KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ១៧
១៧
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ៥ លីមីតនិងដេរីវេ · មេរៀនទី ១៧ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

លីមីតនិងដេរីវេ

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ១–២១
ជំពូកទី ៥ ៖ លីមីតនិងដេរីវេ

នៅក្នុងជំពូកនេះ គេចាប់ផ្ដើមសិក្សាពីបញ្ញត្តិមូលដ្ឋាននៃលីមីត និងប្រមាណវិធីលើលីមីត ដែលជាមធ្យោបាយដ៏សំខាន់សម្រាប់ឈានទៅសិក្សាបញ្ញត្តិនៃដេរីវេ និងប្រមាណវិធីលើដេរីវេនៃអនុគមន៍ ។ បន្ទាប់ពីទទួលបានបញ្ញត្តិ លីមីត ដេរីវេ និងបំណិនក្នុងការគណនាលីមីត ដេរីវេ គេនឹងអាចប្រើចំណេះដឹង និងបំណិនទាំងនោះក្នុងការដោះស្រាយចំណោទបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាងអនុគមន៍ត្រង់ចំណុចមួយ ការសិក្សាអថេរភាពសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍សនិទានងាយៗ មួយចំនួន ការគណនាតម្លៃអតិបរមាធៀប តម្លៃអប្បបរមាធៀប ការគណនាល្បឿននៃចលនា ហើយលើសពីនេះទៅទៀត គេឈានទៅប្រើក្រាបតាងអនុគមន៍សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ និងវិសមីការមួយចំនួនទៀត ។ ការអនុវត្តទាំងអស់នេះ អាចឆ្លុះបញ្ចាំងឱ្យឃើញពីអត្ថន័យពេញលេញ និងសារប្រយោជន៍នៃគណិតវិទ្យាចំពោះវិទ្យាសាស្ត្រ និងការដោះស្រាយចំណោទបញ្ហាខ្លះក្នុងជីវភាពប្រចាំថ្ងៃ ។

វត្ថុបំណង

  1. កំណត់បញ្ញត្តិលីមីតតាមបែបពីជគណិតនិងតាមបែបក្រាប

  2. រកលីមីតនៃផលបូក ផលដក ផលគុណ និងផលចែក

  3. រកលីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធានិងអនុគមន៍សនិទាន

  4. រកអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃអនុគមន៍

  5. កំណត់បញ្ញត្តិដេរីវេនិងធ្វើប្រមាណវិធីលើដេរីវេ ។

ក្នុងជំពូកនេះ យើងចាប់ផ្ដើមសិក្សាគណិតវិភាគ សម្រាប់ប្រើក្នុងការដោះស្រាយចំណោទបន្ទាត់ប៉ះ និងចំណោទតម្លៃបរមា ។

លីមីត

សញ្ញាណលីមីត

ឧទាហរណ៍ ១

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) = x^2 + 2x - 3\) និងតារាងតម្លៃលេខ

\[\begin{array}{c|ccccccc} x & 1.99 & 1.999 & 1.9999 & \to 2 \leftarrow & 2.0001 & 2.001 & 2.01\\ \hline y & 4.9401 & 4.9940 & 4.9994 & \to 5 \leftarrow & 5.0006 & 5.0060 & 5.0601 \end{array}\]

តាមតារាងតម្លៃលេខ បើ \(x\) ខិតជិត \(2\) ពីខាងឆ្វេង \((x \to 2^-)\) និងពីខាងស្ដាំ \((x \to 2^+)\) នោះ \(y\) ខិតជិត \(5\) ។ គេថាអនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានលីមីតស្មើនឹង \(5\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(2\) ។ គេកំណត់សរសេរ

\[\begin{gathered} \lim_{x \to 2} f(x) = 5 \quad{} \text{ឬ}\\ \lim_{x \to 2}(x^2 + 2x - 3) = 5 \text{ ។} \end{gathered}\]

ឧទាហរណ៍ ២

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) ។ ចំពោះ \(x \ne 3\) គេបាន \(f(x) = x + 3\) និងក្រាប \(L\) ។ តាមក្រាបបើ \(x\) ខិតជិត \(3\) នោះអនុគមន៍ \(y = f(x)\) ខិតជិត \(6\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6\) ។

ជាទូទៅ

បើ \(x\) ខិតជិត \(a\) ហើយអនុគមន៍ \(y = f(x)\) ខិតជិតតម្លៃ \(b\) ណាមួយនោះ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = b\) ។

លំហាត់គំរូ

  1. បំពេញតារាងតម្លៃលេខនៃ \(\dfrac{1}{x}\) ចំពោះ \(x = 0.1;\ 0.01;\ 0.001;\ 0.0001\) និង \(x = -0.1;\ -0.01;\ -0.001;\ -0.0001\) ។

  2. ទាញរក \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. តារាងតម្លៃលេខទី \(1\) និងទី \(2\) ៖

    \[\begin{array}{c|ccccc} x & 0.1 & 0.01 & 0.001 & 0.0001 & \cdots\\ \hline \frac{1}{x} & 10 & 100 & 1000 & 10000 & \cdots \end{array}\]
    \[\begin{array}{c|ccccc} x & -0.1 & -0.01 & -0.001 & -0.0001 & \cdots\\ \hline \frac{1}{x} & -10 & -100 & -1000 & -10000 & \cdots \end{array}\]

  2. តាមតារាងតម្លៃលេខទី \(1\) គេសង្កេតឃើញថាកាលណា \(x\) យកតម្លៃវិជ្ជមាន ហើយកាន់តែតូចទៅៗស្ទើរតែខិតជិតសូន្យ នោះ \(\dfrac{1}{x}\) មានតម្លៃវិជ្ជមាន ហើយកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ ។ ដូច្នេះ \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty\) ។

    តាមតារាងតម្លៃលេខទី \(2\) គេសង្កេតឃើញថាកាលណា \(x\) យកតម្លៃអវិជ្ជមាន ហើយកាន់តែធំទៅៗស្ទើរតែខិតជិតសូន្យ នោះ \(\dfrac{1}{x}\) មានតម្លៃអវិជ្ជមានកាន់តែតូចទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ ។ ដូច្នេះ \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty\) ។

សម្គាល់

បើ \(x \to a^+\) មានន័យថា \(x \to a\) និង \(x > a\) ដូចគ្នាដែរ \(x \to a^-\) មានន័យថា \(x \to a\) និង \(x < a\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. ក. បំពេញតារាងតម្លៃលេខនៃ \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\) ចំពោះ \(x = 1.9;\ 1.99;\ 1.999;\ 2.001;\ 2.01;\ 2.1\) ហើយទាញរក \(\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)\) ។
    ខ. ចំពោះ \(x \ne 2\) ចូរសម្រួលកន្សោម \(f(x)\) រួចទាញរកតម្លៃ \(\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)\) ។

  2. សង់ក្រាបតាង \(g(x) = x^2 + 2\) ហើយទាញរក \(\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x)\) ។

មើលចម្លើយ

  1. ក. \(f(x) = 3.9;\ 3.99;\ 3.999;\ 4.001;\ 4.01;\ 4.1\) នាំឱ្យ \(\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 4\) ខ. \(f(x) = x + 2\) ដូច្នេះ \(\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 4\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x) = 3\) ។

ប្រមាណវិធីលើលីមីត

អនុគមន៍ \(y = f(x)\) និង \(y = g(x)\) មានលីមីតកាលណា \(x \to a\) ។ គេបាន

  • \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} c = c\) ដែល \(f(x) = c\) ជាអនុគមន៍ថេរ

  • \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} x = a\) ដែល \(f(x) = x\)

  • \(\displaystyle\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\)

  • \(\displaystyle\lim_{x \to a}[f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\)

  • \(\displaystyle\lim_{x \to a}[f(x)\times g(x)] = \lim_{x \to a} f(x)\times\lim_{x \to a} g(x)\)

  • \(\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\) បើ \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \ne 0\) ។

លំហាត់គំរូ ១

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖ ក. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(3 + x)\) ខ. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(3x^4)\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(3 + x) = \lim_{x \to 1} 3 + \lim_{x \to 1} x = 3 + 1 = 4\) ។

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(3x^4) = \lim_{x \to 2} 3\cdot\lim_{x \to 2} x^4 = 3\cdot\lim_{x \to 2} x\cdot\lim_{x \to 2} x\cdot\lim_{x \to 2} x\cdot\lim_{x \to 2} x = 3\cdot 2^4 = 48\) ។

ជាទូទៅ

\(\displaystyle\lim_{x \to x_0}(ax^n) = ax_0^n\) ។

លំហាត់គំរូ ២

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖ ក. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^3 - 3x^2 + x + 1)\) ខ. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x + 1}{x - 2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^3 - 3x^2 + x + 1) = \lim_{x \to 1} x^3 - \lim_{x \to 1} 3x^2 + \lim_{x \to 1} x + \lim_{x \to 1} 1 = 1^3 - 3\cdot 1^2 + 1 + 1 = 0\) ។

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x + 1}{x - 2} = \frac{\lim_{x \to 3}(x^2 - x + 1)}{\lim_{x \to 3}(x - 2)} = \frac{3^2 - 3 + 1}{3 - 2} = \frac{7}{1} = 7\) ។

ជាទូទៅ

  • បើ \(P(x)\) ជាអនុគមន៍ពហុធានៃ \(x\) នោះ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)\)

  • បើ \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) ដែល \(g(x) \ne 0\) ជាអនុគមន៍សនិទាន នោះ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)}\) ដែល \(g(x_0) \ne 0\) ។

សម្គាល់

បើភាគយកនិងភាគបែងមានលីមីតសូន្យនោះ គេត្រូវគណនាតាមជំហានដូចខាងក្រោម ៖

  • ជំហានទី \(1\) ៖ បំបែកភាគយកនិងភាគបែងនៃប្រភាគជាផលគុណកត្តា ។

  • ជំហានទី \(2\) ៖ សម្រួលកត្តារួមចោល ។

  • ជំហានទី \(3\) ៖ រកលីមីតនៃប្រភាគថ្មី ។

ក្នុងករណីនេះ គេថាលីមីតមានរាងមិនកំណត់ \(\dfrac{0}{0}\) ។

លំហាត់គំរូ ៣

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖ ក. \(\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}\) ខ. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{3x}{x - 2} + \frac{6}{2 - x}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}\) មានរាងមិនកំណត់ \(\dfrac{0}{0}\) ។

    ជំហានទី \(1\) ៖ \(\dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4} = \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 2)(x - 2)}\) ។ ជំហានទី \(2\) ៖ \(\dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4} = \dfrac{x + 3}{x - 2}\) ដែល \(x + 2 \ne 0\) ។

    ជំហានទី \(3\) ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2}\frac{x + 3}{x - 2} = \frac{-2 + 3}{-2 - 2} = -\frac{1}{4}\) ។

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{3x}{x - 2} + \frac{6}{2 - x}\right) = \lim_{x \to 2}\left(\frac{3x}{x - 2} - \frac{6}{x - 2}\right)\) ដែលមាន \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(x - 2) = 0\) ។

    ជំហានទី \(1\) ៖ \(\dfrac{3x}{x - 2} - \dfrac{6}{x - 2} = \dfrac{3x - 6}{x - 2} = \dfrac{3(x - 2)}{x - 2}\) ។ ជំហានទី \(2\) ៖ \(\dfrac{3x}{x - 2} - \dfrac{6}{x - 2} = 3\) ដែល \(x \ne 2\) ។

    ជំហានទី \(3\) ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{3x}{x - 2} + \frac{6}{2 - x}\right) = \lim_{x \to 2} 3 = 3\) ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}[(x^2 + 4x + 2)(3 - x^2)]\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{3x^2 - x - 4}{(2x + 5)^2}\)

  3. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{2x^2 - 5x + 3}{x^2 + x - 2}\)

  4. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}\)

  5. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2}\)

  6. \(\displaystyle\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 16}\)

មើលចម្លើយ

ក. \(14\) ខ. \(10\) គ. \(-\dfrac{1}{3}\) ឃ. \(\dfrac{6}{5}\) ង. \(+\infty\) (ព្រោះ \(\dfrac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}\) ៖ \(+\infty\) ពេល \(x \to 2^+\), \(-\infty\) ពេល \(x \to 2^-\)) ច. \(\dfrac{1}{32}\) ។

លីមីតខាងឆ្វេងនិងខាងស្ដាំ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{បើ } x \le 1\\ x + 2 & \text{បើ } x > 1 \end{cases}\)

តាមក្រាបគេសង្កេតឃើញថា \(f(x)\) ខិតជិត \(1\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(1\) ពីខាងឆ្វេង ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(f(x)\) ខិតជិត \(3\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(1\) ពីខាងស្ដាំ ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+}(x + 2) = 3\) ។

ជាទូទៅ

  • បើ \(f(x)\) ខិតជិត \(L\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(x_0\) ពីខាងឆ្វេង នោះ \(L\) ជាលីមីតខាងឆ្វេងនៃ \(f(x)\) ហើយកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L\) ។

  • បើ \(f(x)\) ខិតជិត \(R\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(x_0\) ពីខាងស្ដាំ នោះ \(R\) ជាលីមីតខាងស្ដាំនៃ \(f(x)\) ហើយកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = R\) ។

សម្គាល់

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{បើ } x < x_0\\ f_2(x) & \text{បើ } x \ge x_0 \end{cases}\) នោះ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f_1(x)\),  \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f_2(x)\) ។

លំហាត់គំរូ ១

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) = \begin{cases} 2x & \text{បើ } x > 0\\ x^3 & \text{បើ } x \le 0 \end{cases}\) ។

  1. គណនាលីមីត \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x)\) ។

  2. ប្រៀបធៀបតម្លៃលីមីតទាំងពីរ ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x = 2\times 0 = 0\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^3 = 0^3 = 0\) ។

  2. គេមាន \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0\) ។ ដូច្នេះ \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0\) ។ ក្នុងករណីនេះ គេថាអនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានលីមីត \(0\) ត្រង់ \(x = 0\) ។

លំហាត់គំរូ ២

គេមានក្រាបតាងអនុគមន៍ \(f\) ខាងក្រោម ៖ រក \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x)\) ក្នុងរូបទី \(1\), ទី \(2\), ទី \(3\) និងរូបទី \(4\) ។

តាមរូបទី \(1\) គេបាន \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2\) ។
តាមរូបទី \(2\) គេបាន \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = -1\) ។
តាមរូបទី \(3\) គេបាន \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2\) ។
តាមរូបទី \(4\) គេបាន \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = -1\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty\) ។

ជាទូទៅ

អនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានលីមីតត្រង់ \(x_0\) លុះត្រាតែលីមីតខាងឆ្វេងស្មើលីមីតខាងស្ដាំ ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell\),  \(\ell \in \mathbb{R}\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. គេឱ្យ \(f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{បើ } x < 2\\ -x + 8 & \text{បើ } x \ge 2 \end{cases}\) ។ គណនា \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\) ។

  2. គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = |x|\) ។ គណនា \(\displaystyle\lim_{x \to 0}|x|\) ។ តើអនុគមន៍ \(y = |x|\) មានលីមីតត្រង់ \(x = 0\) ឬទេ?

  3. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} 5x - 2 & \text{បើ } x < -1\\ -2x + a & \text{បើ } x \ge -1 \end{cases}\) ។ កំណត់តម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យ \(f\) មានលីមីតត្រង់ \(x = -1\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 7\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = 6\) ខ. \(\displaystyle\lim_{x \to 0}|x| = 0\) ។ អនុគមន៍ \(y = |x|\) មានលីមីតត្រង់ \(x = 0\) គ. \(a = -9\) ។

លីមីតត្រង់អនន្តនៃអនុគមន៍

លីមីតត្រង់អនន្តនៃអនុគមន៍ស្វ័យគុណងាយ
ឧទាហរណ៍ ១

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = x^2\) និងតារាងតម្លៃលេខ

\[\begin{array}{c|cccccc} x & \cdots & -10^4 & -10^3 & -10^2 & -10 & 0\\ \hline y = x^2 & \cdots & 10^8 & 10^6 & 10^4 & 10^2 & 0 \end{array}\]
\[\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 10 & 10^2 & 10^3 & 10^4 & \cdots\\ \hline y = x^2 & 0 & 10^2 & 10^4 & 10^6 & 10^8 & \cdots \end{array}\]

តាមតារាងតម្លៃលេខខាងលើ បើ \(x\) យកតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ នោះអនុគមន៍ \(y = x^2\) មានតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ដែរ ។ គេថាអនុគមន៍ \(y = x^2\) មានលីមីត \(+\infty\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(+\infty\) ហើយគេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\) ។

បើ \(x\) យកតម្លៃអវិជ្ជមាន កាន់តែតូចទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ នោះអនុគមន៍ \(y = x^2\) មានតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ដែរ ។ គេថាអនុគមន៍ \(y = x^2\) មានលីមីត \(+\infty\) កាលណា \(x\) ខិតជិត \(-\infty\) ហើយគេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty\) ។

ជាទូទៅ

\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} ax^2 = \begin{cases} +\infty & \text{បើ } a > 0\\ -\infty & \text{បើ } a < 0 \end{cases}\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{x}\) និងតារាងតម្លៃលេខទី \(1\) និងទី \(2\) ដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{c|cccccc} x & 10 & 10^2 & 10^3 & 10^4 & 10^5 & \cdots\\ \hline y = \frac{1}{x} & 0.1 & 0.01 & 0.001 & 0.0001 & 0.00001 & \cdots \end{array}\]
\[\begin{array}{c|cccccc} x & -10 & -10^2 & -10^3 & -10^4 & -10^5 & \cdots\\ \hline y = \frac{1}{x} & -0.1 & -0.01 & -0.001 & -0.0001 & -0.00001 & \cdots \end{array}\]

តាមតារាងតម្លៃលេខទី \(1\) បើ \(x\) យកតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ នោះអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{x}\) មានតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែតូចទៅៗជិតស្មើសូន្យ ។ គេថាអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{x}\) មានលីមីតសូន្យ កាលណា \(x\) ខិតជិត \(+\infty\) ហើយគេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x} = 0\) ។

តាមតារាងតម្លៃលេខទី \(2\) បើ \(x\) យកតម្លៃអវិជ្ជមានកាន់តែតូចទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ នោះអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{x}\) មានតម្លៃដាច់ខាតកាន់តែតូចទៅៗជិតស្មើសូន្យ ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x} = 0\) ។ ដូច្នេះ \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x} = 0\) ។

ជាទូទៅ

\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{a}{x} = 0\)  \((a \in \mathbb{R})\) ។

លំហាត់គំរូ ១

គណនាលីមីត \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(-2x^3)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = \left(\lim_{x \to -\infty} x\right)^3 = -\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(-2x^3) = -2\left(\lim_{x \to +\infty} x\right)^3 = -\infty\) ។

លំហាត់គំរូ ២

គណនាលីមីត \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x^2}\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{4}{x^3}\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x^2} = \frac{1}{\left(\lim_{x \to \pm\infty} x\right)^2} = 0\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{4}{x^3} = \frac{4}{\left(\lim_{x \to \pm\infty} x\right)^3} = 0\) ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាលីមីត ក. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}(4x^2)\) ខ. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}(-3x^2)\) គ. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\left(-\frac{2}{x^2}\right)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(+\infty\) ខ. \(-\infty\) គ. \(0\) ។

លីមីតមានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\)
ឧទាហរណ៍

គណនា \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x^2 - x + 1)\) ។

បើ \(x \to +\infty\) នោះ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x^2 - x + 1)\) មានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\), \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(-x + 1) = -\infty\) ។

ជំហានទី \(1\) ៖ ដាក់តួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេជាកត្តារួម \(x^2 - x + 1 = x^2\left(1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ រកលីមីតនៃកន្សោមថ្មី

\[\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty}(x^2 - x + 1) &= \lim_{x \to +\infty}\left[x^2\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)\right]\\ &= \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty \end{aligned}\]
ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x} = 0\), \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x^2} = 0\) ។

ជាទូទៅ

  • បើលីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធាមានរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) នៅត្រង់អនន្ត នោះគេត្រូវ ៖ ជំហានទី \(1\) ៖ ដាក់តួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេជាកត្តារួម ។ ជំហានទី \(2\) ៖ គណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី ។

  • លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធានៅត្រង់អនន្ត គឺជាលីមីតនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេ ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖ ក. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}(x^2 - 2x + 3)\) ខ. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(2x^3 + x^2 - 3x + 1)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(+\infty\) ខ. \(-\infty\) ។

លីមីតមានរាងមិនកំណត់ \(\frac{\infty}{\infty}\)
ឧទាហរណ៍

គណនា \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2x + 1}{x - 2}\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{2x + 1}{x - 2}\) ។

បើ \(x\) ខិតជិត \(+\infty\) នោះ \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2x + 1}{x - 2}\) មានរាងមិនកំណត់ \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ។

ជំហានទី \(1\) ៖ ដាក់តួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៃភាគយក និងភាគបែងជាកត្តារួម ហើយសម្រួលកត្តារួមចោល

\[\begin{gathered} \frac{2x + 1}{x - 2} = \frac{x\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{2}{x}\right)} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}},\\ x \ne 0 \end{gathered}\]
ជំហានទី \(2\) ៖ រកលីមីតនៃប្រភាគថ្មី \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2x + 1}{x - 2} = \lim_{x \to +\infty}\frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\) ។

តាមរបៀបដូចគ្នា គេបាន \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{2x + 1}{x - 2} = 2\) ។

ជាទូទៅ

  • បើលីមីតនៃអនុគមន៍សនិទានមានរាងមិនកំណត់ \(\dfrac{\infty}{\infty}\) នៅត្រង់អនន្ត នោះគេត្រូវ ៖ ជំហានទី \(1\) ៖ ដាក់តួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៃភាគយក និងភាគបែងជាកត្តារួម ហើយសម្រួលចោល ។ ជំហានទី \(2\) ៖ គណនាលីមីតនៃប្រភាគថ្មី ។

  • លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាននៅត្រង់អនន្ត គឺជាផលធៀបរវាងលីមីតនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៅភាគយកនិងលីមីតនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៅភាគបែង ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាលីមីត

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4 - x}{2x - 1}\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{2x - 1}{x^2 + 2}\)

  3. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2 - 2}{x - 1}\)

  4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{5 - 2x}{x^2 + 3}\)

មើលចម្លើយ

ក. \(-\dfrac{1}{2}\) ខ. \(0\) គ. \(-\infty\) ឃ. \(0\) ។

ដេរីវេ

អត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យម

ឧទាហរណ៍

ក្នុងទម្លាក់សេរីនៃវត្ថុមួយ គេបានចម្ងាយចរ \(S(t) = 4.9t^2\) ម៉ែត្រ បន្ទាប់ពី \(t\) វិនាទីក្រោយមក ។ ល្បឿនមធ្យមនៃទម្លាក់នោះ ក្នុងចន្លោះខណៈ \(t_1 = 1\,s\) និង \(t_2 = 3\,s\) កំណត់ដោយផលធៀប \(\dfrac{\Delta S}{\Delta t}\) ដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{aligned} \frac{\Delta S}{\Delta t} &= \frac{S(3) - S(1)}{3 - 1} = \frac{4.9\times 3^2 - 4.9\times 1^2}{2}\\ &= 19.6 \ (m/s) \end{aligned}\]

ល្បឿនមធ្យម \(\dfrac{\Delta S}{\Delta t}\) ហៅថាអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃចម្ងាយចរ \(S(t)\) ពីខណៈ \(t_1\) ទៅខណៈ \(t_2\) ។

ជាទូទៅ

បើអថេរ \(x\) ប្រែប្រួលពី \(a\) ទៅ \(b\) ហើយអនុគមន៍ \(y = f(x)\) ប្រែប្រួលពី \(f(a)\) ទៅ \(f(b)\) នោះផលធៀប \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\) ហៅថាអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃ \(y = f(x)\) កាលណា \(x\) ប្រែប្រួលពី \(a\) ទៅ \(b\) ។

លំហាត់គំរូ

រកអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃប្រាក់ចំណូល \(R(x) = x^2 + 5x\) គិតជាពាន់រៀលនៃការលក់ស្រូវ \(x\) តោន កាលណា \(x\) ប្រែប្រួលពី \(10\) តោនទៅ \(13\) តោន ។

ដំណោះស្រាយ

គេបានអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃប្រាក់ចំណូល

\[\begin{aligned} \frac{\Delta R}{\Delta x} &= \frac{R(13) - R(10)}{13 - 10}\\ &= \frac{(13^2 + 5\times 13) - (10^2 + 5\times 10)}{3}\\ &= \frac{84}{3} = 28 \text{ ពាន់រៀលក្នុង } 1 \text{ តោន ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

  1. ក្នុងការឃោសនាពាណិជ្ជកម្ម \(x\) ថ្ងៃ គេលក់ដាច់ទស្សនាវដ្ដីបានចំនួន \(S(x) = x^2 + 20x + 200\) ក្បាល ។ រកអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃ \(S(x)\) ក្នុងរយៈពេលពី \(x = 5\) ទៅ \(x = 10\) ថ្ងៃ ។

  2. រកអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 1\) កាលណា \(x\) ប្រែប្រួលពី \(a\) ទៅ \(a + h\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(35\) ខ. \(3a^2 + 3ah + h^2\) ។

ដេរីវេត្រង់ចំណុចមួយ

ឧទាហរណ៍

គេប៉ាន់ស្មានថាក្នុង \(x\) ឆ្នាំទៀតប្រជាជននៅក្នុងតំបន់មួយនឹងមានចំនួន \(P(x) = x^2 + 20x + 80000\) នាក់ ។

បើ \(x\) បម្រែបម្រួលពី \(x_1 = 1\) ឆ្នាំ ទៅ \(x_2 = a\) ឆ្នាំ នោះគេបានអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យម

\[\begin{aligned} \frac{\Delta P}{\Delta x} &= \frac{P(a) - P(1)}{a - 1}\\ &= \frac{(a^2 + 20a + 80000) - (1^2 + 20\times 1 + 80000)}{a - 1}\\ &= \frac{(a - 1)(a + 1) + 20(a - 1)}{a - 1} = a + 21 \end{aligned}\]
បើចន្លោះឆ្នាំ \(\Delta x\) កាន់តែតូច \((\Delta x \to 0)\) នោះអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យម \(\dfrac{\Delta P}{\Delta x}\) ខិតជិតតម្លៃមួយដែលហៅថាអត្រាបម្រែបម្រួលខណៈ ហើយកំណត់ដោយ
\[\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta P}{\Delta x} &= \lim_{a \to 1}\frac{P(a) - P(1)}{a - 1}\\ &= \lim_{a \to 1}(a + 21) = 22 \end{aligned}\]
អត្រាបម្រែបម្រួលខណៈ \(\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta P}{\Delta x} = 22\) ហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(P(x)\) ត្រង់ \(x = 1\) ហើយកំណត់សរសេរ \(P'(1) = 22\) ។

ជាទូទៅ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(y = f(x)\) នៅត្រង់ \(x = a\) កំណត់ដោយ

\[\begin{gathered} f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \quad{} \text{ឬ}\\ f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \end{gathered}\]
ដែល \(x = a + h\) ឬ \(h = x - a\) ។

លំហាត់គំរូ

រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = x^3\) នៅត្រង់ \(x = 1\) ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ រក \(f(1) = 1^3 = 1\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ រក \(\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \dfrac{(1 + h)^3 - 1^3}{h} = \dfrac{(1 + h - 1)[(1 + h)^2 + (1 + h) + 1]}{h} = (1 + h)^2 + h + 2\) ។

ជំហានទី \(3\) ៖ រក \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0}[(1 + h)^2 + h + 2] = (1 + 0)^2 + 0 + 2 = 3\) ។ ដូច្នេះ \(f'(1) = 3\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(f(x) = -x^2 + 4x\) នៅត្រង់ \(x = -1\)

  2. \(g(x) = x^2 - 4x + 5\) នៅត្រង់ \(x = 2\)

  3. \(y = x^3 - 2\) នៅត្រង់ \(x = 0\)

មើលចម្លើយ

ក. \(6\) ខ. \(0\) គ. \(0\) ។

ដេរីវេ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^3\) ។

គេបាន \(f(a + h) - f(a) = (a + h)^3 - a^3 = (a + h - a)[(a + h)^2 + (a + h)a + a^2] = h[(a + h)^2 + a(a + h) + a^2]\)

\[\begin{aligned} \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} &\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{h[(a + h)^2 + a(a + h) + a^2]}{h} \end{aligned}\]
\[f'(a) = \lim_{h \to 0}[(a + h)^2 + a(a + h) + a^2] = 3a^2\]
ដោយ \(f'(a) = 3a^2\) ចំពោះចំនួនពិត \(a\) ណាមួយ នោះគេអាចជំនួស \(a\) ដោយចំនួនពិត \(x\) ហើយកំណត់សរសេរ \(f'(x) = 3x^2\) ។ \(f'(x) = 3x^2\) ជាអនុគមន៍ថ្មីមួយទៀត ហើយហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = x^3\) ។

និយមន័យ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x)\) គឺជាអនុគមន៍ដែលកំណត់ដោយ \(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\) ។ គេអាចប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(y'\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}f(x)\) សម្រាប់តាងដេរីវេនៃ \(y = f(x)\) ។

លំហាត់គំរូ

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^2 + 3x\) ។ ក. រកដេរីវេនៃ \(f'(x)\) ខ. រក \(f'(0)\) និង \(f'(-1)\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. ជំហានទី \(1\) ៖ \(f(x + h) - f(x) = [(x + h)^2 + 3(x + h)] - (x^2 + 3x) = 2xh + 3h + h^2\) ។

    ជំហានទី \(2\) ៖ \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + 3h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x + 3 + h) = 2x + 3\) ។ ដូច្នេះ \(f'(x) = 2x + 3\) ។

  2. \(f'(0) = 2\times 0 + 3 = 3\),  \(f'(-1) = 2(-1) + 3 = 1\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x) = 3x^2\) ហើយទាញរក \(f'(1)\) និង \(f'(-2)\) ។

  2. រកដេរីវេនៃ \(g(x) = 2x^3 - 1\) ហើយទាញរកដេរីវេត្រង់ \(x = 0\) និង \(x = -1\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(f'(x) = 6x\), \(f'(1) = 6\) និង \(f'(-2) = -12\) ខ. \(g'(x) = 6x^2\), \(g'(0) = 0\) និង \(g'(-1) = 6\) ។

រូបមន្តដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ អនុគមន៍ស្វ័យគុណងាយ និងដេរីវេនៃផលគុណចំនួនថេរនឹងអនុគមន៍

  • ចំពោះអនុគមន៍ថេរ \(f(x) = c\) គេបាន \(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0\) ។ ដូច្នេះ បើ \(f(x) = c\) នោះ \(f'(x) = 0\) ។

  • ចំពោះអនុគមន៍ស្វ័យគុណងាយ \(f(x) = x^n\) ដែល \(n \in \mathbb{N}\) គេបាន \(f(x + h) - f(x) = (x + h)^n - x^n\) ។ តាង \(u = x + h\) ហើយ \(h = u - x\) ។ បើ \(h \to 0\) នោះ \(u \to x\) ។ គេបាន

    \[\begin{aligned} f(x + h) - f(x) &= u^n - x^n\\ &= (u - x)(u^{n-1} + u^{n-2}x + \dots + x^{n-1})\\ &= h(u^{n-1} + u^{n-2}x + \dots + x^{n-1}) \end{aligned}\]
    \[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ &= \lim_{u \to x}(u^{n-1} + u^{n-2}x + \dots + x^{n-1})\\ &= \underbrace{x^{n-1} + x^{n-1} + \dots + x^{n-1}}_{n \text{ តួ}} = nx^{n-1} \end{aligned}\]
    ដូច្នេះ បើ \(f(x) = x^n\) នោះ \(f'(x) = nx^{n-1}\) ។

  • ចំពោះអនុគមន៍ផលគុណចំនួនថេរនឹងអនុគមន៍ \(y = kf(x)\), \(k \in \mathbb{R}\) គេបាន

    \[\begin{aligned} y' &= \lim_{h \to 0}\frac{kf(x + h) - kf(x)}{h}\\ &= k\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = kf'(x) \end{aligned}\]
    ដូច្នេះ បើ \(y = kf(x)\) នោះ \(y' = kf'(x)\) ។

លំហាត់គំរូ

គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ ក. \(y = 8\) ខ. \(y = x^3\) គ. \(y = -2x^4\) ។

ដំណោះស្រាយ

ក. \(y = 8\) នោះ \(y' = (8)' = 0\) ខ. \(y = x^3\) នោះ \(y' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2\) គ. \(y = -2x^4\) នោះ \(y' = (-2x^4)' = (-2)(4)x^{4-1} = -8x^3\) ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ ក. \(y = -\dfrac{2007}{2008}\) ខ. \(y = -x^2\) គ. \(y = \dfrac{3}{5}x^5\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(0\) ខ. \(-2x\) គ. \(3x^4\) ។

ដេរីវេផលបូកនិងផលដកអនុគមន៍

  • ចំពោះផលបូកនៃអនុគមន៍ \(y = f(x) + g(x)\) ។ គេតាង \(F(x) = f(x) + g(x)\) ។ គេបាន

    \[\begin{aligned} F(x + h) - F(x) &= [f(x + h) + g(x + h)]\\ &\quad{} - [f(x) + g(x)]\\ &= [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)] \end{aligned}\]
    \[\begin{aligned} y' &= \lim_{h \to 0}\frac{F(x + h) - F(x)}{h}\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ &\quad{} + \lim_{h \to 0}\frac{g(x + h) - g(x)}{h}\\ &= f'(x) + g'(x) \end{aligned}\]
    ដូច្នេះ បើ \(y = f(x) + g(x)\) នោះ \(y' = f'(x) + g'(x)\) ។

  • ចំពោះផលដកនៃអនុគមន៍ \(y = f(x) - g(x)\) ។ គេបាន \(y = f(x) + (-1)g(x)\) នោះ \(y' = f'(x) + [(-1)g(x)]' = f'(x) + (-1)g'(x) = f'(x) - g'(x)\) ។ ដូច្នេះ បើ \(y = f(x) - g(x)\) នោះ \(y' = f'(x) - g'(x)\) ។

លំហាត់គំរូ

គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍

  1. \(y = x^2 + 4x\) ហើយទាញរក \(y'(0)\) និង \(y'(-2)\)

  2. \(y = x^3 - 3x^2\) ហើយទាញរកដេរីវេត្រង់ \(x = 1\) និង \(x = -1\)

  3. \(y = x^4 - 2x^2 + 3x - 2\) ហើយទាញរក \(y'(0)\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(y' = (x^2)' + (4x)' = 2x + 4\),  \(y'(0) = 2\times 0 + 4 = 4\),  \(y'(-2) = 2(-2) + 4 = 0\) ។

  2. \(y' = (x^3)' - (3x^2)' = 3x^2 - 6x\),  \(y'(1) = 3\times 1^2 - 6\times 1 = -3\),  \(y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 9\) ។

  3. \(y' = (x^4)' - (2x^2)' + (3x)' - (2)' = 4x^3 - 4x + 3\),  \(y'(0) = 4\times 0^3 - 4\times 0 + 3 = 3\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. គណនា \(f'(x)\) និង \(f'(1)\) នៃអនុគមន៍ \(y = f(x) = \dfrac{x^4}{2} + 2x\) ។

  2. គណនា \(y'\), \(y'(0)\) និង \(y'(1)\) នៃ \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2\) ។

  3. គណនា \(\dfrac{dy}{dx}\) និង \(\dfrac{dy}{dx}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) នៃ \(y = x^5 - x^4 + 4x^2 - 3x + 2\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(f'(x) = 2x^3 + 2\), \(f'(1) = 4\) ខ. \(y' = x^2 - 2x\), \(y'(0) = 0\) និង \(y'(1) = -1\) គ. \(\dfrac{dy}{dx} = 5x^4 - 4x^3 + 8x - 3\), \(\dfrac{dy}{dx}\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{13}{16}\) ។

ដេរីវេនៃផលគុណនិងផលចែកនៃអនុគមន៍

  • ចំពោះផលគុណនៃអនុគមន៍ \(y = f(x)\times g(x)\) ។ គេតាង \(F(x) = f(x)\times g(x)\) ។ គេបាន

    \[\begin{aligned} F(x + h) - F(x) &= f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)\\ &= f(x + h)g(x + h) - g(x + h)f(x)\\ &\quad{} + g(x + h)f(x) - f(x)g(x)\\ &= [f(x + h) - f(x)]g(x + h)\\ &\quad{} + f(x)[g(x + h) - g(x)] \end{aligned}\]
    \[\begin{aligned} y' = F'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\times g(x + h)\\ &\quad{} + \lim_{h \to 0} f(x)\times\frac{g(x + h) - g(x)}{h}\\ &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{aligned}\]
    ដូច្នេះ បើ \(y = f(x)\times g(x)\) នោះ \(y' = f'(x)\times g(x) + f(x)\times g'(x)\) ។

លំហាត់គំរូ

  1. គណនាដេរីវេ \(y'\) និង \(y'(-1)\) នៃអនុគមន៍ \(y = x(x - 1)\) ។

  2. គណនាដេរីវេ \(y'\) និង \(y'(0)\) នៃអនុគមន៍ \(y = (x^2 - 2)(3x^2 + x)\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(y' = (x)'(x - 1) + x(x - 1)' = (1)(x - 1) + x(1) = 2x - 1\),  \(y'(-1) = 2(-1) - 1 = -3\) ។

  2. \[\begin{aligned} y' &= (x^2 - 2)'(3x^2 + x) + (x^2 - 2)(3x^2 + x)'\\ &= 2x(3x^2 + x) + (x^2 - 2)(6x + 1)\\ &= 6x^3 + 2x^2 + 6x^3 + x^2 - 12x - 2\\ &= 12x^3 + 3x^2 - 12x - 2 \end{aligned}\]

    \(y'(0) = 12\times 0^3 + 3\times 0^2 - 12\times 0 - 2 = -2\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. គណនា \(y'\) និង \(y'\left(\dfrac{1}{3}\right)\) នៃអនុគមន៍ \(y = 2x(x^2 + 1)\) ។

  2. គណនា \(y'\) និង \(y'(1)\) នៃអនុគមន៍ \(y = (x^2 - x + 1)(x^3 - 1)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(y' = 6x^2 + 2\), \(y'\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{8}{3}\) ខ. \(y' = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1\) និង \(y'(1) = 3\) ។

  • ចំពោះផលចែកនៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{f(x)}{g(x)}\) ។ គេតាង \(F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\) គេបាន

    \[\begin{aligned} F(x + h) - F(x) &= \frac{f(x + h)}{g(x + h)} - \frac{f(x)}{g(x)}\\ &= \frac{f(x + h)g(x) - f(x)g(x + h)}{g(x + h)g(x)}\\ &= \frac{[f(x + h) - f(x)]g(x) - [g(x + h) - g(x)]f(x)}{g(x + h)g(x)} \end{aligned}\]
    ចែកអង្គទាំងពីរនឹង \(h\) រួចយកលីមីតកាលណា \(h \to 0\) (ដោយ \(g(x + h) \to g(x)\)) គេបាន
    \[\begin{aligned} y' &= \lim_{h \to 0}\frac{F(x + h) - F(x)}{h}\\ &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{aligned}\]
    ដូច្នេះ បើ \(y = \dfrac{f(x)}{g(x)}\) នោះ \(y' = \dfrac{f'(x)\times g(x) - f(x)\times g'(x)}{g(x)^2}\) បើ \(g(x) \ne 0\) ។

លំហាត់គំរូ

គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = \dfrac{1}{x}\) ហើយទាញរក \(y'(-4)\)

  2. \(y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\) ហើយទាញរក \(y'(1)\)

  3. \(y = \dfrac{(1 - x)(2x + 1)}{3x - 2}\) ហើយទាញរក \(y'(0)\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(y' = \dfrac{(1)'x - (1)(x)'}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}\),  \(y'(-4) = -\dfrac{1}{(-4)^2} = -\dfrac{1}{16}\) ។

  2. \[\begin{aligned} y' &= \frac{(x^2 + 1)'(x - 3) - (x^2 + 1)(x - 3)'}{(x - 3)^2}\\ &= \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2} \end{aligned}\]

    \(y'(1) = \dfrac{1^2 - 6\times 1 - 1}{(1 - 3)^2} = -\dfrac{6}{4} = -\dfrac{3}{2}\) ។

  3. យើងសម្រួលអនុគមន៍ \(y\) រួចទើបរកដេរីវេ ៖ \(y = \dfrac{(1 - x)(2x + 1)}{3x - 2} = \dfrac{-2x^2 + x + 1}{3x - 2}\)

    \[\begin{aligned} y' &= \frac{(-4x + 1)(3x - 2) - 3(-2x^2 + x + 1)}{(3x - 2)^2}\\ &= \frac{-12x^2 + 11x - 2 + 6x^2 - 3x - 3}{(3x - 2)^2} = \frac{-6x^2 + 8x - 5}{(3x - 2)^2} \end{aligned}\]
    \(y'(0) = \dfrac{-6\cdot 0^2 + 8\cdot 0 - 5}{(3\cdot 0 - 2)^2} = -\dfrac{5}{4}\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. គណនាដេរីវេ \(y'\) និង \(y'(-1)\) នៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{x}{x - 1}\) ។

  2. គណនាដេរីវេ \(y'\) និង \(y'(1)\) នៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{x + 1}{x^2}\) ។

  3. គណនាដេរីវេ \(y'\) និង \(y'(0)\) នៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{(x + 1)(2 - x)}{2x - 1}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(y' = -\dfrac{1}{(x - 1)^2}\), \(y'(-1) = -\dfrac{1}{4}\) ខ. \(y' = \dfrac{-x - 2}{x^3}\), \(y'(1) = -3\) គ. \(y' = \dfrac{-2x^2 + 2x - 5}{(2x - 1)^2}\), \(y'(0) = -5\) ។

ដេរីវេទី 2

ឧទាហរណ៍

អនុគមន៍ \(f(x) = 6x^3 - x^2 + 3x - 4\) មានដេរីវេ \(f'(x) = 18x^2 - 2x + 3\) ។ អនុគមន៍ \(f'(x)\) មានដេរីវេ \([f'(x)]'\) ។ អនុគមន៍ \([f'(x)]' = (18x^2 - 2x + 3)' = 36x - 2\) ហៅថាដេរីវេទី \(2\) នៃ \(f(x)\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(f''(x) = 36x - 2\) ។

ជាទូទៅ

បើអនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានដេរីវេទី \(1\) តាងដោយ \(f'(x)\) ហើយ \(f'(x)\) មានដេរីវេម្ដងទៀត នោះដេរីវេនៃ \(f'(x)\) នេះ ហៅថាដេរីវេទី \(2\) នៃអនុគមន៍ \(f(x)\) ដែលតាងដោយ \(f''(x)\) ឬ \(y''\) ឬ \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) ។

លំហាត់គំរូ

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 3\) ។ ក. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f'(x) = 0\) ខ. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f''(x) = 0\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. គេមាន \(f'(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)\) ។ \(f'(x) = 12x(x - 2) = 0\) លុះត្រាតែ \(12x = 0\) ឬ \(x - 2 = 0\) ។ ដូច្នេះ តម្លៃ \(x = 0\) ឬ \(x = 2\) ។

  2. \(f'(x) = 12x^2 - 24x\) នោះ \(f''(x) = 24x - 24\) ។ \(f''(x) = 24x - 24 = 0\) នោះ \(x = 1\) ។ ដូច្នេះ តម្លៃ \(x = 1\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = -x^3 + 3x^2 - 2x + 2\) ។ ក. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(y' = 1\) ខ. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(y'' = 0\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(x = 1\) ខ. \(x = 1\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១–២១។
ទំព័រ ១
ទំព័រ ១
ទំព័រ ២
ទំព័រ ២
ទំព័រ ៣
ទំព័រ ៣
ទំព័រ ៤
ទំព័រ ៤
ទំព័រ ៥
ទំព័រ ៥
ទំព័រ ៦
ទំព័រ ៦
ទំព័រ ៧
ទំព័រ ៧
ទំព័រ ៨
ទំព័រ ៨
ទំព័រ ៩
ទំព័រ ៩
ទំព័រ ១០
ទំព័រ ១០
ទំព័រ ១១
ទំព័រ ១១
ទំព័រ ១២
ទំព័រ ១២
ទំព័រ ១៣
ទំព័រ ១៣
ទំព័រ ១៤
ទំព័រ ១៤
ទំព័រ ១៥
ទំព័រ ១៥
ទំព័រ ១៦
ទំព័រ ១៦
ទំព័រ ១៧
ទំព័រ ១៧
ទំព័រ ១៨
ទំព័រ ១៨
ទំព័រ ១៩
ទំព័រ ១៩
ទំព័រ ២០
ទំព័រ ២០
ទំព័រ ២១
ទំព័រ ២១

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x}{x^2 + 1}\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)

  3. \(\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^2 - 1}{x + 1}\)

  4. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^3 - 27}{x - 3}\)

  5. \(\displaystyle\lim_{x \to -4}\frac{x^3 + 64}{x + 4}\)

  6. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{4}}{x - 2}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\dfrac{3}{10}\) ខ. \(4\) គ. \(-2\) ឃ. \(27\) ង. \(48\) ច. \(-\dfrac{1}{4}\) ។

២លំហាត់ទី ២

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^3 - x}\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\left[\frac{3}{x - 3} - \frac{x}{x - 3}\right]\)

  3. \(\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 3}\)

  4. \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{2x^2 - x}{2x^2 - 3x + 1}\)

  5. \(\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^6 + 3x + 2}{x^4 - 2x - 3}\)

  6. \(\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{x^n - a^n}{x - a}\) \((n \ge 1, n \in \mathbb{N})\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(0\) ខ. \(-1\) គ. \(-\dfrac{1}{4}\) ឃ. \(-1\) ង. \(\dfrac{1}{2}\) ច. \(na^{n-1}\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

  1. គេឱ្យ \(f(x) = x^2\) ។ ចូររក \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}\) ។

  2. \(f\) ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ \(f(x) = 3x^2 + x\) ។ រក \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}\) ។

  3. \(f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 3x & \text{បើ } x \ne 1\\ 5 & \text{បើ } x = 1 \end{cases}\) ។ រក \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\) និង \(f(1)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(2\) ខ. \(13\) គ. \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 5\) និង \(f(1) = 5\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

  1. រកចំនួនពិត \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យ \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 5\) ។

  2. រកចំនួនពិត \(p\) និង \(q\) ដើម្បីឱ្យ \(\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 + px - 6}{2x^2 + 3x - 2} = q\) ។

  3. រកចំនួនពិត \(m\) និង \(n\) ដើម្បីឱ្យ \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2 + mx + 8}{x^2 - (n + 2)x + 2n} = \frac{1}{5}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(a = 3\), \(b = -4\) ខ. \(p = -1\), \(q = 1\) គ. \(m = -6\), \(n = 12\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

  1. អនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{បើ } x < 1\\ 2x & \text{បើ } x \ge 1 \end{cases}\) ។ រក \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\) ។

  2. អនុគមន៍ \(g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{បើ } x \le 0\\ 2x & \text{បើ } x > 0 \end{cases}\) ។ រក \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} g(x)\), \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(2\), \(2\) និង \(2\) ខ. \(0\), \(0\) និង \(0\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x^2 - 3x + 1)\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(1 + 3x^2 + x^3)\)

  3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{3x - 2}{2x + 3}\)

  4. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{4 - x}{x + 2}\)

  5. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{-2}{3x + 4}\)

  6. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\)

  7. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{2 - x^2}{1 - x}\)

  8. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-x^2 + x + 1}{2x + 1}\)

  9. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{x - 3}{x^2 + 1}\)

  10. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{1 - 2x}{x^2 + x + 1}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(+\infty\) ខ. \(-\infty\) គ. \(\dfrac{3}{2}\) ឃ. \(-1\) ង. \(0\) ច. \(1\) ឆ. \(-\infty\) ជ. \(-\infty\) ឈ. \(0\) ញ. \(0\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = (2x + 1)(4x - 3)\)

  2. \(y = (3x^2 - 1)(4x + 1)\)

  3. \(f(x) = \dfrac{x}{x - 4}\)

  4. \(f(t) = (t^2 - 3)(-t^2 + t + 1)\)

  5. \(f(x) = \dfrac{3x + 4}{2x - 1}\)

  6. \(f(x) = \dfrac{(1 - x)(x^2 + 2)}{x^2 - 3}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(y' = 16x - 2\) ខ. \(y' = 36x^2 + 6x - 4\) គ. \(f'(x) = -\dfrac{4}{(x - 4)^2}\) ឃ. \(f'(t) = -4t^3 + 3t^2 + 8t - 3\) ង. \(f'(x) = -\dfrac{11}{(2x - 1)^2}\) ច. \(f'(x) = \dfrac{-x^4 + 11x^2 - 10x + 6}{(x^2 - 3)^2}\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

  1. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = 10 + \dfrac{40}{x}\) ។ រកអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃ \(f\) កាលណា \(x\) ប្រែប្រួលពី \(1\) ទៅ \(10\) ។

  2. តម្លៃ \(v\) នៃរថយន្តមួយ បន្ទាប់ពី \(t\) ឆ្នាំក្រោយមកកំណត់ដោយ \(v(t) = \dfrac{10000}{t} + 6000\) ។ រកអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃតម្លៃរថយន្ត កាលណា \(t\) ប្រែប្រួលពី \(2\) ឆ្នាំ ទៅ \(5\) ឆ្នាំ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(-4\) ខ. \(-1000\) (ក្នុងមួយឆ្នាំ) ។

៩លំហាត់ទី ៩

អនុគមន៍ \(f\) កំណត់ដោយ \(f(x) = -4x^3 + x^2 + 14x - 1\) ។

  1. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f'(x) = 0\) ហើយសិក្សាសញ្ញានៃ \(f'(x)\) ។

  2. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(f''(x) = 0\) ហើយសិក្សាសញ្ញានៃ \(f''(x)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(f'(x) = -12x^2 + 2x + 14 = -2(x + 1)(6x - 7) = 0\) នាំឱ្យ \(x = -1\) ឬ \(x = \dfrac{7}{6}\) ។ \(f'(x) > 0\) ពេល \(-1 < x < \dfrac{7}{6}\) និង \(f'(x) < 0\) ពេល \(x < -1\) ឬ \(x > \dfrac{7}{6}\) ។

ខ. \(f''(x) = -24x + 2 = 0\) នាំឱ្យ \(x = \dfrac{1}{12}\) ។ \(f''(x) > 0\) ពេល \(x < \dfrac{1}{12}\) និង \(f''(x) < 0\) ពេល \(x > \dfrac{1}{12}\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

អនុគមន៍ប៊ីការេ \(g(x) = 3x^4 - 2x^2 + 4\) ។

  1. រកដេរីវេទី \(1\) និងទី \(2\) នៃអនុគមន៍ \(g\) ។

  2. សិក្សាសញ្ញានៃដេរីវេទី \(1\) និងសញ្ញានៃដេរីវេទី \(2\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(g'(x) = 12x^3 - 4x\),  \(g''(x) = 36x^2 - 4\) ។

ខ. \(g'(x) = 4x(3x^2 - 1)\) ៖ \(g'(x) < 0\) ពេល \(x < -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) ឬ \(0 < x < \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) ហើយ \(g'(x) > 0\) ពេល \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}} < x < 0\) ឬ \(x > \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) ។  \(g''(x) = 4(3x - 1)(3x + 1)\) ៖ \(g''(x) < 0\) ពេល \(-\dfrac{1}{3} < x < \dfrac{1}{3}\) ហើយ \(g''(x) > 0\) ពេល \(x < -\dfrac{1}{3}\) ឬ \(x > \dfrac{1}{3}\) ។

១១លំហាត់ទី ១១

គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{4x - 1}{\sqrt{x^2 + 2}}\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{7x - 4}{\sqrt{x^3 + 5}}\)

  3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{3x^3 + 2}{\sqrt[3]{x^3} - 2}\)

  4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2 + 5}}{3x^2 - 2}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(-4\) ខ. \(0\) គ. \(+\infty\) ឃ. \(0\) ។

១២លំហាត់ទី ១២

គណនា \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{|x|}{x}\), \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{|x|}{x}\), \(\displaystyle\lim_{x \to 4^+}\frac{3}{x - 4}\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 4^-}\frac{3}{x - 4}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(1\),  \(-1\),  \(+\infty\) និង \(-\infty\) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

គណនា \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+}\frac{1}{x^2 - 7x + 12}\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-}\frac{1}{x^2 - 7x + 12}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោយ \(x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)\) គេបាន \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+}\frac{1}{x^2 - 7x + 12} = -\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-}\frac{1}{x^2 - 7x + 12} = +\infty\) ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

រក \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)\) សម្រាប់អនុគមន៍ \(f\) ដែលតាងដោយរូបខាងក្រោម ៖

មើលដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៧ លីមីតនិងដេរីវេ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត