(x^2 = \frac{49}{64} \implies x = \pm \sqrt{\frac{49}{64}} = \pm \frac{7}{8}\)

  • d. \(x^2 = 0.04 \implies x = \pm \sqrt{0.04} = \pm 0.2\)

  • e. \(x^2 = 0.0001 \implies x = \pm 0.01\)

  • f. \(x^2 = \frac{1}{10000} \implies x = \pm \frac{1}{100}\)

២លំហាត់ទី ២

ដោះស្រាយសមីការឫសគូបខាងក្រោម ៖

  1. \(x^3 = 27\)

  2. \(x^3 = -64\)

  3. \(x^3 = -125\)

  4. \(x^3 = \dfrac{1}{8}\)

  5. \(x^3 = -\dfrac{27}{1000}\)

  6. \(x^3 = 0.000216\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការឫសគូប ៖

  • a. \(x^3 = 27 \implies x = \sqrt[3]{27} = 3\)

  • b. \(x^3 = -64 \implies x = \sqrt[3]{-64} = -4\)

  • c. \(x^3 = -125 \implies x = \sqrt[3]{-125} = -5\)

  • d. \(x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}\)

  • e. \(x^3 = -\frac{27}{1000} \implies x = -\frac{3}{10} = -0.3\)

  • f. \(x^3 = 0.000216 \implies x = 0.06\)

៣លំហាត់ទី ៣

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមឫសការេខាងក្រោម ៖

  1. \(A = \sqrt{64} + \sqrt{36}\)

  2. \(B = \sqrt{100} - \sqrt{49}\)

  3. \(C = \sqrt{144} \times \sqrt{25}\)

  4. \(D = \sqrt{400} \div \sqrt{16}\)

  5. \(E = \sqrt{0.25} + \sqrt{0.81}\)

  6. \(F = \sqrt{1.44} - \sqrt{0.09}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃឫសការេ ៖

  • a. \(A = 8 + 6 = 14\)

  • b. \(B = 10 - 7 = 3\)

  • c. \(C = 12 \times 5 = 60\)

  • d. \(D = 20 \div 4 = 5\)

  • e. \(E = 0.5 + 0.9 = 1.4\)

  • f. \(F = 1.2 - 0.3 = 0.9\)

៤លំហាត់ទី ៤

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមឫសគូបខាងក្រោម ៖

  1. \(A = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{27}\)

  2. \(B = \sqrt[3]{125} - \sqrt[3]{-64}\)

  3. \(C = \sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{1000}\)

  4. \(D = \sqrt[3]{216} \div \sqrt[3]{-8}\)

  5. \(E = \sqrt[3]{0.001} + \sqrt[3]{0.027}\)

  6. \(F = \sqrt[3]{-0.064} - \sqrt[3]{-0.125}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃឫសគូប ៖

  • a. \(A = 2 + 3 = 5\)

  • b. \(B = 5 - (-4) = 5 + 4 = 9\)

  • c. \(C = -1 + 10 = 9\)

  • d. \(D = 6 \div (-2) = -3\)

  • e. \(E = 0.1 + 0.3 = 0.4\)

  • f. \(F = -0.4 - (-0.5) = 0.1\)

៥លំហាត់ទី ៥

គណនាផលគុណរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{3} \times \sqrt{12}\)

  2. \(\sqrt{5} \times \sqrt{20}\)

  3. \(\sqrt{7} \times \sqrt{28}\)

  4. \(\sqrt{2} \times \sqrt{32}\)

  5. \(\sqrt{6} \times \sqrt{24}\)

  6. \(\sqrt{10} \times \sqrt{90}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណរ៉ាឌីកាល់ ៖

  • a. \(\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6\)

  • b. \(\sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} = 10\)

  • c. \(\sqrt{7 \times 28} = \sqrt{196} = 14\)

  • d. \(\sqrt{2 \times 32} = \sqrt{64} = 8\)

  • e. \(\sqrt{6 \times 24} = \sqrt{144} = 12\)

  • f. \(\sqrt{10 \times 90} = \sqrt{900} = 30\)

៦លំហាត់ទី ៦

គណនាផលចែករ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)

  2. \(\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}\)

  3. \(\dfrac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}\)

  4. \(\dfrac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}\)

  5. \(\dfrac{\sqrt{112}}{\sqrt{7}}\)

  6. \(\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលចែករ៉ាឌីកាល់ ៖

  • a. \(\sqrt{48/3} = \sqrt{16} = 4\)

  • b. \(\sqrt{98/2} = \sqrt{49} = 7\)

  • c. \(\sqrt{150/6} = \sqrt{25} = 5\)

  • d. \(\sqrt{180/5} = \sqrt{36} = 6\)

  • e. \(\sqrt{112/7} = \sqrt{16} = 4\)

  • f. \(\sqrt{200/8} = \sqrt{25} = 5\)

៧លំហាត់ទី ៧

បញ្ចេញកត្តាពីរ៉ាឌីកាល់នៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{12}\)

  2. \(\sqrt{24}\)

  3. \(\sqrt{45}\)

  4. \(\sqrt{75}\)

  5. \(\sqrt{98}\)

  6. \(\sqrt{108}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បញ្ចេញកត្តាពីរ៉ាឌីកាល់ ៖

  • a. \(\sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)

  • b. \(\sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}\)

  • c. \(\sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\)

  • d. \(\sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\)

  • e. \(\sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}\)

  • f. \(\sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}\)

៨លំហាត់ទី ៨

បញ្ចេញកត្តាពីរ៉ាឌីកាល់នៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{180}\)

  2. \(\sqrt{288}\)

  3. \(\sqrt{300}\)

  4. \(\sqrt{450}\)

  5. \(\sqrt{500}\)

  6. \(\sqrt{800}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បញ្ចេញកត្តាពីរ៉ាឌីកាល់ ៖

  • a. \(\sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}\)

  • b. \(\sqrt{144 \times 2} = 12\sqrt{2}\)

  • c. \(\sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}\)

  • d. \(\sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}\)

  • e. \(\sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5}\)

  • f. \(\sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2}\)

៩លំហាត់ទី ៩

បញ្ចូលកត្តាទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ ៖

  1. \(2\sqrt{3}\)

  2. \(3\sqrt{2}\)

  3. \(4\sqrt{5}\)

  4. \(5\sqrt{6}\)

  5. \(6\sqrt{7}\)

  6. \(10\sqrt{2}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បញ្ចូលកត្តាទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ ៖

  • a. \(\sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}\)

  • b. \(\sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18}\)

  • c. \(\sqrt{16 \times 5} = \sqrt{80}\)

  • d. \(\sqrt{25 \times 6} = \sqrt{150}\)

  • e. \(\sqrt{36 \times 7} = \sqrt{252}\)

  • f. \(\sqrt{100 \times 2} = \sqrt{200}\)

១០លំហាត់ទី ១០

បញ្ចូលកត្តាទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ចំពោះឫសគូប ៖

  1. \(2\sqrt[3]{3}\)

  2. \(3\sqrt[3]{2}\)

  3. \(4\sqrt[3]{5}\)

  4. \(-2\sqrt[3]{4}\)

  5. \(-3\sqrt[3]{3}\)

  6. \(\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{16}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បញ្ចូលកត្តាទៅក្នុងឫសគូប ៖

  • a. \(\sqrt[3]{8 \times 3} = \sqrt[3]{24}\)

  • b. \(\sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{54}\)

  • c. \(\sqrt[3]{64 \times 5} = \sqrt[3]{320}\)

  • d. \(-\sqrt[3]{8 \times 4} = -\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{-32}\)

  • e. \(-\sqrt[3]{27 \times 3} = \sqrt[3]{-81}\)

  • f. \(\sqrt[3]{(1/8) \times 16} = \sqrt[3]{2}\)

១១លំហាត់ទី ១១

សម្រួលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ដូចគ្នាខាងក្រោម ៖

  1. \(A = 3\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 4\sqrt{5}\)

  2. \(B = 8\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\)

  3. \(C = 6\sqrt{7} - 9\sqrt{7} + 4\sqrt{7}\)

  4. \(D = -2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 8\sqrt{3}\)

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលរ៉ាឌីកាល់ដូចគ្នា ៖

  • a. \(A = (3 + 7 - 4)\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)

  • b. \(B = (8 - 3 + 5)\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)

  • c. \(C = (6 - 9 + 4)\sqrt{7} = \sqrt{7}\)

  • d. \(D = (-2 + 5 - 8)\sqrt{3} = -5\sqrt{3}\)

១២លំហាត់ទី ១២

សម្រួលកន្សោមដោយបញ្ចេញកត្តាពីរ៉ាឌីកាល់រួចបូកដក ៖

  1. \(A = \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{8}\)

  2. \(B = \sqrt{27} + \sqrt{75} - \sqrt{12}\)

  3. \(C = \sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{80}\)

  4. \(D = \sqrt{28} + \sqrt{63} - \sqrt{112}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បញ្ចេញកត្តារួចបូកដក ៖

  • a. \(A = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)

  • b. \(B = 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)

  • c. \(C = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)

  • d. \(D = 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = \sqrt{7}\)

១៣លំហាត់ទី ១៣

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(A = 2\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 4\sqrt{48}\)

  2. \(B = 5\sqrt{8} - 2\sqrt{18} + 3\sqrt{32}\)

  3. \(C = 3\sqrt{20} + 4\sqrt{45} - 2\sqrt{80}\)

  4. \(D = 4\sqrt{24} - \sqrt{54} + 2\sqrt{96}\)

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលកន្សោម ៖

  • a. \(A = 2(2\sqrt{3}) - 3(3\sqrt{3}) + 4(4\sqrt{3}) = (4 - 9 + 16)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}\)

  • b. \(B = 5(2\sqrt{2}) - 2(3\sqrt{2}) + 3(4\sqrt{2}) = (10 - 6 + 12)\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\)

  • c. \(C = 3(2\sqrt{5}) + 4(3\sqrt{5}) - 2(4\sqrt{5}) = (6 + 12 - 8)\sqrt{5} = 10\sqrt{5}\)

  • d. \(D = 4(2\sqrt{6}) - 3\sqrt{6} + 2(4\sqrt{6}) = (8 - 3 + 8)\sqrt{6} = 13\sqrt{6}\)

១៤លំហាត់ទី ១៤

គណនាផលគុណ និងពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(A = \sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{10})\)

  2. \(B = \sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{27})\)

  3. \(C = \sqrt{5}(2\sqrt{5} - 3\sqrt{20})\)

  4. \(D = 2\sqrt{6}(\sqrt{3} + 3\sqrt{2})\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណ ៖

  • a. \(A = \sqrt{12} + \sqrt{20} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\)

  • b. \(B = \sqrt{36} - \sqrt{81} = 6 - 9 = -3\)

  • c. \(C = 2(5) - 3\sqrt{100} = 10 - 30 = -20\)

  • d. \(D = 2\sqrt{18} + 6\sqrt{12} = 6\sqrt{2} + 12\sqrt{3}\)

១៥លំហាត់ទី ១៥

គណនាផលគុណនៃពីរទ្វេធាខាងក្រោម ៖

  1. \(A = (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} + 5)\)

  2. \(B = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 3)\)

  3. \(C = (2\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 3)\)

  4. \(D = (3\sqrt{3} - 2)(2\sqrt{3} + 1)\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណទ្វេធា ៖

  • a. \(A = 3 + 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 10 = 13 + 7\sqrt{3}\)

  • b. \(B = 5 + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 6 = -1 + \sqrt{5}\)

  • c. \(C = 2(2) - 6\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3 = 1 - 5\sqrt{2}\)

  • d. \(D = 6(3) + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 2 = 16 - \sqrt{3}\)

១៦លំហាត់ទី ១៦

គណនាតាមរូបមន្តភាពខុសគ្នានៃពីរការេ \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) ៖

  1. \(A = (\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)\)

  2. \(B = (\sqrt{11} - \sqrt{5})(\sqrt{11} + \sqrt{5})\)

  3. \(C = (2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)\)

  4. \(D = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតាមរូបមន្ត \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) ៖

  • a. \(A = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3\)

  • b. \(B = 11 - 5 = 6\)

  • c. \(C = (2\sqrt{3})^2 - 3^2 = 12 - 9 = 3\)

  • d. \(D = (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 18 - 12 = 6\)

១៧លំហាត់ទី ១៧

ពន្លាតកន្សោមការេនៃទ្វេធា \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) ៖

  1. \(A = (\sqrt{5} + 1)^2\)

  2. \(B = (\sqrt{3} - 2)^2\)

  3. \(C = (\sqrt{7} + \sqrt{2})^2\)

  4. \(D = (2\sqrt{3} - \sqrt{5})^2\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាតការេនៃទ្វេធា ៖

  • a. \(A = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}\)

  • b. \(B = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3}\)

  • c. \(C = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}\)

  • d. \(D = 12 - 4\sqrt{15} + 5 = 17 - 4\sqrt{15}\)

១៨លំហាត់ទី ១៨

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(A = (\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{3} - 1)^2\)

  2. \(B = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2\)

  3. \(C = (2\sqrt{2} + 3)^2 - 12\sqrt{2}\)

  4. \(D = (3\sqrt{3} - 2)^2 + 12\sqrt{3}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

  • a. \(A = (4 + 2\sqrt{3}) + (4 - 2\sqrt{3}) = 8\)

  • b. \(B = (7 + 2\sqrt{10}) - (7 - 2\sqrt{10}) = 4\sqrt{10}\)

  • c. \(C = 8 + 12\sqrt{2} + 9 - 12\sqrt{2} = 17\)

  • d. \(D = 27 - 12\sqrt{3} + 4 + 12\sqrt{3} = 31\)

១៩លំហាត់ទី ១៩

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែងចំពោះឯកធា ៖

  1. \(\dfrac{4}{\sqrt{2}}\)

  2. \(\dfrac{9}{\sqrt{3}}\)

  3. \(\dfrac{15}{\sqrt{5}}\)

  4. \(\dfrac{14}{\sqrt{7}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង ៖

  • a. \(\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

  • b. \(\frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\)

  • c. \(\frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}\)

  • d. \(\frac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7}\)

២០លំហាត់ទី ២០

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែងខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{6}{\sqrt{8}}\)

  2. \(\dfrac{10}{\sqrt{12}}\)

  3. \(\dfrac{12}{\sqrt{18}}\)

  4. \(\dfrac{20}{\sqrt{50}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង ៖

  • a. \(\frac{6}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

  • b. \(\frac{10}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\)

  • c. \(\frac{12}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\)

  • d. \(\frac{20}{5\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\)

២១លំហាត់ទី ២១

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែងដោយប្រើកន្សោមឆ្លាស់ ៖

  1. \(A = \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}\)

  2. \(B = \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}\)

  3. \(C = \dfrac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}\)

  4. \(D = \dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ដោយកន្សោមឆ្លាស់ ៖

  • a. \(A = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}\)

  • b. \(B = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5} - 2\)

  • c. \(C = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \sqrt{7} + \sqrt{5}\)

  • d. \(D = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \sqrt{6} - \sqrt{2}\)

២២លំហាត់ទី ២២

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង ៖

  1. \(A = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}\)

  2. \(B = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\)

  3. \(C = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\)

  4. \(D = \dfrac{2\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3} + 1}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង ៖

  • a. \(A = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3\sqrt{10}+6}{3} = \sqrt{10} + 2\)

  • b. \(B = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}\)

  • c. \(C = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}{5-2} = \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\)

  • d. \(D = \frac{(2\sqrt{3}-1)^2}{12-1} = \frac{13-4\sqrt{3}}{11}\)

២៣លំហាត់ទី ២៣

គណនាផលបូកនៃកន្សោមប្រភាគរ៉ាឌីកាល់ ៖

\[S = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូក ៖

\[\begin{aligned} S &= (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) \\ &= \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 \end{aligned}\]

២៤លំហាត់ទី ២៤

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

\[A = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃកន្សោម ៖ តម្រូវភាគបែងរួម \((3-1=2)\) ៖

\[\begin{aligned} A &= \frac{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2}{2} \\ &= \frac{(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})}{2} = \frac{8}{2} = 4 \end{aligned}\]

២៥លំហាត់ទី ២៥

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

\[B = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃកន្សោម ៖ តម្រូវភាគបែងរួម \((5-3=2)\) ៖

\[B = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2} = \frac{-4\sqrt{15}}{2} = -2\sqrt{15}\]

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យ \(x = \sqrt{3} + \sqrt{2}\) និង \(y = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)។ គណនា ៖

  1. \(x + y\)

  2. \(x - y\)

  3. \(x \times y\)

  4. \(x^2 + y^2\)

  5. \(x^2 - y^2\)

  6. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាកន្សោម ៖

  • a. \(x+y = 2\sqrt{3}\)

  • b. \(x-y = 2\sqrt{2}\)

  • c. \(xy = 3 - 2 = 1\)

  • d. \(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 12 - 2 = 10\)

  • e. \(x^2-y^2 = (x+y)(x-y) = 2\sqrt{3}(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{6}\)

  • f. \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{10}{1} = 10\)

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេឱ្យ \(a = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}\) និង \(b = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\)។

  1. គណនា \(a + b\) និង \(a \times b\)។

  2. បង្ហាញថា \(a^2 = a + 1\) និង \(b^2 = 1 - b\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា និងបង្ហាញ ៖

  • a. \(a+b = \sqrt{5}\) ; \(ab = \frac{5-1}{4} = 1\)

  • b. \(a^2 = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{5}+1}{2} = a+1\)។ ដូចគ្នា \(b^2 = 1-b\)។

២៨លំហាត់ទី ២៨

សម្រួលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រួតគ្នាទម្រង់ \(\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}\) ៖

  1. \(A = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\)

  2. \(B = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\)

  3. \(C = \sqrt{8 + 2\sqrt{7}}\)

  4. \(D = \sqrt{10 - 2\sqrt{21}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលរ៉ាឌីកាល់ត្រួតគ្នា ៖

  • a. \(A = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1\)

  • b. \(B = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = \sqrt{5}-1\)

  • c. \(C = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1\)

  • d. \(D = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{3}\)

២៩លំហាត់ទី ២៩

សម្រួលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រួតគ្នាខាងក្រោម ៖

  1. \(A = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\)

  2. \(B = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}\)

  3. \(C = \sqrt{14 + 6\sqrt{5}}\)

  4. \(D = \sqrt{28 - 10\sqrt{3}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលរ៉ាឌីកាល់ត្រួតគ្នា ៖

  • a. \(A = \sqrt{7+2\sqrt{12}} = \sqrt{4}+\sqrt{3} = 2+\sqrt{3}\)

  • b. \(B = \sqrt{9-2\sqrt{20}} = \sqrt{5}-\sqrt{4} = \sqrt{5}-2\)

  • c. \(C = \sqrt{14+2\sqrt{45}} = \sqrt{9}+\sqrt{5} = 3+\sqrt{5}\)

  • d. \(D = \sqrt{28-2\sqrt{75}} = \sqrt{25}-\sqrt{3} = 5-\sqrt{3}\)

៣០លំហាត់ទី ៣០

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

\[M = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(M\) ៖

\[M = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\]

៣១លំហាត់ទី ៣១

ដោះស្រាយសមីការរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{x} = 7\)

  2. \(\sqrt{x} = 0.5\)

  3. \(\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}\)

  4. \(\sqrt{2x} = 6\)

  5. \(\sqrt{3x} = 9\)

  6. \(\sqrt{5x} = 10\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ ៖

  • a. \(x = 7^2 = 49\)

  • b. \(x = (0.5)^2 = 0.25\)

  • c. \(x = (2/3)^2 = 4/9\)

  • d. \(2x = 36 \implies x = 18\)

  • e. \(3x = 81 \implies x = 27\)

  • f. \(5x = 100 \implies x = 20\)

៣២លំហាត់ទី ៣២

ដោះស្រាយសមីការរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{x + 5} = 4\)

  2. \(\sqrt{2x - 3} = 5\)

  3. \(\sqrt{3x + 1} = 7\)

  4. \(\sqrt{4x - 7} = 3\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ ៖

  • a. \(x+5 = 16 \implies x = 11\)

  • b. \(2x-3 = 25 \implies 2x = 28 \implies x = 14\)

  • c. \(3x+1 = 49 \implies 3x = 48 \implies x = 16\)

  • d. \(4x-7 = 9 \implies 4x = 16 \implies x = 4\)

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

ដោះស្រាយសមីការរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{x^2 - 9} = 4\)

  2. \(\sqrt{x^2 + 16} = 5\)

  3. \(\sqrt{2x^2 + 1} = 3\)

  4. \(\sqrt{3x^2 - 5} = 4\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ ៖

  • a. \(x^2-9 = 16 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5\)

  • b. \(x^2+16 = 25 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3\)

  • c. \(2x^2+1 = 9 \implies 2x^2 = 8 \implies x = \pm 2\)

  • d. \(3x^2-5 = 16 \implies 3x^2 = 21 \implies x = \pm \sqrt{7}\)

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

ដោះស្រាយសមីការ ៖

  1. \(\sqrt{x + 2} = x\)

  2. \(\sqrt{2x + 3} = x\)

  3. \(\sqrt{6 - x} = x\)

  4. \(\sqrt{4x + 5} = x\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ (\(x \ge 0\)) ៖

  • a. \(x+2 = x^2 \implies x^2-x-2=0 \implies x=2\) (\(x=-1\) មិនយក)

  • b. \(2x+3 = x^2 \implies x^2-2x-3=0 \implies x=3\)

  • c. \(6-x = x^2 \implies x^2+x-6=0 \implies x=2\)

  • d. \(4x+5 = x^2 \implies x^2-4x-5=0 \implies x=5\)

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

ដោះស្រាយសមីការឫសគូបខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt[3]{x - 2} = 3\)

  2. \(\sqrt[3]{2x + 1} = -3\)

  3. \(\sqrt[3]{x^3 - 7} = 1\)

  4. \(\sqrt[3]{x^2 - 17} = 2\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការឫសគូប ៖

  • a. \(x-2 = 3^3 = 27 \implies x = 29\)

  • b. \(2x+1 = (-3)^3 = -27 \implies 2x = -28 \implies x = -14\)

  • c. \(x^3-7 = 1 \implies x^3 = 8 \implies x = 2\)

  • d. \(x^2-17 = 8 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5\)

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ប្រៀបធៀបចំនួនរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោមដោយមិនប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ៖

  1. \(2\sqrt{3}\) និង \(3\sqrt{2}\)

  2. \(3\sqrt{5}\) និង \(4\sqrt{3}\)

  3. \(5\sqrt{2}\) និង \(2\sqrt{13}\)

  4. \(4\sqrt{6}\) និង \(7\sqrt{2}\)

  5. \(\sqrt{15}\) និង \(4\)

  6. \(\sqrt{37}\) និង \(6\)

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រៀបធៀបដោយលើកជាការេ ៖

  • a. \((2\sqrt{3})^2 = 12 < (3\sqrt{2})^2 = 18 \implies 2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\)

  • b. \((3\sqrt{5})^2 = 45 < (4\sqrt{3})^2 = 48 \implies 3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}\)

  • c. \((5\sqrt{2})^2 = 50 < (2\sqrt{13})^2 = 52 \implies 5\sqrt{2} < 2\sqrt{13}\)

  • d. \((4\sqrt{6})^2 = 96 < (7\sqrt{2})^2 = 98 \implies 4\sqrt{6} < 7\sqrt{2}\)

  • e. \(15 < 16 \implies \sqrt{15} < 4\)

  • f. \(37 > 36 \implies \sqrt{37} > 6\)

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ប្រៀបធៀបគូនៃចំនួនខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{5} + \sqrt{7}\) និង \(\sqrt{2} + \sqrt{10}\)

  2. \(\sqrt{8} + \sqrt{3}\) និង \(\sqrt{6} + \sqrt{5}\)

  3. \(\sqrt{7} - \sqrt{5}\) និង \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\)

  4. \(\sqrt{11} - \sqrt{10}\) និង \(\sqrt{10} - 3\)

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រៀបធៀបគូចំនួន ៖

  • a. \((\sqrt{5}+\sqrt{7})^2 = 12+2\sqrt{35}\) ; \((\sqrt{2}+\sqrt{10})^2 = 12+2\sqrt{20}\)។ ដោយ \(35>20\) នាំឱ្យ \(\sqrt{5}+\sqrt{7} > \sqrt{2}+\sqrt{10}\)។

  • b. \((\sqrt{8}+\sqrt{3})^2 = 11+2\sqrt{24}\) ; \((\sqrt{6}+\sqrt{5})^2 = 11+2\sqrt{30}\)។ នាំឱ្យ \(\sqrt{8}+\sqrt{3} < \sqrt{6}+\sqrt{5}\)។

  • c. គុណកន្សោមឆ្លាស់ ៖ \(\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} < \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\) នាំឱ្យ \(\sqrt{7}-\sqrt{5} < \sqrt{5}-\sqrt{3}\)។

  • d. \(\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}} < \frac{1}{\sqrt{10}+3}\) នាំឱ្យ \(\sqrt{11}-\sqrt{10} < \sqrt{10}-3\)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

រកតម្លៃអថេរ \(x\) ដើម្បីឱ្យកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោមមានន័យ ៖

  1. \(\sqrt{x - 4}\)

  2. \(\sqrt{3 - 2x}\)

  3. \(\sqrt{x^2 + 1}\)

  4. \(\dfrac{1}{\sqrt{x - 2}}\)

  5. \(\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}\)

  6. \(\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌកំណត់ឱ្យកន្សោមមានន័យ ៖

  • a. \(x-4 \ge 0 \iff x \ge 4\)

  • b. \(3-2x \ge 0 \iff x \le \frac{3}{2}\)

  • c. \(x^2+1 > 0\) ពិតជានិច្ច ដូចនេះ \(x \in \mathbb{R}\)

  • d. \(x-2 > 0 \iff x > 2\)

  • e. \(x+1 \ge 0\) និង \(x-3 \ne 0 \iff x \ge -1\) និង \(x \ne 3\)

  • f. \(\frac{x-1}{x+2} \ge 0 \iff x < -2\) ឬ \(x \ge 1\)

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមអថេរ ៖

\[P = \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} \quad{} \text{ចំពោះ } x \ge 2\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃកន្សោម \(P\) ៖ សរសេរ \(x \pm 2\sqrt{x-1} = (x-1) \pm 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} \pm 1)^2\) ចំពោះ \(x \ge 2\) នាំឱ្យ \(\sqrt{x-1} \ge 1\) ៖

\[P = (\sqrt{x-1}+1) + (\sqrt{x-1}-1) = 2\sqrt{x-1}\]

៤០លំហាត់ទី ៤០

រកតម្លៃនៃ \(x\) បើគេដឹងថា ៖

\[\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots}}} = 5\]

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃ \(x\) ៖ តាងសមីការ \(\sqrt{x+5} = 5\) នាំឱ្យ \(x+5 = 25 \implies x = 20\)។

៤១លំហាត់ទី ៤១

ការេមួយមានផ្ទៃក្រឡា \(72\,\text{cm}^2\)។

  1. គណនាប្រវែងជ្រុងនៃការេជាទម្រង់ \(a\sqrt{b}\)។

  2. គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងនៃការេនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការេមានផ្ទៃ \(72\,\text{cm}^2\) ៖

  • a. ជ្រុង \(c = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\)

  • b. អង្កត់ទ្រូង \(d = c\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 12\,\text{cm}\)

៤២លំហាត់ទី ៤២

ត្រីកោណសម័ង្សមួយមានរង្វាស់ជ្រុង \(a = 6\,\text{cm}\)។

  1. គណនាកម្ពស់នៃត្រីកោណសម័ង្សនេះ។

  2. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណសម័ង្សនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណសម័ង្សជ្រុង \(a = 6\,\text{cm}\) ៖

  • a. កម្ពស់ \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\,\text{cm}\)

  • b. ផ្ទៃ \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\,\text{cm}^2\)

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ចតុកោណកែងមួយមានបណ្ដោយប្រវែង \(3\sqrt{8}\,\text{cm}\) និងទទឹងប្រវែង \(2\sqrt{2}\,\text{cm}\)។

  1. គណនាបរិមាត្រនៃចតុកោណកែង។

  2. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែង។

មើលដំណោះស្រាយ

ចតុកោណកែង ៖

  • បណ្ដោយ \(L = 3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\), ទទឹង \(W = 2\sqrt{2}\,\text{cm}\)

  • a. បរិមាត្រ \(P = 2(L+W) = 2(8\sqrt{2}) = 16\sqrt{2}\,\text{cm}\)

  • b. ផ្ទៃ \(S = L \times W = 6\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 24\,\text{cm}^2\)

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

ត្រីកោណកែងមួយមានរង្វាស់ជ្រុងជាប់មុំកែង \(a = \sqrt{5} - 1\,\text{cm}\) និង \(b = \sqrt{5} + 1\,\text{cm}\)។

  1. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណកែងនេះ។

  2. គណនាប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស \(c\) នៃត្រីកោណកែងនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណកែង ៖

  • a. ផ្ទៃ \(S = \frac{1}{2}ab = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\text{cm}^2\)

  • b. អ៊ីប៉ូតេនុស \(c^2 = a^2+b^2 = (6-2\sqrt{5}) + (6+2\sqrt{5}) = 12 \implies c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,\text{cm}\)

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

គូបមួយមានមាឌ \(V = 16\sqrt{2}\,\text{cm}^3\)។ រកប្រវែងទ្រនុង និងផ្ទៃក្រឡាខាងសរុបនៃគូបនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

គូបមានមាឌ \(V = 16\sqrt{2}\,\text{cm}^3\) ៖

  • មាឌ \(a^3 = (2\sqrt{2})^3 = 16\sqrt{2} \implies\) ទ្រនុង \(a = 2\sqrt{2}\,\text{cm}\)

  • ផ្ទៃខាងសរុប \(S_t = 6a^2 = 6(2\sqrt{2})^2 = 6(8) = 48\,\text{cm}^2\)

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

ស៊ីឡាំងមួយមានកម្ពស់ \(h = \sqrt{18}\,\text{cm}\) និងកាំបាត \(r = \sqrt{2}\,\text{cm}\)។ គណនាមាឌស៊ីឡាំងជាពហុគុណនៃ \(\pi\)។

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌស៊ីឡាំង ៖

\[V = \pi r^2 h = \pi (\sqrt{2})^2 (\sqrt{18}) = \pi (2)(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}\pi\,\text{cm}^3\]

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

បង្ហាញថា ចំនួន \(X = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\) គឺជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន។ រកតម្លៃ \(X\) នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(X\) ៖ \(3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2\) និង \(3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2\)

\[X = (\sqrt{2}-1) - (\sqrt{2}+1) = -2\]
ដូចនេះ \(X = -2\) ជាចំនួនគត់អវិជ្ជមានពិតប្រាកដ។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

គណនាផលបូកតេឡេស្កូពិច (Telescoping Sum) ៖

\[S = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}\]

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកតេឡេស្កូពិច ៖ បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង \(\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)

\[\begin{aligned} S &= (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) \\ &= \sqrt{100} - 1 = 10 - 1 = 9 \end{aligned}\]

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(a, b > 0\) នោះ ៖

\[\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad{} (\text{វិសមភាពមធ្យมนព្វន្ត និងមធ្យមធរណីមាត្រ AM-GM})\]
តើសមភាពកើតឡើងនៅពេលណា?

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញវិសមភាព AM-GM ៖ ចំពោះ \(a, b > 0\) គេមាន \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0\) \(\iff a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0 \iff a+b \ge 2\sqrt{ab} \iff \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ \(\sqrt{a} = \sqrt{b} \iff a = b\)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

រកគ្រប់គូនៃចំនួនសនិទាន \((x, y)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព ៖

\[x\sqrt{2} + y\sqrt{3} = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\]

មើលដំណោះស្រាយ

រកគូសនិទាន \((x, y)\) ៖ \(\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{3}+\sqrt{2} = 1\cdot\sqrt{2} + 1\cdot\sqrt{3}\) ដោយ \(x, y \in \mathbb{Q}\) នាំឱ្យ \(x = 1\) និង \(y = 1\)។ ដូចនេះ \((x, y) = (1, 1)\)។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១ ចំនួនអសនិទាន — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត