KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ១៦
១៦
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ៤ ម៉ាទ្រីស ដេទែរមីណង់ និងបម្លែងលីនេអ៊ែរ · មេរៀនទី ១៦ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ១៨៨–២១៧
វត្ថុបំណង

  1. បកស្រាយបំប្លែងលីនេអ៊ែរជាម៉ាទ្រីស

  2. កំណត់រូបភាពតាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ

  3. កំណត់រូបភាពតាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរបណ្ដាក់

  4. កំណត់រូបភាពតាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរបណ្ដាក់ក្នុងត្រីកោណមាត្រ ។

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ

សញ្ញាណ

យើងធ្លាប់បានរៀនរួចមកហើយនូវបំប្លែងចំណុចមួយចំនួននៅក្នុងប្លង់ ។

ឧទាហរណ៍

បើគេបំប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅជា \(M'(x', y')\) តាមការបំប្លែង \(H\) ដែលមានផ្ចិត \(O\) និងផលធៀប \(4\) នោះគេបានសមីការ \(\begin{cases} x' = 4x\\ y' = 4y \end{cases}\) ។

សមីការនៃការបំប្លែងចាំងដែលសរសេរបែបនេះ ហៅថាសមីការដឺក្រេទី \(1\) ឬហៅថា សមីការលីនេអ៊ែរ ។ ក្នុងករណីនេះ គេថាបំប្លែងចាំងជាបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ។

ជាទូទៅ

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលបំប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) កំណត់ដោយសមីការ \(x' = ax + cy\),  \(y' = bx + dy\) ។

ដើម្បីងាយស្រួលសិក្សាទៅមុខ គេអាចបកស្រាយបំប្លែងលីនេអ៊ែរឱ្យមានទម្រង់ជាម៉ាទ្រីស

\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]
ក្នុងករណីនេះគេថា \(A = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) ជាម៉ាទ្រីសនៃបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ។ ចំណុច \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\) ជារូបភាពនៃ \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) តាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ \(A\) ។ គេអាចគណនា \(x', y'\) បានដោយគេគុណម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) និង \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) រួចផ្ទឹមតួម៉ាទ្រីសនៃអង្គទី \(1\) និងតួម៉ាទ្រីសនៃអង្គទី \(2\) ។

សម្គាល់

ដើម្បីសម្រួលក្នុងសំណេរ គេអាចប្រើអក្សរ \(A\) ដដែលនេះសម្រាប់សម្គាល់ថាជាម៉ាទ្រីសផង និងជាបំប្លែងលីនេអ៊ែរផង ។

ឧទាហរណ៍ ១

រូបភាពនៃចំណុច \(\left(2, \dfrac{1}{2}\right)\) តាមការបំប្លែង \(A = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 1\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) គឺ

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 1\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\times 2 + 1\times\frac{1}{2}\\[3pt] 4\times 2 + 3\times\frac{1}{2} \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\[3pt] \frac{19}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}\]
ដូច្នេះ រូបភាពនៃ \(\left(2, \dfrac{1}{2}\right)\) គឺ \(\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{19}{2}\right)\) ។

ចំពោះបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមានម៉ាទ្រីស \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) រូបភាពវាគឺ

\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + 0\\ 0 + y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]
គេសង្កេតឃើញថា រូបភាពនៃ \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\) ត្រួតលើភាពដើម \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។ គេថា \(I\) ជាបំប្លែងលីនេអ៊ែរដដែល ។ មានន័យថាចំណុចដែលប្លែងដោយ \(I\) នៅតែជាចំណុចនោះដដែល ។

ឧទាហរណ៍ ២

រូបភាពនៃចំណុច \(\left(-\dfrac{1}{2}, 3\right)\) តាម \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) គឺ

\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\ 3 \end{bmatrix}\]
ដូច្នេះ \(x' = -\dfrac{1}{2}\), \(y' = 3\) ។

លំហាត់គំរូ ១

បង្ហាញថា បើម៉ាទ្រីស \(A\) បំប្លែងគ្រប់ចំណុច \(M\) នៅតែជាចំណុច \(M\) ដដែល នោះម៉ាទ្រីស \(A = I\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(A = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) ជាម៉ាទ្រីសដែលបំប្លែង \(M(x, y)\) ទៅ \(M(x, y)\) ដដែល ។ យើងបាន

\[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \quad{}\text{ឬ}\quad{} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + cy\\ bx + dy \end{bmatrix}\]
យើងបាន \(\begin{cases} x = ax + cy\\ y = bx + dy \end{cases}\) ចំពោះគ្រប់ \(x, y\) \(\Rightarrow \begin{cases} a = 1, \ c = 0\\ b = 0, \ d = 1 \end{cases}\) ។ ដូច្នេះ \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I\) ។

លំហាត់គំរូ ២

កំណត់ម៉ាទ្រីស \(A\) ដែលបំប្លែងពីចំណុច \((1, 2)\) ទៅចំណុច \((8, 1)\) និងបំប្លែងពីចំណុច \((-1, 1)\) ទៅ \((1, 2)\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(A = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) ជាម៉ាទ្រីសបំប្លែងពីចំណុច \((1, 2)\) ទៅចំណុច \((8, 1)\) នោះយើងបាន

\[\begin{bmatrix} 8\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} a + 2c = 8 & (1)\\ b + 2d = 1 & (2) \end{cases}\]
\[\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} -a + c = 1 & (3)\\ -b + d = 2 & (4) \end{cases}\]
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \((1)\) និង \((3)\) យើងបាន \(a = 2\), \(c = 3\) ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \((2)\) និង \((4)\) យើងបាន \(b = -1\), \(d = 1\) ។

ដូច្នេះ ម៉ាទ្រីសដែលត្រូវរកគឺ \(A = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & 1 \end{bmatrix}\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. គេប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) តាមម៉ាទ្រីស \(A\) ដែល \(x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha\),  \(y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha\) ។ កំណត់ម៉ាទ្រីស \(A\) ។

  2. កំណត់ \(\alpha\) ដើម្បីឱ្យចំណុច \(M'\) ត្រួតលើ \(M\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(A = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\)

  2. \(\alpha = 2k\pi\),  \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ចំណុចឥតប្រែប្រួល

ឧទាហរណ៍

កំណត់រូបភាពនៃចំណុច \(P(3, 2)\) និង \(Q(5, 2)\) ដែលបំប្លែងដោយបំប្លែងលីនេអ៊ែរ \(A = \begin{bmatrix} 3 & -5\\ 2 & -4 \end{bmatrix}\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមបម្រាប់រូបភាពនៃ \(P\) កំណត់ដោយ

\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5\\ 2 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\times 3 - 5\times 2\\ 2\times 3 - 4\times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\ -2 \end{bmatrix}\]
ដូច្នេះ \(P'(-1, -2)\) ។ រូបភាពនៃ \(Q\) កំណត់ដោយ
\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5\\ 2 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\times 5 - 5\times 2\\ 2\times 5 - 4\times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix}\]
ដូច្នេះ \(Q'(5, 2)\) ។

តាមបំប្លែង \(A\) រូបភាពនៃ \(P(3, 2)\) គឺ \(P'(-1, -2)\) ហើយ \(Q(5, 2)\) គឺ \(Q'(5, 2)\) នោះគេសង្កេតឃើញថា ចំណុច \(Q\) មិនផ្លាស់ប្ដូរទីតាំងទៅតាម \(A\) នោះទេ ព្រោះរូបភាពរបស់វា \(Q'\) នៅតែជាចំណុច \(Q\) ដដែល ។ ក្នុងករណីនេះ គេថា \(Q\) ជាចំណុចឥតប្រែប្រួលតាមការបំប្លែង \(A\) ។

ជាទូទៅ

\(Q\) ជាចំណុចឥតប្រែប្រួលតាមការបំប្លែង \(A\) កាលណា \(A(Q) = Q\) ។

  • ចំពោះបំប្លែងចាំង \(H(O, k)\) កំណត់ដោយ \(x' = kx\), \(y' = ky\) ។ គល់ \(O\) គឺជាចំណុចឥតប្រែប្រួល ព្រោះ \(O(0, 0)\) ផ្ដល់រូបភាព \(O(0, 0)\) ដដែល ។

  • ចំពោះបំប្លែងដែលមានម៉ាទ្រីសឯកតា \(I\) គឺ \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) ។ គ្រប់ចំណុចនៃប្លង់ដែលប្លែងតាម \(I\) នៅតែជាចំណុចខ្លួនឯងដដែល ព្រោះ \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

លំហាត់គំរូ ១

គេប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) កំណត់ដោយ \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3\\ -3 \end{bmatrix}\) ។ កំណត់ចំណុចឥតប្រែប្រួល ។

ដំណោះស្រាយ

បើ \(M(x, y)\) ជាចំណុចឥតប្រែប្រួល លុះត្រាតែ \(x' = x\), \(y' = y\)

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3\\ -3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2x - y\\ 3x + 4y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3\\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x - y + 3\\ 3x + 4y - 3 \end{bmatrix} \end{aligned}\]
យើងបានប្រព័ន្ធ \(\begin{cases} 2x - y + 3 = x\\ 3x + 4y - 3 = y \end{cases}\) ឬ \(\begin{cases} x - y = -3\\ 3x + 3y = 3 \end{cases}\) ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងបាន \(x = -1\), \(y = 2\) ។

ដូច្នេះ ចំណុចឥតប្រែប្រួលគឺ \((-1, 2)\) ។

លំហាត់គំរូ ២

បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(y = 2x - 1\) ប្លែងតាមម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 4 & -1 \end{bmatrix}\) បានរូបភាពខ្លួនឯងដដែល ។

ដំណោះស្រាយ

យក \(M(x, y)\) ប្លែងទៅ \(M'(x', y')\) តាមម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 4 & -1 \end{bmatrix}\) នោះយើងបាន \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 4 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

បើ \(M\) ជាចំណុចមួយនៃបន្ទាត់ \(y = 2x - 1\) នោះ \(M\) មានកូអរដោនេ \((a, 2a - 1)\) ។ ដូច្នេះ

\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 4 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ 2a - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3a - 2a + 1\\ 4a - 2a + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a + 1\\ 2a + 1 \end{bmatrix}\]
នោះយើងបាន \(x' = a + 1\), \(y' = 2a + 1\) ។ ដោយបំបាត់ \(a\) យើងបាន \(y' = 2x' - 1\) ដែលជារូបភាពនៃបន្ទាត់ \(y = 2x - 1\) ។ បន្ទាត់ដើម និងរូបភាពវាមានសមីការដូចគ្នាគឺ \(y = 2x - 1\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. គេប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) កំណត់ដោយ ។ កំណត់ចំណុចឥតប្រែប្រួល ។

    1. \(x' = 2y - 3\),  \(y' = x + 1\)

    2. \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3\\ -2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4\\ 2 \end{bmatrix}\)

  2. កំណត់រូបភាពនៃបន្ទាត់ \(y = 2x - 3\) ដែលប្លែងតាមម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & -1 \end{bmatrix}\) ។ តើបន្ទាត់នេះជារូបភាពខ្លួនឯងដដែលឬទេ?

  3. រកចំណុចឥតប្រែប្រួលតាមការបំប្លែង \(\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) ។

  4. រកចំណុចឥតប្រែប្រួលតាមការបំប្លែង \(\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. ក. \((1, 2)\) ខ. \((-1, 2)\)

  2. \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{15}{4}\) (មិនមែនជារូបភាពខ្លួនឯងទេ)

  3. គ្រប់ចំណុចនៃបន្ទាត់ \(y = -x\)

  4. គ្រប់ចំណុចនៃបន្ទាត់ \(y = -x\) ។

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរច្រាស

ឧទាហរណ៍

គេបំប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) តាមការបំប្លែងចាំងដែលមានម៉ាទ្រីស \(H = \begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\) ដែល \(k \ne 0\) ។

គេបាន \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx\\ ky \end{bmatrix}\) នាំឱ្យគេបាន \(\begin{cases} x' = kx\\ y' = ky \end{cases}\) ។ គេថា \(M'\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែង \(H\) ។

ឥឡូវនេះ គេយក \(M\) ជារូបភាពនៃ \(M'\) វិញ ហើយក្នុងករណីនេះគេត្រូវគណនា \(x, y\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x'\) និង \(y'\) ។ គេបាន \(x = \dfrac{1}{k}x'\) និង \(y = \dfrac{1}{k}y'\) បកស្រាយសមីការនេះជាម៉ាទ្រីសគឺ

\[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{k} & 0\\ 0 & \frac{1}{k} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\]
នោះគេថា \(M\) ជារូបភាពនៃ \(M'\) តាមការបំប្លែងចាំង \(H^{-1}\) ។ ដូច្នេះ \(H^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{k} & 0\\ 0 & \frac{1}{k} \end{bmatrix}\) ជាម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \(H = \begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\) ។

ជាទូទៅ

គេប្លែង \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) តាមការបំប្លែង \(A = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) នោះ \(M' = A(M)\) ឬ \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) នាំឱ្យ \(\begin{cases} x' = ax + cy\\ y' = bx + dy \end{cases}\) ។

ដើម្បីកំណត់បំប្លែងច្រាស \(A^{-1}\) ដែលប្លែង \(M'(x', y')\) ទៅ \(M(x, y)\) វិញនោះ គេត្រូវគណនា \((x, y)\) ជាអនុគមន៍នៃ \((x', y')\) ។

\[\begin{cases} ax + cy = x'\\ bx + dy = y' \end{cases} \quad{}\text{ឬ}\quad{} \begin{cases} adx + cdy = dx'\\ -bcx - cdy = -cy' \end{cases}\]
សមមូល \((ad - bc)x = dx' - cy'\) ។ ក្នុងករណី \(ad - bc \ne 0\) នាំឱ្យគេបាន
\[\begin{gathered} x = \frac{1}{ad - bc}(dx' - cy'),\\ y = \frac{1}{ad - bc}(-bx' + ay') \end{gathered}\]
បកស្រាយជាម៉ាទ្រីស គេបាន
\[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -c\\ -b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} \quad{}\text{ឬ}\quad{} M = A^{-1}(M')\]
គេថា \(A^{-1}\) ជាបំប្លែងច្រាសដែលមានម៉ាទ្រីសច្រាស \(A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -c\\ -b & a \end{bmatrix}\) ដែល \(ad - bc \ne 0\) ។

ម៉ាទ្រីសច្រាស

ម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \(A = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) គឺ \(A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -c\\ -b & a \end{bmatrix}\) ដែល \(ad - bc \ne 0\) ។

លំហាត់គំរូ ១

\(L\) ជាបន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(x + 3y - 3 = 0\) ។ រកបំលាស់ទីនៃ \(L\) តាមម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(L'\) ជាបំលាស់ទីនៃ \(L : x + 3y - 3 = 0\) តាមម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) ។ ដើម្បីកំណត់ \(L'\) គេត្រូវរកចំណុច \(A', B'\) ដែលជារូបភាពរៀងគ្នារបស់ចំណុច \(A, B\) នៃបន្ទាត់ \(L\) ហើយបំលាស់ទីនៃ \(L\) គឺជាបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច \(A', B'\) ។

គេយក \(A(0, 1)\) និង \(B(3, 0)\) ជាចំណុចនៃ \(L\) នោះគេបានរូបភាពនៃ \(A\) កំណត់ដោយ \(\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\ 4 \end{bmatrix}\) នាំឱ្យ \(A'(-1, 4)\) ។ រូបភាពនៃ \(B\) គឺ \(\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 6 \end{bmatrix}\) នាំឱ្យ \(B'(3, 6)\) ។

ដូច្នេះ បន្ទាត់ \(L'\) កាត់តាមពីរចំណុច \(A'\) និង \(B'\) កំណត់ដោយសមីការ \(L' : x - 2y + 9 = 0\) ។

ជាទូទៅ

ដើម្បីកំណត់រូបភាពនៃបន្ទាត់ \(L\) គេត្រូវគណនា \(x, y\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x', y'\) រួចយកទៅជំនួសក្នុងសមីការ \(L : x + 3y - 3 = 0\) ។

បើ \(A = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) នោះ \(A^{-1} = \dfrac{1}{6}\begin{bmatrix} 4 & 1\\ -2 & 1 \end{bmatrix}\) ហើយ

\[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = A^{-1}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 4 & 1\\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 4x' + y'\\ -2x' + y' \end{bmatrix}\]
យើងបាន \(x = \dfrac{4x' + y'}{6}\), \(y = \dfrac{-2x' + y'}{6}\) ។ ជំនួសក្នុងសមីការបន្ទាត់ \(L\) ៖
\[\begin{gathered} \frac{4x' + y'}{6} + 3\left(\frac{-2x' + y'}{6}\right) - 3 = 0 \quad{} \text{ឬ}\\ x' - 2y' + 9 = 0 \end{gathered}\]
ដូច្នេះ បន្ទាត់ \(L : x + 3y - 3 = 0\) ផ្លាស់ទីទៅបន្ទាត់ \(L' : x - 2y + 9 = 0\) ។

លំហាត់គំរូ ២

កំណត់រូបភាពនៃរង្វង់ \(C : x^2 + y^2 = 4\) តាម \(A = \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(A = \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\) នោះ \(A^{-1} = \dfrac{1}{9}\begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\) ។

\[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = A^{-1}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \frac{1}{9}\begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3}x'\\[2pt] \frac{1}{3}y' \end{bmatrix}\]
ជំនួស \(x, y\) ក្នុងសមីការរង្វង់ ៖ \(\left(\dfrac{1}{3}x'\right)^2 + \left(\dfrac{1}{3}y'\right)^2 = 4 \Rightarrow \dfrac{1}{9}x'^2 + \dfrac{1}{9}y'^2 = 4 \Rightarrow x'^2 + y'^2 = 36\) ។

ដូច្នេះ រូបភាពនៃរង្វង់ \(x^2 + y^2 = 4\) គឺជារង្វង់ដែលមានសមីការ \(x^2 + y^2 = 36\) ។

លំហាត់គំរូ ៣

កំណត់រូបភាពនៃសមីការវិចទ័រ \(\overrightarrow{r} = \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} + \lambda\begin{bmatrix} -1\\ 4 \end{bmatrix}\) ដែលប្លែងដោយម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយវិចទ័រ \(\overrightarrow{r} = \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} + \lambda\begin{bmatrix} -1\\ 4 \end{bmatrix}\) ប្លែងទៅ \(\overrightarrow{r}\,' = \overrightarrow{a}\,' + \lambda\overrightarrow{b}\,'\) ។ ក្នុងករណីនេះកូអរដោនេនៃវិចទ័រ \(\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}\) និង \(\overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} -1\\ 4 \end{bmatrix}\) ។ ដូច្នេះ

\[\begin{gathered} \overrightarrow{a}\,' = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix},\\ \overrightarrow{b}\,' = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix} \end{gathered}\]
ដូច្នេះរូបភាពនៃសមីការវិចទ័រគឺ \(\overrightarrow{r}\,' = \begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix} + \lambda\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. កំណត់រូបភាពនៃបន្ទាត់ដែលប្លែងដោយម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) ។

    1. \(y = 2x + 1\)

    2. អ័ក្សអាប់ស៊ីស

    3. \(2x + y + 1 = 0\)

  2. កំណត់រូបភាពនៃបន្ទាត់ \(y = 2x - 3\) ដែលប្លែងដោយម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & -1 \end{bmatrix}\) ។

  3. កំណត់រូបភាពនៃវិចទ័រ \(\overrightarrow{r} = \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} + \lambda\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}\) ដែលប្លែងដោយម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -4 & 2 \end{bmatrix}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. ក. \(y' = \dfrac{11}{5}x' - \dfrac{2}{5}\) ខ. \(y' = 3x'\) គ. \(5x' - 3y' - 2 = 0\)

  2. \(y' = \dfrac{1}{4}(x' + 15)\)

  3. \(\overrightarrow{r}\,' = \begin{bmatrix} -1\\ 2 \end{bmatrix} + \lambda\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\) គឺបន្ទាត់ទាំងមូលប្លែងទៅចំណុចតែមួយ \((-1, 2)\) ។

ការបំប្លែងឆ្លុះ

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(x'x\)

បើ \(M'(x', y')\) ជារូបភាពនៃ \(M(x, y)\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(x'x\) នោះគេបាន \(HM' = HM\) ហើយកូអរដោនេនៃចំណុច \(x' = x\), \(y' = -y\) ។ \(M'\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(x'x\) គឺ \(M \xrightarrow{S_{x'x}} M'\) ។ ក្នុងករណីនេះ គេត្រូវគណនា \((x', y')\) ជាអនុគមន៍នៃ \((x, y)\) ។ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(x'x\) គេបាន ៖

\[\begin{cases} x' = 1\cdot x + 0\cdot y\\ y' = 0\cdot x + (-1)\cdot y \end{cases}\]
ដើម្បីឱ្យងាយស្រួលសិក្សា គេអាចបកស្រាយបំប្លែងឆ្លុះនេះជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដូចខាងក្រោម ៖ \(S_{x'x} : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

ជាទូទៅ

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(x'x\) គឺ \(S_{x'x} : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(y'y\)

បើ \(M'(x', y')\) ជារូបភាពនៃ \(M(x, y)\) ។ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(y'y\) នោះគេបាន \(HM' = HM\) ហើយកូអរដោនេនៃចំណុច \(x' = -x\), \(y' = y\) ។ \(M'\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(y'y\) គឺ \(M \xrightarrow{S_{y'y}} M'\) ។ ដូច្នេះគេបាន

\[\begin{cases} x' = (-1)\cdot x + 0\cdot y\\ y' = 0\cdot x + y \end{cases}\]
ដើម្បីឱ្យងាយស្រួលសិក្សា គេអាចបកស្រាយបំប្លែងឆ្លុះនេះជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដូចខាងក្រោម ៖ \(S_{y'y} : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

ជាទូទៅ

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(y'y\) គឺ \(S_{y'y} : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងគល់ \(O\)

បើ \(M'(x', y')\) ជារូបភាពនៃ \(M(x, y)\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងគល់ \(O\) ។ នោះគេបាន \(OM' = OM\) ហើយកូអរដោនេនៃចំណុច \(x' = -x\), \(y' = -y\) ។ \(M'\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងគល់ \(O\) គឺ \(M \xrightarrow{S_O} M'\) ។ ដូច្នេះគេបាន

\[\begin{cases} x' = (-1)\cdot x + 0\cdot y\\ y' = 0\cdot x + (-1)\cdot y \end{cases}\]
គេអាចបកស្រាយបំប្លែងឆ្លុះនេះជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស ៖ \(S_O : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

ជាទូទៅ

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរឆ្លុះធៀបនឹងគល់ \(O\) គឺ \(S_O : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

លំហាត់គំរូ

  1. បំប្លែងបន្ទាត់ \(ax + by + c = 0\)  \((b \ne 0)\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះ \(S_{y'y}\) ។

  2. បំប្លែងប៉ារ៉ាបូល \(y = (x + 1)^2\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះ \(S_{x'x}\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. ដោយ \(ax + by + c = 0\) នាំឱ្យ \(by = -(ax + c)\) នោះ \(y = -\left(\dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\right)\) ។ តាងកូអរដោនេ \(\left(k, -\dfrac{a}{b}k - \dfrac{c}{b}\right)\) នៅលើបន្ទាត់ \(ax + by + c = 0\) នោះគេបានបំប្លែងបន្ទាត់តាមការបំប្លែងឆ្លុះ \(S_{y'y}\) គឺ

    \[S_{y'y} : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} k\\ -\frac{a}{b}k - \frac{c}{b} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -k\\ -\frac{a}{b}k - \frac{c}{b} \end{bmatrix}\]
    នាំឱ្យ \(x' = -k\), \(y' = -\dfrac{a}{b}k - \dfrac{c}{b}\) នោះ \(y' = \dfrac{a}{b}x' - \dfrac{c}{b}\) ។ គេបាន \(-ax + by + c = 0\) ។

  2. ដោយ \(y = (x + 1)^2\) នោះ \(y = x^2 + 2x + 1\) ។ តាងកូអរដោនេ \((m, m^2 + 2m + 1)\) នៅលើប៉ារ៉ាបូល \(y = (x + 1)^2\) នោះគេបានបំប្លែងប៉ារ៉ាបូលតាមការបំប្លែងឆ្លុះ \(S_{x'x}\) គឺ ៖

    \[\begin{aligned} S_{x'x} : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} m\\ m^2 + 2m + 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} m\\ -m^2 - 2m - 1 \end{bmatrix} \end{aligned}\]
    នាំឱ្យ \(x' = m\), \(y' = -m^2 - 2m - 1\) នោះ \(y' = -x'^2 - 2x' - 1 = -(x' + 1)^2\) នាំឱ្យ \(y = -(x + 1)^2\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. បំប្លែងបន្ទាត់ \(2x + 3y - 6 = 0\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះ \(S_{y'y}\) និង \(S_{x'x}\) ។

  2. បំប្លែងប៉ារ៉ាបូល \(y = (x - 1)^2\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះ \(S_{x'x}\) និង \(S_{y'y}\) ។

  3. កំណត់រូបភាពនៃចំណុច \(A(2, 3)\) និង \(B(-2, -5)\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះ \(S_{x'x}\), \(S_{y'y}\) និង \(S_O\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(2x - 3y + 6 = 0\) ជារូបភាពតាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀប \(y'y\) ។  \(2x - 3y - 6 = 0\) ជារូបភាពតាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀប \(x'x\) ។

  2. \(y = -(x - 1)^2\) ជារូបភាពតាម \(S_{x'x}\) ។  \(y = (x + 1)^2\) ជារូបភាពតាម \(S_{y'y}\) ។

  3. តាម \(S_{x'x}\) ៖ \(A'(2, -3)\), \(B'(-2, 5)\) ។ តាម \(S_{y'y}\) ៖ \(A'(-2, 3)\), \(B'(2, -5)\) ។ តាម \(S_O\) ៖ \(A'(-2, -3)\), \(B'(2, 5)\) ។

ការបំប្លែងចាំង

បើ \(M'(x', y')\) ជារូបភាពនៃ \(M(x, y)\) តាមការបំប្លែងចាំង \(H\) ដែលមានផលធៀប \(k\) ដែល \(k \ne 0\) នោះគេបានកូអរដោនេ \(x' = kx\), \(y' = ky\) អាចសរសេរជា \(\begin{cases} x' = kx + 0\cdot y\\ y' = 0\cdot x + ky \end{cases}\) ។ ដើម្បីឱ្យងាយស្រួលសិក្សា គេអាចបកស្រាយបំប្លែងចាំង \(H\) នោះជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដូច្នេះ ៖

\[H(O, k) : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]
បើ \(k = 1\) នោះ \(H = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) ។ បើ \(k = -1\) នោះ \(H = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) ។

ជាទូទៅ

ការបំប្លែងចាំង \(H\) ដែលមានផលធៀប \(k\) គឺ \(H(O, k) : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

លំហាត់គំរូ

កំណត់រូបភាពនៃចំណុច \(A(2, 4)\), \(B\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)\) តាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, 2)\) និង \(H(O, -1)\) ។

ដំណោះស្រាយ

  • ចំណុច \(A(2, 4)\) ៖ \(H(O, 2) : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ 8 \end{bmatrix}\) ។  \(H(O, -1) : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\\ -4 \end{bmatrix}\) ។

  • ចំណុច \(B\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)\) ៖ \(H(O, 2) : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\) ។  \(H(O, -1) : \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. បំប្លែងបន្ទាត់ \(ax + by + c = 0\) តាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, 1)\) និង \(H(O, -1)\) ។

  2. បំប្លែងប៉ារ៉ាបូល \(y = x^2\) តាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, 1)\) និង \(H(O, -1)\) ។

មើលចម្លើយ

  1. តាម \(H(O, 1)\) ៖ \(ax + by + c = 0\) (ដដែល) ។ តាម \(H(O, -1)\) ៖ \(ax + by - c = 0\) ។

  2. តាម \(H(O, 1)\) ៖ \(y = x^2\) (ដដែល) ។ តាម \(H(O, -1)\) ៖ \(y = -x^2\) ។

ការបំប្លែងវិល

បើ \(M'(x', y')\) ជារូបភាពនៃ \(M(x, y)\) តាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, \alpha)\) នោះគេបាន \(OM' = OM\),  \((\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'}) = \alpha\) ។ គេនឹងបកស្រាយបំប្លែងវិលជាសមីការ ។

ដើម្បីគណនា \(x', y'\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x, y\) គេត្រូវ ដៅ \(P\) និង \(Q\) ជាចំណោលកែងរៀងគ្នានៃ \(M\) មកលើអ័ក្ស \(\overrightarrow{ox}\) និង \(\overrightarrow{oy}\) ។ បើ \(M\) ផ្លាស់ទីមក \(M'\) តាមមុំ \(\alpha\) នោះ \(P\) និង \(Q\) ក៏ផ្លាស់ទីរៀងគ្នាមក \(P'\) និង \(Q'\) តាមមុំ \(\alpha\) ដែរ ។ ឥឡូវគេគណនាកូអរដោនេនៃចំណុច \(P'\) និង \(Q'\) ។ តាមរូបបើគេយកកូអរដោនេ \(P'(x\cos\alpha, x\sin\alpha)\),  \(Q'(-y\sin\alpha, y\cos\alpha)\) ។

ចំពោះចតុកោណ \(OP'M'Q'\) គេមាន \(\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{OP'} + \overrightarrow{OQ'}\) ។ \(\overrightarrow{OM'} = x'\overrightarrow{i} + y'\overrightarrow{j}\) និង \(\overrightarrow{OP'} + \overrightarrow{OQ'} = (x\cos\alpha\,\overrightarrow{i} + x\sin\alpha\,\overrightarrow{j}) + (-y\sin\alpha\,\overrightarrow{i} + y\cos\alpha\,\overrightarrow{j})\)

\[x'\overrightarrow{i} + y'\overrightarrow{j} = (x\cos\alpha - y\sin\alpha)\overrightarrow{i} + (x\sin\alpha + y\cos\alpha)\overrightarrow{j}\]
គេទាញបាន ៖ \(x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha\),  \(y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha\) ។

ក្នុងករណី \(\alpha = 60^\circ\) សមីការទៅជា \(x' = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y\),  \(y' = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x + \dfrac{1}{2}y\) ។ បំប្លែងវិលបកស្រាយដោយសមីការដឺក្រេទី \(1\) ជាបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ។ គេអាចសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស

\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[3pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]

ជាទូទៅ

ការបំប្លែងវិលនៃមុំ \(\alpha\) កំណត់ដោយ \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

ឧទាហរណ៍

រូបភាពនៃចំណុច \((-1, 3)\) តាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, 60^\circ)\) កំណត់ដោយ

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ\\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[3pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\ 3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}\\[3pt] -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-1 - 3\sqrt{3}}{2}\\[3pt] \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}\]

  • ករណី \(\alpha = 180^\circ\) នោះ \(\mathfrak{R} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = S_O\) ។ កាលណាមុំនៃការបំប្លែងវិលស្មើនឹង \(180^\circ\) នោះបំប្លែងវិលជាបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងគល់ \(O\) ។

  • ករណី \(\alpha = 360^\circ\) នោះ \(\mathfrak{R} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I\) ។ កាលណាមុំនៃការបំប្លែងវិលស្មើនឹង \(360^\circ\) នោះបំប្លែងវិលជាបំប្លែងដដែល ក្នុងករណីនេះរូបភាព \(M'\) ត្រួតលើធាតុ \(M\) ។

  • បំប្លែងវិលមានម៉ាទ្រីសច្រាស \(\mathfrak{R}^{-1} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\) ព្រោះដេទែរមីណង់វា \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\) ។

លំហាត់គំរូ ១

កំណត់រូបភាពនៃចំណុច \((2, \sqrt{3})\) តាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, 30^\circ)\) ។

ដំណោះស្រាយ

ម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងវិលតាមមុំ \(30^\circ\) ៖

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ\\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[3pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}\]
រូបភាពនៃចំណុច \((2, \sqrt{3})\) តាម \(\mathfrak{R}\) កំណត់ដោយ
\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[3pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ \sqrt{3} \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2 - \frac{1}{2}\sqrt{3}\\[3pt] \frac{1}{2}\cdot 2 + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}\\[3pt] \frac{5}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ២

កំណត់រូបភាពនៃបន្ទាត់ \(D : y = 2x - 1\) តាមការបំប្លែង \(\mathfrak{R}(O, 45^\circ)\) ។

ដំណោះស្រាយ

ម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងវិលតាមមុំ \(45^\circ\) ៖ \(\begin{bmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ\\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\) ។

រូបភាពនៃ \(D\) តាម \(\mathfrak{R}\) តាងដោយ \(D'\) ។ ដើម្បីកំណត់ \(D'\) គេត្រូវជ្រើសរើសយក \(A\) និង \(B\) នៃបន្ទាត់ \(D\) រួចកំណត់រក \(A'\) និង \(B'\) ។ បន្ទាត់ដែលកាត់តាម \(A'\) និង \(B'\) គឺជារូបភាពនៃ \(D\) ។ ចំណុច \(A(1, 1)\) និង \(B(2, 3)\) ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការបន្ទាត់ \(y = 2x - 1\) នោះរូបភាពនៃ \(A'\) និង \(B'\) កំណត់ដោយ

\[A' = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ \sqrt{2} \end{bmatrix}\]
\[\begin{aligned} B' &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}\\[3pt] \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}\\[3pt] \frac{5\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}\]
សមីការបន្ទាត់ \(D'\) កំណត់ដោយសមីការ \(\dfrac{x - 0}{-\frac{\sqrt{2}}{2} - 0} = \dfrac{y - \sqrt{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}}\) ។ យើងបានរូបភាពនៃ \(D\) គឺ \(D' : y = -3x + \sqrt{2}\) ។

ជាទូទៅ

គេគណនា \(x, y\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x', y'\) រួចជំនួស \(x, y\) ក្នុងសមីការ \(y = 2x - 1\) ។ គេនឹងបានសមីការ \(D'\) ដែលជារូបភាពនៃ \(D\) ។

បើ \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \mathfrak{R}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) នោះ \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \mathfrak{R}^{-1}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\) ដែល \(\mathfrak{R}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\[ \begin{aligned} 3pt] -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\) ។

\[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\[3pt] &\\ &\quad{} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}x'\\ &\quad{} + \frac{\sqrt{2}}{2}y'\\[3pt] -\frac{\sqrt{2}}{2}x'\\ &\quad{} + \frac{\sqrt{2}}{2}y' \end{bmatrix} \end{aligned}\]
ជំនួស \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')\) និង \(y = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-x' + y')\) ទៅក្នុងសមីការ \(y = 2x - 1\) យើងបាន
\[\frac{\sqrt{2}}{2}(-x' + y') = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y') - 1\]
យើងបាន \(y' = -3x' + \sqrt{2}\) ។ ដូច្នេះរូបភាពនៃបន្ទាត់ \(y = 2x - 1\) តាមការបំប្លែងវិល គឺបន្ទាត់ \(y = -3x + \sqrt{2}\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. កំណត់ចំណុចដែលមានរូបភាព \((-2, 2)\) តាមការបំប្លែងវិលនៃមុំ \(120^\circ\) ។

  2. កំណត់រូបភាពនៃ \(y = x\) ដែលវិលជុំវិញគល់ \(O\) តាមមុំ \(130^\circ\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(\left(1 + \sqrt{3}, \ \sqrt{3} - 1\right)\)

  2. \(y = \dfrac{\cos 130^\circ + \sin 130^\circ}{\cos 130^\circ - \sin 130^\circ}\cdot x\)  (ឬ \(y = \tan 175^\circ\cdot x\)) ។

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរបណ្ដាក់

បណ្ដាក់នៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរពីរ

ឧទាហរណ៍

គេប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(y'y\) រួចគេបន្តប្លែងចំណុច \(M'(x', y')\) ទៅ \(M''(x'', y'')\) តាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, 2)\) ។ តើចំណុច \(M''\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងអ្វី?

\(M''\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងបន្តបន្ទាប់ \(M \xrightarrow{S_{y'y}} M' \xrightarrow{H} M''\) ក្នុងករណីនេះ គេត្រូវគណនា \((x'', y'')\) ជាអនុគមន៍នៃ \((x, y)\) តាមសមីការបណ្ដាក់ដូចខាងក្រោម ៖

តាមការបំប្លែងឆ្លុះ \(S_{y'y}\) យើងបាន \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) នាំឱ្យ \(x' = -x\), \(y' = y\) ។

តាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, 2)\) យើងបាន \(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\) នាំឱ្យ \(x'' = 2x'\), \(y'' = 2y'\) ។

ជាសរុប យើងបាន \(x'' = -2x\), \(y'' = 2y\) ។ បកស្រាយសមីការជាម៉ាទ្រីស យើងបាន \(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។ ដូច្នេះ \(M''\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងដែលមានម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) ។

បំប្លែងដែលប្លែងចំណុច \(M\) ទៅ \(M''\) កកើតដោយបំប្លែងពីរ ហៅថា បំប្លែងបណ្ដាក់ ។

ជាទូទៅ បើ \(A = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) និង \(B = \begin{bmatrix} a' & c'\\ b' & d' \end{bmatrix}\) ជាបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ដែលប្លែងចំណុចរៀងគ្នាពី \(M\) ទៅ \(M'\) និងពី \(M'\) ទៅ \(M''\) យើងបាន

\[\begin{gathered} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \xrightarrow{A} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} \xrightarrow{B} \begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} \quad{} \text{ដែល}\\ \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a' & c'\\ b' & d' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} \end{gathered}\]
បំប្លែងលីនេអ៊ែរបណ្ដាក់ដែលប្លែងពី \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ទៅ \(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix}\) កំណត់ដោយ
\[\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a' & c'\\ b' & d' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a' & c'\\ b' & d' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]
ម៉ាទ្រីសបំប្លែងបណ្ដាក់ដែលប្លែងពី \(M\) ទៅ \(M''\) ស្មើនឹងផលគុណនៃម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} a' & c'\\ b' & d' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) ។

ដើម្បីកំណត់វិធានគណនាផលគុណម៉ាទ្រីស គេត្រូវគណនា \(x'', y''\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x, y\) តាមសមីការបណ្ដាក់ដូចខាងក្រោម ៖ \(x' = ax + cy\), \(y' = bx + dy\) និង \(x'' = a'x' + c'y'\), \(y'' = b'x' + d'y'\) នោះ

\[\begin{gathered} x'' = (aa' + bc')x + (a'c + c'd)y,\\ y'' = (ab' + bd')x + (b'c + d'd)y \end{gathered}\]
បកស្រាយជាម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} aa' + bc' & a'c + c'd\\ ab' + bd' & b'c + d'd \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។ យើងបានវិធានផលគុណនៃម៉ាទ្រីសគឺ ៖
\[\begin{bmatrix} a' & c'\\ b' & d' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} aa' + bc' & a'c + c'd\\ ab' + bd' & b'c + d'd \end{bmatrix}\]

ជាទូទៅ

បើគេប្លែងចំណុច \(M\) ទៅ \(M''\) តាមម៉ាទ្រីសបន្តបន្ទាប់ \(A\) និង \(B\) នោះ \(M'' = BA(M)\) ។

លំហាត់គំរូ ១

កំណត់រូបភាពនៃចំណុច \((2, -1)\) តាមម៉ាទ្រីស \(BA\) ដែល \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 2\\ 4 & -5 \end{bmatrix}\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(M'(x', y')\) ជារូបភាពនៃ \((2, -1)\) នោះ

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= BA\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 2\\ 4 & -5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\ 3 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2}\\ 10 \end{bmatrix} \end{aligned}\]
ដូច្នេះ \(M'\left(\dfrac{3}{2}, 10\right)\) ជារូបភាពនៃចំណុច \((2, -1)\) តាម \(BA\) ។

លំហាត់គំរូ ២

គេឱ្យបំប្លែងពីរ \(A = \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -2 & 7 \end{bmatrix}\) និង \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) ។ កំណត់រូបភាពនៃចំណុច \(M(2, 3)\) តាម \(AB\) និង \(BA\) ។

ដំណោះស្រាយ

រូបភាពនៃ \((2, 3)\) តាម \(AB\) គឺ

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= AB\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -2 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 5 & 8\\ 7 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 34\\ 29 \end{bmatrix} \end{aligned}\]
រូបភាពនៃ \((2, 3)\) តាម \(BA\) គឺ
\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} &= BA\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 5\\ -2 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} -2 & 7\\ 1 & 12 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17\\ 38 \end{bmatrix} \end{aligned}\]
យើងឃើញថារូបភាពនៃ \((2, 3)\) តាម \(AB\) មិនស្មើគ្នានឹងរូបភាពតាម \(BA\) នោះទេ ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់រូបភាពនៃចំណុច \((x, y)\) តាមការបំប្លែង \(AA\) ដែល \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) ។

មើលចម្លើយ

\(AA = \begin{bmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{bmatrix}\) ដូច្នេះរូបភាពគឺ \(\begin{bmatrix} 2x + 2y\\ 2x + 2y \end{bmatrix}\) ។

បណ្ដាក់រវាង \(\mathfrak{R}\) និង \(H\)

បើ \(M'(x', y')\) ជារូបភាពនៃ \(M(x, y)\) តាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, k)\) ហើយ \(M''(x'', y'')\) ជារូបភាពនៃ \(M'(x', y')\) តាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, \alpha)\) នោះ \(M''\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងបណ្ដាក់ដែលគេកំណត់ខាងក្រោម ៖ \(M \xrightarrow{H} M' \xrightarrow{\mathfrak{R}} M''\) ។ ក្នុងករណីនេះ គេត្រូវគណនា \((x'', y'')\) ជាអនុគមន៍នៃ \((x, y)\) ។

តាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, k)\) យើងបាន \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) នាំឱ្យ \(x' = kx\), \(y' = ky\) ។

តាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, \alpha)\) យើងបាន \(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\) នាំឱ្យ \(x'' = x'\cos\alpha - y'\sin\alpha\),  \(y'' = x'\sin\alpha + y'\cos\alpha\) ។

ជាសរុប យើងបាន \(x'' = k(x\cos\alpha - y\sin\alpha)\),  \(y'' = k(x\sin\alpha + y\cos\alpha)\) ។ បកស្រាយសមីការជាម៉ាទ្រីស

\[\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k\cos\alpha & -k\sin\alpha\\ k\sin\alpha & k\cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]
ដូចគ្នាដែរបណ្ដាក់រវាង \(H\) និង \(\mathfrak{R}\) ។

ជាទូទៅ

បើគេប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) តាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, k)\) រួចគេបន្តប្លែងចំណុច \(M'(x', y')\) ទៅ \(M''(x'', y'')\) តាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, \alpha)\) នោះគេបាន \(M''\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងបណ្ដាក់ \(M'' = \mathfrak{R}H(M)\) ដែល

\[\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k\cos\alpha & -k\sin\alpha\\ k\sin\alpha & k\cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]

លំហាត់គំរូ

គេមានចំណុច \(M(2, 1)\) ដែលចំណុច \(M\) នេះប្លែងតាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, 30^\circ)\) និងបន្តប្លែងតាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, 2)\) ។ ចូរកំណត់រូបភាព \(M\) តាម \(\mathfrak{R}H\) ។

ដំណោះស្រាយ

រូបភាពនៃ \(M\) តាម \(\mathfrak{R}H\) គឺ \(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} &= 2\begin{bmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ\\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \sqrt{3} & -1\\ 1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\sqrt{3} - 1\\ 2 + \sqrt{3} \end{bmatrix} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

  1. គេឱ្យចំណុច \(P(2, 5)\), \(Q(-3, 4)\) ដែលចំណុច \(P\) និង \(Q\) នេះប្លែងតាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, 60^\circ)\) រួចបន្តប្លែងតាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, 2)\) ។ រករូបភាពរបស់ \(P\) និង \(Q\) តាម \(\mathfrak{R}H\) ។

  2. គេមានត្រីកោណ \(ABC\) មួយ ដែលកំពូល \(A(4, 3)\), \(B(2, 1)\) និង \(C(6, 3)\) ដែលកំពូល \(A, B\) និង \(C\) ប្លែងតាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, 60^\circ)\) រួចបន្តប្លែងតាមការបំប្លែងចាំង \(H(O, 3)\) ។ ចូររករូបភាពនៃកំពូល \(A, B\) និង \(C\) តាមការបំប្លែង \(H\mathfrak{R}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(P' = \begin{bmatrix} 2 - 5\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3} + 5 \end{bmatrix}\),  \(Q' = \begin{bmatrix} -3 - 4\sqrt{3}\\ -3\sqrt{3} + 4 \end{bmatrix}\)

  2. \(A' = \begin{bmatrix} 6 - \frac{9\sqrt{3}}{2}\\[3pt] 6\sqrt{3} + \frac{9}{2} \end{bmatrix}\),  \(B' = \begin{bmatrix} 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\\[3pt] 3\sqrt{3} + \frac{3}{2} \end{bmatrix}\),  \(C' = \begin{bmatrix} 9 - \frac{9\sqrt{3}}{2}\\[3pt] 9\sqrt{3} + \frac{9}{2} \end{bmatrix}\) ។

ការអនុវត្តក្នុងត្រីកោណមាត្រ

នៅមេរៀនត្រីកោណមាត្រ យើងបានបកស្រាយនូវរូបមន្តវិធីបូកកូស៊ីនុសនិងស៊ីនុស

\[\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\]
\[\sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\]
ឥឡូវនេះ យើងនឹងបកស្រាយរូបមន្តនេះឡើងវិញដោយប្រើបំប្លែងបណ្ដាក់នៃការបំប្លែងវិលពីរ ។

គេប្លែង \(M\) ទៅ \(M'\) តាមការបំប្លែងវិលនៃមុំ \(a\) គឺ \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos a & -\sin a\\ \sin a & \cos a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។ គេបន្តប្លែង \(M'\) ទៅ \(M''\) តាមការបំប្លែងវិលនៃមុំ \(b\) គឺ \(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos b & -\sin b\\ \sin b & \cos b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\) ។

យើងបាន \(M''\) ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងបណ្ដាក់នៃការបំប្លែងវិលទាំងពីរ

\[\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos b & -\sin b\\ \sin b & \cos b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos a & -\sin a\\ \sin a & \cos a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]
\[\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos a\cos b - \sin a\sin b & -\sin a\cos b - \sin b\cos a\\ \sin b\cos a + \sin a\cos b & \cos a\cos b - \sin a\sin b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]
ម្យ៉ាងវិញទៀត \(M''\) ក៏ជារូបភាពនៃ \(M\) តាមការបំប្លែងវិលនៃមុំ \(a + b\) ដែរ គឺ ៖
\[\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(a + b) & -\sin(a + b)\\ \sin(a + b) & \cos(a + b) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]
ផ្ទឹមជួរទី \(1\) នៃម៉ាទ្រីសទាំងពីរ យើងបាន ៖ \(\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\) និង \(\sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\) ។

លំហាត់គំរូ ១

គេប្លែងចំណុច \((2, 1)\) តាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, 30^\circ)\) រួចបន្តប្លែងតាម \(\mathfrak{R}(O, 45^\circ)\) ។ កំណត់រូបភាពចុងក្រោយរបស់វា ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(a\) និង \(b\) ជាមុំដែលងាយរករបស់កូស៊ីនុសនិងស៊ីនុស នោះគេបាន

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos 75^\circ & -\sin 75^\circ\\ \sin 75^\circ & \cos 75^\circ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}\\ &\text{ដែល } \cos 75^\circ = \cos 30^\circ\cos 45^\circ - \sin 30^\circ\sin 45^\circ\\ &\text{និង } \sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 30^\circ\cos 45^\circ \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} & -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\\[3pt] \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{4}\\[3pt] \frac{3\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{bmatrix} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ២

គេប្លែងចំណុច \((3, 2)\) តាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, 12^\circ)\) រួចបន្តប្លែងតាម \(\mathfrak{R}(O, 18^\circ)\) ។ កំណត់រូបភាពចុងក្រោយរបស់វា ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(a\) និង \(b\) ជាមុំដែលលំបាករករបស់កូស៊ីនុសនិងស៊ីនុស នោះគេបាន

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos(a + b) & -\sin(a + b)\\ \sin(a + b) & \cos(a + b) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ\\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[3pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3\sqrt{3} - 2}{2}\\[3pt] \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

កំណត់រូបភាពចុងក្រោយនៃចំណុច \((3, 0)\) ដោយដឹងថា គេប្លែងវាតាមការបំប្លែងវិល \(\mathfrak{R}(O, 60^\circ)\) រួចបន្តប្លែងតាម \(\mathfrak{R}(O, -45^\circ)\) ។

មើលចម្លើយ

\(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6})\\[3pt] \frac{3}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \end{bmatrix}\) ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ៤

មេរៀនសង្ខេប

  1. បំប្លែងលីនេអ៊ែរ ៖ បំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលប្លែងចំណុច \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) កំណត់ដោយសមីការ \(x' = ax + cy\), \(y' = bx + dy\) ។

  2. ចំណុចឥតប្រែប្រួល ៖ \(Q\) ជាចំណុចឥតប្រែប្រួលតាមការបំប្លែង \(A\) កាលណា \(A(Q) = Q\) ។

    • ចំពោះបំប្លែងចាំង \(H(O, k)\) កំណត់ដោយ \(x' = kx\), \(y' = ky\) ។ គល់ \(O\) គឺជាចំណុចឥតប្រែប្រួល ព្រោះ \(O(0, 0)\) ផ្ដល់រូបភាព \(O(0, 0)\) ដដែល ។

    • ចំពោះបំប្លែងដែលមានម៉ាទ្រីសឯកតា \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) គ្រប់ចំណុចនៃប្លង់នៅតែជាចំណុចខ្លួនឯងដដែល ។

  3. បំប្លែងលីនេអ៊ែរច្រាស ៖ គេប្លែង \(M(x, y)\) ទៅ \(M'(x', y')\) តាមការបំប្លែង \(A = \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\) នោះ \(M' = A(M)\) ។ ម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \(A\) គឺ \(A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -c\\ -b & a \end{bmatrix}\)  \((ad - bc \ne 0)\) ។

  4. បំប្លែងលីនេអ៊ែរពិសេស ៖

    • ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(x'x\) ៖ \(S_{x'x} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) ។ ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស \(y'y\) ៖ \(S_{y'y} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) ។ ឆ្លុះធៀបនឹងគល់ \(O\) ៖ \(S_O = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) ។

    • បំប្លែងចាំង \(H\) ដែលមានផលធៀប \(k\) ៖ \(H = \begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\) ។

    • បំប្លែងវិលនៃមុំ \(\alpha\) ៖ \(\mathfrak{R} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\) ។ ករណី \(\alpha = 180^\circ\) នោះ \(\mathfrak{R} = S_O\) ។ ករណី \(\alpha = 360^\circ\) នោះ \(\mathfrak{R} = I\) ។ បំប្លែងវិលមានម៉ាទ្រីសច្រាស \(\mathfrak{R}^{-1} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\) ។

  5. បំប្លែងលីនេអ៊ែរបណ្ដាក់ ៖ បើគេប្លែងចំណុច \(M\) ទៅ \(M''\) តាមម៉ាទ្រីសបន្តបន្ទាប់ \(A\) និង \(B\) នោះ \(M'' = BA(M)\) ។

  6. បណ្ដាក់រវាង \(\mathfrak{R}\) និង \(H\) ៖ \(M'' = H\mathfrak{R}(M) = \mathfrak{R}H(M)\) បានន័យថា \(\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k\cos\alpha & -k\sin\alpha\\ k\sin\alpha & k\cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។

លំហាត់ជំពូកទី ៤

  1. គេមានម៉ាទ្រីសដូចខាងក្រោម ៖ ចូរកំណត់លំដាប់នៃម៉ាទ្រីស ។

    1. \(\begin{bmatrix} -3 & 2 & 5 \end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} -3 & 1\\ 2 & 5\\ 7 & -6 \end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} -6\\ 7\\ 8\\ 0 \end{bmatrix}\)

    4. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 5 & 4 & 7\\ 11 & 0 & -13 \end{bmatrix}\)

  2. គេឱ្យម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 1 & -7\\ 3 & 0 \end{bmatrix}\), \(C = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 8 & -2 \end{bmatrix}\) ។ គណនា ក. \(3A - B + 2C\) ខ. \(2(A - B + 2C) + 3B - C\) ។

  3. រកតម្លៃ \(p, q, a\) និង \(b\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖

    1. \(\begin{bmatrix} 10 & 3\\ -3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ -1 \end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} 4 & -3\\ 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15\\ b \end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} -1 & a\\ b & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5\\ 3 & 0 \end{bmatrix}\) ។

  4. គេឱ្យសមីការម៉ាទ្រីស \(M\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -2\\ 0 & -1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) ។ ចូរកំណត់លំដាប់នៃម៉ាទ្រីស \(M\) និងរកម៉ាទ្រីស \(M\) ។

  5. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

    1. \(\begin{cases} 2x - 3y = -4\\ 2x + 7y = 0 \end{cases}\)

    2. \(\begin{cases} x + y = 1\\ 2x + y = 3 \end{cases}\)

    3. \(\begin{cases} x - 2y + 3z = 4\\ 2x + y - 4z = 3\\ -3x + 4y - z = -2 \end{cases}\)

    4. \(\begin{cases} 4x + 2y + 7z = 35\\ 3x + y + 8z = 25\\ 5x + 3y + z = 40 \end{cases}\) ។

  6. នារីទៅផ្សារទិញសាច់ដើម្បីធ្វើម្ហូបប្រចាំថ្ងៃ ។ លើកទី \(1\) នារីទិញសាច់មាន់ \(3\) kg ត្រី \(1\) kg និងសាច់គោ \(2\) kg ចំណាយអស់ប្រាក់ចំនួន \(90\) ពាន់រៀល ។ លើកទី \(2\) នារីទិញសាច់មាន់ \(2\) kg ត្រី \(1\) kg និងសាច់គោ \(3\) kg ចំណាយអស់ប្រាក់ចំនួន \(94\) ពាន់រៀល ហើយលើកទី \(3\) ទិញសាច់មាន់ \(3\) kg ត្រី \(2\) kg និងសាច់គោ \(1\) kg ចំណាយអស់ប្រាក់ចំនួន \(84\) ពាន់រៀល ។ តើសាច់មាន់ ត្រី និងសាច់គោ \(1\) kg ថ្លៃប៉ុន្មានពាន់រៀល?

  7. រកតម្លៃនៃ \(x\) និង \(y\) ដែល \(x\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}^3\) ពិត ។

  8. រកតម្លៃ \(x\) និង \(y\) ដែលម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} x & 5\\ -7 & y \end{bmatrix}\) ជាម៉ាទ្រីសច្រាសនៃខ្លួនវា ។

  9. កំណត់តម្លៃនៃចំនួនថេរ \(k\) ដែលប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} 2x + 3y = kx\\ 4x + 3y = ky \end{cases}\) មានចម្លើយផ្សេងទៀតក្រៅពី \(x = y = 0\) ។

  10. បង្ហាញថា \(ps - qr = (ad - bc)(a'd' - b'c')\) បើ \(\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a' & b'\\ c' & d' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p & q\\ r & s \end{bmatrix}\) ។

  11. រកម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងចាំងដែលប៉ារ៉ាបូល \(y = ax^2\) ប្លែងទៅប៉ារ៉ាបូល \(y = x^2\) ។

  12. រកម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលប្លែងទៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៅលើបន្ទាត់ \(3x + 2y - 1 = 0\) ទៅចំណុច \((-1, 1)\) ។

  13. រកម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលប្លែងទៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់លើប្លង់ទៅបន្ទាត់ \(y = 2x\) ។

  14. យក \(L\) ជាបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុចគល់តម្រុយ ហើយបង្កើតបានមុំ \(\theta\) ជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

    1. យក \(P'\) ជាចំណុចឆ្លុះគ្នាជាមួយចំណុច \(P\) ធៀបទៅនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយបំប្លែងវិលជុំវិញគល់តម្រុយតាមមុំ \(2\theta\) ។ បង្ហាញថា \(P'\) ស៊ីមេទ្រីទៅនឹង \(P\) ធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ \(L\) ។

    2. រកម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលបង្ហាញពីការឆ្លុះគ្នាធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ \(L\) ។

  15. គេតាងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ \(L\) គឺ \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ 3 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}\) ។ តើរូបនៃ \(L\) ប្លែងតាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលបញ្ជាក់ដោយម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 4 & -3\\ -2 & 2 \end{bmatrix}\) គឺជារូបអ្វី?

  16. យក \(\begin{bmatrix} -2 & a\\ a & 0 \end{bmatrix}\) ជាម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ \(f\) ដែល \(a \ne 0\) ។

    1. តើរូបអ្វីដែលអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេប្លែងតាម \(f\)?

    2. បង្ហាញថាមានបន្ទាត់ពីរកាត់តាមគល់តម្រុយដែលមិនប្លែងតាម \(f\) ហើយវាប្រសព្វគ្នាបានមុំកែង ។

  17. រកតម្លៃនៃ \(a\) និង \(b\) បើបន្ទាត់ \(3x - 4y + 1 = 0\) ប្លែងទៅបន្ទាត់ \(3x + 2y - 1 = 0\) តាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលបញ្ជាក់ដោយម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 1 & a\\ b & 5 \end{bmatrix}\) ។

  18. បន្ទាត់ពីរ \(x + y = 1\) និង \(2x - y = 1\) ប្លែងទៅនីមួយៗផ្សេងទៀតតាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ \(f\) ។ រកម៉ាទ្រីស \(f\) ។

  19. បើចំណុច \(P_1\) និង \(P_2\) ប្លែងទៅចំណុច \(P'_1\) និង \(P'_2\) តាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ \(f : (x, y) \to (ax + by, \ cx + dy)\) ហើយបើ \(P_1P_2 = P'_1P'_2\) ពិតនោះ \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2 = 1\) និង \(ab + cd = 0\) ។

  20. យក \(f\) ជាបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលបញ្ជាក់ដោយម៉ាទ្រីស \(\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -2 & -5 \end{bmatrix}\) ។ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(L_1\) និង \(L_2\) បើ \(L_1\) ប្លែងទៅ \(L_2\) តាម \(f\) ហើយ \(L_1\) និង \(L_2\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច \(P(0, 1)\) ។

  21. ឧបមាថាម៉ាទ្រីស \(C = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(AC = CA\) និង \(BC = CB\) សម្រាប់ម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) និង \(B = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) ។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថាឯកលក្ខណភាព \(XC = CX\) ត្រឹមត្រូវគ្រប់ម៉ាទ្រីស \(X\) ដែលជាម៉ាទ្រីស \(2\times 2\) ។

  22. ចំពោះម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & a \end{bmatrix}\) និង \(B = \begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) ចូរឆ្លើយសំណួរខាងក្រោម ៖

    1. គណនា \(B^2\) និង \((BA)^2\)

    2. គណនា \(ABA\) និង \(BA^2BA^2\)

    3. គណនា \(BA^nBA^n\) ។

  23. ឧបមាថាម៉ាទ្រីស \(A\), \(B\) និង \(C\) ដែលជាម៉ាទ្រីស \(2\times 2\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(AB^2C = AB = \begin{bmatrix} 4 & -11\\ -5 & 14 \end{bmatrix}\) និង \(ACB = \begin{bmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}\) ។ ចូររកម៉ាទ្រីស \(A\), \(B\) និង \(C\) ។

  24. នៅពេល \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) ចូរគណនា \(A^4 - 4A^3 - 6A^2 - 5A - I\) ។

  25. ពិនិត្យសំណើខាងលើអំពីម៉ាទ្រីស \(A\) ដែលជាម៉ាទ្រីស \(2\times 2\) ។ ប្រសិនបើសំណើនេះពិត ចូរស្រាយបញ្ជាក់វា ។ ប្រសិនបើវាមិនពិត ចូរបង្ហាញឧទាហរណ៍ច្រាស (counter example) ។

    1. ប្រសិនបើ \(A^2 = 0\) នាំឱ្យ \(A = 0\)

    2. ប្រសិនបើ \(A^3 = 0\) នាំឱ្យ \(A^2 = 0\) ។

  26. ឧបមាថាចំនួនពិត \(k\) និងវិចទ័រមិនសូន្យ \(\overrightarrow{x} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) បំពេញទំនាក់ទំនង \(\begin{bmatrix} 12 & 24\\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) ។ ចូររកតម្លៃ \(k\) និងវិចទ័រ \(\overrightarrow{x}\) ។

  27. ចំពោះម៉ាទ្រីស \(A = \begin{bmatrix} -3 & 4\\ 3 & 1 \end{bmatrix}\) ចូរឆ្លើយសំណួរខាងក្រោម ៖

    1. រកចំនួនពិត \(a\) និង \(b\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(A\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}\) និង \(A\begin{bmatrix} -2\\ 1 \end{bmatrix} = b\begin{bmatrix} -2\\ 1 \end{bmatrix}\)

    2. គណនា \(A^n\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}\) និង \(A^n\begin{bmatrix} -2\\ 1 \end{bmatrix}\)

    3. កំណត់រក \(A^n\) ។

  28. តាង \(A\) ជាម៉ាទ្រីស \(2\times 2\) ដែល \(A = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) ។ នៅពេលម៉ាទ្រីស \(P\) ដែលជាម៉ាទ្រីស \(2\times 2\) មានម៉ាទ្រីសច្រាសនិងបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0\\ 0 & \beta \end{bmatrix}\) ដែល \(\alpha \ge \beta\) ចូរឆ្លើយសំណួរដូចខាងក្រោម ៖

    1. រកតម្លៃ \(\alpha\) និង \(\beta\)

    2. រក \(A^n\) ដែល \(n\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ។

តារាងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ចំពោះមុំ \(\theta > 45^\circ\) គេអានតារាងដោយប្រើជួរខាងក្រោម (\(\sin\theta = \cos(90^\circ - \theta)\), ...) ។

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ដឺក្រេ} & \text{រ៉ាដ្យង់} & \sin & \cos & \tan & \cot \\ \hline 0^\circ & 0.0000 & 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 & \text{---} \\ 1^\circ & 0.0175 & 0.0175 & 0.9998 & 0.0175 & 57.29 \\ 2^\circ & 0.0349 & 0.0349 & 0.9994 & 0.0349 & 28.64 \\ 3^\circ & 0.0524 & 0.0523 & 0.9986 & 0.0524 & 19.08 \\ 4^\circ & 0.0698 & 0.0698 & 0.9976 & 0.0699 & 14.30 \\ 5^\circ & 0.0873 & 0.0872 & 0.9962 & 0.0875 & 11.43 \\ 6^\circ & 0.1047 & 0.1045 & 0.9945 & 0.1051 & 9.514 \\ 7^\circ & 0.1222 & 0.1219 & 0.9925 & 0.1228 & 8.144 \\ 8^\circ & 0.1396 & 0.1392 & 0.9903 & 0.1405 & 7.115 \\ 9^\circ & 0.1571 & 0.1564 & 0.9877 & 0.1584 & 6.314 \\ 10^\circ & 0.1745 & 0.1736 & 0.9848 & 0.1763 & 5.671 \\ 11^\circ & 0.1920 & 0.1908 & 0.9816 & 0.1944 & 5.145 \\ 12^\circ & 0.2094 & 0.2079 & 0.9781 & 0.2126 & 4.705 \\ 13^\circ & 0.2269 & 0.2250 & 0.9744 & 0.2309 & 4.331 \\ 14^\circ & 0.2443 & 0.2419 & 0.9703 & 0.2493 & 4.011 \\ 15^\circ & 0.2618 & 0.2588 & 0.9659 & 0.2679 & 3.732 \\ 16^\circ & 0.2793 & 0.2756 & 0.9613 & 0.2867 & 3.487 \\ 17^\circ & 0.2967 & 0.2924 & 0.9563 & 0.3057 & 3.271 \\ 18^\circ & 0.3142 & 0.3090 & 0.9511 & 0.3249 & 3.078 \\ 19^\circ & 0.3316 & 0.3256 & 0.9455 & 0.3443 & 2.904 \\ 20^\circ & 0.3491 & 0.3420 & 0.9397 & 0.3640 & 2.747 \\ 21^\circ & 0.3665 & 0.3584 & 0.9336 & 0.3839 & 2.605 \\ 22^\circ & 0.3840 & 0.3746 & 0.9272 & 0.4040 & 2.475 \\ \hline & & \cos & \sin & \cot & \tan \\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ដឺក្រេ} & \text{រ៉ាដ្យង់} & \sin & \cos & \tan & \cot \\ \hline 23^\circ & 0.4014 & 0.3907 & 0.9205 & 0.4245 & 2.356 \\ 24^\circ & 0.4189 & 0.4067 & 0.9135 & 0.4452 & 2.246 \\ 25^\circ & 0.4363 & 0.4226 & 0.9063 & 0.4663 & 2.145 \\ 26^\circ & 0.4538 & 0.4384 & 0.8988 & 0.4877 & 2.050 \\ 27^\circ & 0.4712 & 0.4540 & 0.8910 & 0.5095 & 1.963 \\ 28^\circ & 0.4887 & 0.4695 & 0.8829 & 0.5317 & 1.881 \\ 29^\circ & 0.5061 & 0.4848 & 0.8746 & 0.5543 & 1.804 \\ 30^\circ & 0.5236 & 0.5000 & 0.8660 & 0.5774 & 1.732 \\ 31^\circ & 0.5411 & 0.5150 & 0.8572 & 0.6009 & 1.664 \\ 32^\circ & 0.5585 & 0.5299 & 0.8480 & 0.6249 & 1.600 \\ 33^\circ & 0.5760 & 0.5446 & 0.8387 & 0.6494 & 1.540 \\ 34^\circ & 0.5934 & 0.5592 & 0.8290 & 0.6745 & 1.483 \\ 35^\circ & 0.6109 & 0.5736 & 0.8192 & 0.7002 & 1.428 \\ 36^\circ & 0.6283 & 0.5878 & 0.8090 & 0.7265 & 1.376 \\ 37^\circ & 0.6458 & 0.6018 & 0.7986 & 0.7536 & 1.327 \\ 38^\circ & 0.6632 & 0.6157 & 0.7880 & 0.7813 & 1.280 \\ 39^\circ & 0.6807 & 0.6293 & 0.7771 & 0.8098 & 1.235 \\ 40^\circ & 0.6981 & 0.6428 & 0.7660 & 0.8391 & 1.192 \\ 41^\circ & 0.7156 & 0.6561 & 0.7547 & 0.8693 & 1.150 \\ 42^\circ & 0.7330 & 0.6691 & 0.7431 & 0.9004 & 1.111 \\ 43^\circ & 0.7505 & 0.6820 & 0.7314 & 0.9325 & 1.072 \\ 44^\circ & 0.7679 & 0.6947 & 0.7193 & 0.9657 & 1.036 \\ 45^\circ & 0.7854 & 0.7071 & 0.7071 & 1.0000 & 1.000 \\ \hline & & \cos & \sin & \cot & \tan \\ \hline \end{array}\]

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១៨៨–២១៧។
ទំព័រ ១៨៨
ទំព័រ ១៨៨
ទំព័រ ១៨៩
ទំព័រ ១៨៩
ទំព័រ ១៩០
ទំព័រ ១៩០
ទំព័រ ១៩១
ទំព័រ ១៩១
ទំព័រ ១៩២
ទំព័រ ១៩២
ទំព័រ ១៩៣
ទំព័រ ១៩៣
ទំព័រ ១៩៤
ទំព័រ ១៩៤
ទំព័រ ១៩៥
ទំព័រ ១៩៥
ទំព័រ ១៩៦
ទំព័រ ១៩៦
ទំព័រ ១៩៧
ទំព័រ ១៩៧
ទំព័រ ១៩៨
ទំព័រ ១៩៨
ទំព័រ ១៩៩
ទំព័រ ១៩៩
ទំព័រ ២០០
ទំព័រ ២០០
ទំព័រ ២០១
ទំព័រ ២០១
ទំព័រ ២០២
ទំព័រ ២០២
ទំព័រ ២០៣
ទំព័រ ២០៣
ទំព័រ ២០៤
ទំព័រ ២០៤
ទំព័រ ២០៥
ទំព័រ ២០៥
ទំព័រ ២០៦
ទំព័រ ២០៦
ទំព័រ ២០៧
ទំព័រ ២០៧
ទំព័រ ២០៨
ទំព័រ ២០៨
ទំព័រ ២០៩
ទំព័រ ២០៩
ទំព័រ ២១០
ទំព័រ ២១០
ទំព័រ ២១១
ទំព័រ ២១១
ទំព័រ ២១២
ទំព័រ ២១២
ទំព័រ ២១៣
ទំព័រ ២១៣
ទំព័រ ២១៤
ទំព័រ ២១៤
ទំព័រ ២១៥
ទំព័រ ២១៥
ទំព័រ ២១៦
ទំព័រ ២១៦
ទំព័រ ២១៧
ទំព័រ ២១៧

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

តើបំប្លែងនីមួយៗដែលប្លែងចំណុច \(P(x, y)\) ទៅចំណុច \(P'(x', y')\) នៅលើប្លង់មួយដែលបញ្ជាក់ បំប្លែងលីនេអ៊ែរ ឬមិនបំប្លែងលីនេអ៊ែរខាងក្រោម ៖

  1. ចំណុច \(P'\) គឺជាចំណុចឆ្លុះទៅនឹងចំណុច \(P\) ធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ \(x = 1\)

  2. ចំណុច \(P'\) ជាចំណុចកែងទៅនឹងបន្ទាត់គូសពីចំណុច \(P\) ទៅអ័ក្សអាប់ស៊ីស

  3. ចំណុច \(P'\) ជាចំណុចដែលបានដោយការបំប្លែងចំណុច \(P\) តាមវិចទ័រ \((1, -2)\)

  4. ចំណុច \(P'\) ជាចំណុចដែលបន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \(P\) ដែលមានមេគុណប្រាប់ទិស \(2\) ហើយប្រសព្វទៅនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មិនមែនបំប្លែងលីនេអ៊ែរ (\(x' = 2 - x\)) ខ. បំប្លែងលីនេអ៊ែរ (\(x' = x\), \(y' = 0\)) គ. មិនមែនបំប្លែងលីនេអ៊ែរ (រំកិល) ឃ. បំប្លែងលីនេអ៊ែរ (\(x' = y' = 2x - y\)) ។

២លំហាត់ទី ២

យក \(f\) ជាបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ដែលប្លែងពីរចំណុច \((1, 0)\) និង \((0, 1)\) ទៅចំណុច \((-1, 2)\) និង \((3, 1)\) ។

  1. រកម៉ាទ្រីសនៃ \(f\) ។

  2. រករូបភាពនៃចំណុច \((-3, 2)\) តាម \(f\) ។

  3. រករូបភាពនៃចំណុច \((5, -3)\) តាមបំប្លែងច្រាសនៃ \(f\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\begin{bmatrix} -1 & 3\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\) ខ. \((9, -4)\) គ. \((-2, 1)\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

គេឱ្យបំប្លែងលីនេអ៊ែរ \(f\) ។ រក \(f(3\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v})\) ចំពោះ \(f(\overrightarrow{u}) = \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}\) និង \(f(\overrightarrow{v}) = \begin{bmatrix} -2\\ 1 \end{bmatrix}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(f(3\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}) = \begin{bmatrix} 7\\ 4 \end{bmatrix}\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

តើរូបអ្វី ដែលប្លង់មួយប្លែងតាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ដែលបង្ហាញដោយម៉ាទ្រីសខាងក្រោម ៖

  1. \(\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

  2. \(\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 6 & 3 \end{bmatrix}\)

  3. \(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ប្លង់ទាំងមូល (\(\det = 5 \ne 0\)) ខ. បន្ទាត់ \(y = 3x\) គ. ចំណុចគល់ \(O\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

រករូបធរណីមាត្រដែលបន្ទាត់ \(2x - y + 3 = 0\) ប្លែងតាមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ \((x, y) \to (3x - y, \ -2x + y)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \(y = 3\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

រកម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ដែលប្លែងដោយពីរចំណុច \((2, 1)\) និង \((-1, 3)\) ទៅចំណុច \((8, -5)\) និង \((-11, 6)\) រៀងគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(\begin{bmatrix} 5 & -2\\ -3 & 1 \end{bmatrix}\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

រករូបភាពនៃចំណុច \((-6, 7)\) តាមការបំប្លែងបណ្ដាក់ \(g\circ f^{-1}\) ដែលឱ្យដោយម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ \(f\) និង \(g\) គឺ \(\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & -3 \end{bmatrix}\) និង \(\begin{bmatrix} -2 & 3\\ 1 & -2 \end{bmatrix}\) រៀងគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

\((5, -2)\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៦ ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត