ការប្រៀបធៀបបរិមាណធំជាង ឬតូចជាង គឺជាសភាវគតិ និងតម្រូវការគ្រឹះរបស់មនុស្សជាតិក្នុងការវាស់វែង និងដោះដូរទំនិញតាំងពីសម័យបុរាណកាល។ ក៏ប៉ុន្តែ និមិត្តសញ្ញាវិសមភាពទំនើបដែលយើងប្រើប្រាស់សព្វថ្ងៃ ទើបតែត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅសតវត្សទី១៧ ប៉ុណ្ណោះ។
គណិតវិទូ និងតារាវិទូជនជាតិអង់គ្លេសលោក Thomas Harriot (១៥៦០–១៦២១) គឺជាបុគ្គលដំបូងគេបង្អស់ដែលបានបង្កើត និងណែនាំឱ្យប្រើប្រាស់និមិត្តសញ្ញាតូចជាង (\(<\)) និងធំជាង (\(>\)) នៅក្នុងស្នាដៃដ៏ល្បីរបស់គាត់ឈ្មោះ Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas ដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ ១៦៣១។ ក្រោយមក នៅឆ្នាំ ១៧៣៤ គណិតវិទូ និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំងលោក Pierre Bouguer បានបង្កើតនិមិត្តសញ្ញាតូចជាង ឬស្មើ (\(\le\)) និងធំជាង ឬស្មើ (\(\ge\))។ លុះដល់សតវត្សទី១៩ គណិតវិទូបារាំងដ៏ល្បីល្បាញលោក Augustin-Louis Cauchy (១៧៨៩–១៨៥៧) បានអភិវឌ្ឍទ្រឹស្ដីវិសមភាពឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅ ដែលក្លាយជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាវិភាគ និងវិទ្យាសាស្ត្រអនុវត្តទំនើប។
ដើម្បីសិក្សាវិសមភាព យើងត្រូវស្គាល់និយមន័យ និងសញ្ញាសំខាន់ៗ ៖
វិសមភាព (Inequality) ៖ ជាសំណេរគណិតវិទ្យាដែលភ្ជាប់កន្សោមពីរដោយសញ្ញា \(<, >, \le, \ge\) ឬ \(\neq\)។
សញ្ញាវិសមភាព ៖
\(<\) ៖ តូចជាងដាច់ខាត (Strictly less than)
\(>\) ៖ ធំជាងដាច់ខាត (Strictly greater than)
\(\le\) ៖ តូចជាង ឬស្មើ (Less than or equal to / យ៉ាងច្រើនបំផុត)
\(\ge\) ៖ ធំជាង ឬស្មើ (Greater than or equal to / យ៉ាងតិចបំផុត)
ទិសដៅវិសមភាព (Sense of Inequality) ៖ វិសមភាពពីរមានទិសដៅដូចគ្នា បើវាប្រើសញ្ញាដូចគ្នា (ឧទាហរណ៍ ៖ \(a > b\) និង \(c > d\))។ វាមានទិសដៅផ្ទុយគ្នា បើមួយប្រើសញ្ញា \(>\) ហើយមួយទៀតប្រើសញ្ញា \(<\)។
អង្គនៃវិសមភាព ៖ កន្សោមនៅខាងឆ្វេងសញ្ញាហៅថា អង្គទី១ និងខាងស្ដាំហៅថា អង្គទី២។
សញ្ញាណវិសមភាព និងការប្រៀបធៀប
កន្សោមពីរដែលភ្ជាប់គ្នាដោយសញ្ញា \(<, >, \le, \ge\) ហៅថា វិសមភាព។
ទំនាក់ទំនងរវាងការប្រៀបធៀប និងផលដក ៖ ចំពោះពីរចំនួនពិត \(A\) និង \(B\) ៖
\[A > B \iff A - B > 0 \qquad{} \text{និង} \qquad{} A < B \iff A - B < 0\]បើ \(A - B = 0\) នោះ \(A = B\)។
| វិសមភាព | អង្គទី១ | សញ្ញា | អង្គទី២ | អត្ថន័យ |
|---|---|---|---|---|
| \(x > 5\) | \(x\) | ធំជាង | \(5\) | \(x\) ធំជាងដាច់ខាតពី \(5\) |
| \(y \le -2\) | \(y\) | តូចជាង ឬស្មើ | \(-2\) | \(y\) យ៉ាងច្រើនបំផុតត្រឹម \(-2\) |
| \(2a + 1 \ge 7\) | \(2a + 1\) | ធំជាង ឬស្មើ | \(7\) | \(2a+1\) យ៉ាងតិចស្មើនឹង \(7\) |
ប្រៀបធៀប \(A = 3x + 5\) និង \(B = 3x + 2\)។
បើ \(a\) ជាចំនួនវិជ្ជមាន (\(a > 0\)) ចូរប្រៀបធៀប \(5 + a\) និង \(5\)។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
យើងគណនាផលដក \(A - B = (3x + 5) - (3x + 2) = 3x + 5 - 3x - 2 = 3 > 0\)។
ដោយ \(A - B > 0\) ដូចនេះ \(A > B\) ពោលគឺ \(3x + 5 > 3x + 2\)គណនាផលដក ៖ \((5 + a) - 5 = a > 0\) (ព្រោះ \(a\) ជាចំនួនវិជ្ជមាន)។
ដូចនេះ \(\boxed{5 + a > 5}\)
១. គណនាផលដក រួចប្រៀបធៀប \(M = 4x - 1\) និង \(N = 4x + 3\)។
២. គេដឹងថា \(x < y\)។ ចូរប្រៀបធៀប \(x - y\) ទៅនឹង \(0\)។
លក្ខណៈបូក និងដកនៃវិសមភាព
លក្ខណៈ ៖ បើគេបូក ឬដកចំនួនដូចគ្នាទៅលើអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាព គេបានវិសមភាពថ្មីមួយដែលមានទិសដៅដូចវិសមភាពដើម ៖
\[A > B \iff A + c > B + c \qquad{} \text{និង} \qquad{} A > B \iff A - c > B - c\]\[A < B \iff A + c < B + c \qquad{} \text{និង} \qquad{} A < B \iff A - c < B - c\]វិធានលើកតួប្ដូរសញ្ញា ៖ ក្នុងវិសមភាព គេអាចលើកតួពីអង្គម្ខាងទៅអង្គម្ខាងទៀត ដោយប្ដូរសញ្ញានៃតួនោះ (\(+\) ទៅជា \(-\), \(-\) ទៅជា \(+\)) ហើយទិសដៅវិសមភាពមិនប្រែប្រួលឡើយ ៖
\[x + a > b \iff x > b - a \qquad{} \text{និង} \qquad{} x - a \le b \iff x \le b + a\]
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(x - 6 > 9\)
\(x + 8 \le 3\)
\(y - 2.5 \ge 4.5\)
\(12 + a < 5\)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
\(x - 6 > 9 \iff x > 9 + 6 \implies \boxed{x > 15}\)
\(x + 8 \le 3 \iff x \le 3 - 8 \implies \boxed{x \le -5}\)
\(y - 2.5 \ge 4.5 \iff y \ge 4.5 + 2.5 \implies \boxed{y \ge 7}\)
\(12 + a < 5 \iff a < 5 - 12 \implies \boxed{a < -7}\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(x - 14 \ge 26\)
\(x + 19 < 8\)
\(y - \frac{2}{3} > \frac{4}{3}\)
\(a + 3.6 \le -1.4\)
លក្ខណៈគុណ និងចែកនៃវិសមភាព
គុណ ឬចែកនឹងចំនួនវិជ្ជមាន (\(c > 0\)) ៖ គេបានវិសមភាពថ្មីមានទិសដៅដូចវិសមភាពដើម ៖
\[\text{បើ } A > B \text{ និង } c > 0 \implies Ac > Bc \quad{} \text{និង} \quad{} \frac{A}{c} > \frac{B}{c}\]គុណ ឬចែកនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន (\(c < 0\)) ៖ គេបានវិសមភាពថ្មីមានទិសដៅផ្ទុយពីវិសមភាពដើម ៖
\[\text{បើ } A > B \text{ និង } c < 0 \implies Ac < Bc \quad{} \text{និង} \quad{} \frac{A}{c} < \frac{B}{c}\]
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(3x \ge 24\)
\(-4x > 20\)
\(\frac{x}{5} < -3\)
\(-\frac{2}{3}x \le 8\)
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
\(3x \ge 24 \iff x \ge \frac{24}{3} \implies \boxed{x \ge 8}\)
\(-4x > 20 \iff x < \frac{20}{-4} \implies \boxed{x < -5}\) (ប្ដូរទិសដៅ)
\(\frac{x}{5} < -3 \iff x < -3 \times 5 \implies \boxed{x < -15}\)
\(-\frac{2}{3}x \le 8 \iff x \ge 8 \times \left(-\frac{3}{2}\right) \implies \boxed{x \ge -12}\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(6x > -42\)
\(-5y \le 35\)
\(\frac{x}{-4} \ge 6\)
\(-\frac{3x}{7} < 9\)
ដំណោះស្រាយវិសមីការ និងបន្ទាត់ចំនួន
វិសមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត ៖ មានទម្រង់ \(ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b \ge 0, ax + b \le 0\) (\(a \neq 0\))។
ដំណោះស្រាយ ៖ លើកតួអថេរទៅអង្គទី១ និងចំនួនថេរទៅអង្គទី២ រួចបង្រួមទម្រង់ \(Ax > B\) ឬ \(Ax \le B\)។
ការបកស្រាយលើបន្ទាត់ចំនួន ៖
ចំពោះ \(>\) ឬ \(<\) ៖ ប្រើវង់ក្រចក \((\) ឬ \()\) (ឬរង្វង់ប្រហោង \(\circ\)) ព្រោះមិនយកចុងស្នូល។
ចំពោះ \(\ge\) ឬ \(\le\) ៖ ប្រើតង្កៀប \([\) ឬ \(]\) (ឬចំណុចពេញ \(\bullet\)) ព្រោះយកតម្លៃចុងស្នូល។
ដោះស្រាយវិសមីការ \(4x - 5 < 2x + 3\) រួចបកស្រាយចម្លើយលើបន្ទាត់ចំនួន។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម រួចគូសបន្ទាត់ចំនួន ៖
\(3x + 7 \ge x + 13\)
\(2(x - 3) < 4x + 2\)
ចំណោទវិសមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត
១. ស្វែងយល់ប្រធាន ៖ កំណត់ពាក្យគន្លឹះដូចជា «យ៉ាងតិច» (\(\ge\)), «យ៉ាងច្រើន» (\(\le\)), «លើសពី» (\(>\)), «មិនលើសពី» (\(\le\))។
២. ជ្រើសរើសអញ្ញាត ៖ តាងអក្សរ \(x\) ជាបរិមាណមិនស្គាល់ ព្រមទាំងខ្នាត និងលក្ខខណ្ឌ។
៣. បង្កើតវិសមីការ ៖ បកប្រែលក្ខខណ្ឌនៃប្រធានទៅជាវិសមីការគណិតវិទ្យា។
៤. ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ ស្វែងរកសំណុំចម្លើយនៃអញ្ញាត \(x\)។
៥. ផ្ទៀងផ្ទាត់ និងសន្និដ្ឋាន ៖ ជ្រើសរើសចម្លើយសមស្របនឹងលក្ខខណ្ឌជាក់ស្ដែង រួចឆ្លើយសំណួរ។
សុខាមានប្រាក់ \(40~000\) រៀល។ គាត់ចង់ទិញសៀវភៅគណិតវិទ្យាមួយក្បាលតម្លៃ \(12~000\) រៀល និងទិញប៊ិកមួយចំនួនដែលមួយដើមថ្លៃ \(3~500\) រៀល។ តើសុខាអាចទិញប៊ិកបានច្រើនបំផុតប៉ុន្មានដើម?
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ជ្រើសរើសអញ្ញាត ៖ តាង \(x\) ជាចំនួនប៊ិកដែលសុខាអាចទិញបាន (\(x \in \mathbb{N}\))។
បង្កើតវិសមីការ ៖ ចំណាយសរុបមិនលើសពីប្រាក់ដែលមាន ៖
\[12~000 + 3~500x \le 40~000\]ដោះស្រាយ ៖ \(3~500x \le 40~000 - 12~000 \iff 3~500x \le 28~000 \iff x \le \frac{28~000}{3~500} \implies x \le 8\)
សន្និដ្ឋាន ៖ ដោយ \(x\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះសុខាអាចទិញប៊ិកបានច្រើនបំផុត \(8\) ដើម។
១. រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(x\) តូចបំផុតដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(5x - 8 > 27\)។
២. តារាមានពិន្ទុប្រឡងពីរលើកគឺ \(68\) និង \(74\)។ តើលើកទីបី គាត់ត្រូវទទួលបានពិន្ទុយ៉ាងតិចប៉ុន្មាន ដើម្បីឱ្យមធ្យមភាគពិន្ទុទាំងបីលើកយ៉ាងតិចស្មើនឹង \(75\)?
លំហាត់អនុវត្តន៍
បំពេញសញ្ញា \(> , <\) ឬ \(=\) ក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម ៖
\(15 ~~\square~~ 8\)
\(-7 ~~\square~~ -3\)
\(-12 ~~\square~~ -15\)
\(0 ~~\square~~ -5\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំពេញសញ្ញា \(> , <\) ឬ \(=\) ៖
\(15 > 8\)
\(-7 < -3\)
\(-12 > -15\)
\(0 > -5\)
បំពេញសញ្ញា \(> , <\) ឬ \(=\) ក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម ៖
\(\frac{3}{5} ~~\square~~ \frac{4}{5}\)
\(\frac{7}{3} ~~\square~~ \frac{5}{3}\)
\(-\frac{1}{2} ~~\square~~ -\frac{1}{4}\)
\(0.45 ~~\square~~ 0.5\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំពេញសញ្ញា \(> , <\) ឬ \(=\) ៖
\(\dfrac{3}{5} < \dfrac{4}{5}\)
\(\dfrac{7}{3} > \dfrac{5}{3}\)
\(-\dfrac{1}{2} < -\dfrac{1}{4}\)
\(0.45 < 0.5\)
គណនាផលដក \(A - B\) រួចប្រៀបធៀប \(A\) និង \(B\) ៖
\(A = 5x + 7\) និង \(B = 5x + 2\)
\(A = 2 - 3y\) និង \(B = 8 - 3y\)
\(A = 4a - 9\) និង \(B = 4a - 1\)
\(A = x^2 + 6\) និង \(B = x^2 - 3\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនា \(A - B\) រួចប្រៀបធៀប ៖
\(A - B = 5 > 0 \Rightarrow A > B\)
\(A - B = -6 < 0 \Rightarrow A < B\)
\(A - B = -8 < 0 \Rightarrow A < B\)
\(A - B = 9 > 0 \Rightarrow A > B\)
គេដឹងថា \(a < b\)។ ចូរបំពេញសញ្ញាវិសមភាពក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម ៖
\(a + 5 ~~\square~~ b + 5\)
\(a - 8 ~~\square~~ b - 8\)
\(a + m ~~\square~~ b + m\)
\(a - k ~~\square~~ b - k\)
មើលដំណោះស្រាយ
បើ \(a < b\) បំពេញសញ្ញា ៖
\(a + 5 < b + 5\)
\(a - 8 < b - 8\)
\(a + m < b + m\)
\(a - k < b - k\)
គេដឹងថា \(x > y\)។ ចូរបំពេញសញ្ញាវិសមភាពក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម ៖
\(3x ~~\square~~ 3y\)
\(-4x ~~\square~~ -4y\)
\(\frac{x}{5} ~~\square~~ \frac{y}{5}\)
\(-\frac{x}{2} ~~\square~~ -\frac{y}{2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បើ \(x > y\) បំពេញសញ្ញា ៖
\(3x > 3y\)
\(-4x < -4y\)
\(\dfrac{x}{5} > \dfrac{y}{5}\)
\(-\dfrac{x}{2} < -\dfrac{y}{2}\)
បំពេញពាក្យ «ពិត» ឬ «មិនពិត» ក្នុងចន្លោះខាងក្រោម ៖
បើ \(x > 3\) នោះ \(x + 4 > 7\)
បើ \(x < 5\) នោះ \(-2x < -10\)
បើ \(a \le b\) នោះ \(a - 6 \le b - 6\)
បើ \(-x \ge 4\) នោះ \(x \ge -4\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំពេញ «ពិត» ឬ «មិនពិត» ៖
\(x + 4 > 7\) ៖ ពិត
\(-2x < -10\) ៖ មិនពិត
\(a - 6 \le b - 6\) ៖ ពិត
\(x \ge -4\) ៖ មិនពិត
សរសេរសំណេរខាងក្រោមជាវិសមភាព ៖
\(x\) ធំជាង ឬស្មើ \(12\)
\(y\) តូចជាងដាច់ខាតពី \(-5\)
\(a\) យ៉ាងច្រើនបំផុតស្មើ \(20\)
\(m\) យ៉ាងតិចបំផុតស្មើ \(35\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរជាវិសមភាព ៖
\(x \ge 12\)
\(y < -5\)
\(a \le 20\)
\(m \ge 35\)
សរសេរល្បះខាងក្រោមជាវិសមភាព ៖
ពីរដងនៃ \(x\) បូកនឹង \(7\) ធំជាង \(15\)
បីដងនៃ \(y\) ដកនឹង \(4\) តូចជាង ឬស្មើ \(11\)
ផលបូករវាង \(a\) និង \(9\) មិនលើសពី \(25\) ឡើយ
ប្រាំដងនៃ \(m\) យ៉ាងហោចណាស់ស្មើនឹង \(40\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរជាវិសមភាព ៖
\(2x + 7 > 15\)
\(3y - 4 \le 11\)
\(a + 9 \le 25\)
\(5m \ge 40\)
កំណត់ថាតើតម្លៃណាខ្លះក្នុងចំណោម \(\{-3, 0, 2, 5, 8\}\) ជាចម្លើយនៃវិសមភាព ៖
\(x > 2\)
\(x \le 0\)
\(2x + 1 \ge 5\)
\(3x - 4 < 8\)
មើលដំណោះស្រាយ
រកចម្លើយក្នុង \(\{-3, 0, 2, 5, 8\}\) ៖
\(x > 2 \Rightarrow x \in \{5, 8\}\)
\(x \le 0 \Rightarrow x \in \{-3, 0\}\)
\(2x + 1 \ge 5 \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow x \in \{2, 5, 8\}\)
\(3x - 4 < 8 \Rightarrow x < 4 \Rightarrow x \in \{-3, 0, 2\}\)
កំណត់ថាតើតម្លៃណាខ្លះក្នុងចំណោម \(\{-5, -1, 3, 6\}\) ជាចម្លើយនៃវិសមភាព ៖
\(-2x > 6\)
\(4 - x \ge 1\)
\(\frac{x}{3} < 1\)
\(5x - 2 \le 13\)
មើលដំណោះស្រាយ
រកចម្លើយក្នុង \(\{-5, -1, 3, 6\}\) ៖
\(-2x > 6 \Rightarrow x < -3 \Rightarrow x = -5\)
\(4 - x \ge 1 \Rightarrow x \le 3 \Rightarrow x \in \{-5, -1, 3\}\)
\(\frac{x}{3} < 1 \Rightarrow x < 3 \Rightarrow x \in \{-5, -1\}\)
\(5x - 2 \le 13 \Rightarrow x \le 3 \Rightarrow x \in \{-5, -1, 3\}\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោមតាមវិធីបូក ឬដក ៖
\(x - 7 > 12\)
\(x + 5 \le 18\)
\(y - 15 \ge 6\)
\(a + 24 < 30\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយតាមវិធីបូក ឬដក ៖
\(x - 7 > 12 \Rightarrow x > 19\)
\(x + 5 \le 18 \Rightarrow x \le 13\)
\(y - 15 \ge 6 \Rightarrow y \ge 21\)
\(a + 24 < 30 \Rightarrow a < 6\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(x - 18 \le -5\)
\(x + 22 > 9\)
\(y - 30 < -42\)
\(a + 45 \ge 15\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(x - 18 \le -5 \Rightarrow x \le 13\)
\(x + 22 > 9 \Rightarrow x > -13\)
\(y - 30 < -42 \Rightarrow y < -12\)
\(a + 45 \ge 15 \Rightarrow a \ge -30\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(14 + x > 31\)
\(-9 + y \le 12\)
\(25 - a \ge 10\)
\(16 - x < -4\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(14 + x > 31 \Rightarrow x > 17\)
\(-9 + y \le 12 \Rightarrow y \le 21\)
\(25 - a \ge 10 \Rightarrow a \le 15\)
\(16 - x < -4 \Rightarrow x > 20\)
ដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានចំនួនទសភាគ ៖
\(x - 4.5 > 7.2\)
\(y + 3.8 \le 8.5\)
\(a - 5.25 \ge 2.75\)
\(x + 6.4 < 1.9\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាពទសភាគ ៖
\(x - 4.5 > 7.2 \Rightarrow x > 11.7\)
\(y + 3.8 \le 8.5 \Rightarrow y \le 4.7\)
\(a - 5.25 \ge 2.75 \Rightarrow a \ge 8\)
\(x + 6.4 < 1.9 \Rightarrow x < -4.5\)
ដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានប្រភាគ ៖
\(x - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4}\)
\(y + \frac{2}{5} > \frac{7}{5}\)
\(a - \frac{1}{3} \ge \frac{5}{6}\)
\(x + \frac{3}{4} < \frac{1}{2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាពប្រភាគ ៖
\(x - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} \Rightarrow x \le 1\)
\(y + \frac{2}{5} > \frac{7}{5} \Rightarrow y > 1\)
\(a - \frac{1}{3} \ge \frac{5}{6} \Rightarrow a \ge \frac{7}{6}\)
\(x + \frac{3}{4} < \frac{1}{2} \Rightarrow x < -\frac{1}{4}\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(x - 100 > 250\)
\(y + 75 \le 150\)
\(a - 320 \ge -180\)
\(m + 450 < 200\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(x - 100 > 250 \Rightarrow x > 350\)
\(y + 75 \le 150 \Rightarrow y \le 75\)
\(a - 320 \ge -180 \Rightarrow a \ge 140\)
\(m + 450 < 200 \Rightarrow m < -250\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោមតាមវិធីគុណ ឬចែក ៖
\(4x > 36\)
\(6y \le 54\)
\(9a \ge 81\)
\(15m < 90\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយតាមវិធីគុណ ឬចែក ៖
\(4x > 36 \Rightarrow x > 9\)
\(6y \le 54 \Rightarrow y \le 9\)
\(9a \ge 81 \Rightarrow a \ge 9\)
\(15m < 90 \Rightarrow m < 6\)
ដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានមេគុណអវិជ្ជមាន (ប្រយ័ត្នប្ដូរទិសដៅ) ៖
\(-3x \ge 27\)
\(-5y < -45\)
\(-8a \le 64\)
\(-12x > -72\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយមេគុណអវិជ្ជមាន ៖
\(-3x \ge 27 \Rightarrow x \le -9\)
\(-5y < -45 \Rightarrow y > 9\)
\(-8a \le 64 \Rightarrow a \ge -8\)
\(-12x > -72 \Rightarrow x < 6\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(\frac{x}{4} > 7\)
\(\frac{y}{6} \le -5\)
\(\frac{a}{8} \ge 3\)
\(\frac{m}{5} < -9\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(\frac{x}{4} > 7 \Rightarrow x > 28\)
\(\frac{y}{6} \le -5 \Rightarrow y \le -30\)
\(\frac{a}{8} \ge 3 \Rightarrow a \ge 24\)
\(\frac{m}{5} < -9 \Rightarrow m < -45\)
ដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានភាគបែងអវិជ្ជមាន ៖
\(\frac{x}{-3} \ge 6\)
\(\frac{y}{-5} < -4\)
\(\frac{a}{-2} \le 9\)
\(\frac{m}{-7} > -3\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយភាគបែងអវិជ្ជមាន ៖
\(\frac{x}{-3} \ge 6 \Rightarrow x \le -18\)
\(\frac{y}{-5} < -4 \Rightarrow y > 20\)
\(\frac{a}{-2} \le 9 \Rightarrow a \ge -18\)
\(\frac{m}{-7} > -3 \Rightarrow m < 21\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(\frac{3x}{4} > 12\)
\(\frac{2y}{5} \le 10\)
\(-\frac{5a}{6} \ge 25\)
\(-\frac{4m}{7} < -16\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(\frac{3x}{4} > 12 \Rightarrow x > 16\)
\(\frac{2y}{5} \le 10 \Rightarrow y \le 25\)
\(-\frac{5a}{6} \ge 25 \Rightarrow a \le -30\)
\(-\frac{4m}{7} < -16 \Rightarrow m > 28\)
ដោះស្រាយវិសមភាពទម្រង់ \(ax + b > c\) ឬ \(ax + b \le c\) ៖
\(2x + 7 > 19\)
\(3y - 8 \le 13\)
\(4a + 11 \ge 35\)
\(5m - 14 < 26\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយទម្រង់ \(ax + b > c\) ៖
\(2x + 7 > 19 \Rightarrow 2x > 12 \Rightarrow x > 6\)
\(3y - 8 \le 13 \Rightarrow 3y \le 21 \Rightarrow y \le 7\)
\(4a + 11 \ge 35 \Rightarrow 4a \ge 24 \Rightarrow a \ge 6\)
\(5m - 14 < 26 \Rightarrow 5m < 40 \Rightarrow m < 8\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(6x + 9 \le 3\)
\(7y - 20 > -6\)
\(8a + 30 < 6\)
\(9x - 5 \ge -41\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(6x + 9 \le 3 \Rightarrow 6x \le -6 \Rightarrow x \le -1\)
\(7y - 20 > -6 \Rightarrow 7y > 14 \Rightarrow y > 2\)
\(8a + 30 < 6 \Rightarrow 8a < -24 \Rightarrow a < -3\)
\(9x - 5 \ge -41 \Rightarrow 9x \ge -36 \Rightarrow x \ge -4\)
ដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានមេគុណអវិជ្ជមាន ៖
\(-2x + 9 > 23\)
\(-3y - 7 \le 14\)
\(-5a + 16 \ge -19\)
\(-4m - 11 < -35\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយមេគុណអវិជ្ជមាន ៖
\(-2x + 9 > 23 \Rightarrow -2x > 14 \Rightarrow x < -7\)
\(-3y - 7 \le 14 \Rightarrow -3y \le 21 \Rightarrow y \ge -7\)
\(-5a + 16 \ge -19 \Rightarrow -5a \ge -35 \Rightarrow a \le 7\)
\(-4m - 11 < -35 \Rightarrow -4m < -24 \Rightarrow m > 6\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(18 - 3x \ge 6\)
\(25 - 4y < 9\)
\(14 - 5a \le -11\)
\(12 - 7x > 33\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(18 - 3x \ge 6 \Rightarrow 3x \le 12 \Rightarrow x \le 4\)
\(25 - 4y < 9 \Rightarrow 4y > 16 \Rightarrow y > 4\)
\(14 - 5a \le -11 \Rightarrow 5a \ge 25 \Rightarrow a \ge 5\)
\(12 - 7x > 33 \Rightarrow 7x < -21 \Rightarrow x < -3\)
ដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានប្រភាគ ៖
\(\frac{x}{3} + 4 > 9\)
\(\frac{y}{4} - 5 \le 3\)
\(\frac{a}{6} + 7 \ge 2\)
\(\frac{m}{5} - 6 < -1\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាពមានប្រភាគ ៖
\(\frac{x}{3} + 4 > 9 \Rightarrow \frac{x}{3} > 5 \Rightarrow x > 15\)
\(\frac{y}{4} - 5 \le 3 \Rightarrow \frac{y}{4} \le 8 \Rightarrow y \le 32\)
\(\frac{a}{6} + 7 \ge 2 \Rightarrow \frac{a}{6} \ge -5 \Rightarrow a \ge -30\)
\(\frac{m}{5} - 6 < -1 \Rightarrow \frac{m}{5} < 5 \Rightarrow m < 25\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(\frac{2x + 3}{5} \ge 7\)
\(\frac{3y - 4}{2} < 10\)
\(\frac{4a + 5}{3} \le 11\)
\(\frac{5m - 2}{4} > 7\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(\frac{2x + 3}{5} \ge 7 \Rightarrow 2x + 3 \ge 35 \Rightarrow x \ge 16\)
\(\frac{3y - 4}{2} < 10 \Rightarrow 3y - 4 < 20 \Rightarrow y < 8\)
\(\frac{4a + 5}{3} \le 11 \Rightarrow 4a + 5 \le 33 \Rightarrow a \le 7\)
\(\frac{5m - 2}{4} > 7 \Rightarrow 5m - 2 > 28 \Rightarrow m > 6\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(\frac{7 - 3x}{2} \le 5\)
\(\frac{8 - 2y}{3} > -4\)
\(\frac{15 - 4a}{5} \ge 3\)
\(\frac{5 - x}{6} < 2\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(7 - 3x \le 10 \Rightarrow -3x \le 3 \Rightarrow x \ge -1\)
\(8 - 2y > -12 \Rightarrow -2y > -20 \Rightarrow y < 10\)
\(15 - 4a \ge 15 \Rightarrow -4a \ge 0 \Rightarrow a \le 0\)
\(5 - x < 12 \Rightarrow -x < 7 \Rightarrow x > -7\)
ដោះស្រាយវិសមភាពទម្រង់ \(ax + b > cx + d\) ៖
\(5x - 8 > 2x + 7\)
\(6y + 3 \le 2y + 19\)
\(7a - 10 \ge 4a + 14\)
\(8m + 5 < 3m + 30\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយទម្រង់ \(ax + b > cx + d\) ៖
\(5x - 8 > 2x + 7 \Rightarrow 3x > 15 \Rightarrow x > 5\)
\(6y + 3 \le 2y + 19 \Rightarrow 4y \le 16 \Rightarrow y \le 4\)
\(7a - 10 \ge 4a + 14 \Rightarrow 3a \ge 24 \Rightarrow a \ge 8\)
\(8m + 5 < 3m + 30 \Rightarrow 5m < 25 \Rightarrow m < 5\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(3x + 14 \le 7x - 6\)
\(4y - 9 > 9y + 16\)
\(2a + 25 < 6a - 7\)
\(5m - 12 \ge 8m + 15\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(3x + 14 \le 7x - 6 \Rightarrow 4x \ge 20 \Rightarrow x \ge 5\)
\(4y - 9 > 9y + 16 \Rightarrow 5y < -25 \Rightarrow y < -5\)
\(2a + 25 < 6a - 7 \Rightarrow 4a > 32 \Rightarrow a > 8\)
\(5m - 12 \ge 8m + 15 \Rightarrow 3m \le -27 \Rightarrow m \le -9\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(8x - 5 > 12x - 29\)
\(11y + 6 \le 5y - 24\)
\(-3a + 8 \ge 2a - 17\)
\(-6m - 7 < -2m + 17\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(8x - 5 > 12x - 29 \Rightarrow 4x < 24 \Rightarrow x < 6\)
\(11y + 6 \le 5y - 24 \Rightarrow 6y \le -30 \Rightarrow y \le -5\)
\(-3a + 8 \ge 2a - 17 \Rightarrow 5a \le 25 \Rightarrow a \le 5\)
\(-6m - 7 < -2m + 17 \Rightarrow 4m > -24 \Rightarrow m > -6\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(16 - 4x \ge 3x - 12\)
\(22 - 5y < 7 - 2y\)
\(18 - 3a \le 4a + 4\)
\(10 - 8m > -3m - 15\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(16 - 4x \ge 3x - 12 \Rightarrow 7x \le 28 \Rightarrow x \le 4\)
\(22 - 5y < 7 - 2y \Rightarrow 3y > 15 \Rightarrow y > 5\)
\(18 - 3a \le 4a + 4 \Rightarrow 7a \ge 14 \Rightarrow a \ge 2\)
\(10 - 8m > -3m - 15 \Rightarrow 5m < 25 \Rightarrow m < 5\)
ដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានវង់ក្រចក ៖
\(2(x + 4) > 16\)
\(3(y - 5) \le 18\)
\(4(2a + 3) \ge 44\)
\(5(3m - 2) < 70\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាពមានវង់ក្រចក ៖
\(2(x + 4) > 16 \Rightarrow x + 4 > 8 \Rightarrow x > 4\)
\(3(y - 5) \le 18 \Rightarrow y - 5 \le 6 \Rightarrow y \le 11\)
\(4(2a + 3) \ge 44 \Rightarrow 2a + 3 \ge 11 \Rightarrow a \ge 4\)
\(5(3m - 2) < 70 \Rightarrow 3m - 2 < 14 \Rightarrow m < \frac{16}{3}\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(2(3x - 2) \le 4x + 10\)
\(3(2y + 4) > 5y + 19\)
\(4(x - 2) \ge 2x + 12\)
\(5(2a - 3) < 6a + 9\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(6x - 4 \le 4x + 10 \Rightarrow 2x \le 14 \Rightarrow x \le 7\)
\(6y + 12 > 5y + 19 \Rightarrow y > 7\)
\(4x - 8 \ge 2x + 12 \Rightarrow 2x \ge 20 \Rightarrow x \ge 10\)
\(10a - 15 < 6a + 9 \Rightarrow 4a < 24 \Rightarrow a < 6\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(3(x + 5) \ge 2(x - 2)\)
\(4(y - 3) < 3(y + 4)\)
\(5(2a + 1) > 3(3a + 5)\)
\(6(m - 2) \le 2(4m - 3)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(3x + 15 \ge 2x - 4 \Rightarrow x \ge -19\)
\(4y - 12 < 3y + 12 \Rightarrow y < 24\)
\(10a + 5 > 9a + 15 \Rightarrow a > 10\)
\(6m - 12 \le 8m - 6 \Rightarrow 2m \ge -6 \Rightarrow m \ge -3\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(2(4x - 1) > 3(2x + 5)\)
\(7(x - 2) \le 4(x + 4)\)
\(3(3y - 4) \ge 2(4y + 1)\)
\(5(2a - 5) < 4(3a - 7)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(8x - 2 > 6x + 15 \Rightarrow 2x > 17 \Rightarrow x > 8.5\)
\(7x - 14 \le 4x + 16 \Rightarrow 3x \le 30 \Rightarrow x \le 10\)
\(9y - 12 \ge 8y + 2 \Rightarrow y \ge 14\)
\(10a - 25 < 12a - 28 \Rightarrow 2a > 3 \Rightarrow a > 1.5\)
ដោះស្រាយវិសមភាពចម្រុះ ៖
\(2(x + 4) + 3(x - 1) > 25\)
\(4(y - 2) - 2(y + 1) \le 10\)
\(5(a + 1) + 2(2a - 3) \ge 34\)
\(3(2m - 1) - 4(m - 2) < 19\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាពចម្រុះ ៖
\(2x + 8 + 3x - 3 > 25 \Rightarrow 5x > 20 \Rightarrow x > 4\)
\(4y - 8 - 2y - 2 \le 10 \Rightarrow 2y \le 20 \Rightarrow y \le 10\)
\(5a + 5 + 4a - 6 \ge 34 \Rightarrow 9a \ge 35 \Rightarrow a \ge \frac{35}{9}\)
\(6m - 3 - 4m + 8 < 19 \Rightarrow 2m < 14 \Rightarrow m < 7\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម ៖
\(3x - (2x - 7) \ge 15\)
\(5y - (3y + 6) < 14\)
\(6a - (2a - 5) > 25\)
\(7m - (4m + 8) \le 10\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាព ៖
\(3x - 2x + 7 \ge 15 \Rightarrow x \ge 8\)
\(5y - 3y - 6 < 14 \Rightarrow 2y < 20 \Rightarrow y < 10\)
\(6a - 2a + 5 > 25 \Rightarrow 4a > 20 \Rightarrow a > 5\)
\(7m - 4m - 8 \le 10 \Rightarrow 3m \le 18 \Rightarrow m \le 6\)
ដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានប្រភាគ ៖
\(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} > 15\)
\(\frac{y}{4} + \frac{y}{5} \le 18\)
\(\frac{a}{3} - \frac{a}{6} \ge 5\)
\(\frac{m}{2} - \frac{m}{4} < 8\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមភាពប្រភាគ ៖
\(\frac{5x}{6} > 15 \Rightarrow x > 18\)
\(\frac{9y}{20} \le 18 \Rightarrow y \le 40\)
\(\frac{a}{6} \ge 5 \Rightarrow a \ge 30\)
\(\frac{m}{4} < 8 \Rightarrow m < 32\)
ដោះស្រាយវិសមភាពខាងក្រោម រួចបកស្រាយលើបន្ទាត់ចំនួន ៖
\(2x - 3 \ge 5\)
\(3x + 4 < 16\)
\(-2x + 5 \le 1\)
\(4 - 3x > -8\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ និងបកស្រាយលើបន្ទាត់ចំនួន ៖
\(2x - 3 \ge 5 \Rightarrow x \ge 4\)
\(3x + 4 < 16 \Rightarrow x < 4\)
\(-2x + 5 \le 1 \Rightarrow x \ge 2\)
\(4 - 3x > -8 \Rightarrow x < 4\)
រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(x\) ទាំងអស់ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមីការ \(3x - 5 < 13\)។
មើលដំណោះស្រាយ
រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(x\) ៖
រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(x\) តូចបំផុតដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមីការ \(4x + 9 \ge 31\)។
មើលដំណោះស្រាយ
រកចំនួនគត់វិជ្ជមានតូចបំផុត ៖
ផលបូកនៃពីរចំនួនស្មើនឹង \(60\)។ រកចំនួនធំ បើដឹងថាវាធំជាងពីរដងនៃចំនួនតូច។
មើលដំណោះស្រាយ
រកចំនួនធំ ៖ តាងចំនួនធំដោយ \(x\) នាំឱ្យចំនួនតូចគឺ \(60 - x\) ៖
ផលបូកនៃបីចំនួនគត់តគ្នាធំជាង \(75\)។ រកតម្លៃតូចបំផុតនៃចំនួនទាំងបីនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
រកតម្លៃតូចបំផុតនៃ ៣ ចំនួនគត់តគ្នា ៖ តាងបីចំនួនដោយ \(x, x+1, x+2\) ៖
បីចំនួននោះគឺ \(25, 26, 27\)។
ផលបូកនៃបីចំនួនគត់គូតគ្នាមិនលើសពី \(90\) ឡើយ។ រកតម្លៃធំបំផុតនៃចំនួនទាំងបីនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
រកតម្លៃធំបំផុតនៃ ៣ ចំនួនគត់គូតគ្នា ៖ តាងបីចំនួនដោយ \(x, x+2, x+4\) ៖
បីចំនួននោះគឺ \(28, 30, 32\)។
ដីមួយកន្លែងមានរាងជាចតុកោណកែងដែលមានទទឹង \(15\text{ m}\)។ រកប្រវែងបណ្ដោយ បើដឹងថាបរិមាត្រនៃដីនោះយ៉ាងហោចណាស់ស្មើនឹង \(80\text{ m}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
រកប្រវែងបណ្ដោយដីចតុកោណកែង ៖ ទទឹង \(15\text{ m}\), បណ្ដោយ \(x\) ៖
ចតុកោណកែងមួយមានបណ្ដោយពីរដងនៃទទឹង។ រកប្រវែងទទឹង បើដឹងថាបរិមាត្ររបស់វាមិនលើសពី \(72\text{ cm}\) ឡើយ។
មើលដំណោះស្រាយ
រកប្រវែងទទឹង ៖ ទទឹង \(x\), បណ្ដោយ \(2x\) ៖
បច្ចុប្បន្នឪពុកមានអាយុ \(42\) ឆ្នាំ ហើយកូនមានអាយុ \(14\) ឆ្នាំ។ តើប៉ុន្មានឆ្នាំទៀតទើបអាយុឪពុកតូចជាងពីរដងនៃអាយុកូន?
មើលដំណោះស្រាយ
រកចំនួនឆ្នាំ ៖ តាង \(t\) ជាចំនួនឆ្នាំទៅមុខ ៖
កញ្ញាមានប្រាក់ \(65~000\) រៀល សម្រាប់ទិញសៀវភៅ និងប៊ិក។ គាត់ទិញសៀវភៅមួយក្បាលតម្លៃ \(15~000\) រៀល និងទិញប៊ិកដែលមួយដើមថ្លៃ \(2~500\) រៀល។ តើគាត់អាចទិញប៊ិកបានច្រើនបំផុតប៉ុន្មានដើម?
មើលដំណោះស្រាយ
រកចំនួនប៊ិកច្រើនបំផុត ៖ តាង \(x\) ជាចំនួនប៊ិក ៖
ក្រុមហ៊ុនដឹកជញ្ជូនមួយគិតថ្លៃសេវា \(5~000\) រៀលជាគោល និងបន្ថែម \(2~000\) រៀលក្នុងមួយគីឡូក្រាមនៃទម្ងន់ទំនិញ។ បើអតិថិជនមានថវិកាត្រឹមតែ \(45~000\) រៀល តើគាត់អាចផ្ញើទំនិញបានទម្ងន់ច្រើនបំផុតប៉ុន្មានគីឡូក្រាម?
មើលដំណោះស្រាយ
រកទម្ងន់ទំនិញច្រើនបំផុត ៖ តាង \(w\) ជាទម្ងន់ទំនិញគិតជា \(\text{kg}\) ៖
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១០ វិសមភាព — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី