មេរៀនទី ១៦ : អនុគមន៍និងក្រាបនៃអនុគមន៍ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃសញ្ញាណអនុគមន៍ និងការវិវត្តតាមសម័យកាល

ពាក្យថា "អនុគមន៍" (Function) ត្រូវបានប្រើប្រាស់ដំបូងដោយអ្នកគណិតវិទ្យាអាល្លឺម៉ង់ ហ្គុតហ្វ្រីត ឡែបនីស (Gottfried Wilhelm Leibniz) ក្នុងឆ្នាំ ១៦៧៣។ ក្រោយមក អ្នកប្រាជ្ញស្វីស លេអូណា អយល័រ (Leonhard Euler) បានណែនាំនិមិត្តសញ្ញា $f(x)$ ក្នុងឆ្នាំ ១៧៣៤ ដែលយើងប្រើប្រាស់រហូតដល់សព្វថ្ងៃ។ នៅឆ្នាំ ១៨៣៧ ភីធ័រ ឌីរិចឡេ (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) បានផ្តល់និយមន័យអនុគមន៍ជាសម័យទំនើប។ នៅក្នុងទស្សនវិជ្ជា និងស្ថាបត្យកម្មខ្មែរបុរាណ ទំនាក់ទំនងមុខងាររវាងកម្ពស់ ផ្ទៃក្រឡា និងបរិមាត្រទឹកនៃបារាយណ៍ ក៏បានឆ្លុះបញ្ចាំងពីសញ្ញាណអនុគមន៍ក្នុងការគ្រប់គ្រងធនធានទឹកយ៉ាងប្រសិទ្ធភាពផងដែរ។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ទី៩ និងជំពូកមុន៖
១. ការគណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោមពីជគណិត
២. ការដោះស្រាយសមីការ និងវិសមីការដឺក្រេទី១
៣. ការដៅកូអរដោនេនៃចំណុចក្នុងប្លង់កូអរដោនេ (អ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេ)

សញ្ញាណនៃអនុគមន៍

ឧទាហរណ៍

នារីបានលក់ក្រូចឆ្មារ $x$ ផ្លែ ក្នុងតម្លៃ $100$ រៀលក្នុង $1$ ផ្លែ ហើយនាងទទួលបានប្រាក់ចំណូលគឺ $y = 100x$ រៀល ។ នេះជាទំនាក់ទំនងមួយរវាងប្រាក់ចំណូលរបស់នារី ។

ឧទាហរណ៍

បើគេសង់សួនច្បារចតុកោណកែងមួយ ដែលមានបរិមាត្រស្មើ $100$ (ម៉ែត្រ) និងទទឹងគឺ $x$ (ម៉ែត្រ) នោះផ្ទៃក្រឡា $y$ គឺ $y = x(50 - x)$ (ម៉ែត្រការេ) ដែល $0 < x < 50$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

ធាតុ $x$ នៃសំណុំ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ទាក់ទងនឹងធាតុ $y$ នៃសំណុំ $B = \{1, 4, 9, 16\}$ តាមទំនាក់ទំនង “មានការេស្មើនឹង” គឺ “$y = x^2$” ដូចក្នុងដ្យាក្រាមព្រួញខាងក្រោម៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ពិនិត្យទំនាក់ទំនងរវាង $x$ និង $y$ ខាងលើ ។ ចំពោះតម្លៃនីមួយៗនៃ $x$ តើមានតម្លៃ $y$ ប៉ុន្មានដែលគេរកបាន ?

ចំពោះតម្លៃនីមួយៗនៃ $x$ គេអាចរកបានតម្លៃ $y$ តែមួយគត់ ។ ទំនាក់ទំនងក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងបីខាងលើនេះហៅថា អនុគមន៍ពីសំណុំមួយទៅសំណុំមួយផ្សេងទៀត ។

និយមន័យ

$A$ និង $B$ ជាសំណុំមិនទទេ ។ បើទំនាក់ទំនង $f$ ពីសំណុំ $A$ ទៅសំណុំ $B$ ភ្ជាប់ធាតុនីមួយៗនៃសំណុំ $A$ ទៅនឹងធាតុតែមួយគត់នៃសំណុំ $B$ នោះទំនាក់ទំនង $f$ ហៅថា អនុគមន៍ពីសំណុំ $A$ ទៅសំណុំ $B$ ។

ចំពោះទំនាក់ទំនង $y^2 = x$ បើគេឱ្យ $x = 9$ នោះគេបាន $y = -3$ ឬ $y = +3$ ក្នុងករណីដែលតម្លៃ $x$ មួយបណ្ដាលឱ្យ $y$ មានតម្លៃពីររូបនេះ គេថា $y^2 = x$ មិនមែនជាអនុគមន៍ទេ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បើ $f$ ជាអនុគមន៍ពីសំណុំ $A$ ទៅសំណុំ $B$ នោះ គេកំណត់សរសេរ

\[f : A \to B , \quad{} x \mapsto y = f(x)\]

$A$ ហៅថា សំណុំដើម ហើយ $x$ ជាធាតុដើមនិង $x$ ហៅថា អថេរមិនអាស្រ័យ ។ $B$ ហៅថា សំណុំចុង ហើយ $y$ ជាទូភាពនៃ $x$ តាម $f$ និង $y = f(x)$ ហៅថា អថេរអាស្រ័យ ។

១លំហាត់គំរូ ១

គេឱ្យ $f(x) = x^2 + 2x$ គណនាតម្លៃ $f(2)$, $f(0)$ និង $f(-3)$

ដំណោះស្រាយ

$f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 = 8$
$f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$
$f(-3) = (-3)^2 + 2 \cdot (-3) = 3$ ។

ប្រតិបត្តិ

ចំពោះ $g(x) = -x^2 + 3x - 4$ ។ គណនាតម្លៃខាងក្រោម៖

ក. $g(1)$	ខ. $g(0)$
គ. $g(-2)$	ឃ. $g(k)$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $-2$	ខ. $-4$
គ. $-14$	ឃ. $-k^2 + 3k - 4$ ។

ប្រតិបត្តិ

តើទំនាក់ទំនងនីមួយៗខាងក្រោមជាអនុគមន៍ឬទេ? ព្រោះអ្វី?
ក. $y = (x - 4)^2$
ខ. $x = (y + 1)^2$ ។

មើលចម្លើយ

ក. ជាអនុគមន៍ ខ. មិនមែនជាអនុគមន៍ ។

ដែនកំណត់និងសំណុំរូបភាព

ឧទាហរណ៍

តើគេអាចកំណត់តម្លៃ $f(x)$ និង $g(x)$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ឬទេ?
ក. $f(x) = 2x + 1$ ខ. $g(x) = \frac{1}{x}$

គេអាចកំណត់តម្លៃ
ក. $f(x) = 2x + 1$ មានតម្លៃចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ. $g(x) = \frac{1}{x}$ មានតម្លៃចំពោះគ្រប់ $x$ ដែល $x \neq 0$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេថាអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ និងអនុគមន៍ $g$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ លើកលែងតែសូន្យ ។ សំណុំ $A$ ជាសំណុំដែនកំណត់ តាងដោយ $D$ និងសំណុំ $B$ ជាសំណុំរូបភាព ។

និយមន័យ

១. ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ដែលតាងដោយ $D$ គឺសំណុំអថេរ $x$ ដែលបណ្ដាលឱ្យអនុគមន៍ $y = f(x)$ មានតម្លៃ ។
២. សំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ដែលតាងដោយ $I$ គឺសំណុំតម្លៃ $y = f(x)$ ចំពោះគ្រប់ $x$ នៅលើដែនកំណត់ $D$ ។

២លំហាត់គំរូ ២

ក. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $y = \frac{1}{x - 2}$ ។
ខ. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $y = \sqrt{x}$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. ប្រភាគ $\frac{1}{x - 2}$ គ្មានន័យចំពោះភាគបែងស្មើនឹងសូន្យ ។ ដោយ $x - 2 = 0$ នាំឱ្យ $x = 2$ ។ អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែ $x \neq 2$ ដូច្នេះ ដែនកំណត់ $D = \{x | x \neq 2\}$ ឬ $D = \mathbb{R} - \{2\}$ ។
ខ. អនុគមន៍ $y = \sqrt{x}$ មានន័យចំពោះគ្រប់ $x \geq 0$ គេបានដែនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺ $D = \{x | x \geq 0\}$ ឬ $D = [0, +\infty)$ ។

ប្រតិបត្តិ

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ៖
ក. $y = -x + 3$ ខ. $y = \frac{1}{x + 1}$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $D = \mathbb{R}$ ខ. $D = \mathbb{R} - \{-1\}$ ។

៣លំហាត់គំរូ ៣

រកសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖
ក. $y = -2x + 3$ ខ. $y = -2x + 3 \quad{} (x \geq 1)$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. អនុគមន៍កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ។ ដូច្នេះ គេបានសំណុំរូបភាព $I$ ជាសំណុំចំនួនពិត ដូច្នោះ $I = \{y | y \in \mathbb{R}\}$
ខ. ចំពោះគ្រប់ $x \geq 1$ គេបាន $-2x \leq -2 \iff -2x + 3 \leq -2 + 3$ នោះ $y \leq 1$ គេបាន សំណុំរូបភាព $I = \{y | y \leq 1\}$ ។

ប្រតិបត្តិ

រកសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖
ក. $y = x - 2$
ខ. $y = 3x - 4 \quad{} , \quad{} (x < 2)$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $I = \{y | y \in \mathbb{R}\}$ ខ. $I = \{y | y < 2\}$ ។

៤លំហាត់គំរូ ៤

បើថាសមួយមានកាំ $x$ នោះផ្ទៃក្រឡារបស់វាកំណត់ដោយ $\pi x^2$ ។ រកដែនកំណត់និងសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $y = \pi x^2$ ។

ដំណោះស្រាយ

កាំ $x$ នៃថាសជាចំនួនវិជ្ជមាន គេបានដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $D = \{x | x > 0\}$ ម្យ៉ាងទៀត $y = \pi x^2 > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x > 0$ គេបានសំណុំរូបភាព $I = \{y | y > 0\}$ ។

ប្រតិបត្តិ

បើ $t$ ជាថេរវេលានៃចល័តមួយដែលមានល្បឿន $15 \text{ km/h}$ នោះចម្ងាយចរកំណត់ដោយ $15t$ ។ រកដែនកំណត់ និងសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $y = 15t$ ។

មើលចម្លើយ

$D = \{t | t \geq 0\} , \quad{} I = \{y | y \geq 0\}$ ។

អនុគមន៍កើននិងអនុគមន៍ចុះ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = 2x - 1$ និង $g(x) = -x + 2$ ។ ចូរឱ្យសន្និដ្ឋានតម្លៃ $f(x)$ និង $g(x)$ កើនឡើងឬចុះនៅពេលតម្លៃ $x$ កើនឡើង ។ បើតម្លៃ $x$ កើនឡើង នោះតម្លៃ $f(x)$ កើនឡើងដែរ ។ បើតម្លៃ $x$ កើនឡើង នោះតម្លៃ $g(x)$ ថយចុះ ។ ចំពោះ $x_1$ និង $x_2$ ដែល $x_2 > x_1$ គេកំណត់កំណើនអថេរ $\Delta x = x_2 - x_1$ និងកំណើនអនុគមន៍ $\Delta f = f(x_2) - f(x_1)$ ។ គេអាចសិក្សាភាពកើន ឬចុះនៃអនុគមន៍ដោយពិនិត្យផលធៀប $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ ។

ចំពោះអនុគមន៍ $f(x) = 2x - 1$ និង $g(x) = -x + 2$ គេបាន $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(2x_2 - 1) - (2x_1 - 1)}{x_2 - x_1} = \frac{2(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = 2 > 0$ $\frac{\Delta g}{\Delta x} = \frac{g(x_2) - g(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(-x_2 + 2) - (-x_1 + 2)}{x_2 - x_1} = \frac{-(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = -1 < 0$ ។

ជាទូទៅ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើចន្លោះ ${[a, b]}$ ។

1. បើ $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$ នោះគេថា $f$ ជាអនុគមន៍កើននៅលើចន្លោះ ${[a, b]}$ ។

2. បើ $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$ នោះគេថា $f$ ជាអនុគមន៍ចុះនៅលើចន្លោះ ${[a, b]}$ ។

៥លំហាត់គំរូ ៥

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = 2x - 7$ សិក្សាភាពកើនឬភាពចុះនៃអនុគមន៍ ។

ដំណោះស្រាយ

សិក្សាភាពកើនឬភាពចុះនៃអនុគមន៍ $f(x)$ ដោយប្រើផលធៀប $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(2x_2 - 7) - (2x_1 - 7)}{x_2 - x_1} = 2 > 0$ នេះជាអនុគមន៍កើន ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = 3x - 5$ និង $g(x) = -\frac{2}{3}x + 2$ ។ សិក្សាភាពកើន ឬចុះនៃអនុគមន៍ $f$ និង $g$ ដោយប្រើផលធៀប $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ និង $\frac{\Delta g}{\Delta x}$ ។

មើលចម្លើយ

$f$ ជាអនុគមន៍កើន និង $g$ ជាអនុគមន៍ចុះ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = x^2 - 4$ ។ គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ចំពោះគ្រប់តម្លៃនៃ $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ គេបាន

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

គេដៅចំណុចទាំងនេះក្នុងតម្រុយកូអរដោនេអរតូណរមេ គេបានសំណុំចំណុចទាំងនេះបង្កើតបានជាក្រាបនៃអនុគមន៍ $f(x) = x^2 - 4$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = f(x)$ គឺជាសំណុំចំណុច $(x, y)$ ដែល $x$ នីមួយៗនៅក្នុងដែនកំណត់ $D$ នៃអនុគមន៍ $f$ ហើយ $y = f(x)$ ។

ក្រាប $f$ ជាសំណុំ $\{(x,y) | y = f(x), x \in D\}$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៦លំហាត់គំរូ ៦

ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = |x|$ ។

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះអនុគមន៍ $y = |x|$ មានដែនកំណត់ $D = \mathbb{R}$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ នោះ $y = |x| \geq 0$ គេបានសំណុំរូបភាព $I = \{y | y \geq 0\}$ ចំពោះ $x \geq 0, y = x$, $x < 0, y = -x$ ក្រាបនៃអនុគមន៍មានរាងជាអក្សរ V ដូចរូបខាងស្ដាំ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម៖
ក. $y = |x + 2|$
ខ. $y = |-x + 1| + 2$ ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = \frac{1}{x}$ ចំពោះ $x > 0$ ។
ក. ចំពោះគ្រប់តម្លៃនៃ $x \in \{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4\}$ គណនាតម្លៃ $f(x)$ ។
ខ. សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $f(x) = \frac{1}{x}$ ចំពោះ $x > 0$ ។

$f$ មានអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}$
$b$ ជារូបភាពនៃ $a$ តាម $f \iff a$ ជារូបភាពនៃ $b$ តាម $f^{-1}$ មានន័យថា $b = f(a) \iff a = f^{-1}(b)$ ។

មានដ្យាក្រាមបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f(x) = 3x + 1$ ។

ដំណោះស្រាយ

ជំនួស $f(x)$ ដោយ $y$ គេបាន $y = 3x + 1$ ប្ដូរ $x$ ជា $y$ និង $y$ ជា $x$ គេបាន $x = 3y + 1$ នោះ $y = \frac{x - 1}{3}$ ជំនួស $y$ ដោយ $f^{-1}$ គេបាន $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$ ដូច្នេះ អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f(x) = 3x + 1$ គឺ $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$ ។

ជាទូទៅ ដើម្បីរកអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f$ គេត្រូវ
១. ជំនួស $f(x)$ ដោយ $y$ ។
២. ប្ដូរ $x$ ជា $y$ និង $y$ ជា $x$ គេបានសមីការថ្មី រួចទាញរកតម្លៃ $y$ ។
៣. បើសមីការថ្មីនេះមិនតាង $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ទេ នោះអនុគមន៍ $f$ គ្មានអនុគមន៍ច្រាសទេ ។
៤. ជំនួស $y$ ដោយ $f^{-1}(x)$ ។

៧លំហាត់គំរូ ៧

ក. រកអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f(x) = 2x + 3$ ។
ខ. សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ និងអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. ដែនកំណត់និងសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $f(x) = 2x + 3$ ជាសំណុំចំនួនពិតទាំងអស់ ។ ជំនួស $f(x)$ ដោយ $y$ គេបាន $y = 2x + 3$ ប្ដូរ $x$ ជា $y$ និង $y$ ជា $x$ គេបាន $x = 2y + 3$ នោះ $y = \frac{x - 3}{2} = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ ជំនួស $y$ ដោយ $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ ដូច្នេះ អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f(x) = 2x + 3$ គឺ $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ ។
ខ. សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ និងអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}$ ។ សម្គាល់៖ ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = 2x + 3$ និងអនុគមន៍ច្រាសរបស់វា $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ គឺឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

១. រកអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f(x) = -2x - 4$ ។
២. ក. រកអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f(x) = -3x - 2$ ខ. សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ និង $f^{-1}$ ។

មើលចម្លើយ

១. $f^{-1}(x) = -\frac{1}{2}x - 2$ ២. ក. $f^{-1}(x) = -\frac{x}{3} - \frac{2}{3}$ ខ. សង់ក្រាប ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x^2 - 4x + 2$ ។ ចំពោះគ្រប់តម្លៃនៃ $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ កំណត់តម្លៃ $f(x)$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមានអនុគមន៍ $f(x) = x^2 - 4x + 2$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$៖
ជំនួសតម្លៃ $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ ចូលក្នុងកន្សោម $f(x)$៖

ចំពោះ $x = -1$៖
\[f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 2 = 1 + 4 + 2 = 7\]
ចំពោះ $x = 0$៖
\[f(0) = 0^2 - 4(0) + 2 = 2\]
ចំពោះ $x = 1$៖
\[f(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1\]
ចំពោះ $x = 2$៖
\[f(2) = 2^2 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2\]

ដូចនេះ តម្លៃដែលទទួលបានរៀងគ្នាគឺ $7, 2, -1, -2$។

២លំហាត់ទី ២

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = 2(x - 1)^2 + 1$ ។ គណនា $f(-1)$ , $2f(1)$ , $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមានអនុគមន៍ $f(x) = 2(x - 1)^2 + 1$៖
គណនាតម្លៃនីមួយៗ៖

$f(-1) = 2(-1 - 1)^2 + 1 = 2(-2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 9$
$2f(1) = 2\left[2(1 - 1)^2 + 1\right] = 2[2(0) + 1] = 2(1) = 2$
$f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 2\left(-\dfrac{1}{2} - 1\right)^2 + 1 = 2\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + 1 = 2\left(\dfrac{9}{4}\right) + 1 = \dfrac{9}{2} + 1 = \dfrac{11}{2}$

៣លំហាត់ទី ៣

គេមានអនុគមន៍ $g : x \mapsto 3 - 2x$ ។ ដោយមានជំនួយពីក្រាបតាង $y = 3 - 2x$ ។

រកសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $g$ ត្រង់ដែនកំណត់ $\{x | -1 \leq x \leq 2\}$ ។
រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $g$ ត្រូវនឹងសំណុំរូបភាព $\{y | -3 \leq y \leq 2\}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមានអនុគមន៍ $g(x) = 3 - 2x$ ដែលមានមេគុណប្រាប់ទិស $a = -2 < 0$ នាំឱ្យ $g$ ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$៖

រកសំណុំរូបភាពត្រង់ដែនកំណត់ $\{x \mid -1 \le x \le 2\}$៖
ដោយ $g$ ជាអនុគមន៍ចុះ៖
\[\begin{aligned} x = -1 &\implies g(-1) = 3 - 2(-1) = 5 \\ x = 2 &\implies g(2) = 3 - 2(2) = -1 \end{aligned}\]
ដូចនេះ សំណុំរូបភាពគឺ $R_g = \{y \mid -1 \le y \le 5\} = [-1, 5]$។
រកដែនកំណត់ត្រូវនឹងសំណុំរូបភាព $\{y \mid -3 \le y \le 2\}$៖
\[\begin{aligned} -3 \le 3 - 2x \le 2 &\iff -6 \le -2x \le -1 \\ &\iff \frac{-1}{-2} \le x \le \frac{-6}{-2} \\ &\iff \frac{1}{2} \le x \le 3 \end{aligned}\]
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = \left\{x \mid \dfrac{1}{2} \le x \le 3\right\} = \left[\dfrac{1}{2}, 3\right]$។

៤លំហាត់ទី ៤

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖

$f(x) = 4\sqrt{x - 3} - \frac{3x}{\sqrt{5 - x}}$
$f(x) = \sqrt{5x - 4} + \frac{1}{x - 3}$
$f(x) = 4\sqrt{3 - 2x} - \frac{3x}{x^2 - 3x + 2}$
$f(x) = \sqrt[3]{x - 5} - \sqrt[4]{4 - x}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នីមួយៗ៖

$f(x) = 4\sqrt{x - 3} - \dfrac{3x}{\sqrt{5 - x}}$៖
អនុគមន៍មានន័យកាលណា៖
\[\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 3 \\ x < 5 \end{cases} \iff 3 \le x < 5\]
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = [3, 5)$។
$f(x) = \sqrt{5x - 4} + \dfrac{1}{x - 3}$៖
អនុគមន៍មានន័យកាលណា៖
\[\begin{cases} 5x - 4 \ge 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge \dfrac{4}{5} \\ x \neq 3 \end{cases}\]
ដូចនេះ $D = \left[\dfrac{4}{5}, 3\right) \cup (3, +\infty)$។
$f(x) = 4\sqrt{3 - 2x} - \dfrac{3x}{x^2 - 3x + 2}$៖
អនុគមន៍មានន័យកាលណា៖
\[\begin{cases} 3 - 2x \ge 0 \\ x^2 - 3x + 2 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le \dfrac{3}{2} \\ (x - 1)(x - 2) \neq 0 \end{cases}\]
$\implies x \le \dfrac{3}{2}$ និង $x \neq 1$ (ចំណែក $x = 2$ ធំជាង $3/2$ ស្រាប់)។
ដូចនេះ $D = (-\infty, 1) \cup \left(1, \dfrac{3}{2}\right]$។
$f(x) = \sqrt[3]{x - 5} - \sqrt[4]{4 - x}$៖
ឫសទី ៣ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។
ឫសទី ៤ (សន្ទស្សន៍គូ) មានន័យកាលណា៖
\[4 - x \ge 0 \iff x \le 4\]
ដូចនេះ $D = (-\infty, 4]$។

៥លំហាត់ទី ៥

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = x + 3$ ដែល $x \geq 0$ , $g(x) = x^2$ និង $-2 \leq x \leq 3$ ។ រកសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $f$ , $g$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និង $g$៖

ចំពោះ $f(x) = x + 3$ ដែល $x \ge 0$៖
ដោយ $x \ge 0 \implies x + 3 \ge 3$ នាំឱ្យ $f(x) \ge 3$។
ដូចនេះ សំណុំរូបភាពគឺ $R_f = [3, +\infty)$។
ចំពោះ $g(x) = x^2$ ដែល $-2 \le x \le 3$៖
តម្លៃអប្បបរមានៃ $x^2$ កើតមានត្រង់ $x = 0 \in [-2, 3]$ គឺ $g(0) = 0$។
តម្លៃអតិបរមាកើតមានត្រង់ $x = 3$ គឺ $g(3) = 3^2 = 9$ (ធៀបនឹង $(-2)^2 = 4$)។
ដូចនេះ សំណុំរូបភាពគឺ $R_g = [0, 9]$។

៦លំហាត់ទី ៦

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = 2x - 3$ និង $g(x) = x^2 + 2$ ។ សិក្សាភាពកើន ឬចុះនៃអនុគមន៍ $f$ និង $g$ ដោយប្រើផលធៀប $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ និង $\frac{\Delta g}{\Delta x}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

សិក្សាភាពកើន ឬចុះដោយប្រើផលធៀបអត្រាបម្រែបម្រួល៖

ចំពោះ $f(x) = 2x - 3$ លើ $\mathbb{R}$៖
យក $x_1 \neq x_2$៖
\[\begin{aligned} \frac{\Delta f}{\Delta x} &= \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{(2x_2 - 3) - (2x_1 - 3)}{x_2 - x_1} = \frac{2(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = 2 \end{aligned}\]
ដោយ $\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = 2 > 0$ នាំឱ្យ $f$ ជាអនុគមន៍ កើនដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$។
ចំពោះ $g(x) = x^2 + 2$៖
\[\frac{\Delta g}{\Delta x} = \frac{(x_2^2 + 2) - (x_1^2 + 2)}{x_2 - x_1} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{x_2 - x_1} = x_1 + x_2\]
- លើ $(-\infty, 0]$៖ យក $x_1 < x_2 \le 0 \implies x_1 + x_2 < 0 \implies \dfrac{\Delta g}{\Delta x} < 0$ នាំឱ្យ $g$ ចុះដាច់ខាត។
- លើ $[0, +\infty)$៖ យក $0 \le x_1 < x_2 \implies x_1 + x_2 > 0 \implies \dfrac{\Delta g}{\Delta x} > 0$ នាំឱ្យ $g$ កើនដាច់ខាត។

៧លំហាត់ទី ៧

រកអនុគមន៍ច្រាស ចំពោះអនុគមន៍ $f(x)$ នីមួយៗខាងក្រោម៖

$f(x) = 2x + 3$
$f(x) = 2 - x$
$f(x) = \frac{1}{x} - 3$ , $x \neq 0$
$f(x) = \frac{3}{x - 1}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}(x)$៖

$y = 2x + 3 \implies 2x = y - 3 \implies x = \dfrac{y - 3}{2}$៖
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{2}$។
$y = 2 - x \implies x = 2 - y$៖
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = 2 - x$។
$y = \dfrac{1}{x} - 3 \implies \dfrac{1}{x} = y + 3 \implies x = \dfrac{1}{y + 3}$ ($y \neq -3$)៖
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x + 3}$ ចំពោះ $x \neq -3$។
$y = \dfrac{3}{x - 1} \implies x - 1 = \dfrac{3}{y} \implies x = \dfrac{3}{y} + 1 = \dfrac{y + 3}{y}$ ($y \neq 0$)៖
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{x} = 1 + \dfrac{3}{x}$ ចំពោះ $x \neq 0$។

៨លំហាត់ទី ៨

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម៖

$y = |x + 1|$
$y = |x - 1| + 2$

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍៖

$y = |x + 1| = \begin{cases} x + 1 & \text{បើ } x \ge -1 \\ -(x + 1) & \text{បើ } x < -1 \end{cases}$៖
ក្រាបមានរាងជាអក្សរ V ដែលមានកំពូលត្រង់ចំណុច $(-1, 0)$ និងកាត់អ័ក្ស $Oy$ ត្រង់ $(0, 1)$។
$y = |x - 1| + 2 = \begin{cases} x + 1 & \text{បើ } x \ge 1 \\ -x + 3 & \text{បើ } x < 1 \end{cases}$៖
ក្រាបមានរាងជាអក្សរ V ដែលមានកំពូលត្រង់ចំណុច $(1, 2)$ និងកាត់អ័ក្ស $Oy$ ត្រង់ $(0, 3)$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៩លំហាត់ទី ៩

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f(x) = x + 3$ ។
សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ និងអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកអនុគមន៍ច្រាសនៃ $f(x) = x + 3$៖
តាង $y = x + 3 \implies x = y - 3$។
ដូចនេះ អនុគមន៍ច្រាសគឺ $f^{-1}(x) = x - 3$។
សង់ក្រាបតាង $f$ និង $f^{-1}$៖
បន្ទាត់ $f(x) = x + 3$ កាត់តាមចំណុច $(0, 3)$ និង $(-3, 0)$។
បន្ទាត់ $f^{-1}(x) = x - 3$ កាត់តាមចំណុច $(0, -3)$ និង $(3, 0)$។
ក្រាបទាំងពីរនេះស៊ីមេទ្រីគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះទីមួយ $y = x$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

១០លំហាត់ទី ១០

ក្រាបខាងស្ដាំនេះជាក្រាបល្បឿនពេលនៃចល័តមួយដែលល្បឿនកើនឡើងក្នុងរយៈពេល $8\text{ s}$ ល្បឿនរបស់វាជាអនុគមន៍នៃពេលកំណត់ដោយ $V = 5 + 2t$ (m/s) ។ គណនា

ល្បឿនដើមរបស់ចល័ត
ល្បឿននៃចល័តនៅពេល $t = 8\text{ s}$
សំទុះរបស់ចល័ត
ល្បឿនមធ្យម បើក្នុងរយៈពេល $8\text{ s}$ ចល័តចរបាន $104\text{ m}$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

ល្បឿនចល័ត $V = 5 + 2t$ (m/s) ក្នុងរយៈពេល $8\text{ s}$៖

ល្បឿនដើម (ពេល $t = 0$)៖
\[V_0 = V(0) = 5 + 2(0) = 5\text{ m/s}\]
ល្បឿននៅពេល $t = 8\text{ s}$៖
\[V(8) = 5 + 2(8) = 5 + 16 = 21\text{ m/s}\]
សំទុះរបស់ចល័ត (មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់)៖
\[a = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{V(8) - V(0)}{8 - 0} = \frac{21 - 5}{8} = 2\text{ m/s}^2\]
ល្បឿនមធ្យម បើចរបានចម្ងាយ $d = 104\text{ m}$ ក្នុងពេល $t = 8\text{ s}$៖
\[V_{\text{avg}} = \frac{d}{t} = \frac{104}{8} = 13\text{ m/s}\]
(ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $\dfrac{V_0 + V(8)}{2} = \dfrac{5 + 21}{2} = 13\text{ m/s}$)។

១១លំហាត់ទី ១១

ថ្លៃធ្វើដំណើរតាមរ៉ឺម៉កកង់បី៖ ក្រុមហ៊ុនកង់បីមួយគិតប្រាក់ឈ្នួលជាមូលដ្ឋាន ៣០០០ រៀល បូកបន្ថែម ១៥០០ រៀលក្នុង ១គីឡូម៉ែត្រ។

ចូរសរសេរអនុគមន៍ $f(x)$ តំណាងឱ្យថ្លៃធ្វើដំណើរសរុបជាអនុគមន៍នៃចម្ងាយ $x$ គីឡូម៉ែត្រ។
បើសុខជិះចម្ងាយ ៥ គីឡូម៉ែត្រ តើគាត់ត្រូវបង់ប្រាក់ប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ថ្លៃធ្វើដំណើរតាមរ៉ឺម៉កកង់បី៖

អនុគមន៍ថ្លៃធ្វើដំណើរសរុប $f(x)$ តាមចម្ងាយ $x\text{ km}$៖
ថ្លៃដើម $3000$ រៀល បូកនឹង $1500$ រៀលក្នុងមួយគីឡូម៉ែត្រ៖
\[f(x) = 3000 + 1500x \quad{} (x \ge 0)\]
បើសុខជិះបានចម្ងាយ $x = 5\text{ km}$៖
\[\begin{aligned} f(5) &= 3000 + 1500(5) \\ &= 3000 + 7500 = 10500\text{ រៀល} \end{aligned}\]

១២លំហាត់ទី ១២

ការបំពេញទឹកអាង៖ អាងទឹកមួយមានចំណុះ ២០០០ លីត្រ។ គេបើកទុយោបញ្ចូលទឹកក្នុងអាងដោយល្បឿនថេរ ៥០ លីត្រក្នុង១នាទី។

ចូរសរសេរអនុគមន៍ $f(t)$ ដែលតំណាងឱ្យបរិមាណទឹកក្នុងអាងនៅនាទីទី $t$។
តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានទើបទឹកពេញអាង?

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំពេញទឹកអាង៖ ចំណុះ $2000\text{ L}$, ល្បឿន $50\text{ L/min}$៖

អនុគមន៍បរិមាណទឹកនៅនាទីទី $t$៖
\[f(t) = 50t \quad{} (0 \le t \le 40)\]
រយៈពេលដើម្បីទឹកពេញអាង ($f(t) = 2000$)៖
\[50t = 2000 \implies t = \frac{2000}{50} = 40\text{ នាទី}\]

១៣លំហាត់ទី ១៣

កំណត់ថាតើទំនាក់ទំនងនីមួយៗខាងក្រោមជាអនុគមន៍ឬទេ? ពន្យល់ហេតុផល៖

$y = 3x - 5$
$x^2 + y^2 = 25$
$y = |x - 2|$
$x = y^2 + 1$។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ថាតើទំនាក់ទំនងជាអនុគមន៍ឬទេ៖

$y = 3x - 5$ ៖ ជាអនុគមន៍ ព្រោះគ្រប់តម្លៃនៃ $x$ នីមួយៗផ្ដល់តម្លៃ $y$ តែមួយគត់។
$x^2 + y^2 = 25$ ៖ មិនមែនជាអនុគមន៍ទេ ព្រោះជាសមីការរង្វង់ ដែលតម្លៃ $x \in (-5, 5)$ មួយផ្ដល់តម្លៃ $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ ចំនួនពីរខុសគ្នា (បរាជ័យតេស្តបន្ទាត់ឈរ)។
$y = |x - 2|$ ៖ ជាអនុគមន៍ ព្រោះគ្រប់ $x$ ផ្ដល់តម្លៃ $y$ តែមួយគត់។
$x = y^2 + 1$ ៖ មិនមែនជាអនុគមន៍ទេ ព្រោះ $y = \pm\sqrt{x - 1}$ ផ្ដល់តម្លៃ $y$ ពីរចំពោះ $x > 1$។

១៤លំហាត់ទី ១៤

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$។ គណនាតម្លៃនៃ $f(3), f(-2), f(a)$ និង $f(x+1)$។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$៖

\[\begin{aligned} f(3) &= 2(3^2) - 3(3) + 1 = 18 - 9 + 1 = 10 \\ f(-2) &= 2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15 \\ f(a) &= 2a^2 - 3a + 1 \\ f(x+1) &= 2(x+1)^2 - 3(x+1) + 1 \\ &= 2(x^2 + 2x + 1) - 3x - 3 + 1 \\ &= 2x^2 + 4x + 2 - 3x - 2 = 2x^2 + x \end{aligned}\]

១៥លំហាត់ទី ១៥

គេឱ្យអនុគមន៍ $g(x) = \dfrac{x-1}{x+2}$។ គណនាតម្លៃនៃ $g(0), g(3), g(-1)$ និង $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $g(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$៖

\[\begin{aligned} g(0) &= \frac{0 - 1}{0 + 2} = -\frac{1}{2} \\ g(3) &= \frac{3 - 1}{3 + 2} = \frac{2}{5} \\ g(-1) &= \frac{-1 - 1}{-1 + 2} = \frac{-2}{1} = -2 \\ g\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{\frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2} + 2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}} = -\frac{1}{5} \end{aligned}\]

១៦លំហាត់ទី ១៦

គេឱ្យអនុគមន៍ $h(x) = \sqrt{2x + 6}$។ រកដែនកំណត់នៃ $h$ រួចគណនា $h(5), h(-1)$ និង $h(-3)$។

មើលដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍ $h(x) = \sqrt{2x + 6}$៖
លក្ខខណ្ឌកំណត់៖ $2x + 6 \ge 0 \iff 2x \ge -6 \iff x \ge -3$។
ដែនកំណត់គឺ $D = [-3, +\infty)$។
គណនាតម្លៃ៖

\[\begin{aligned} h(5) &= \sqrt{2(5) + 6} = \sqrt{16} = 4 \\ h(-1) &= \sqrt{2(-1) + 6} = \sqrt{4} = 2 \\ h(-3) &= \sqrt{2(-3) + 6} = \sqrt{0} = 0 \end{aligned}\]

១៧លំហាត់ទី ១៧

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f(x) = \dfrac{2x+3}{x^2 - 4}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = \dfrac{2x + 3}{x^2 - 4}$៖
លក្ខខណ្ឌកំណត់៖ ភាគបែងមិនសូន្យ $x^2 - 4 \neq 0 \iff x \neq \pm 2$។
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$។

១៨លំហាត់ទី ១៨

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{x - 5}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 5}$៖
លក្ខខណ្ឌកំណត់៖

\[\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x - 5 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 2 \\ x \neq 5 \end{cases}\]

ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = [2, 5) \cup (5, +\infty) = [2, +\infty) \setminus \{5\}$។

១៩លំហាត់ទី ១៩

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = \sqrt{9 - x^2}$៖
លក្ខខណ្ឌកំណត់៖ $9 - x^2 \ge 0 \iff x^2 \le 9 \iff -3 \le x \le 3$។
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = [-3, 3]$។

២០លំហាត់ទី ២០

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$ ៖
លក្ខខណ្ឌកំណត់ ៖ $x^2 - 5x + 6 \ge 0 \iff (x - 2)(x - 3) \ge 0$។
តារាងសញ្ញា ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមតារាងសញ្ញា កន្សោមមិនអវិជ្ជមានលើ ៖
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$។

២១លំហាត់ទី ២១

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+3}} + \sqrt{7-x}$។

មើលដំណោះស្រាយ

$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} + \sqrt{7 - x}$៖
លក្ខខណ្ឌកំណត់៖

\[\begin{cases} x + 3 > 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -3 \\ x \le 7 \end{cases} \iff -3 < x \le 7\]

ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = (-3, 7]$។

២២លំហាត់ទី ២២

រកសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $f(x) = 2x + 1$ ចំពោះ $x \in [-2, 3]$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកសំណុំរូបភាពនៃ $f(x) = 2x + 1$ ចំពោះ $x \in [-2, 3]$៖
ដោយ $a = 2 > 0$ នាំឱ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត៖

\[\begin{aligned} f(-2) &= 2(-2) + 1 = -3 \\ f(3) &= 2(3) + 1 = 7 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សំណុំរូបភាពគឺ $R_f = [-3, 7]$។

២៣លំហាត់ទី ២៣

រកសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $f(x) = x^2 - 4$ ចំពោះ $x \in [-1, 3]$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកសំណុំរូបភាពនៃ $f(x) = x^2 - 4$ ចំពោះ $x \in [-1, 3]$៖
កំពូលប៉ារ៉ាបូលត្រង់ $x = 0 \in [-1, 3]$ ផ្ដល់តម្លៃអប្បបរមា៖

\[f(0) = 0^2 - 4 = -4\]

តម្លៃនៅចុងកាត់៖

\[\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^2 - 4 = -3 \\ f(3) &= 3^2 - 4 = 5 \quad{} (\text{តម្លៃអតិបរមា}) \end{aligned}\]

ដូចនេះ សំណុំរូបភាពគឺ $R_f = [-4, 5]$។

២៤លំហាត់ទី ២៤

រកសំណុំរូបភាពនៃអនុគមន៍ $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ ចំពោះ $x \in (2, 6]$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកសំណុំរូបភាពនៃ $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ ចំពោះ $x \in (2, 6]$៖
លើចន្លោះ $(2, 6]$ អនុគមន៍ចុះដាច់ខាត៖

កាលណា $x \to 2^+$ នោះ $x - 2 \to 0^+$ នាំឱ្យ $f(x) \to +\infty$
ត្រង់ $x = 6$ នោះ $f(6) = \dfrac{1}{6 - 2} = \dfrac{1}{4}$

ដូចនេះ សំណុំរូបភាពគឺ $R_f = \left[\dfrac{1}{4}, +\infty\right)$។

២៥លំហាត់ទី ២៥

សិក្សាភាពគូ ឬសេស នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖

$f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$
$g(x) = x^3 - 3x$
$h(x) = 2x^3 + x^2$។

មើលដំណោះស្រាយ

សិក្សាភាពគូ ឬសេស នៃអនុគមន៍៖

$f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ មាន $D = \mathbb{R}$៖
$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 5 = x^4 - 2x^2 + 5 = f(x)$ នាំឱ្យ $f$ ជា អនុគមន៍គូ។
$g(x) = x^3 - 3x$ មាន $D = \mathbb{R}$៖
$g(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -g(x)$ នាំឱ្យ $g$ ជា អនុគមន៍សេស។
$h(x) = 2x^3 + x^2$ មាន $D = \mathbb{R}$៖
$h(-x) = 2(-x)^3 + (-x)^2 = -2x^3 + x^2 \neq h(x)$ និង $\neq -h(x)$ នាំឱ្យ $h$ មិនគូ មិនសេស។

២៦លំហាត់ទី ២៦

បង្ហាញថា $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ ជាអនុគមន៍សេស រួចបញ្ជាក់ដែនកំណត់របស់វា។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ ជាអនុគមន៍សេស៖
ដោយ $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ នាំឱ្យដែនកំណត់គឺ $D = \mathbb{R}$ (ស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងគល់ $O$)។
គណនា $f(-x)$៖

\[f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = -\frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)\]

ដូចនេះ $f(x)$ ជា អនុគមន៍សេស ដែលមានក្រាបឆ្លុះធៀបនឹងគល់តម្រុយ $O$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

ប្រើនិយមន័យអត្រាបម្រែបម្រួលដើម្បីស្រាយបំភ្លឺថា $f(x) = 3x - 4$ ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបំភ្លឺថា $f(x) = 3x - 4$ កើនដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$៖
យកពីរចំនួនពិត $x_1 < x_2$ ($x_1, x_2 \in \mathbb{R}$)៖

\[\begin{aligned} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} &= \frac{(3x_2 - 4) - (3x_1 - 4)}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{3(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = 3 > 0 \end{aligned}\]

ដោយអត្រាបម្រែបម្រួលវិជ្ជមានជានិច្ច នាំឱ្យ $f(x)$ ជាអនុគមន៍ កើនដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

ស្រាយបំភ្លឺថា $f(x) = -2x + 7$ ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបំភ្លឺថា $f(x) = -2x + 7$ ចុះដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$៖
យក $x_1 < x_2 \in \mathbb{R}$៖

\[\begin{aligned} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} &= \frac{(-2x_2 + 7) - (-2x_1 + 7)}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{-2(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = -2 < 0 \end{aligned}\]

ដោយអត្រាបម្រែបម្រួលអវិជ្ជមានជានិច្ច នាំឱ្យ $f(x)$ ជាអនុគមន៍ ចុះដាច់ខាតលើ $\mathbb{R}$។

២៩លំហាត់ទី ២៩

សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f(x) = x^2$ លើចន្លោះ $(-\infty, 0]$ និងលើចន្លោះ $[0, +\infty)$។

មើលដំណោះស្រាយ

សិក្សាអថេរភាពនៃ $f(x) = x^2$៖
យក $x_1 \neq x_2$៖

\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{x_2 - x_1} = x_1 + x_2\]

លើ $(-\infty, 0]$៖ យក $x_1 < x_2 \le 0 \implies x_1 + x_2 < 0 \implies \dfrac{\Delta f}{\Delta x} < 0$ នាំឱ្យ $f$ ចុះដាច់ខាតលើ $(-\infty, 0]$។
លើ $[0, +\infty)$៖ យក $0 \le x_1 < x_2 \implies x_1 + x_2 > 0 \implies \dfrac{\Delta f}{\Delta x} > 0$ នាំឱ្យ $f$ កើនដាច់ខាតលើ $[0, +\infty)$។

៣០លំហាត់ទី ៣០

អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ $f(x) = ax + b$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(1) = 5$ និង $f(3) = 11$។ រកតម្លៃ $a$ និង $b$។

មើលដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ $f(x) = ax + b$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(1) = 5$ និង $f(3) = 11$៖

\[\begin{cases} a(1) + b = 5 \\ a(3) + b = 11 \end{cases} \iff \begin{cases} a + b = 5 \\ 3a + b = 11 \end{cases}\]

យកសមីការទីពីរដកសមីការទីមួយ៖

\[2a = 6 \implies a = 3\]

ជំនួស $a = 3$ ចូលសមីការទីមួយ៖

\[3 + b = 5 \implies b = 2\]

ដូចនេះ $a = 3$ និង $b = 2$ (អនុគមន៍គឺ $f(x) = 3x + 2$)។

៣១លំហាត់ទី ៣១

រកសមីការបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច $A(2, -1)$ និង $B(4, 5)$។

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការបន្ទាត់កាត់តាម $A(2, -1)$ និង $B(4, 5)$៖
មេគុណប្រាប់ទិស៖

\[m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - (-1)}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3\]

សមីការបន្ទាត់មានទម្រង់៖

\[y - y_A = m(x - x_A) \implies y - (-1) = 3(x - 2)\]

\[y + 1 = 3x - 6 \implies y = 3x - 7\]

៣២លំហាត់ទី ៣២

រកសមីការបន្ទាត់ស្របនឹងបន្ទាត់ $y = 3x - 2$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(1, 4)$។

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការបន្ទាត់ស្របនឹង $y = 3x - 2$ កាត់តាម $(1, 4)$៖
ដោយបន្ទាត់ទាំងពីរស្របគ្នា នោះមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា $m = 3$។
សមីការបន្ទាត់គឺ៖

\[\begin{aligned} y - 4 &= 3(x - 1) \\ \implies y &= 3x - 3 + 4 = 3x + 1 \end{aligned}\]

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

រកសមីការបន្ទាត់កែងនឹងបន្ទាត់ $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(2, 1)$។

មើលដំណោះស្រាយ

សមីការបន្ទាត់កែងនឹង $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ កាត់តាម $(2, 1)$៖
លក្ខខណ្ឌកែងគ្នានៃមេគុណប្រាប់ទិស៖ $m \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1 \implies m = 2$។
សមីការបន្ទាត់គឺ៖

\[\begin{aligned} y - 1 &= 2(x - 2) \\ \implies y &= 2x - 4 + 1 = 2x - 3 \end{aligned}\]

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍កំណត់ដោយបំណែក៖

\[f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{បើ } x < 1 \\ 4 - x & \text{បើ } x \ge 1 \end{cases}\]

មើលដំណោះស្រាយ

ក្រាបនៃអនុគមន៍បំណែក $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{បើ } x < 1 \\ 4 - x & \text{បើ } x \ge 1 \end{cases}$៖

ចំពោះ $x < 1$៖ ក្រាបជាកន្លះបន្ទាត់ $y = 2x + 1$ ដែលមានចុងបើកត្រង់ចំណុច $(1, 3)$។
ចំពោះ $x \ge 1$៖ ក្រាបជាកន្លះបន្ទាត់ $y = 4 - x$ ដែលចាប់ផ្តើមពីចំណុចបិទ $(1, 3)$ ទៅទិសខាងស្តាំ។

ដោយតម្លៃទាំងសងខាងត្រង់ $x = 1$ ស្មើគ្នា $y = 3$ នោះក្រាបជាប់គ្នាត្រង់ $(1, 3)$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

សង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ $g(x) = |x - 3| + 2$។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ក្រាប $g(x) = |x - 3| + 2$៖
បំបែកតម្លៃដាច់ខាត៖

\[g(x) = \begin{cases} (x - 3) + 2 = x - 1 & \text{បើ } x \ge 3 \\ -(x - 3) + 2 = -x + 5 & \text{បើ } x < 3 \end{cases}\]

ក្រាបមានរាងអក្សរ V ដែលមានកំពូលត្រង់ចំណុច $(3, 2)$៖

បើ $x \ge 3$៖ កន្លះបន្ទាត់មានមេគុណប្រាប់ទិស $m = 1$
បើ $x < 3$៖ កន្លះបន្ទាត់មានមេគុណប្រាប់ទិស $m = -1$ កាត់អ័ក្ស $Oy$ ត្រង់ $(0, 5)$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

គេឱ្យ $f(x) = 2x + 3$ និង $g(x) = x^2 - 1$។ រកកន្សោម $(f \circ g)(x)$ និង $(g \circ f)(x)$។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $f(x) = 2x + 3$ និង $g(x) = x^2 - 1$៖

\[\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 \\ &= 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 + 1 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) = (f(x))^2 - 1 \\ &= (2x + 3)^2 - 1 \\ &= 4x^2 + 12x + 8 \end{aligned}\]

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

គេឱ្យ $f(x) = \sqrt{x+1}$ និង $g(x) = 2x - 3$។ រក $(f \circ g)(x)$ និងដែនកំណត់របស់វា។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $f(x) = \sqrt{x + 1}$ និង $g(x) = 2x - 3$៖
កន្សោមបណ្តាក់៖

\[(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{(2x - 3) + 1} = \sqrt{2x - 2}\]

ដែនកំណត់នៃ $f \circ g$៖

\[2x - 2 \ge 0 \iff 2x \ge 2 \iff x \ge 1\]

ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = [1, +\infty)$។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$។ រកអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}(x)$ ព្រមទាំងបញ្ជាក់ដែនកំណត់ និងសំណុំរូបភាពនៃ $f^{-1}$។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$៖

ដែនកំណត់នៃ $f$ គឺ $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$។
រកអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}(x)$៖
\[\begin{aligned} y = \frac{2x + 1}{x - 3} &\implies y(x - 3) = 2x + 1 \\ &\implies xy - 3y = 2x + 1 \\ &\implies x(y - 2) = 3y + 1 \\ &\implies x = \frac{3y + 1}{y - 2} \end{aligned}\]
ដូចនេះ $f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$។
ដែនកំណត់នៃ $f^{-1}$ គឺ $D_{f^{-1}} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$។
សំណុំរូបភាពនៃ $f^{-1}$ គឺ $R_{f^{-1}} = D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = \sqrt{2x-4}$ ចំពោះ $x \ge 2$។ រកអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}(x)$ និងដែនកំណត់របស់វា។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $f(x) = \sqrt{2x - 4}$ ចំពោះ $x \ge 2$ ($y \ge 0$)៖

\[\begin{aligned} y = \sqrt{2x - 4} &\implies y^2 = 2x - 4 \quad{} (y \ge 0) \\ &\implies 2x = y^2 + 4 \implies x = \frac{y^2 + 4}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ អនុគមន៍ច្រាសគឺ៖

\[f^{-1}(x) = \frac{x^2 + 4}{2} \quad{} (x \ge 0)\]

ដែនកំណត់នៃ $f^{-1}$ គឺ $D = [0, +\infty)$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $y = 2x - 1$ និងប៉ារ៉ាបូល $y = x^2 - 4$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាង $y = 2x - 1$ និង $y = x^2 - 4$៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ៖

\[x^2 - 4 = 2x - 1 \iff x^2 - 2x - 3 = 0\]

បំបែកជាកត្តា៖

\[(x - 3)(x + 1) = 0 \implies x_1 = 3, \quad{} x_2 = -1\]

ចំពោះ $x = 3$ នោះ $y = 2(3) - 1 = 5 \implies A(3, 5)$
ចំពោះ $x = -1$ នោះ $y = 2(-1) - 1 = -3 \implies B(-1, -3)$

ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វទាំងពីរគឺ $(3, 5)$ និង $(-1, -3)$។

៤១លំហាត់ទី ៤១

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $y = 3x + 4$ និងអ៊ីពែបូល $y = \dfrac{4}{x}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាង $y = 3x + 4$ និង $y = \dfrac{4}{x}$៖
សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ ($x \neq 0$)៖

\[3x + 4 = \frac{4}{x} \iff 3x^2 + 4x - 4 = 0\]

$\Delta' = 2^2 - 3(-4) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

\[x = \frac{-2 \pm 4}{3} \implies x_1 = \frac{2}{3}, \quad{} x_2 = -2\]

ចំពោះ $x = \dfrac{2}{3}$ នោះ $y = \dfrac{4}{2/3} = 6 \implies \left(\dfrac{2}{3}, 6\right)$
ចំពោះ $x = -2$ នោះ $y = \dfrac{4}{-2} = -2 \implies (-2, -2)$

ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វគឺ $\left(\dfrac{2}{3}, 6\right)$ និង $(-2, -2)$។

៤២លំហាត់ទី ៤២

គេឱ្យអនុគមន៍អាហ្វីន $f(x) = ax + b$។ បើ $f(f(x)) = 9x + 8$ ចូររកតម្លៃនៃ $a$ និង $b$។

មើលដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍អាហ្វីន $f(x) = ax + b$ មាន $f(f(x)) = 9x + 8$៖
គណនា $f(f(x))$៖

\[f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b\]

ផ្ទឹមមេគុណ៖

\[\begin{cases} a^2 = 9 \\ ab + b = 8 \end{cases} \implies a = \pm 3\]

ករណី $a = 3$៖ $3b + b = 8 \implies 4b = 8 \implies b = 2$
ករណី $a = -3$៖ $-3b + b = 8 \implies -2b = 8 \implies b = -4$

ដូចនេះ $(a, b) = (3, 2)$ ឬ $(a, b) = (-3, -4)$។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

គេឱ្យសមភាព $f(2x - 1) = 4x^2 - 6x + 5$។ រកកន្សោមនៃអនុគមន៍ $f(x)$។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $f(2x - 1) = 4x^2 - 6x + 5$។ រកកន្សោមនៃ $f(x)$៖
តាង $u = 2x - 1 \implies 2x = u + 1 \implies x = \dfrac{u + 1}{2}$។
ជំនួស $x$ ចូលកន្សោមដើម៖

\[\begin{aligned} f(u) &= 4\left(\frac{u + 1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{u + 1}{2}\right) + 5 \\ &= 4 \cdot \frac{u^2 + 2u + 1}{4} - 3(u + 1) + 5 \\ &= (u^2 + 2u + 1) - 3u - 3 + 5 \\ &= u^2 - u + 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $f(x) = x^2 - x + 3$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យសមភាព $f\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) = 2x + 3$។ រកកន្សោមនៃអនុគមន៍ $f(x)$។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $f\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right) = 2x + 3$។ រកកន្សោមនៃ $f(x)$៖
តាង $u = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ ($u \neq 1$)៖

\[\begin{aligned} u(x - 1) = x + 1 &\implies ux - u = x + 1 \\ &\implies x(u - 1) = u + 1 \\ &\implies x = \frac{u + 1}{u - 1} \end{aligned}\]

ជំនួសចូល៖

\[\begin{aligned} f(u) &= 2\left(\frac{u + 1}{u - 1}\right) + 3 = \frac{2u + 2 + 3(u - 1)}{u - 1} \\ &= \frac{2u + 2 + 3u - 3}{u - 1} = \frac{5u - 1}{u - 1} \end{aligned}\]

ដូចនេះ $f(x) = \dfrac{5x - 1}{x - 1}$ ចំពោះ $x \neq 1$។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

សហគ្រាសមួយមានចំណាយថេរប្រចាំខែ $2000\$$ និងចំណាយអថេរ $15\$$ ក្នុងផលិតផលមួយឯកតា។

សរសេរអនុគមន៍ចំណាយសរុប $C(x)$ ចំពោះការផលិត $x$ ឯកតា។
បើលក់ក្នុងតម្លៃ $25\$$ ក្នុងមួយឯកតា សរសេរអនុគមន៍ប្រាក់ចំណូល $R(x)$ និងប្រាក់ចំណេញ $P(x)$។
រកចំណុចរួចខ្លួន (Break-even point)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណាយ និងចំណុចរួចដើមនៃសហគ្រាស៖

អនុគមន៍ចំណាយសរុប $C(x)$ ចំពោះ $x$ ឯកតាផលិតផល៖
ចំណាយថេរ $2000\$$ បូកចំណាយអថេរ $15\$$ ក្នុងមួយឯកតា៖
\[C(x) = 2000 + 15x \quad{} (\$)\]
បើលក់ក្នុងតម្លៃ $25\$$ ក្នុងមួយឯកតា នោះចំណូលគឺ $R(x) = 25x$។
ចំណុចរួចដើមកើតមានកាលណា ចំណូលស្មើចំណាយ ($R(x) = C(x)$)៖
\[25x = 2000 + 15x \iff 10x = 2000 \iff x = 200\]
ដូចនេះ សហគ្រាសត្រូវផលិត និងលក់ឱ្យបាន $200$ ឯកតា ទើបរួចដើម។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គម្រោងសេវាទូរស័ព្ទមួយគិតថ្លៃសេវាប្រចាំខែ $2\$$ ដោយរួមបញ្ចូលការហៅចេញឥតគិតថ្លៃ $100$ នាទី។ រាល់នាទីបន្ថែមលើសពី $100$ នាទី គិតតម្លៃ $0.05\$$ ក្នុងមួយនាទី។ ចូរសរសេរអនុគមន៍ចំណាយប្រចាំខែ $C(m)$ ជាអនុគមន៍នៃចំនួននាទីហៅចេញសរុប $m$។

មើលដំណោះស្រាយ

គម្រោងសេវាទូរស័ព្ទ៖
ថ្លៃថេរ $2\$$ ចំពោះការហៅ $m \le 100$ នាទី។ លើសពី $100$ នាទី បន្ថែម $0.05\$$ ក្នុងមួយនាទី៖

\[C(m) = \begin{cases} 2 & \text{បើ } 0 \le m \le 100 \\ 2 + 0.05(m - 100) & \text{បើ } m > 100 \end{cases}\]

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

រូបមន្តបំប្លែងសីតុណ្ហភាពរវាងអង្សាសេ ($C$) និងអង្សាហ្វារិនហៃ ($F$) គឺ $F(C) = \dfrac{9}{5}C + 32$។

រកអនុគមន៍ច្រាស $C(F)$។
រកសីតុណ្ហភាពដែល $C = F$។

មើលដំណោះស្រាយ

បំប្លែងសីតុណ្ហភាព $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$៖

រកអនុគមន៍ច្រាស $C(F)$៖
\[\begin{aligned} F - 32 &= \frac{9}{5}C \\ \implies C(F) &= \frac{5}{9}(F - 32) \end{aligned}\]
រកសីតុណ្ហភាពដែល $C = F$៖
\[\begin{aligned} C &= \frac{9}{5}C + 32 \\ \iff -\frac{4}{5}C &= 32 \\ \iff C &= 32 \times \left(-\frac{5}{4}\right) = -40^\circ \end{aligned}\]
ដូចនេះ នៅសីតុណ្ហភាព $-40^\circ$ មាត្រដ្ឋានទាំងពីរមានតម្លៃស្មើគ្នា
($-40^\circ\text{C} = -40^\circ\text{F}$)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ក្រុមហ៊ុនជួលរថយន្តមួយគិតថ្លៃសេវា $30\$$ ក្នុងមួយថ្ងៃ បូកបន្ថែម $0.20\$$ ក្នុងមួយគីឡូម៉ែត្រដែលបានបើកបរ។

សរសេរប្រាក់ $C$ ជាអនុគមន៍នៃ $d$ ($\text{km}$)។
បើបង់ $64\$$ តើបើកបរបានប៉ុន្មាន $\text{km}$?

មើលដំណោះស្រាយ

ថ្លៃជួលរថយន្ត៖

សរសេរថ្លៃជួល $C$ ជាអនុគមន៍នៃចម្ងាយ $d$ (គិតជា $\text{km}$)៖
\[C(d) = 30 + 0.20d \quad{} (\$)\]
បើបង់ប្រាក់អស់ $54\$$ នោះ៖
\[\begin{aligned} 30 + 0.20d = 54 &\iff 0.20d = 24 \\ &\iff d = \frac{24}{0.20} = 120\text{ km} \end{aligned}\]
ដូចនេះ រថយន្តត្រូវបានបើកបរបានចម្ងាយ $120\text{ km}$។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

សេវាដឹកជញ្ជូនបញ្ញើ (PISA)៖ សេវាបញ្ញើរហ័សមួយគិតថ្លៃសេវាតាមទម្ងន់កញ្ចប់ $w$ (គិតជា $\text{kg}$) ដូចខាងក្រោម៖ $C(w) = 5000$ រៀល ចំពោះ $w \le 1$; $C(w) = 5000 + 2000(w - 1)$ ចំពោះ $1 < w \le 5$; $C(w) = 13000 + 1500(w - 5)$ ចំពោះ $w > 5$។

គណនាថ្លៃដឹកជញ្ជូនទម្ងន់ $0.8\text{ kg}$, $3.5\text{ kg}$, $8\text{ kg}$។
បើបង់ $19000$ រៀល រកទម្ងន់កញ្ចប់។

មើលដំណោះស្រាយ

សេវាដឹកជញ្ជូនបញ្ញើ (PISA)៖

គណនាថ្លៃដឹកជញ្ជូន៖
- ទម្ងន់ $0.8\text{ kg} \le 1$៖ $C(0.8) = 5000$ រៀល
- ទម្ងន់ $3.5\text{ kg} \in (1, 5]$៖
  \[\begin{aligned} C(3.5) &= 5000 + 2000(3.5 - 1) \\ &= 5000 + 5000 = 10000\text{ រៀល} \end{aligned}\]
- ទម្ងន់ $8\text{ kg} > 5$៖
  \[\begin{aligned} C(8) &= 13000 + 1500(8 - 5) \\ &= 13000 + 4500 = 17500\text{ រៀល} \end{aligned}\]
បើបង់ $19000$ រៀល $ > 13000$ រៀល នោះទម្ងន់ $w > 5\text{ kg}$៖
\[\begin{aligned} 13000 + 1500(w - 5) &= 19000 \\ 1500(w - 5) &= 6000 \\ w - 5 &= 4 \implies w = 9\text{ kg} \end{aligned}\]
ដូចនេះ កញ្ចប់បញ្ញើមានទម្ងន់ $9\text{ kg}$។

៥០លំហាត់ទី ៥០

ការបង្ហូរទឹកចេញពីអាង (STEM/PISA)៖ អាងស្តុកទឹកមួយមានចំណុះ $1000$ លីត្រ ត្រូវបានបង្ហូរទឹកចេញតាមបំពង់បង្ហូរមួយ។ ចំណុះទឹកដែលនៅសល់ក្នុងអាងបន្ទាប់ពីបង្ហូរបាន $t$ នាទី កំណត់ដោយអនុគមន៍ $V(t) = 1000 - 25t$ (គិតជាលីត្រ)។

រកដែនកំណត់នៃ $V(t)$។
រកចំណុះទឹកនៅសល់ពេល $t = 15$ នាទី។
រកពេលបង្ហូរទឹកឱ្យអស់ពីអាង។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបង្ហូរទឹកចេញពីអាង (STEM/PISA)៖ $V(t) = 1000 - 25t$ (លីត្រ)៖

រកដែនកំណត់នៃ $V(t)$៖
ពេលវេលាមិនអវិជ្ជមាន $t \ge 0$ និងចំណុះទឹកមិនអវិជ្ជមាន $V(t) \ge 0$៖
\[1000 - 25t \ge 0 \iff 25t \le 1000 \iff t \le 40\]
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D = [0, 40]$ (នាទី)។
ចំណុះទឹកនៅសល់ពេល $t = 15$ នាទី៖
\[V(15) = 1000 - 25(15) = 1000 - 375 = 625\text{ លីត្រ}\]
ពេលបង្ហូរទឹកឱ្យអស់ពីអាង ($V(t) = 0$)៖
\[1000 - 25t = 0 \iff t = \frac{1000}{25} = 40\text{ នាទី}\]

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៦ អនុគមន៍ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

ក. \(g(1)\)	ខ. \(g(0)\)
គ. \(g(-2)\)	ឃ. \(g(k)\) ។

ក. \(-2\)	ខ. \(-4\)
គ. \(-14\)	ឃ. \(-k^2 + 3k - 4\) ។