សមីការបន្ទាត់

គណនាមេគុណប្រាប់ទិស \(m\) នៃបន្ទាត់កាត់តាមពីរចំណុច ៖
រូបមន្ត ៖ \(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
ក.  \(A(1, 2)\) និង \(B(4, 8)\) ៖
\(m = \dfrac{8 - 2}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2\)
ខ.  \(C(-2, 3)\) និង \(D(4, -1)\) ៖
\(m = \dfrac{-1 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}\)
គ.  \(E(3, 5)\) និង \(F(7, 5)\) ៖
\(m = \dfrac{5 - 5}{7 - 3} = \dfrac{0}{4} = 0\) (បន្ទាត់ផ្ដេក)
ឃ.  \(P(2, -4)\) និង \(Q(2, 6)\) ៖
\(x_2 - x_1 = 2 - 2 = 0\) នាំឱ្យ \(m\) គ្មានកំណត់ (បន្ទាត់ឈរ \(x = 2\))។

រកមុំលំអៀង \(\alpha\) ធៀបនឹងអ័ក្ស \(Ox\) (\(m = \tan \alpha, \alpha \in [0^\circ, 180^\circ)\)) ៖
ក.  \(m = 1 \implies \tan \alpha = 1 \implies \alpha = 45^\circ\)
ខ.  \(m = \sqrt{3} \implies \tan \alpha = \sqrt{3} \implies \alpha = 60^\circ\)
គ.  \(m = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \implies \tan \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \implies \alpha = 30^\circ\)
ឃ.  \(m = 0 \implies \tan \alpha = 0 \implies \alpha = 0^\circ\) (បន្ទាត់ស្របនឹងអ័ក្ស \(Ox\))។

រកសមីការបន្ទាត់តាមទម្រង់ចំណុច-មេគុណប្រាប់ទិស \(y - y_1 = m(x - x_1)\) ៖
ក.  \(m = 2, A(1, 3)\) ៖
\(y - 3 = 2(x - 1) \iff y = 2x + 1\) (ឬ \(2x - y + 1 = 0\))
ខ.  \(m = -3, A(2, -1)\) ៖
\(y - (-1) = -3(x - 2) \iff y + 1 = -3x + 6 \iff y = -3x + 5\)
គ.  \(m = \dfrac{1}{2}, A(-4, 2)\) ៖
\(y - 2 = \dfrac{1}{2}(x + 4) \iff y = \dfrac{1}{2}x + 4\) (ឬ \(x - 2y + 8 = 0\))
ឃ.  \(m = -\dfrac{2}{3}, A(3, 0)\) ៖
\(y - 0 = -\dfrac{2}{3}(x - 3) \iff y = -\dfrac{2}{3}x + 2\) (ឬ \(2x + 3y - 6 = 0\))។

រកសមីការបន្ទាត់តាមទម្រង់ \(y = mx + b\) (\(b\) ជាចំណុចប្រសព្វលើអ័ក្ស \(Oy\)) ៖
ក.  \(m = 3, b = -2 \implies y = 3x - 2\)
ខ.  \(m = -1, b = 5 \implies y = -x + 5\)
គ.  \(m = \dfrac{3}{4}, b = 0 \implies y = \dfrac{3}{4}x\)
ឃ.  \(m = 0, b = 4 \implies y = 4\) (បន្ទាត់ផ្ដេក)។

រកសមីការបន្ទាត់កាត់តាមពីរចំណុច ៖
ក.  \(A(2, 5)\) និង \(B(4, 9)\) ៖
\(m = \dfrac{9 - 5}{4 - 2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
\(y - 5 = 2(x - 2) \iff y = 2x + 1\)
ខ.  \(A(-1, 4)\) និង \(B(3, -2)\) ៖
\(m = \dfrac{-2 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}\)
\(y - 4 = -\dfrac{3}{2}(x + 1) \iff y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2}\) (ឬ \(3x + 2y - 5 = 0\))
គ.  \(A(0, 3)\) និង \(B(4, 0)\) ៖
\(m = \dfrac{0 - 3}{4 - 0} = -\dfrac{3}{4} \implies y = -\dfrac{3}{4}x + 3\) (ឬ \(3x + 4y - 12 = 0\))
ឃ.  \(A(-2, -3)\) និង \(B(1, 3)\) ៖
\(m = \dfrac{3 - (-3)}{1 - (-2)} = \dfrac{6}{3} = 2\)
\(y - 3 = 2(x - 1) \iff y = 2x + 1\)។

សរសេរសមីការបន្ទាត់ជាទម្រង់កាត់អ័ក្ស \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) ៖
ក.  \(a = 3, b = 4 \implies \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \iff 4x + 3y - 12 = 0\)
ខ.  \(a = -2, b = 5 \implies \dfrac{x}{-2} + \dfrac{y}{5} = 1 \iff 5x - 2y + 10 = 0\)
គ.  \(a = 4, b = -3 \implies \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{-3} = 1 \iff 3x - 4y - 12 = 0\)
ឃ.  \(a = -5, b = -2 \implies \dfrac{x}{-5} + \dfrac{y}{-2} = 1 \iff 2x + 5y + 10 = 0\)។

បំប្លែងទៅជាទម្រង់ \(y = mx + b\) និងបញ្ជាក់ \(m\) ៖
ក.  \(2x - y + 5 = 0 \iff y = 2x + 5 \implies m = 2, b = 5\)
ខ.  \(3x + 4y - 12 = 0 \iff 4y = -3x + 12 \iff y = -\dfrac{3}{4}x + 3 \implies m = -\dfrac{3}{4}, b = 3\)
គ.  \(5x - 2y = 8 \iff 2y = 5x - 8 \iff y = \dfrac{5}{2}x - 4 \implies m = \dfrac{5}{2}, b = -4\)
ឃ.  \(x + 3y + 6 = 0 \iff 3y = -x - 6 \iff y = -\dfrac{1}{3}x - 2 \implies m = -\dfrac{1}{3}, b = -2\)។

សមីការបន្ទាត់ផ្ដេក និងបន្ទាត់ឈរ ៖
ក.  បន្ទាត់ផ្ដេកកាត់តាម \(A(3, -4)\) មានសមីការគឺ \(y = -4\)។
ខ.  បន្ទាត់ឈរកាត់តាម \(B(-2, 5)\) មានសមីការគឺ \(x = -2\)។

រកសមីការបន្ទាត់កាត់តាម \(O(0, 0)\) និង \(P(3, -5)\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(m = \dfrac{-5 - 0}{3 - 0} = -\dfrac{5}{3}\)
បន្ទាត់កាត់តាមគល់ \(O(0, 0)\) នាំឱ្យ \(b = 0\) ៖
សមីការបន្ទាត់គឺ \(y = -\dfrac{5}{3}x\) (ឬ \(5x + 3y = 0\))។

ពិនិត្យចំណុច \(M(2, 1)\) លើ \((d): 3x - 4y - 2 = 0\) ៖
ជំនួស \(x = 2\) និង \(y = 1\) ចូលក្នុងសមីការ \((d)\) ៖
\(3(2) - 4(1) - 2 = 6 - 4 - 2 = 0\) (ពិត)
ដូចនេះ ចំណុច \(M(2, 1)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((d)\)។

បន្ទាត់កាត់តាម \(A(2, 3)\) ស្របនឹង \((d): y = 3x - 1\) ៖
បន្ទាត់ស្របគ្នាមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា ៖ \(m' = m = 3\)
សមីការបន្ទាត់គឺ ៖
\(y - 3 = 3(x - 2) \iff y = 3x - 6 + 3 \iff y = 3x - 3\) (ឬ \(3x - y - 3 = 0\))។

បន្ទាត់កាត់តាម \(B(-1, 4)\) ស្របនឹង \((d): 2x + 5y - 7 = 0\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \((d)\) ៖ \(5y = -2x + 7 \implies m = -\dfrac{2}{5}\)
សមីការបន្ទាត់ស្របគឺ ៖
\(y - 4 = -\dfrac{2}{5}(x + 1) \iff 5(y - 4) = -2(x + 1)\)
\(\iff 5y - 20 = -2x - 2 \iff 2x + 5y - 18 = 0\)។

បន្ទាត់កាត់តាម \(C(3, -2)\) កែងនឹង \((d): y = 2x + 5\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \((d)\) គឺ \(m = 2\) នាំឱ្យមេគុណប្រាប់ទិសបន្ទាត់កែងគឺ ៖
\(m_{\perp} = -\dfrac{1}{m} = -\dfrac{1}{2}\)
សមីការបន្ទាត់គឺ ៖
\(y - (-2) = -\dfrac{1}{2}(x - 3) \iff y + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\)
\(\iff y = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\) (ឬ \(x + 2y + 1 = 0\))។

បន្ទាត់កាត់តាម \(D(-2, 1)\) កែងនឹង \((d): 3x - 4y + 6 = 0\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \((d)\) គឺ \(m = \dfrac{3}{4}\) នាំឱ្យ ៖
\(m_{\perp} = -\dfrac{4}{3}\)
សមីការបន្ទាត់កែងគឺ ៖
\(y - 1 = -\dfrac{4}{3}(x + 2) \iff 3(y - 1) = -4(x + 2)\)
\(\iff 3y - 3 = -4x - 8 \iff 4x + 3y + 5 = 0\)។

កំណត់ទីតាំងធៀបនៃគូនៃបន្ទាត់ ៖
ក.  \((d_1): 2x - 3y + 4 = 0\) (\(m_1 = \dfrac{2}{3}\)) និង \((d_2): 4x - 6y - 5 = 0\) (\(m_2 = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)) ៖
ដោយ \(m_1 = m_2 = \dfrac{2}{3}\) និង \(\dfrac{4}{-5} \ne \dfrac{2}{4}\) នោះ \((d_1) \parallel (d_2)\) (ស្របគ្នា)។
ខ.  \((d_1): 3x + 2y - 1 = 0\) (\(m_1 = -\dfrac{3}{2}\)) និង \((d_2): 2x - 3y + 7 = 0\) (\(m_2 = \dfrac{2}{3}\)) ៖
\(m_1 \cdot m_2 = \left(-\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right) = -1 \implies (d_1) \perp (d_2)\) (កែងគ្នា)។
គ.  \((d_1): y = 4x - 2\) និង \((d_2): y = 4x + 3\) ៖
\(m_1 = m_2 = 4\) និង \(b_1 \ne b_2 \implies (d_1) \parallel (d_2)\) (ស្របគ្នា)។
ឃ.  \((d_1): x - 2y = 3\) (\(m_1 = \dfrac{1}{2}\)) និង \((d_2): 2x + y = 5\) (\(m_2 = -2\)) ៖
\(m_1 \cdot m_2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)(-2) = -1 \implies (d_1) \perp (d_2)\) (កែងគ្នា)។

កំណត់ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \((d_1): mx + 2y - 1 = 0\) ស្របនឹង \((d_2): 3x - 6y + 2 = 0\) ៖
លក្ខខណ្ឌស្របគ្នា ៖ \(\dfrac{m}{3} = \dfrac{2}{-6} \ne \dfrac{-1}{2}\)
\(\iff \dfrac{m}{3} = -\dfrac{1}{3} \iff m = -1\)
ដោយ \(\dfrac{2}{-6} = -\dfrac{1}{3} \ne -\dfrac{1}{2}\) នោះបន្ទាត់ទាំងពីរស្របគ្នាដាច់ខាត។
ដូចនេះ \(m = -1\)។

កំណត់ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \((d_1): 2x + my - 3 = 0\) កែងនឹង \((d_2): 3x - 2y + 4 = 0\) ៖
លក្ខខណ្ឌកែងគ្នានៃបន្ទាត់ទូទៅ \(A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0\) ៖
\(2(3) + m(-2) = 0 \iff 6 - 2m = 0 \iff 2m = 6 \iff m = 3\)។
ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(m = 3\)។

រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ \(I\) នៃបន្ទាត់ទាំងពីរ ៖
ក.  \(\begin{cases} 2x - y = 3 \iff y = 2x - 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases}\)
ជំនួស \(y\) ចូលសមីការទីពីរ ៖
\(x + 2(2x - 3) = 4 \iff 5x - 6 = 4 \iff 5x = 10 \iff x = 2\)
\(y = 2(2) - 3 = 1\)។
ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វគឺ \(I(2, 1)\)។
ខ.  \(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \quad{} (\times 3) \\ 5x - 3y = 1 \quad{} (\times 2) \end{cases} \iff \begin{cases} 9x + 6y = 36 \\ 10x - 6y = 2 \end{cases}\)
បូកសមីការទាំងពីរ ៖ \(19x = 38 \iff x = 2\)
ជំនួស \(x = 2\) ចូលសមីការទីមួយ ៖
\(3(2) + 2y = 12 \iff 2y = 6 \iff y = 3\)។
ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វគឺ \(I(2, 3)\)។

បង្ហាញថា \((d_1): x - y = 1\), \((d_2): 2x + y = 5\) និង \((d_3): 3x - 2y = 4\) ប្រសព្វគ្នានៅមួយចំណុច ៖
រកចំណុចប្រសព្វនៃ \((d_1)\) និង \((d_2)\) ៖
បូកសមីការទាំងពីរ ៖ \((x - y) + (2x + y) = 1 + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2\)
\(y = x - 1 = 2 - 1 = 1 \implies I(2, 1)\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំណុច \(I(2, 1)\) ជាមួយបន្ទាត់ \((d_3)\) ៖
\(3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4\) (ពិត)។
ដោយសារ \(I(2, 1)\) ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការទាំងបី បន្ទាត់ទាំងបីប្រសព្វគ្នានៅចំណុច \(I(2, 1)\) តែមួយ។

រកសមីការមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AB\) ដែល \(A(1, 2)\) និង \(B(5, 6)\) ៖
1. ចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃ \(AB\) ៖
\(x_M = \dfrac{1 + 5}{2} = 3, \quad{} y_M = \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \implies M(3, 4)\)
2. មេគុណប្រាប់ទិស \(AB\) ៖
\(m_{AB} = \dfrac{6 - 2}{5 - 1} = \dfrac{4}{4} = 1\)
3. មេគុណប្រាប់ទិសបន្ទាត់មេដ្យាទ័រ ៖
\(m_{\perp} = -\dfrac{1}{1} = -1\)
4. សមីការមេដ្យាទ័រ ៖
\(y - 4 = -1(x - 3) \iff y - 4 = -x + 3 \iff x + y - 7 = 0\)។

រកសមីការមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(CD\) ដែល \(C(-2, 3)\) និង \(D(4, -1)\) ៖
1. ចំណុចកណ្តាល \(M\) ៖
\(x_M = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1, \quad{} y_M = \dfrac{3 - 1}{2} = 1 \implies M(1, 1)\)
2. មេគុណប្រាប់ទិស \(CD\) ៖
\(m_{CD} = \dfrac{-1 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}\)
3. មេគុណប្រាប់ទិសបន្ទាត់មេដ្យាទ័រ ៖
\(m_{\perp} = \dfrac{3}{2}\)
4. សមីការមេដ្យាទ័រ ៖
\(y - 1 = \dfrac{3}{2}(x - 1) \iff 2y - 2 = 3x - 3 \iff 3x - 2y - 1 = 0\)។

ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) ដែល \(A(1, 4), B(-2, 1), C(4, -1)\) ៖
ក.  រកសមីការមេដ្យាន \(AM\) ៖
ចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃ \(BC\) ៖
\(x_M = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1, \quad{} y_M = \dfrac{1 - 1}{2} = 0 \implies M(1, 0)\)
ដោយ \(A(1, 4)\) និង \(M(1, 0)\) មានអាប់ស៊ីស \(x = 1\) ដូចគ្នា
នាំឱ្យសមីការមេដ្យាន \(AM\) គឺជាបន្ទាត់ឈរ ៖ \(x = 1\) (ឬ \(x - 1 = 0\))។
ខ.  រកសមីការកម្ពស់ \(AH\) គូសកែងនឹង \(BC\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \(BC\) ៖ \(m_{BC} = \dfrac{-1 - 1}{4 - (-2)} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}\)
មេគុណប្រាប់ទិសកម្ពស់ \(AH\) ៖ \(m_{AH} = 3\)
សមីការកម្ពស់កាត់តាម \(A(1, 4)\) ៖
\(y - 4 = 3(x - 1) \iff y = 3x + 1\) (ឬ \(3x - y + 1 = 0\))។

រកសមីការបន្ទាត់មធ្យមដែលស្របនឹង \(BC\) ក្នុង \(\triangle ABC\) ៖
បន្ទាត់មធ្យមកាត់តាមចំណុចកណ្តាល \(M_{AB}\) នៃ \(AB\) និងស្របនឹង \(BC\)។
- ចំណុចកណ្តាល \(M_{AB}\) ៖
\(x = \dfrac{1 - 2}{2} = -\dfrac{1}{2}, \quad{} y = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2} \implies M_{AB}\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right)\)
- មេគុណប្រាប់ទិស \(m = m_{BC} = -\dfrac{1}{3}\)
សមីការបន្ទាត់មធ្យម ៖
\(y - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{3}\left(x + \dfrac{1}{2}\right) \iff 6y - 15 = -2x - 1\)
\(\iff 2x + 6y - 14 = 0 \iff x + 3y - 7 = 0\)។

គណនាចម្ងាយពី \(P(2, 3)\) ទៅ \((d): 3x + 4y - 8 = 0\) ៖
រូបមន្ត ៖ \(d(P, (d)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
\(d = \dfrac{|3(2) + 4(3) - 8|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|6 + 12 - 8|}{\sqrt{25}} = \dfrac{10}{5} = 2\) ឯកតាប្រវែង។

គណនាចម្ងាយពីគល់ \(O(0, 0)\) ទៅ \((d): 5x - 12y + 26 = 0\) ៖
\(d = \dfrac{|5(0) - 12(0) + 26|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \dfrac{26}{\sqrt{25 + 144}} = \dfrac{26}{\sqrt{169}} = \dfrac{26}{13} = 2\) ឯកតាប្រវែង។

គណនាចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ស្រប \((d_1): 3x - 4y + 5 = 0\) និង \((d_2): 3x - 4y - 10 = 0\) ៖
រូបមន្តចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ស្រប ៖ \(d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
\(d = \dfrac{|5 - (-10)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{15}{\sqrt{25}} = \dfrac{15}{5} = 3\) ឯកតាប្រវែង។

គណនាចម្ងាយរវាង \((d_1): 2x + y - 4 = 0\) និង \((d_2): 2x + y + 6 = 0\) ៖
\(d = \dfrac{|-4 - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \dfrac{|-10|}{\sqrt{5}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}\) ឯកតាប្រវែង។

គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណកំណត់ដោយ \(x = 0\), \(y = 0\) និង \(3x + 4y = 12\) ៖
- ចំណុចប្រសព្វលើអ័ក្ស \(Ox\) (\(y = 0\)) ៖ \(3x = 12 \iff x = 4 \implies A(4, 0)\)
- ចំណុចប្រសព្វលើអ័ក្ស \(Oy\) (\(x = 0\)) ៖ \(4y = 12 \iff y = 3 \implies B(0, 3)\)
ត្រីកោណនេះជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(O(0, 0)\) ដែលមានប្រវែងបាត \(a = 4\) និងកម្ពស់ \(b = 3\) ៖
\(S = \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}(4)(3) = 6\) ឯកតាផ្ទៃ។

បន្ទាត់កាត់តាមប្រសព្វនៃ \((d_1): 2x - y = 1\) និង \((d_2): x + 3y = 11\) ស្របនឹង \(3x - 2y + 4 = 0\) ៖
1. រកប្រសព្វ \(I\) ៖
\(y = 2x - 1 \implies x + 3(2x - 1) = 11 \iff 7x = 14 \iff x = 2\)
\(y = 2(2) - 1 = 3 \implies I(2, 3)\)
2. មេគុណប្រាប់ទិសស្របនឹង \(3x - 2y + 4 = 0\) គឺ \(m = \dfrac{3}{2}\)
3. សមីការបន្ទាត់ ៖
\(y - 3 = \dfrac{3}{2}(x - 2) \iff 2y - 6 = 3x - 6 \iff 3x - 2y = 0\)។

បន្ទាត់កាត់តាម \(P(1, 2)\) បង្កើតបានត្រីកោណសមបាតក្នុងចតុកោណភាគទី ១ ៖
បន្ទាត់កាត់អ័ក្សត្រង់ \(A(a, 0)\) និង \(B(0, a)\) ដោយ \(a > 0\) ៖
សមីការបន្ទាត់តាមទម្រង់កាត់អ័ក្ស ៖ \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} = 1 \iff x + y = a\)
ដោយបន្ទាត់កាត់តាម \(P(1, 2)\) ៖
\(1 + 2 = a \implies a = 3\)
ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់គឺ \(x + y - 3 = 0\) (ឬ \(y = -x + 3\))។

គណនាតង់សង់នៃមុំស្រួចរវាង \((d_1): y = 2x + 1\) និង \((d_2): y = 3x - 2\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(m_1 = 2, m_2 = 3\)
រូបមន្ត ៖ \(\tan \theta = \left|\dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|\)
\(\tan \theta = \left|\dfrac{3 - 2}{1 + 3(2)}\right| = \dfrac{1}{7}\)។

គណនាមុំស្រួចរវាង \((d_1): x - 2y + 3 = 0\) និង \((d_2): 3x - y - 1 = 0\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(m_1 = \dfrac{1}{2}, m_2 = 3\)
\(\tan \theta = \left|\dfrac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3\left(\frac{1}{2}\right)}\right| = \left|\dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\right| = 1\)
ដោយ \(\tan \theta = 1\) និង \(\theta\) ជាមុំស្រួច នាំឱ្យ \(\theta = 45^\circ\)។

បន្ទាត់កាត់តាម \(A(3, 2)\) បង្កើតបានមុំ \(45^\circ\) ជាមួយ \(x - y + 2 = 0\) (\(m_0 = 1\)) ៖
តាង \(m\) ជាមេគុណប្រាប់ទិសបន្ទាត់ដែលត្រូវរក ៖
\(\tan 45^\circ = \left|\dfrac{m - 1}{1 + m(1)}\right| = 1\)
- ករណីទី ១ ៖ \(\dfrac{m - 1}{1 + m} = -1 \iff m - 1 = -1 - m \iff 2m = 0 \iff m = 0\)
សមីការបន្ទាត់ ៖ \(y - 2 = 0(x - 3) \iff y = 2\) (បន្ទាត់ផ្ដេក)។
- ករណីទី ២ ៖ \(\dfrac{m - 1}{1 + m} = 1 \iff m - 1 = 1 + m\) (គ្មានតម្លៃ \(m\) ទេ ពោលគឺបន្ទាត់ឈរ)
បន្ទាត់ឈរកាត់តាម \(A(3, 2)\) មានសមីការគឺ \(x = 3\)។
ដូចនេះ បន្ទាត់ទាំងពីរគឺ \(y = 2\) និង \(x = 3\)។

បង្ហាញថាក្រុមបន្ទាត់ \((m-1)x + (2m+1)y - 5m + 2 = 0\) កាត់តាមចំណុចថេរ ៖
ផ្តុំតួតាមអថេរ \(m\) ៖
\(m(x + 2y - 5) + (-x + y + 2) = 0\)
សមីការនេះពិតចំពោះគ្រប់ \(m \in \mathbb{R}\) លុះត្រាតែ ៖
\(\begin{cases} x + 2y - 5 = 0 \quad{} (1) \\ -x + y + 2 = 0 \quad{} (2) \end{cases}\)
បូក \((1)\) និង \((2)\) ៖ \(3y - 3 = 0 \iff y = 1\)
ជំនួសចូល \((2)\) ៖ \(x = y + 2 = 1 + 2 = 3\)។
ដូចនេះ គ្រប់បន្ទាត់នៃគ្រួសារនេះតែងតែកាត់តាមចំណុចថេរ \(I(3, 1)\) ជានិច្ច។

រកសមីការបន្ទាត់ពុះមុំរវាង \((d_1): 3x + 4y - 5 = 0\) និង \((d_2): 5x + 12y - 13 = 0\) ៖
រូបមន្តបន្ទាត់ពុះមុំ ៖
\(\dfrac{3x + 4y - 5}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \pm \dfrac{5x + 12y - 13}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\)
\(\iff \dfrac{3x + 4y - 5}{5} = \pm \dfrac{5x + 12y - 13}{13}\)
- សញ្ញាបូក (+) ៖
\(13(3x + 4y - 5) = 5(5x + 12y - 13)\)
\(\iff 39x + 52y - 65 = 25x + 60y - 65\)
\(\iff 14x - 8y = 0 \iff 7x - 4y = 0\)
- សញ្ញាដក (\(-\)) ៖
\(13(3x + 4y - 5) = -5(5x + 12y - 13)\)
\(\iff 39x + 52y - 65 = -25x - 60y + 65\)
\(\iff 64x + 112y - 130 = 0 \iff 32x + 56y - 65 = 0\)។

រកសមីការបន្ទាត់ឆ្លុះនៃ \((d): y = 2x - 3\) ធៀបនឹងអ័ក្ស \(Ox\) ៖
ការឆ្លុះធៀបនឹង \(Ox\) ប្តូរ \((x, y) \to (x, -y)\) ៖
\(-y = 2x - 3 \iff y = -2x + 3\) (ឬ \(2x + y - 3 = 0\))។

រកសមីការបន្ទាត់ឆ្លុះនៃ \((d): 2x - 3y + 6 = 0\) ធៀបនឹងអ័ក្ស \(Oy\) ៖
ការឆ្លុះធៀបនឹង \(Oy\) ប្តូរ \((x, y) \to (-x, y)\) ៖
\(2(-x) - 3y + 6 = 0 \iff -2x - 3y + 6 = 0 \iff 2x + 3y - 6 = 0\)។

រកសមីការបន្ទាត់ឆ្លុះនៃ \((d): x + 2y - 4 = 0\) ធៀបនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) ៖
ការឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) ប្តូរ \((x, y) \to (y, x)\) ៖
\(y + 2x - 4 = 0 \iff 2x + y - 4 = 0\)។

រកកូអរដោនេចំណុចឆ្លុះនៃ \(P(1, 2)\) ធៀបនឹង \((d): x - y + 1 = 0\) ៖
ពិនិត្យចំណុច \(P(1, 2)\) ៖
\(1 - 2 + 1 = 0\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់)។
ដោយសារចំណុច \(P(1, 2)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((d)\) ស្រាប់ នោះចំណុចឆ្លុះរបស់វាធៀបនឹងបន្ទាត់ \((d)\) គឺជាចំណុច \(P\) ដដែល ៖
ដូចនេះ \(P'(1, 2)\)។

រកកូអរដោនេចំណុចឆ្លុះនៃ \(Q(-1, 3)\) ធៀបនឹង \((d): 2x + y - 4 = 0\) ៖
1. សមីការបន្ទាត់កែងកាត់តាម \(Q\) ៖ \(m_{\perp} = \dfrac{1}{2}\)
\(y - 3 = \dfrac{1}{2}(x + 1) \iff x - 2y + 7 = 0\)
2. ចំណោលកែង \(H\) លើ \((d)\) ៖
\(\begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - 2y = -7 \end{cases} \implies 2(2y - 7) + y = 4 \iff 5y = 18 \iff y = \dfrac{18}{5}\)
\(x = 2\left(\dfrac{18}{5}\right) - 7 = -\dfrac{1}{5} \implies H\left(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{18}{5}\right)\)
3. ចំណុចឆ្លុះ \(Q'(x', y')\) ៖
\(x' = 2x_H - x_Q = 2\left(-\dfrac{1}{5}\right) - (-1) = \dfrac{3}{5}\)
\(y' = 2y_H - y_Q = 2\left(\dfrac{18}{5}\right) - 3 = \dfrac{21}{5}\)
ដូចនេះ \(Q'\left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{21}{5}\right)\)។

រក \(M \in (d): x - y + 1 = 0\) ដើម្បីឱ្យ \(MA + MB\) តូចបំផុត (\(A(1, 3), B(5, 1)\)) ៖
ពិនិត្យទីតាំងធៀបនៃ \(A\) និង \(B\) ធៀបនឹង \((d)\) ៖
- ចំពោះ \(A(1, 3)\) ៖ \(1 - 3 + 1 = -1 < 0\)
- ចំពោះ \(B(5, 1)\) ៖ \(5 - 1 + 1 = 5 > 0\)
ដោយសារតម្លៃមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា ចំណុច \(A\) និង \(B\) ស្ថិតនៅសងខាងបន្ទាត់ \((d)\)។
តាមវិសមភាពត្រីកោណ \(MA + MB \ge AB\) នាំឱ្យផលបូកតូចបំផុតកាលណា \(M\) គឺជាចំណុចប្រសព្វរវាងអង្កត់ \(AB\) និងបន្ទាត់ \((d)\)។
សមីការបន្ទាត់ \(AB\) ៖ \(m = \dfrac{1 - 3}{5 - 1} = -\dfrac{1}{2}\)
\(y - 3 = -\dfrac{1}{2}(x - 1) \iff x + 2y - 7 = 0\)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៖
\(\begin{cases} x - y = -1 \iff x = y - 1 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \implies (y - 1) + 2y = 7 \iff 3y = 8 \iff y = \dfrac{8}{3}\)
\(x = \dfrac{8}{3} - 1 = \dfrac{5}{3}\)។
ដូចនេះ ចំណុចដែលត្រូវរកគឺ \(M\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{8}{3}\right)\)។

រកអរតូសង់ \(H\) នៃ \(\triangle ABC\) ដែល \(A(2, 5), B(-1, 1), C(4, 1)\) ៖
ជ្រុង \(BC\) ស្ថិតលើបន្ទាត់ផ្ដេក \(y = 1\)។
- កម្ពស់គូសចេញពី \(A(2, 5)\) កែងនឹង \(BC\) គឺជាបន្ទាត់ឈរ ៖ \(x = 2\)
- មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \(AC\) ៖ \(m_{AC} = \dfrac{1 - 5}{4 - 2} = -2\)
- កម្ពស់គូសចេញពី \(B(-1, 1)\) កែងនឹង \(AC\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m = \dfrac{1}{2}\) ៖
\(y - 1 = \dfrac{1}{2}(x + 1) \iff y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\)
ជំនួស \(x = 2\) ចូល ៖ \(y = \dfrac{1}{2}(2) + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}\)។
ដូចនេះ អរតូសង់គឺ \(H\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)។

រកផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(O\) នៃ \(\triangle ABC\)
ដែល \(A(2, 5)\), \(B(-1, 1)\), \(C(4, 1)\) ៖
- មេដ្យាទ័រនៃ \(BC\) ៖ កាត់តាមចំណុចកណ្តាល \(\left(\dfrac{3}{2}, 1\right)\) និងឈរកែងនឹង \(y = 1\) ៖
\(x = \dfrac{3}{2}\)
- មេដ្យាទ័រនៃ \(AC\) ៖ កាត់តាមចំណុចកណ្តាល \((3, 3)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m_{\perp} = \dfrac{1}{2}\) ៖
\(y - 3 = \dfrac{1}{2}(x - 3) \iff y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\)
ជំនួស \(x = \dfrac{3}{2}\) ចូល ៖
\(y = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}\)។
ដូចនេះ ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅគឺ \(O\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{4}\right)\)។

បង្ហាញថា \(O, G, H\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា (បន្ទាត់អឺល័រ Euler Line) ៖
យើងមាន \(O\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{4}\right)\) និង \(H\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)។
ទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) នៃ \(\triangle ABC\) ៖
\(x_G = \dfrac{2 - 1 + 4}{3} = \dfrac{5}{3}, \quad{} y_G = \dfrac{5 + 1 + 1}{3} = \dfrac{7}{3} \implies G\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{7}{3}\right)\)
គណនាមេគុណប្រាប់ទិស ៖
\(m_{OH} = \dfrac{\frac{5}{2} - \frac{9}{4}}{2 - \frac{3}{2}} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\)
\(m_{OG} = \dfrac{\frac{7}{3} - \frac{9}{4}}{\frac{5}{3} - \frac{3}{2}} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}} = \dfrac{1}{2}\)
ដោយ \(m_{OH} = m_{OG} = \dfrac{1}{2}\) និងមានចំណុច \(O\) រួម នោះចំណុចទាំងបី \(O, G, H\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា (ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់អឺល័រ)។

រកផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាមកំណត់ដោយ \(y = 2x, y = 2x + 4, y = -x, y = -x + 6\) ៖
រូបមន្តផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាមកំណត់ដោយគូនៃបន្ទាត់ស្រប \(y = m_1 x + c_1, y = m_1 x + c_2\) និង \(y = m_2 x + d_1, y = m_2 x + d_2\) ៖
\(S = \dfrac{|(c_2 - c_1)(d_2 - d_1)|}{|m_1 - m_2|}\)
ដោយ \(m_1 = 2, c_1 = 0, c_2 = 4\) និង \(m_2 = -1, d_1 = 0, d_2 = 6\) ៖
\(S = \dfrac{|(4 - 0)(6 - 0)|}{|2 - (-1)|} = \dfrac{24}{3} = 8\) ឯកតាផ្ទៃ។

លំហាត់ PISA - ជម្រាលផ្លូវឡើងភ្នំក្នុងវិស្វកម្មសំណង់ ៖
បម្រែបម្រួលកម្ពស់ ៖ \(\Delta y = 250 - 50 = 200\text{ m}\)
ចម្ងាយផ្ដេក ៖ \(\Delta x = 4000\text{ m}\)
ក.  មេគុណប្រាប់ទិស និងភាគរយជម្រាល ៖
\(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{200}{4000} = \dfrac{1}{20} = 0.05\)
ភាគរយជម្រាល ៖ \(0.05 \times 100\% = 5\%\)
ខ.  មុំលំអៀងធៀបនឹងប្លង់ផ្ដេក ៖
\(\tan \alpha = 0.05 \implies \alpha = \arctan(0.05) \approx 2.86^\circ\)។

លំហាត់ PISA - បណ្តាញបំពង់ចែកចាយទឹកស្អាត ៖
បំពង់មេ \((d): 3x - 4y + 20 = 0\) និងភូមិ \(V(2, 9)\) គិតជា \(\text{km}\) ៖
- ប្រវែងខ្លីបំផុតនៃទុយោមែក (ចម្ងាយកាត់កែង) ៖
\(d = \dfrac{|3(2) - 4(9) + 20|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|6 - 36 + 20|}{5} = \dfrac{|-10|}{5} = 2\text{ km}\)។
- កូអរដោនេចំណុចតភ្ជាប់ \(H\) លើបំពង់មេ ៖
បន្ទាត់ទុយោមែកកាត់តាម \(V(2, 9)\) និងកែងនឹង \((d)\) ៖
\(4x + 3y - 35 = 0\)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៖
\(\begin{cases} 3x - 4y = -20 \quad{} (\times 3) \\ 4x + 3y = 35 \quad{} (\times 4) \end{cases} \implies 25x = 80 \iff x = 3.2\)
\(y = \dfrac{35 - 4(3.2)}{3} = 7.4\)
ដូចនេះ ចំណុចតភ្ជាប់គឺ \(H(3.2, 7.4)\)។

លំហាត់ PISA - គំរូសេដ្ឋកិច្ចលីនេអ៊ែរចំណាយ-ចំណូល ៖
តាង \(x\) ជាចំនួនឯកតាផលិតផល (\(x \ge 0\)) ៖
- សមីការចំណាយសរុប ៖ \(C(x) = 20x + 500\)
- សមីការចំណូលសរុប ៖ \(R(x) = 35x\)
ចំណុចរួចដើម (Break-even Point) កើតមានពេល \(R(x) = C(x)\) ៖
\(35x = 20x + 500 \iff 15x = 500 \iff x = \dfrac{500}{15} = \dfrac{100}{3} \approx 33.33\)
ដើម្បីរួចដើម និងចាប់ផ្តើមចំណេញ រោងចក្រត្រូវផលិត និងលក់យ៉ាងតិច \(34\) ឯកតា។
ចំណូលត្រង់ចំណុចរួចដើមគឺ \(R\left(\dfrac{100}{3}\right) = 35 \times \dfrac{100}{3} \approx 1166.67\$\)។

លំហាត់ PISA - គន្លងចុះចតនៃយន្តហោះ (Glideslope) ៖
មុំស្រុតចុះ \(3^\circ\) នាំឱ្យមេគុណប្រាប់ទិសគឺ \(m = -\tan 3^\circ \approx -0.0524\)។
សមីការបន្ទាត់ចុះចតកាត់តាមចំណុចប៉ះដី \(O(0, 0)\) គឺ ៖
\(y = -0.0524x\) (ឬកម្ពស់ធៀបនឹងចម្ងាយ \(h(x) = 0.0524x\))។
នៅចម្ងាយផ្ដេក \(x = 10\text{ km} = 10000\text{ m}\) ៖
កម្ពស់យន្តហោះគឺ ៖
\(h = 0.0524 \times 10000 = 524\text{ m}\)។

លំហាត់ PISA - គន្លាតសុវត្ថិភាពផ្លូវរថភ្លើងល្បឿនលឿន ៖
សមីការផ្លូវរថភ្លើងទាំងពីរ ៖
\((d_1): 4x - 3y + 15 = 0\) និង \((d_2): 4x - 3y - 10 = 0\) (គិតជាម៉ែត្រ) ៖
- បញ្ជាក់ភាពស្របគ្នា ៖
បន្ទាត់ទាំងពីរមានមេគុណនាំមុខ \(A = 4, B = -3\) ដូចគ្នា នាំឱ្យមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា \(m_1 = m_2 = \dfrac{4}{3}\)។ ដោយសារ \(C_1 = 15 \ne C_2 = -10\) នោះផ្លូវទាំងពីរស្របគ្នាដាច់ខាត។
- គម្លាតកាត់កែងរវាងផ្លូវទាំងពីរ ៖
\(d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \dfrac{|15 - (-10)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \dfrac{25}{\sqrt{25}} = \dfrac{25}{5} = 5\text{ m}\)។