KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ៨
  3. មេរៀនទី ៩
៩
មេរៀនទី ៩ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៨

ប្លង់កូអរដោនេ និងក្រាប

ពីជគណិត-ធរណីមាត្រ៤ ផ្នែកលំហាត់ ៥០សំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០
ប្រវត្តិនៃប្លង់កូអរដោនេ និងការបង្រួបបង្រួមពីជគណិតជាមួយធរណីមាត្រ

ការបង្កើត ប្លង់កូអរដោនេ (Cartesian Coordinate System) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបដិវត្តន៍ដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រគណិតវិទ្យា ដែលបានតភ្ជាប់ពីជគណិត និងធរណីមាត្រឱ្យក្លាយជាមុខវិជ្ជាតែមួយ ហៅថា ធរណីមាត្រវិភាគ (Analytic Geometry) ៖

  • រឺណេ ដេកាត (René Descartes, 1596–1650) ៖ ទស្សនវិទូ និងគណិតវិទូជនជាតិបារាំង។ រឿងព្រេងដំណាលថានៅពេលលោកគេងឈឺលើគ្រែ លោកបានសង្កេតឃើញសត្វរុយមួយក្បាលកំពុងវារលើពិដានបន្ទប់ ហើយបានគិតឃើញថា ទីតាំងរបស់រុយនៅគ្រប់ខណៈ អាចកំណត់បានយ៉ាងជាក់លាក់ដោយចម្ងាយកែងពីជញ្ជាំងកាត់កែងគ្នាទាំងពីរ។ នៅឆ្នាំ ១៦៣៧ លោកបានបោះពុម្ពស្នាដៃដ៏ល្បីល្បាញ La Géométrie ដែលបានណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (Cartesian) ដែលដាក់ឈ្មោះតាមឡាតាំងរបស់លោក (Cartesius)។

  • ព្យែរ ដឺ ហ្វែរម៉ា (Pierre de Fermat, 1601–1665) ៖ បានរកឃើញគំនិតស្រដៀងគ្នានេះដោយឯករាជ្យនៅប្រទេសបារាំងក្នុងពេលដំណាលគ្នា ដោយបានបង្ហាញថាសមីការពីជគណិតនីមួយៗអាចតាងដោយខ្សែកោងធរណីមាត្រក្នុងប្លង់។

  • អនុវត្តក្នុងបច្ចេកវិទ្យាទំនើប ៖ ប្លង់កូអរដោនេគឺជាគ្រឹះនៃប្រព័ន្ធផែនទីសកល (GPS) រូបភាពឌីជីថល (Pixels) ក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ (Computer Graphics) ហ្គេម 3D និងការវិភាគទិន្នន័យក្នុងយុគសម័យបញ្ញាសិប្បនិម្មិត (AI)។

ប្លង់កូអរដោនេដេកាត

ប្រព័ន្ធកូអរដោនេកែង

ប្លង់កូអរដោនេ

ប្លង់កូអរដោនេ (Cartesian Plane) បង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ចំនួនពីរដែលកាត់កែងគ្នាត្រង់ចំណុចគល់ \(O\) ៖

  • អ័ក្សដេក (\(x'Ox\)) ហៅថា អ័ក្សអាប់ស៊ីស (x-axis)។

  • អ័ក្សឈរ (\(y'Oy\)) ហៅថា អ័ក្សអរដោនេ (y-axis)។

  • ចំណុចប្រសព្វ \(O(0, 0)\) ហៅថា គល់តម្រុយ (Origin)។

អ័ក្សទាំងពីរបែងចែកប្លង់ជាបួនតំបន់ ហៅថា កាដ្រង់ (Quadrants) ៖

\(\bullet\) កាដ្រង់ទី I ៖ \(x > 0, y > 0\) (សញ្ញា \((+, +)\)) \(\bullet\) កាដ្រង់ទី II ៖ \(x < 0, y > 0\) (សញ្ញា \((-, +)\))
\(\bullet\) កាដ្រង់ទី III ៖ \(x < 0, y < 0\) (សញ្ញា \((-, -)\)) \(\bullet\) កាដ្រង់ទី IV ៖ \(x > 0, y < 0\) (សញ្ញា \((+, -)\))

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

រូបភាព ៖ ប្លង់កូអរដោនេកែង (Cartesian Plane) និងកាដ្រង់ទាំងបួន

កូអរដោនេនៃចំណុចមួយ

គូកូអរដោនេ

រាល់ចំណុច \(M\) ក្នុងប្លង់ ត្រូវបានកំណត់ដោយគូមានលំដាប់ \((x, y)\) ៖

\[M(x, y)\]
ដែល \(x\) ជា អាប់ស៊ីស (ចម្ងាយធៀបនឹងអ័ក្សឈរ) និង \(y\) ជា អរដោនេ (ចម្ងាយធៀបនឹងអ័ក្សដេក)។

  • ចំណុចនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស មានទម្រង់ \((x, 0)\)។

  • ចំណុចនៅលើអ័ក្សអរដោនេ មានទម្រង់ \((0, y)\)។

ឧទាហរណ៍

ចូរកំណត់កាដ្រង់ ឬអ័ក្សដែលចំណុចខាងក្រោមស្ថិតនៅ ៖ \(A(3, 4)\), \(B(-2, 5)\), \(C(-4, -3)\), \(D(5, -2)\), \(E(0, -3)\), \(F(4, 0)\)។

ដំណោះស្រាយ

  • \(A(3, 4)\) ស្ថិតក្នុងកាដ្រង់ទី I (\(x>0, y>0\))

  • \(B(-2, 5)\) ស្ថិតក្នុងកាដ្រង់ទី II (\(x<0, y>0\))

  • \(C(-4, -3)\) ស្ថិតក្នុងកាដ្រង់ទី III (\(x<0, y<0\))

  • \(D(5, -2)\) ស្ថិតក្នុងកាដ្រង់ទី IV (\(x>0, y<0\))

  • \(E(0, -3)\) ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអរដោនេ (\(y'y\))

  • \(F(4, 0)\) ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស (\(x'x\))

ចម្ងាយរវាងពីរចំណុច និងចំណុចកណ្តាល

ចម្ងាយរវាងពីរចំណុច

ចម្ងាយរវាងពីរចំណុច \(A(x_1, y_1)\) និង \(B(x_2, y_2)\) ក្នុងប្លង់កូអរដោនេគឺ ៖

\[AB = d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

កូអរដោនេចំណុចកណ្តាល

បើ \(I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([AB]\) ដែល \(A(x_1, y_1)\) និង \(B(x_2, y_2)\) នោះកូអរដោនេនៃ \(I\) គឺ ៖

\[x_I = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad{};\quad{} y_I = \frac{y_1 + y_2}{2}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យពីរចំណុច \(A(1, 2)\) និង \(B(5, 5)\)។

  1. គណនាប្រវែងអង្កត់ \(AB\)។

  2. រកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(I\) នៃ \([AB]\)។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) ឯកតាប្រវែង។

  2. \(x_I = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\) និង \(y_I = \dfrac{2 + 5}{2} = 3.5\)។ ដូចនេះ \(I(3, 3.5)\)។

ក្រាបនៃសមីការបន្ទាត់ \(y = ax + b\)

មេគុណប្រាប់ទិស និងសមីការបន្ទាត់

សមីការបន្ទាត់

បន្ទាត់ត្រង់ \((D)\) មិនស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ មានសមីការទូទៅ ៖

\[y = ax + b\]

  • \(a\) ហៅថា មេគុណប្រាប់ទិស (Slope / Gradient) នៃបន្ទាត់។

  • \(b\) ហៅថា អរដោនេដើម (\(y\)-intercept) (ជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ និងអ័ក្ស \(y\) គឺ \((0, b)\))។

រូបមន្តគណនាមេគុណប្រាប់ទិស

មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់កាត់តាមពីរចំណុច \(A(x_1, y_1)\) និង \(B(x_2, y_2)\) (\(x_1 \ne x_2\)) គឺ ៖

\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

  • បើ \(a > 0\) ៖ បន្ទាត់កើនពីឆ្វេងទៅស្តាំ (Slopes upward)។

  • បើ \(a < 0\) ៖ បន្ទាត់ចុះពីឆ្វេងទៅស្តាំ (Slopes downward)។

  • បើ \(a = 0\) ៖ បន្ទាត់ដេកស្របនឹងអ័ក្ស \(x\) មានសមីការ \(y = b\)។

  • បន្ទាត់ឈរកាត់កែងនឹងអ័ក្ស \(x\) គ្មានមេគុណប្រាប់ទិសទេ មានសមីការ \(x = k\)។

វិធីសង់ក្រាបនៃបន្ទាត់ត្រង់

ដើម្បីសង់ក្រាបនៃបន្ទាត់ \(y = ax + b\) គេត្រូវ ៖

  1. រកកូអរដោនេនៃពីរចំណុចផ្សេងគ្នានៅលើបន្ទាត់ (ជាទូទៅជ្រើសរើសចំណុចប្រសព្វនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ៖ ឱ្យ \(x = 0 \implies y = b\) និងឱ្យ \(y = 0 \implies x = -b/a\))។

  2. ដៅចំណុចទាំងពីរក្នុងប្លង់កូអរដោនេ។

  3. គូសបន្ទាត់ត្រង់កាត់តាមចំណុចទាំងពីរនោះ។

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបនៃបន្ទាត់ \((D): y = 2x - 4\)។

ដំណោះស្រាយ

  • ឱ្យ \(x = 0 \implies y = 2(0) - 4 = -4 \implies A(0, -4)\)

  • ឱ្យ \(y = 0 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \implies B(2, 0)\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ទីតាំងធៀបរវាងបន្ទាត់ពីរក្នុងប្លង់

បន្ទាត់ស្រប និងបន្ទាត់កែង

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរ \((D_1): y = a_1 x + b_1\) និង \((D_2): y = a_2 x + b_2\) ៖

  1. បន្ទាត់ពីរស្របគ្នា (\((D_1) \parallel (D_2)\)) ៖

    \[(D_1) \parallel (D_2) \iff a_1 = a_2 \quad{}\text{និង}\quad{} b_1 \ne b_2\]

  2. បន្ទាត់ពីរត្រួតស៊ីគ្នា ៖

    \[(D_1) \equiv (D_2) \iff a_1 = a_2 \quad{}\text{និង}\quad{} b_1 = b_2\]

  3. បន្ទាត់ពីរកាត់កែងគ្នា (\((D_1) \perp (D_2)\)) ៖

    \[(D_1) \perp (D_2) \iff a_1 \cdot a_2 = -1\]

  4. បន្ទាត់ពីរកាត់គ្នា ៖ កាលណា \(a_1 \ne a_2\)។ កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ ៖

    \[\begin{cases} y = a_1 x + b_1 \\ y = a_2 x + b_2 \end{cases}\]

ឧទាហរណ៍

  1. រកសមីការបន្ទាត់ \((D)\) ដែលស្របនឹងបន្ទាត់ \((L): y = 3x - 1\) ហើយកាត់តាមចំណុច \(A(2, 5)\)។

  2. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ \((D_1): y = 2x + 1\) និង \((D_2): y = -x + 4\)។

ដំណោះស្រាយ

  1. ដោយ \((D) \parallel (L)\) នោះមេគុណប្រាប់ទិស \(a = 3\)។ សមីការមានរាង \(y = 3x + b\)។
    ដោយ \((D)\) កាត់តាម \(A(2, 5)\) នាំឱ្យ \(5 = 3(2) + b \iff 5 = 6 + b \iff b = -1\)។
    ដូចនេះសមីការគឺ \((D): y = 3x - 1\) (បន្ទាត់ត្រួតគ្នា)។

  2. ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ ៖ \(2x + 1 = -x + 4 \iff 3x = 3 \iff x = 1\)។
    ជំនួស \(x = 1\) ចូល ៖ \(y = 2(1) + 1 = 3\)។ ចំណុចប្រសព្វគឺ \(M(1, 3)\)។

សង់ក្រាប និងរកចំណុចប្រសព្វ

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរ \((D_1): y = x + 2\) និង \((D_2): y = -2x + 5\)។

  1. សង់ក្រាបនៃបន្ទាត់ទាំងពីរក្នុងតម្រុយតែមួយ

  2. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងពីរ

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ដៅចំណុចខាងក្រោមក្នុងប្លង់កូអរដោនេដេកាត ៖

\[A(2, 3) \;,\; B(-3, 4) \;,\; C(-4, -2) \;,\; D(5, -3) \;,\; E(0, 4) \;,\; F(-3, 0)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ដៅចំណុចក្នុងប្លង់កូអរដោនេ ៖ \(A(2, 3)\) កាដ្រង់ I, \(B(-3, 4)\) កាដ្រង់ II, \(C(-4, -2)\) កាដ្រង់ III, \(D(5, -3)\) កាដ្រង់ IV, \(E(0, 4)\) លើអ័ក្ស \(y\), \(F(-3, 0)\) លើអ័ក្ស \(x\)។

២លំហាត់ទី ២

កំណត់កាដ្រង់ ឬអ័ក្សដែលចំណុចនីមួយៗខាងក្រោមស្ថិតនៅ ៖

  1. \(M(7, -1)\)

  2. \(N(-6, -8)\)

  3. \(P(0, -5)\)

  4. \(Q(9, 0)\)

មើលដំណោះស្រាយ

កាដ្រង់ និងអ័ក្ស ៖

  • a. \(M(7, -1)\) ៖ កាដ្រង់ទី IV

  • b. \(N(-6, -8)\) ៖ កាដ្រង់ទី III

  • c. \(P(0, -5)\) ៖ លើអ័ក្សអរដោនេ (\(y'y\))

  • d. \(Q(9, 0)\) ៖ លើអ័ក្សអាប់ស៊ីស (\(x'x\))

៣លំហាត់ទី ៣

រកចំណុចឆ្លុះនៃចំណុច \(A(3, -4)\) ធៀបនឹង ៖

  1. អ័ក្សអាប់ស៊ីស

  2. អ័ក្សអរដោនេ

  3. គល់តម្រុយ \(O\)

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចឆ្លុះនៃ \(A(3, -4)\) ៖

  • a. ធៀបនឹងអ័ក្ស \(x\) ៖ \(A_1(3, 4)\)

  • b. ធៀបនឹងអ័ក្ស \(y\) ៖ \(A_2(-3, -4)\)

  • c. ធៀបនឹងគល់ \(O\) ៖ \(A_3(-3, 4)\)

៤លំហាត់ទី ៤

គេឱ្យចំណុច \(A(2, 5)\)។

  1. រកចម្ងាយពី \(A\) ទៅកាន់អ័ក្សអាប់ស៊ីស

  2. រកចម្ងាយពី \(A\) ទៅកាន់អ័ក្សអរដោនេ

មើលដំណោះស្រាយ

ចម្ងាយពី \(A(2, 5)\) ៖

  • a. ទៅអ័ក្សអាប់ស៊ីស ៖ \(d = |y| = 5\) ឯកតា

  • b. ទៅអ័ក្សអរដោនេ ៖ \(d = |x| = 2\) ឯកតា

៥លំហាត់ទី ៥

គណនាចម្ងាយរវាងពីរចំណុចខាងក្រោម ៖

  1. \(A(1, 2)\) និង \(B(4, 6)\)

  2. \(C(-2, 3)\) និង \(D(4, -5)\)

  3. \(E(0, -3)\) និង \(F(5, 9)\)

  4. \(P(-1, -4)\) និង \(Q(5, 4)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ចម្ងាយរវាងពីរចំណុច ៖

  • a. \(AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5\)

  • b. \(CD = \sqrt{(4+2)^2 + (-5-3)^2} = \sqrt{36+64} = 10\)

  • c. \(EF = \sqrt{(5-0)^2 + (9+3)^2} = \sqrt{25+144} = 13\)

  • d. \(PQ = \sqrt{(5+1)^2 + (4+4)^2} = \sqrt{36+64} = 10\)

៦លំហាត់ទី ៦

រកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ខាងក្រោម ៖

  1. \(A(3, 5)\) និង \(B(7, 9)\)

  2. \(C(-4, 6)\) និង \(D(2, -2)\)

  3. \(E(-5, -3)\) និង \(F(1, 7)\)

  4. \(M(0, 8)\) និង \(N(6, 0)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចកណ្តាល ៖

  • a. \(I\left(\dfrac{3+7}{2}, \dfrac{5+9}{2}\right) = (5, 7)\)

  • b. \(J\left(\dfrac{-4+2}{2}, \dfrac{6-2}{2}\right) = (-1, 2)\)

  • c. \(K\left(\dfrac{-5+1}{2}, \dfrac{-3+7}{2}\right) = (-2, 2)\)

  • d. \(L\left(\dfrac{0+6}{2}, \dfrac{8+0}{2}\right) = (3, 4)\)

៧លំហាត់ទី ៧

គេឱ្យ \(M(3, 2)\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([AB]\)។ បើស្គាល់ \(A(1, 4)\) ចូរកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច \(B\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \implies 3 = \dfrac{1 + x_B}{2} \implies x_B = 5\)
\(y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \implies 2 = \dfrac{4 + y_B}{2} \implies y_B = 0\)
ដូចនេះ \(B(5, 0)\)។

៨លំហាត់ទី ៨

គេឱ្យ \(I(-1, 3)\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([PQ]\)។ បើស្គាល់ \(Q(3, -1)\) ចូរកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច \(P\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(x_I = \dfrac{x_P + 3}{2} = -1 \implies x_P = -5\)
\(y_I = \dfrac{y_P - 1}{2} = 3 \implies y_P = 7\)
ដូចនេះ \(P(-5, 7)\)។

៩លំហាត់ទី ៩

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 1), B(4, 5)\) និង \(C(1, 5)\) ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ។

  1. គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបី \(AB, BC, CA\)

  2. បង្ហាញថា ត្រីកោណ \(ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)

  3. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ \(ABC\)

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណ \(ABC\) ៖

  • a. \(BC = \sqrt{(1-4)^2 + (5-5)^2} = 3\)
    \(CA = \sqrt{(1-1)^2 + (1-5)^2} = 4\)
    \(AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9+16} = 5\)

  • b. \(BC^2 + CA^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = AB^2\) នាំឱ្យត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\) (តាមទ្រឹស្តីបទពីតាករច្រាស)។

  • c. ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\) ឯកតាផ្ទៃ។

១០លំហាត់ទី ១០

គេឱ្យចំណុច \(A(-2, 1), B(2, 4)\) និង \(C(5, 0)\)។

  1. គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណ \(ABC\)

  2. បង្ហាញថា ត្រីកោណ \(ABC\) ជាត្រីកោណកែងសមបាត

មើលដំណោះស្រាយ

\(AB = \sqrt{(2+2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16+9} = 5\)
\(BC = \sqrt{(5-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5\)
\(AC = \sqrt{(5+2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
ដោយ \(AB = BC = 5\) និង \(AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2\) នាំឱ្យ \(ABC\) ជាត្រីកោណកែងសមបាតត្រង់ \(B\)។

១១លំហាត់ទី ១១

បង្ហាញថា ចំណុចទាំងបួន \(A(1, 2), B(5, 4), C(4, 7)\) និង \(D(0, 5)\) ជាកំពូលនៃប្រលេឡូក្រាមមួយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចកណ្តាលនៃ \([AC]\) ៖ \(I\left(\dfrac{1+4}{2}, \dfrac{2+7}{2}\right) = (2.5, 4.5)\)។
ចំណុចកណ្តាលនៃ \([BD]\) ៖ \(J\left(\dfrac{5+0}{2}, \dfrac{4+5}{2}\right) = (2.5, 4.5)\)។
ដោយអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរមានចំណុចកណ្តាលរួមគ្នា នាំឱ្យ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

១២លំហាត់ទី ១២

បង្ហាញថា ចំណុច \(A(1, 1), B(5, 3), C(4, 5)\) និង \(D(0, 3)\) ជាកំពូលនៃចតុកោណកែងមួយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចកណ្តាលនៃ \([AC]\) និង \([BD]\) គឺ \((2.5, 3)\) ដូចគ្នា នាំឱ្យជាប្រលេឡូក្រាម។
\(AB = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}\), \(BC = \sqrt{(-1)^2+2^2} = \sqrt{5}\), \(AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5\)។
\(AB^2 + BC^2 = 20 + 5 = 25 = AC^2\) នាំឱ្យមានមុំកែងត្រង់ \(B\)។ ដូច្នេះ \(ABCD\) ជាចតុកោណកែង។

១៣លំហាត់ទី ១៣

គណនាមេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ដែលកាត់តាមគូចំណុចខាងក្រោម ៖

  1. \(A(1, 3)\) និង \(B(4, 9)\)

  2. \(C(2, -1)\) និង \(D(5, 8)\)

  3. \(E(-3, 4)\) និង \(F(1, -4)\)

  4. \(M(2, 5)\) និង \(N(7, 5)\)

មើលដំណោះស្រាយ

មេគុណប្រាប់ទិស ៖

  • a. \(a = \dfrac{9-3}{4-1} = \dfrac{6}{3} = 2\)

  • b. \(a = \dfrac{8 - (-1)}{5-2} = \dfrac{9}{3} = 3\)

  • c. \(a = \dfrac{-4-4}{1 - (-3)} = \dfrac{-8}{4} = -2\)

  • d. \(a = \dfrac{5-5}{7-2} = 0\)

១៤លំហាត់ទី ១៤

កំណត់មេគុណប្រាប់ទិស និងអរដោនេដើមនៃបន្ទាត់ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = 3x - 7\)

  2. \(y = -2x + 5\)

  3. \(2x - 3y = 6\)

  4. \(4x + 2y - 8 = 0\)

មើលដំណោះស្រាយ

មេគុណប្រាប់ទិស និងអរដោនេដើម ៖

  • a. \(a = 3, b = -7\)

  • b. \(a = -2, b = 5\)

  • c. \(y = \dfrac{2}{3}x - 2 \implies a = \dfrac{2}{3}, b = -2\)

  • d. \(y = -2x + 4 \implies a = -2, b = 4\)

១៥លំហាត់ទី ១៥

ពិនិត្យមើលថាតើចំណុច \(A(2, 5)\) និង \(B(-1, 3)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(y = 2x + 1\) ឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ពិនិត្យចំណុចលើបន្ទាត់ \(y = 2x + 1\) ៖

  • \(A(2, 5)\) ៖ \(2(2) + 1 = 5\) (ពិត \(\implies A\) នៅលើបន្ទាត់)

  • \(B(-1, 3)\) ៖ \(2(-1) + 1 = -1 \ne 3\) (មិនពិត \(\implies B\) មិននៅលើបន្ទាត់)

១៦លំហាត់ទី ១៦

រកតម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យចំណុច \(M(2, k)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(y = -3x + 8\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(k = -3(2) + 8 = -6 + 8 = 2\)។

១៧លំហាត់ទី ១៧

រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យចំណុច \(N(m, -1)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(2x - 5y = 9\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(2m - 5(-1) = 9 \implies 2m + 5 = 9 \implies 2m = 4 \implies m = 2\)។

១៨លំហាត់ទី ១៨

សង់ក្រាបនៃបន្ទាត់ខាងក្រោមក្នុងប្លង់កូអរដោនេ ៖

  1. \((D_1): y = 2x\)

  2. \((D_2): y = -x + 3\)

  3. \((D_3): y = \dfrac{1}{2}x - 2\)

  4. \((D_4): y = 3\)

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាប ៖ ជ្រើសរើស ២ ចំណុចសម្រាប់បន្ទាត់នីមួយៗ រួចគូសបន្ទាត់កាត់តាមចំណុចទាំងពីរ។

១៩លំហាត់ទី ១៩

រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នីមួយៗខាងក្រោមជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ ៖

  1. \(y = 2x - 6\)

  2. \(y = -3x + 9\)

  3. \(3x + 4y = 12\)

  4. \(x - 2y = 4\)

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ៖

  • a. អ័ក្ស \(x\) ៖ \((3, 0)\) ; អ័ក្ស \(y\) ៖ \((0, -6)\)

  • b. អ័ក្ស \(x\) ៖ \((3, 0)\) ; អ័ក្ស \(y\) ៖ \((0, 9)\)

  • c. អ័ក្ស \(x\) ៖ \((4, 0)\) ; អ័ក្ស \(y\) ៖ \((0, 3)\)

  • d. អ័ក្ស \(x\) ៖ \((4, 0)\) ; អ័ក្ស \(y\) ៖ \((0, -2)\)

២០លំហាត់ទី ២០

សរសេរសមីការបន្ទាត់ដែលមានមេគុណប្រាប់ទិស \(a\) និងកាត់តាមចំណុច \(A\) ៖

  1. \(a = 3\) និង \(A(0, -2)\)

  2. \(a = -2\) និង \(A(1, 4)\)

  3. \(a = \dfrac{1}{2}\) និង \(A(4, 1)\)

  4. \(a = 0\) និង \(A(3, 5)\)

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការបន្ទាត់ \(y = ax + b\) ៖

  • a. \(y = 3x - 2\)

  • b. \(4 = -2(1) + b \implies b = 6 \implies y = -2x + 6\)

  • c. \(1 = \dfrac{1}{2}(4) + b \implies b = -1 \implies y = \dfrac{1}{2}x - 1\)

  • d. \(y = 5\)

២១លំហាត់ទី ២១

សរសេរសមីការបន្ទាត់កាត់តាមពីរចំណុចខាងក្រោម ៖

  1. \(A(1, 2)\) និង \(B(3, 6)\)

  2. \(C(2, 5)\) និង \(D(4, 1)\)

  3. \(E(-1, 3)\) និង \(F(2, -3)\)

  4. \(M(0, 4)\) និង \(N(3, 0)\)

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការបន្ទាត់កាត់តាម ២ ចំណុច ៖

  • a. \(a = \dfrac{6-2}{3-1} = 2 \implies y = 2x\)

  • b. \(a = \dfrac{1-5}{4-2} = -2 \implies y - 5 = -2(x-2) \implies y = -2x + 9\)

  • c. \(a = \dfrac{-3-3}{2+1} = -2 \implies y - 3 = -2(x+1) \implies y = -2x + 1\)

  • d. \(a = \dfrac{0-4}{3-0} = -\dfrac{4}{3} \implies y = -\dfrac{4}{3}x + 4\)

២២លំហាត់ទី ២២

បង្ហាញថា បីចំណុច \(A(1, 2), B(3, 6)\) និង \(C(5, 10)\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា (Collinear)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(a_{AB} = \dfrac{6-2}{3-1} = 2\) និង \(a_{BC} = \dfrac{10-6}{5-3} = 2\)។
ដោយ \(a_{AB} = a_{BC} = 2\) នាំឱ្យ \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា។

២៣លំហាត់ទី ២៣

រកតម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យបីចំណុច \(A(-1, 1), B(2, 7)\) និង \(C(4, k)\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

\(a_{AB} = \dfrac{7-1}{2+1} = 2\)។ \(a_{BC} = \dfrac{k-7}{4-2} = \dfrac{k-7}{2}\)។
\(\dfrac{k-7}{2} = 2 \implies k - 7 = 4 \implies k = 11\)។

២៤លំហាត់ទី ២៤

ក្នុងចំណោមបន្ទាត់ខាងក្រោម ចូរកំណត់គូនៃបន្ទាត់ដែលស្របគ្នា ៖

\[(D_1): y = 2x - 3 \;,\; (D_2): y = -2x + 1 \;,\; (D_3): 4x - 2y = 8 \;,\; (D_4): y = 2x + 5\]

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ស្របគ្នាមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា ៖
\((D_1): y = 2x - 3\), \((D_3): y = 2x - 4\), \((D_4): y = 2x + 5\)។
គូស្របគ្នាគឺ ៖ \((D_1) \parallel (D_3)\), \((D_1) \parallel (D_4)\), \((D_3) \parallel (D_4)\)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((D)\) ដែលស្របនឹងបន្ទាត់ \(y = 3x - 2\) ហើយកាត់តាមចំណុច \(A(1, 5)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\((D) \parallel (y = 3x - 2) \implies a = 3\)។
\(y - 5 = 3(x - 1) \implies y = 3x + 2\)។

២៦លំហាត់ទី ២៦

សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((D)\) ដែលស្របនឹងបន្ទាត់ \(2x + y = 7\) ហើយកាត់តាមចំណុច \(B(-2, 3)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(2x + y = 7 \implies y = -2x + 7 \implies a = -2\)។
\(y - 3 = -2(x + 2) \implies y = -2x - 1\)។

២៧លំហាត់ទី ២៧

សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((D)\) ដែលស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយកាត់តាម \(M(4, -3)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីសមានរាង \(y = c\)។ ដោយកាត់តាម \(M(4, -3)\) នាំឱ្យ \(y = -3\)។

២៨លំហាត់ទី ២៨

សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((D)\) ដែលស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ ហើយកាត់តាម \(N(-5, 2)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេមានរាង \(x = k\)។ ដោយកាត់តាម \(N(-5, 2)\) នាំឱ្យ \(x = -5\)។

២៩លំហាត់ទី ២៩

ក្នុងចំណោមបន្ទាត់ខាងក្រោម ចូរកំណត់គូនៃបន្ទាត់ដែលកាត់កែងគ្នា ៖

\[(L_1): y = 3x - 1 \;,\; (L_2): y = -\dfrac{1}{3}x + 4 \;,\; (L_3): y = 2x + 5 \;,\; (L_4): x + 2y = 6\]

មើលដំណោះស្រាយ

\((L_1)\) មាន \(a_1 = 3\), \((L_2)\) មាន \(a_2 = -\dfrac{1}{3}\) ៖ \(a_1 a_2 = -1 \implies (L_1) \perp (L_2)\)។
\((L_3)\) មាន \(a_3 = 2\), \((L_4): y = -\dfrac{1}{2}x + 3\) មាន \(a_4 = -\dfrac{1}{2}\) ៖ \(a_3 a_4 = -1 \implies (L_3) \perp (L_4)\)។

៣០លំហាត់ទី ៣០

សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((D)\) ដែលកាត់កែងនឹងបន្ទាត់ \(y = 2x + 1\) ហើយកាត់តាមចំណុច \(A(4, 1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

កាត់កែងនឹង \(y = 2x + 1 \implies a = -\dfrac{1}{2}\)។
\(y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x - 4) \implies y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)។

៣១លំហាត់ទី ៣១

សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((D)\) ដែលកាត់កែងនឹងបន្ទាត់ \(3x - 4y = 8\) ហើយកាត់តាមចំណុច \(B(3, -2)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(3x - 4y = 8 \implies y = \dfrac{3}{4}x - 2 \implies a_1 = \dfrac{3}{4}\)។
មេគុណកាត់កែង \(a = -\dfrac{4}{3}\) ៖
\(y + 2 = -\dfrac{4}{3}(x - 3) \implies y = -\dfrac{4}{3}x + 2\)។

៣២លំហាត់ទី ៣២

រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ពីរខាងក្រោមស្របគ្នា ៖

  1. \(y = (2m - 1)x + 3\) និង \(y = 5x - 2\)

  2. \(y = (m^2 - 3)x + 1\) និង \(y = x - 4\)

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ស្របគ្នា ៖

  • a. \(2m - 1 = 5 \implies 2m = 6 \implies m = 3\)

  • b. \(m^2 - 3 = 1 \implies m^2 = 4 \implies m = \pm 2\)

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ពីរខាងក្រោមបកស្រាយថាកាត់កែងគ្នា ៖

  1. \(y = mx - 4\) និង \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)

  2. \(y = (m + 1)x + 2\) និង \(y = -2x + 5\)

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់កាត់កែងគ្នា ៖

  • a. \(m\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1 \implies m = 2\)

  • b. \((m+1)(-2) = -1 \implies m + 1 = \dfrac{1}{2} \implies m = -\dfrac{1}{2}\)

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វនៃគូនៃបន្ទាត់ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = 2x - 1\) និង \(y = -x + 5\)

  2. \(y = 3x - 4\) និង \(y = x + 2\)

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចប្រសព្វ ៖

  • a. \(2x - 1 = -x + 5 \implies 3x = 6 \implies x = 2, y = 3 \implies (2, 3)\)

  • b. \(3x - 4 = x + 2 \implies 2x = 6 \implies x = 3, y = 5 \implies (3, 5)\)

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វនៃគូនៃបន្ទាត់ខាងក្រោម ៖

  1. \(2x + y = 7\) និង \(x - y = 2\)

  2. \(3x - 2y = 8\) និង \(2x + y = 3\)

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចប្រសព្វ ៖

  • a. បូកសមីការទាំងពីរ ៖ \(3x = 9 \implies x = 3, y = 1 \implies (3, 1)\)

  • b. គុណសមីការទីពីរនឹង ២ រួចបូក ៖ \(7x = 14 \implies x = 2, y = -1 \implies (2, -1)\)

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(y = 2x - 4\) ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វនឹងអ័ក្ស \(x\) ត្រង់ \((2, 0)\) និងអ័ក្ស \(y\) ត្រង់ \((0, -4)\)។
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\) ឯកតាផ្ទៃ។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(3x + 4y = 24\) ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វនឹងអ័ក្ស \(x\) ត្រង់ \((8, 0)\) និងអ័ក្ស \(y\) ត្រង់ \((0, 6)\)។
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\) ឯកតាផ្ទៃ។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណដែលមានកំពូល \(A(0, 0), B(6, 0)\) និង \(C(2, 5)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បាត \(AB = 6\), កម្ពស់ \(h = y_C = 5\)។
\(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15\) ឯកតាផ្ទៃ។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណដែលមានកំពូល \(A(1, 2), B(7, 2)\) និង \(C(4, 8)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បាត \(AB\) ស្របនឹងអ័ក្ស \(x\) មានប្រវែង \(7 - 1 = 6\)។
កម្ពស់ \(h = 8 - 2 = 6\)។
\(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\) ឯកតាផ្ទៃ។

៤០លំហាត់ទី ៤០

គេឱ្យបន្ទាត់បី ៖ \((D_1): y = 2x\), \((D_2): y = -x + 6\) និង \((D_3): y = 0\) (អ័ក្សអាប់ស៊ីស)។

  1. រកកូអរដោនែកំពូលទាំងបីនៃត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ទាំងបី

  2. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណ ៖

  • a. កំពូលទាំងបី ៖ \((D_1) \cap (D_3) = (0, 0)\) ; \((D_2) \cap (D_3) = (6, 0)\) ; \((D_1) \cap (D_2) \implies 2x = -x + 6 \implies x = 2, y = 4 \implies (2, 4)\)។

  • b. បាតប្រវែង \(6\), កម្ពស់ \(4\) នាំឱ្យ \(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\) ឯកតាផ្ទៃ។

៤១លំហាត់ទី ៤១

សរសេរសមីការបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([AB]\) ដែល \(A(1, 3)\) និង \(B(5, 7)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចកណ្តាល \(I(3, 5)\)។ មេគុណប្រាប់ទិស \(AB\) គឺ \(a_{AB} = \dfrac{7-3}{5-1} = 1\)។
មេគុណមេដ្យាទ័រគឺ \(a = -1\) ៖
\(y - 5 = -(x - 3) \implies y = -x + 8\)។

៤២លំហាត់ទី ៤២

សរសេរសមីការបន្ទាត់មេដ្យានចេញពីកំពូល \(A\) នៃត្រីកោណ \(ABC\) ដែល \(A(2, 5), B(-1, 1), C(3, 3)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចកណ្តាលនៃ \([BC]\) គឺ \(M\left(\dfrac{-1+3}{2}, \dfrac{1+3}{2}\right) = (1, 2)\)។
មេដ្យានកាត់តាម \(A(2, 5)\) និង \(M(1, 2)\) ៖
\(a = \dfrac{2-5}{1-2} = 3 \implies y - 2 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 1\)។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

រកចម្ងាយពីចំណុច \(A(0, 0)\) ទៅកាន់បន្ទាត់ \(3x + 4y - 12 = 0\) (ប្រើផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណកែង)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់កាត់អ័ក្សត្រង់ \(P(4, 0)\) និង \(Q(0, 3)\)។ អ៊ីប៉ូតេនុស \(PQ = 5\)។
\(S = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\)។ ចម្ងាយ \(d = \dfrac{2S}{PQ} = \dfrac{12}{5} = 2.4\)។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

រថយន្តមួយធ្វើដំណើរដោយល្បឿនថេរ \(60\text{ km/h}\)។

  1. សរសេរសមីការតាងចម្ងាយ \(d\text{ (km)}\) ជាអនុគមន៍នៃពេល \(t\text{ (h)}\)

  2. សង់ក្រាបនៃសមីការនេះចំពោះ \(0 \le t \le 4\)

មើលដំណោះស្រាយ

ចលនារថយន្ត ៖

  • a. \(d = 60t\) (គិតជា \(\text{km}\))

  • b. ក្រាបជាអង្កត់ត្រង់កាត់តាម \((0, 0)\) និង \((4, 240)\)។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

អាងស្តុកទឹកមួយមានទឹកស្រាប់ \(200\text{ L}\)។ គេបើកទឹកបញ្ចូលបន្ថែមក្នុងអត្រា \(50\text{ L/min}\)។

  1. សរសេរសមីការតាងបរិមាណទឹក \(V\text{ (L)}\) ក្នុងអាងក្រោយពេល \(t\text{ (min)}\)

  2. រកបរិមាណទឹកក្រោយពេល ១០ នាទី

  3. តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មាននាទីទើបទឹកក្នុងអាងឡើងដល់ \(1000\text{ L}\)?

មើលដំណោះស្រាយ

អាងទឹក ៖

  • a. \(V = 50t + 200\)

  • b. \(t = 10 \implies V = 50(10) + 200 = 700\text{ L}\)

  • c. \(50t + 200 = 1000 \implies 50t = 800 \implies t = 16\) នាទី

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

ក្រុមហ៊ុនទូរស័ព្ទមួយគិតថ្លៃសេវា ៖ ថ្លៃឈ្នួលប្រចាំខែ \(2\$\) បូក \(0.05\$\) ក្នុង ១ នាទីនៃការហៅ។

  1. សរសេរសមីការតាងប្រាក់ចំណាយសរុប \(y\$\) ចំពោះការហៅ \(x\) នាទី

  2. បើខែមួយគាត់ហៅអស់ ៨០ នាទី តើគាត់ត្រូវបង់ប្រាក់ប៉ុន្មាន?

  3. បើគាត់បង់ប្រាក់សរុប \(8.5\$\) តើគាត់បានហៅប៉ុន្មាននាទី?

មើលដំណោះស្រាយ

ទូរស័ព្ទ ៖

  • a. \(y = 0.05x + 2\)

  • b. \(x = 80 \implies y = 0.05(80) + 2 = 6\$\)

  • c. \(0.05x + 2 = 8.5 \implies 0.05x = 6.5 \implies x = 130\) នាទី

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

រូបមន្តបំប្លែងសីតុណ្ហភាពពីអង្សាសេ (\(C\)) ទៅអង្សាហ្វារិនហៃ (\(F\)) គឺ \(F = \dfrac{9}{5}C + 32\)។

  1. កំណត់មេគុណប្រាប់ទិស និងអរដោនេដើមនៃសមីការនេះ

  2. គណនា \(F\) ពេល \(C = 25^\circ\text{C}\)

  3. រកសីតុណ្ហភាពដែលរង្វាស់ទាំងពីរមានតម្លៃស្មើគ្នា (\(F = C\))

មើលដំណោះស្រាយ

សីតុណ្ហភាព ៖

  • a. មេគុណប្រាប់ទិស \(a = \dfrac{9}{5} = 1.8\), អរដោនេដើម \(b = 32\)

  • b. \(C = 25 \implies F = \dfrac{9}{5}(25) + 32 = 45 + 32 = 77^\circ\text{F}\)

  • c. \(C = \dfrac{9}{5}C + 32 \implies -\dfrac{4}{5}C = 32 \implies C = -40^\circ\)

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

រកតម្លៃ \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ \(y = ax + b\) កាត់តាមចំណុច \(A(2, 1)\) និងស្របនឹងបន្ទាត់ \(y = 3x + 4\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្របនឹង \(y = 3x + 4 \implies a = 3\)។
កាត់តាម \(A(2, 1) \implies 1 = 3(2) + b \implies b = -5\)។
ដូចនេះ \(a = 3, b = -5\)។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់បីខាងក្រោមប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ (Concurrent lines) ៖

\[(D_1): y = 2x + 1 \quad{};\quad{} (D_2): y = -x + 7 \quad{};\quad{} (D_3): y = mx - 1\]

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រសព្វនៃ \((D_1)\) និង \((D_2)\) ៖ \(2x + 1 = -x + 7 \implies 3x = 6 \implies x = 2, y = 5\)។
ជំនួស \((2, 5)\) ក្នុង \((D_3)\) ៖ \(5 = m(2) - 1 \implies 2m = 6 \implies m = 3\)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 2)\) និងបន្ទាត់ \((D): y = 2x - 3\)។ រកកូអរដោនេចំណុច \(H\) ជាចំណោលកែងនៃ \(A\) លើបន្ទាត់ \((D)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់កាត់កែងនឹង \((D)\) កាត់តាម \(A(1, 2)\) មានមេគុណ \(a' = -\dfrac{1}{2}\) ៖
\((D'): y - 2 = -\dfrac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}\)។
ប្រសព្វរវាង \((D)\) និង \((D')\) ៖
\(2x - 3 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2} \implies \dfrac{5}{2}x = \dfrac{11}{2} \implies x = \dfrac{11}{5} = 2.2\)។
\(y = 2(2.2) - 3 = 1.4 = \dfrac{7}{5}\)។
ដូចនេះ \(H\left(\dfrac{11}{5}, \dfrac{7}{5}\right)\)។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៩ ប្លង់កូអរដោនេ និងក្រាប — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត