KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ៧
  3. មេរៀនទី ១
១
មេរៀនទី ១ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៧

ចំនួនគត់

នព្វន្ត៨ ផ្នែកលំហាត់ ៥០សំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០
ប្រវត្តិនៃប្រព័ន្ធរបាប់ និងចំនួនគត់

ចំនួន (Numbers) គឺជាគំនិតអរូបីដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយដែលមនុស្សជាតិបានបង្កើតឡើង ដើម្បីបម្រើឱ្យតម្រូវការរាប់ វាស់វែង និងកត់ត្រាក្នុងជីវភាពរស់នៅប្រចាំថ្ងៃ៖

  • សម័យបុរេប្រវត្តិ៖ មនុស្សសម័យដើមប្រើស្នាមឆ្នូតលើឆ្អឹងសត្វ (ដូចជាឆ្អឹង Ishango ដែលមានអាយុកាលជាង ២០,០០០ ឆ្នាំ) គ្រួស ឬចំណងខ្សែ ដើម្បីរាប់ចំនួនសត្វពាហនៈ និងតាមដានវដ្តនៃព្រះចន្ទ។

  • អារ្យធម៌បាប៊ីឡូន និងអេហ្ស៊ីប៖ ប្រជាជនបាប៊ីឡូនបុរាណបានបង្កើតប្រព័ន្ធរបាប់គោល \(60\) (Sexagesimal) ដែលជាមូលដ្ឋាននៃការបែងចែកម៉ោង និងមុំរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។ ចំណែកជនជាតិអេហ្ស៊ីបបុរាណបានបង្កើតប្រព័ន្ធតួលេខដោយប្រើរូបភាពតំណាង (Hieroglyphics) តាមគោល \(10\)។

  • ប្រព័ន្ធលេខដប់ហិណ្ឌូ-អារ៉ាប់ (Hindu-Arabic Numeral System)៖ ត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងនៅប្រទេសឥណ្ឌា (សតវត្សទី៥-៦) ដោយគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Aryabhata និង Brahmagupta។ ប្រព័ន្ធនេះមានលក្ខណៈពិសេសអស្ចារ្យដោយសារ តម្លៃតាមខ្ទង់ (Place Value) និងការបង្កើត លេខសូន្យ (\(0\))។

  • Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (៧៨០–៨៥០)៖ គណិតវិទូពែរ្សដ៏ល្បីល្បាញបានចងក្រងក្បួនគណនាតាមប្រព័ន្ធលេខហិណ្ឌូ-អារ៉ាប់ និងបានផ្សព្វផ្សាយទៅកាន់ពិភពអារ៉ាប់ និងអឺរ៉ុប។

  • Leonardo Fibonacci (១១៧០–១២៥០)៖ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី បាននាំយកប្រព័ន្ធលេខដប់ហិណ្ឌូ-អារ៉ាប់មកផ្សព្វផ្សាយនៅទ្វីបអឺរ៉ុបតាមរយៈសៀវភៅ "Liber Abaci" (ឆ្នាំ ១២០២) ដែលធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធលេខនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាសកលរហូតមកដល់បច្ចុប្បន្ន។

សញ្ញាណនៃចំនួនគត់

ប្រព័ន្ធរបាប់ដែលពិភពលោកប្រើប្រាស់សព្វថ្ងៃនេះ ហៅថា ប្រព័ន្ធរបាប់ហិណ្ឌូ-អារ៉ាប់។ ប្រព័ន្ធរបាប់នេះប្រើប្រាស់លេខសរុបចំនួន ១០ តួគឺ៖

\[0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; 7,\; 8,\; 9\]
លេខទាំងដប់នេះ អាចយកមកផ្គុំគ្នាតាមតម្លៃខ្ទង់ដើម្បីបង្កើតជាចំនួនផ្សេងៗ។
ឧទាហរណ៍៖ ចំនួន មួយពាន់ប្រាំរយកៅសិបបី ត្រូវបានតាងដោយ \(1593\)។

ចំនួនគត់ និងចំនួនគត់ធម្មជាតិ

  • ចំនួន \(0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) ហៅថា ចំនួនគត់ (Whole Numbers)។ សំណុំនៃចំនួនគត់តាងដោយ \(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\)។

  • ចំនួនគត់ដែលគ្មានលេខសូន្យ \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) ហៅថា ចំនួនគត់ធម្មជាតិ (Natural Numbers)។ សំណុំនៃចំនួនគត់ធម្មជាតិតាងដោយ \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\)។

ការតាងចំនួនគត់លើបន្ទាត់ចំនួន

គេអាចតាងចំនួនគត់ដោយចំណុចនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលហៅថា បន្ទាត់ចំនួន (Number Line)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

ចូរដៅចំណុច \(A(3)\), \(B(5)\), \(C(1)\) និង \(D(7)\) នៅលើបន្ទាត់ចំនួន។

ដំណោះស្រាយ

គន្លឹះដោះស្រាយ៖ និមិត្តសញ្ញា \(A(3)\) មានន័យថា ចំណុច \(A\) មានកូអរដោនេ (អាប់ស៊ីស) ស្មើនឹង \(3\)។ ដូច្នេះ យើងត្រូវរាប់ពីគល់ \(0\) ទៅស្ដាំចំនួន \(3\) ឯកតារួចដៅចំណុច \(A\)។ អនុវត្តដូចគ្នាចំពោះចំណុចដទៃទៀត។

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដៅចំណុចលើបន្ទាត់ចំនួន

ចូរដៅចំណុចខាងក្រោមនៅលើបន្ទាត់ចំនួន ៖

  1. \(A(3) , B(5), C(1)\) និង \(D(7)\)

  2. \(Q(0) , R(8) , S(2)\) និង \(T(3)\)

  3. \(N(4) , P(7) , K(4)\) និង \(Z(0)\)

  4. \(M(10), N(12) , P(14)\) និង \(H(4)\)

  5. \(E(10) , F(30) , G(50)\) និង \(H(15)\)

  6. \(A(100), B(150) , C(250)\) និង \(D(50)\)

  7. \(E(2) , F(4) , G(0)\) និង \(H(8)\)

  8. \(A(200), B(150) , C(250)\) និង \(D(50)\)

លំដាប់នៃចំនួនគត់

លំដាប់នៃចំនួនគត់

នៅលើបន្ទាត់ចំនួន៖

  • គ្រប់ចំនួនគត់ដែលឋិតនៅ ខាងស្ដាំ តែងតែ ធំជាង ចំនួនគត់ដែលឋិតនៅខាងឆ្វេង។

  • គ្រប់ចំនួនគត់ដែលឋិតនៅ ខាងឆ្វេង តែងតែ តូចជាង ចំនួនគត់ដែលឋិតនៅខាងស្ដាំ។

ឧទាហរណ៍៖ ដោយសារ \(0\) នៅខាងឆ្វេង \(1\), ហើយ \(1\) នៅខាងឆ្វេង \(2\) នោះគេបាន៖

\[0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < \cdots\]

ឧទាហរណ៍

បើគេរៀបឆ្លាស់លេខ \(4, 5, 6\) តើគេអាចបង្កើតចំនួនអ្វីខ្លះ? តើចំនួនណាធំជាងគេ និងចំនួនណាតូចជាងគេ?

ដំណោះស្រាយ

គន្លឹះដោះស្រាយ៖ ចំនួនដែលមាន \(3\) ខ្ទង់កើតឡើងពីលេខ \(4, 5, 6\) ដោយមិនប្រើលេខជាន់គ្នា អាចបង្កើតបានចំនួន \(3 \times 2 \times 1 = 6\) ចំនួន។ ដើម្បីប្រៀបធៀប យើងពិនិត្យខ្ទង់រយជាមុនសិន។

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  • ចំនួនទាំង \(6\) ដែលអាចបង្កើតបានគឺ៖ \(456,\; 465,\; 546,\; 564,\; 645,\; 654\)។

  • ប្រៀបធៀបខ្ទង់រយ និងខ្ទង់បន្តបន្ទាប់ គេបាន៖

    \[456 < 465 < 546 < 564 < 645 < 654\]

  • ចំនួនដែល ធំជាងគេ គឺ \(654\)។

  • ចំនួនដែល តូចជាងគេ គឺ \(456\)។

ប្រៀបធៀបចំនួន

ប្រៀបធៀបចំនួនខាងក្រោម ដោយប្រើសញ្ញា \(<\) ឬ \(>\) ៖

  1. \(4\) និង \(8\)

  2. \(123\) និង \(130\)

  3. \(245\) និង \(232\)

  4. \(567\) និង \(556\)

  5. \(789\) និង \(788\)

  6. \(1023\) និង \(1015\)

  7. \(1540\) និង \(1535\)

  8. \(2089\) និង \(2090\)

  9. \(3124\) និង \(3119\)

  10. \(4087\) និង \(4090\)

  11. \(5678\) និង \(5680\)

  12. \(1987\) និង \(1986\)

  13. \(3057\) និង \(3058\)

  14. \(4095\) និង \(4094\)

  15. \(5128\) និង \(5120\)

  16. \(6789\) និង \(6790\)

  17. \(8234\) និង \(8220\)

  18. \(4~562\) និង \(4~296\)

  19. \(6~784\) និង \(5~976\)

  20. \(26~658\) និង \(39~841\)

  21. \(854~653\) និង \(847~580\)

  22. \(433~782\) និង \(477~434\)

  23. \(7~553~782\) និង \(7~567~434\)

  24. \(94~329~798\) និង \(94~319~797\)

  25. \(1~056~007\) និង \(1~056~008\)

  26. \(1~234~533\) និង \(1~234~433\)

  27. \(134~568\) និង \(134~557\)

រៀបឆ្លាស់លេខ

  1. បើគេរៀបឆ្លាស់លេខ \(4,5,6\) តើគេអាចបង្កើតចំនួនអ្វីខ្លះ ? តើចំនួនណាធំជាងគេ និងចំនួនណាតូចជាងគេ ?

  2. បើគេរៀបឆ្លាស់លេខ \(2,7,9\) តើគេអាចបង្កើតចំនួនអ្វីខ្លះ ? តើចំនួនណាធំជាងគេ និងចំនួនណាតូចជាងគេ ?

កំណត់ផ្នែកនៃបន្ទាត់ចំនួន

ចូរកំណត់ផ្នែកនៃបន្ទាត់ចំនួនដែលមានចំណុចតាងចំនួនគត់ដូចខាងក្រោម ៖

  1. ធំជាង \(4\) ហើយតូចជាង \(6\)

  2. ធំជាង \(2\) ហើយតូចជាង \(5\)

  3. ធំជាង \(0\) ហើយតូចជាង \(4\)

  4. តូចជាង \(12\) ហើយធំជាង \(5\)

  5. តូចជាង \(10\) ហើយធំជាង \(7\)

  6. ធំជាង \(4\)

រៀបលំដាប់កើន និងចុះ

ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន និងតាមលំដាប់ចុះ ៖

  1. \(7, 3, 12, 1, 8\)

  2. \(45, 22, 67, 35, 89\)

  3. \(101, 55, 78, 32, 99\)

  4. \(500, 300, 400, 200, 100\)

  5. \(13, 25, 7, 15, 25\)

  6. \(99, 85, 112, 99, 78\)

  7. \(210, 190, 250, 180, 220\)

  8. \(34, 27, 56, 45, 34\)

  9. \(60, 30, 90, 70, 40\)

  10. \(1500, 1200, 1800, 1600, 1400\)

ចំនួនគត់គូ និងចំនួនគត់សេស

ចំនួនគត់គូ និងចំនួនគត់សេស

  • ចំនួនគត់គូ (Even Numbers) ៖ ជាគ្រប់ចំនួនគត់ដែល ចែកដាច់នឹង \(2\)។ ខ្ទង់រាយរបស់វាជាលេខ \(0, 2, 4, 6, 8\)។ ចំនួនគត់គូតាងដោយទម្រង់ទូទៅ \(2k\) (ដែល \(k \in \mathbb{N}_0\))។

  • ចំនួនគត់សេស (Odd Numbers) ៖ ជាគ្រប់ចំនួនគត់ដែល ចែកមិនដាច់នឹង \(2\) (មានសំណល់ \(1\))។ ខ្ទង់រាយរបស់វាជាលេខ \(1, 3, 5, 7, 9\)។ ចំនួនគត់សេសតាងដោយទម្រង់ទូទៅ \(2k+1\) (ដែល \(k \in \mathbb{N}_0\))។

ឧទាហរណ៍

ក្នុងចំណោមចំនួន \(14, 27, 30, 45, 88, 103\) ចូរញែកចំនួនណាជាចំនួនគត់គូ និងចំនួនណាជាចំនួនគត់សេស។

ដំណោះស្រាយ

គន្លឹះដោះស្រាយ៖ ពិនិត្យត្រឹមតែលេខខ្ទង់រាយចុងក្រោយបង្អស់នៃចំនួននីមួយៗ៖

  • បើខ្ទង់រាយជាលេខ \(0, 2, 4, 6, 8 \implies\) ជាចំនួនគត់គូ។

  • បើខ្ទង់រាយជាលេខ \(1, 3, 5, 7, 9 \implies\) ជាចំនួនគត់សេស។

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  • ចំនួនគត់គូ ៖ \(14\) (ខ្ទង់រាយ \(4\)), \(30\) (ខ្ទង់រាយ \(0\)), \(88\) (ខ្ទង់រាយ \(8\))។

  • ចំនួនគត់សេស ៖ \(27\) (ខ្ទង់រាយ \(7\)), \(45\) (ខ្ទង់រាយ \(5\)), \(103\) (ខ្ទង់រាយ \(3\))។

ញែកចំនួនគូ និងចំនួនសេស

ចូររកចំនួនគត់គូ និងចំនួនគត់សេសនៃចំនួនខាងក្រោម ៖

  1. \(3, 5, 7, 8, 12, 15\) និង \(16\)

  2. \(6, 8, 19, 30, 43\) និង \(52\)

  3. \(2, 3, 5, 9, 8, 15\) និង \(17\)

  4. \(29, 36, 40, 120, 503\) និង \(78\)

ស្វែងរកចំនួនគូ និងសេសក្នុងចន្លោះ

  1. ចូររកចំនួនគត់គូនៅចន្លោះ \(20\) និង \(35\)

  2. ចូររកចំនួនគត់គូនៅចន្លោះ \(19\) និង \(34\)

  3. ចូររកគ្រប់ចំនួនគត់គូ \(n\) ដែល \(5 < n < 20\)

  4. ចូររកគ្រប់ចំនួនគត់សេស \(n\) ដែល \(2 < n < 15\)

  5. ចូររកគ្រប់ចំនួនគត់គូ \(x\) ដែល \(1 \le x \le 10\)

  6. ចូររកគ្រប់ចំនួនគត់គូ \(x\) ដែល \(15 \le x \le 24\)

  7. ចូររកគ្រប់ចំនួនគត់សេស \(y\) ដែល \(84 \le y \le 95\)

  8. រកចំនួនគត់គូ និងចំនួនគត់សេសនៅចន្លោះ \(100\) និង \(115\)

ប្រមាណវិធីលើចំនួនគត់

ប្រមាណវិធីបូក និងវិធីដកនៃចំនួនគត់

ទំនាក់ទំនងរវាងវិធីបូក និងវិធីដក

  • បើ \(a + b = c\) នោះ \(b = c - a\) និង \(a = c - b\)

  • បើ \(a - b = c\) នោះ \(b = a - c\) និង \(a = c + b\)

ឧទាហរណ៍

គណនាផលបូក និងផលដកខាងក្រោមតាមជួរឈរ៖

  1. \(5466 + 752\)

  2. \(9465 - 8328\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. រៀបតាមជួរឈរដោយតម្រង់ខ្ទង់រាយ ខ្ទង់ដប់ ខ្ទង់រយ៖

    \[\begin{array}{rl} 5\,466 & \\ +\quad{} 752 & \\ \hline 6\,218 & \end{array}\]
    ដូច្នេះ \(5466 + 752 = 6218\)។

  2. រៀបតាមជួរឈរ រួចដកតាមលំដាប់ពីស្ដាំទៅឆ្វេង៖

    \[\begin{array}{rl} 9\,465 & \\ -\quad{} 8\,328 & \\ \hline 1\,137 & \end{array}\]
    ដូច្នេះ \(9465 - 8328 = 1137\)។

ប្រមាណវិធីបូក និងដក

គណនាប្រមាណវិធីខាងក្រោម ៖

  1. \(54 + 34\)

  2. \(99 + 143\)

  3. \(567 + 835\)

  4. \(548 - 349\)

  5. \(758 - 463\)

  6. \(5325 - 4455\)

ចំណោទបូក និងដកជាក់ស្ដែង

  1. នៅក្នុងសាលារៀនមួយមានសិស្សថ្នាក់ទី៧ចំនួន \(589\) នាក់ សិស្សថ្នាក់ទី៨ចំនួន \(546\) នាក់ និងសិស្សថ្នាក់ទី៩ចំនួន \(503\) នាក់។ រកចំនួនសិស្សសរុបនៅក្នុងសាលារៀននោះ។

  2. ឆ្នាំនេះពូសុខប្រមូលផលសណ្ដែកខៀវ និងសណ្ដែកសៀងបានចំនួន \(3250\,\text{kg}\) ក្នុងនោះគាត់ដឹងថាគាត់បានផលសណ្ដែកខៀវចំនួន \(1598\,\text{kg}\)។ តើពូសុខបានផលសណ្ដែកសៀងប៉ុន្មានគីឡូក្រាម?

បំពេញឱ្យគ្រប់ ១០០

តើអ្នកត្រូវបន្ថែមចំនួនប៉ុន្មានលើចំនួនខាងក្រោមដើម្បីឱ្យបាន \(100\) ?

  1. \(82 + \dots = 100\)

  2. \(25 + \dots = 100\)

  3. \(32 + \dots = 100\)

  4. \(44 + \dots = 100\)

  5. \(67 + \dots = 100\)

  6. \(56 + \dots = 100\)

វិធីគុណ និងវិធីចែកចំនួនគត់

ប្រមាណវិធីគុណ និងវិធីចែក

  • ក្នុងប្រមាណវិធីគុណ \(a \times b = P\)៖ \(a\) និង \(b\) ហៅថា កត្តា (Factors) ហើយ \(P\) ហៅថា ផលគុណ (Product)។

  • ក្នុងប្រមាណវិធីចែក \(a \div b = q\) (សំណល់ \(r\))៖ \(a\) ហៅថា តំណាងចែក (Dividend), \(b\) ហៅថា តួចែក (Divisor), \(q\) ហៅថា ផលចែក (Quotient), និង \(r\) ហៅថា សំណល់ (Remainder) ដោយ \(0 \le r < b\)។

    \[a = b \times q + r\]
    បើ \(r = 0\) គេថា \(a\) ចែកដាច់នឹង \(b\)។

ឧទាហរណ៍

គណនាប្រមាណវិធីខាងក្រោម៖

  1. \(567 \times 43\)

  2. \(4408 \div 38\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. គុណតាមជួរឈរ៖

    \[\begin{array}{rl} 567 & \\ \times\quad{} 43 & \\ \hline 1\,701 & \leftarrow 567 \times 3 \\ 22\,680 & \leftarrow 567 \times 40 \\ \hline 24\,381 & \end{array}\]
    ដូច្នេះ \(567 \times 43 = 24\,381\)។

  2. ចែកតាមជួរឈរ៖

    • យក \(44 \div 38\) បាន \(1\) សំណល់ \(6\)

    • ទម្លាក់ \(0\) បាន \(60 \div 38\) បាន \(1\) សំណល់ \(22\)

    • ទម្លាក់ \(8\) បាន \(228 \div 38\) បាន \(6\) សំណល់ \(0\)

    ដូច្នេះ \(4408 \div 38 = 116\)។

ប្រមាណវិធីគុណ និងចែក

គណនាប្រមាណវិធីខាងក្រោម ៖

  1. \(58 \times 57\)

  2. \(345 \times 493\)

  3. \(150 \div 25\)

  4. \(4408 \div 38\)

ចំណោទគុណ និងចែកជាក់ស្ដែង

  1. បណ្ណាគារមួយលក់សៀវភៅក្នុងមួយថ្ងៃបាន \(85\) ក្បាល។ តើក្នុងរយៈពេលពីរសប្តាហ៍ (១៤ ថ្ងៃ) បណ្ណាគារនោះនឹងលក់សៀវភៅបានប៉ុន្មានក្បាល បើក្នុងមួយថ្ងៃៗលក់បានចំនួនស្មើគ្នា?

  2. សាលារៀនមួយមាន \(32\) បន្ទប់ និងមានតុសិស្សសរុបចំនួន \(1280\) តុ។ បើបន្ទប់រៀននីមួយៗត្រូវដាក់ចំនួនតុស្មើគ្នា ចូរបង្ហាញរបៀបរកចំនួនតុសិស្សសម្រាប់បន្ទប់រៀននីមួយៗ។

លក្ខណៈនៃប្រមាណវិធី

លក្ខណៈនៃប្រមាណវិធីលើចំនួនគត់

ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ \(a, b\) និង \(c\) គេបាន៖

  • \(a + b = b + a\) (លក្ខណៈត្រឡប់នៃប្រមាណវិធីបូក)

  • \(a + (b + c) = (a + b) + c\) (លក្ខណៈផ្ដុំនៃប្រមាណវិធីបូក)

  • \(a + 0 = 0 + a = a\) (\(0\) ជា ធាតុណឺត ចំពោះប្រមាណវិធីបូក)

  • \(a \times b = b \times a\) (លក្ខណៈត្រឡប់នៃប្រមាណវិធីគុណ)

  • \(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\) (លក្ខណៈផ្ដុំនៃប្រមាណវិធីគុណ)

  • \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\) (លក្ខណៈបំបែកនៃវិធីគុណចំពោះវិធីបូក)

  • \(1 \times a = a \times 1 = a\) (\(1\) ជា ធាតុណឺត ចំពោះប្រមាណវិធីគុណ)

ឧទាហរណ៍

គណនាកន្សោមខាងក្រោមដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំឱ្យបានសមស្រប៖

  1. \(8 + 25 + 75\)

  2. \(14 + 2 + 77\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. \(8 + 25 + 75 = 8 + (25 + 75) = 8 + 100 = 108\)

  2. \(14 + 2 + 77 = (14 + 2) + 77 = 16 + 77 = 93\)

គណនាដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំ និងបំបែក

គណនាកន្សោមខាងក្រោមដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំ និងបំបែក ៖

  1. \(8 + 259 + 92\)

  2. \(137 + 269 + 63\)

  3. \(987 + 241 + 159\)

  4. \(5 \times (11 + 8 + 10)\)

លំដាប់នៃប្រមាណវិធី

ក្បួនលំដាប់នៃប្រមាណវិធី (Order of Operations)

  • កន្សោមគ្មានវង់ក្រចក៖ ធ្វើ គុណ និងចែក មុនពីឆ្វេងទៅស្ដាំ រួចធ្វើ បូក និងដក ជាបន្តពីឆ្វេងទៅស្ដាំ។

  • កន្សោមមានសញ្ញាកំណត់ជាក្រុម៖ ធ្វើក្នុង វង់ក្រចក \((~)\) មុន \(\rightarrow\) រួចក្នុង តង្កៀប \([~]\) \(\rightarrow\) រួចក្នុង របាំង \(\{~\}\) ចុងក្រោយ។

ឧទាហរណ៍

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(A = 8 + 6 \div 3 \times 4\) និង \(B = 5 + [6 + (7 \times 2)] \div 5\)។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  • \(A = 8 + (6 \div 3) \times 4 = 8 + 2 \times 4 = 8 + 8 = 16\)

  • \(B = 5 + [6 + 14] \div 5 = 5 + 20 \div 5 = 5 + 4 = 9\)

គណនាតម្លៃកន្សោម

ចូរគណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(8 + 6 \div 3 \times 4\)

  2. \(18 \div 3 + 3 \times 2\)

  3. \((12 + 3) \times 2 - 10\)

  4. \([3 \times (4 + 2)] \times 5\)

ការបង្គត់ចំនួន

ក្បួនបង្គត់ចំនួនគត់

  • បើលេខនៅខាងស្ដាំខ្ទង់បង្គត់ ធំជាង ឬស្មើ \(5\) \(\implies\) បង្គត់ឡើង (បូក \(1\) លើខ្ទង់បង្គត់ ហើយជំនួសខាងស្ដាំដោយ \(0\))។

  • បើលេខនៅខាងស្ដាំខ្ទង់បង្គត់ តូចជាង \(5\) \(\implies\) បង្គត់ចុះ (រក្សាខ្ទង់បង្គត់ដដែល ហើយជំនួសខាងស្ដាំដោយ \(0\))។

បង្គត់ចំនួន

បង្គត់ចំនួន \(28\,586\) និង \(756\,303\) ត្រឹមខ្ទង់ដប់ ខ្ទង់រយ និងខ្ទង់ពាន់ ៖

  1. \(28\,586 \approx \ldots\ldots\) ត្រឹមខ្ទង់ដប់

  2. \(28\,586 \approx \ldots\ldots\) ត្រឹមខ្ទង់រយ

  3. \(756\,303 \approx \ldots\ldots\) ត្រឹមខ្ទង់រយ

  4. \(756\,303 \approx \ldots\ldots\) ត្រឹមខ្ទង់ពាន់

ការ៉េ គូប និងឫសការ៉េ ឫសគូប

ស្វ័យគុណ និងឫស

  • \(a^2 = a \times a\) (\(a\) ការ៉េ), \(a^3 = a \times a \times a\) (\(a\) គូប)

  • \(\sqrt{b} = c \iff c^2 = b\) (\(c \ge 0\)), \(\sqrt[3]{b} = c \iff c^3 = b\)

គណនាស្វ័យគុណ និងឫស

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(15^2 + 12^2\)

  2. \(\sqrt{144} \times \sqrt[3]{8} - \sqrt{64}\)

  3. \(\sqrt{121} + \sqrt{625}\)

  4. \(\sqrt{4 \times 3 - 3^2 + 1} + 4^2 \div \sqrt{4}\)

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ចូរដៅចំណុច \(M(2), N(4), P(6), Q(9)\) នៅលើបន្ទាត់ចំនួនតែមួយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ដៅចំណុច \(M(2), N(4), P(6), Q(9)\) នៅលើបន្ទាត់ចំនួន ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២លំហាត់ទី ២

ប្រៀបធៀបចំនួនខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា \(<\) ឬ \(>\) ៖

  1. \(4095\) និង \(4094\)

  2. \(26~658\) និង \(39~841\)

  3. \(854~653\) និង \(847~580\)

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រៀបធៀបចំនួនខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា \(<\) ឬ \(>\) ៖

  • \(4095 > 4094\)

  • \(26~658 < 39~841\)

  • \(854~653 > 847~580\)

៣លំហាត់ទី ៣

ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន ៖ \(45, 22, 67, 35, 89, 12, 99\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រៀបចំនួនតាមលំដាប់កើន (ពីតូចទៅធំ) ៖

\[12 < 22 < 35 < 45 < 67 < 89 < 99\]
ដូចនេះ លំដាប់កើនគឺ ៖ \(\boxed{12, \; 22, \; 35, \; 45, \; 67, \; 89, \; 99}\)

៤លំហាត់ទី ៤

ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់ចុះ ៖ \(1500, 1200, 1800, 1600, 1400, 2000\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រៀបចំនួនតាមលំដាប់ចុះ (ពីធំទៅតូច) ៖

\[2000 > 1800 > 1600 > 1500 > 1400 > 1200\]
ដូចនេះ លំដាប់ចុះគឺ ៖ \(\boxed{2000, \; 1800, \; 1600, \; 1500, \; 1400, \; 1200}\)

៥លំហាត់ទី ៥

ក្នុងចំណោមចំនួន \(12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89\) តើចំនួនណាជាចំនួនគូ និងចំនួនណាជាចំនួនសេស?

មើលដំណោះស្រាយ

បែងចែកចំនួនគូ និងចំនួនសេស ៖

  • ចំនួនគូ (មានលេខចុងក្រោយ \(0, 2, 4, 6, 8\)) ៖ \(\boxed{12, \; 34, \; 56, \; 78}\)

  • ចំនួនសេស (មានលេខចុងក្រោយ \(1, 3, 5, 7, 9\)) ៖ \(\boxed{23, \; 45, \; 67, \; 89}\)

៦លំហាត់ទី ៦

រកគ្រប់ចំនួនគត់គូ \(x\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(10 \le x \le 22\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រកគ្រប់ចំនួនគត់គូ \(x\) ដែល \(10 \le x \le 22\) ៖

\[x \in \{10, \; 12, \; 14, \; 16, \; 18, \; 20, \; 22\}\]

៧លំហាត់ទី ៧

រកគ្រប់ចំនួនគត់សេស \(y\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(41 < y < 55\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រកគ្រប់ចំនួនគត់សេស \(y\) ដែល \(41 < y < 55\) ៖

\[y \in \{43, \; 45, \; 47, \; 49, \; 51, \; 53\}\]

៨លំហាត់ទី ៨

គណនាផលបូក ៖

  1. \(233 + 344\)

  2. \(567 + 835\)

  3. \(45~647 + 56~578\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូក ៖

  • \(233 + 344 = \mathbf{577}\)

  • \(567 + 835 = \mathbf{1402}\)

  • \(45~647 + 56~578 = \mathbf{102~225}\)

៩លំហាត់ទី ៩

គណនាផលដក ៖

  1. \(548 - 349\)

  2. \(3245 - 2546\)

  3. \(65~647 - 34~578\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលដក ៖

  • \(548 - 349 = \mathbf{199}\)

  • \(3245 - 2546 = \mathbf{699}\)

  • \(65~647 - 34~578 = \mathbf{31~069}\)

១០លំហាត់ទី ១០

រកចំនួនដែលត្រូវបន្ថែមដើម្បីឱ្យបានគ្រប់ \(100\) ៖

  1. \(73 + \dots = 100\)

  2. \(48 + \dots = 100\)

  3. \(19 + \dots = 100\)

មើលដំណោះស្រាយ

រកចំនួនដែលត្រូវបន្ថែមដើម្បីឱ្យបានគ្រប់ \(100\) ៖

  • \(73 + \mathbf{27} = 100\)

  • \(48 + \mathbf{52} = 100\)

  • \(19 + \mathbf{81} = 100\)

១១លំហាត់ទី ១១

គណនាផលគុណតាមជួរឈរ ៖

  1. \(79 \times 7\)

  2. \(58 \times 57\)

  3. \(567 \times 43\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណ ៖

  • \(79 \times 7 = \mathbf{553}\)

  • \(58 \times 57 = \mathbf{3306}\)

  • \(567 \times 43 = \mathbf{24~381}\)

១២លំហាត់ទី ១២

គណនាផលចែក ៖

  1. \(252 \div 12\)

  2. \(513 \div 19\)

  3. \(4408 \div 38\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលចែក ៖

  • \(252 \div 12 = \mathbf{21}\)

  • \(513 \div 19 = \mathbf{27}\)

  • \(4408 \div 38 = \mathbf{116}\)

១៣លំហាត់ទី ១៣

គណនាដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំនៃវិធីបូក ៖

  1. \(163 + 979 + 21\)

  2. \(364 + 779 + 636\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំនៃវិធីបូក ៖

  • \(163 + 979 + 21 = 163 + (979 + 21) = 163 + 1000 = \mathbf{1163}\)

  • \(364 + 779 + 636 = (364 + 636) + 779 = 1000 + 779 = \mathbf{1779}\)

១៤លំហាត់ទី ១៤

គណនាដោយប្រើលក្ខណៈបំបែកនៃវិធីគុណចំពោះវិធីបូក ៖

  1. \(25 \times (40 + 4)\)

  2. \(18 \times 12 + 18 \times 88\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាដោយប្រើលក្ខណៈបំបែកនៃវិធីគុណចំពោះវិធីបូក ៖

  • \(25 \times (40 + 4) = 25 \times 40 + 25 \times 4 = 1000 + 100 = \mathbf{1100}\)

  • \(18 \times 12 + 18 \times 88 = 18 \times (12 + 88) = 18 \times 100 = \mathbf{1800}\)

១៥លំហាត់ទី ១៥

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមគ្មានវង់ក្រចក ៖

  1. \(12 - 3 + 13 + 10\)

  2. \(8 + 9 \div 3 + 7 \times 2\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមគ្មានវង់ក្រចក ៖

  • \(12 - 3 + 13 + 10 = 9 + 13 + 10 = \mathbf{32}\)

  • \(8 + 9 \div 3 + 7 \times 2 = 8 + 3 + 14 = \mathbf{25}\)

១៦លំហាត់ទី ១៦

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមមានវង់ក្រចក ៖

  1. \((17 - 8) \times 2 + 15\)

  2. \(36 - (8 - 6) \times 5\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមមានវង់ក្រចក ៖

  • \((17 - 8) \times 2 + 15 = 9 \times 2 + 15 = 18 + 15 = \mathbf{33}\)

  • \(36 - (8 - 6) \times 5 = 36 - 2 \times 5 = 36 - 10 = \mathbf{26}\)

១៧លំហាត់ទី ១៧

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមមានតង្កៀប ៖

  1. \([(3 \times 4) - 5] \times 4\)

  2. \(5 + [6 + (7 \times 2)] \div 5\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមមានតង្កៀប ៖

  • \([(3 \times 4) - 5] \times 4 = [12 - 5] \times 4 = 7 \times 4 = \mathbf{28}\)

  • \(5 + [6 + (7 \times 2)] \div 5 = 5 + [6 + 14] \div 5 = 5 + 20 \div 5 = 5 + 4 = \mathbf{9}\)

១៨លំហាត់ទី ១៨

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមមានរបាំង ៖ \(\{[75 \times 8 + (47 - 17) \div 5]\} - 12 \div 2\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមមានរបាំង ៖

\[\begin{aligned} \{[75 \times 8 + (47 - 17) \div 5]\} - 12 \div 2 &= \{[600 + 30 \div 5]\} - 6 \\ &= \{600 + 6\} - 6 \\ &= 606 - 6 = \mathbf{600} \end{aligned}\]

១៩លំហាត់ទី ១៩

បង្គត់ចំនួន \(675~455\) ត្រឹមខ្ទង់ដប់ ខ្ទង់រយ ខ្ទង់ពាន់ និងខ្ទង់ម៉ឺន។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្គត់ចំនួន \(675~455\) ៖

  • ត្រឹមខ្ទង់ដប់ ៖ \(\boxed{675~460}\)

  • ត្រឹមខ្ទង់រយ ៖ \(\boxed{675~500}\)

  • ត្រឹមខ្ទង់ពាន់ ៖ \(\boxed{675~000}\)

  • ត្រឹមខ្ទង់ម៉ឺន ៖ \(\boxed{680~000}\)

២០លំហាត់ទី ២០

សរសេរជាទម្រង់ស្វ័យគុណ ៖

  1. \(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\)

  2. \(7 \times 7 \times 7 \times 7\)

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរជាទម្រង់ស្វ័យគុណ ៖

  • \(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = \mathbf{3^5}\)

  • \(7 \times 7 \times 7 \times 7 = \mathbf{7^4}\)

២១លំហាត់ទី ២១

គណនាការ៉េ និងគូបនៃចំនួនខាងក្រោម ៖

  1. \(14^2\)

  2. \(16^2\)

  3. \(12^3\)

  4. \(15^3\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាការ៉េ និងគូប ៖

  • \(14^2 = 14 \times 14 = \mathbf{196}\)

  • \(16^2 = 16 \times 16 = \mathbf{256}\)

  • \(12^3 = 12 \times 12 \times 12 = \mathbf{1728}\)

  • \(15^3 = 15 \times 15 \times 15 = \mathbf{3375}\)

២២លំហាត់ទី ២២

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ៖

  1. \(\sqrt{121} \times 10^2 \div \sqrt{100} + 6^3\)

  2. \(\sqrt{144} \times \sqrt[3]{8} - \sqrt{64} - \sqrt[3]{64} + 2\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ៖

  • \(\sqrt{121} \times 10^2 \div \sqrt{100} + 6^3 = 11 \times 100 \div 10 + 216\)
    \(= 110 + 216 = \mathbf{326}\)

  • \(\sqrt{144} \times \sqrt[3]{8} - \sqrt{64} - \sqrt[3]{64} + 2 = 12 \times 2 - 8 - 4 + 2\)
    \(= 24 - 8 - 4 + 2 = \mathbf{14}\)

២៣លំហាត់ទី ២៣

គណនាតម្លៃ ៖ \(\dfrac{121 - \sqrt{25} \times \sqrt{16}}{\sqrt{49}}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ ៖

\[\begin{aligned} \dfrac{121 - \sqrt{25} \times \sqrt{16}}{\sqrt{49}} &= \dfrac{121 - 5 \times 4}{7} \\ &= \dfrac{121 - 20}{7} = \mathbf{\dfrac{101}{7}} \end{aligned}\]

២៤លំហាត់ទី ២៤

គណនាតម្លៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ជាប់គ្នា ៖ \(\sqrt{6 + \sqrt{81} - \sqrt{64} + \sqrt{36} + \sqrt{9}}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ជាប់គ្នា ៖

\[\begin{aligned} A &= \sqrt{6 + \sqrt{81} - \sqrt{64} + \sqrt{36} + \sqrt{9}} \\ &= \sqrt{6 + 9 - 8 + 6 + 3} \\ &= \sqrt{16} = \mathbf{4} \end{aligned}\]

២៥លំហាត់ទី ២៥

នៅក្នុងឃ្លាំងមួយមានស្រូវចំនួន \(15~480\,\text{kg}\)។ គេបានលក់ចេញចំនួនពីរលើក ដោយលើកទី១ លក់បាន \(4650\,\text{kg}\) និងលើកទី២ លក់បាន \(5820\,\text{kg}\)។ តើក្នុងឃ្លាំងនៅសល់ស្រូវប៉ុន្មានគីឡូក្រាម?

មើលដំណោះស្រាយ

  • បរិមាណស្រូវដែលបានលក់សរុបទាំងពីរលើក ៖
    \(4650 + 5820 = \mathbf{10~470\,\text{kg}}\)

  • បរិមាណស្រូវដែលនៅសល់ក្នុងឃ្លាំង ៖
    \(15~480 - 10~470 = \mathbf{5010\,\text{kg}}\)

២៦លំហាត់ទី ២៦

រថយន្តក្រុងមួយផ្ទុកអ្នកដំណើរបាន \(45\) នាក់។ តើត្រូវការពាក់ព័ន្ធរថយន្តក្រុងយ៉ាងតិចប៉ុន្មានគ្រឿង ដើម្បីដឹកអ្នកដំណើរចំនួន \(560\) នាក់ទៅទស្សនកិច្ច?

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកចំនួនអ្នកដំណើរនឹងចំណុះរថយន្ត ៖

\[560 \div 45 = 12 \text{ សំណល់ } 20\]
ដោយនៅសល់អ្នកដំណើរ \(20\) នាក់ទៀត គេត្រូវការពាក់ព័ន្ធរថយន្ត ១ គ្រឿងបន្ថែមទៀត។
ដូចនេះ ត្រូវការពាក់ព័ន្ធរថយន្តក្រុងយ៉ាងតិច ៖ \(12 + 1 = \mathbf{13\,\text{គ្រឿង}}\)។

២៧លំហាត់ទី ២៧

កសិដ្ឋានមួយចិញ្ចឹមមាន់ចំនួន \(1250\) ក្បាល។ ក្នុងមួយថ្ងៃៗ មាន់នីមួយៗស៊ីចំណីជាមធ្យម \(120\,\text{g}\)។ គណនាបរិមាណចំណីសរុបគិតជាគីឡូក្រាមដែលកសិដ្ឋានត្រូវការក្នុងរយៈពេល \(30\) ថ្ងៃ។

មើលដំណោះស្រាយ

បរិមាណចំណីដែលកសិដ្ឋានត្រូវការក្នុងមួយថ្ងៃគឺ ៖

\[1250 \times 120\,\text{g} = 150~000\,\text{g} = \mathbf{150\,\text{kg}}\]

ក្នុងរយៈពេល \(30\) ថ្ងៃ កសិដ្ឋានត្រូវការចំណីសរុបគឺ ៖

\[150 \times 30 = \mathbf{4500\,\text{kg}}\]

២៨លំហាត់ទី ២៨

គេមានលេខ ៤ តួគឺ \(1, 2, 3, 4\)។ បើគេយកលេខទាំងនេះមកសរសេរជាចំនួនដែលមាន ៤ ខ្ទង់ខុសៗគ្នា ៖

  1. តើគេអាចបង្កើតបានចំនួនសរុបប៉ុន្មានចំនួន?

  2. គណនាផលបូកនៃគ្រប់ចំនួនទាំងអស់ដែលបានបង្កើតនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

  • ចំនួនសរុបដែលអាចបង្កើតបានពីលេខ \(1, 2, 3, 4\) ដោយគ្មានលេខជាន់គ្នា ៖

    \[4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{24\,\text{ចំនួន}}\]

  • ក្នុងចំណោម \(24\) ចំនួននេះ លេខនីមួយៗ (\(1, 2, 3, 4\)) ស្ថិតនៅខ្ទង់រាយ ខ្ទង់ដប់ ខ្ទង់រយ និងខ្ទង់ពាន់ ចំនួន \(6\) ដងដូចៗគ្នា។
    ផលបូកនៃលេខទាំង ៤ គឺ \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\)។
    ផលបូកតាមខ្ទង់នីមួយៗ ៖ \(10 \times 6 = 60\)។
    ផលបូកសរុបនៃគ្រប់ចំនួនទាំងអស់គឺ ៖

    \[\begin{aligned} S &= 60 \times 1000 + 60 \times 100 + 60 \times 10 + 60 \times 1 \\ &= 60 \times 1111 = \mathbf{66~660} \end{aligned}\]

២៩លំហាត់ទី ២៩

រកតម្លៃនៃផលបូករហ័ស ៖ \(S = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 99 + 100\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូករហ័សតាមរូបមន្ត Gauss ៖

\[\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \dots + 100 \\ &= \dfrac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = \mathbf{5050} \end{aligned}\]

៣០លំហាត់ទី ៣០

រកតម្លៃនៃផលបូកចំនួនគត់គូ ៖ \(A = 2 + 4 + 6 + 8 + \cdots + 98 + 100\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកចំនួនគត់គូ ៖

\[\begin{aligned} A &= 2 + 4 + 6 + \dots + 100 \\ &= 2(1 + 2 + 3 + \dots + 50) \\ &= 2 \times \dfrac{50 \times 51}{2} = 50 \times 51 = \mathbf{2550} \end{aligned}\]

៣១លំហាត់ទី ៣១

រកតម្លៃនៃផលបូកចំនួនគត់សេស ៖ \(B = 1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកចំនួនគត់សេស ៖

\[B = S - A = 5050 - 2550 = \mathbf{2500}\]
(ឬតាមរូបមន្តផលបូក \(50\) ចំនួនសេសដំបូង ៖ \(B = 50^2 = 2500\))។

៣២លំហាត់ទី ៣២

រកចំនួនគត់ \(n\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព ៖ \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2 = n\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្តផលបូកការ៉េនៃ \(n\) ចំនួនដំបូង ៖

\[\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
ចំពោះ \(n = 10\) ៖
\[S = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = \mathbf{385}\]

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គណនាកន្សោមស្វ័យគុណ និងឫសការ៉េ ៖ \(A = \sqrt{256} - \sqrt{169} + \sqrt[3]{216}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាកន្សោមស្វ័យគុណ និងឫសការ៉េ ៖

\[A = \sqrt{256} - \sqrt{169} + \sqrt[3]{216} = 16 - 13 + 6 = \mathbf{9}\]

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គណនាផលគុណរហ័សដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំ ៖ \(B = 4 \times 125 \times 25 \times 8\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណរហ័សដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំ ៖

\[B = (4 \times 25) \times (125 \times 8) = 100 \times 1000 = \mathbf{100~000}\]

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

រោងចក្រមួយផលិតស្បែកជើងបាន \(480\) គូក្នុងមួយថ្ងៃ។ បើស្បែកជើងទាំងនោះត្រូវវេចខ្ចប់ក្នុងប្រអប់ធំ ដោយមួយប្រអប់ដាក់បាន \(24\) គូ។ តើគេត្រូវការប្រអប់ធំប៉ុន្មានប្រអប់សម្រាប់វេចខ្ចប់ផលិតផលក្នុងរយៈពេលមួយសប្តាហ៍ (ធ្វើការ ៦ ថ្ងៃ)?

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនស្បែកជើងផលិតបានក្នុងរយៈពេលមួយសប្តាហ៍ (៦ ថ្ងៃ) គឺ ៖

\[480 \times 6 = 2880\,\text{គូ}\]
ចំនួនប្រអប់ធំដែលត្រូវការគឺ ៖
\[2880 \div 24 = \mathbf{120\,\text{ប្រអប់}}\]

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ក្នុងបណ្ណាល័យមួយមានសៀវភៅសរុប \(4500\) ក្បាល។ សៀវភៅគណិតវិទ្យាមាន \(1250\) ក្បាល សៀវភៅរូបវិទ្យាមាន \(980\) ក្បាល និងសៀវភៅអក្សរសាស្ត្រខ្មែរមាន \(1420\) ក្បាល។ សៀវភៅដែលនៅសល់ជាសៀវភៅប្រវត្តិវិទ្យា។ រកចំនួនសៀវភៅប្រវត្តិវិទ្យា។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនសៀវភៅគណិត រូបវិទ្យា និងអក្សរសាស្ត្រខ្មែរសរុបគឺ ៖

\[1250 + 980 + 1420 = 3650\,\text{ក្បាល}\]
ចំនួនសៀវភៅប្រវត្តិវិទ្យាគឺ ៖
\[4500 - 3650 = \mathbf{850\,\text{ក្បាល}}\]

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

សួនច្បាររាងចតុកោណកែងមួយមានបណ្ដោយ \(45\,\text{m}\) និងទទឹង \(30\,\text{m}\)។ គណនាបរិមាត្រ និងក្រឡាផ្ទៃនៃសួនច្បារនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

  • បរិមាណនៃសួនច្បារ ៖ \(P = 2 \times (45 + 30) = 2 \times 75 = \mathbf{150\,\text{m}}\)

  • ក្រឡាផ្ទៃនៃសួនច្បារ ៖ \(S = 45 \times 30 = \mathbf{1350\,\text{m}^2}\)

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

ស្រែមួយរាងការ៉េមានក្រឡាផ្ទៃ \(625\,\text{m}^2\)។ រកប្រវែងជ្រុង និងបរិមាត្រនៃស្រែនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

  • ប្រវែងជ្រុងនៃស្រែរាងការ៉េ ៖ \(a = \sqrt{625} = \mathbf{25\,\text{m}}\)

  • បរិមាត្រនៃស្រែ ៖ \(P = 4 \times 25 = \mathbf{100\,\text{m}}\)

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

ធុងទឹកមួយមានរាងជាគូបដែលមានមាឌ \(343\,\text{m}^3\)។ រកប្រវែងទ្រនុងនៃធុងទឹកនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រវែងទ្រនុងនៃធុងទឹកគូបគឺ ៖

\[a = \sqrt[3]{343} = \mathbf{7\,\text{m}}\]

៤០លំហាត់ទី ៤០

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖ \(P = 100 - [45 + (18 - 3 \times 4) \div 2] \times 2\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

\[\begin{aligned} P &= 100 - [45 + (18 - 3 \times 4) \div 2] \times 2 \\ &= 100 - [45 + (18 - 12) \div 2] \times 2 \\ &= 100 - [45 + 6 \div 2] \times 2 \\ &= 100 - [45 + 3] \times 2 \\ &= 100 - 96 = \mathbf{4} \end{aligned}\]

៤១លំហាត់ទី ៤១

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖ \(Q = \{2 \times [30 - (12 + 8)] + 5\} \times 3\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

\[\begin{aligned} Q &= \{2 \times [30 - (12 + 8)] + 5\} \times 3 \\ &= \{2 \times [30 - 20] + 5\} \times 3 \\ &= \{2 \times 10 + 5\} \times 3 = \{20 + 5\} \times 3 = 25 \times 3 = \mathbf{75} \end{aligned}\]

៤២លំហាត់ទី ៤២

រកតម្លៃនៃលេខដែលបាត់ \(x\) ៖ \(250 \div x + 15 = 40\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃ \(x\) ៖

\[\begin{aligned} 250 \div x + 15 = 40 &\implies 250 \div x = 40 - 15 = 25 \\ &\implies x = 250 \div 25 = \mathbf{10} \end{aligned}\]

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

រកតម្លៃនៃ \(y\) ៖ \(4 \times (y - 7) = 48\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃ \(y\) ៖

\[\begin{aligned} 4 \times (y - 7) = 48 &\implies y - 7 = 48 \div 4 = 12 \\ &\implies y = 12 + 7 = \mathbf{19} \end{aligned}\]

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

រកផលបូកនៃគ្រប់ចំនួនគត់គូពី \(1\) ដល់ \(50\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកនៃគ្រប់ចំនួនគត់គូពី \(1\) ដល់ \(50\) ៖
ចំនួនតួគូគឺ \(n = 25\)។

\[\begin{aligned} S &= 2 + 4 + 6 + \dots + 50 \\ &= 2(1 + 2 + \dots + 25) \\ &= 2 \times \dfrac{25 \times 26}{2} = 25 \times 26 = \mathbf{650} \end{aligned}\]

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

រកផលបូកនៃគ្រប់ចំនួនគត់សេសពី \(1\) ដល់ \(49\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកនៃគ្រប់ចំនួនគត់សេសពី \(1\) ដល់ \(49\) ៖ ចំនួនតួសេសគឺ \(n = 25\)។

\[S = 1 + 3 + 5 + \dots + 49 = 25^2 = \mathbf{625}\]

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គេមានក្រដាសមួយសន្លឹក។ គេកាត់វាជា ៤ ចំណែក រួចយកចំណែកនីមួយៗកាត់ជា ៤ ចំណែកបន្តទៀត។ បើគេធ្វើបែបនេះចំនួន ៣ លើក តើគេទទួលបានក្រដាសសរុបប៉ុន្មានចំណែក?

មើលដំណោះស្រាយ

  • លើកទី១ ៖ កាត់ជា \(4\) ចំណែក (\(4^1 = 4\))

  • លើកទី២ ៖ កាត់ជា \(4 \times 4 = 16\) ចំណែក (\(4^2 = 16\))

  • លើកទី៣ ៖ កាត់ជា \(16 \times 4 = 64\) ចំណែក (\(4^3 = 64\))

ដូចនេះ គេទទួលបានក្រដាសសរុប ៖ \(\boxed{64\,\text{ចំណែក}}\)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

បង្ហាញថាផលបូកនៃបីចំនួនគត់ធម្មជាតិតគ្នាតែងតែចែកដាច់នឹង \(3\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងបីចំនួនគត់ធម្មជាតិតគ្នាដោយ \(n, \; n+1, \; n+2\) (\(n \in \mathbb{N}\))។
ផលបូកនៃចំនួនទាំងបីគឺ ៖

\[S = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)\]
ដោយ \(3(n + 1)\) មានកត្តា \(3\) នោះ \(S\) តែងតែចែកដាច់នឹង \(3\) ជានិច្ច។ \(\square\)

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

រកចំនួនគត់ដែលមានពីរខ្ទង់ ដែលផលបូកនៃលេខតាមខ្ទង់ស្មើ \(9\) ហើយបើគេត្រឡប់លេខតាមខ្ទង់នោះ គេបានចំនួនថ្មីធំជាងចំនួនចាស់ \(27\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងចំនួនដើមដែលមានពីរខ្ទង់ដោយ \(\overline{ab} = 10a + b\) (\(1 \le a \le 9, \; 0 \le b \le 9\))។
តាមបម្រាប់ ៖

  • \(a + b = 9 \implies b = 9 - a\)

  • \(\overline{ba} - \overline{ab} = 27 \implies (10b + a) - (10a + b) = 27\)
    \(\implies 9(b - a) = 27 \implies b - a = 3\)

ជំនួស \(b = 9 - a\) ចូល ៖

\[\begin{aligned} (9 - a) - a = 3 &\implies 9 - 2a = 3 \\ &\implies 2a = 6 \implies a = \mathbf{3} \end{aligned}\]
នាំឱ្យ \(b = 9 - 3 = \mathbf{6}\)។
ដូចនេះ ចំនួននោះគឺ ៖ \(\boxed{36}\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ \(63 - 36 = 27\) ពិត)។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

គណនាផលបូក ៖ \(S = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \cdots + 9 \times 10\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូក ៖

\[S = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + 9 \times 10\]
រូបមន្ត ៖
\[\sum_{k=1}^n k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\]
ចំពោះ \(n = 9\) ៖
\[S = \dfrac{9 \times 10 \times 11}{3} = 3 \times 10 \times 11 = \mathbf{330}\]

៥០លំហាត់ទី ៥០

រកលេខខ្ទង់ចុងក្រោយ (ខ្ទង់រាយ) នៃផលបូក ៖ \(E = 1^{2027} + 2^{2027} + 3^{2027} + 4^{2027} + 5^{2027} + 6^{2027}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រកលេខខ្ទង់រាយនៃកន្សោម ៖

\[E = 1^{2027} + 2^{2027} + 3^{2027} + 4^{2027} + 5^{2027} + 6^{2027}\]

  • \(1^{2027} \equiv 1 \pmod{10}\)

  • ស្វ័យគុណនៃ \(2\) មានខួបលេខរាយ ៤ គឺ \((2, 4, 8, 6)\)។ ដោយ \(2027 = 4 \times 506 + 3\) នោះ \(2^{2027} \equiv 2^3 = 8 \pmod{10}\)

  • ស្វ័យគុណនៃ \(3\) មានខួបលេខរាយ ៤ គឺ \((3, 9, 7, 1)\)។ ដោយ \(2027 = 4 \times 506 + 3\) នោះ \(3^{2027} \equiv 3^3 \equiv 7 \pmod{10}\)

  • ស្វ័យគុណនៃ \(4\) មានខួប ២ គឺ \((4, 6)\)។ ស្វ័យគុណសេសនាំឱ្យ \(4^{2027} \equiv 4 \pmod{10}\)

  • \(5^{2027} \equiv 5 \pmod{10}\)

  • \(6^{2027} \equiv 6 \pmod{10}\)

ផលបូកនៃលេខខ្ទង់រាយទាំងអស់ ៖

\[1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 = 31 \equiv \mathbf{1} \pmod{10}\]
ដូចនេះ លេខខ្ទង់រាយនៃ \(E\) គឺ ៖ \(\boxed{1}\)។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១ ចំនួនគត់ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត