មេរៀនទី ១០ : ស្ថិតិ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៨

ប្រវត្តិនៃស្ថិតិវិទ្យា និងការវិភាគទិន្នន័យក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ

ពាក្យ ស្ថិតិ (Statistics) មានឫសគល់មកពីពាក្យឡាតាំង "Status" ឬពាក្យអ៊ីតាលី "Statista" ដែលមានន័យថា «កិច្ចការរដ្ឋ»។ ដើមឡើយ ស្ថិតិគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃការប្រមូល និងរៀបចំទិន្នន័យដើម្បីបម្រើការគ្រប់គ្រងរដ្ឋ ដូចជាជំរឿនប្រជាជន កងទ័ព និងការប្រមូលពន្ធ ៖

សម័យបុរាណ ៖ អារ្យធម៌អេហ្ស៊ីប បាប៊ីឡូន និងរ៉ូម៉ាំង បានធ្វើជំរឿនប្រជាជនតាំងពីជាង ២០០០ ឆ្នាំមុន គ.ស.។ នាសម័យអង្គរដ៏រុងរឿង បុព្វបុរសខ្មែរបានកត់ត្រាស្ថិតិកម្លាំងពលកម្ម ទិន្នផលស្រូវ និងប្រព័ន្ធធារាសាស្ត្រយ៉ាងលម្អិតនៅលើសិលាចារឹកដើម្បីកសាង និងថែរក្សាមហានគរ។
ចន ហ្គ្រោន (John Graunt, 1620–1674) ៖ អ្នកជំនួញជនជាតិអង់គ្លេសដែលបានបង្កើតស្ថិតិប្រជាសាស្ត្រដំបូង ដោយបានវិភាគតារាងមរណភាពនៅទីក្រុងឡុងដ៍ និងបង្កើតគំនិតនៃអាយុសង្ឃឹមរស់ (Life expectancy)។
ហ្វ្លរ៉ិនស៍ ណៃធីងហ្គេល (Florence Nightingale, 1820–1910) ៖ គិលានុបដ្ឋាយិកា និងគណិតវិទូឆ្នើម ដែលបានប្រើប្រាស់ក្រាហ្វិកស្ថិតិ (ដ្យាក្រាមផ្លិត) ដើម្បីបញ្ចុះបញ្ចូលរដ្ឋាភិបាលអង់គ្លេសឱ្យកែទម្រង់អនាម័យក្នុងមន្ទីរពេទ្យយោធា ដែលបានជួយសង្គ្រោះជីវិតមនុស្សរាប់ម៉ឺននាក់។
ស្ថិតិទំនើប និងយុគសម័យទិន្នន័យធំ (Big Data) ៖ គណិតវិទូ Karl Pearson និង Ronald Fisher បានបង្កើតគ្រឹះគណិតវិទ្យានៃស្ថិតិវិទ្យាទំនើប។ សព្វថ្ងៃនេះ ស្ថិតិគឺជាបេះដូងនៃវិទ្យាសាស្ត្រទិន្នន័យ (Data Science) ការរៀនរបស់ម៉ាស៊ីន (Machine Learning) និងបញ្ញាសិប្បនិម្មិត (AI)។

សញ្ញាណគ្រឹះនៃស្ថិតិ

វាក្យស័ព្ទស្ថិតិ

សកល (Population) ៖ សំណុំនៃវត្ថុ សត្វ ឬមនុស្សទាំងអស់ដែលស្ថិតក្រោមការអង្កេត ឬសិក្សាស្រាវជ្រាវ។
គំរូ (Sample) ៖ ផ្នែកតូចមួយដែលត្រូវបានដកស្រង់ចេញពីសកលដើម្បីតំណាងឱ្យសកលទាំងមូល។
បុគ្គល ឬឯកតាស្ថិតិ (Individual/Unit) ៖ ធាតុនីមួយៗដែលមាននៅក្នុងសកល ឬគំរូ។
អថេរ ឬលក្ខណៈស្ថិតិ (Variable/Attribute) ៖ លក្ខណៈ ឬគុណសម្បត្តិដែលគេចង់សិក្សាលើបុគ្គលនីមួយៗ។
- អថេរគុណភាព (Qualitative Variable) ៖ មិនអាចវាស់ជាលេខបាន (ភេទ, ពណ៌, ក្រុមឈាម, ចំណង់ចំណូលចិត្ត...)។
- អថេរបរិមាណ (Quantitative Variable) ៖ អាចវាស់ ឬរាប់ជាលេខបាន (អាយុ, កម្ពស់, ទម្ងន់, ពិន្ទុ, ប្រាក់ចំណូល...)។

បំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យមិនផ្តុំជាថ្នាក់

ប្រេកង់ និងប្រេកង់ធៀប

ប្រេកង់ ($f$) ៖ ចំនួនដងដែលតម្លៃទិន្នន័យនីមួយៗកើតឡើងដដែលៗ។ ផលបូកប្រេកង់ទាំងអស់ស្មើនឹងទំហំគំរូសរុប $N = \sum f$។
ប្រេកង់ធៀប ($f_r$) ៖ ផលធៀបរវាងប្រេកង់នៃតម្លៃនីមួយៗ និងប្រេកង់សរុប ៖
\[f_r = \frac{f}{N} \quad{} (\text{ផលបូកប្រេកង់ធៀបទាំងអស់ស្មើ } 1)\]
ប្រេកង់ភាគរយ ($f_{\%}$) ៖ $f_{\%} = f_r \times 100\% = \dfrac{f}{N} \times 100\%$ (ផលបូកស្មើ $100\%$)។

ឧទាហរណ៍

ក្នុងការស្ទង់មតិសិស្ស $20$ នាក់អំពីចំនួនបងប្អូនក្នុងគ្រួសារ គេទទួលបានទិន្នន័យដូចខាងក្រោម ៖

\[2, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 5, 1, 2, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2\]

ចូរសង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ប្រេកង់ធៀប និងប្រេកង់ភាគរយ។

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនបងប្អូន ($x$)	ប្រេកង់ ($f$)	ប្រេកង់ធៀប ($f_r$)	ប្រេកង់ភាគរយ ($f_{\%}$)
$1$	$5$	$\dfrac{5}{20} = 0.25$	$25\%$
$2$	$8$	$\dfrac{8}{20} = 0.40$	$40\%$
$3$	$4$	$\dfrac{4}{20} = 0.20$	$20\%$
$4$	$2$	$\dfrac{2}{20} = 0.10$	$10\%$
$5$	$1$	$\dfrac{1}{20} = 0.05$	$5\%$
សរុប	$N = 20$	$1.00$	$100\%$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យផ្តុំជាថ្នាក់

សញ្ញាណនៃថ្នាក់ទិន្នន័យ

ចន្លោះថ្នាក់

នៅពេលទិន្នន័យមានចំនួនច្រើន និងមានតម្លៃខុសៗគ្នាខ្លាំង គេត្រូវប្រមូលផ្តុំទិន្នន័យជា ថ្នាក់ (Classes) ៖

ចន្លោះថ្នាក់ទម្រង់ $[a, b)$ ៖ $a$ ជា គោលក្រោម (Lower limit) និង $b$ ជា គោលលើ (Upper limit)។
ទំហំ ឬទទឹងថ្នាក់ ($i$ ឬ $w$) ៖ ផលដករវាងគោលលើ និងគោលក្រោម ៖ $i = b - a$។
តម្លៃកណ្តាលថ្នាក់ (Class Mark / Midpoint, $x_i$) ៖
\[x_i = \frac{a + b}{2}\]
ប្រេកង់កើន (Cumulative Frequency, $F$) ៖ ផលបូកប្រេកង់ពីថ្នាក់ទីមួយរហូតដល់ថ្នាក់បច្ចុប្បន្ន។

ឧទាហរណ៍

គេមានតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ពិន្ទុសិស្ស ៤០ នាក់ដូចខាងក្រោម ៖

ចន្លោះពិន្ទុ	ប្រេកង់ ($f$)	តម្លៃកណ្តាល ($x_i$)	ប្រេកង់កើន ($F$)
$[40, 50)$	$4$	$45$	$4$
$[50, 60)$	$8$	$55$	$12$
$[60, 70)$	$14$	$65$	$26$
$[70, 80)$	$10$	$75$	$36$
$[80, 90)$	$4$	$85$	$40$

ចូររកចំនួនសិស្សដែលទទួលបានពិន្ទុក្រោម ៧០ និងភាគរយសិស្សដែលទទួលបានពិន្ទុចាប់ពី ៧០ ឡើងទៅ។

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនសិស្សដែលបានពិន្ទុក្រោម ៧០ គឺជាប្រេកង់កើនត្រឹមថ្នាក់ $[60, 70)$ គឺ $26$ នាក់។
ចំនួនសិស្សដែលបានពិន្ទុចាប់ពី ៧០ ឡើងទៅគឺ $10 + 4 = 14$ នាក់។
ភាគរយគឺ ៖ $\dfrac{14}{40} \times 100\% = 35\%$។

រង្វាស់ទីតាំងកណ្តាល (Measures of Central Tendency)

មធ្យមភាគ (Arithmetic Mean, $\bar{x}$)

រូបមន្តគណនាមធ្យមភាគ

ទិន្នន័យមិនផ្តុំជាថ្នាក់ (សាមញ្ញ) ៖
\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}\]
ទិន្នន័យមានប្រេកង់ ៖
\[\bar{x} = \frac{f_1 x_1 + f_2 x_2 + \dots + f_k x_k}{f_1 + f_2 + \dots + f_k} = \frac{\sum f_i x_i}{N}\]
ទិន្នន័យផ្តុំជាថ្នាក់ ៖ $x_i$ គឺជាតម្លៃកណ្តាលនៃថ្នាក់នីមួយៗ។

មេដ្យាន (Median, $Me$)

មេដ្យាន

មេដ្យាន (Median) គឺជាតម្លៃដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលគេនៃទិន្នន័យ ក្រោយពេលបានតម្រៀបតាមលំដាប់កើន (ឬចុះ)។

បើចំនួនទិន្នន័យ $n$ ជាចំនួនសេស ៖ មេដ្យានគឺជាទិន្នន័យទី $\dfrac{n+1}{2}$។
បើចំនួនទិន្នន័យ $n$ ជាចំនួនគូ ៖ មេដ្យានគឺជាមធ្យមភាគនៃពីរបុគ្គលកណ្តាល គឺទី $\dfrac{n}{2}$ និងទី $\dfrac{n}{2} + 1$ ៖
\[Me = \frac{x_{n/2} + x_{n/2 + 1}}{2}\]

ម៉ូត (Mode, $Mo$)

ម៉ូត

ម៉ូត (Mode) គឺជាតម្លៃទិន្នន័យណាដែលមាន ប្រេកង់ខ្ពស់ជាងគេបំផុត (កើតឡើងញឹកញាប់ជាងគេ) ក្នុងចំណោមទិន្នន័យទាំងអស់។

ស៊េរីស្ថិតិមួយអាចគ្មានម៉ូត (បើគ្រប់ទិន្នន័យមានប្រេកង់ស្មើគ្នា) ឬមានម៉ូតច្រើនជាងមួយ (Bimodal, Multimodal)។

ឧទាហរណ៍

គេមានទិន្នន័យ ៖ $4, 7, 7, 8, 9, 10, 11$។ រកមធ្យមភាគ មេដ្យាន និងម៉ូត។

ដំណោះស្រាយ

មធ្យមភាគ ៖ $\bar{x} = \dfrac{4 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11}{7} = \dfrac{56}{7} = 8$។
មេដ្យាន ៖ ទិន្នន័យមាន $n = 7$ (សេស)។ តម្លៃកណ្តាលគឺតួទី $4$ នាំឱ្យ $Me = 8$។
ម៉ូត ៖ តម្លៃ $7$ មានប្រេកង់ស្មើ $2$ (ច្រើនជាងគេ) នាំឱ្យ $Mo = 7$។

គណនារង្វាស់ទីតាំងកណ្តាល

គេឱ្យពិន្ទុតេស្តរបស់សិស្ស ៨ នាក់ ៖ $12, 15, 14, 16, 15, 18, 15, 19$។ ចូរគណនាមធ្យមភាគ មេដ្យាន និងម៉ូតនៃពិន្ទុទាំងនេះ។

ដ្យាក្រាមស្ថិតិ

ប្រភេទដ្យាក្រាមស្ថិតិ

ដ្យាក្រាមសសរ (Bar Chart) ៖ ប្រើសសរចតុកោណកែងដែលមានទទឹងស្មើៗគ្នា ដើម្បីតាងប្រេកង់នៃទិន្នន័យមិនផ្តុំជាថ្នាក់។
អ៊ីស្តូក្រាម (Histogram) ៖ ប្រើសសរចតុកោណកែងជាប់ៗគ្នា ដើម្បីតាងទិន្នន័យផ្តុំជាថ្នាក់ ដោយបាតនៃសសរនីមួយៗគឺនៅលើអ័ក្សដេកតាងចន្លោះថ្នាក់។
ដ្យាក្រាមផ្លិត ឬដ្យាក្រាមរង្វង់ (Pie Chart) ៖ រង្វង់តាងទិន្នន័យសរុប $100\%$ ($360^\circ$)។ មុំនៃផ្លិតនីមួយៗគណនាតាមរូបមន្ត ៖
\[\text{មុំផ្លិត } \alpha = \frac{f}{N} \times 360^\circ = f_{\%} \times 3.6^\circ\]

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ចាត់ថ្នាក់អថេរខាងក្រោមជាអថេរគុណភាព ឬអថេរបរិមាណ ៖

ពណ៌ភ្នែករបស់សិស្ស
ចំនួនសៀវភៅក្នុងបណ្ណាល័យ
សីតុណ្ហភាពប្រចាំថ្ងៃនៅភ្នំពេញ
ម៉ាកទូរស័ព្ទដៃដែលកំពុងពេញនិយម

មើលដំណោះស្រាយ

ចាត់ថ្នាក់អថេរ ៖

a. ពណ៌ភ្នែក ៖ អថេរគុណភាព
b. ចំនួនសៀវភៅ ៖ អថេរបរិមាណ (ដាច់ពីគ្នា)
c. សីតុណ្ហភាព ៖ អថេរបរិមាណ (ជាប់)
d. ម៉ាកទូរស័ព្ទ ៖ អថេរគុណភាព

២លំហាត់ទី ២

ក្នុងការស្ទង់មតិមួយ គេសួរសិស្ស ៣០ នាក់អំពីមធ្យោបាយធ្វើដំណើរមកសាលារៀន ៖ ម៉ូតូ (M), កង់ (B), ដើរ (W), ឡានក្រុង (C) ៖

\[M, B, W, M, M, B, W, C, M, B, M, W, M, C, B, M, M, W, B, M, C, M, B, W, M, B, M, W, M, C\]

សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់
រកប្រេកង់ធៀប និងប្រេកង់ភាគរយនៃមធ្យោបាយនីមួយៗ

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យោបាយធ្វើដំណើរ ៖

ម៉ូតូ (M) ៖ $f = 13$, $f_r = \dfrac{13}{30} \approx 0.433$, $f_{\%} \approx 43.3\%$
កង់ (B) ៖ $f = 6$, $f_r = \dfrac{6}{30} = 0.20$, $f_{\%} = 20\%$
ដើរ (W) ៖ $f = 7$, $f_r = \dfrac{7}{30} \approx 0.233$, $f_{\%} \approx 23.3\%$
ឡានក្រុង (C) ៖ $f = 4$, $f_r = \dfrac{4}{30} \approx 0.133$, $f_{\%} \approx 13.3\%$

៣លំហាត់ទី ៣

គណនាមធ្យមភាគ មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យខាងក្រោម ៖

\[5, 8, 12, 15, 12, 14, 18, 12, 10\]

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យ ៖ $5, 8, 10, 12, 12, 12, 14, 15, 18$ ($n = 9$) ៖

$\bar{x} = \dfrac{106}{9} \approx 11.78$
$Me = x_5 = 12$
$Mo = 12$ (ប្រេកង់ $3$)

៤លំហាត់ទី ៤

គណនាមធ្យមភាគ មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យ ៖

\[22, 25, 20, 28, 30, 25, 27, 25, 23, 29\]

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យ ៖ $20, 22, 23, 25, 25, 25, 27, 28, 29, 30$ ($n = 10$) ៖

$\bar{x} = \dfrac{254}{10} = 25.4$
$Me = \dfrac{25 + 25}{2} = 25$
$Mo = 25$ (ប្រេកង់ $3$)

៥លំហាត់ទី ៥

រកអំព្លីទុត (Range) នៃទិន្នន័យខាងក្រោម ៖

$14, 28, 35, 19, 42, 50, 23$
$-5, 8, 12, -2, 0, 15, 7$

មើលដំណោះស្រាយ

អំព្លីទុត (Range) ៖

a. $R = 50 - 14 = 36$
b. $R = 15 - (-5) = 20$

៦លំហាត់ទី ៦

សិស្សម្នាក់ទទួលបានពិន្ទុតេស្តប្រចាំខែចំនួន ៥ លើក ៖ $7.5, 8.0, 6.5, 9.0, 8.0$។

គណនាពិន្ទុមធ្យមភាគ
រកពិន្ទុមេដ្យាន
រកពិន្ទុម៉ូត

មើលដំណោះស្រាយ

ពិន្ទុតេស្ត ៖ $6.5, 7.5, 8.0, 8.0, 9.0$ ៖

a. $\bar{x} = \dfrac{39}{5} = 7.8$
b. $Me = 8.0$
c. $Mo = 8.0$

៧លំហាត់ទី ៧

ទិន្នន័យចំនួនកូនក្នុងគ្រួសារចំនួន ២៥ គ្រួសារមានដូចខាងក្រោម ៖

ចំនួនកូន ($x$)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
ចំនួនគ្រួសារ ($f$)	$4$	$9$	$7$	$3$	$2$

គណនាចំនួនកូនជាមធ្យមក្នុងមួយគ្រួសារ
រកមេដ្យាននៃចំនួនកូន
រកម៉ូតនៃចំនួនកូន

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនកូនក្នុង ២៥ គ្រួសារ ៖

a. $\sum fx = 1(4) + 2(9) + 3(7) + 4(3) + 5(2) = 4 + 18 + 21 + 12 + 10 = 65$
$\bar{x} = \dfrac{65}{25} = 2.6$ នាក់/គ្រួសារ
b. $Me = x_{13} = 2$ នាក់
c. $Mo = 2$ នាក់ (ប្រេកង់ខ្ពស់បំផុត $9$)

៨លំហាត់ទី ៨

គេឱ្យទិន្នន័យពិន្ទុសិស្ស ៖ $5, 6, 7, 8, x$។ បើមធ្យមភាគស្មើ $7$ ចូររកតម្លៃ $x$។

មើលដំណោះស្រាយ

$\dfrac{5 + 6 + 7 + 8 + x}{5} = 7 \implies 26 + x = 35 \implies x = 9$។

៩លំហាត់ទី ៩

គេឱ្យទិន្នន័យ ៖ $10, 12, 15, 18, x, 22$។ បើមធ្យមភាគស្មើ $16$ ចូររកតម្លៃ $x$ និងមេដ្យាន។

មើលដំណោះស្រាយ

$\dfrac{10 + 12 + 15 + 18 + x + 22}{6} = 16 \implies 77 + x = 96 \implies x = 19$។
តម្រៀប ៖ $10, 12, 15, 18, 19, 22 \implies Me = \dfrac{15+18}{2} = 16.5$។

១០លំហាត់ទី ១០

ក្នុងតេស្តមួយ សិស្ស ៦ នាក់ទទួលបានពិន្ទុមធ្យម $14$។ បើគេដកពិន្ទុសិស្សម្នាក់ចេញដែលបានពិន្ទុ $9$ តើមធ្យមភាគនៃសិស្ស ៥ នាក់ដែលនៅសល់ស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក ៦ នាក់ ៖ $6 \times 14 = 84$។
ផលបូក ៥ នាក់ដែលនៅសល់ ៖ $84 - 9 = 75$។
មធ្យមភាគថ្មី ៖ $\bar{x} = \dfrac{75}{5} = 15\$$។

១១លំហាត់ទី ១១

កម្មករ ៨ នាក់ទទួលបានប្រាក់ឈ្នួលប្រចាំថ្ងៃជាមធ្យម $15\$$។ បើមានកម្មករថ្មីម្នាក់ទៀតចូលមកធ្វើការដោយទទួលបានប្រាក់ឈ្នួល $24\$$ តើប្រាក់ឈ្នួលមធ្យមថ្មីរបស់កម្មករទាំង ៩ នាក់ស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក ៨ នាក់ ៖ $8 \times 15 = 120\$$។
ផលបូក ៩ នាក់ ៖ $120 + 24 = 144\$$។
មធ្យមភាគថ្មី ៖ $\bar{x} = \dfrac{144}{9} = 16\$$។

១២លំហាត់ទី ១២

គេមានតារាងបំណែងចែកប្រេកង់កម្ពស់សិស្ស ៤០ នាក់ ៖

កម្ពស់ (cm)	$[140, 150)$	$[150, 160)$	$[160, 170)$	$[170, 180)$
ប្រេកង់ ($f$)	$6$	$16$	$14$	$4$

រកតម្លៃកណ្តាលនៃថ្នាក់នីមួយៗ
គណនាកម្ពស់មធ្យមភាគនៃសិស្សទាំង ៤០ នាក់

មើលដំណោះស្រាយ

កម្ពស់សិស្ស ៖

a. តម្លៃកណ្តាល ៖ $145, 155, 165, 175$
b. $\sum f x_i = 6(145) + 16(155) + 14(165) + 4(175) = 870 + 2480 + 2310 + 700 = 6360$
$\bar{x} = \dfrac{6360}{40} = 159\text{ cm}$

១៣លំហាត់ទី ១៣

តាមតារាងក្នុងលំហាត់ទី ១២ ៖

រកថ្នាក់ម៉ូត និងប្រេកង់របស់វា
សង់តារាងប្រេកង់កើន និងរកចំនួនសិស្សដែលមានកម្ពស់ក្រោម $160\text{ cm}$

មើលដំណោះស្រាយ

កម្ពស់សិស្ស ៖

a. ថ្នាក់ម៉ូតគឺ $[150, 160)$ មានប្រេកង់ $16$
b. សិស្សកម្ពស់ក្រោម $160\text{ cm}$ ៖ $6 + 16 = 22$ នាក់

១៤លំហាត់ទី ១៤

គេមានតារាងពិន្ទុប្រឡង ៖

ពិន្ទុ	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100)$
ប្រេកង់ ($f$)	$3$	$7$	$15$	$20$	$5$

គណនាពិន្ទុមធ្យមភាគ
រកភាគរយសិស្សដែលប្រឡងជាប់ (ពិន្ទុចាប់ពី ៥០ ឡើងទៅ)

មើលដំណោះស្រាយ

ពិន្ទុប្រឡង ៖

a. តម្លៃកណ្តាល ៖ $10, 30, 50, 70, 90$
$\sum f x_i = 3(10) + 7(30) + 15(50) + 20(70) + 5(90) = 30 + 210 + 750 + 1400 + 450 = 2840$
$\bar{x} = \dfrac{2840}{50} = 56.8$
b. ជាប់ចាប់ពី $50$ ឡើង ៖ $7.5 + 20 + 5 = 32.5$ នាក់ (ប្រហែល $65\%$)

១៥លំហាត់ទី ១៥

ក្នុងរោងចក្រមួយ ទិន្នន័យអាយុកម្មករ ៥០ នាក់មានដូចខាងក្រោម ៖

អាយុ (ឆ្នាំ)	$[18, 25)$	$[25, 32)$	$[32, 39)$	$[39, 46)$
ចំនួនកម្មករ	$12$	$20$	$13$	$5$

គណនាអាយុមធ្យមភាគរបស់កម្មករ
រកប្រេកង់ភាគរយនៃកម្មករដែលមានអាយុក្រោម ៣២ ឆ្នាំ

មើលដំណោះស្រាយ

អាយុកម្មករ ៖

a. តម្លៃកណ្តាល ៖ $21.5, 28.5, 35.5, 42.5$
$\sum f x_i = 12(21.5) + 20(28.5) + 13(35.5) + 5(42.5) = 258 + 570 + 461.5 + 212.5 = 1502$
$\bar{x} = \dfrac{1502}{50} = 30.04$ ឆ្នាំ
b. ក្រោម ៣២ ឆ្នាំ ៖ $12 + 20 = 32$ នាក់ $\implies \dfrac{32}{50} \times 100\% = 64\%$

១៦លំហាត់ទី ១៦

គណនាមុំផ្ចិតនៃដ្យាក្រាមរង្វង់សម្រាប់ទិន្នន័យខាងក្រោម ៖

សកម្មភាព	សិក្សា	កីឡា	កម្សាន្ត	សម្រាក
ភាគរយ	$40\%$	$15\%$	$20\%$	$25\%$

មើលដំណោះស្រាយ

មុំផ្ចិត ៖

សិក្សា ៖ $40\% \times 360^\circ = 144^\circ$
កីឡា ៖ $15\% \times 360^\circ = 54^\circ$
កម្សាន្ត ៖ $20\% \times 360^\circ = 72^\circ$
សម្រាក ៖ $25\% \times 360^\circ = 90^\circ$

១៧លំហាត់ទី ១៧

ក្នុងដ្យាក្រាមរង្វង់បង្ហាញពីការចំណាយប្រចាំខែរបស់គ្រួសារមួយ ៖ ថ្លៃម្ហូបអាហារ $144^\circ$, ថ្លៃជួលផ្ទះ $108^\circ$, ថ្លៃសិក្សា $72^\circ$, ផ្សេងៗ $36^\circ$។

គណនាភាគរយនៃការចំណាយនីមួយៗ
បើប្រាក់ចំណាយសរុបគឺ $800\$$ ក្នុងមួយខែ រកប្រាក់ចំណាយលើមុខទំនិញនីមួយៗ

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណាយគ្រួសារ ៖

a. ម្ហូប ៖ $40\%$, ជួលផ្ទះ ៖ $30\%$, សិក្សា ៖ $20\%$, ផ្សេងៗ ៖ $10\%$
b. ម្ហូប ៖ $320\$$, ជួលផ្ទះ ៖ $240\$$, សិក្សា ៖ $160\$$, ផ្សេងៗ ៖ $80\$$

១៨លំហាត់ទី ១៨

គេឱ្យទិន្នន័យ ៖ $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ មានមធ្យមភាគស្មើ $15$។

គណនាមធ្យមភាគថ្មី បើគេបូក $3$ លើគ្រប់ទិន្នន័យទាំងអស់
គណនាមធ្យមភាគថ្មី បើគេគុណគ្រប់ទិន្នន័យទាំងអស់នឹង $4$

មើលដំណោះស្រាយ

បម្រែបម្រួលមធ្យមភាគ ៖

a. $\bar{x}_{new} = 15 + 3 = 18$
b. $\bar{x}_{new} = 15 \times 4 = 60$

១៩លំហាត់ទី ១៩

សិស្សមួយក្រុមមានប្រុស ១២ នាក់ និងស្រី ៨ នាក់។ ពិន្ទុមធ្យមរបស់សិស្សប្រុសគឺ $72$ និងរបស់សិស្សស្រីគឺ $82$។ គណនាពិន្ទុមធ្យមនៃសិស្សទាំង ២០ នាក់។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{x} = \dfrac{12(72) + 8(82)}{20} = \dfrac{864 + 656}{20} = \dfrac{1520}{20} = 76$ ពិន្ទុ។

២០លំហាត់ទី ២០

ក្នុងក្រុមហ៊ុនមួយ បុគ្គលិកផ្នែកលក់ ២០ នាក់ទទួលបានប្រាក់ខែមធ្យម $400\$$ និងបុគ្គលិកផ្នែករដ្ឋបាល ៣០ នាក់ទទួលបានប្រាក់ខែមធ្យម $500\$$។ គណនាប្រាក់ខែមធ្យមនៃបុគ្គលិកទាំង ៥០ នាក់។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{x} = \dfrac{20(400) + 30(500)}{50} = \dfrac{8000 + 15000}{50} = \dfrac{23000}{50} = 460\$$។

២១លំហាត់ទី ២១

គេមាន ៥ ចំនួន ដែលមានមធ្យមភាគស្មើ $20$។ បើប្តូរចំនួនមួយដែលស្មើ $15$ ចេញដោយជំនួសដោយចំនួន $35$ វិញ គណនាមធ្យមភាគថ្មី។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកចាស់ ៖ $5 \times 20 = 100$។
ផលបូកថ្មី ៖ $100 - 15 + 35 = 120$។
$\bar{x}_{new} = \dfrac{120}{5} = 24$។

២២លំហាត់ទី ២២

រកមេដ្យាននៃទិន្នន័យ ៖ $45, 32, 56, 78, 23, 67, 89, 34, 51$។

មើលដំណោះស្រាយ

តម្រៀប ៖ $23, 32, 34, 45, 51, 56, 67, 78, 89$ ($n = 9$) ៖
$Me = x_5 = 51$។

២៣លំហាត់ទី ២៣

រកមេដ្យាននៃទិន្នន័យ ៖ $1.2, 3.4, 2.5, 4.1, 3.8, 2.9, 1.8, 4.5$។

មើលដំណោះស្រាយ

តម្រៀប ៖ $1.2, 1.8, 2.5, 2.9, 3.4, 3.8, 4.1, 4.5$ ($n = 8$) ៖
$Me = \dfrac{2.9 + 3.4}{2} = 3.15$។

២៤លំហាត់ទី ២៤

រកម៉ូតនៃទិន្នន័យ ៖

$3, 5, 7, 5, 9, 5, 11, 7, 5$
$12, 15, 12, 18, 15, 20, 22$

មើលដំណោះស្រាយ

ម៉ូត ៖

a. $Mo = 5$ (ប្រេកង់ $4$)
b. $Mo = 12$ និង $15$ (ប្រេកង់ $2$ ស្មើគ្នា)

២៥លំហាត់ទី ២៥

គេឱ្យទិន្នន័យ ៖ $2, 5, 7, 8, x$។ បើម៉ូតនៃទិន្នន័យគឺ $7$ រកតម្លៃ $x$ និងគណនាមធ្យមភាគ។

មើលដំណោះស្រាយ

ដើម្បីឱ្យ $Mo = 7$ ត្រូវតែ $x = 7$ (កើតឡើង ២ ដង)។
$\bar{x} = \dfrac{2 + 5 + 7 + 8 + 7}{5} = \dfrac{29}{5} = 5.8$។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យទិន្នន័យ ៖ $1, 3, 4, 6, 8, 9, x$ (រៀបតាមលំដាប់កើនរួច)។ បើមេដ្យានស្មើ $6$ រកតម្លៃដែលអាចមាននៃ $x$។

មើលដំណោះស្រាយ

$n = 7$ នាំឱ្យ $Me = x_4 = 6$។ ដោយទិន្នន័យតម្រៀបរួច $x$ នៅចុងក្រោយ នោះ $x \ge 9$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេឱ្យទិន្នន័យ ៖ $x, x+2, x+4, x+6, x+8$។

បង្ហាញថាមធ្យមភាគស្មើនឹងមេដ្យាននៃទិន្នន័យនេះ
បើមធ្យមភាគស្មើ $15$ រកតម្លៃនៃ $x$

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យស៊ីមេទ្រី ៖

a. $\bar{x} = \dfrac{5x + 20}{5} = x + 4$។ មេដ្យានគឺតួទី $3$ គឺ $x + 4$។ ដូចនេះ $\bar{x} = Me$។
b. $x + 4 = 15 \implies x = 11$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

តារាងប្រេកង់កើននៃអាយុមនុស្ស ៦០ នាក់ ៖

អាយុ (ឆ្នាំ)	$< 20$	$< 30$	$< 40$	$< 50$	$< 60$
ប្រេកង់កើន ($F$)	$8$	$22$	$40$	$52$	$60$

រកប្រេកង់សាមញ្ញនៃថ្នាក់នីមួយៗ ៖ $[0, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50), [50, 60)$
រកចំនួនមនុស្សដែលមានអាយុចាប់ពី ៣០ ឆ្នាំ ដល់ក្រោម ៥០ ឆ្នាំ

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សាមញ្ញ ៖

a. $[0, 20): 8$ ; $[20, 30): 14$ ; $[30, 40): 18$ ; $[40, 50): 12$ ; $[50, 60): 8$
b. ចាប់ពី ៣០ ដល់ក្រោម ៥០ ៖ $18 + 12 = 30$ នាក់

២៩លំហាត់ទី ២៩

ក្នុងថ្នាក់មួយមានសិស្ស ៤០ នាក់។ ក្នុងនោះសិស្សប្រុសមាន ២៤ នាក់។ គណនាមុំផ្ចិតតាងសិស្សប្រុស និងសិស្សស្រីក្នុងដ្យាក្រាមរង្វង់។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រីមាន $40 - 24 = 16$ នាក់ ៖
មុំប្រុស ៖ $\dfrac{24}{40} \times 360^\circ = 216^\circ$ ; មុំស្រី ៖ $\dfrac{16}{40} \times 360^\circ = 144^\circ$។

៣០លំហាត់ទី ៣០

គេដឹងថាផលបូកនៃ ៧ ចំនួនស្មើនឹង $119$។ គណនាមធ្យមភាគនៃចំនួនទាំង ៧ នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{x} = \dfrac{119}{7} = 17$។

៣១លំហាត់ទី ៣១

រកចំនួនមួយដែលត្រូវបន្ថែមទៅលើទិន្នន័យ $6, 8, 10, 12$ ដើម្បីឱ្យមធ្យមភាគថ្មីស្មើ $10$។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងចំនួនថែម $x$ ៖
$\dfrac{6 + 8 + 10 + 12 + x}{5} = 10 \implies 36 + x = 50 \implies x = 14$។

៣២លំហាត់ទី ៣២

រកចំនួនពីរ $x$ និង $y$ បើដឹងថាមធ្យមភាគនៃ $4, 8, 12, x, y$ គឺ $10$ ហើយ $x - y = 4$។

មើលដំណោះស្រាយ

$4 + 8 + 12 + x + y = 50 \implies x + y = 26$។
រួមជាមួយ $x - y = 4 \implies 2x = 30 \implies x = 15, y = 11$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គណនាមធ្យមភាគនៃចំនួនគត់ធម្មជាតិ ១០ តួដំបូង (ពី ១ ដល់ ១០)។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + \dots + 10}{10} = \dfrac{55}{10} = 5.5$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គណនាមធ្យមភាគនៃចំនួនគត់គូ ១០ តួដំបូង (ពី ២ ដល់ ២០)។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{x} = \dfrac{2(1 + 2 + \dots + 10)}{10} = \dfrac{2(55)}{10} = 11$។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គណនាមធ្យមភាគនៃចំនួនគត់សេស ១០ តួដំបូង (ពី ១ ដល់ ១៩)។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{x} = \dfrac{1 + 3 + \dots + 19}{10} = \dfrac{100}{10} = 10$។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

បង្ហាញថា មធ្យមភាគនៃ $n$ ចំនួនគត់សេសដំបូងស្មើនឹង $n$។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក $n$ ចំនួនសេសដំបូងគឺ $n^2$។
មធ្យមភាគ ៖ $\bar{x} = \dfrac{n^2}{n} = n$ (ពិត)។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ក្នុងតេស្តមួយ សិស្ស ៣ នាក់ដំបូងបានពិន្ទុមធ្យម ៨ និងសិស្ស ៧ នាក់បន្ទាប់បានពិន្ទុមធ្យម ៦។ គណនាពិន្ទុមធ្យមនៃសិស្សទាំង ១០ នាក់។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{x} = \dfrac{3(8) + 7(6)}{10} = \dfrac{24 + 42}{10} = 6.6$ ពិន្ទុ។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

កីឡាករវាយកូនហ្គោលម្នាក់លេងបាន ៤ ជុំ ដោយមានពិន្ទុមធ្យម $72$។ តើជុំទី ៥ គាត់ត្រូវទទួលបានពិន្ទុប៉ុន្មានដើម្បីឱ្យពិន្ទុមធ្យមទាំង ៥ ជុំស្មើ $70$?

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក ៤ ជុំ ៖ $4 \times 72 = 288$។
ផលបូក ៥ ជុំ ៖ $5 \times 70 = 350$។
ពិន្ទុជុំទី ៥ ៖ $350 - 288 = 62$ ពិន្ទុ។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

តារាងខាងក្រោមបង្ហាញពីចំនួនសៀវភៅដែលសិស្សអានក្នុងមួយខែ ៖

ចំនួនសៀវភៅ ($x$)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
ចំនួនសិស្ស ($f$)	$5$	$12$	$15$	$6$	$2$

គណនាចំនួនសៀវភៅមធ្យមដែលសិស្សម្នាក់ៗអាន
រកភាគរយសិស្សដែលអានសៀវភៅយ៉ាងហោចណាស់ ២ ក្បាល

មើលដំណោះស្រាយ

ការអានសៀវភៅ ៖

a. $N = 40$, $\sum fx = 0(5) + 1(12) + 2(15) + 3(6) + 4(2) = 12 + 30 + 18 + 8 = 68$
$\bar{x} = \dfrac{68}{40} = 1.7$ ក្បាល/សិស្ស
b. យ៉ាងហោចណាស់ ២ ក្បាល ៖ $15 + 6 + 2 = 23$ នាក់ $\implies \dfrac{23}{40} \times 100\% = 57.5\%$

៤០លំហាត់ទី ៤០

គណនាមធ្យមភាគ និងមេដ្យាននៃទិន្នន័យ ៖ $100, 102, 105, 108, 110, 115, 120$។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យ ៧ ចំនួន ៖
$\bar{x} = \dfrac{768}{7} \approx 109.71$ ; $Me = x_4 = 108$។

៤១លំហាត់ទី ៤១

បង្ហាញថា បើគុណគ្រប់ទិន្នន័យ $x_i$ នឹងចំនួនថេរ $a$ រួចបូកនឹង $b$ នោះមធ្យមភាគថ្មីគឺ $\bar{y} = a\bar{x} + b$។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{y} = \dfrac{\sum (ax_i + b)}{n} = \dfrac{a\sum x_i + nb}{n} = a\bar{x} + b$ (ពិត)។

៤២លំហាត់ទី ៤២

គេមានទិន្នន័យ $x_1, x_2, \dots, x_n$ ដែលមានមធ្យមភាគ $\bar{x}$។ បង្ហាញថា ៖

\[\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0\]

(ផលបូកគម្លាតពីមធ្យមភាគស្មើនឹងសូន្យជានិច្ច)។

មើលដំណោះស្រាយ

$\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = \sum x_i - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$ (ពិត)។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

រកតម្លៃ $x$ បើទិន្នន័យ $2, 3, 5, x, 9, 11$ (តម្រៀបរួច) មានមេដ្យានស្មើ $6.5$។

មើលដំណោះស្រាយ

$Me = \dfrac{5 + x}{2} = 6.5 \implies 5 + x = 13 \implies x = 8$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេមាន ៤ ចំនួនវិជ្ជមាន $a \le b \le c \le d$ ដែលមានមេដ្យានស្មើ $8$, ម៉ូតស្មើ $6$ និងមធ្យមភាគស្មើ $9$។ រកតម្លៃនៃចំនួនទាំងបួន។

មើលដំណោះស្រាយ

$Mo = 6 \implies a = b = 6$។
$Me = \dfrac{b+c}{2} = 8 \implies 6 + c = 16 \implies c = 10$។
$\bar{x} = \dfrac{6 + 6 + 10 + d}{4} = 9 \implies 22 + d = 36 \implies d = 14$។
ចំនួនទាំងបួនគឺ $6, 6, 10, 14$។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

ពិន្ទុតេស្តរបស់សិស្ស ២០ នាក់ត្រូវបានរៀបចំជាតារាង ៖

ពិន្ទុ	$5$	$6$	$7$	$8$
ប្រេកង់	$4$	$x$	$y$	$3$

បើមធ្យមភាគស្មើ $6.4$ ចូររកតម្លៃនៃ $x$ និង $y$។

មើលដំណោះស្រាយ

$4 + x + y + 3 = 20 \implies x + y = 13$។
$\sum fx = 5(4) + 6x + 7y + 8(3) = 20(6.4) \implies 6x + 7y + 44 = 128 \implies 6x + 7y = 84$។
$6(13 - y) + 7y = 84 \implies y = 6, x = 7$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

តារាងបង្ហាញពីប្រាក់ចំណាយប្រចាំថ្ងៃ ៖

ប្រាក់ចំណាយ ($)	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
ចំនួនថ្ងៃ	$8$	$15$	$7$

គណនាប្រាក់ចំណាយមធ្យមក្នុងមួយថ្ងៃ
រកថ្នាក់ម៉ូត

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណាយប្រចាំថ្ងៃ ៖

a. $\bar{x} = \dfrac{8(15) + 15(25) + 7(35)}{30} = \dfrac{120 + 375 + 245}{30} = \dfrac{740}{30} \approx 24.67\$$
b. ថ្នាក់ម៉ូតគឺ $[20, 30)$ (ប្រេកង់ខ្ពស់បំផុត $15$)

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ក្នុងការប្រឡងមួយ សិស្ស ៥០ នាក់ទទួលបានពិន្ទុមធ្យម ៦៥។ ក្រោយមកគេពិនិត្យឃើញថា មានពិន្ទុពីរត្រូវបានកត់ត្រាខុស គឺពិន្ទុ ៤០ ត្រូវបានកត់ជា ៨០ និងពិន្ទុ ៧០ ត្រូវបានកត់ជា ៥០។ គណនាពិន្ទុមធ្យមភាគពិតប្រាកដ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកចាស់ ៖ $50 \times 65 = 3250$។
ផលបូកពិត ៖ $3250 - (80 - 40) - (50 - 70) = 3250 - 40 + 20 = 3230$។
$\bar{x}_{true} = \dfrac{3230}{50} = 64.6$ ពិន្ទុ។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

បើទិន្នន័យមួយមាន $Mo = 12$ និង $\bar{x} = 15$ គណនាតម្លៃប្រហែលនៃមេដ្យាន $Me$ ដោយប្រើរូបមន្តជាក់ស្តែងរបស់ Pearson ៖

\[\bar{x} - Mo \approx 3(\bar{x} - Me)\]

មើលដំណោះស្រាយ

$15 - 12 = 3(15 - Me) \implies 3 = 45 - 3Me \implies 3Me = 42 \implies Me = 14$។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ក្រុមហ៊ុនមួយមានបុគ្គលិក ១០ នាក់ ៖ កម្មករ ៩ នាក់ទទួលបានប្រាក់ខែ $300\$$ ម្នាក់ៗ និងនាយកម្នាក់ទទួលបានប្រាក់ខែ $5000\$$។

គណនាមធ្យមភាគ មេដ្យាន និងម៉ូតនៃប្រាក់ខែ
តើរង្វាស់មួយណា (មធ្យមភាគ ឬមេដ្យាន) តំណាងឱ្យប្រាក់ខែបុគ្គលិកទូទៅបានល្អជាង? ព្រោះអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ខែ ៖

a. $\bar{x} = \dfrac{9(300) + 5000}{10} = \dfrac{7700}{10} = 770\$$ ; $Me = 300\$$ ; $Mo = 300\$$
b. មេដ្យានតំណាងឱ្យបុគ្គលិកទូទៅបានល្អជាង ព្រោះមធ្យមភាគរងឥទ្ធិពលខ្លាំងពីតម្លៃខ្ពស់ដាច់គេ (Outlier $5000\$$)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

គណនាមធ្យមភាគទម្ងន់នៃសិស្សម្នាក់ បើពិន្ទុតេស្តប្រចាំខែមានមេគុណ ១ និងពិន្ទុប្រឡងឆមាសមានមេគុណ ៣ ដោយដឹងថាពិន្ទុតេស្តប្រចាំខែគឺ ៧៥ និងពិន្ទុឆមាសគឺ ៨៥។

មើលដំណោះស្រាយ

$\bar{x} = \dfrac{1(75) + 3(85)}{1 + 3} = \dfrac{75 + 255}{4} = \dfrac{330}{4} = 82.5$ ពិន្ទុ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១០ ស្ថិតិ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

ចំនួនបងប្អូន (\(x\))	ប្រេកង់ (\(f\))	ប្រេកង់ធៀប (\(f_r\))	ប្រេកង់ភាគរយ (\(f_{\%}\))
\(1\)	\(5\)	\(\dfrac{5}{20} = 0.25\)	\(25\%\)
\(2\)	\(8\)	\(\dfrac{8}{20} = 0.40\)	\(40\%\)
\(3\)	\(4\)	\(\dfrac{4}{20} = 0.20\)	\(20\%\)
\(4\)	\(2\)	\(\dfrac{2}{20} = 0.10\)	\(10\%\)
\(5\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{20} = 0.05\)	\(5\%\)
សរុប	\(N = 20\)	\(1.00\)	\(100\%\)

ចន្លោះពិន្ទុ	ប្រេកង់ (\(f\))	តម្លៃកណ្តាល (\(x_i\))	ប្រេកង់កើន (\(F\))
\([40, 50)\)	\(4\)	\(45\)	\(4\)
\([50, 60)\)	\(8\)	\(55\)	\(12\)
\([60, 70)\)	\(14\)	\(65\)	\(26\)
\([70, 80)\)	\(10\)	\(75\)	\(36\)
\([80, 90)\)	\(4\)	\(85\)	\(40\)

ស្ថិតិ

សញ្ញាណគ្រឹះនៃស្ថិតិ

បំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យមិនផ្តុំជាថ្នាក់

បំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យផ្តុំជាថ្នាក់

សញ្ញាណនៃថ្នាក់ទិន្នន័យ

រង្វាស់ទីតាំងកណ្តាល (Measures of Central Tendency)

មធ្យមភាគ (Arithmetic Mean, \(\bar{x}\))

មេដ្យាន (Median, \(Me\))

ម៉ូត (Mode, \(Mo\))

ដ្យាក្រាមស្ថិតិ

លំហាត់អនុវត្តន៍

សំណួរពហុជ្រើសរើស

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០