ពីជគណិត (Algebra) មានប្រភពដើមមកពីពាក្យអារ៉ាប់ "Al-Jabr" ដែលមានន័យថា «ការផ្គុំឡើងវិញនូវផ្នែកដែលបាក់បែក» ឬ «ការបំពេញឱ្យពេញលេញ» ៖
លោក Al-Khwarizmi (៧៨០-៨៥០ នៃ គ.ស.) ៖ គណិតវិទូជនជាតិពែរ្ស Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ត្រូវបានប្រសិទ្ធនាមថាជា «បិតានៃពីជគណិត» តាមរយៈសៀវភៅដ៏ល្បីល្បាញរបស់លោក Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala។ លោកបានបង្កើតវិធីសាស្ត្រជាប្រព័ន្ធក្នុងការដោះស្រាយសមីការ និងការបំប្លែងកន្សោមពិជគណិតដោយប្រើវិធាន Al-Jabr (ការផ្លាស់ប្តូរតួអវិជ្ជមានពីអង្គម្ខាងទៅអង្គម្ខាងទៀត) និង Al-Muqabala (ការបង្រួមតួដូចគ្នា)។
លោក François Viète (១៥៤០-១៦០៣) ៖ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង François Viète បានធ្វើបដិវត្តន៍ពីជគណិតដោយបង្កើតការប្រើប្រាស់អក្សរតាងឱ្យចំនួនមិនស្គាល់ និងមេគុណ (Vowels សម្រាប់អថេរ និង Consonants សម្រាប់ចំនួនថេរ) ដែលនាំឱ្យពីជគណិតវិវត្តពីការពិពណ៌នាដោយពាក្យពេចន៍ (Rhetorical Algebra) ទៅជាពីជគណិតនិមិត្តសញ្ញា (Symbolic Algebra) ដូចសព្វថ្ងៃ។
សមភាពគួរចងចាំ និងស្ថាបត្យកម្មខ្មែរ ៖ សមភាពសំខាន់ៗដូចជា \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) និង \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) ត្រូវបានជនជាតិបាប៊ីឡូន និងក្រិកបុរាណយល់ដឹងតាមរយៈធរណីមាត្រ (ការកាត់និងផ្គុំផ្ទៃក្រឡាក្នុងប្លង់)។ ក្នុងស្ថាបត្យកម្មប្រាសាទអង្គរ បុព្វបុរសខ្មែរបានប្រើគោលការណ៍បំបែកផ្ទៃក្រឡា និងការគុណកន្សោមធរណីមាត្រដើម្បីគណនាទំហំផ្ទៃក្រឡាថែវ និងស្រះទឹកឱ្យស៊ីចង្វាក់គ្នាយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។
ផលគុណ និងស្វ័យគុណនៃកន្សោមពីជគណិត
វិធានពន្លាតផលគុណ
ដើម្បីពន្លាតផលគុណនៃពីរពហុធា គេយកគ្រប់តួនៃពហុធាទីមួយ គុណនឹងគ្រប់តួនៃពហុធាទីពីរ រួចបង្រួមតួដូចគ្នា ៖
ការេនៃផលបូក ៖ \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
ការេនៃផលដក ៖ \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
ផលគុណនៃផលបូកនិងផលដក ៖ \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)
គូបនៃផលបូក ៖ \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
គូបនៃផលដក ៖ \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
ផលបូកគូប ៖ \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
ផលដកគូប ៖ \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(A = (2x + 3)^2\)
\(B = (3x - 5)(3x + 5)\)
\(A = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\)
\(B = (3x)^2 - 5^2 = 9x^2 - 25\)
ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(M = (3x - 4)^2\)
\(N = (2x + 7)(2x - 7)\)
វិធីសាស្ត្រដាក់ជាផលគុណកត្តា
ការដាក់ជាផលគុណកត្តា គឺជាការសរសេរផលបូក ឬផលដកនៃពហុធាឱ្យទៅជាទម្រង់ផលគុណនៃពីរកត្តា ឬច្រើនកត្តា ៖
ការទាញកត្តារួម ៖ \(ka \pm kb = k(a \pm b)\)
ការផ្ដុំតួ ៖ \(ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)\)
ការប្រើប្រាស់សមភាព ៖ \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) , \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)
ការដាក់ត្រីធាដឺក្រេទីពីរជាផលគុណកត្តា ៖ \(x^2 + (p+q)x + pq = (x + p)(x + q)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖
\(A = x^2 - 10x + 21\)
\(B = 2x^2 + 7x + 3\)
រកពីរចំនួនដែលផលបូកស្មើ \(-10\) និងផលគុណស្មើ \(21\) គឺ \(-3\) និង \(-7\) ៖
\[A = (x - 3)(x - 7)\]បំបែកតួកណ្ដាល \(7x = 6x + x\) ៖
\[B = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)\]
ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖
\(P = x^2 - 8x + 15\)
\(Q = 3x^2 + 10x + 3\)
ប្រភាគពីជគណិត
ប្រភាគពីជគណិត គឺជាកន្សោមដែលមានទម្រង់ \(\dfrac{A}{B}\) ដែល \(A\) និង \(B\) ជាពហុធា ហើយ \(B \ne 0\)។
លក្ខខណ្ឌកំណត់ ៖ ប្រភាគ \(\dfrac{A}{B}\) មានន័យកាលណាភាគបែង \(B \ne 0\)។
ការសម្រួលប្រភាគ ៖ ដាក់ភាគយក និងភាគបែងជាផលគុណកត្តា រួចសម្រួលកត្តារួមចោល។
សម្រួលប្រភាគពីជគណិតខាងក្រោម ៖
\(A = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}\)
\(B = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\)
ដាក់ភាគយក និងភាគបែងជាផលគុណកត្តា ៖
\[A = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)} = \frac{x + 3}{x} \quad{} (x \ne 0, x \ne 3)\]ដាក់ភាគយក និងភាគបែងជាផលគុណកត្តា ៖
\[B = \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 2}{x + 2} \quad{} (x \ne \pm 2)\]ដូចនេះ ប្រភាគសម្រួលបានគឺ \(A = \dfrac{x + 3}{x}\) និង \(B = \dfrac{x - 2}{x + 2}\)។
សម្រួលប្រភាគពីជគណិតខាងក្រោម ៖
\(M = \dfrac{x^2 - 16}{x^2 + 4x}\)
\(N = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}\)
លំហាត់អនុវត្តន៍
ចូរពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(A = (2x + 3)(3x - 4)\)
\(B = (4x - 1)(2x + 5)\)
\(C = (3x - 2y)(2x + 3y)\)
\(D = (5x + 2)(x^2 - 3x + 1)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពន្លាតផលគុណ ៖
a. \(A = 6x^2 - 8x + 9x - 12 = 6x^2 + x - 12\)
b. \(B = 8x^2 + 20x - 2x - 5 = 8x^2 + 18x - 5\)
c. \(C = 6x^2 + 9xy - 4xy - 6y^2 = 6x^2 + 5xy - 6y^2\)
d. \(D = 5x^3 - 15x^2 + 5x + 2x^2 - 6x + 2 = 5x^3 - 13x^2 - x + 2\)
ពន្លាតកន្សោមដោយប្រើរូបមន្ត \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) ៖
\(A = (3x + 2)^2\)
\(B = (4x - 3)^2\)
\(C = (2x + 5y)^2\)
\(D = (3x^2 - 2)^2\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពន្លាតការេនៃទ្វេធា ៖
a. \(A = 9x^2 + 12x + 4\)
b. \(B = 16x^2 - 24x + 9\)
c. \(C = 4x^2 + 20xy + 25y^2\)
d. \(D = 9x^4 - 12x^2 + 4\)
ពន្លាតកន្សោមដោយប្រើរូបមន្ត \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\) ៖
\(A = (2x - 5)(2x + 5)\)
\(B = (3x + 4y)(3x - 4y)\)
\(C = (x^2 - 2)(x^2 + 2)\)
\(D = (5 - 3x)(5 + 3x)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពន្លាតភាពខុសគ្នានៃពីរការេ ៖
a. \(A = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25\)
b. \(B = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2\)
c. \(C = (x^2)^2 - 2^2 = x^4 - 4\)
d. \(D = 5^2 - (3x)^2 = 25 - 9x^2\)
ពន្លាតកន្សោមរូបមន្តគូប \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\) ៖
\(A = (x + 2)^3\)
\(B = (x - 3)^3\)
\(C = (2x + 1)^3\)
\(D = (3x - 2)^3\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពន្លាតគូបនៃទ្វេធា ៖
a. \(A = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(4) + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)
b. \(B = x^3 - 3(x^2)(3) + 3(x)(9) - 27 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\)
c. \(C = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\)
d. \(D = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8\)
ពន្លាតកន្សោមផលបូក និងផលដកគូប ៖
\(A = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)\)
\(B = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)\)
\(C = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)\)
\(D = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពន្លាតផលបូក/ផលដកគូប ៖
a. \(A = x^3 + 3^3 = x^3 + 27\)
b. \(B = x^3 - 4^3 = x^3 - 64\)
c. \(C = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1\)
d. \(D = (3x)^3 - 2^3 = 27x^3 - 8\)
ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(A = (x - 2)^2 - (x + 3)^2\)
\(B = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2\)
\(C = 3(x + 2)^2 - 2(x - 1)(x + 1)\)
\(D = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោម ៖
a. \(A = (x^2-4x+4) - (x^2+6x+9) = -10x - 5\)
b. \(B = (4x^2+4x+1) - (4x^2-4x+1) = 8x\)
c. \(C = 3(x^2+4x+4) - 2(x^2-1) = 3x^2+12x+12 - 2x^2+2 = x^2+12x+14\)
d. \(D = (x^2-1)(x^2+1) = x^4 - 1\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយទាញកត្តារួម ៖
\(A = 6x^3 - 9x^2 + 12x\)
\(B = 15a^2b - 20ab^2 + 10ab\)
\(C = 4x(x - 2) + 3(x - 2)\)
\(D = 2x(x + 1) - x - 1\)
មើលដំណោះស្រាយ
ទាញកត្តារួម ៖
a. \(A = 3x(2x^2 - 3x + 4)\)
b. \(B = 5ab(3a - 4b + 2)\)
c. \(C = (x - 2)(4x + 3)\)
d. \(D = 2x(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(2x - 1)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាតាមវិធីផ្ដុំតួ ៖
\(A = ax - ay + bx - by\)
\(B = x^2 + xy - 2x - 2y\)
\(C = 2x^2 + 6x - xy - 3y\)
\(D = 3xy - 6x + 5y - 10\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដាក់ជាផលគុណកត្តាតាមវិធីផ្ដុំតួ ៖
a. \(A = a(x - y) + b(x - y) = (a + b)(x - y)\)
b. \(B = x(x + y) - 2(x + y) = (x - 2)(x + y)\)
c. \(C = 2x(x + 3) - y(x + 3) = (2x - y)(x + 3)\)
d. \(D = 3x(y - 2) + 5(y - 2) = (3x + 5)(y - 2)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាតាមរូបមន្ត \(a^2 - b^2\) ៖
\(A = 25x^2 - 49\)
\(B = 4x^2 - 81y^2\)
\(C = (x + 3)^2 - 16\)
\(D = (2x - 1)^2 - (x + 4)^2\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដាក់ជាផលគុណកត្តារូបមន្ត \(a^2 - b^2\) ៖
a. \(A = (5x - 7)(5x + 7)\)
b. \(B = (2x - 9y)(2x + 9y)\)
c. \(C = (x + 3 - 4)(x + 3 + 4) = (x - 1)(x + 7)\)
d. \(D = [(2x-1)-(x+4)][(2x-1)+(x+4)] = (x - 5)(3x + 3) = 3(x - 5)(x + 1)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាតាមរូបមន្តការេពេញលេញ \(a^2 \pm 2ab + b^2\) ៖
\(A = x^2 + 14x + 49\)
\(B = 4x^2 - 12x + 9\)
\(C = 9x^2 + 30xy + 25y^2\)
\(D = 16x^4 - 8x^2 + 1\)
មើលដំណោះស្រាយ
ការេពេញលេញ ៖
a. \(A = (x + 7)^2\)
b. \(B = (2x - 3)^2\)
c. \(C = (3x + 5y)^2\)
d. \(D = (4x^2 - 1)^2 = [(2x-1)(2x+1)]^2 = (2x-1)^2(2x+1)^2\)
ដាក់ត្រីធាដឺក្រេទីពីរជាផលគុណកត្តា (\(x^2 + bx + c\)) ៖
\(A = x^2 + 7x + 12\)
\(B = x^2 + 9x + 20\)
\(C = x^2 - 8x + 15\)
\(D = x^2 - 11x + 24\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដាក់ត្រីធាជាផលគុណកត្តា ៖
a. \(A = (x + 3)(x + 4)\)
b. \(B = (x + 4)(x + 5)\)
c. \(C = (x - 3)(x - 5)\)
d. \(D = (x - 3)(x - 8)\)
ដាក់ត្រីធាដឺក្រេទីពីរជាផលគុណកត្តា ៖
\(A = x^2 + 2x - 24\)
\(B = x^2 + 3x - 18\)
\(C = x^2 - 5x - 14\)
\(D = x^2 - x - 30\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដាក់ត្រីធាជាផលគុណកត្តា ៖
a. \(A = (x + 6)(x - 4)\)
b. \(B = (x + 6)(x - 3)\)
c. \(C = (x - 7)(x + 2)\)
d. \(D = (x - 6)(x + 5)\)
ដាក់ត្រីធាដឺក្រេទីពីរជាផលគុណកត្តា (\(ax^2 + bx + c, a \ne 1\)) ៖
\(A = 2x^2 + 5x + 2\)
\(B = 3x^2 + 7x + 2\)
\(C = 2x^2 + 7x + 6\)
\(D = 3x^2 + 11x + 6\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដាក់ត្រីធាជាផលគុណកត្តា (\(a \ne 1\)) ៖
a. \(2x^2 + 4x + x + 2 = (2x + 1)(x + 2)\)
b. \(3x^2 + 6x + x + 2 = (3x + 1)(x + 2)\)
c. \(2x^2 + 4x + 3x + 6 = (2x + 3)(x + 2)\)
d. \(3x^2 + 9x + 2x + 6 = (3x + 2)(x + 3)\)
ដាក់ត្រីធាដឺក្រេទីពីរជាផលគុណកត្តា ៖
\(A = 2x^2 - 7x + 3\)
\(B = 3x^2 - 10x + 3\)
\(C = 4x^2 - 8x + 3\)
\(D = 6x^2 - 7x + 2\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដាក់ត្រីធាជាផលគុណកត្តា ៖
a. \(2x^2 - 6x - x + 3 = (2x - 1)(x - 3)\)
b. \(3x^2 - 9x - x + 3 = (3x - 1)(x - 3)\)
c. \(4x^2 - 6x - 2x + 3 = (2x - 1)(2x - 3)\)
d. \(6x^2 - 4x - 3x + 2 = (3x - 2)(2x - 1)\)
ដាក់ត្រីធាដឺក្រេទីពីរជាផលគុណកត្តា ៖
\(A = 2x^2 + 3x - 5\)
\(B = 3x^2 - 2x - 8\)
\(C = 4x^2 + 4x - 3\)
\(D = 6x^2 - x - 12\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដាក់ត្រីធាជាផលគុណកត្តា ៖
a. \(2x^2 + 5x - 2x - 5 = (2x + 5)(x - 1)\)
b. \(3x^2 - 6x + 4x - 8 = (3x + 4)(x - 2)\)
c. \(4x^2 + 6x - 2x - 3 = (2x - 1)(2x + 3)\)
d. \(6x^2 - 9x + 8x - 12 = (3x + 4)(2x - 3)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាតាមរូបមន្តផលបូក និងផលដកគូប ៖
\(A = x^3 + 125\)
\(B = 8x^3 - 27\)
\(C = 27x^3 + 64y^3\)
\(D = 125 - 8x^3\)
មើលដំណោះស្រាយ
ផលបូក និងផលដកគូប ៖
a. \(A = (x + 5)(x^2 - 5x + 25)\)
b. \(B = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)\)
c. \(C = (3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)\)
d. \(D = (5 - 2x)(25 + 10x + 4x^2)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាកន្សោមដឺក្រេទី ៤ ៖
\(A = x^4 - 81\)
\(B = 16x^4 - 1\)
\(C = x^4 - 13x^2 + 36\)
\(D = x^4 - 10x^2 + 9\)
មើលដំណោះស្រាយ
កន្សោមដឺក្រេទី ៤ ៖
a. \(A = (x^2-9)(x^2+9) = (x-3)(x+3)(x^2+9)\)
b. \(B = (4x^2-1)(4x^2+1) = (2x-1)(2x+1)(4x^2+1)\)
c. \(C = (x^2-4)(x^2-9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\)
d. \(D = (x^2-1)(x^2-9) = (x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយបំប្លែងបង្កើតជាការេពេញលេញ ៖
\(A = x^4 + 4\)
\(B = x^4 + 64\)
\(C = 4x^4 + 1\)
\(D = x^4 + x^2 + 1\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំប្លែងបង្កើតការេពេញលេញ ៖
a. \(x^4 + 4 = (x^2+2)^2 - 4x^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\)
b. \(x^4 + 64 = (x^2+8)^2 - 16x^2 = (x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)\)
c. \(4x^4 + 1 = (2x^2+1)^2 - 4x^2 = (2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)\)
d. \(x^4 + x^2 + 1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាកន្សោមចម្រុះ ៖
\(A = x^2 - y^2 - 4x + 4\)
\(B = x^2 - y^2 + 6y - 9\)
\(C = a^2 + 2ab + b^2 - c^2\)
\(D = 4x^2 - 4xy + y^2 - 9z^2\)
មើលដំណោះស្រាយ
កន្សោមចម្រុះ ៖
a. \(A = (x-2)^2 - y^2 = (x - 2 - y)(x - 2 + y)\)
b. \(B = x^2 - (y-3)^2 = (x - y + 3)(x + y - 3)\)
c. \(C = (a+b)^2 - c^2 = (a + b - c)(a + b + c)\)
d. \(D = (2x-y)^2 - (3z)^2 = (2x - y - 3z)(2x - y + 3z)\)
ដាក់ជាផលគុណកត្តាកន្សោមចម្រុះ ៖
\(A = x^3 - x^2 - x + 1\)
\(B = x^3 + 3x^2 - 4x - 12\)
\(C = x^3 - 7x + 6\)
\(D = x^3 - 3x^2 + 4\)
មើលដំណោះស្រាយ
កន្សោមចម្រុះ ៖
a. \(x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)\)
b. \(x^2(x+3) - 4(x+3) = (x^2-4)(x+3) = (x-2)(x+2)(x+3)\)
c. \(x^3 - x - 6x + 6 = x(x-1)(x+1) - 6(x-1) = (x-1)(x^2+x-6) = (x-1)(x-2)(x+3)\)
d. \((x+1)(x-2)^2\)
រកលក្ខខណ្ឌកំណត់ដើម្បីឱ្យប្រភាគខាងក្រោមមានន័យ ៖
\(\dfrac{3}{2x - 6}\)
\(\dfrac{x+1}{x^2 - 16}\)
\(\dfrac{2x}{x^2 - 5x + 6}\)
\(\dfrac{x-3}{x^2 + 4}\)
\(\dfrac{5}{x^2 - 9}\)
\(\dfrac{1}{x^2 + 2x}\)
មើលដំណោះស្រាយ
លក្ខខណ្ឌកំណត់ ៖
a. \(2x - 6 \ne 0 \iff x \ne 3\)
b. \(x^2 - 16 \ne 0 \iff x \ne \pm 4\)
c. \(x^2 - 5x + 6 \ne 0 \iff (x-2)(x-3) \ne 0 \iff x \ne 2\) និង \(x \ne 3\)
d. \(x^2 + 4 > 0\) ពិតជានិច្ច ដូចនេះមានន័យចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\)
e. \(x \ne \pm 3\)
f. \(x(x+2) \ne 0 \iff x \ne 0\) និង \(x \ne -2\)
សម្រួលប្រភាគពីជគណិតខាងក្រោម ៖
\(A = \dfrac{6x^2y}{9xy^2}\)
\(B = \dfrac{x^2 - 25}{x^2 - 5x}\)
\(C = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\)
\(D = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលប្រភាគ ៖
a. \(A = \frac{2x}{3y}\)
b. \(B = \frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)} = \frac{x+5}{x}\)
c. \(C = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}\)
d. \(D = \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3}{x-3}\)
សម្រួលប្រភាគពីជគណិត ៖
\(A = \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 4x + 3}\)
\(B = \dfrac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 6x + 9}\)
\(C = \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{4x^2 - 1}\)
\(D = \dfrac{3x^2 - 8x + 4}{3x^2 - 2x}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលប្រភាគ ៖
a. \(A = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \frac{x+2}{x+1}\)
b. \(B = \frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)^2} = \frac{x-4}{x-3}\)
c. \(C = \frac{(2x-1)(x+3)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{x+3}{2x+1}\)
d. \(D = \frac{(3x-2)(x-2)}{x(3x-2)} = \frac{x-2}{x}\)
គណនាផលបូក និងផលដកប្រភាគភាគបែងដូចគ្នា ៖
\(A = \dfrac{3x+1}{x+2} + \dfrac{2x+9}{x+2}\)
\(B = \dfrac{5x-2}{x-3} - \dfrac{2x+7}{x-3}\)
\(C = \dfrac{x^2}{x-4} - \dfrac{16}{x-4}\)
\(D = \dfrac{x^2+2x}{x+1} + \dfrac{1}{x+1}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បូកដកប្រភាគភាគបែងដូចគ្នា ៖
a. \(A = \frac{5x+10}{x+2} = \frac{5(x+2)}{x+2} = 5\)
b. \(B = \frac{3x-9}{x-3} = \frac{3(x-3)}{x-3} = 3\)
c. \(C = \frac{x^2-16}{x-4} = x + 4\)
d. \(D = \frac{x^2+2x+1}{x+1} = \frac{(x+1)^2}{x+1} = x + 1\)
គណនាផលបូក និងផលដកប្រភាគភាគបែងខុសគ្នា ៖
\(A = \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x+1}\)
\(B = \dfrac{4}{x-2} - \dfrac{3}{x+2}\)
\(C = \dfrac{1}{x-3} - \dfrac{6}{x^2-9}\)
\(D = \dfrac{x}{x-2} + \dfrac{2}{2-x}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បូកដកប្រភាគភាគបែងខុសគ្នា ៖
a. \(A = \frac{2(x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x-1}{x^2-1}\)
b. \(B = \frac{4(x+2) - 3(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+14}{x^2-4}\)
c. \(C = \frac{x+3 - 6}{x^2-9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}\)
d. \(D = \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} = 1\)
គណនា និងសម្រួលកន្សោម ៖
\(A = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2}{(x+1)^2}\)
\(B = \dfrac{3}{x^2-4} + \dfrac{1}{x+2}\)
\(C = \dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{x-1}{x+1}\)
\(D = \dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x-1}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាកន្សោម ៖
a. \(A = \frac{x+1 - 2}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{(x+1)^2}\)
b. \(B = \frac{3 + (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+1}{x^2-4}\)
c. \(C = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1}\)
d. \(D = \frac{2x - (x+1)}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}\)
គណនាផលគុណនៃប្រភាគពីជគណិត ៖
\(A = \dfrac{x^2-4}{x+3} \times \dfrac{x^2-9}{x+2}\)
\(B = \dfrac{x^2-1}{x^2-4} \times \dfrac{x-2}{x-1}\)
\(C = \dfrac{2x+4}{3x-6} \times \dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}\)
\(D = \dfrac{x^2+3x+2}{x^2-x-2} \times \dfrac{x-2}{x+2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ផលគុណប្រភាគ ៖
a. \(A = \frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{(x+3)(x+2)} = (x-2)(x-3) = x^2-5x+6\)
b. \(B = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}\)
c. \(C = \frac{2(x+2)(x-2)^2}{3(x-2)(x-2)(x+2)} = \frac{2}{3}\)
d. \(D = \frac{(x+1)(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+2)} = 1\)
គណនាផលចែកនៃប្រភាគពីជគណិត ៖
\(A = \dfrac{x^2-16}{x^2+x} \div \dfrac{x-4}{x+1}\)
\(B = \dfrac{x^2-9}{x^2-4} \div \dfrac{x+3}{x-2}\)
\(C = \dfrac{x^2-2x+1}{x+2} \div \dfrac{x-1}{x^2-4}\)
\(D = \dfrac{2x^2+5x+2}{x^2-4} \div \dfrac{2x+1}{x-2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ផលចែកប្រភាគ ៖
a. \(A = \frac{(x-4)(x+4)}{x(x+1)} \times \frac{x+1}{x-4} = \frac{x+4}{x}\)
b. \(B = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} \times \frac{x-2}{x+3} = \frac{x-3}{x+2}\)
c. \(C = \frac{(x-1)^2}{x+2} \times \frac{(x-2)(x+2)}{x-1} = (x-1)(x-2)\)
d. \(D = \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} \times \frac{x-2}{2x+1} = 1\)
សម្រួលកន្សោមប្រភាគត្រួត (Complex Fractions) ៖
\(A = \dfrac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\)
\(B = \dfrac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\)
\(C = \dfrac{\frac{1}{x-1} - 1}{\frac{1}{x-1} + 1}\)
\(D = \dfrac{\frac{4}{x^2} - 1}{\frac{2}{x} + 1}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រភាគត្រួត ៖
a. \(A = \frac{x+1}{x-1}\)
b. \(B = \frac{(x^2-y^2)/xy}{(x+y)/xy} = \frac{x^2-y^2}{x+y} = x - y\)
c. \(C = \frac{1 - (x-1)}{1 + (x-1)} = \frac{2-x}{x}\)
d. \(D = \frac{(2-x)(2+x)/x^2}{(2+x)/x} = \frac{2-x}{x}\)
សម្រួលកន្សោមប្រភាគ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលកន្សោម \(S\) ៖
គេឱ្យ \(x + y = 8\) និង \(xy = 15\)។ គណនាតម្លៃនៃ ៖
\(x^2 + y^2\)
\((x - y)^2\)
\(x^3 + y^3\)
\(x^4 + y^4\)
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)
\(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតាមសមភាព ៖
a. \(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 64 - 30 = 34\)
b. \((x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 64 - 60 = 4\)
c. \(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = 8(34 - 15) = 8(19) = 152\)
d. \(x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = 34^2 - 2(225) = 1156 - 450 = 706\)
e. \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} = \frac{8}{15}\)
f. \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{34}{15}\)
គេឱ្យ \(x - y = 5\) និង \(xy = 6\)។ គណនាតម្លៃនៃ ៖
\(x^2 + y^2\)
\((x + y)^2\)
\(x^3 - y^3\)
\(x^4 + y^4\)
\(\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x}\)
\(x^2 - y^2\) (បើ \(x > 0, y > 0\))
មើលដំណោះស្រាយ
គណនា ៖
a. \(x^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy = 25 + 12 = 37\)
b. \((x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy = 25 + 24 = 49\)
c. \(x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) = 5(37 + 6) = 5(43) = 215\)
d. \(x^4+y^4 = 37^2 - 2(36) = 1369 - 72 = 1297\)
e. \(\frac{1}{y}-\frac{1}{x} = \frac{x-y}{xy} = \frac{5}{6}\)
f. \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = 5(7) = 35\)
គេឱ្យ \(x + \dfrac{1}{x} = 5\)។ គណនាតម្លៃនៃ ៖
\(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\)
\(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\)
\(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\)
\(x - \dfrac{1}{x}\) (បើ \(x > 1\))
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាស្វ័យគុណ ៖
a. \(x^2 + 1/x^2 = 5^2 - 2 = 23\)
b. \(x^3 + 1/x^3 = 5^3 - 3(5) = 125 - 15 = 110\)
c. \(x^4 + 1/x^4 = 23^2 - 2 = 529 - 2 = 527\)
d. \((x - 1/x)^2 = 23 - 2 = 21 \implies x - 1/x = \sqrt{21}\)
គេឱ្យ \(x - \dfrac{1}{x} = 3\)។ គណនាតម្លៃនៃ ៖
\(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\)
\(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\)
\(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\)
\(x + \dfrac{1}{x}\) (បើ \(x > 0\))
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាស្វ័យគុណ ៖
a. \(x^2 + 1/x^2 = 3^2 + 2 = 11\)
b. \(x^3 - 1/x^3 = 3^3 + 3(3) = 27 + 9 = 36\)
c. \(x^4 + 1/x^4 = 11^2 - 2 = 121 - 2 = 119\)
d. \((x + 1/x)^2 = 11 + 2 = 13 \implies x + 1/x = \sqrt{13}\)
បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(a + b + c = 0\) នោះគេបាន ៖
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញ \(a^3+b^3+c^3 = 3abc\) ៖ \(a+b = -c \implies (a+b)^3 = (-c)^3 \implies a^3+b^3+3ab(a+b) = -c^3\) ដោយ \(a+b = -c\) គេបាន \(a^3+b^3-3abc = -c^3 \implies a^3+b^3+c^3 = 3abc\)។
អនុវត្តលក្ខណៈខាងលើ គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃ \(A\) ៖ តាង \(a = x-y, b = y-z, c = z-x\)។ ផលបូក \(a+b+c = (x-y)+(y-z)+(z-x) = 0\)។ តាមលទ្ធផលខាងលើ ៖
បង្ហាញសមភាពពីជគណិត ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមភាពប្រាហ្មគុប្តា ៖ ពន្លាតអង្គឆ្វេង ៖ \(a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2\) ពន្លាតអង្គស្តាំ ៖ \((a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2) + (a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2) = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2\)។ អង្គទាំងពីរស្មើគ្នា។
បង្ហាញថា កន្សោម \(A = n^3 - n\) ចែកដាច់នឹង \(6\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចែកដាច់នឹង \(6\) ៖ \(n^3 - n = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)\)។ នេះជាផលគុណនៃបីចំនួនគត់បន្តបន្ទាប់គ្នា។ ក្នុងបីចំនួនគត់បន្តបន្ទាប់គ្នា តែងតែមានមួយចែកដាច់នឹង \(2\) និងមួយចែកដាច់នឹង \(3\)។ ដោយ \(\gcd(2, 3) = 1\) នោះផលគុណចែកដាច់នឹង \(2 \times 3 = 6\)។
បង្ហាញថា កន្សោម \(B = n^5 - n\) ចែកដាច់នឹង \(30\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចែកដាច់នឹង \(30\) ៖ \(n^5 - n = n(n^4-1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)។ កន្សោមនេះចែកដាច់នឹង \(6\)។ ម៉្យាងទៀត តាមទ្រឹស្តីបទតូច Fermat \(n^5 \equiv n \pmod{5}\) នាំឱ្យចែកដាច់នឹង \(5\)។ ដោយ \(\gcd(6, 5) = 1\) នោះចែកដាច់នឹង \(30\)។
បង្ហាញថា ផលគុណនៃបួនចំនួនគត់បន្តបន្ទាប់គ្នា បូកនឹង \(1\) គឺជាការេនៃចំនួនគត់មួយ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ផលគុណបួនចំនួនបន្តបន្ទាប់បូក \(1\) ៖ \(P = [n(n+3)][(n+1)(n+2)] + 1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2) + 1\) តាង \(t = n^2+3n\) ៖ \(P = t(t+2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2 = (n^2+3n+1)^2\)។
រកតម្លៃតូចបំផុតនៃកន្សោមដឺក្រេទីពីរខាងក្រោម និងបញ្ជាក់តម្លៃ \(x\) ត្រូវគ្នា ៖
\(A = x^2 - 8x + 20\)
\(B = x^2 + 6x - 7\)
\(C = 2x^2 - 4x + 9\)
\(D = 3x^2 + 12x + 15\)
មើលដំណោះស្រាយ
តម្លៃតូចបំផុត ៖
a. \(A = (x-4)^2 + 4 \ge 4\) (តូចបំផុតគឺ \(4\) ពេល \(x = 4\))
b. \(B = (x+3)^2 - 16 \ge -16\) (តូចបំផុតគឺ \(-16\) ពេល \(x = -3\))
c. \(C = 2(x-1)^2 + 7 \ge 7\) (តូចបំផុតគឺ \(7\) ពេល \(x = 1\))
d. \(D = 3(x+2)^2 + 3 \ge 3\) (តូចបំផុតគឺ \(3\) ពេល \(x = -2\))
រកតម្លៃធំបំផុតនៃកន្សោមដឺក្រេទីពីរខាងក្រោម និងបញ្ជាក់តម្លៃ \(x\) ត្រូវគ្នា ៖
\(A = -x^2 + 10x - 16\)
\(B = -x^2 - 4x + 12\)
\(C = -2x^2 + 8x - 3\)
\(D = 5 - 6x - 3x^2\)
មើលដំណោះស្រាយ
តម្លៃធំបំផុត ៖
a. \(A = -(x-5)^2 + 9 \le 9\) (ធំបំផុតគឺ \(9\) ពេល \(x = 5\))
b. \(B = -(x+2)^2 + 16 \le 16\) (ធំបំផុតគឺ \(16\) ពេល \(x = -2\))
c. \(C = -2(x-2)^2 + 5 \le 5\) (ធំបំផុតគឺ \(5\) ពេល \(x = 2\))
d. \(D = -3(x+1)^2 + 8 \le 8\) (ធំបំផុតគឺ \(8\) ពេល \(x = -1\))
រកតម្លៃតូចបំផុតនៃកន្សោមពីរអថេរ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
តម្លៃតូចបំផុតនៃ \(M\) ៖ \(M = (x^2-4x+4) + (y^2+6y+9) + 2 = (x-2)^2 + (y+3)^2 + 2 \ge 2\) តម្លៃតូចបំផុតគឺ \(2\) ពេល \(x = 2, y = -3\)។
រកតម្លៃតូចបំផុតនៃកន្សោម ៖
មើលដំណោះស្រាយ
តម្លៃតូចបំផុតនៃ \(N\) ៖ \(N = (x^2-2xy+y^2) + y^2 - 4x + 20\) រៀបតាម \(x\) ៖ \(x^2 - 2(y+2)x + 2y^2 + 20 = [x - (y+2)]^2 + (y-2)^2 + 12 \ge 12\) តម្លៃតូចបំផុតគឺ \(12\) ពេល \(y = 2, x = 4\)។
រកគ្រប់គូនៃចំនួនគត់ \((x, y)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
រកចំនួនគត់ \((x, y)\) ៖ \(xy - 2x - 3y + 6 = 11 \iff (x-3)(y-2) = 11\) ដោយ \(11\) ជាចំនួនបឋម កត្តាគឺ \((\pm 1, \pm 11)\) និង \((\pm 11, \pm 1)\) ៖ \((x, y) \in \{(4, 13), (2, -9), (14, 3), (-8, 1)\}\)។
រកគ្រប់គូនៃចំនួនគត់ \((x, y)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
រកចំនួនគត់ \((x, y)\) ៖ \((x-y)(x+y) = 21\) គូកត្តាគឺ \((1, 21), (3, 7), (-1, -21), (-3, -7)\) និងត្រឡប់ ៖ \((x, y) \in \{(\pm 11, \pm 10), (\pm 5, \pm 2)\}\)។
សម្រួលកន្សោមផលបូក ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ផលបូកតេឡេស្កូពិច ៖ \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃ \(P\) ៖ ពីសមាមាត្រ \(\frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = \frac{a+b+c}{2(a+b+c)} = \frac{1}{2}\) \(\implies b+c = 2a, c+a = 2b, a+b = 2c\)
គេឱ្យ \(x, y, z\) ជាបីចំនួនពិតខុសពីសូន្យផ្ទៀងផ្ទាត់ \(x + y + z = 0\)។ គណនាតម្លៃ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃ \(M\) ៖ \(z = -(x+y) \implies z^2 = x^2+2xy+y^2 \implies x^2+y^2-z^2 = -2xy\)
បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(a, b, c\) ជាប្រវែងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណមួយ នោះ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមភាពត្រីកោណ ៖ តាមវិសមភាពត្រីកោណ \(a < b+c \implies a^2 < a(b+c) = ab+ac\)។ ដូចគ្នា \(b^2 < bc+ba\) និង \(c^2 < ca+cb\)។ បូកអង្គនិងអង្គ ៖ \(a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)\)។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៣ កន្សោមពីជគណិត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី