ការគូរផែនទី និងការកំណត់ទិសដៅ គឺជាសមិទ្ធផលដ៏អស្ចារ្យនៃការរួមបញ្ចូលគ្នារវាងគណិតវិទ្យា និងភូមិសាស្ត្រ ៖
ផែនទីដំបូងបង្អស់ ៖ ផ្ទាំងដីឥដ្ឋនៅបាប៊ីឡូន (ប្រហែល ២៣០០ មុន គ.ស.) បង្ហាញពីប្លង់ដីកសិកម្ម និងដងទន្លេ។ ជនជាតិអេស៊ីបបុរាណបានគូរផែនទីរ៉ែមាសនៅលើក្រដាសផាពីរុស។
ក្លូដ្យូស តូលេមី (Claudius Ptolemy, c. 100–170 នៃ គ.ស.) ៖ ក្នុងស្នាដៃ Geographia បានបង្កើតប្រព័ន្ធកូអរដោនេរយៈទទឹង និងរយៈបណ្តោយ និងបានកំណត់ក្បួនខ្នាតមាត្រដ្ឋានដំបូងដើម្បីបង្រួមផ្ទៃផែនដីមកលើសន្លឹកក្រដាស។
ហ្សឺរ៉ាឌូស មែរកាទ័រ (Gerardus Mercator, 1512–1594) ៖ បានបង្កើតចំណោលផែនទី Mercator ដែលជួយឱ្យអ្នកបើកបរកប៉ាល់អាចធ្វើដំណើរតាមទិសដៅត្រីវិស័យថេរលើបន្ទាត់ត្រង់។
វិទ្យាសាស្ត្រនាវាចរណ៍ទំនើប ៖ ការប្រើប្រាស់ មុំទិសដៅ (Bearings) ដែលវាស់ចាប់ពីទិសខាងជើងតាមទិសទ្រនិចនាឡិកា (ពី \(000^\circ\) ដល់ \(360^\circ\)) គឺជាស្នូលនៃការគ្រប់គ្រងជើងហោះហើរ នាវាសមុទ្រ និងបច្ចេកវិទ្យាកំណត់ទីតាំង GPS សកល។
មាត្រដ្ឋាន (Scale)
និយមន័យ និងរូបមន្តគ្រឹះ
មាត្រដ្ឋាន គឺជាផលធៀបរវាងប្រវែងនៅលើប្លង់ (ឬផែនទី) និងប្រវែងជាក់ស្តែងនៅលើដី ដែលប្រវែងទាំងពីរត្រូវគិតជាឯកតាដូចគ្នា ៖
ប្រវែងលើប្លង់ ៖ \(d = D \times \) មាត្រដ្ឋាន
ប្រវែងជាក់ស្តែង ៖ \(D = \frac{d}{\text{មាត្រដ្ឋាន}} = d \times (\) ភាគបែងនៃមាត្រដ្ឋាន \()\)
ការប្តូរខ្នាតប្រវែង ៖
\[1\text{ km} = 1\,000\text{ m} = 100\,000\text{ cm} = 1\,000\,000\text{ mm}\]\[1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}\]
នៅលើផែនទីដែលមានមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{200\,000}\) ចម្ងាយរវាងក្រុងពីរគឺ \(4.5\text{ cm}\)។ គណនាចម្ងាយជាក់ស្តែងរវាងក្រុងទាំងពីរគិតជាគីឡូម៉ែត្រ (\(\text{km}\))។
ចម្ងាយជាក់ស្តែងនៅលើដីគឺ ៖
មាត្រដ្ឋានផ្ទៃក្រឡា និងមាត្រដ្ឋានមាឌ
បើមាត្រដ្ឋានប្រវែងស្មើ \(k = \frac{1}{n}\) នោះ ៖
មាត្រដ្ឋានផ្ទៃក្រឡា ៖ \(\frac{s}{S} = k^2 = \frac{1}{n^2}\)
មាត្រដ្ឋានមាឌ ៖ \(\frac{v}{V} = k^3 = \frac{1}{n^3}\)
ទិសដៅ និងត្រីវិស័យ (Bearings and Directions)
ទិសទាំង ៨ នៃត្រីវិស័យ
មុំទិសដៅ (Three-Figure Bearings)
មុំទិសដៅនៃចំណុច \(B\) ធៀបនឹងចំណុច \(A\) គឺជាមុំរង្វាស់ដែល ៖
ចាប់ផ្តើមរាប់ចេញពី ទិសខាងជើង (North) ត្រង់ចំណុច \(A\)។
វិលតាម ទិសទ្រនិចនាឡិកា (Clockwise)។
ត្រូវសរសេរជាចំនួន ៣ ខ្ទង់ ជានិច្ច (ឧទាហរណ៍ ៖ \(045^\circ, 090^\circ, 240^\circ\))។
បើមុំទិសដៅពី \(A\) ទៅ \(B\) គឺ \(\theta\) នោះមុំទិសដៅត្រឡប់ពី \(B\) មក \(A\) គឺ ៖
លំហាត់អនុវត្តន៍
បំពេញចន្លោះដោយប្រើពាក្យ ឬចំនួនសមស្រប ៖
បើប្រវែង \(1\text{ cm}\) នៅលើផែនទីតាងឱ្យប្រវែងជាក់ស្តែង \(1\,000\text{ cm}\) នោះផែនទីមានមាត្រដ្ឋាន \(\dots\)
បើប្រវែង \(1\text{ cm}\) នៅលើផែនទីតាងឱ្យប្រវែងជាក់ស្តែង \(10\,000\text{ cm}\) នោះផែនទីមានមាត្រដ្ឋាន \(\dots\)
គេតាងមាត្រដ្ឋានដោយ \(\dots\) មួយ ដែលភាគយកជា \(\dots\) រីឯភាគបែងជា \(\dots\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. មាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{1\,000}\) ឬ \(1:1\,000\)
b. មាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{10\,000}\) ឬ \(1:10\,000\)
c. មាត្រដ្ឋានតាងដោយប្រភាគមួយ ដែលភាគយកជាប្រវែងលើប្លង់ រីឯភាគបែងជាប្រវែងជាក់ស្តែង
មាត្រដ្ឋានមួយស្មើ \(\frac{1}{2\,500}\)។ បើចម្ងាយលើផែនទីគឺ \(1\text{ cm}\) តើចម្ងាយជាក់ស្តែងលើដីគិតជាម៉ែត្រស្មើនឹងប៉ុន្មាន?
មើលដំណោះស្រាយ
\(D = 1\text{ cm} \times 2\,500 = 2\,500\text{ cm} = 25\text{ m}\)។
ផ្លូវជាតិពីភ្នំពេញទៅស្ទឹងត្រែងមានប្រវែងជាក់ស្តែង \(455\text{ km}\)។ តើនៅលើផែនទីដែលមានមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{2\,000\,000}\) មានប្រវែងប៉ុន្មានសង់ទីម៉ែត្រ?
មើលដំណោះស្រាយ
\(455\text{ km} = 45\,500\,000\text{ cm}\)។ \(d = \frac{45\,500\,000}{2\,000\,000} = 22.75\text{ cm}\)។
សុខាយករូបថតទំហំ \(4\text{ cm} \times 5\text{ cm}\) ទៅពង្រីកជាទំហំ \(16\text{ cm} \times 24\text{ cm}\)។ ចូរសរសេរផលធៀបទំហំរូបថតទាំងពីរ និងបញ្ជាក់ថាតើរូបថតទាំងពីរមានទម្រង់សមាមាត្រគ្នាដែរឬទេ?
មើលដំណោះស្រាយ
ផលធៀបបណ្តោយ ៖ \(\frac{24}{5} = 4.8\)។ ផលធៀបទទឹង ៖ \(\frac{16}{4} = 4\)។ ដោយផលធៀបទាំងពីរខុសគ្នា (\(4.8 \ne 4\)) នាំឱ្យរូបថតទាំងពីរមិនសមាមាត្រគ្នាទេ (រូបភាពត្រូវខូចទ្រង់ទ្រាយ)។
នៅលើប្លង់ផែនទី បណ្តោយចម្ការអំពៅមួយមានប្រវែង \(3.5\text{ cm}\) ហើយបណ្តោយជាក់ស្តែងគឺ \(70\text{ m}\)។ រកមាត្រដ្ឋាននៃផែនទីនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
\(70\text{ m} = 7\,000\text{ cm}\)។ មាត្រដ្ឋាន ៖ \(k = \frac{3.5}{7\,000} = \frac{1}{2\,000}\)។
រូបប្លង់ផ្ទះមួយមានបន្ទប់ទទួលភ្ញៀវប្រវែងលើប្លង់ \(8\text{ cm}\) និងបណ្តោយពិត \(16\text{ m}\)។
រកមាត្រដ្ឋាននៃប្លង់ផ្ទះ។
បើទទឹងលើប្លង់គឺ \(5\text{ cm}\) គណនាទទឹងពិតគិតជាម៉ែត្រ។
បន្ទប់គេងមានទំហំលើប្លង់ \(4\text{ cm} \times 3\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡាពិតគិតជា \(\text{m}^2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(16\text{ m} = 1\,600\text{ cm} \implies k = \frac{8}{1\,600} = \frac{1}{200}\)
b. ទទឹងពិត ៖ \(5\text{ cm} \times 200 = 1\,000\text{ cm} = 10\text{ m}\)
c. វិមាត្រពិត ៖ \(4 \times 2 = 8\text{ m}\) និង \(3 \times 2 = 6\text{ m}\) \(\implies S = 8 \times 6 = 48\text{ m}^2\)
ផែនទីមួយមានមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{80\,000}\)។ គណនាចម្ងាយជាក់ស្តែងលើដីគិតជា \(\text{km}\) បើចម្ងាយលើផែនទីគឺ \(343\text{ mm}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(D = 343\text{ mm} \times 80\,000 = 27\,440\,000\text{ mm} = 27.44\text{ km}\)។
ចម្ការដូងប្រេងមួយរាងត្រីកោណមានជ្រុងជាក់ស្តែង \(6\text{ km}, 4.5\text{ km}\) និង \(3.9\text{ km}\)។ គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបីនៅលើផែនទីដែលមានមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{75\,000}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{75\,000}\) ៖ \(6\text{ km} = 600\,000\text{ cm} \implies d_1 = \frac{600\,000}{75\,000} = 8\text{ cm}\)។ \(4.5\text{ km} \implies d_2 = \frac{450\,000}{75\,000} = 6\text{ cm}\)។ \(3.9\text{ km} \implies d_3 = \frac{390\,000}{75\,000} = 5.2\text{ cm}\)។
ផែនទីមួយមានមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{2\,500}\) នៃចម្ការចតុកោណកែងមួយដែលមានវិមាត្រលើផែនទី \(4\text{ cm}\) និង \(3.5\text{ cm}\)។ បើគេលក់ចម្ការនោះក្នុងតម្លៃ ១ អារ ស្មើ \(10\,000\,000\) រៀល គណនាថ្លៃលក់ចម្ការនោះសរុប។
មើលដំណោះស្រាយ
វិមាត្រពិត ៖ \(4\text{ cm} \times 2\,500 = 100\text{ m}\) និង \(3.5\text{ cm} \times 2\,500 = 87.5\text{ m}\)។ \(S = 100 \times 87.5 = 8\,750\text{ m}^2 = 87.5\text{ a}\)។ ថ្លៃលក់ ៖ \(87.5 \times 10\,000\,000 = 875\,000\,000\) រៀល។
លើផែនទីភូមិបាលមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{2\,500}\) មានចម្ការមួយរាងចតុកោណកែងមានបណ្តោយ \(52\text{ mm}\) និងទទឹង \(25\text{ mm}\)។ រកវិមាត្រជាក់ស្តែងគិតជាម៉ែត្រ និងផ្ទៃក្រឡាជាក់ស្តែងគិតជាហិកតា (ha)។
មើលដំណោះស្រាយ
បណ្តោយពិត ៖ \(52\text{ mm} \times 2\,500 = 130\,000\text{ mm} = 130\text{ m}\)។ ទទឹងពិត ៖ \(25\text{ mm} \times 2\,500 = 62\,500\text{ mm} = 62.5\text{ m}\)។ \(S = 130 \times 62.5 = 8\,125\text{ m}^2 = 0.8125\text{ ha}\)។
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{200\,000}\) ចម្ការដំឡូងមីមួយមានបណ្តោយ \(10.7\text{ dm}\) និងទទឹង \(4.7\text{ dm}\)។ គណនាប្រវែងវិមាត្រជាក់ស្តែងគិតជាគីឡូម៉ែត្រ។
មើលដំណោះស្រាយ
\(10.7\text{ dm} = 1.07\text{ m} \implies D_1 = 1.07 \times 200\,000 = 214\,000\text{ m} = 214\text{ km}\)។ \(4.7\text{ dm} = 0.47\text{ m} \implies D_2 = 0.47 \times 200\,000 = 94\,000\text{ m} = 94\text{ km}\)។
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{20\,000}\) ទីក្រុងបី \(A, B, C\) បង្កើតបានជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\) ដែលមាន \(AB = 4.5\text{ cm}\) និង \(AC = 6\text{ cm}\)។
គណនាប្រវែង \(BC\) នៅលើផែនទី។
គណនាប្រវែងជាក់ស្តែង \(AB, AC\) និង \(BC\) គិតជាម៉ែត្រ និងគីឡូម៉ែត្រ។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(BC = \sqrt{4.5^2 + 6^2} = 7.5\text{ cm}\)
b. \(AB = 4.5 \times 200 = 900\text{ m} = 0.9\text{ km}\)។ \(AC = 6 \times 200 = 1\,200\text{ m} = 1.2\text{ km}\)។ \(BC = 7.5 \times 200 = 1\,500\text{ m} = 1.5\text{ km}\)។
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{80\,000}\) ចម្ងាយរវាងខេត្តពីរគឺ \(66\text{ mm}\)។
គណនាចម្ងាយជាក់ស្តែងរវាងខេត្តទាំងពីរ។
រកប្រវែងចម្ងាយនោះនៅលើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{200\,000}\) និង \(\frac{1}{100\,000}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(D = 66\text{ mm} \times 80\,000 = 5\,280\,000\text{ mm} = 5.28\text{ km}\)
b. លើមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{200\,000}\) ៖ \(d = \frac{528\,000\text{ cm}}{200\,000} = 2.64\text{ cm}\)។ លើមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{100\,000}\) ៖ \(d = 5.28\text{ cm}\)។
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{1\,000\,000}\) កោះមួយត្រូវបានតាងក្នុងចតុកោណកែងវិមាត្រ \(15\text{ cm} \times 7\text{ cm}\)។ សិស្សម្នាក់បានចម្លងផែនទីនោះដោយឱ្យទទឹងមានប្រវែង \(10.5\text{ cm}\)។
រកប្រវែងបណ្តោយថ្មី។
រកមាត្រដ្ឋាននៃផែនទីចម្លងនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
a. ផលធៀបពង្រីក ៖ \(\frac{10.5}{7} = 1.5 \implies\) បណ្តោយថ្មីគឺ \(15 \times 1.5 = 22.5\text{ cm}\)
b. មាត្រដ្ឋានថ្មី ៖ \(\frac{1.5}{1\,000\,000} = \frac{1}{666\,667}\) (ប្រហាក់ប្រហែល)
គូសត្រីកោណ \(ABC\) លើប្លង់មាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{15}\)។ បើជ្រុងជាក់ស្តែងមានប្រវែង \(5.1\text{ dm}, 4.5\text{ dm}, 3.6\text{ dm}\) គណនាប្រវែងជ្រុងនីមួយៗនៅលើប្លង់គិតជាសង់ទីម៉ែត្រ។
មើលដំណោះស្រាយ
\(5.1\text{ dm} = 51\text{ cm} \implies d_1 = \frac{51}{15} = 3.4\text{ cm}\)។ \(4.5\text{ dm} = 45\text{ cm} \implies d_2 = \frac{45}{15} = 3\text{ cm}\)។ \(3.6\text{ dm} = 36\text{ cm} \implies d_3 = \frac{36}{15} = 2.4\text{ cm}\)។
ប្លង់បន្ទប់មួយមានមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{200}\) រាងចតុកោណកែងវិមាត្រលើប្លង់ \(5\text{ cm} \times 4\text{ cm}\)។
រកមាឌខ្យល់ក្នុងបន្ទប់ បើបន្ទប់មានកម្ពស់ជាក់ស្តែង \(3.75\text{ m}\)។
រកប្រាក់ដែលត្រូវទិញការ៉ូបើការ៉ូ \(1\text{ m}^2\) ថ្លៃ \(\$16\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. វិមាត្រពិត ៖ \(5 \times 2 = 10\text{ m}\) និង \(4 \times 2 = 8\text{ m}\)។ \(V = 10 \times 8 \times 3.75 = 300\text{ m}^3\)។
b. ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = 10 \times 8 = 80\text{ m}^2\)។ ប្រាក់ទិញការ៉ូ ៖ \(80 \times 16 = \$1\,280\)។
សរសេរមុំទិសដៅ ៣ ខ្ទង់ (Three-figure Bearings) នៃទិស ៖
ជើង (N), កើត (E), ត្បូង (S), លិច (W)
ឦសាន (NE), អាគ្នេយ៍ (SE), និរតី (SW), ពាយ័ព្យ (NW)
មើលដំណោះស្រាយ
a. N ៖ \(000^\circ\), E ៖ \(090^\circ\), S ៖ \(180^\circ\), W ៖ \(270^\circ\)
b. NE ៖ \(045^\circ\), SE ៖ \(135^\circ\), SW ៖ \(225^\circ\), NW ៖ \(315^\circ\)
រកមុំទិសដៅត្រឡប់ (Back Bearing) នៃមុំទិសដៅខាងក្រោម ៖
\(040^\circ\)
\(115^\circ\)
\(230^\circ\)
\(310^\circ\)
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(040^\circ + 180^\circ = 220^\circ\)
b. \(115^\circ + 180^\circ = 295^\circ\)
c. \(230^\circ - 180^\circ = 050^\circ\)
d. \(310^\circ - 180^\circ = 130^\circ\)
កប៉ាល់មួយចាកចេញពីកំពង់ផែ \(P\) ឆ្ពោះទៅទិសដៅ \(090^\circ\) បានចម្ងាយ \(8\text{ km}\) ទៅដល់ចំណុច \(Q\) រួចបន្តដំណើរទៅទិសដៅ \(180^\circ\) បាន \(6\text{ km}\) ទៅដល់ \(R\)។
គណនាចម្ងាយផ្ទាល់ពី \(P\) ទៅ \(R\)។
គណនាមុំទិសដៅនៃ \(R\) ធៀបនឹង \(P\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(PR = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ km}\)
b. \(\tan \alpha = \frac{8}{6} \implies \alpha \approx 53^\circ \implies\) មុំទិសដៅគឺ \(090^\circ + (90^\circ - 53^\circ) = 127^\circ\)
យន្តហោះមួយហោះចេញពីព្រលាន \(A\) ឆ្ពោះទៅទិស \(000^\circ\) (ជើង) បាន \(60\text{ km}\) ដល់ \(B\) រួចហោះទៅទិស \(270^\circ\) (លិច) បាន \(80\text{ km}\) ដល់ \(C\)។
គណនាចម្ងាយផ្ទាល់ពី \(A\) ទៅ \(C\)។
រកមុំទិសដៅនៃ \(C\) ធៀបនឹង \(A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(AC = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100\text{ km}\)
b. \(\tan \angle CAB = \frac{80}{60} = \frac{4}{3} \implies \angle CAB \approx 53^\circ\)។ មុំទិសដៅ ៖ \(360^\circ - 53^\circ = 307^\circ\)
លើប្លង់មាត្រដ្ឋាន \(1 : 500\) ដីឡូតិ៍មួយរាងចតុកោណកែងមានទំហំ \(6\text{ cm} \times 4\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡាជាក់ស្តែងគិតជាម៉ែត្រការេ និងជាអារ។
មើលដំណោះស្រាយ
វិមាត្រពិត ៖ \(6 \times 5 = 30\text{ m}\) និង \(4 \times 5 = 20\text{ m}\)។ \(S = 30 \times 20 = 600\text{ m}^2 = 6\text{ a}\)។
ស្រះចិញ្ចឹមត្រីមួយរាងការេមានផ្ទៃជាក់ស្តែង \(400\text{ m}^2\)។ តើលើប្លង់មាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{200}\) ស្រះនោះជាការេមានជ្រុងប្រវែងប៉ុន្មានសង់ទីម៉ែត្រ?
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងពិត ៖ \(a = \sqrt{400} = 20\text{ m} = 2\,000\text{ cm}\)។ ជ្រុងលើប្លង់ ៖ \(d = \frac{2\,000}{200} = 10\text{ cm}\)។
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{50\,000}\) បឹងមួយមានផ្ទៃក្រឡា \(12\text{ cm}^2\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡាជាក់ស្តែងនៃបឹងនោះគិតជាហិកតា (ha) និងជាគីឡូម៉ែត្រការេ (\(\text{km}^2\))។
មើលដំណោះស្រាយ
\(S_{\text{ពិត}} = 12\text{ cm}^2 \times (50\,000)^2 = 12 \times 2.5 \times 10^9\text{ cm}^2 = 3\,000\,000\text{ m}^2 = 300\text{ ha} = 3\text{ km}^2\)។
ចម្ងាយរវាងភ្នំពេញ និងបាត់ដំបងគឺ \(290\text{ km}\)។ តើចម្ងាយនេះលើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{500\,000}\) មានប្រវែងប៉ុន្មានសង់ទីម៉ែត្រ?
មើលដំណោះស្រាយ
\(290\text{ km} = 29\,000\,000\text{ cm}\)។ \(d = \frac{29\,000\,000}{500\,000} = 58\text{ cm}\)។
កំពូលភ្នំ \(B\) មានមុំទិសដៅ \(070^\circ\) ពីចំណុចសង្កេត \(A\)។ តើមុំទិសដៅនៃ \(A\) ធៀបនឹងកំពូលភ្នំ \(B\) ស្មើប៉ុន្មាន?
មើលដំណោះស្រាយ
មុំទិសដៅត្រឡប់ ៖ \(070^\circ + 180^\circ = 250^\circ\)។
បង្គោលភ្លើងហ្វារ \(L\) ស្ថិតនៅទិសដៅ \(245^\circ\) ពីកប៉ាល់ \(S\)។ រកមុំទិសដៅនៃកប៉ាល់ \(S\) ធៀបនឹងបង្គោលភ្លើងហ្វារ \(L\)។
មើលដំណោះស្រាយ
មុំទិសដៅត្រឡប់ ៖ \(245^\circ - 180^\circ = 065^\circ\)។
ពីចំណុច \(O\) រថយន្តមួយបើកទៅទិសឦសានបាន \(40\text{ km}\) ហើយរថយន្តមួយទៀតបើកទៅទិសនិរតីបាន \(60\text{ km}\)។ គណនាចម្ងាយរវាងរថយន្តទាំងពីរ។
មើលដំណោះស្រាយ
ទិសឦសាន និងនិរតីជាទិសផ្ទុយគ្នាស្រឡះ (\(180^\circ\)) ៖ ចម្ងាយសរុប ៖ \(40 + 60 = 100\text{ km}\)។
ពីចំណុច \(O\) កប៉ាល់ \(A\) បើកទៅទិស \(030^\circ\) បាន \(15\text{ km}\) ហើយកប៉ាល់ \(B\) បើកទៅទិស \(120^\circ\) បាន \(20\text{ km}\)។
បង្ហាញថា \(\Delta OAB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(O\)។
គណនាចម្ងាយរវាងកប៉ាល់ទាំងពីរ \(AB\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\angle AOB = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ \implies \Delta OAB\) កែងត្រង់ \(O\)
b. \(AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25\text{ km}\)
ដីមួយកន្លែងរាងត្រីកោណកែងមានជ្រុងជាក់ស្តែង \(30\text{ m}, 40\text{ m}, 50\text{ m}\)។ គូរដីនោះលើប្លង់មាត្រដ្ឋាន \(1 : 200\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡាលើប្លង់ និងផ្ទៃជាក់ស្តែង។
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងលើប្លង់ ៖ \(15\text{ cm}, 20\text{ cm}, 25\text{ cm}\)។ \(S_{\text{ប្លង់}} = \frac{1}{2}(15)(20) = 150\text{ cm}^2\)។ \(S_{\text{ពិត}} = \frac{1}{2}(30)(40) = 600\text{ m}^2\)។
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(1 : 25\,000\) ផ្លូវដែកមួយមានប្រវែង \(18.4\text{ cm}\)។ គណនាប្រវែងជាក់ស្តែងគិតជាគីឡូម៉ែត្រ។
មើលដំណោះស្រាយ
\(D = 18.4\text{ cm} \times 25\,000 = 460\,000\text{ cm} = 4.6\text{ km}\)។
បើមាត្រដ្ឋានគំរូរថយន្តមួយគឺ \(1 : 24\)។ បើរថយន្តពិតមានបណ្តោយ \(4.8\text{ m}\) តើរថយន្តគំរូមានបណ្តោយប៉ុន្មានសង់ទីម៉ែត្រ?
មើលដំណោះស្រាយ
\(d = \frac{480\text{ cm}}{24} = 20\text{ cm}\)។
ផ្ទៃដី ១ ហិកតា (ha) លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{10\,000}\) ត្រូវតាងដោយផ្ទៃប៉ុន្មានសង់ទីម៉ែត្រការេ?
មើលដំណោះស្រាយ
\(1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2 = 10^8\text{ cm}^2\)។ \(s = \frac{10^8}{(10^4)^2} = \frac{10^8}{10^8} = 1\text{ cm}^2\)។
អាងស្តុកទឹកមួយមានមាឌជាក់ស្តែង \(8\,000\text{ m}^3\)។ លើគំរូមាត្រដ្ឋាន \(1 : 100\) តើអាងគំរូមានមាឌប៉ុន្មានលីត្រ?
មើលដំណោះស្រាយ
\(V_{\text{គំរូ}} = \frac{8\,000\text{ m}^3}{100^3} = \frac{8\,000}{1\,000\,000} = 0.008\text{ m}^3 = 8\text{ L}\)។
អ្នកដើរព្រៃម្នាក់ដើរពីជំរំ \(A\) ឆ្ពោះទៅទិសដៅ \(135^\circ\) បាន \(5\text{ km}\) ដល់ចំណុច \(B\) រួចបន្តដំណើរទៅទិសដៅ \(225^\circ\) បាន \(5\text{ km}\) ដល់ \(C\)។
បង្ហាញថា \(\angle ABC = 90^\circ\)។
គណនាចម្ងាយពីជំរំ \(A\) ទៅចំណុច \(C\)។
កំណត់មុំទិសដៅនៃ \(C\) ធៀបនឹង \(A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(B\) ទៅ \(A\) គឺ \(315^\circ\), \(B\) ទៅ \(C\) គឺ \(225^\circ \implies \angle ABC = 315^\circ - 225^\circ = 90^\circ\)
b. \(AC = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\text{ km}\)
c. ទិសដៅនៃ \(C\) ធៀបនឹង \(A\) គឺ \(180^\circ\) (ត្បូង)
ពីកំពូលប៉មសង្កេតការណ៍ គេមើលឃើញភ្លើងសញ្ញាពីរ ៖ ភ្លើង \(X\) នៅទិស \(050^\circ\) ចម្ងាយ \(8\text{ km}\) និងភ្លើង \(Y\) នៅទិស \(140^\circ\) ចម្ងាយ \(15\text{ km}\)។ គណនាចម្ងាយរវាងភ្លើងទាំងពីរ \(XY\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\angle XOY = 140^\circ - 50^\circ = 90^\circ\)។ \(XY = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17\text{ km}\)។
លើប្លង់ស្ថាបត្យកម្មមាត្រដ្ឋាន \(1 : 50\) កម្រាលឥដ្ឋការ៉ូមួយមានវិមាត្រ \(1.2\text{ cm} \times 1.2\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡាជាក់ស្តែងនៃឥដ្ឋការ៉ូនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងពិត ៖ \(1.2\text{ cm} \times 50 = 60\text{ cm} = 0.6\text{ m}\)។ \(S = 0.6^2 = 0.36\text{ m}^2\)។
ផែនទីមួយត្រូវបានបង្រួមពីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{50\,000}\) ទៅជាមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{200\,000}\)។ តើចម្ងាយនៅលើផែនទីថ្មីថយចុះប៉ុន្មានដង?
មើលដំណោះស្រាយ
ចម្ងាយថយចុះ \(\frac{200\,000}{50\,000} = 4\) ដង។
តាមទិន្នន័យលំហាត់ទី ៣៧ តើផ្ទៃក្រឡានៅលើផែនទីថ្មីថយចុះប៉ុន្មានដង?
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃក្រឡាថយចុះ \(4^2 = 16\) ដង។
កប៉ាល់មួយចាកចេញពីកំពង់ផែ \(O\) ឆ្ពោះទៅទិស \(060^\circ\) បាន \(20\text{ km}\) ដល់ \(A\)។ កប៉ាល់ទីពីរចេញពី \(O\) ទៅទិស \(240^\circ\) បាន \(35\text{ km}\) ដល់ \(B\)។ គណនាចម្ងាយរវាងកប៉ាល់ទាំងពីរ។
មើលដំណោះស្រាយ
\(240^\circ - 060^\circ = 180^\circ\) (ទិសផ្ទុយគ្នា) ៖ ចម្ងាយរវាងកប៉ាល់ទាំងពីរ ៖ \(20 + 35 = 55\text{ km}\)។
បង្ហាញថា ចំណុចបី \(A, O, B\) ក្នុងលំហាត់ទី ៣៩ រត់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ (កូលីនេអ៊ែរ)។
មើលដំណោះស្រាយ
មុំ \(\angle AOB = 180^\circ \implies O\) ស្ថិតនៅលើអង្កត់ \(AB\) នាំឱ្យ \(A, O, B\) រត់លើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ។
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{100\,000}\) ចម្ងាយរវាងពីរចំណុចគឺ \(7.2\text{ cm}\)។ បើគូសលើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{25\,000}\) តើចម្ងាយនោះមានប្រវែងប៉ុន្មាន?
មើលដំណោះស្រាយ
\(D = 7.2\text{ cm} \times 100\,000 = 720\,000\text{ cm}\)។ លើមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{25\,000}\) ៖ \(d = \frac{720\,000}{25\,000} = 28.8\text{ cm}\)។
រូបថតផ្កាយរណបមួយមានមាត្រដ្ឋាន \(1 : 10\,000\)។ ព្រលានយន្តហោះមួយមានផ្លូវរត់ប្រវែង \(35\text{ cm}\) លើរូបថត។ គណនាប្រវែងពិតនៃផ្លូវរត់គិតជាម៉ែត្រ។
មើលដំណោះស្រាយ
\(D = 35\text{ cm} \times 10\,000 = 350\,000\text{ cm} = 3\,500\text{ m} = 3.5\text{ km}\)។
កប៉ាល់មួយបើកបរក្នុងទិសដៅ \(300^\circ\)។ គណនាមុំដែលកប៉ាល់បង្កើតជាមួយនឹងទិសខាងលិច (West)។
មើលដំណោះស្រាយ
ទិសលិចគឺ \(270^\circ\) ៖ មុំបង្កើតគឺ \(300^\circ - 270^\circ = 30^\circ\) (ទៅខាងជើង)។
កប៉ាល់មួយបើកបរក្នុងទិសដៅ \(120^\circ\)។ គណនាមុំដែលកប៉ាល់បង្កើតជាមួយនឹងទិសខាងកើត (East)។
មើលដំណោះស្រាយ
ទិសកើតគឺ \(090^\circ\) ៖ មុំបង្កើតគឺ \(120^\circ - 090^\circ = 30^\circ\) (ទៅខាងត្បូង)។
ដីមួយកន្លែងមានរាងចតុកោណព្នាយមានបាត \(40\text{ m}, 60\text{ m}\) និងកម្ពស់ \(30\text{ m}\)។ គណនាផ្ទៃដីជាក់ស្តែង និងផ្ទៃលើប្លង់មាត្រដ្ឋាន \(1 : 1\,000\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(S_{\text{ពិត}} = \frac{(40 + 60) \times 30}{2} = 1\,500\text{ m}^2\)។ \(S_{\text{ប្លង់}} = \frac{1\,500\text{ m}^2}{1\,000^2} = \frac{1\,500 \times 10^4\text{ cm}^2}{10^6} = 15\text{ cm}^2\)។
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{250\,000}\) ខេត្តពីរមានចម្ងាយ \(14.8\text{ cm}\)។ រថយន្តមួយបើកបរចន្លោះខេត្តទាំងពីរក្នុងល្បឿនមធ្យម \(74\text{ km/h}\)។ តើរថយន្តត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានម៉ោង?
មើលដំណោះស្រាយ
\(D = 14.8\text{ cm} \times 250\,000 = 3\,700\,000\text{ cm} = 37\text{ km}\)។ ពេល ៖ \(t = \frac{37}{74} = 0.5\text{ h} = 30\) នាទី។
ប៉មពីរ \(A\) និង \(B\) ស្ថិតនៅចម្ងាយ \(10\text{ km}\) ពីគ្នា។ មុំទិសដៅនៃ \(B\) ធៀបនឹង \(A\) គឺ \(090^\circ\) (កើត)។ ឧទ្ធម្ភាគចក្រមួយនៅចំណុច \(C\) ដែលមានមុំទិសដៅពី \(A\) គឺ \(045^\circ\) និងពី \(B\) គឺ \(315^\circ\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABC\) ជាត្រីកោណកែងសមបាតត្រង់ \(C\)។
គណនាចម្ងាយពីឧទ្ធម្ភាគចក្រទៅកាន់ប៉មទាំងពីរ។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\angle CAB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\), \(\angle CBA = 315^\circ - 270^\circ = 45^\circ \implies \angle ACB = 90^\circ\) នាំឱ្យ \(\Delta ABC\) កែងសមបាត
b. \(AC = BC = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\text{ km}\)
លើផែនទីមាត្រដ្ឋាន \(\frac{1}{20\,000}\) ព្រៃសហគមន៍មួយមានរាងជាពហុកោណដែលមានផ្ទៃ \(35\text{ cm}^2\)។ គណនាផ្ទៃដីព្រៃជាក់ស្តែងគិតជាហិកតា (ha)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(S_{\text{ពិត}} = 35\text{ cm}^2 \times (20\,000)^2 = 35 \times 4 \times 10^8\text{ cm}^2 = 140\text{ ha}\)។
គេសង់គំរូស្ពានមួយដោយប្រើមាត្រដ្ឋាន \(1 : 200\)។ បើស្ពានគំរូមានប្រវែង \(1.75\text{ m}\) គណនាប្រវែងពិតនៃស្ពាននោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
\(D = 1.75\text{ m} \times 200 = 350\text{ m}\)។
អ្នករត់ប្រណាំងម្នាក់រត់ពីចំណុច \(S\) ទៅទិសខាងជើង \(3\text{ km}\) រួចបត់ទៅទិសខាងកើត \(4\text{ km}\) ដល់គោលដៅ \(F\)។
គណនាចម្ងាយផ្ទាល់ពី \(S\) ទៅ \(F\)។
គណនាមុំទិសដៅនៃគោលដៅ \(F\) ធៀបនឹងចំណុចចេញដំណើរ \(S\) (យក \(\tan 53^\circ \approx \frac{4}{3}\))។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(SF = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ km}\)
b. \(\tan \theta = \frac{4}{3} \implies \theta \approx 53^\circ \implies\) មុំទិសដៅគឺ \(053^\circ\)
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៨ មាត្រដ្ឋាន និងទិសដៅ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី