មេរៀនទី ៧ : អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

នៅក្នុងជំពូកនេះ គេចាប់ផ្តើមសិក្សាពីបញ្ញត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ ដោះស្រាយសមីការ និងវិសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ដែលជាមធ្យោបាយសំខាន់សម្រាប់សិក្សាពីបញ្ញត្តិ ក្រាប សមីការ និងវិសមីការលោការីត ។ បន្ទាប់ពីទទួលបានបញ្ញត្តិអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនិងលោការីត សិស្សអាចយកចំណេះដឹងនិងបំណិនទៅដោះស្រាយចំណោទបញ្ហាដែលទាក់ទងនឹងការប្រាក់ កំណើនភ្ញៀវទេសចរដែលចូលមកទស្សនាប្រាសាទអង្គរវត្ត កំណើនប្រជាជន និងសម្រាប់ដោះស្រាយចំណោទបញ្ហាផ្សេងទៀតដែលជួបប្រទះក្នុងជីវភាពប្រចាំថ្ងៃ ។

វត្ថុបំណង

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ដោះស្រាយសមីការនិងវិសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

និយមន័យនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យកន្សោមស្វ័យគុណដូចខាងក្រោម ៖

$(-3)^x$, $1^x$, $0^x$
$3^x$ ហៅថា អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x+1}$ ហៅថា អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។

និយមន័យ

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាកន្សោមស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តជាអថេរ និងមានគោលជាចំនួនវិជ្ជមានខុសពី $1$ ។

និយមន័យនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោម ៖

$f(x) = (-3)^x$
$f(x) = 1^x$
$f(x) = 0^x$
$f(x) = 3^x$ ទំនាក់ទំនងនេះហៅថា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។
$f(x) = 3^{-x+1}$ ទំនាក់ទំនងនេះហៅថា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។

និយមន័យ

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាអនុគមន៍ស្វ័យគុណដែលមានអថេរឯករាជ្យជានិទស្សន្ត និងមានគោលជាចំនួនវិជ្ជមានខុសពី $1$ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឧទាហរណ៍

គេសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $f(x) = 2^x$, $g(x) = (1.5)^x$, $h(x) = 1^x$, $k(x) = (0.5)^x$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ ។

តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = 1.5^x & 0.44 & 0.66 & 1 & 1.5 & 2.25\\ \hline \end{array}\]

តាមក្រាបយើងសង្កេតឃើញថា គ្រប់ក្រាបរបស់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានរាង $y = a^x$ កាត់តាមចំណុចដែលមានកូអរដោនេ $(0, 1)$ ជានិច្ច ។

បើ $x > 0$ នោះ $(1.5)^x < 2^x$ ។ ដូច្នេះ ក្នុងកាដ្រង់ទី $1$ ក្រាបនៃអនុគមន៍ $g(x) = (1.5)^x$ ស្ថិតនៅក្រោមក្រាបនៃអនុគមន៍ $f(x) = 2^x$ ។
អនុគមន៍ $h(x) = 1^x$ មានក្រាបជាបន្ទាត់ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងនៅពីលើអ័ក្សអាប់ស៊ីសចំនួន $1$ ឯកតា ចំពោះគ្រប់តម្លៃ $x$ ។
បើ $x > 0$ នោះ $(0.5)^x < 1$ ។ ដូច្នេះ បើ $x$ យកតម្លៃកើនធំឡើងៗ នោះ $k(x) = (0.5)^x$ មានតម្លៃចុះតូចទៅៗ ហើយខិតទៅរក $0$ ។
បើ $x < 0$ នោះ $(0.5)^x$ មានតម្លៃធំឡើងៗគ្មានកំណត់ ។

ជាទូទៅ

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $y = a^x$ មានក្រាប

បើ $a > 1$ ក្រាបនៃ $y = a^x$ កើនពីឆ្វេងទៅស្តាំ គេថា $y = a^x$ ជាអនុគមន៍កើន
បើ $0 < a < 1$ ក្រាបនៃ $y = a^x$ ចុះពីឆ្វេងទៅស្តាំ គេថា $y = a^x$ ជាអនុគមន៍ចុះ
អនុគមន៍ $y = a^x$ វិជ្ជមានជានិច្ច $\forall x \in \mathbb{R}$ បើ $a$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាននិងខុសពី $1$
ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = a^x$ កាត់អ័ក្សអរដោនេត្រង់ $(0, 1)$ ជានិច្ច ។

លំហាត់គំរូ ១

សង់ក្រាប ក. $y = 4^x$ ខ. $y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = 4^x & 0.06 & 0.25 & 1 & 4 & 16\\ \hline \end{array}\]

ខ. តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = (1/4)^x & 16 & 4 & 1 & 0.25 & 0.06\\ \hline \end{array}\]

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបអនុគមន៍ ក. $y = 10^x$ ខ. $y = \left(\dfrac{1}{10}\right)^x$ ។

លក្ខណៈក្រាបនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឧទាហរណ៍ ក

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = 2^x + 1$ ។

តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = 2^x & 0.25 & 0.50 & 1 & 2 & 4\\ \hline y = 2^x + 1 & 1.25 & 1.50 & 2 & 3 & 5\\ \hline \end{array}\]

តាមក្រាបគេសង្កេតឃើញថា ដើម្បីសង់ក្រាប $y = 2^x + 1$ ដំបូងគេសង់ក្រាប $y = 2^x$ រួចរំកិលចំនួនមួយឯកតាឡើងលើស្របអ័ក្ស $(oy)$ គេបានក្រាប $y = 2^x + 1$ ។

ឧទាហរណ៍ ខ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = 2^{x+1}$ ។

តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = 2^x & 0.25 & 0.50 & 1 & 2 & 4\\ \hline y = 2^{x+1} & 0.50 & 1 & 2 & 4 & 8\\ \hline \end{array}\]

តាមក្រាប គេសង្កេតឃើញថា ដើម្បីសង់ក្រាប $y = 2^{x+1}$ ដំបូងគេសង់ក្រាប $y = 2^x$ រួចរំកិលចំនួនមួយឯកតាទៅខាងឆ្វេងស្របអ័ក្ស $(ox)$ គេបានក្រាប $y = 2^{x+1}$ ។

ឧទាហរណ៍ គ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = 2^{x-2}$ ។

តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = 2^x & 0.25 & 0.50 & 1 & 2 & 4\\ \hline y = 2^{x-2} & 0.06 & 0.12 & 0.25 & 0.5 & 1\\ \hline \end{array}\]

តាមក្រាប គេសង្កេតឃើញថា ដើម្បីសង់ក្រាប $y = 2^{x-2}$ ដំបូងគេសង់ក្រាប $y = 2^x$ រួចរំកិលចំនួនពីរឯកតាទៅខាងស្តាំស្របអ័ក្ស $(ox)$ គេបានក្រាប $y = 2^{x-2}$ ។

ឧទាហរណ៍ ឃ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -2^x$ ។

តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = 2^x & 0.25 & 0.50 & 1 & 2 & 4\\ \hline y = -2^x & -0.25 & -0.50 & -1 & -2 & -4\\ \hline \end{array}\]

តាមក្រាប គេសង្កេតឃើញថា ដំបូងគេសង់ក្រាប $y = 2^x$ រួចគូសក្រាបឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអ័ក្ស $(ox)$ គេបានក្រាប $y = -2^x$ ។

ជាទូទៅ

ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = a^x + q$ គេត្រូវសង់ក្រាប $y = a^x$ រួចធ្វើបម្លែងកិលក្រាបស្របអ័ក្ស $(oy)$ ចំនួន $q$ ឯកតាឡើងលើបើ $q > 0$ ហើយចំនួន $q$ ឯកតាចុះក្រោមបើ $q < 0$ ។
ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = a^{(x-p)}$ គេត្រូវសង់ក្រាប $y = a^x$ រួចធ្វើបម្លែងកិលក្រាបស្របអ័ក្ស $(ox)$ ចំនួន $p$ ឯកតាទៅខាងស្តាំបើ $p > 0$ ហើយចំនួន $p$ ឯកតាទៅខាងឆ្វេងបើ $p < 0$ ។
ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -a^x$ គេត្រូវសង់ក្រាប $y = a^x$ រួចគូសក្រាបឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $(ox)$ គេបានក្រាប $y = -a^x$ ។

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបអនុគមន៍

$y = 3^x - 3$
$y = 3^x + 1$
$y = (1.5)^{x-2}$
$y = (1.5)^{x+3}$
$y = -5^x$ ។

សមីការនិងវិសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យសមភាពដូចខាងក្រោម ៖

$(-3)^x = -2187$
$1^x = 1$
$0^x = 0$
$3^x = 2187$ សមភាពដែលមាននិទស្សន្តជាអញ្ញាត និងមានគោលជាចំនួនវិជ្ជមានខុសពី $1$ ហៅថា សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។

និយមន័យ

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាសមីការស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តជាអញ្ញាត និងមានគោលជាចំនួនវិជ្ជមានខុសពី $1$ ។

លំហាត់គំរូ ២

ដោះស្រាយសមីការ

$2^{3x+5} = 128$
$5^{x-3} = \dfrac{1}{25}$
$\left(\dfrac{1}{9}\right)^x = 81^{x+4}$
$49^x = 7^{x^2-15}$
$36^{2x} = 216^{x-1}$
$10^{x-1} = 100^{2x-3}$ ។

ដំណោះស្រាយ

$2^{3x+5} = 128$, $2^{3x+5} = 2^7$, $3x + 5 = 7$ នាំឱ្យ $x = \dfrac{2}{3}$
$5^{x-3} = \dfrac{1}{25}$, $5^{x-3} = 5^{-2}$, $x - 3 = -2$ នាំឱ្យ $x = 1$
$\left(\dfrac{1}{9}\right)^x = 81^{x+4}$, $9^{-x} = 9^{2(x+4)}$, $-x = 2x + 8$ នាំឱ្យ $x = -\dfrac{8}{3}$
$49^x = 7^{x^2-15}$, $7^{2x} = 7^{x^2-15}$, $2x = x^2 - 15$ នាំឱ្យ $x = 5$, $x = -3$
$36^{2x} = 216^{x-1}$, $6^{2(2x)} = 6^{3(x-1)}$, $4x = 3x - 3$ នាំឱ្យ $x = -3$
$10^{x-1} = 100^{2x-3}$, $10^{x-1} = 10^{2(2x-3)}$, $x - 1 = 4x - 6$ នាំឱ្យ $x = \dfrac{5}{3}$ ។

ប្រតិបត្តិ

$5^x \cdot 2^{\frac{2x-1}{x+1}} = 50$
$3^{4x+8} - 4 \cdot 3^{2x+5} + 27 = 0$
$27^x + 12^x = 2 \cdot 8^x$
$3^{2x^2-6x+3} + 6^{x^2-3x+1} = 2^{2x^2-6x+3}$ ។

មើលចម្លើយ

$x = 2$, $x = -1 - \log_5 2$
$x = -1$, $x = -\dfrac{3}{2}$
$x = 0$
$x = 1$, $x = 2$ ។

វិសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយវិសមីការ

$2^x < 2^3$ គេបាន $x < 3$ ជាចម្លើយរបស់វិសមីការព្រោះតម្លៃ $x < 3$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ឱ្យវិសមីការ ។
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ គេបាន $x > 3$ ជាចម្លើយរបស់វិសមីការ ព្រោះតម្លៃ $x > 3$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ឱ្យវិសមីការ ។

ជាទូទៅ

វិសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលមានទម្រង់ $a^x > a^y$

បើ $a > 1$ វិសមីការ $a^x > a^y$ សមមូល $x > y$ ហើយវិសមីការ $a^x < a^y$ សមមូល $x < y$ ។
បើ $0 < a < 1$ វិសមីការ $a^x > a^y$ សមមូល $x < y$ ហើយវិសមីការ $a^x < a^y$ សមមូល $x > y$ ។

លំហាត់គំរូ ៣

ដោះស្រាយវិសមីការ

$25^{2x} \le 5\sqrt{5}$
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3x} > \dfrac{16}{81}$
$5^x > -7$
$(0.1)^x > 10$
$27^x \cdot 3^{1-x} < \dfrac{1}{3}$
$2^{9x-x^3} < 1$
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{2}{x}} + 3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}+1} > 12$ ។

ដំណោះស្រាយ

$25^{2x} \le 5\sqrt{5}$, $5^{4x} \le 5^{\frac{3}{2}}$, $x \le \dfrac{3}{8}$ ។
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3x} > \dfrac{16}{81}$, $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3x} > \left(\dfrac{2}{3}\right)^4$, $-3x < 4$, $x > -\dfrac{4}{3}$ ។
$5^x > -7$, $5^x$ វិជ្ជមានជានិច្ច, $-7$ អវិជ្ជមានជានិច្ច ដូច្នេះ វិសមីការមានចម្លើយចំពោះ $\forall x \in \mathbb{R}$ ។
$(0.1)^x > 10$, $10^{-x} > 10$, $-x > 1$, $x < -1$ ។
$27^x \cdot 3^{1-x} < \dfrac{1}{3}$, $3^{3x} \cdot 3^{1-x} < 3^{-1}$, $3^{2x+1} < 3^{-1}$, $2x + 1 < -1$ ឬ $x < -1$ ។
$2^{9x-x^3} < 1$, $2^{9x-x^3} < 2^0$, $9x - x^3 < 0$, $(9 - x^2)x < 0$, $-3 < x < 0$ ឬ $x > 3$ ។
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{2}{x}} + 3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}+1} > 12$, $\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}}\right]^2 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} - 12 > 0$, $(x \ne 0)$ ។

តាង $t = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$, $t > 0$ យើងបាន $t^2 + t - 12 > 0$, $t < -4$, $t > 3$ ។

ដោយ $t > 0$ នោះចម្លើយរបស់វិសមីការគឺ $t > 3$ ឬ $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} > 3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$ ។

ដោយ $\dfrac{1}{3} < 1$ នោះ $\dfrac{1}{x} < -1$ ឬ $-1 < x < 0$ ដូច្នេះវិសមីការមានចម្លើយ $-1 < x < 0$ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយវិសមីការ

$7^{3x+1} > 49$
$\left(\dfrac{1}{5}\right)^x < \sqrt[3]{0.04}$
$3^x < \dfrac{1}{9\sqrt{3}}$
$3^x \le -3$
$(0.2)^x > 25$
$(0.1)^{4x^2-2x-2} < (0.1)^{2x-3}$ ។

មើលចម្លើយ

$x > \dfrac{1}{3}$
$x > \dfrac{2}{3}$
$x < -\dfrac{5}{2}$
វិសមីការគ្មានចម្លើយ
$x < -2$
$x \in \mathbb{R} - \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$ ។

ការអនុវត្តអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឧទាហរណ៍

ពូសុខទិញប័ណ្ណសន្សំប្រាក់ពីធនាគារតម្លៃ $50\,000$ រៀល ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ បើគាត់បន្តទុកប្រាក់នោះនៅធនាគារបាន $3$ ឆ្នាំ តើប្រាក់របស់គាត់សរុបត្រូវជាប៉ុន្មាន?

\[\begin{array}{lll} \text{ឆ្នាំទី } 1 \text{ ៖ ការប្រាក់} & 50\,000 \times \dfrac{6}{100} = 3\,000 & \text{រៀល}\\[2mm] \quad{}\text{ប្រាក់សរុបក្នុងឆ្នាំទី } 1 & 50\,000 + 3\,000 = 53\,000 & \text{រៀល}\\[2mm] \text{ឆ្នាំទី } 2 \text{ ៖ ការប្រាក់} & 53\,000 \times \dfrac{6}{100} = 3\,180 & \text{រៀល}\\[2mm] \quad{}\text{ប្រាក់សរុបក្នុងឆ្នាំទី } 2 & 53\,000 + 3\,180 = 56\,180 & \text{រៀល}\\[2mm] \text{ឆ្នាំទី } 3 \text{ ៖ ការប្រាក់} & 56\,180 \times \dfrac{6}{100} = 3\,370.8 & \text{រៀល}\\[2mm] \quad{}\text{ប្រាក់សរុបក្នុងឆ្នាំទី } 3 & 56\,180 + 3\,370.8 = 59\,550.8 & \text{រៀល} \end{array}\]

ដូច្នេះ បើតាង $P$ ជាចំនួនប្រាក់ដើម ហើយ $i$ ជាអត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ នោះ

ចំនួនការប្រាក់នៃឆ្នាំទី $1$ គឺ $iP$
ចំនួនប្រាក់សរុបនៃឆ្នាំទី $1$ គឺ $P + iP = P(1 + i)$
ចំនួនប្រាក់សរុបនៃឆ្នាំទី $2$ គឺ $P(1 + i) + P(1 + i)i = P(1 + i)^2$
ចំនួនប្រាក់សរុបនៃឆ្នាំទី $3$ គឺ $P(1 + i)^2 + P(1 + i)^2i = P(1 + i)^3$
$\qquad{}\vdots$
ចំនួនប្រាក់សរុបនៃឆ្នាំទី $t$ គឺ $P(1 + i)^t$ ។

ជាទូទៅ

បើតាង $P$ ជាប្រាក់ដើម $i$ ជាអត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ $t$ ជាចំនួនឆ្នាំ នោះចំនួនប្រាក់សរុបគឺ $A = P(1 + i)^t$ ។

សម្គាល់

រូបមន្ត $A = P(1 + i)^t$ ប្រើបានតែក្នុងករណីទូទាត់ការប្រាក់មួយឆ្នាំម្តង ។
ករណីទូទាត់ការប្រាក់មួយឆមាសម្តង គេប្រើ $A = P\left(1 + \dfrac{i}{2}\right)^{2t}$ ព្រោះមួយឆ្នាំទូទាត់ការប្រាក់ពីរដង នាំឱ្យ $t$ ឆ្នាំទូទាត់ $2t$ ហើយមួយឆ្នាំទទួលការប្រាក់ $i$ នាំឱ្យមួយឆមាសទទួលអត្រាការប្រាក់ $\dfrac{i}{2}$ ។
ករណីទូទាត់ការប្រាក់មួយត្រីមាសម្តង គេប្រើ $A = P\left(1 + \dfrac{i}{4}\right)^{4t}$ ព្រោះមួយឆ្នាំទូទាត់ការប្រាក់បួនដង នាំឱ្យ $t$ ឆ្នាំទូទាត់ $4t$ ហើយមួយឆ្នាំទទួលការប្រាក់ $i$ នាំឱ្យមួយត្រីមាស ទទួលការប្រាក់ $\dfrac{i}{4}$ ។

ជាទូទៅ

បើ $n$ ជាចំនួនដងនៃការទូទាត់ការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំ គេបានរូបមន្ត $A = P\left(1 + \dfrac{i}{n}\right)^{nt}$ ។

លំហាត់គំរូ ៤

នៅឆ្នាំ $1987$ អ្នកវិនិយោគទុនម្នាក់បានទិញដីមួយកន្លែងថ្លៃ $84\,000$ ដុល្លារ ហើយនៅឆ្នាំ $2007$ គាត់បានលក់ដីនោះវិញដោយទទួលបានតម្លៃ $49$ លានដុល្លារ ។ តើក្នុងមួយឆ្នាំអ្នកវិនិយោគទុននោះទទួលបានអត្រាការប្រាក់ចំណេញចំនួនប៉ុន្មាន បើប្រាក់របស់គាត់កើនពី $84\,000$ ដុល្លារដល់ $49$ លានដុល្លារក្នុងរយៈពេល $20$ ឆ្នាំ ។

ដំណោះស្រាយ

តាង $i$ ជាអត្រាការប្រាក់ចំណេញ

\[\begin{gathered} 84\,000(1 + i)^{20} = 49\,000\,000 \quad{} \text{ឬ}\\ (1 + i)^{20} = \frac{49\,000\,000}{84\,000} = \frac{49\,000}{84}\\ (\text{លើកឫសទី } 20) \end{gathered}\]

គេបាន $1 + i \approx 1.375$ ឬ $i \approx 0.375$ ។

ដូច្នេះ ក្នុងមួយឆ្នាំអ្នកវិនិយោគទុនទទួលបានអត្រាការប្រាក់ចំណេញ $37.5\%$ ។

លំហាត់គំរូ ៥

នៅឆ្នាំ $1996$ មានសិស្សប្រឡងជាប់សញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាទុតិយភូមិចំនួន $3\,405$ នាក់ ហើយចំនួននេះមានការកើនឡើង $30\%$ ជារៀងរាល់ឆ្នាំ ។

សរសេរសមីការដែលបង្ហាញចំនួនសិស្សប្រឡងជាប់នៅឆ្នាំ $1996$ ។
តើនៅឆ្នាំ $2006$ មានសិស្សប៉ុន្មាននាក់បានប្រឡងជាប់សញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាទុតិយភូមិ ។

ដំណោះស្រាយ

សមីការសិស្សប្រឡងជាប់សញ្ញាបត្រនៅឆ្នាំ $1996$ ។ ប្រើរូបមន្ត $y = C(1 + r)^t$ ដែល $C = 3\,405$ ចំនួនសិស្សប្រឡងជាប់, $r = 30\% = 0.30$ អត្រាសិស្សប្រឡងជាប់, $t$ ឆ្នាំដែលសិស្សប្រឡងជាប់, $y$ ចំនួនសិស្សប្រឡងជាប់ ។
ចំនួនសិស្សប្រឡងជាប់នៅឆ្នាំ $2006$ ។ តាមសមីការខាងលើ $y = 3\,405(1.30)^t$ ដែល $t = 2006 - 1996 = 10$ ។ គេបាន $y = 3\,405(1.30)^{10} \approx 46\,941$ ។

ដូច្នេះ ចំនួនសិស្សដែលបានប្រឡងជាប់នៅឆ្នាំ $2006$ គឺ $46\,941$ នាក់ ។

លំហាត់គំរូ ៦

កសិករម្នាក់ទិញត្រាក់ទ័រមួយគ្រឿងសម្រាប់ភ្ជួរស្រែក្នុងតម្លៃ $50\,000$ ដុល្លារ ។ ត្រាក់ទ័រនោះចុះថ្លៃ $10\%$ ជារៀងរាល់ឆ្នាំ ។ រកតម្លៃត្រាក់ទ័រក្នុងរយៈពេល $7$ ឆ្នាំក្រោយ ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រើរូបមន្ត $y = C(1 + r)^t$ ដែល $C = 50\,000$ ជាតម្លៃទិញ, $r = -10\% = -0.10$ ជាអត្រាចុះថ្លៃ, $t = 7$ ជាចំនួនឆ្នាំ, $y$ ជាតម្លៃលក់នៅឆ្នាំក្រោយពីចុះថ្លៃ ។

គេបាន $y = 50\,000(1 - 0.10)^7 \approx 23\,914.85$ ។

ដូច្នេះ ក្នុងរយៈពេល $7$ ឆ្នាំក្រោយ តម្លៃត្រាក់ទ័រនៅសល់ត្រឹមតែ $23\,914.85\$$ ។

ប្រតិបត្តិ

ពូស៊ុយបានយកប្រាក់មួយចំនួនទៅផ្ញើនៅធនាគារមួយ ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $9\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ រយៈពេល $5$ ឆ្នាំក្រោយមក គាត់បានដកប្រាក់ពីធនាគារនោះវិញ ដោយទទួលបានប្រាក់សរុបចំនួន $1\,000$ ដុល្លារ ។ តើពូស៊ុយមានប្រាក់ដើមចំនួនប៉ុន្មាន?
មនុស្សម្នាក់មានអាយុ $20$ ឆ្នាំ បានយកប្រាក់ $1\,000$ ដុល្លារ ទៅផ្ញើនៅធនាគារមួយ ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $12\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ តើគាត់មានប្រាក់សរុបចំនួនប៉ុន្មាន បើបច្ចុប្បន្នគាត់មានអាយុ $60$ ឆ្នាំ?
មនុស្សម្នាក់បានទិញរថយន្តថ្មីមួយគ្រឿងម៉ាកតូយ៉ូតាកាម៉ារី ក្នុងតម្លៃ $3\,900$ ដុល្លារ ។ រថយន្តនោះចុះថ្លៃ $14\%$ ជារៀងរាល់ឆ្នាំ ។ រកតម្លៃរថយន្តក្នុងរយៈពេល $10$ ឆ្នាំក្រោយ ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ៥៧–៧១។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

$\sqrt{16}$
$\sqrt{225}$
$\sqrt{144}$
$\sqrt[3]{0.008(y - 2)^3}$
$\sqrt{(-6x)^2}$
$\sqrt[3]{27}$
$-\sqrt[3]{64}$
$\sqrt[3]{-64x^3}$ ។

២លំហាត់ទី ២

សរសេរកន្សោមខាងក្រោមជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$x = \sqrt[4]{10}$
$\sqrt[8]{56} = k$
$a = \sqrt[28]{500h}$
$b = \sqrt[x]{y}$ ។

៣លំហាត់ទី ៣

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖

$\sqrt[4]{625}$
$\sqrt[5]{-1}$
$-\sqrt[5]{-32}$
$\sqrt[5]{-\dfrac{1}{32}}$
$\sqrt[6]{x^6}$
$\sqrt[4]{(7b)^4}$
$\sqrt[7]{y^7}$
$\sqrt[5]{(x - 2)^5}$ ។

៤លំហាត់ទី ៤

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$f(x) = \sqrt{x}$
$f(x) = \sqrt[3]{x}$
$f(x) = \sqrt{2x + 8}$
$f(x) = \sqrt{4 - 3x}$
$f(x) = \sqrt{-3x^2}$
$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$
$f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2x^2 - 3x - 5}$
$f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - x - 2}$
$f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1}}{x + |x|}$ ។

៥លំហាត់ទី ៥

គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖

$\sqrt{x}$
$\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{5}$
$\sqrt[4]{8} \times \sqrt[4]{9} \times \sqrt[4]{72}$
$\sqrt{3a} \times \sqrt{10b}$
$\sqrt{x - a} \times \sqrt{x + a}$
$\sqrt{\dfrac{6}{x}} \times \sqrt{\dfrac{y}{5}}$ ។

៦លំហាត់ទី ៦

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖

$\dfrac{2}{3}\sqrt{45} + \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{16} + \dfrac{1}{4}\sqrt{72}$
$x\sqrt[3]{2y} - \sqrt[3]{16x^3y} + \dfrac{x}{3}\sqrt[3]{54y}$ ។

៧លំហាត់ទី ៧

ប្រៀបធៀបកន្សោមខាងក្រោម ៖

$5\sqrt[3]{2}$ និង $2\sqrt[3]{31}$
$\sqrt[3]{2}$ និង $\sqrt[12]{45}$
$\sqrt[6]{5}$ និង $\sqrt[8]{8}$ ។

៨លំហាត់ទី ៨

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖

$\dfrac{\sqrt[3]{c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3}}{\sqrt{c^2 - d^2} \times \sqrt{c^2 - d^2}}$
$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$
$\dfrac{\sqrt{p}}{\sqrt{3q^2 + 4pq + p^2}} \times \dfrac{\sqrt{p + 3q}}{\sqrt{p^2 + 6pq + 8q^2}} \div \dfrac{1}{\sqrt{p^2 + 3pq + 2q^2}}$ ។

៩លំហាត់ទី ៩

សរសេរកន្សោមខាងក្រោមជាទម្រង់រ៉ាឌីកាល់

$8^{\frac{1}{3}}$
$x^{\frac{1}{4}}$
$y^{\frac{1}{5}}$
$(a^5t^3)^{\frac{1}{2}}$
$(x^3y^3)^{\frac{1}{4}}$
$(x^3y^5)^{\frac{1}{4}}$ ។

១០លំហាត់ទី ១០

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

$2^x = 32$
$(x + 1)^{x^2-4x+3} = 1$
$(2 - \sqrt{3})^x + (2 + \sqrt{3})^x = 2$
$3^{(2^x)} = 6561$
$81^{(4^x)} = 9$
$3(4^x) + 2(9^x) - 5(6^x) = 0$
$3^{(3^x)} = 1$
$\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^x + \left(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)^x = 4$ ។

១១លំហាត់ទី ១១

ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖

$2^x > 1$
$3^x \le 1$
$2^{2x} \le \dfrac{1}{16}$
$16^x < 8^{x+1}$
$32^{5x+2} \ge 16^{5x}$
$4^{3x-1} > \dfrac{1}{256}$ ។

១២លំហាត់ទី ១២

ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖

$16^x > 0.125$
$2^x > -8$
$27^x \times 3^{1-x} < \dfrac{1}{3}$
$(0.2)^x \le 25$
$3^x \le \sqrt[3]{9}$
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > \sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$ ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

មីងសយបានយកប្រាក់មួយចំនួនទៅផ្ញើនៅធនាគារមួយ ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ រយៈពេល $7$ ឆ្នាំក្រោយមក គាត់បានដកប្រាក់ពីធនាគារនោះវិញ ដោយទទួលបានប្រាក់សរុប ចំនួន $300$ ដុល្លារ ។ តើមីងសយមានប្រាក់ដើមចំនួនប៉ុន្មាន?

១៤លំហាត់ទី ១៤

មនុស្សម្នាក់មានអាយុ $30$ ឆ្នាំបានយកប្រាក់ $50\,000$ រៀល ទៅផ្ញើនៅធនាគារមួយដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $4\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ តើគាត់មានប្រាក់សរុបចំនួនប៉ុន្មាន បើបច្ចុប្បន្នគាត់មានអាយុ $65$ ឆ្នាំ?

១៥លំហាត់ទី ១៥

មនុស្សម្នាក់បានទិញរថយន្តថ្មីមួយគ្រឿងក្នុងតម្លៃ $45\,000$ ដុល្លារ ។ រថយន្តនោះចុះថ្លៃ $15\%$ ជារៀងរាល់ឆ្នាំ ។ រកតម្លៃរថយន្តក្នុងរយៈពេល $7$ ឆ្នាំក្រោយ ។

១៦លំហាត់ទី ១៦

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោមក្នុងតម្រុយតែមួយ ៖

$f(x) = 2^x$, $g(x) = 5^x$, $h(x) = 10^x$
$f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$, $g(x) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^x$, $h(x) = \left(\dfrac{1}{10}\right)^x$ ។

១៧លំហាត់ទី ១៧

រកតម្លៃ $a$ បើខ្សែកោងនៃ $f(x) = a^x$ កាត់តាមចំណុចនីមួយៗដូចក្រោម ៖

$A(3, 216)$
$B(5, 32)$
$C(3, 512)$
$D(4, 256)$
$E(-2, 64)$
$F\left(-3, \dfrac{1}{216}\right)$
$G(3, 343)$
$H\left(\dfrac{1}{3}, 3\right)$ ។

១៨លំហាត់ទី ១៨

បង្ហាញថា បើ $f(x) = a^x$ នោះ $f(x)f(y) = f(x + y)$ ។

១៩លំហាត់ទី ១៩

បើ $(x_1, y_1)$ និង $(x_2, y_2)$ ជាចំណុចពីរនៅលើខ្សែកោង $f(x) = a^x$ នោះចំណុចទាំងពីរ $(x_1 + x_2, y_1y_2)$ និង $\left(x_1 - x_2, \dfrac{y_1}{y_2}\right)$ ជាចំណុចនៅលើខ្សែកោង ។
បើ $(x_1, y_1)$ ជាចំណុចនៅលើខ្សែកោង $f(x) = a^x$ នោះចំណុចទាំងពីរ $(2x_1, y_1^2)$ និង $\left(-x_1, \dfrac{1}{y_1}\right)$ ជាចំណុចនៅលើខ្សែកោង $f(x) = a^x$ ។

២០លំហាត់ទី ២០

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $f(x) = 2^x$ ។
សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍នីមួយៗក្នុងតម្រុយតែមួយជាមួយក្រាបនៃអនុគមន៍ $f(x) = 2^x$
1. $y = f(x) - 1$
2. $y = f(x - 1)$
3. $y = f(x + 1)$
4. $y = f(0.5x)$
5. $y = f(2x)$
6. $y = f(-x)$ ។

២១លំហាត់ទី ២១

បើ $a > 0$ ។ ចូររកតម្លៃ $a$ និង $x$ ដែលធ្វើឱ្យសមភាព និងវិសមភាពខាងក្រោមផ្ទៀងផ្ទាត់

$a^x = 1$
$a^x > 1$
$0 < a^x < 1$ ។

២២លំហាត់ទី ២២

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍

$f(x) = 2^{|x|}$
$f(x) = x(2^x)$
$f(x) = x^x$ ។

២៣លំហាត់ទី ២៣

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម

$y = 2^{x-1}$
$y = 2^{|x-1|}$
$y = 2^x + 2^{-x}$
$y = 2^{-x^2}$
$y = 3^{-|x+1|^2}$
$y = 2^{|x^2-8|}$ ។

២៤លំហាត់ទី ២៤

ដោះស្រាយសមីការ

$3^{x^2+4x} = \dfrac{1}{27}$
$3^{5x} \cdot 9^{x^2} = 27$
$4^{3x^2+2x+1} = 16$ ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៧ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត