ការយល់ដឹងអំពី ចតុកោណ (Quadrilaterals) បានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រមនុស្សជាតិ ៖
អរិយធម៌បុរាណ ៖ នៅបាប៊ីឡូន និងអេហ្ស៊ីបបុរាណ ការវាស់វែង និងបែងចែកដីកសិកម្មតាមដងទន្លេនីល និងទន្លេអឺប្រាត តម្រូវឱ្យមានក្បួនគណនាផ្ទៃ និងលក្ខណៈចតុកោណកែង ចតុកោណព្នាយ និងចតុកោណស្មើ។
អឺគ្លីដ (Euclid, c. 300 មុន គ.ស.) ៖ ក្នុងគម្ពីរ The Elements (សៀវភៅទី ១ ទ្រឹស្ដីបទ ៣៣, ៣៤) បានផ្តល់និយមន័យ និងការស្រាយបំភ្លឺដំបូងគេបង្អស់អំពី «ប្រលេឡូក្រាម (Parallelogram)» ដែលមកពីពាក្យក្រិកមានន័យថា «រូបដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ស្រប»។
ព្យែរ វ៉ារីញ៉ុង (Pierre Varignon, 1654–1722) ៖ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង បានរកឃើញទ្រឹស្ដីបទដ៏ល្បីល្បាញមួយហៅថា ទ្រឹស្ដីបទវ៉ារីញ៉ុង (Varignon’s Theorem) ដែលបញ្ជាក់ថា ៖ «អង្កត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទាំងបួននៃចតុកោណទូទៅណាមួយ តែងតែបង្កើតបានជាប្រលេឡូក្រាមមួយជានិច្ច!»។
ប្រលេឡូក្រាម (Parallelogram)
និយមន័យ និងលក្ខណៈ
ប្រលេឡូក្រាម គឺជាចតុកោណដែលមានជ្រុងឈមស្របគ្នាពីរៗ ៖
ក្នុងប្រលេឡូក្រាមមួយ ៖
ជ្រុងឈមប៉ុនគ្នាពីរៗ ៖ \(AB = CD\) និង \(AD = BC\)
មុំឈមប៉ុនគ្នាពីរៗ ៖ \(\angle A = \angle C\) និង \(\angle B = \angle D\)
មុំតគ្នាជាមុំបន្ថែមគ្នា ៖ \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), \(\angle B + \angle C = 180^\circ\), \(\dots\)
អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរប្រសព្វគ្នាកាត់តាមចំណុចកណ្តាលរៀងគ្នា \(O\) (ហៅថា ផ្ចិតឆ្លុះ)
អង្កត់ទ្រូងនីមួយៗចែកប្រលេឡូក្រាមជាពីរត្រីកោណប៉ុនគ្នា
លក្ខខណ្ឌសម្គាល់ប្រលេឡូក្រាម
ចតុកោណប៉ោងមួយជាប្រលេឡូក្រាម កាលណាវាផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌណាមួយខាងក្រោម ៖
មានជ្រុងឈមស្របគ្នាពីរៗ
មានជ្រុងឈមប៉ុនគ្នាពីរៗ
មានជ្រុងឈមមួយគូស្របគ្នាផង និងប៉ុនគ្នាផង
មានមុំឈមប៉ុនគ្នាពីរៗ
មានអង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ចំណុចកណ្តាលរៀងគ្នា
គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មាន \(\angle A = 2x + 10^\circ\) និង \(\angle B = 3x - 30^\circ\)។ គណនាតម្លៃ \(x\) និងរង្វាស់មុំទាំងអស់នៃប្រលេឡូក្រាម។
ដោយសារ \(\angle A\) និង \(\angle B\) ជាមុំតគ្នានៃប្រលេឡូក្រាម នាំឱ្យវាជាមុំបន្ថែមគ្នា ៖
\(\angle A = 2(40^\circ) + 10^\circ = 90^\circ\) (ជាចតុកោណកែង!)
\(\angle B = 3(40^\circ) - 30^\circ = 90^\circ\)
\(\angle C = \angle A = 90^\circ\) និង \(\angle D = \angle B = 90^\circ\)
ចតុកោណកែង ចតុកោណស្មើ និងការេ
ចតុកោណកែង (Rectangle)
ចតុកោណកែង គឺជាប្រលេឡូក្រាមដែលមានមុំមួយជាមុំកែង។
មានគ្រប់លក្ខណៈទាំងអស់នៃប្រលេឡូក្រាម
មុំទាំងបួនជាមុំកែង ៖ \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\)
អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរប៉ុនគ្នា ៖ \(AC = BD\)
ចតុកោណស្មើ (Rhombus)
ចតុកោណស្មើ គឺជាចតុកោណដែលមានជ្រុងទាំងបួនប៉ុនគ្នា ៖
មានគ្រប់លក្ខណៈទាំងអស់នៃប្រលេឡូក្រាម
អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរកែងគ្នាត្រង់ចំណុចកណ្តាល ៖ \(AC \bot BD\)
អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំទាំងបួន
ការេ (Square)
ការេ គឺជាចតុកោណកែងផង និងជាចតុកោណស្មើផង។
ការេមានគ្រប់លក្ខណៈទាំងអស់នៃចតុកោណកែង និងចតុកោណស្មើ ៖
ជ្រុងទាំងបួនប៉ុនគ្នា និងមុំទាំងបួនជាមុំកែង
អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរប៉ុនគ្នា កែងគ្នា ប្រសព្វគ្នាកាត់តាមចំណុចកណ្តាលរៀងគ្នា និងពុះមុំកំពូលជាពីរមុំ \(45^\circ\)
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ |
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ |
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ |
| ចតុកោណកែង (\(AC=BD\)) | ចតុកោណស្មើ (\(AC \bot BD\)) | ការេ (\(AC=BD \,,\, AC \bot BD\)) |
ចតុកោណព្នាយ និងបាតមធ្យម
ចតុកោណព្នាយ (Trapezoid)
ចតុកោណព្នាយ គឺជាចតុកោណដែលមានជ្រុងឈមពីរស្របគ្នា (ហៅថា បាត)។
ចតុកោណព្នាយកែង ៖ ជាចតុកោណព្នាយដែលមានជ្រុងទ្រេតមួយកែងនឹងបាត។
ចតុកោណព្នាយសមបាត ៖ ជាចតុកោណព្នាយដែលមានមុំបាតទាំងពីរប៉ុនគ្នា។ ក្នុងចតុកោណព្នាយសមបាត ជ្រុងទ្រេតទាំងពីរប៉ុនគ្នា និងអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរប៉ុនគ្នា។
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ |
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ |
| ចតុកោណព្នាយសមបាត (\(AD=BC \,,\, AC=BD\)) | ចតុកោណព្នាយកែង (\(\angle A = \angle D = 90^\circ\)) |
ទ្រឹស្ដីបទបាតមធ្យម
អង្កត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងពីរនៃត្រីកោណ ស្របទៅនឹងជ្រុងទីបី ហើយមានប្រវែងស្មើពាក់កណ្តាលនៃជ្រុងទីបី ៖
អង្កត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទ្រេតទាំងពីរនៃចតុកោណព្នាយ ស្របទៅនឹងបាតទាំងពីរ ហើយមានប្រវែងស្មើពាក់កណ្តាលនៃផលបូកបាតទាំងពីរ ៖
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ |
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ |
| បាតមធ្យមត្រីកោណ | បាតមធ្យមព្នាយ |
| \(MN = \frac{1}{2}BC\) | \(MN = \frac{AB+CD}{2}\) |
ចតុកោណព្នាយ \(ABCD\) មានបាត \(AB = 6\text{ cm}\) និងបាតធំ \(CD = 14\text{ cm}\)។ រកប្រវែងបាតមធ្យម \(MN\) និងប្រវែងកំណាត់កាត់ដោយអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ។
ប្រវែងបាតមធ្យម \(MN\) ៖
\[MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{6 + 14}{2} = \frac{20}{2} = 10\text{ cm}\]តាង \(P, Q\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃ \(MN\) ជាមួយ \(AC\) និង \(BD\)។ ក្នុង \(\Delta ABC\) ៖ \(MP = \frac{1}{2}AB = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}\)។ ក្នុង \(\Delta BCD\) ៖ \(MQ = \frac{1}{2}CD = \frac{14}{2} = 7\text{ cm}\)។ កំណាត់នៅចន្លោះអង្កត់ទ្រូង ៖ \(PQ = MQ - MP = 7 - 3 = 4\text{ cm}\) (ស្មើនឹង \(\frac{CD - AB}{2}\)!)។
លំហាត់អនុវត្តន៍
គេមានប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មួយ។ ចូរបំពេញចន្លោះ ៖
ជ្រុងឈមនឹងជ្រុង \(AB\) គឺ \(\dots\) នាំឱ្យ \(AB = \dots\)
ជ្រុងឈមនឹងជ្រុង \(AD\) គឺ \(\dots\) នាំឱ្យ \(AD = \dots\)
មុំឈមនឹង \(\angle A\) គឺ \(\dots\) នាំឱ្យ \(\angle A = \dots\)
ផលបូកមុំជាប់គ្នា ៖ \(\angle A + \angle B = \dots\) និង \(\angle B + \angle C = \dots\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំពេញចន្លោះ ៖
a. ជ្រុងឈមនឹង \(AB\) គឺ \(CD \implies AB = CD\)
b. ជ្រុងឈមនឹង \(AD\) គឺ \(BC \implies AD = BC\)
c. មុំឈមនឹង \(\angle A\) គឺ \(\angle C \implies \angle A = \angle C\)
d. \(\angle A + \angle B = 180^\circ\) និង \(\angle B + \angle C = 180^\circ\)
គេមានប្រលេឡូក្រាម \(RSTV\) មួយដែល \(\angle S = 24^\circ\), \(ST = 5\text{ cm}\) និង \(VT = 8\text{ cm}\)។ គណនា ៖
រង្វាស់មុំ \(\angle V\) និង \(\angle T\)
ប្រវែងជ្រុង \(RV\) និង \(RS\)
មើលដំណោះស្រាយ
\(RSTV\) ជាប្រលេឡូក្រាម ៖
a. \(\angle V = \angle S = 24^\circ\) (មុំឈម)។ \(\angle T = 180^\circ - 24^\circ = 156^\circ\) (មុំបន្ថែម)។
b. \(RV = ST = 5\text{ cm}\) និង \(RS = VT = 8\text{ cm}\)។
គេមានប្រលេឡូក្រាម \(MNPQ\) មួយដែល \(\angle M = 110^\circ\), \(MQ = 5\text{ cm}\) និង \(MN = 8\text{ cm}\)។ គណនា ៖
រង្វាស់មុំ \(\angle Q\) និង \(\angle P\)
ប្រវែងជ្រុង \(NP\) និង \(PQ\)
មើលដំណោះស្រាយ
\(MNPQ\) ជាប្រលេឡូក្រាម ៖
a. \(\angle P = \angle M = 110^\circ\)។ \(\angle Q = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)។
b. \(NP = MQ = 5\text{ cm}\) និង \(PQ = MN = 8\text{ cm}\)។
ក្នុងប្រលេឡូក្រាម \(RSTV\) មាន \(\angle R = 67^\circ\)។
គណនារង្វាស់មុំ \(\angle S, \angle T, \angle V\)។
តើអង្កត់ទ្រូង \(RT\) និង \(SV\) មួយណាមានប្រវែងវែងជាង? ព្រោះអ្វី?
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\angle T = \angle R = 67^\circ\)។ \(\angle S = \angle V = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ\)។
b. អង្កត់ទ្រូង \(RT\) ឈមនឹងមុំទាល \(\angle S = 113^\circ\) នាំឱ្យ \(RT > SV\) (\(RT\) វែងជាងគេ)។
ប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មានអង្កត់ទ្រូង \(AC\) និង \(BD\) ដែល \(AC > BD\)។ ចូរកំណត់ថាតើមុំណាខ្លះជាមុំទាល និងមុំណាខ្លះជាមុំស្រួច?
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុងប្រលេឡូក្រាម អង្កត់ទ្រូងវែងឈមនឹងមុំទាល ហើយអង្កត់ទ្រូងខ្លីឈមនឹងមុំស្រួច។ ដោយសារ \(AC > BD\) នាំឱ្យមុំ \(\angle B\) និង \(\angle D\) ជាមុំទាល ហើយមុំ \(\angle A\) និង \(\angle C\) ជាមុំស្រួច។
ប្រលេឡូក្រាម \(MNPQ\) មាន \(\angle M = 2(x + 10^\circ)\) និង \(\angle Q = 3x - 10^\circ\) (ជាមុំតគ្នា)។
គណនាតម្លៃ \(x\)។
គណនារង្វាស់មុំទាំងអស់នៃប្រលេឡូក្រាម។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\angle M + \angle Q = 180^\circ \iff 2x + 20^\circ + 3x - 10^\circ = 180^\circ \iff 5x = 170^\circ \implies x = 34^\circ\)។
b. \(\angle M = 2(34^\circ + 10^\circ) = 88^\circ \implies \angle P = 88^\circ\)។ \(\angle Q = 3(34^\circ) - 10^\circ = 92^\circ \implies \angle N = 92^\circ\)។
រកប្រវែងជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) ដែលមាន \(AB = 3x + 2\), \(BC = 4x + 1\) និង \(CD = 5x - 2\) (គិតជា cm)។
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងឈមស្មើគ្នា ៖ \(AB = CD \iff 3x + 2 = 5x - 2 \implies 2x = 4 \implies x = 2\)។
\(AB = CD = 3(2) + 2 = 8\text{ cm}\)
\(BC = AD = 4(2) + 1 = 9\text{ cm}\)
រករង្វាស់មុំនៃប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) ដែលមាន \(\angle A = 2x + 3^\circ\) និង \(\angle C = 3x - 27^\circ\)។
មើលដំណោះស្រាយ
មុំឈមស្មើគ្នា ៖ \(\angle A = \angle C \iff 2x + 3^\circ = 3x - 27^\circ \implies x = 30^\circ\)។ \(\angle A = \angle C = 2(30^\circ) + 3^\circ = 63^\circ\)។ \(\angle B = \angle D = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ\)។
រករង្វាស់មុំនៃប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) ដែលមាន \(\angle A = \frac{2x}{5}\) និង \(\angle B = \frac{x}{2}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
មុំតគ្នាជាមុំបន្ថែមគ្នា ៖ \(\angle A + \angle B = 180^\circ\) ៖
រករង្វាស់មុំនៃប្រលេឡូក្រាម \(MNPQ\) ដែលមាន \(\angle M = \frac{2x}{3}\) និង \(\angle P = \frac{x}{2} + 20^\circ\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\angle M = \angle P \iff \frac{2x}{3} = \frac{x}{2} + 20^\circ \iff \frac{x}{6} = 20^\circ \implies x = 120^\circ\)។ \(\angle M = \angle P = \frac{2(120^\circ)}{3} = 80^\circ\)។ \(\angle N = \angle Q = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\)។
រករង្វាស់មុំនៃប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) ដែលមាន \(\angle A = 2x + y\), \(\angle B = 2x + 3y - 20^\circ\) និង \(\angle C = 3x - y + 16^\circ\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\angle A = \angle C \iff 2x + y = 3x - y + 16^\circ \implies x - 2y = -16^\circ\)។ \(\angle A + \angle B = 180^\circ \iff 4x + 4y - 20^\circ = 180^\circ \implies x + y = 50^\circ\)។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៖ \(3y = 66^\circ \implies y = 22^\circ\) និង \(x = 28^\circ\)។ \(\angle A = \angle C = 2(28^\circ) + 22^\circ = 78^\circ\)។ \(\angle B = \angle D = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ\)។
បើមុំមួយនៃប្រលេឡូក្រាមមានរង្វាស់ស្មើនឹងពីរដងនៃមុំមួយទៀតដែលជាប់នឹងវា។ ចូរគណនារង្វាស់មុំទាំងបួននៃប្រលេឡូក្រាម។
មើលដំណោះស្រាយ
តាងមុំមួយជា \(x\) មុំជាប់គ្នានោះជា \(2x\) ៖
បើមុំមួយនៃប្រលេឡូក្រាមមានរង្វាស់ស្មើនឹង \(2x + 20^\circ\) ហើយមុំតគ្នាមួយទៀតមានរង្វាស់ \(x - 50^\circ\)។ គណនាតម្លៃ \(x\)។
មើលដំណោះស្រាយ
មុំតគ្នាជាមុំបន្ថែមគ្នា ៖
ក្នុងប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មាន \(AP\) និង \(BP\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle A\) និង \(\angle B\) កាត់គ្នាត្រង់ \(P\)។ បង្ហាញថា \(\angle APB = 90^\circ\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុង \(\Delta APB\) ៖ \(\angle PAB = \frac{1}{2}\angle A\) និង \(\angle PBA = \frac{1}{2}\angle B\)។
គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\)។ លើជ្រុង \(AB\) និង \(CD\) គេដៅចំណុច \(E\) និង \(F\) រៀងគ្នាដែល \(AE = CF\)។ បង្ហាញថា \(AECF\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
មើលដំណោះស្រាយ
\(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម \(\implies AB \parallel CD \implies AE \parallel CF\)។ ម៉្យាងទៀត \(AE = CF\) (សម្មតិកម្ម)។ ចតុកោណ \(AECF\) មានជ្រុងឈមមួយគូស្របគ្នាផង និងស្មើគ្នាផង នាំឱ្យ \(AECF\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មានអង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(O\)។ បន្ទាត់មួយគូសកាត់តាម \(O\) កាត់ \(AB\) ត្រង់ \(M\) និងកាត់ \(CD\) ត្រង់ \(N\)។ បង្ហាញថា \(OM = ON\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យ \(\Delta OAM\) និង \(\Delta OCN\) ៖ \(OA = OC\) (\(O\) ជាចំណុចកណ្តាល \(AC\))។ \(\angle OAM = \angle OCN\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង ព្រោះ \(AB \parallel CD\))។ \(\angle AOM = \angle CON\) (មុំទល់កំពូល)។ \(\implies \Delta OAM \cong \Delta OCN\) (ម.ជ.ម) \(\implies OM = ON\)។
គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\)។ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(BC\)។ លើបន្លាយនៃ \(AM\) គេដៅចំណុច \(D\) ឱ្យបាន \(MD = MA\)។ បង្ហាញថា \(ABDC\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
មើលដំណោះស្រាយ
ចតុកោណ \(ABDC\) មានអង្កត់ទ្រូង \(AD\) និង \(BC\) កាត់គ្នាត្រង់ \(M\)។ ដោយ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាល \(BC\) និង \(MA = MD\) នាំឱ្យអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរកាត់គ្នាត្រង់ចំណុចកណ្តាលរៀងគ្នា។ ដូចនេះ \(ABDC\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
គេឱ្យចតុកោណកែង \(ABCD\) មាន \(AB = 8\text{ cm}\) និង \(BC = 6\text{ cm}\)។
គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូង \(AC\) និង \(BD\)។
គណនាចម្ងាយពីចំណុចប្រសព្វ \(O\) នៃអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរទៅកាន់កំពូលទាំងបួន។
មើលដំណោះស្រាយ
a. តាមពីតាករ ៖ \(AC = BD = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\text{ cm}\)។
b. អង្កត់ទ្រូងចតុកោណកែងកាត់គ្នាត្រង់ចំណុចកណ្តាល ៖ \(OA = OB = OC = OD = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}\)។
ចតុកោណកែង \(ABCD\) មានអង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(O\)។ ដឹងថា \(\angle AOB = 60^\circ\) និង \(AB = 5\text{ cm}\)។ គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូង \(AC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta OAB\) មាន \(OA = OB\) (អង្កត់ទ្រូងចតុកោណកែង) និង \(\angle AOB = 60^\circ \implies \Delta OAB\) សម័ង្ស។ \(\implies OA = AB = 5\text{ cm}\)។ ដូចនេះ \(AC = 2OA = 2(5) = 10\text{ cm}\)។
ចតុកោណស្មើ \(ABCD\) មានជ្រុង \(AB = 10\text{ cm}\) និងអង្កត់ទ្រូង \(AC = 12\text{ cm}\)។
គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូង \(BD\)។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណស្មើ \(ABCD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
តាង \(O\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង ៖ \(AC \bot BD\) និង \(OA = 6\text{ cm}\)។
a. ក្នុង \(\Delta OAB\) កែងត្រង់ \(O\) ៖ \(OB = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm} \implies BD = 2OB = 16\text{ cm}\)។
b. ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{1}{2}AC \times BD = \frac{1}{2}(12)(16) = 96\text{ cm}^2\)។
ចតុកោណស្មើមួយមានមុំស្រួច \(\angle A = 60^\circ\) និងជ្រុងប្រវែង \(8\text{ cm}\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABD\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស។
គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ \(BD\) និង \(AC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(AB = AD = 8\text{ cm}\) និង \(\angle A = 60^\circ \implies \Delta ABD\) សម័ង្ស។
b. \(BD = AB = 8\text{ cm}\)។ \(AO = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \implies AC = 8\sqrt{3}\text{ cm}\)។
ការេ \(ABCD\) មួយមានប្រវែងជ្រុង \(a = 5\text{ cm}\)។
គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូង \(AC\)។
គណនាផ្ទៃក្រឡា និងបរិមាត្រនៃការេ។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(AC = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\text{ cm}\)។
b. ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = 5^2 = 25\text{ cm}^2\)។ បរិមាត្រ ៖ \(P = 4(5) = 20\text{ cm}\)។
ការេមួយមានអង្កត់ទ្រូងប្រវែង \(8\text{ cm}\)។ គណនាប្រវែងជ្រុង និងផ្ទៃក្រឡារបស់វា។
មើលដំណោះស្រាយ
តាងជ្រុងការេជា \(a\) ៖ \(a\sqrt{2} = 8 \implies a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\text{ cm}\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32\text{ cm}^2\)។
គេឱ្យចតុកោណព្នាយ \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) ដែលមាន \(\angle A = 120^\circ\) និង \(\angle C = 45^\circ\)។ គណនារង្វាស់មុំ \(\angle D\) និង \(\angle B\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(AB \parallel CD\) ៖ \(\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)។ \(\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)។
ចតុកោណព្នាយ \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) មានបាតតូច \(AB = 7\text{ cm}\) និងបាតធំ \(CD = 15\text{ cm}\)។
គណនាប្រវែងបាតមធ្យម \(MN\) នៃចតុកោណព្នាយ។
អង្កត់ទ្រូង \(AC\) និង \(BD\) កាត់ \(MN\) ត្រង់ \(P\) និង \(Q\)។ គណនាប្រវែង \(MP, QN\) និង \(PQ\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{7 + 15}{2} = 11\text{ cm}\)។
b. \(MP\) ជាបាតមធ្យមនៃ \(\Delta ACD \implies MP = \frac{CD}{2} = 7.5\text{ cm}\) (ឬគិតពី \(AB\) ៖ \(MP = \frac{AB}{2} = 3.5\text{ cm}\) អាស្រ័យលើលំដាប់)។ \(QN = 3.5\text{ cm}\) និង \(PQ = \frac{CD - AB}{2} = \frac{15 - 7}{2} = 4\text{ cm}\)។
ចតុកោណព្នាយសមបាតមួយមានបាតទាំងពីរប្រវែង \(10\text{ cm}\) និង \(22\text{ cm}\) ហើយជ្រុងទ្រេតមានប្រវែង \(10\text{ cm}\)។ គណនាកម្ពស់ និងផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណព្នាយនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
គូសកម្ពស់ចេញពីកំពូលបាតតូចទាំងពីរ ៖ កំណាត់ជើងកម្ពស់ ៖ \(\frac{22 - 10}{2} = 6\text{ cm}\)។ កម្ពស់ ៖ \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{(10 + 22) \times 8}{2} = 128\text{ cm}^2\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\)។ \(D, E\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB, AC\) រៀងគ្នា។ បើ \(BC = 16\text{ cm}\) គណនា \(DE\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(DE\) ជាបាតមធ្យមនៃ \(\Delta ABC \implies DE = \frac{1}{2}BC = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មានបរិមាត្រ \(24\text{ cm}\)។ \(D, E, F\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទាំងបី។ គណនាបរិមាត្រនៃ \(\Delta DEF\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងនៃ \(\Delta DEF\) សុទ្ធតែស្មើនឹងកន្លះជ្រុងនៃ \(\Delta ABC\) ៖
បង្ហាញទ្រឹស្ដីបទវ៉ារីញ៉ុង ៖ ក្នុងគ្រប់ចតុកោណប៉ោង \(ABCD\) ចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទាំងបួន \(M, N, P, Q\) បង្កើតបានជាប្រលេឡូក្រាមមួយ។
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុង \(\Delta ABC\) ៖ \(MN\) ជាបាតមធ្យម \(\implies MN \parallel AC\) និង \(MN = \frac{1}{2}AC\)។ ក្នុង \(\Delta ADC\) ៖ \(QP\) ជាបាតមធ្យម \(\implies QP \parallel AC\) និង \(QP = \frac{1}{2}AC\)។ \(\implies MN \parallel QP\) និង \(MN = QP \implies MNPQ\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
បង្ហាញថា បើចតុកោណ \(ABCD\) មានអង្កត់ទ្រូងកែងគ្នា (\(AC \bot BD\)) នោះប្រលេឡូក្រាមវ៉ារីញ៉ុង \(MNPQ\) ជាចតុកោណកែង។
មើលដំណោះស្រាយ
តាមទ្រឹស្ដីបទវ៉ារីញ៉ុង \(MN \parallel AC\) និង \(MQ \parallel BD\)។ ដោយ \(AC \bot BD \implies MN \bot MQ\) (\(\angle NMQ = 90^\circ\))។ ប្រលេឡូក្រាមដែលមានមុំកែងមួយ គឺជាចតុកោណកែង។
បង្ហាញថា បើចតុកោណ \(ABCD\) មានអង្កត់ទ្រូងប៉ុនគ្នា (\(AC = BD\)) នោះប្រលេឡូក្រាមវ៉ារីញ៉ុង \(MNPQ\) ជាចតុកោណស្មើ។
មើលដំណោះស្រាយ
\(MN = \frac{1}{2}AC\) និង \(MQ = \frac{1}{2}BD\)។ ដោយ \(AC = BD \implies MN = MQ\)។ ប្រលេឡូក្រាមដែលមានជ្រុងជាប់គ្នាប៉ុនគ្នា គឺជាចតុកោណស្មើ។
បង្ហាញថា បើចតុកោណ \(ABCD\) មានអង្កត់ទ្រូងកែងគ្នាផង និងប៉ុនគ្នាផង នោះប្រលេឡូក្រាមវ៉ារីញ៉ុង \(MNPQ\) ជាការេ។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោយ \(AC \bot BD\) និង \(AC = BD\) នោះតាមលំហាត់ ៣០ និង ៣១ \(MNPQ\) មានជ្រុងជាប់គ្នាប៉ុនគ្នា និងកែងគ្នា។ ដូចនេះ \(MNPQ\) ជាការេ។
គេឱ្យចតុកោណកែង \(ABCD\)។ \(M, N, P, Q\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB, BC, CD, DA\) រៀងគ្នា។ បង្ហាញថា \(MNPQ\) ជាចតុកោណស្មើ។
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុងចតុកោណកែង \(AC = BD\)។ តាមទ្រឹស្ដីបទវ៉ារីញ៉ុង \(MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = MQ \implies MNPQ\) ជាចតុកោណស្មើ។
គេឱ្យចតុកោណស្មើ \(ABCD\)។ \(M, N, P, Q\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB, BC, CD, DA\) រៀងគ្នា។ បង្ហាញថា \(MNPQ\) ជាចតុកោណកែង។
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុងចតុកោណស្មើ \(AC \bot BD\)។ តាមទ្រឹស្ដីបទវ៉ារីញ៉ុង ជ្រុងឈមស្របនឹង \(AC, BD \implies\) ជ្រុងជាប់គ្នាកែងគ្នា \(\implies MNPQ\) ជាចតុកោណកែង។
គេឱ្យការេ \(ABCD\)។ លើជ្រុង \(AB, BC, CD, DA\) គេដៅចំណុច \(E, F, G, H\) រៀងគ្នាដែល \(AE = BF = CG = DH\)។ បង្ហាញថា \(EFGH\) ជាការេ។
មើលដំណោះស្រាយ
៤ ត្រីកោណកែង \(\Delta AHE, \Delta BEF, \Delta CFG, \Delta DGH\) ប៉ុនគ្នា (ជ.ម.ជ) ៖ \(\implies EF = FG = GH = HE\) និងមុំ \(\angle HEF = 90^\circ \implies EFGH\) ជាការេ។
ក្នុង \(\Delta ABC\) កែងត្រង់ \(A\) មាន \(AB = 6\text{ cm}, AC = 8\text{ cm}\)។ \(AM\) ជាមេដ្យានចំពោះអុីប៉ូតេនុស។ គណនា \(BC\) និង \(AM\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}\)។ ក្នុងត្រីកោណកែង មេដ្យានចំពោះអុីប៉ូតេនុសស្មើកន្លះអុីប៉ូតេនុស ៖ \(AM = \frac{BC}{2} = 5\text{ cm}\)។
ក្នុងត្រីកោណមួយ បើមេដ្យាន \(AM = 6.5\text{ cm}\) និងជ្រុង \(BC = 13\text{ cm}\)។ បញ្ជាក់ប្រភេទនៃត្រីកោណ \(ABC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោយ \(AM = 6.5\text{ cm} = \frac{13}{2} = \frac{BC}{2}\) នោះតាមទ្រឹស្ដីបទច្រាស ត្រីកោណ \(ABC\) គឺជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\)។
គេឱ្យចតុកោណព្នាយកែង \(ABCD\) (\(\angle A = \angle D = 90^\circ\)) មាន \(AB = 4\text{ cm}, CD = 9\text{ cm}\) និងជ្រុងទ្រេត \(BC = 13\text{ cm}\)។ គណនាកម្ពស់ \(AD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គូស \(CH \bot CD\) មិនកាត់កែងទេ គូស \(BH \bot CD\) ៖ \(DH = AB = 4\text{ cm} \implies HC = 9 - 4 = 5\text{ cm}\)។ ក្នុង \(\Delta BHC\) កែងត្រង់ \(H\) ៖ \(BH = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\text{ cm} \implies AD = BH = 12\text{ cm}\)។
គេឱ្យចតុកោណព្នាយសមបាត \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) ដែលមាន \(AC \bot BD\)។ បង្ហាញថា កម្ពស់នៃចតុកោណព្នាយស្មើនឹងប្រវែងបាតមធ្យមរបស់វា។
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុងចតុកោណព្នាយសមបាត អង្កត់ទ្រូងកែងគ្នាបង្កើតបានត្រីកោណកែងសមបាតនៅខាងក្នុង។ កម្ពស់កាត់តាមចំណុចប្រសព្វចែកជាពីរកម្ពស់ស្មើនឹងកន្លះបាតនីមួយៗ ៖ \(h = \frac{AB}{2} + \frac{CD}{2} = \frac{AB + CD}{2}\) (ស្មើនឹងបាតមធ្យម)។
គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\)។ បន្ទាត់ពុះនៃមុំក្នុងទាំងបួនប្រសព្វគ្នាបង្កើតបានជាចតុកោណមួយ។ បង្ហាញថា ចតុកោណនោះជាចតុកោណកែង។
មើលដំណោះស្រាយ
មុំតគ្នាបូកគ្នាបាន \(180^\circ \implies\) កន្លះមុំបូកគ្នាបាន \(90^\circ \implies\) មុំនីមួយៗនៃចតុកោណនោះស្មើនឹង \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)។ ចតុកោណដែលមានមុំបួនកែងជាចតុកោណកែង។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\)។ ចំណុច \(M\) ស្ថិតនៅលើបាត \(BC\)។ តាម \(M\) គូសបន្ទាត់ស្របនឹង \(AC\) កាត់ \(AB\) ត្រង់ \(D\) និងស្របនឹង \(AB\) កាត់ \(AC\) ត្រង់ \(E\)។
បង្ហាញថា \(ADME\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
បង្ហាញថា \(\Delta DBM\) ជាត្រីកោណសមបាត។
បង្ហាញថា ផលបូក \(MD + ME = AB\) (មិនប្រែប្រួល)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(MD \parallel AC\) និង \(ME \parallel AB \implies ADME\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
b. \(\angle B = \angle C = \angle DMB\) (មុំស្រប) \(\implies \Delta DBM\) សមបាតត្រង់ \(D \implies DB = DM\)។
c. \(MD + ME = DB + AD = AB\) (ថេរ)។
គេឱ្យចតុកោណកែង \(ABCD\) និងចំណុច \(M\) មួយនៅក្នុងប្លង់។ បង្ហាញសមភាពប្រវែង ៖
មើលដំណោះស្រាយ
គូសបន្ទាត់កាត់ \(M\) ស្របនឹងជ្រុងទាំងពីរ។ អនុវត្តពីតាករលើត្រីកោណកែងទាំង ៤ ដែលបង្កើតបាន ផលបូកការេនៃជ្រុងស្មើគ្នា \(\implies MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2\)។
គេឱ្យចតុកោណព្នាយ \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\))។ \(I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AD\) និង \(K\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(BC\)។ បន្ទាត់ \(IK\) កាត់ \(BD\) ត្រង់ \(E\) និង \(AC\) ត្រង់ \(F\)។ បង្ហាញថា \(IE = FK\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(IE\) ជាបាតមធ្យមនៃ \(\Delta ABD \implies IE = \frac{1}{2}AB\)។ \(FK\) ជាបាតមធ្យមនៃ \(\Delta ABC \implies FK = \frac{1}{2}AB\)។ ដូចនេះ \(IE = FK\)។
គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មានបរិមាត្រ \(48\text{ cm}\)។ ដឹងថា \(AB = \frac{3}{5}BC\)។ គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងអស់នៃប្រលេឡូក្រាម។
មើលដំណោះស្រាយ
\(P = 2(AB + BC) = 48 \implies AB + BC = 24\)។ \(\frac{3}{5}BC + BC = 24 \iff \frac{8}{5}BC = 24 \implies BC = 15\text{ cm}\)។ \(AB = CD = 9\text{ cm}\) និង \(BC = AD = 15\text{ cm}\)។
គេឱ្យចតុកោណស្មើ \(ABCD\) មាន \(\angle A = 120^\circ\) និងបរិមាត្រ \(32\text{ cm}\)។ គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ។
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុង \(a = \frac{32}{4} = 8\text{ cm}\)។ \(\angle A = 120^\circ \implies \angle B = 60^\circ \implies \Delta ABC\) សម័ង្ស \(\implies AC = 8\text{ cm}\)។ \(BD = 2(8\frac{\sqrt{3}}{2}) = 8\sqrt{3}\text{ cm}\)។
គេឱ្យការេ \(ABCD\) មានជ្រុងប្រវែង \(a\)។ លើជ្រុង \(BC\) ដៅចំណុច \(E\) និងលើបន្លាយ \(CD\) ដៅចំណុច \(F\) ឱ្យ \(DF = BE\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABE \cong \Delta ADF\)។
បង្ហាញថា \(\Delta AEF\) ជាត្រីកោណកែងសមបាត។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\Delta ABE \cong \Delta ADF\) (ជ.ម.ជ ៖ \(AB = AD, BE = DF, \angle B = \angle D = 90^\circ\))។
b. \(AE = AF\) និង \(\angle EAF = \angle EAD + \angle DAF = \angle EAD + \angle BAE = 90^\circ \implies \Delta AEF\) កែងសមបាត។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សម័ង្ស។ ចំណុច \(M\) នៅខាងក្នុងត្រីកោណ។ គូស \(MD \parallel BC\), \(ME \parallel AC\), \(MF \parallel AB\) (\(D \in AB, E \in BC, F \in CA\))។ បង្ហាញថា ផលបូក \(MD + ME + MF\) ស្មើនឹងប្រវែងជ្រុងនៃ \(\Delta ABC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គូសបន្ទាត់ស្របបង្កើតជាប្រលេឡូក្រាម និងត្រីកោណសម័ង្សតូចៗ ផលបូកនៃប្រវែងទាំងបីស្មើនឹងប្រវែងជ្រុងត្រីកោណសម័ង្សធំ \(a\)។
គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\)។ ពី \(A\) និង \(C\) គូសបន្ទាត់កែងនឹងអង្កត់ទ្រូង \(BD\) ត្រង់ \(H\) និង \(K\) រៀងគ្នា។
បង្ហាញថា \(\Delta AHB \cong \Delta CKD\)។
បង្ហាញថា \(AHCK\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
មើលដំណោះស្រាយ
a. ត្រីកោណកែង \(\Delta AHB\) និង \(\Delta CKD\) មាន \(AB = CD\) និង \(\angle ABH = \angle CDK\) (ឆ្លាស់ក្នុង) \(\implies \Delta AHB \cong \Delta CKD\) (អ.ម)។
b. \(AH = CK\) និង \(AH \parallel CK\) (កែងនឹង \(BD\) ដូចគ្នា) \(\implies AHCK\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
គេឱ្យចតុកោណព្នាយសមបាត \(ABCD\) (\(AB \parallel CD, AB < CD\)) មាន \(AD = BC\)។ កម្ពស់ \(AH\) និង \(BK\) គូសទៅលើបាត \(CD\)។ បង្ហាញថា \(DH = CK = \frac{CD - AB}{2}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(ABKH\) ជាចតុកោណកែង \(\implies HK = AB\)។ \(\Delta ADH \cong \Delta BCK\) (អ.ជ) \(\implies DH = CK\)។ \(DH + HK + CK = CD \iff 2DH + AB = CD \implies DH = \frac{CD - AB}{2}\)។
គេឱ្យចតុកោណប៉ោង \(ABCD\) មួយ។ បង្ហាញថា បរិមាត្រនៃចតុកោណធំជាងផលបូកនៃអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ ប៉ុន្តែតូចជាងពីរដងនៃផលបូកនោះ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុង \(\Delta ABC, \Delta BCD, \Delta CDA, \Delta DAB\) តាមវិសមភាពត្រីកោណ ៖ \(AC < AB + BC, BD < BC + CD, \dots\) បូកចូលគ្នាបាន \(AC + BD < P\)។
តាង \(O\) ជាប្រសព្វអង្កត់ទ្រូង ៖ \(OA + OB > AB, OB + OC > BC, \dots\) បូកចូលគ្នាបាន \(2(AC + BD) > P \implies P < 2(AC + BD)\)។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៣ ចតុកោណ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី