កូអរដោនេនៃចំណុច

គណនាចម្ងាយរវាងចំណុចលើបន្ទាត់ចំនួន ៖
រូបមន្តចម្ងាយរវាងចំណុច \(X(x_1)\) និង \(Y(x_2)\) គឺ \(XY = |x_2 - x_1|\)។
គេមាន \(A(-4)\), \(B(2)\), \(C(6)\) និង \(D(-1)\) ៖

• \(AB = |x_B - x_A| = |2 - (-4)| = |2 + 4| = 6\)

• \(BC = |x_C - x_B| = |6 - 2| = |4| = 4\)

• \(CD = |x_D - x_C| = |-1 - 6| = |-7| = 7\)

• \(AD = |x_D - x_A| = |-1 - (-4)| = |-1 + 4| = 3\)

ដូចនេះ \(AB = 6\), \(BC = 4\), \(CD = 7\) និង \(AD = 3\)។

រកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃអង្កត់ \(AB\) លើបន្ទាត់ចំនួន ៖
រូបមន្ត ៖ \(x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}\)
គេមាន \(A(-3)\) និង \(B(7)\) ៖
\(x_M = \dfrac{-3 + 7}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
ដូចនេះ ចំណុចកណ្តាលគឺ \(M(2)\)។

រកចំណុច \(P\) ចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(\dfrac{AP}{PB} = \dfrac{2}{3}\) ៖
រូបមន្តចែកខាងក្នុងតាមផលធៀប \(m:n\) ៖
\(x_P = \dfrac{m x_B + n x_A}{m + n}\)
ដោយ \(m = 2, n = 3, x_A = -2, x_B = 8\) ៖
\(x_P = \dfrac{2(8) + 3(-2)}{2 + 3} = \dfrac{16 - 6}{5} = \dfrac{10}{5} = 2\)
ដូចនេះ ចំណុចចែកគឺ \(P(2)\)។

រកចំណុច \(Q\) ចែកអង្កត់ \(EF\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(\dfrac{QE}{QF} = 3\) ៖
រូបមន្តចែកខាងក្រៅតាមផលធៀប \(k = 3\) ៖
\(x_Q = \dfrac{k x_F - x_E}{k - 1}\)
ដោយ \(x_E = 1, x_F = 9, k = 3\) ៖
\(x_Q = \dfrac{3(9) - 1}{3 - 1} = \dfrac{27 - 1}{2} = \dfrac{26}{2} = 13\)
ដូចនេះ ចំណុចចែកខាងក្រៅគឺ \(Q(13)\)។

កំណត់ចតុកោណភាគ (Quadrant) នៃចំណុចនីមួយៗ ៖
ក.  \(A(3, 5)\) ៖ ដោយ \(x = 3 > 0\) និង \(y = 5 > 0\)
នាំឱ្យ \(A\) ស្ថិតក្នុង ចតុកោណភាគទី I។
ខ.  \(B(-4, 2)\) ៖ ដោយ \(x = -4 < 0\) និង \(y = 2 > 0\)
នាំឱ្យ \(B\) ស្ថិតក្នុង ចតុកោណភាគទី II។
គ.  \(C(-3, -6)\) ៖ ដោយ \(x = -3 < 0\) និង \(y = -6 < 0\)
នាំឱ្យ \(C\) ស្ថិតក្នុង ចតុកោណភាគទី III។
ឃ.  \(D(5, -1)\) ៖ ដោយ \(x = 5 > 0\) និង \(y = -1 < 0\)
នាំឱ្យ \(D\) ស្ថិតក្នុង ចតុកោណភាគទី IV។

គណនាចម្ងាយរវាងពីរចំណុច \(A(x_A, y_A)\) និង \(B(x_B, y_B)\) ៖
រូបមន្ត ៖ \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
ក.  \(A(1, 2)\) និង \(B(4, 6)\) ៖
\(AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)។
ខ.  \(A(-2, 3)\) និង \(B(3, -9)\) ៖
\(AB = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-9 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)។
គ.  \(A(0, -4)\) និង \(B(6, 4)\) ៖
\(AB = \sqrt{(6 - 0)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)។
ឃ.  \(A(-3, -2)\) និង \(B(5, 4)\) ៖
\(AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)។

គណនាចម្ងាយពីគល់កូអរដោនេ \(O(0, 0)\) ទៅចំណុច \(M(x, y)\) ៖
រូបមន្ត ៖ \(OM = \sqrt{x^2 + y^2}\)
ក.  \(M(3, 4) \implies OM = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
ខ.  \(N(-5, 12) \implies ON = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
គ.  \(P(8, -15) \implies OP = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\)
ឃ.  \(Q(-7, -24) \implies OQ = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\)

រកចំណុច \(M\) លើអ័ក្ស \(Ox\) ដែលស្មើចម្ងាយពី \(A(2, -1)\) និង \(B(4, 3)\) ៖
ដោយ \(M \in Ox\) នាំឱ្យ \(M\) មានកូអរដោនេ \(M(x, 0)\)។
លក្ខខណ្ឌស្មើចម្ងាយ ៖ \(MA = MB \iff MA^2 = MB^2\)
\((x - 2)^2 + (0 - (-1))^2 = (x - 4)^2 + (0 - 3)^2\)
\(\iff x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 8x + 16 + 9\)
\(\iff x^2 - 4x + 5 = x^2 - 8x + 25\)
\(\iff -4x + 8x = 25 - 5 \iff 4x = 20 \iff x = 5\)
ដូចនេះ ចំណុចដែលត្រូវរកគឺ \(M(5, 0)\)។

រកចំណុច \(N\) លើអ័ក្ស \(Oy\) ដែលស្មើចម្ងាយពី \(P(-3, 2)\) និង \(Q(5, -4)\) ៖
ដោយ \(N \in Oy\) នាំឱ្យ \(N\) មានកូអរដោនេ \(N(0, y)\)។
លក្ខខណ្ឌ ៖ \(NP^2 = NQ^2\)
\((0 - (-3))^2 + (y - 2)^2 = (0 - 5)^2 + (y - (-4))^2\)
\(\iff 9 + y^2 - 4y + 4 = 25 + y^2 + 8y + 16\)
\(\iff y^2 - 4y + 13 = y^2 + 8y + 41\)
\(\iff -4y - 8y = 41 - 13 \iff -12y = 28 \iff y = -\dfrac{28}{12} = -\dfrac{7}{3}\)
ដូចនេះ ចំណុចដែលត្រូវរកគឺ \(N\left(0, -\dfrac{7}{3}\right)\)។

រកចំណុច \(P(x, y)\) ដែលនៅស្មើចម្ងាយពី \(A(1, 7)\), \(B(8, 6)\) និង \(C(7, -1)\) ៖
លក្ខខណ្ឌ ៖ \(PA^2 = PB^2 = PC^2\)
\(\bullet\ PA^2 = (x - 1)^2 + (y - 7)^2 = x^2 + y^2 - 2x - 14y + 50\)
\(\bullet\ PB^2 = (x - 8)^2 + (y - 6)^2 = x^2 + y^2 - 16x - 12y + 100\)
\(\bullet\ PC^2 = (x - 7)^2 + (y + 1)^2 = x^2 + y^2 - 14x + 2y + 50\)
ពី \(PA^2 = PB^2\) ៖
\(-2x - 14y + 50 = -16x - 12y + 100\)
\(\iff 14x - 2y = 50 \iff 7x - y = 25 \quad{} (1)\)
ពី \(PA^2 = PC^2\) ៖
\(-2x - 14y + 50 = -14x + 2y + 50\)
\(\iff 12x - 16y = 0 \iff 3x - 4y = 0 \iff y = \dfrac{3}{4}x \quad{} (2)\)
ជំនួស \((2)\) ចូល \((1)\) ៖
\(7x - \dfrac{3}{4}x = 25 \iff \dfrac{25}{4}x = 25 \iff x = 4\)
ទាញបាន \(y = \dfrac{3}{4}(4) = 3\)។
ដូចនេះ ចំណុចនោះគឺ \(P(4, 3)\) (ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(\triangle ABC\))។

រកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃអង្កត់ \(AB\) ៖
រូបមន្ត ៖ \(x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}, \quad{} y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}\)
ក.  \(A(2, 4)\) និង \(B(6, 8)\) ៖
\(x_M = \dfrac{2 + 6}{2} = 4, \quad{} y_M = \dfrac{4 + 8}{2} = 6 \implies M(4, 6)\)។
ខ.  \(A(-3, 5)\) និង \(B(5, -1)\) ៖
\(x_M = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1, \quad{} y_M = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2 \implies M(1, 2)\)។
គ.  \(A(-4, -6)\) និង \(B(2, 2)\) ៖
\(x_M = \dfrac{-4 + 2}{2} = -1, \quad{} y_M = \dfrac{-6 + 2}{2} = -2 \implies M(-1, -2)\)។
ឃ.  \(A(0, 7)\) និង \(B(-6, 1)\) ៖
\(x_M = \dfrac{0 + (-6)}{2} = -3, \quad{} y_M = \dfrac{7 + 1}{2} = 4 \implies M(-3, 4)\)។

រកកូអរដោនេចុង \(B(x_B, y_B)\) ដោយស្គាល់ \(M(3, -2)\) និង \(A(1, 4)\) ៖
តាមរូបមន្តចំណុចកណ្តាល ៖
\(x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \iff 3 = \dfrac{1 + x_B}{2} \iff 1 + x_B = 6 \iff x_B = 5\)
\(y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \iff -2 = \dfrac{4 + y_B}{2} \iff 4 + y_B = -4 \iff y_B = -8\)
ដូចនេះ ចុង \(B\) មានកូអរដោនេគឺ \(B(5, -8)\)។

រកចំណុច \(P\) ចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(m:n = 2:1\) ៖
រូបមន្ត ៖ \(x_P = \dfrac{m x_B + n x_A}{m + n}, \quad{} y_P = \dfrac{m y_B + n y_A}{m + n}\)
ដោយ \(A(1, 2)\) និង \(B(7, 8)\) ៖
\(x_P = \dfrac{2(7) + 1(1)}{2 + 1} = \dfrac{14 + 1}{3} = \dfrac{15}{3} = 5\)
\(y_P = \dfrac{2(8) + 1(2)}{2 + 1} = \dfrac{16 + 2}{3} = \dfrac{18}{3} = 6\)
ដូចនេះ \(P(5, 6)\)។

រកចំណុច \(Q\) ចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(m:n = 1:3\) ៖
ដោយ \(A(-4, 2)\) និង \(B(4, 10)\) ៖
\(x_Q = \dfrac{1(4) + 3(-4)}{1 + 3} = \dfrac{4 - 12}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2\)
\(y_Q = \dfrac{1(10) + 3(2)}{1 + 3} = \dfrac{10 + 6}{4} = \dfrac{16}{4} = 4\)
ដូចនេះ \(Q(-2, 4)\)។

រកចំណុច \(R\) ចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(k = 3:1 = 3\) ៖
រូបមន្ត ៖ \(x_R = \dfrac{k x_B - x_A}{k - 1}, \quad{} y_R = \dfrac{k y_B - y_A}{k - 1}\)
ដោយ \(A(2, 1)\) និង \(B(4, 3)\) ៖
\(x_R = \dfrac{3(4) - 2}{3 - 1} = \dfrac{12 - 2}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\)
\(y_R = \dfrac{3(3) - 1}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)
ដូចនេះ \(R(5, 4)\)។

រកចំណុចបែងចែកជាបីស្មើគ្នា (Trisection points) នៃ \(AB\) ៖
គេមាន \(A(-3, 6)\) និង \(B(6, -3)\)។
- ចំណុច \(P_1\) ចែក \(AB\) តាមផលធៀប \(1:2\) ៖
\(x_1 = \dfrac{1(6) + 2(-3)}{1 + 2} = \dfrac{6 - 6}{3} = 0\)
\(y_1 = \dfrac{1(-3) + 2(6)}{1 + 2} = \dfrac{-3 + 12}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 \implies P_1(0, 3)\)
- ចំណុច \(P_2\) ចែក \(AB\) តាមផលធៀប \(2:1\) ៖
\(x_2 = \dfrac{2(6) + 1(-3)}{2 + 1} = \dfrac{12 - 3}{3} = \dfrac{9}{3} = 3\)
\(y_2 = \dfrac{2(-3) + 1(6)}{2 + 1} = \dfrac{-6 + 6}{3} = 0 \implies P_2(3, 0)\)
ដូចនេះ ចំណុចបែងចែកទាំងពីរគឺ \((0, 3)\) និង \((3, 0)\)។

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 1)\), \(B(5, 3)\), \(C(7, 7)\) និង \(D(3, 5)\) ៖
ក.  គណនាកូអរដោនេចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូង \(AC\) និង \(BD\) ៖
- ចំណុចកណ្តាល \(M_{AC}\) នៃ \(AC\) ៖
\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = 4, \quad{} y = \dfrac{1 + 7}{2} = 4 \implies M_{AC}(4, 4)\)
- ចំណុចកណ្តាល \(M_{BD}\) នៃ \(BD\) ៖
\(x = \dfrac{5 + 3}{2} = 4, \quad{} y = \dfrac{3 + 5}{2} = 4 \implies M_{BD}(4, 4)\)
ខ.  បញ្ជាក់ថា \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម ៖
ដោយសារអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ \(AC\) និង \(BD\) មានចំណុចកណ្តាលរួមគ្នាគឺ \((4, 4)\) (ប្រសព្វគ្នានៅត្រង់ចំណុចកណ្តាលរៀងៗខ្លួន) តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រ ចតុកោណ \(ABCD\) គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

រកកំពូលទីបួន \(D(x_D, y_D)\) នៃប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) ៖
គេឱ្យ \(A(1, 2)\), \(B(4, 5)\) និង \(C(6, 3)\)។
ក្នុងប្រលេឡូក្រាម អង្កត់ទ្រូង \(AC\) និង \(BD\) មានចំណុចកណ្តាលរួម ៖
\(x_A + x_C = x_B + x_D \implies x_D = x_A + x_C - x_B = 1 + 6 - 4 = 3\)
\(y_A + y_C = y_B + y_D \implies y_D = y_A + y_C - y_B = 2 + 3 - 5 = 0\)
ដូចនេះ កំពូលទីបួនគឺ \(D(3, 0)\)។

គេឱ្យចំណុច \(A(2, 4)\), \(B(-1, 1)\) និង \(C(5, 1)\) ៖
ក.  គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបី ៖
\(AB = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
\(AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
\(BC = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0} = 6\)
ខ.  បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\) ៖
ពិនិត្យផលបូកការ៉េនៃជ្រុង ៖
\(AB^2 + AC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36\)
\(BC^2 = 6^2 = 36\)
ដោយ \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) តាមច្រាសទ្រឹស្តីបទពីតាករ \(\triangle ABC\) គឺជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\) (លើសពីនេះជាត្រីកោណកែងសមបាតព្រោះ \(AB = AC = 3\sqrt{2}\))។

បង្ហាញថា \(A(1, 3)\), \(B(4, 7)\) និង \(C(8, 4)\) ជាកំពូលនៃត្រីកោណកែងសមបាត ៖
គណនាការ៉េនៃប្រវែងជ្រុងទាំងបី ៖
\(AB^2 = (4 - 1)^2 + (7 - 3)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(BC^2 = (8 - 4)^2 + (4 - 7)^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25\)
\(AC^2 = (8 - 1)^2 + (4 - 3)^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50\)
សង្កេតឃើញថា ៖

1. \(AB^2 = BC^2 = 25 \implies AB = BC = 5\) (ត្រីកោណសមបាតកំពូល \(B\))

2. \(AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2\) (ត្រីកោណកែងត្រង់ \(B\) តាមច្រាសពីតាករ)

ដូចនេះ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងសមបាតត្រង់កំពូល \(B\)។

រកកូអរដោនេទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) នៃត្រីកោណ \(ABC\) ៖
រូបមន្ត ៖ \(x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad{} y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\)
ក.  \(A(1, 4), B(3, -2), C(5, 7)\) ៖
\(x_G = \dfrac{1 + 3 + 5}{3} = \dfrac{9}{3} = 3, \quad{} y_G = \dfrac{4 - 2 + 7}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 \implies G(3, 3)\)។
ខ.  \(A(-2, 3), B(4, 1), C(1, -7)\) ៖
\(x_G = \dfrac{-2 + 4 + 1}{3} = 1, \quad{} y_G = \dfrac{3 + 1 - 7}{3} = -1 \implies G(1, -1)\)។
គ.  \(A(0, 0), B(6, 0), C(0, 9)\) ៖
\(x_G = \dfrac{0 + 6 + 0}{3} = 2, \quad{} y_G = \dfrac{0 + 0 + 9}{3} = 3 \implies G(2, 3)\)។
ឃ.  \(A(-3, -1), B(2, 4), C(4, -6)\) ៖
\(x_G = \dfrac{-3 + 2 + 4}{3} = 1, \quad{} y_G = \dfrac{-1 + 4 - 6}{3} = -1 \implies G(1, -1)\)។

រកកូអរដោនេកំពូលទីបី \(C(x_C, y_C)\) នៃត្រីកោណ \(ABC\) ៖
គេឱ្យ \(G(2, 3)\), \(A(1, 2)\) និង \(B(3, 5)\) ៖
\(x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \iff 2 = \dfrac{1 + 3 + x_C}{3} \iff 4 + x_C = 6 \iff x_C = 2\)
\(y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \iff 3 = \dfrac{2 + 5 + y_C}{3} \iff 7 + y_C = 9 \iff y_C = 2\)
ដូចនេះ កំពូលទីបីគឺ \(C(2, 2)\)។

គណនាប្រវែងមេដ្យាន \(AM\) ចេញពីកំពូល \(A(0, 6)\) នៃ \(\triangle ABC\) ៖
គេមាន \(B(-4, 0)\) និង \(C(2, 0)\)។
ចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃជ្រុង \(BC\) ៖
\(x_M = \dfrac{-4 + 2}{2} = -1, \quad{} y_M = \dfrac{0 + 0}{2} = 0 \implies M(-1, 0)\)
ប្រវែងមេដ្យាន \(AM\) ៖
\(AM = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}\)។

បង្ហាញថា \(A(1, 2)\), \(B(3, 5)\) និង \(C(7, 11)\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា (Collinear) ៖
វិធីទី ១ (ពិនិត្យមេគុណប្រាប់ទិស) ៖
- មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ \(AB\) ៖
\(m_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - 2}{3 - 1} = \dfrac{3}{2}\)
- មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ \(BC\) ៖
\(m_{BC} = \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \dfrac{11 - 5}{7 - 3} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)
ដោយសារ \(m_{AB} = m_{BC}\) និងមានចំណុច \(B\) រួម នោះចំណុចទាំងបី \(A, B, C\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ (រត់ត្រង់ជួរគ្នា)។

កំណត់តម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យ \(A(2, 3)\), \(B(4, k)\) និង \(C(6, 9)\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា ៖
ចំណុចទាំងបីរត់ត្រង់ជួរគ្នាលុះត្រាតែ \(m_{AB} = m_{AC}\) ៖
\(m_{AB} = \dfrac{k - 3}{4 - 2} = \dfrac{k - 3}{2}\)
\(m_{AC} = \dfrac{9 - 3}{6 - 2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)
សមមូលនឹង ៖ \(\dfrac{k - 3}{2} = \dfrac{3}{2} \iff k - 3 = 3 \iff k = 6\)។
ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(k = 6\)។

គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ \(ABC\) តាមរូបមន្តកូអរដោនេ ៖
\(S = \dfrac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\)
ក.  \(A(1, 2), B(4, 6), C(3, 8)\) ៖
\(S = \dfrac{1}{2} |1(6 - 8) + 4(8 - 2) + 3(2 - 6)| = \dfrac{1}{2} |-2 + 24 - 12| = \dfrac{1}{2} |10| = 5\) ឯកតាផ្ទៃ។
ខ.  \(A(-2, 1), B(3, 4), C(1, -3)\) ៖
\(S = \dfrac{1}{2} |-2(4 - (-3)) + 3(-3 - 1) + 1(1 - 4)|\)
\(= \dfrac{1}{2} |-14 - 12 - 3| = \dfrac{1}{2} |-29| = \dfrac{29}{2} = 14.5\) ឯកតាផ្ទៃ។
គ.  \(A(0, 0), B(5, 2), C(2, 6)\) ៖
\(S = \dfrac{1}{2} |x_B y_C - x_C y_B| = \dfrac{1}{2} |5(6) - 2(2)| = \dfrac{1}{2} |30 - 4| = \dfrac{26}{2} = 13\) ឯកតាផ្ទៃ។
ឃ.  \(A(3, 1), B(-1, 3), C(2, -4)\) ៖
\(S = \dfrac{1}{2} |3(3 - (-4)) + (-1)(-4 - 1) + 2(1 - 3)|\)
\(= \dfrac{1}{2} |21 + 5 - 4| = \dfrac{1}{2} |22| = 11\) ឯកតាផ្ទៃ។

គណនាផ្ទៃក្រឡាចតុកោណ \(ABCD\) តាមក្បួនចងខ្សែស្បែកជើង ៖
កំពូល \(A(1, 1), B(4, 2), C(5, 6), D(2, 5)\) ៖
ផលបូកអង្កត់ទ្រូងចុះ ៖
\(\Sigma_{\downarrow} = 1(2) + 4(6) + 5(5) + 2(1) = 2 + 24 + 25 + 2 = 53\)
ផលបូកអង្កត់ទ្រូងឡើង ៖
\(\Sigma_{\uparrow} = 1(4) + 2(5) + 6(2) + 5(1) = 4 + 10 + 12 + 5 = 31\)
ផ្ទៃក្រឡា ៖
\(S = \dfrac{1}{2} |\Sigma_{\downarrow} - \Sigma_{\uparrow}| = \dfrac{1}{2} |53 - 31| = \dfrac{1}{2}(22) = 11\) ឯកតាផ្ទៃ។

រកកូអរដោនេផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណកែង \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\) និង \(C(0, 8)\) ៖
ត្រីកោណនេះកែងត្រង់ \(A(0, 0)\) ព្រោះជ្រុង \(AB\) ស្ថិតលើអ័ក្ស \(Ox\) និងជ្រុង \(AC\) ស្ថិតលើអ័ក្ស \(Oy\)។
ក្នុងត្រីកោណកែង ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(I\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\) ៖
\(x_I = \dfrac{x_B + x_C}{2} = \dfrac{6 + 0}{2} = 3\)
\(y_I = \dfrac{y_B + y_C}{2} = \dfrac{0 + 8}{2} = 4\)
ដូចនេះ ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅគឺ \(I(3, 4)\) (មានកាំ \(R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{\sqrt{6^2 + 8^2}}{2} = 5\))។

រកអរតូសង់ \(H\) (ប្រសព្វកម្ពស់) នៃ \(\triangle ABC\) ដែល \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(C(0, 5)\) ៖
ជ្រុង \(AB\) ស្ថិតលើអ័ក្ស \(Ox\) ហើយជ្រុង \(AC\) ស្ថិតលើអ័ក្ស \(Oy\) នាំឱ្យ \(AB \perp AC\) (ត្រីកោណកែងត្រង់កំពូល \(A\))។
ក្នុងត្រីកោណកែង កម្ពស់គូសចេញពី \(B\) គឺជ្រុង \(BA\) ហើយកម្ពស់គូសចេញពី \(C\) គឺជ្រុង \(CA\)។ កម្ពស់ទាំងពីរនេះប្រសព្វគ្នាត្រង់កំពូលមុំកែង \(A\) តែម្តង។
ដូចនេះ អរតូសង់គឺ \(H \equiv A(0, 0)\)។

រកសមីការសំណុំចំណុច \(M(x, y)\) ដែលនៅស្មើចម្ងាយពី \(A(1, 2)\) និង \(B(3, 4)\) ៖
លក្ខខណ្ឌ ៖ \(MA^2 = MB^2\)
\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2\)
\(\iff x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16\)
\(\iff -2x - 4y + 5 = -6x - 8y + 25\)
\(\iff 4x + 4y = 20 \iff x + y - 5 = 0\)។
ដូចនេះ សមីការមេដ្យាទ័រនៃ \(AB\) គឺ \(x + y - 5 = 0\) (ឬ \(y = -x + 5\))។

រកសំណុំចំណុច \(M(x, y)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(MA^2 + MB^2 = 20\) ៖
គេមាន \(A(-1, 0)\) និង \(B(1, 0)\) ៖
\(MA^2 = (x + 1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2\)
\(MB^2 = (x - 1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2\)
បូកបញ្ចូលគ្នា ៖
\(MA^2 + MB^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2 = 20\)
\(\iff 2(x^2 + y^2) = 18 \iff x^2 + y^2 = 9\)។
ដូចនេះ សំណុំចំណុច \(M\) គឺជារង្វង់ដែលមានផ្ចិតនៅគល់កូអរដោនេ \(O(0, 0)\) និងកាំ \(R = 3\)។

រកសំណុំចំណុច \(M(x, y)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\dfrac{MA}{MB} = 2\) ៖
គេមាន \(A(-2, 0)\) និង \(B(1, 0)\) ៖
\(\dfrac{MA}{MB} = 2 \iff MA = 2MB \iff MA^2 = 4MB^2\)
\((x + 2)^2 + y^2 = 4[(x - 1)^2 + y^2]\)
\(\iff x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)\)
\(\iff x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2\)
\(\iff 3x^2 + 3y^2 - 12x = 0\)
ចែកនឹង \(3\) ៖
\(x^2 - 4x + y^2 = 0 \iff (x - 2)^2 + y^2 = 4\)។
ដូចនេះ សំណុំចំណុច \(M\) គឺជារង្វង់អាប៉ូឡូនីញ៉ុស ដែលមានផ្ចិត \(I(2, 0)\) និងកាំ \(R = 2\)។

រកកូអរដោនេចំណុចឆ្លុះនៃ \(A(3, 4)\) ៖
ក.  ធៀបនឹងអ័ក្ស \(Ox\) ៖ រក្សា \(x\) ដូរសញ្ញា \(y\)
\(\implies A_1(3, -4)\)
ខ.  ធៀបនឹងអ័ក្ស \(Oy\) ៖ ដូរសញ្ញា \(x\) រក្សា \(y\)
\(\implies A_2(-3, 4)\)
គ.  ធៀបនឹងគល់កូអរដោនេ \(O(0, 0)\) ៖ ដូរសញ្ញាទាំងពីរ
\(\implies A_3(-3, -4)\)
ឃ.  ធៀបនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) ៖ ត្រឡប់កូអរដោនេ \((x, y) \to (y, x)\)
\(\implies A_4(4, 3)\)

រកចំណុចឆ្លុះ \(P'(x', y')\) នៃ \(P(2, 5)\) ធៀបនឹងចំណុច \(I(1, 2)\) ៖
\(I\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \(PP'\) ៖
\(x_I = \dfrac{x_P + x'}{2} \iff x' = 2x_I - x_P = 2(1) - 2 = 0\)
\(y_I = \dfrac{y_P + y'}{2} \iff y' = 2y_I - y_P = 2(2) - 5 = -1\)
ដូចនេះ ចំណុចឆ្លុះគឺ \(P'(0, -1)\)។

ពិនិត្យប្រភេទត្រីកោណ \(ABC\) ដែល \(A(3, 0)\), \(B(6, 4)\), \(C(-1, 3)\) ៖
គណនាការ៉េនៃប្រវែងជ្រុងទាំងបី ៖
\(AB^2 = (6 - 3)^2 + (4 - 0)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(AC^2 = (-1 - 3)^2 + (3 - 0)^2 = (-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\)
\(BC^2 = (-1 - 6)^2 + (3 - 4)^2 = (-7)^2 + (-1)^2 = 49 + 1 = 50\)
យើងឃើញថា ៖

1. \(AB^2 = AC^2 = 25 \implies AB = AC = 5\) (ត្រីកោណសមបាតត្រង់ \(A\))

2. \(AB^2 + AC^2 = 25 + 25 = 50 = BC^2\) (ត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\))

ដូចនេះ \(\triangle ABC\) គឺជា ត្រីកោណកែងសមបាតត្រង់កំពូល \(A\)។

គណនាបរិមាត្រនៃត្រីកោណ \(ABC\) ដែល \(A(1, 1)\), \(B(4, 5)\), \(C(1, 5)\) ៖
គណនាប្រវែងជ្រុងនីមួយៗ ៖
\(AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
\(BC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0} = 3\)
\(AC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{0 + 4^2} = 4\)
បរិមាត្រត្រីកោណ ៖
\(P = AB + BC + AC = 5 + 3 + 4 = 12\) ឯកតាប្រវែង។

គណនាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណកែង \(A(0, 0)\), \(B(8, 0)\) និង \(C(0, 6)\) ៖
ត្រីកោណកែងត្រង់កំពូល \(A(0, 0)\) ព្រោះ \(AB\) នៅលើ \(Ox\) និង \(AC\) នៅលើ \(Oy\)។
ប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\) ៖
\(BC = \sqrt{(8 - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)
ក្នុងត្រីកោណកែង កាំរង្វង់ចារឹកក្រៅស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស ៖
\(R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\) ឯកតាប្រវែង។

រកចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ \(AB\) ជាមួយអ័ក្ស \(Ox\) និង \(Oy\) ៖
គេមាន \(A(2, -3)\) និង \(B(-4, 5)\)។
សមីការបន្ទាត់ \(AB\) ៖
មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(m = \dfrac{5 - (-3)}{-4 - 2} = \dfrac{8}{-6} = -\dfrac{4}{3}\)
សមីការ ៖ \(y - (-3) = -\dfrac{4}{3}(x - 2) \iff y = -\dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3}\)
- ប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស \(Ox\) (\(y = 0\)) ៖
\(0 = -\dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3} \iff 4x = -1 \iff x = -\dfrac{1}{4}\)
ចំណុចប្រសព្វគឺ \(I_x\left(-\dfrac{1}{4}, 0\right)\) (ស្ថិតនៅលើអង្កត់ \(AB\) ព្រោះ \(-\dfrac{1}{4} \in [-4, 2]\))។
- ប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស \(Oy\) (\(x = 0\)) ៖
\(y = -\dfrac{1}{3} \implies I_y\left(0, -\dfrac{1}{3}\right)\) (ស្ថិតនៅលើអង្កត់ \(AB\) ព្រោះ \(-\dfrac{1}{3} \in [-3, 5]\))។

រកកំពូលនៃ \(\triangle ABC\) ដោយស្គាល់ចំណុចកណ្តាល \(M(1, 2), N(3, 4), P(2, 6)\) ៖
តាង \(M\) ជាចំណុចកណ្តាល \(AB\), \(N\) ជាចំណុចកណ្តាល \(BC\), \(P\) ជាចំណុចកណ្តាល \(AC\) ៖
\(\begin{cases} x_A + x_B = 2(1) = 2 \\ x_B + x_C = 2(3) = 6 \\ x_A + x_C = 2(2) = 4 \end{cases} \implies 2(x_A + x_B + x_C) = 12 \iff x_A + x_B + x_C = 6\)
- \(x_A = 6 - (x_B + x_C) = 6 - 6 = 0\)
- \(x_B = 6 - (x_A + x_C) = 6 - 4 = 2\)
- \(x_C = 6 - (x_A + x_B) = 6 - 2 = 4\)
ចំពោះអរដោនេ ៖
\(\begin{cases} y_A + y_B = 2(2) = 4 \\ y_B + y_C = 2(4) = 8 \\ y_A + y_C = 2(6) = 12 \end{cases} \implies 2(y_A + y_B + y_C) = 24 \iff y_A + y_B + y_C = 12\)
- \(y_A = 12 - 8 = 4\)
- \(y_B = 12 - 12 = 0\)
- \(y_C = 12 - 4 = 8\)
ដូចនេះ កំពូលទាំងបីគឺ \(A(0, 4)\), \(B(2, 0)\) និង \(C(4, 8)\)។

បង្ហាញថាអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរនៃចតុកោណកែងស្មើគ្នា ៖
ចតុកោណកែងមានកំពូល \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, b)\) និង \(D(0, b)\)។
គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ ៖
\(AC = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(BD = \sqrt{(0 - a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\)
ដោយ \(AC = BD = \sqrt{a^2 + b^2}\) នាំឱ្យអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នាជានិច្ច។

បង្ហាញថាចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុសក្នុងត្រីកោណកែងនៅស្មើចម្ងាយពីកំពូលទាំងបី ៖
ជ្រើសរើសតម្រុយអរតូណរម៉េដែលមានគល់ \(O(0, 0)\) ត្រង់មុំកែង។
កំពូលទាំងបីគឺ \(O(0, 0)\), \(A(2a, 0)\) លើ \(Ox\) និង \(B(0, 2b)\) លើ \(Oy\)។
អ៊ីប៉ូតេនុសគឺ \(AB\) ដែលមានចំណុចកណ្តាល ៖
\(M\left(\dfrac{2a + 0}{2}, \dfrac{0 + 2b}{2}\right) = M(a, b)\)
គណនាចម្ងាយពី \(M\) ទៅកំពូលទាំងបី ៖
\(MO = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(MA = \sqrt{(a - 2a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(MB = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 2b)^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\)
ដូចនេះ \(MO = MA = MB = \sqrt{a^2 + b^2}\) ពិតប្រាកដមែន។

បង្ហាញលក្ខណៈនៃអង្កត់មធ្យមនៃត្រីកោណ ៖
តាងកំពូលនៃត្រីកោណជា \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) និង \(C(x_3, y_3)\)។
តាង \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB\) និង \(N\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AC\) ៖
\(M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right), \quad{} N\left(\dfrac{x_1 + x_3}{2}, \dfrac{y_1 + y_3}{2}\right)\)
វ៉ិចទ័រ \(\vec{MN}\) និង \(\vec{BC}\) ៖
\(\vec{MN} = \left(\dfrac{x_1 + x_3}{2} - \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_3}{2} - \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\dfrac{x_3 - x_2}{2}, \dfrac{y_3 - y_2}{2}\right)\)
\(\vec{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2)\)
នាំឱ្យ \(\vec{MN} = \dfrac{1}{2}\vec{BC}\)។
ទំនាក់ទំនងវ៉ិចទ័រនេះបង្ហាញថា ៖

1. បន្ទាត់ \(MN\) ស្របនឹងបន្ទាត់ \(BC\) (\(MN \parallel BC\))

2. ប្រវែង \(MN = \dfrac{1}{2}BC\)។

បង្ហាញទ្រឹស្តីបទវ៉ារីញ៉ុង (Varignon’s Theorem) ៖
ពិនិត្យចតុកោណទូទៅ \(ABCD\) ដែលមាន \(P, Q, R, S\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុង \(AB, BC, CD, DA\) រៀងគ្នា។
គូសអង្កត់ទ្រូង \(AC\) ៖
- ក្នុង \(\triangle ABC\) ចំណុច \(P, Q\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB, BC\) នាំឱ្យ \(PQ\) ជាអង្កត់មធ្យម ៖
\(\vec{PQ} = \dfrac{1}{2}\vec{AC}\)
- ក្នុង \(\triangle ADC\) ចំណុច \(S, R\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(DA, CD\) នាំឱ្យ \(SR\) ជាអង្កត់មធ្យម ៖
\(\vec{SR} = \dfrac{1}{2}\vec{AC}\)
ទាញបាន \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) នាំឱ្យជ្រុងឈម \(PQ\) និង \(SR\) ស្របគ្នា និងមានប្រវែងស្មើគ្នា។
ដូចនេះ ចតុកោណ \(PQRS\) គឺជាប្រលេឡូក្រាមជានិច្ច។

បង្ហាញទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនីញ៉ុស ៖ \(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \dfrac{BC^2}{2}\)
ជ្រើសរើសតម្រុយអរតូណរម៉េដែលមានគល់ \(O(0, 0) \equiv M\) (ចំណុចកណ្តាលនៃ \(BC\)) ហើយអ័ក្ស \(Ox\) ស្របតាមបន្ទាត់ \(BC\)។
តាងកូអរដោនេ ៖
\(B(-c, 0)\) និង \(C(c, 0)\) នាំឱ្យ \(BC = 2c \implies BC^2 = 4c^2\)
តាង \(A(x, y)\) ជាកំពូលទីបី ៖
- \(AM^2 = x^2 + y^2\)
- \(AB^2 = (x + c)^2 + y^2 = x^2 + 2cx + c^2 + y^2\)
- \(AC^2 = (x - c)^2 + y^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2\)
បូកអង្គនិងអង្គ ៖
\(AB^2 + AC^2 = (x^2 + 2cx + c^2 + y^2) + (x^2 - 2cx + c^2 + y^2)\)
\(= 2(x^2 + y^2) + 2c^2\)
ដោយ \(x^2 + y^2 = AM^2\) និង \(2c^2 = \dfrac{4c^2}{2} = \dfrac{BC^2}{2}\) ៖
\(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \dfrac{BC^2}{2}\) (ពិតប្រាកដមែន)។

រកផ្ទៃក្រឡាពហុកោណ \(ABCDE\) តាមក្បួនចងខ្សែស្បែកជើង (Shoelace Formula) ៖
កំពូលរៀបតាមលំដាប់ ៖ \(A(1, 2) \to B(3, 1) \to C(5, 4) \to D(4, 7) \to E(2, 6) \to A(1, 2)\)
ផលបូកអង្កត់ទ្រូងចុះ ៖
\(\Sigma_{\downarrow} = 1(1) + 3(4) + 5(7) + 4(6) + 2(2) = 1 + 12 + 35 + 24 + 4 = 76\)
ផលបូកអង្កត់ទ្រូងឡើង ៖
\(\Sigma_{\uparrow} = 2(3) + 1(5) + 4(4) + 7(2) + 6(1) = 6 + 5 + 16 + 14 + 6 = 47\)
ផ្ទៃក្រឡា ៖
\(S = \dfrac{1}{2} |\Sigma_{\downarrow} - \Sigma_{\uparrow}| = \dfrac{1}{2} |76 - 47| = \dfrac{29}{2} = 14.5\) ឯកតាផ្ទៃ។

លំហាត់ PISA - ប្រព័ន្ធកំណត់ទីតាំងសកល (GPS) ៖
តាងទីតាំងអ្នកឡើងភ្នំជា \(H(x, y)\) ដោយ \(y > 0\)។
ស្ថានីយ \(A(0, 0)\) និង \(B(6, 0)\) គិតជា \(\text{km}\)។
ចម្ងាយ \(HA = 5\text{ km} \implies x^2 + y^2 = 25 \quad{} (1)\)
ចម្ងាយ \(HB = 5\text{ km} \implies (x - 6)^2 + y^2 = 25 \quad{} (2)\)
ដក \((2)\) ចេញពី \((1)\) ៖
\(x^2 - (x - 6)^2 = 0 \iff 12x - 36 = 0 \iff x = 3\)
ជំនួស \(x = 3\) ចូល \((1)\) ៖
\(3^2 + y^2 = 25 \iff y^2 = 16 \implies y = 4\) (ព្រោះ \(y > 0\))
ដូចនេះ ទីតាំងអ្នកឡើងភ្នំគឺ \(H(3, 4)\text{ km}\)។
គណនាចម្ងាយកាត់ទៅទីតាំងសង្គ្រោះ \(C(3, 8)\text{ km}\) ៖
\(HC = \sqrt{(3 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{0 + 4^2} = 4\text{ km}\)។

លំហាត់ PISA - ប្លង់បណ្តាញផ្លូវក្រុងភ្នំពេញ ៖
មន្ទីរពេទ្យ \(H(2, 3)\) និងសាលារៀន \(S(8, 11)\) គិតជា \(\text{km}\) ៖
- ចម្ងាយផ្លូវកាត់ត្រង់ (ចម្ងាយអឺគ្លីដ) ៖
\(d_E = \sqrt{(8 - 2)^2 + (11 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ km}\)។
- ប្រវែងផ្លូវកែងតាមបណ្តាញក្រឡាអ័ក្ស (ចម្ងាយ Manhattan) ៖
\(d_M = |x_S - x_H| + |y_S - y_H| = |8 - 2| + |11 - 3| = 6 + 8 = 14\text{ km}\)។

លំហាត់ PISA - គន្លងហោះហើរដ្រូនកសិកម្ម ៖
\(O(0, 0)\text{ m} \to A(300, 400)\text{ m} \to B(700, 700)\text{ m}\) ៖
- ជើងហោះហើរទី ១ (\(OA\)) ៖
\(OA = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500\text{ m}\)។
- ជើងហោះហើរទី ២ (\(AB\)) ៖
\(AB = \sqrt{(700 - 300)^2 + (700 - 400)^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500\text{ m}\)។
- ចម្ងាយផ្លូវកាត់ត្រង់ត្រឡប់ពី \(B\) មកស្ថានីយ \(O\) វិញ ៖
\(BO = \sqrt{700^2 + 700^2} = 700\sqrt{2} \approx 989.95\text{ m}\)។

លំហាត់ PISA - តំបន់គ្របដណ្តប់នៃអង់តែនទូរស័ព្ទ ៖
អង់តែននៅ \(T(2, 3)\) មានកាំគ្របដណ្តប់ \(R = 5\text{ km}\)។
ចំណុចមួយចាប់សញ្ញាបានកាលណា \(d \le R = 5\text{ km}\) ៖
- ចំពោះចំណុច \(A(5, 7)\) ៖
\(TA = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ km}\)
ដោយ \(TA = 5 \le 5\) នាំឱ្យទីតាំង \(A\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ព្រំដែនគ្របដណ្តប់ ពោលគឺ ចាប់សញ្ញាបាន។
- ចំពោះចំណុច \(B(6, 6)\) ៖
\(TB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\text{ km}\)
ដោយ \(TB = 5 \le 5\) នាំឱ្យទីតាំង \(B\) ស្ថិតនៅលើព្រំដែនគ្របដណ្តប់ ពោលគឺ ចាប់សញ្ញាបាន ដូចគ្នា។

លំហាត់ PISA - ការតម្រង់ទិសនាវាចរណ៍កំពង់ផែ ៖
ភ្លើងហ្វារ \(L_1(0, 0)\) និង \(L_2(10, 0)\) គិតជាម៉ាយល៍។
កប៉ាល់ \(S(x, y)\) រក្សាចម្ងាយស្មើគ្នាពីភ្លើងហ្វារទាំងពីរ (\(SL_1 = SL_2 \iff SL_1^2 = SL_2^2\)) ៖
\((x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (x - 10)^2 + (y - 0)^2\)
\(\iff x^2 = x^2 - 20x + 100 \iff 20x = 100 \iff x = 5\)
ដូចនេះ សមីការគន្លងធ្វើដំណើររបស់កប៉ាល់គឺបន្ទាត់ឈរ \(x = 5\) (ជាមេដ្យាទ័រនៃ \(L_1 L_2\))។
នៅពេល \(y = 12\) ម៉ាយល៍ ទីតាំងកប៉ាល់គឺ \(S(5, 12)\) ៖
ចម្ងាយពីកប៉ាល់ទៅភ្លើងហ្វារនីមួយៗគឺ ៖
\(d = SL_1 = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) ម៉ាយល៍។