មេរៀនទី ១៤ : ផ្ទៃក្រឡាពហុកោណ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៨

ប្រវត្តិនៃការគណនាផ្ទៃក្រឡា និងរូបមន្តហេរ៉ុង

ការវាស់វែង និងគណនា ផ្ទៃក្រឡា (Area) គឺជាតម្រូវការដំបូងបំផុតនៃការកកើតវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យា ៖

អរិយធម៌ទន្លេនីល (អេហ្ស៊ីបបុរាណ) ៖ រៀងរាល់ឆ្នាំនៅពេលទឹកទន្លេនីលជន់លិច ព្រំប្រទល់ដីស្រែចម្ការត្រូវបានលុបបាត់។ ក្រុមអ្នកវាស់វែងដី (ហៅថា Harpedonaptai ឬអ្នកទាញខ្សែពួរ) ត្រូវប្រើប្រាស់ធរណីមាត្រដើម្បីគណនាផ្ទៃដីឡើងវិញ។ គម្ពីរផាពីរុសរីនដ៍ (Rhind Papyrus, ប្រហែល ១៦៥០ មុន គ.ស.) បានកត់ត្រារូបមន្តគណនាផ្ទៃត្រីកោណ និងចតុកោណព្នាយ។
ហេរ៉ុង នៃអាឡិចសង់ទ្រី (Heron of Alexandria, c. 10–70 នៃ គ.ស.) ៖ គណិតវិទូ និងវិស្វករក្រិកបុរាណ បានរកឃើញ រូបមន្តហេរ៉ុង (Heron’s Formula) ដ៏ល្បីល្បាញ ៖ \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) (ដែល \(p\) ជាកន្លះបរិមាត្រ) សម្រាប់គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណដោយផ្ទាល់ពីជ្រុងទាំងបី ដោយមិនចាំបាច់រកកម្ពស់។
ព្រាហ្មគុប្តា (Brahmagupta, 598–668) ៖ គណិតវិទូជនជាតិឥណ្ឌា បានពង្រីករូបមន្តហេរ៉ុងទៅលើចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ \(S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)។

ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ និងចតុកោណកែង

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែង និងការេ

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែង និងការេ

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែងដែលមានបណ្តោយ \(a\) និងទទឹង \(b\) ៖
\[S = a \times b\]
ផ្ទៃក្រឡាការេដែលមានជ្រុង \(a\) និងអង្កត់ទ្រូង \(d\) ៖
\[S = a^2 = \frac{1}{2}d^2\]

	រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ
ចតុកោណកែង	ការេ
\(S = a \times b\)	\(S = a^2 = \frac{1}{2}d^2\)

ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ

ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណទូទៅ

ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលគុណរវាងបាត និងកម្ពស់ត្រូវនឹងបាតនោះ ៖

\[S = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{b \times h}{2}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ	រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ
ត្រីកោណទូទៅ	ត្រីកោណកែង
\(S = \frac{1}{2}b \times h\)	\(S = \frac{1}{2}ab\)

ករណីពិសេសនៃត្រីកោណ

ត្រីកោណកែង ៖ ផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលគុណនៃជ្រុងជាប់មុំកែងទាំងពីរ ៖
\[S = \frac{1}{2} \times a \times b\]
ត្រីកោណសម័ង្ស ៖ មានជ្រុងប្រវែង \(a\) ៖
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

ឧទាហរណ៍

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណសម័ង្សដែលមានជ្រុងប្រវែង \(6\text{ cm}\)។

ដំណោះស្រាយ

អនុវត្តរូបមន្តផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណសម័ង្សដែលមានជ្រុង \(a = 6\text{ cm}\) ៖

\[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \approx 15.59\text{ cm}^2\]

ផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម ចតុកោណស្មើ និងចតុកោណព្នាយ

ផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម

ផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម

ផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផលគុណរវាងបាត និងកម្ពស់ត្រូវនឹងបាតនោះ ៖

\[S = b \times h\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណស្មើ

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណស្មើ

តាមរយៈអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ \(d_1\) និង \(d_2\) ៖
\[S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\]
តាមរយៈបាត \(a\) និងកម្ពស់ \(h\) ៖
\[S = a \times h\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចតុកោណស្មើ ៖ \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2\)

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណព្នាយ

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណព្នាយ

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណព្នាយស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលបូកបាតទាំងពីរ គុណនឹងកម្ពស់ ៖

\[S = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2} = m \times h\]

ដែល \(b_1, b_2\) ជាបាតតូច និងបាតធំ ហើយ \(m = \frac{b_1 + b_2}{2}\) ជាប្រវែងបាតមធ្យម។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចតុកោណព្នាយ ៖ \(S = \frac{(b_1+b_2)h}{2}\)

ឧទាហរណ៍

ចតុកោណព្នាយមួយមានបាតតូច \(8\text{ cm}\) បាតធំ \(14\text{ cm}\) និងកម្ពស់ \(6\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡារបស់វា។

ដំណោះស្រាយ

អនុវត្តរូបមន្ត ៖

\[S = \frac{(8 + 14) \times 6}{2} = \frac{22 \times 6}{2} = 66\text{ cm}^2\]

ផ្ទៃក្រឡាពហុកោណផ្សំ និងផ្នែកបន្ទាត់ឆ្នូត

ដើម្បីគណនាផ្ទៃក្រឡានៃពហុកោណផ្សំ ឬផ្នែកបន្ទាត់ឆ្នូត គេអាចប្រើវិធីពីរយ៉ាង ៖

វិធីបំបែក (Decomposition) ៖ បំបែករូបធំទៅជារូបធរណីមាត្រសាមញ្ញៗ (ត្រីកោណ ចតុកោណកែង ចតុកោណព្នាយ) រួចបូកផ្ទៃក្រឡាបញ្ចូលគ្នា ៖
\[S_{\text{សរុប}} = S_1 + S_2 + S_3 + \dots\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ
វិធីដកកាត់ (Subtractive Method) ៖ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃរូបធរណីមាត្រធំ រួចដកផ្ទៃក្រឡានៃផ្នែកដែលមិនចង់បានចេញ ៖
\[S_{\text{បន្ទាត់ឆ្នូត}} = S_{\text{ក្រៅ}} - S_{\text{ក្នុង}}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

រកផ្ទៃក្រឡានៃផ្នែកបន្ទាត់ឆ្នូតក្នុងរូបភាពទី ២ ខាងលើ ដែលមានរូបក្រៅជាចតុកោណកែងវិមាត្រ \(6\text{ cm} \times 3.6\text{ cm}\) និងរូបក្នុងជាចតុកោណកែងវិមាត្រ \(3\text{ cm} \times 2\text{ cm}\)។

ដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែងខាងក្រៅ ៖
\[S_{\text{ក្រៅ}} = 6 \times 3.6 = 21.6\text{ cm}^2\]
ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែងសខាងក្នុង ៖
\[S_{\text{ក្នុង}} = 3 \times 2 = 6\text{ cm}^2\]
ផ្ទៃក្រឡានៃផ្នែកបន្ទាត់ឆ្នូត ៖
\[S_{\text{បន្ទាត់ឆ្នូត}} = S_{\text{ក្រៅ}} - S_{\text{ក្នុង}} = 21.6 - 6 = 15.6\text{ cm}^2\]

ផ្ទៃក្រឡាពហុកោណផ្សំ

ដីឡូត៍មួយមានរាងដូចរូបភាពទី ១ ខាងលើ ដោយបំបែកជាចតុកោណកែង \(S_1\) វិមាត្រ \(2.5\text{ m} \times 4\text{ m}\) និង \(S_2\) វិមាត្រ \(2.5\text{ m} \times 2\text{ m}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃដីឡូត៍នោះ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រ ៖

\(a = 15\text{ cm}, b = 8\text{ cm}\)
\(a = 4.5\text{ m}, b = 2.8\text{ m}\)
\(a = 120\text{ m}, b = 75\text{ m}\) (គិតជា ha)

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S = 15 \times 8 = 120\text{ cm}^2\)
b. \(S = 4.5 \times 2.8 = 12.6\text{ m}^2\)
c. \(S = 120 \times 75 = 9\,000\text{ m}^2 = 0.9\text{ ha}\)

២លំហាត់ទី ២

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃការេដែលមាន ៖

ជ្រុង \(a = 9\text{ cm}\)
បរិមាត្រ \(P = 48\text{ cm}\)
អង្កត់ទ្រូង \(d = 12\text{ cm}\)

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S = 9^2 = 81\text{ cm}^2\)
b. \(a = \frac{48}{4} = 12\text{ cm} \implies S = 12^2 = 144\text{ cm}^2\)
c. \(S = \frac{1}{2}d^2 = \frac{1}{2}(12^2) = 72\text{ cm}^2\)

៣លំហាត់ទី ៣

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណដែលមាន ៖

បាត \(b = 14\text{ cm}\), កម្ពស់ \(h = 9\text{ cm}\)
បាត \(b = 2.4\text{ m}\), កម្ពស់ \(h = 1.5\text{ m}\)

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S = \frac{1}{2}(14)(9) = 63\text{ cm}^2\)
b. \(S = \frac{1}{2}(2.4)(1.5) = 1.8\text{ m}^2\)

៤លំហាត់ទី ៤

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណកែងដែលមានជ្រុងជាប់មុំកែង ៖

\(a = 5\text{ cm}, b = 12\text{ cm}\)
\(a = 9\text{ cm}, b = 40\text{ cm}\)

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S = \frac{1}{2}(5)(12) = 30\text{ cm}^2\)
b. \(S = \frac{1}{2}(9)(40) = 180\text{ cm}^2\)

៥លំហាត់ទី ៥

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណសម័ង្សដែលមានជ្រុង ៖

\(a = 8\text{ cm}\)
\(a = 10\text{ cm}\)

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}\text{ cm}^2\)
b. \(S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\text{ cm}^2\)

៦លំហាត់ទី ៦

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃប្រលេឡូក្រាមដែលមាន ៖

បាត \(b = 16\text{ cm}\), កម្ពស់ \(h = 7.5\text{ cm}\)
បាត \(b = 25\text{ m}\), កម្ពស់ \(h = 12\text{ m}\)

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S = 16 \times 7.5 = 120\text{ cm}^2\)
b. \(S = 25 \times 12 = 300\text{ m}^2\)

៧លំហាត់ទី ៧

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណស្មើដែលមានអង្កត់ទ្រូង ៖

\(d_1 = 12\text{ cm}, d_2 = 16\text{ cm}\)
\(d_1 = 18\text{ cm}, d_2 = 24\text{ cm}\)

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S = \frac{1}{2}(12)(16) = 96\text{ cm}^2\)
b. \(S = \frac{1}{2}(18)(24) = 216\text{ cm}^2\)

៨លំហាត់ទី ៨

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណព្នាយដែលមាន ៖

បាតតូច \(a = 6\text{ cm}\), បាតធំ \(b = 10\text{ cm}\), កម្ពស់ \(h = 5\text{ cm}\)
បាតតូច \(a = 14\text{ m}\), បាតធំ \(b = 26\text{ m}\), កម្ពស់ \(h = 8\text{ m}\)

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S = \frac{(6 + 10) \times 5}{2} = 40\text{ cm}^2\)
b. \(S = \frac{(14 + 26) \times 8}{2} = 160\text{ m}^2\)

៩លំហាត់ទី ៩

ចតុកោណព្នាយមួយមានបាតមធ្យម \(m = 18\text{ cm}\) និងកម្ពស់ \(h = 11\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡារបស់វា។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = m \times h = 18 \times 11 = 198\text{ cm}^2\)។

១០លំហាត់ទី ១០

ជ្រុង \(AB\) និង \(DC\) នៃចតុកោណ \(ABCD\) កែងទៅនឹងអង្កត់ទ្រូង \(AC\)។ គេឱ្យ \(AB = 2\text{ cm}, DC = 8\text{ cm}\) និងផ្ទៃ \(\Delta ABC = 2\text{ cm}^2\)។

គណនាប្រវែងជ្រុង \(AC\)។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណ \(ABCD\)។

មើលដំណោះស្រាយ

a. \(S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AB \times AC \iff 2 = \frac{1}{2}(2)AC \implies AC = 2\text{ cm}\)។
b. \(S_{ABCD} = S_{\Delta ABC} + S_{\Delta ADC} = 2 + \frac{1}{2}(8)(2) = 2 + 8 = 10\text{ cm}^2\)។

១១លំហាត់ទី ១១

ចម្ការកៅស៊ូមួយមានរាងចតុកោណកែងដែលមានបណ្តោយ \(5\text{ km}\) និងទទឹង \(2.3\text{ km}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡាចម្ការកៅស៊ូនោះគិតជាហិកតា (ha)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = 5\text{ km} \times 2.3\text{ km} = 11.5\text{ km}^2\)។ ដោយ \(1\text{ km}^2 = 100\text{ ha}\) នាំឱ្យ ៖ \(S = 11.5 \times 100 = 1\,150\text{ ha}\)។

១២លំហាត់ទី ១២

សួនច្បារផ្កាកុលាបមួយមានរាងត្រីកោណដែលមានបាត \(5\text{ m}\) និងកម្ពស់ \(3\text{ m}\)។ បើគេដាំផ្កាកុលាបមួយដើមត្រូវការផ្ទៃ \(0.5\text{ m}^2\)។ តើគេអាចដាំផ្កាកុលាបបានប៉ុន្មានដើមក្នុងសួនច្បារនេះ?

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃសួនច្បារ ៖ \(S = \frac{1}{2}(5)(3) = 7.5\text{ m}^2\)។ ចំនួនដើមផ្កាកុលាប ៖ \(N = \frac{7.5}{0.5} = 15\) ដើម។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ជញ្ជាំងអាគារមួយរាងចតុកោណព្នាយ មានបាតក្រោម \(40\text{ m}\) បាតលើ \(15\text{ m}\) និងកម្ពស់ \(50\text{ m}\)។ បើគេបិទកញ្ចក់លើជញ្ជាំងនោះដោយផ្ទាំងកញ្ចក់ដែលមានផ្ទៃ \(1\text{ m}^2\) ក្នុងមួយផ្ទាំង តើត្រូវប្រើកញ្ចក់អស់ប៉ុន្មានផ្ទាំង?

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃជញ្ជាំង ៖ \(S = \frac{(40 + 15) \times 50}{2} = \frac{55 \times 50}{2} = 1\,375\text{ m}^2\)។ ចំនួនផ្ទាំងកញ្ចក់ ៖ \(1\,375\) ផ្ទាំង។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ចតុកោណកែងមួយមានផ្ទៃក្រឡា \(120\text{ cm}^2\) និងទទឹង \(8\text{ cm}\)។ គណនាបណ្តោយ និងប្រវែងអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។

មើលដំណោះស្រាយ

បណ្តោយ ៖ \(a = \frac{120}{8} = 15\text{ cm}\)។ អង្កត់ទ្រូង ៖ \(d = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = 17\text{ cm}\)។

១៥លំហាត់ទី ១៥

ត្រីកោណកែងមួយមានអុីប៉ូតេនុស \(15\text{ cm}\) និងជ្រុងជាប់មុំកែងមួយ \(9\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណនោះ និងកម្ពស់គូសទៅលើអុីប៉ូតេនុស។

មើលដំណោះស្រាយ

ជ្រុងជាប់មុំកែងទីពីរ ៖ \(b = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12\text{ cm}\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{1}{2}(9)(12) = 54\text{ cm}^2\)។ កម្ពស់ ៖ \(h = \frac{2S}{c} = \frac{2(54)}{15} = 7.2\text{ cm}\)។

១៦លំហាត់ទី ១៦

ចតុកោណស្មើមួយមានជ្រុង \(13\text{ cm}\) និងអង្កត់ទ្រូងមួយ \(10\text{ cm}\)។

គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងមួយទៀត។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណស្មើ។

មើលដំណោះស្រាយ

a. កន្លះអង្កត់ទ្រូង ៖ \(\sqrt{13^2 - 5^2} = 12\text{ cm} \implies d_2 = 24\text{ cm}\)។
b. ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{1}{2}(10)(24) = 120\text{ cm}^2\)។

១៧លំហាត់ទី ១៧

ចតុកោណព្នាយសមបាតមួយមានបាតតូច \(12\text{ cm}\) បាតធំ \(24\text{ cm}\) និងជ្រុងទ្រេត \(10\text{ cm}\)។ គណនាកម្ពស់ និងផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណព្នាយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ជើងកម្ពស់ ៖ \(\frac{24 - 12}{2} = 6\text{ cm}\)។ កម្ពស់ ៖ \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{(12 + 24) \times 8}{2} = 144\text{ cm}^2\)។

១៨លំហាត់ទី ១៨

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណដែលមានជ្រុង \(a = 7\text{ cm}, b = 8\text{ cm}, c = 9\text{ cm}\) ដោយប្រើរូបមន្តហេរ៉ុង។

មើលដំណោះស្រាយ

\(p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12\)។ \(S = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}\text{ cm}^2\)។

១៩លំហាត់ទី ១៩

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណដែលមានជ្រុង \(a = 13\text{ cm}, b = 14\text{ cm}, c = 15\text{ cm}\) ដោយប្រើរូបមន្តហេរ៉ុង។

មើលដំណោះស្រាយ

\(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\)។ \(S = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{7056} = 84\text{ cm}^2\)។

២០លំហាត់ទី ២០

ក្នុង \(\Delta ABC\) មាន \(D\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(BC\) និង \(E\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AD\)។ បង្ហាញថា ផ្ទៃក្រឡា \(\Delta ABE = \frac{1}{4} S_{\Delta ABC}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S_{\Delta ABD} = \frac{1}{2}S_{\Delta ABC}\) (\(D\) កណ្តាល \(BC\))។ \(S_{\Delta ABE} = \frac{1}{2}S_{\Delta ABD}\) (\(E\) កណ្តាល \(AD\))។ ដូចនេះ \(S_{\Delta ABE} = \frac{1}{4}S_{\Delta ABC}\)។

២១លំហាត់ទី ២១

គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មានផ្ទៃ \(48\text{ cm}^2\)។ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(CD\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡា \(\Delta ABM\) និង \(\Delta ADM\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S_{\Delta ABM} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{48}{2} = 24\text{ cm}^2\)។ \(S_{\Delta ADM} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{48}{4} = 12\text{ cm}^2\)។

២២លំហាត់ទី ២២

គេឱ្យការេ \(ABCD\) មានជ្រុង \(10\text{ cm}\)។ ចំណុច \(M, N, P, Q\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទាំងបួន។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃការេ \(MNPQ\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ជ្រុងការេ \(MNPQ\) ស្មើ \(\sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\text{ cm}\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = (5\sqrt{2})^2 = 50\text{ cm}^2\) (ស្មើកន្លះការេធំ)។

២៣លំហាត់ទី ២៣

ផ្លូវដើរទទឹង \(2\text{ m}\) ត្រូវបានធ្វើជុំវិញស្រះទឹកចតុកោណកែងដែលមានបណ្តោយ \(20\text{ m}\) និងទទឹង \(15\text{ m}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃផ្លូវដើរនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

វិមាត្រក្រៅ ៖ \((20+4) \times (15+4) = 24 \times 19 = 456\text{ m}^2\)។ ផ្ទៃស្រះ ៖ \(20 \times 15 = 300\text{ m}^2\)។ ផ្ទៃផ្លូវដើរ ៖ \(456 - 300 = 156\text{ m}^2\)។

២៤លំហាត់ទី ២៤

ក្តារបន្ទះរាងការេជ្រុង \(60\text{ cm}\) ត្រូវបានកាត់ជ្រុងទាំងបួនជារាងត្រីកោណកែងសមបាតដែលមានជ្រុងកែង \(10\text{ cm}\) ដើម្បីធ្វើជាផ្លាកសញ្ញា ៨ ជ្រុង។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃផ្លាកសញ្ញានោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃការេដើម ៖ \(60^2 = 3\,600\text{ cm}^2\)។ ផ្ទៃ ៤ ត្រីកោណជ្រុង ៖ \(4 \times \frac{1}{2}(10)(10) = 200\text{ cm}^2\)។ ផ្ទៃផ្លាកសញ្ញា ៖ \(3\,600 - 200 = 3\,400\text{ cm}^2\)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

គេឱ្យចតុកោណព្នាយកែង \(ABCD\) (\(\angle A = \angle D = 90^\circ\)) មាន \(AB = 6\text{ cm}, CD = 10\text{ cm}, AD = 8\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណព្នាយ និងប្រវែងជ្រុងទ្រេត \(BC\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = \frac{(6 + 10) \times 8}{2} = 64\text{ cm}^2\)។ \(BC = \sqrt{8^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{64 + 16} = 4\sqrt{5}\text{ cm}\)។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យ \(\Delta ABC\) កែងត្រង់ \(A\) មាន \(AB = 6\text{ cm}, AC = 8\text{ cm}\)។ កន្លះបន្ទាត់ពុះ \(AD\) កាត់ \(BC\) ត្រង់ \(D\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡា \(\Delta ABD\) និង \(\Delta ACD\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(BC = 10\text{ cm}\)។ តាមលក្ខណៈបន្ទាត់ពុះ ៖ \(\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \implies S_{\Delta ABD} = \frac{3}{7}S\) និង \(S_{\Delta ACD} = \frac{4}{7}S\)។ \(S = \frac{1}{2}(6)(8) = 24\text{ cm}^2 \implies S_{\Delta ABD} = \frac{72}{7}\text{ cm}^2, S_{\Delta ACD} = \frac{96}{7}\text{ cm}^2\)។

២៧លំហាត់ទី ២៧

ដីមួយកន្លែងរាងចតុកោណកែងមានបរិមាត្រ \(140\text{ m}\)។ បណ្តោយស្មើនឹង \(\frac{4}{3}\) នៃទទឹង។ គណនាផ្ទៃក្រឡាដីនោះគិតជាអា (are)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(2(a + b) = 140 \implies a + b = 70\)។ \(\frac{4}{3}b + b = 70 \implies \frac{7}{3}b = 70 \implies b = 30\text{ m}, a = 40\text{ m}\)។ \(S = 40 \times 30 = 1\,200\text{ m}^2 = 12\text{ a}\)។

២៨លំហាត់ទី ២៨

ចតុកោណស្មើមួយមានបរិមាត្រ \(40\text{ cm}\) និងកម្ពស់ \(8\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណស្មើ។

មើលដំណោះស្រាយ

ជ្រុង ៖ \(a = \frac{40}{4} = 10\text{ cm}\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = a \times h = 10 \times 8 = 80\text{ cm}^2\)។

២៩លំហាត់ទី ២៩

បង្ហាញថា ក្នុងចតុកោណព្នាយ \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) អង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(O\) នោះផ្ទៃក្រឡា \(S_{\Delta AOD} = S_{\Delta BOC}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S_{\Delta ACD} = S_{\Delta BCD}\) (បាត \(CD\) រួម កម្ពស់ស្មើគ្នា)។ ដក \(S_{\Delta COD}\) ចេញពីអង្គទាំងពីរ ៖ \(S_{\Delta ACD} - S_{\Delta COD} = S_{\Delta BCD} - S_{\Delta COD} \implies S_{\Delta AOD} = S_{\Delta BOC}\)។

៣០លំហាត់ទី ៣០

តាមទិន្នន័យលំហាត់ទី ២៩ បង្ហាញថា \(S_{\Delta AOD}^2 = S_{\Delta AOB} \times S_{\Delta COD}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលធៀបផ្ទៃ ៖ \(\frac{S_{\Delta AOD}}{S_{\Delta AOB}} = \frac{OD}{OB} = \frac{S_{\Delta COD}}{S_{\Delta BOC}}\)។ ដោយ \(S_{\Delta AOD} = S_{\Delta BOC}\) នាំឱ្យ ៖ \(S_{\Delta AOD}^2 = S_{\Delta AOB} \times S_{\Delta COD}\)។

៣១លំហាត់ទី ៣១

គេឱ្យពហុកោណនិយ័ត ៦ ជ្រុងដែលមានជ្រុង \(a = 6\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡារបស់វា។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = 6 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(6^2) = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2\)។

៣២លំហាត់ទី ៣២

គេឱ្យចតុកោណ \(ABCD\) ដែលអង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(O\) កែងគ្នា (\(AC \bot BD\)) ដោយ \(AC = 14\text{ cm}\) និង \(BD = 20\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណ \(ABCD\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = \frac{1}{2}AC \times BD = \frac{1}{2}(14)(20) = 140\text{ cm}^2\)។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

ផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងមួយស្មើ \(192\text{ cm}^2\)។ បើបណ្តោយវែងជាងទទឹង \(4\text{ cm}\) ចូរគណនាវិមាត្ររបស់វា។

មើលដំណោះស្រាយ

\(x(x + 4) = 192 \iff x^2 + 4x - 192 = 0 \iff (x - 12)(x + 16) = 0\)។ ទទឹង \(x = 12\text{ cm}\) និងបណ្តោយ \(16\text{ cm}\)។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

ត្រីកោណមួយមានបាត \(b = 3x + 2\) និងកម្ពស់ \(h = 4\)។ បើផ្ទៃក្រឡារបស់វាស្មើ \(28\text{ cm}^2\) ចូរគណនាតម្លៃ \(x\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = \frac{1}{2}(3x + 2)(4) = 2(3x + 2) = 28 \iff 3x + 2 = 14 \implies x = 4\)។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

ចតុកោណព្នាយមួយមានបាតតូច \(x\), បាតធំ \(x + 6\) និងកម្ពស់ \(8\)។ បើផ្ទៃក្រឡាស្មើ \(80\text{ cm}^2\) ចូរគណនាតម្លៃ \(x\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = \frac{(x + x + 6) \times 8}{2} = 4(2x + 6) = 80 \iff 2x + 6 = 20 \implies x = 7\)។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

គេឱ្យការេ \(ABCD\) ជ្រុង \(12\text{ cm}\)។ លើជ្រុង \(AB\) យក \(E\) ដែល \(AE = 4\text{ cm}\) និងលើ \(BC\) យក \(F\) ដែល \(BF = 6\text{ cm}\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡា \(\Delta DEF\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S_{ABCD} = 144\text{ cm}^2\)។ \(S_{\Delta ADE} = \frac{1}{2}(12)(4) = 24\), \(S_{\Delta EBF} = \frac{1}{2}(8)(6) = 24\), \(S_{\Delta CDF} = \frac{1}{2}(12)(6) = 36\)។ \(S_{\Delta DEF} = 144 - (24 + 24 + 36) = 60\text{ cm}^2\)។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មាន \(AB = 10\text{ cm}, AD = 6\text{ cm}\) និងកម្ពស់គូសមកលើ \(AB\) ស្មើ \(4.8\text{ cm}\)។ គណនាកម្ពស់គូសមកលើជ្រុង \(AD\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = AB \times h_1 = 10 \times 4.8 = 48\text{ cm}^2\)។ \(h_2 = \frac{S}{AD} = \frac{48}{6} = 8\text{ cm}\)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

បង្ហាញទ្រឹស្ដីបទ ៖ ប្រលេឡូក្រាមវ៉ារីញ៉ុងដែលកើតពីចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទាំងបួននៃចតុកោណមួយ មានផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃក្រឡាចតុកោណនោះជានិច្ច។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃត្រីកោណនៅជ្រុងទាំង ៤ បូកគ្នាស្មើពាក់កណ្តាលចតុកោណធំ ៖ \(S_{\Delta AMQ} + S_{\Delta CPN} = \frac{1}{4}S_{\Delta ABD} + \frac{1}{4}S_{\Delta BCD} = \frac{1}{4}S\)។ សរុប ៤ ជ្រុងស្មើ \(\frac{1}{2}S \implies S_{MNPQ} = \frac{1}{2}S\)។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គេឱ្យ \(\Delta ABC\)។ ចំណុច \(M\) លើ \(AB\) ដែល \(AM = \frac{1}{3}AB\) និង \(N\) លើ \(AC\) ដែល \(AN = \frac{1}{3}AC\)។ បង្ហាញថា \(S_{\Delta AMN} = \frac{1}{9} S_{\Delta ABC}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(\Delta AMN \sim \Delta ABC\) ផលធៀបសមាមាត្រ \(k = \frac{1}{3}\) ៖ \(\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\)។

៤០លំហាត់ទី ៤០

តាមទិន្នន័យលំហាត់ទី ៣៩ គណនាផលធៀបរវាងផ្ទៃចតុកោណព្នាយ \(BMNC\) និងផ្ទៃ \(\Delta ABC\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S_{BMNC} = S_{\Delta ABC} - S_{\Delta AMN} = \left(1 - \frac{1}{9}\right)S_{\Delta ABC} = \frac{8}{9}S_{\Delta ABC}\)។ ផលធៀបគឺ \(\frac{8}{9}\)។

៤១លំហាត់ទី ៤១

គេឱ្យចតុកោណកែង \(ABCD\) មាន \(AB = 8\text{ cm}, BC = 5\text{ cm}\)។ \(E\) ជាចំណុចនៅលើ \(CD\)។ គណនាផ្ទៃក្រឡា \(\Delta ABE\)។ តើផ្ទៃនេះប្រែប្រួលតាមទីតាំង \(E\) ដែរឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

\(S_{\Delta ABE} = \frac{1}{2}AB \times BC = \frac{1}{2}(8)(5) = 20\text{ cm}^2\)។ ផ្ទៃនេះមិនប្រែប្រួលទេទោះបី \(E\) រំកិលទៅណាក៏ដោយលើបន្ទាត់ \(CD\) (\(CD \parallel AB\))។

៤២លំហាត់ទី ៤២

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណព្នាយសមបាតដែលមានបាត \(10\text{ cm}, 16\text{ cm}\) និងអង្កត់ទ្រូងកែងគ្នានឹងគ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

ចតុកោណព្នាយសមបាតមានអង្កត់ទ្រូងកែងគ្នា មានកម្ពស់ស្មើបាតមធ្យម ៖ \(h = m = \frac{10 + 16}{2} = 13\text{ cm}\)។ \(S = m \times h = 13^2 = 169\text{ cm}^2\)។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ស្រែមួយរាងចតុកោណព្នាយមានបាត \(60\text{ m}, 100\text{ m}\) និងកម្ពស់ \(40\text{ m}\)។ ក្នុងមួយហិកតា ស្រែនេះផ្តល់ទិន្នផលស្រូវ ៥ តោន។ តើគេប្រមូលផលស្រូវបានប៉ុន្មានតោន?

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = \frac{(60 + 100) \times 40}{2} = 3\,200\text{ m}^2 = 0.32\text{ ha}\)។ ទិន្នផលស្រូវ ៖ \(0.32 \times 5 = 1.6\) តោន។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

ផ្ទៃក្រឡាការេមួយស្មើ \(72\text{ cm}^2\)។ គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = \frac{1}{2}d^2 \implies d^2 = 2S = 2(72) = 144 \implies d = 12\text{ cm}\)។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មានទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\)។ បង្ហាញថា \(G\) ចែក \(\Delta ABC\) ជា ៣ ត្រីកោណតូចៗដែលមានផ្ទៃក្រឡាស្មើគ្នា ៖ \(S_{\Delta GAB} = S_{\Delta GBC} = S_{\Delta GCA}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចម្ងាយពី \(G\) ទៅជ្រុងស្មើ \(\frac{1}{3}\) នៃកម្ពស់ត្រីកោណធំ ៖ \(S_{\Delta GAB} = \frac{1}{2}AB \times \frac{h_c}{3} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)។ ដូចគ្នា ៖ \(S_{\Delta GAB} = S_{\Delta GBC} = S_{\Delta GCA} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

បង្ហាញថា មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណមួយចែកត្រីកោណនោះជា ៦ ត្រីកោណតូចៗដែលមានផ្ទៃក្រឡាស្មើគ្នាទាំងអស់។

មើលដំណោះស្រាយ

មេដ្យាននីមួយៗចែកត្រីកោណស្មើជាពីរដែលមានផ្ទៃស្មើគ្នា ហើយ \(G\) ចែកជាសមាមាត្រ \(2:1\) នាំឱ្យ ៦ ត្រីកោណតូចៗនីមួយៗមានផ្ទៃស្មើ \(\frac{1}{6}S\)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណកែងសមបាតដែលមានអុីប៉ូតេនុសប្រវែង \(10\sqrt{2}\text{ cm}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = \frac{1}{2}a^2\)។ អុីប៉ូតេនុស \(a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \implies a = 10\text{ cm}\)។ \(S = \frac{1}{2}(10^2) = 50\text{ cm}^2\)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

គេឱ្យចតុកោណកែង \(ABCD\)។ ពីចំណុច \(M\) លើអង្កត់ទ្រូង \(AC\) គូសបន្ទាត់ស្របនឹងជ្រុងទាំងបួនបង្កើតជាចតុកោណកែងតូចៗពីរ។ បង្ហាញថា ចតុកោណកែងតូចៗទាំងពីរនោះមានផ្ទៃក្រឡាស្មើគ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

អង្កត់ទ្រូង \(AC\) ចែកចតុកោណកែងធំ និងចតុកោណកែងតូចៗទាំងពីរជាពីរត្រីកោណប៉ុនគ្នា។ ដកផ្ទៃត្រីកោណប៉ុនគ្នានៅសងខាងអង្កត់ទ្រូង នាំឱ្យផ្ទៃចតុកោណកែងទាំងពីរស្មើគ្នា។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

បង្ហាញថា ក្នុងគ្រប់ត្រីកោណ កម្ពស់ទាំងបីច្រាសសមាមាត្រនឹងប្រវែងជ្រុងត្រូវគ្នារបស់វា (\(a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c = 2S\))។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃក្រឡា \(S = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}b h_b = \frac{1}{2}c h_c\) ៖ \(\implies a h_a = b h_b = c h_c = 2S\)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មានជ្រុង \(a = 13, b = 14, c = 15\)។

គណនាកម្ពស់ទាំងបី \(h_a, h_b, h_c\) នៃត្រីកោណ។
គណនាកាំរង្វង់ចារឹកក្នុង \(r = \frac{S}{p}\) នៃត្រីកោណ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = 84\text{ cm}^2, p = 21\text{ cm}\) ៖

a. \(h_a = \frac{2(84)}{13} = \frac{168}{13}\text{ cm}\), \(h_b = \frac{2(84)}{14} = 12\text{ cm}\), \(h_c = \frac{2(84)}{15} = 11.2\text{ cm}\)
b. \(r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4\text{ cm}\)

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៤ ផ្ទៃក្រឡាពហុកោណ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត