មេរៀនទី ៩ : វិសមីការនិងប្រព័ន្ធវិសមីការ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃវិសមីការ និងអ្នកប្រាជ្ញ Cauchy-Schwarz

គំនិតនៃវិសមីការ (Inequalities) បានកើតឡើងស្របគ្នាជាមួយនឹងការវិវត្តនៃសមីការ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែនកំណត់ ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុស និងការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពធនធាន។ និមិត្តសញ្ញាធំជាង ($>$) និងតូចជាង ($<$) ត្រូវបានណែនាំជាលើកដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស ថូម៉ាស ហារីយ៉ូត (Thomas Harriot, ១៥៦០–១៦២១) ក្នុងសៀវភៅដែលបោះពុម្ពក្រោយមរណភាពរបស់លោកក្នុងឆ្នាំ ១៦៣១។

នៅសតវត្សទី ១៩ វិសមីការបានក្លាយជាឧបករណ៍គ្រឹះមិនអាចខ្វះបានក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យាទំនើប។ គណិតវិទូបារាំង អូហ្គីស្ទីន-ល្វី កូស៊ី (Augustin-Louis Cauchy, ១៧៨៩–១៨៥៧), គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ Hermann Schwarz និងគណិតវិទូរុស្ស៊ី Viktor Bunyakovsky បានបង្កើតឡើងនូវ «វិសមីការកូស៊ី-ស្វាស (Cauchy-Schwarz Inequality)» ដ៏ល្បីល្បាញ ៖

\[\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)\]

ដែលជាវិសមីការគ្រឹះបំផុតក្នុងពិភពធរណីមាត្រ ពីជគណិតលីនេអ៊ែរ រូបវិទ្យាកង់ទិច និងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ។

ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រខ្មែរ វិស្វករធារាសាស្ត្រនាសម័យអង្គរត្រូវធានាឱ្យបាននូវវិសមីការជាក់ស្ដែង ៖ កម្ពស់ទឹកក្នុងបារាយណ៍ត្រូវស្ថិតក្នុងចន្លោះសុវត្ថិភាព $h_{\min} \le h \le h_{\max}$ ដើម្បីកុំឱ្យស្ងួតហួតហែងនៅរដូវប្រាំង និងកុំឱ្យបាក់ទំនប់ដោយសម្ពាធទឹកជន់នារដូវវស្សា។

សញ្ញាណ និងលក្ខណៈនៃវិសមីការ

និយមន័យវិសមីការ

វិសមីការ គឺជាប្រយោគគណិតវិទ្យាដែលបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងមិនស្មើគ្នារវាងកន្សោមពីរ ដោយប្រើប្រាស់សញ្ញា $<, \le, >, \ge$។

លក្ខណៈគ្រឹះនៃវិសមីការ

ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a, b, c$ ៖

លក្ខណៈបូក ៖ បើ $a < b$ នោះ $a + c < b + c$។
លក្ខណៈគុណនឹងចំនួនវិជ្ជមាន ៖ បើ $a < b$ និង $c > 0$ នោះ $ac < bc$។
លក្ខណៈគុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន ៖ បើ $a < b$ និង $c < 0$ នោះ $ac > bc$ (ត្រូវត្រឡប់ទិសដៅវិសមីការ)។
លក្ខណៈឆ្លង ៖ បើ $a < b$ និង $b < c$ នោះ $a < c$។

សញ្ញានៃទ្វេធាដឺក្រេទីមួយ $ax + b$

ទ្វេធា $P(x) = ax + b$ ($a \neq 0$) មានឫស $x_0 = -\dfrac{b}{a}$។ តារាងសញ្ញានៃទ្វេធា ៖

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{b}{a}$		$+\infty$
$ax + b$		សញ្ញាផ្ទុយ $a$	$0$	សញ្ញាដូច $a$

សញ្ញានៃត្រីធាដឺក្រេទីពីរ $ax^2 + bx + c$

ចំពោះត្រីធា $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) ដែលមានឌីសគ្រីមីណង់ $\Delta = b^2 - 4ac$ ៖

បើ $\Delta < 0$ ៖ $f(x)$ មានសញ្ញាដូច $a$ ជានិច្ច ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។
បើ $\Delta = 0$ ៖ $f(x)$ មានសញ្ញាដូច $a$ គ្រប់ $x \neq -\dfrac{b}{2a}$ ហើយស្មើ $0$ ត្រង់ $x = -\dfrac{b}{2a}$។
បើ $\Delta > 0$ ៖ $f(x)$ មានឫសពីរ $x_1 < x_2$។ តារាងសញ្ញា ៖

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
$ax^2+bx+c$		សញ្ញាដូច $a$	$0$	សញ្ញាផ្ទុយ $a$	$0$	សញ្ញាដូច $a$

វិធានចងចាំ ៖ «ក្នុងចន្លោះឫសសញ្ញាផ្ទុយ $a$, ក្រៅចន្លោះឫសសញ្ញាដូច $a$»។

វិសមីការសនិទាន និងវិសមីការតម្លៃដាច់ខាត

វិសមីការសនិទាន ៖ $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$ ដោះស្រាយដោយសង់តារាងសញ្ញារួមនៃកត្តាទាំងអស់ (ដោយដាក់លក្ខខណ្ឌភាគបែង $Q(x) \neq 0$)។
វិសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖
- $|A| \le B \iff -B \le A \le B$ (លក្ខខណ្ឌ $B \ge 0$)
- $|A| \ge B \iff A \ge B \quad{} $ ឬ $ \quad{} A \le -B$
- $|A| \le |B| \iff A^2 \le B^2 \iff (A-B)(A+B) \le 0$

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទីមួយមានមួយអញ្ញាត ៖

$2x - 5 > 3$
$3x + 4 \le 19$
$-2x + 7 \ge 1$
$5 - 4x < 17$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទីមួយមានមួយអញ្ញាត ៖
ក. $2x - 5 > 3$
$\iff 2x > 3 + 5 \iff 2x > 8 \iff x > \dfrac{8}{2} = 4$
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $S = (4, +\infty)$។
ខ. $3x + 4 \le 19$
$\iff 3x \le 19 - 4 \iff 3x \le 15 \iff x \le \dfrac{15}{3} = 5$
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $S = (-\infty, 5]$។
គ. $-2x + 7 \ge 1$
$\iff -2x \ge 1 - 7 \iff -2x \ge -6$
ចែកអង្គទាំងសងខាងនឹង $-2 < 0$ (ប្តូរសញ្ញាវិសមភាព) ៖
$\iff x \le \dfrac{-6}{-2} = 3$
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $S = (-\infty, 3]$។
ឃ. $5 - 4x < 17$
$\iff -4x < 17 - 5 \iff -4x < 12$
ចែកអង្គទាំងសងខាងនឹង $-4 < 0$ (ប្តូរសញ្ញាវិសមភាព) ៖
$\iff x > \dfrac{12}{-4} = -3$
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $S = (-3, +\infty)$។

២លំហាត់ទី ២

ដោះស្រាយវិសមីការ និងតាងចម្លើយលើបន្ទាត់ចំនួន ៖

$3(x - 2) \le 2(x + 1) + 4$
$4(2x - 1) - 3(x + 2) > 5$
$\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} \ge 1$
$\dfrac{2x + 1}{4} - \dfrac{3x - 1}{2} < \dfrac{1}{2}$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ និងតាងចម្លើយលើបន្ទាត់ចំនួន ៖
ក. $3(x - 2) \le 2(x + 1) + 4$
$\iff 3x - 6 \le 2x + 2 + 4 \iff 3x - 6 \le 2x + 6$
$\iff 3x - 2x \le 6 + 6 \iff x \le 12$
ចម្លើយជាចន្លោះ ៖ $x \in (-\infty, 12]$។
ខ. $4(2x - 1) - 3(x + 2) > 5$
$\iff 8x - 4 - 3x - 6 > 5 \iff 5x - 10 > 5$
$\iff 5x > 15 \iff x > 3$
ចម្លើយជាចន្លោះ ៖ $x \in (3, +\infty)$។
គ. $\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} \ge 1$
តម្រូវភាគបែងរួម $6$ ៖
$\iff \dfrac{3(x - 1) - 2(x + 2)}{6} \ge \dfrac{6}{6}$
$\iff 3x - 3 - 2x - 4 \ge 6 \iff x - 7 \ge 6 \iff x \ge 13$
ចម្លើយជាចន្លោះ ៖ $x \in [13, +\infty)$។
ឃ. $\dfrac{2x + 1}{4} - \dfrac{3x - 1}{2} < \dfrac{1}{2}$
តម្រូវភាគបែងរួម $4$ ៖
$\iff (2x + 1) - 2(3x - 1) < 2$
$\iff 2x + 1 - 6x + 2 < 2 \iff -4x + 3 < 2$
$\iff -4x < -1 \iff x > \dfrac{1}{4}$
ចម្លើយជាចន្លោះ ៖ $x \in \left(\dfrac{1}{4}, +\infty\right)$។

៣លំហាត់ទី ៣

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖

$\dfrac{2x-3}{5} \ge \dfrac{x+1}{2} - 1$
$x - \dfrac{3x-1}{4} \le 2 + \dfrac{x}{3}$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
ក. $\dfrac{2x-3}{5} \ge \dfrac{x+1}{2} - 1$
គុណអង្គទាំងសងខាងនឹង $10$ ៖
$2(2x - 3) \ge 5(x + 1) - 10$
$\iff 4x - 6 \ge 5x + 5 - 10 \iff 4x - 6 \ge 5x - 5$
$\iff 4x - 5x \ge -5 + 6 \iff -x \ge 1 \iff x \le -1$
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -1]$។
ខ. $x - \dfrac{3x-1}{4} \le 2 + \dfrac{x}{3}$
គុណអង្គទាំងសងខាងនឹង $12$ ៖
$12x - 3(3x - 1) \le 24 + 4x$
$\iff 12x - 9x + 3 \le 24 + 4x \iff 3x + 3 \le 24 + 4x$
$\iff 3x - 4x \le 24 - 3 \iff -x \le 21 \iff x \ge -21$
ដូចនេះ $x \in [-21, +\infty)$។

៤លំហាត់ទី ៤

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការដឺក្រេទីមួយ ៖

$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ 3x + 1 \le 16 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x + 1 \ge 9 \\ 2x - 5 < 7 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x - 2 \le 4x + 1 \\ 2x + 5 > x - 1 \end{cases}$
$\begin{cases} 5x - 2 > 3x + 4 \\ 2x + 7 \ge 4x - 1 \end{cases}$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការដឺក្រេទីមួយ ៖
ក. $\begin{cases} 2x - 3 > 1 \iff 2x > 4 \iff x > 2 \\ 3x + 1 \le 16 \iff 3x \le 15 \iff x \le 5 \end{cases}$
ប្រពន្ធ័មានចម្លើយ ៖ $2 < x \le 5$ ពោលគឺ $x \in (2, 5]$។
ខ. $\begin{cases} 4x + 1 \ge 9 \iff 4x \ge 8 \iff x \ge 2 \\ 2x - 5 < 7 \iff 2x < 12 \iff x < 6 \end{cases}$
ប្រពន្ធ័មានចម្លើយ ៖ $2 \le x < 6$ ពោលគឺ $x \in [2, 6)$។
គ. $\begin{cases} 3x - 2 \le 4x + 1 \iff -x \le 3 \iff x \ge -3 \\ 2x + 5 > x - 1 \iff x > -6 \end{cases}$
ប្រសព្វចន្លោះ $x \ge -3$ និង $x > -6$ គឺ $x \ge -3$។
ដូចនេះ $x \in [-3, +\infty)$។
ឃ. $\begin{cases} 5x - 2 > 3x + 4 \iff x > 3 \\ 2x + 7 \ge 4x - 1 \iff x \le 4 \end{cases}$
ប្រពន្ធ័មានចម្លើយ ៖ $3 < x \le 4$ ពោលគឺ $x \in (3, 4]$។

៥លំហាត់ទី ៥

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖

$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2} > 1 \\ \dfrac{2x-1}{3} \le 3 \end{cases}$
$\begin{cases} 2(x-1) < 3x + 1 \\ 4x - 3 \ge 2x + 5 \end{cases}$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
ក. $\begin{cases} \dfrac{x+1}{2} > 1 \iff x > 1 \\ \dfrac{2x-1}{3} \le 3 \iff x \le 5 \end{cases}$
ប្រសព្វចម្លើយ ៖ $1 < x \le 5$ ពោលគឺ $x \in (1, 5]$។
ខ. $\begin{cases} 2(x-1) < 3x + 1 \iff x > -3 \\ 4x - 3 \ge 2x + 5 \iff x \ge 4 \end{cases}$
ប្រសព្វចន្លោះ $x > -3$ និង $x \ge 4$ គឺ $x \ge 4$។
ដូចនេះ $x \in [4, +\infty)$។

៦លំហាត់ទី ៦

ដោះស្រាយវិសមីការទ្វេ ៖

$-3 < 2x - 1 \le 5$
$1 \le \dfrac{3x + 2}{4} < 5$
$-2 \le 5 - 3x \le 8$
$4 < 2 - x < 9$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការទ្វេ ៖
ក. $-3 < 2x - 1 \le 5$
បូក $1$ គ្រប់អង្គ ៖ $-2 < 2x \le 6$
ចែកនឹង $2$ ៖ $-1 < x \le 3 \implies x \in (-1, 3]$។
ខ. $1 \le \dfrac{3x + 2}{4} < 5$
គុណនឹង $4$ ៖ $4 \le 3x + 2 < 20$
ដក $2$ ៖ $2 \le 3x < 18$
ចែកនឹង $3$ ៖ $\dfrac{2}{3} \le x < 6 \implies x \in \left[\dfrac{2}{3}, 6\right)$។
គ. $-2 \le 5 - 3x \le 8$
ដក $5$ ៖ $-7 \le -3x \le 3$
ចែកនឹង $-3 < 0$ (ប្តូរសញ្ញា) ៖
$\dfrac{-7}{-3} \ge x \ge \dfrac{3}{-3} \iff -1 \le x \le \dfrac{7}{3}$
ដូចនេះ $x \in \left[-1, \dfrac{7}{3}\right]$។
ឃ. $4 < 2 - x < 9$
ដក $2$ ៖ $2 < -x < 7$
គុណនឹង $-1 < 0$ ៖ $-7 < x < -2 \implies x \in (-7, -2)$។

៧លំហាត់ទី ៧

សិក្សាសញ្ញានៃទ្វេធាខាងក្រោម ៖

$f(x) = 2x - 6$
$g(x) = -3x + 12$
$h(x) = 5x + 10$
$k(x) = -4x - 8$

មើលដំណោះស្រាយ

សិក្សាសញ្ញានៃទ្វេធាដឺក្រេទីមួយ $P(x) = ax + b$ ៖
ទ្វេធាមានសញ្ញាដូច $a$ កាលណា $x > -\dfrac{b}{a}$ និងផ្ទុយសញ្ញា $a$ កាលណា $x < -\dfrac{b}{a}$។
ក. $f(x) = 2x - 6$ ៖
ឫស $2x - 6 = 0 \iff x = 3$។ មេគុណ $a = 2 > 0$។
- បើ $x < 3$ នោះ $f(x) < 0$
- បើ $x = 3$ នោះ $f(x) = 0$
- បើ $x > 3$ នោះ $f(x) > 0$។
ខ. $g(x) = -3x + 12$ ៖
ឫស $-3x + 12 = 0 \iff x = 4$។ មេគុណ $a = -3 < 0$។
- បើ $x < 4$ នោះ $g(x) > 0$
- បើ $x = 4$ នោះ $g(x) = 0$
- បើ $x > 4$ នោះ $g(x) < 0$។
គ. $h(x) = 5x + 10$ ៖
ឫស $5x + 10 = 0 \iff x = -2$។ មេគុណ $a = 5 > 0$។
- បើ $x < -2$ នោះ $h(x) < 0$
- បើ $x = -2$ នោះ $h(x) = 0$
- បើ $x > -2$ នោះ $h(x) > 0$។
ឃ. $k(x) = -4x - 8$ ៖
ឫស $-4x - 8 = 0 \iff x = -2$។ មេគុណ $a = -4 < 0$។
- បើ $x < -2$ នោះ $k(x) > 0$
- បើ $x = -2$ នោះ $k(x) = 0$
- បើ $x > -2$ នោះ $k(x) < 0$។

៨លំហាត់ទី ៨

សិក្សាសញ្ញានៃកន្សោមផលគុណ ៖

$P(x) = (x - 2)(x + 3)$
$Q(x) = (2x - 1)(3 - x)$
$R(x) = x(x - 4)(2x + 6)$
$S(x) = (1 - x)(2x + 4)(x - 5)$

មើលដំណោះស្រាយ

សិក្សាសញ្ញានៃកន្សោមផលគុណ ៖
ក. $P(x) = (x - 2)(x + 3)$ ៖
ឫសគឺ $x = -3, x = 2$។ មេគុណនាំមុខ $a = 1 > 0$។
- $P(x) > 0$ ចំពោះ $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$
- $P(x) = 0$ ចំពោះ $x \in \{-3, 2\}$
- $P(x) < 0$ ចំពោះ $x \in (-3, 2)$។
ខ. $Q(x) = (2x - 1)(3 - x)$ ៖
ឫសគឺ $x = \dfrac{1}{2}, x = 3$។ មេគុណនាំមុខ $2(-1) = -2 < 0$។
- $Q(x) > 0$ ចំពោះ $x \in \left(\dfrac{1}{2}, 3\right)$
- $Q(x) = 0$ ចំពោះ $x \in \left\{\dfrac{1}{2}, 3\right\}$
- $Q(x) < 0$ ចំពោះ $x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{2}\right) \cup (3, +\infty)$។
គ. $R(x) = x(x - 4)(2x + 6) = 2x(x - 4)(x + 3)$ ៖
ឫសគឺ $x = -3, x = 0, x = 4$ (តម្រៀបតាមលំដាប់កើន)។
មេគុណនាំមុខ $2 > 0$ ៖
- $R(x) < 0$ លើ $(-\infty, -3) \cup (0, 4)$
- $R(x) = 0$ ត្រង់ $x \in \{-3, 0, 4\}$
- $R(x) > 0$ លើ $(-3, 0) \cup (4, +\infty)$។
ឃ. $S(x) = (1 - x)(2x + 4)(x - 5) = -2(x - 1)(x + 2)(x - 5)$ ៖
ឫសគឺ $x = -2, x = 1, x = 5$។ មេគុណនាំមុខ $-2 < 0$ ៖
- $S(x) > 0$ លើ $(-\infty, -2) \cup (1, 5)$
- $S(x) = 0$ ត្រង់ $x \in \{-2, 1, 5\}$
- $S(x) < 0$ លើ $(-2, 1) \cup (5, +\infty)$។

៩លំហាត់ទី ៩

ដោះស្រាយវិសមីការតាមតារាងសញ្ញា ៖

$(x - 1)(x - 4) > 0$
$(2x + 3)(x - 2) \le 0$
$(3 - x)(x + 5) \ge 0$
$x(2x - 7) < 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការតាមតារាងសញ្ញា ៖
ក. $(x - 1)(x - 4) > 0$ ៖
ឫស $x = 1, x = 4$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូចនេះ $x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$។
ខ. $(2x + 3)(x - 2) \le 0$ ៖
ឫស $x = -\dfrac{3}{2}, x = 2$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូចនេះ $x \in \left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]$។
គ. $(3 - x)(x + 5) \ge 0$ ៖
ឫស $x = -5, x = 3$។ មេគុណ $a = -1 < 0$ ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូចនេះ $x \in [-5, 3]$។
ឃ. $x(2x - 7) < 0$ ៖
ឫស $x = 0, x = \dfrac{7}{2}$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូចនេះ $x \in \left(0, \dfrac{7}{2}\right)$។

១០លំហាត់ទី ១០

សិក្សាសញ្ញានៃត្រីធាដឺក្រេទីពីរ ៖

$f(x) = x^2 - 5x + 6$
$g(x) = -x^2 + 4x - 3$
$h(x) = x^2 - 4x + 4$
$k(x) = 2x^2 + x + 3$

មើលដំណោះស្រាយ

សិក្សាសញ្ញានៃត្រីធាដឺក្រេទីពីរ $f(x) = ax^2 + bx + c$ ៖
ក. $f(x) = x^2 - 5x + 6$ ៖
$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$
សមីការមានឫសពីរ ៖ $x_1 = 2, x_2 = 3$។ មេគុណ $a = 1 > 0$ ៖
- $f(x) > 0$ លើ $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
- $f(x) = 0$ ត្រង់ $x \in \{2, 3\}$
- $f(x) < 0$ លើ $(2, 3)$។
ខ. $g(x) = -x^2 + 4x - 3$ ៖
$\Delta' = 2^2 - (-1)(-3) = 4 - 3 = 1 > 0$
សមីការមានឫសពីរ ៖ $x_1 = 1, x_2 = 3$។ មេគុណ $a = -1 < 0$ ៖
- $g(x) > 0$ លើចន្លោះឫស $(1, 3)$
- $g(x) = 0$ ត្រង់ $x \in \{1, 3\}$
- $g(x) < 0$ លើ $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$។
គ. $h(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ ៖
$\Delta' = (-2)^2 - (1)(4) = 0$។
- $h(x) = 0$ ត្រង់ $x = 2$
- $h(x) > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \ne 2$ ($x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$)។
ឃ. $k(x) = 2x^2 + x + 3$ ៖
$\Delta = 1^2 - 4(2)(3) = 1 - 24 = -23 < 0$។
ដោយ $a = 2 > 0$ និង $\Delta < 0$ នោះ $k(x)$ មានសញ្ញាដូច $a$ ជានិច្ច ៖
$k(x) > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។

១១លំហាត់ទី ១១

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖

$x^2 - 7x + 10 \le 0$
$x^2 - 3x - 4 > 0$
$2x^2 - 5x + 2 < 0$
$3x^2 - 4x + 1 \ge 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖
ក. $x^2 - 7x + 10 \le 0$
រកឫស ៖ $(x - 2)(x - 5) = 0 \iff x = 2 $ ឬ $ x = 5$។
ដោយ $a = 1 > 0$ ត្រីធាមានសញ្ញាអវិជ្ជមាននៅចន្លោះឫស ៖
ដូចនេះ $x \in [2, 5]$។
ខ. $x^2 - 3x - 4 > 0$
រកឫស ៖ $(x + 1)(x - 4) = 0 \iff x = -1 $ ឬ $ x = 4$។
ដោយ $a = 1 > 0$ ត្រីធាមានសញ្ញាវិជ្ជមាននៅក្រៅឫស ៖
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$។
គ. $2x^2 - 5x + 2 < 0$
រកឫស ៖ $(2x - 1)(x - 2) = 0 \iff x = \dfrac{1}{2} $ ឬ $ x = 2$។
ដោយ $a = 2 > 0$ វិសមីការតម្រូវឱ្យយកសញ្ញាអវិជ្ជមាន (ចន្លោះឫស) ៖
ដូចនេះ $x \in \left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$។
ឃ. $3x^2 - 4x + 1 \ge 0$
រកឫស ៖ $(3x - 1)(x - 1) = 0 \iff x = \dfrac{1}{3} $ ឬ $ x = 1$។
ដោយ $a = 3 > 0$ សញ្ញាវិជ្ជមាននៅក្រៅឫស ៖
ដូចនេះ $x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right] \cup [1, +\infty)$។

១២លំហាត់ទី ១២

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖

$-x^2 + 6x - 8 \ge 0$
$-2x^2 + 3x + 5 < 0$
$x^2 - 6x + 9 > 0$
$4x^2 - 12x + 9 \le 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖
ក. $-x^2 + 6x - 8 \ge 0$
គុណនឹង $-1$ ៖ $x^2 - 6x + 8 \le 0 \iff (x - 2)(x - 4) \le 0$
ដូចនេះ $x \in [2, 4]$។
ខ. $-2x^2 + 3x + 5 < 0$
គុណនឹង $-1$ ៖ $2x^2 - 3x - 5 > 0$
$\iff (2x - 5)(x + 1) > 0$
ឫសគឺ $x = -1, x = \dfrac{5}{2}$។
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -1) \cup \left(\dfrac{5}{2}, +\infty\right)$។
គ. $x^2 - 6x + 9 > 0 \iff (x - 3)^2 > 0$
កន្សោមការ៉េតែងតែ $\ge 0$ ហើយស្មើ $0$ ត្រង់ $x = 3$។
ដូចនេះ វិសមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ $x \ne 3$ ៖
$x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$។
ឃ. $4x^2 - 12x + 9 \le 0 \iff (2x - 3)^2 \le 0$
ដោយ $(2x - 3)^2 \ge 0$ ជានិច្ច នោះវិសមីការក្លាយជាសមភាព ៖
$2x - 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖

$x^2 + 4x + 5 > 0$
$x^2 - 2x + 4 \le 0$
$-x^2 + 2x - 3 < 0$
$2x^2 - 3x + 5 \ge 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
ក. $x^2 + 4x + 5 > 0$
$\Delta' = 2^2 - 1(5) = 4 - 5 = -1 < 0$ និង $a = 1 > 0$។
ត្រីធាមានសញ្ញាវិជ្ជមានចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ៖
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $S = \mathbb{R}$។
ខ. $x^2 - 2x + 4 \le 0$
$\Delta' = (-1)^2 - 1(4) = 1 - 4 = -3 < 0$ និង $a = 1 > 0$។
នាំឱ្យ $x^2 - 2x + 4 > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។
ដូចនេះ គ្មានតម្លៃ $x$ ណាធ្វើឱ្យកន្សោម $\le 0$ ទេ ៖ $S = \emptyset$។
គ. $-x^2 + 2x - 3 < 0 \iff x^2 - 2x + 3 > 0$
$\Delta' = 1 - 3 = -2 < 0$ និង $a = 1 > 0$។
ដូចនេះ វិសមីការផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ៖ $S = \mathbb{R}$។
ឃ. $2x^2 - 3x + 5 \ge 0$
$\Delta = (-3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31 < 0$ និង $a = 2 > 0$។
ដូចនេះ វិសមីការផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ៖ $S = \mathbb{R}$។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖

$x^2 \ge 16$
$x^2 < 7$
$4x^2 - 9 \le 0$
$3x^2 - 5x > 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
ក. $x^2 \ge 16 \iff x^2 - 16 \ge 0 \iff (x - 4)(x + 4) \ge 0$
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$។
ខ. $x^2 < 7 \iff x^2 - 7 < 0 \iff (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) < 0$
ដូចនេះ $x \in (-\sqrt{7}, \sqrt{7})$។
គ. $4x^2 - 9 \le 0 \iff (2x - 3)(2x + 3) \le 0$
ឫសគឺ $x = -\dfrac{3}{2}, x = \dfrac{3}{2}$ ៖
ដូចនេះ $x \in \left[-\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right]$។
ឃ. $3x^2 - 5x > 0 \iff x(3x - 5) > 0$
ឫសគឺ $x = 0, x = \dfrac{5}{3}$ ៖
ដូចនេះ $x \in (-\infty, 0) \cup \left(\dfrac{5}{3}, +\infty\right)$។

១៥លំហាត់ទី ១៥

ដោះស្រាយវិសមីការសនិទាន ៖

$\dfrac{x - 2}{x + 3} > 0$
$\dfrac{2x + 1}{x - 4} \le 0$
$\dfrac{3 - x}{x + 2} \ge 0$
$\dfrac{5x - 2}{2 - x} < 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការសនិទាន ៖
ក. $\dfrac{x - 2}{x + 3} > 0$
លក្ខខណ្ឌភាគបែង ៖ $x + 3 \ne 0 \iff x \ne -3$។
សញ្ញានៃប្រភាគដូចគ្នានឹងសញ្ញានៃផលគុណ $(x - 2)(x + 3) > 0$ ៖
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$។
ខ. $\dfrac{2x + 1}{x - 4} \le 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne 4$។
ភាគយកស្មើ $0$ ត្រង់ $x = -\dfrac{1}{2}$។
សញ្ញាអវិជ្ជមាននៅចន្លោះឫស ៖
ដូចនេះ $x \in \left[-\dfrac{1}{2}, 4\right)$ (ចំណាំ ៖ $x = 4$ មិនយកទេព្រោះជាភាគបែង)។
គ. $\dfrac{3 - x}{x + 2} \ge 0 \iff \dfrac{x - 3}{x + 2} \le 0$ (គុណនឹង $-1$)
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne -2$។
ដូចនេះ $x \in (-2, 3]$។
ឃ. $\dfrac{5x - 2}{2 - x} < 0 \iff \dfrac{5x - 2}{x - 2} > 0$ (គុណនឹង $-1$)
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne 2$។ ឫសភាគយកគឺ $x = \dfrac{2}{5}$។
ដូចនេះ $x \in \left(-\infty, \dfrac{2}{5}\right) \cup (2, +\infty)$។

១៦លំហាត់ទី ១៦

ដោះស្រាយវិសមីការសនិទាន ៖

$\dfrac{x^2 - 4}{x + 1} \le 0$
$\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} > 0$
$\dfrac{x + 3}{x^2 - 9} \ge 0$
$\dfrac{2x^2 - x - 1}{x^2 - 4} < 0$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការសនិទាន ៖
ក. $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 1} \le 0 \iff \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 1} \le 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne -1$។ ឫសភាគយកគឺ $x = -2, x = 2$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូចនេះ $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 2]$។
ខ. $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} > 0 \iff \dfrac{(x - 2)(x - 3)}{x - 1} > 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne 1$។ ឫសភាគយកគឺ $x = 2, x = 3$។
តម្រៀបឫស ៖ $1, 2, 3$។
ដូចនេះ $x \in (1, 2) \cup (3, +\infty)$។
គ. $\dfrac{x + 3}{x^2 - 9} \ge 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x^2 - 9 \ne 0 \iff x \ne \pm 3$។
បំបែកភាគបែង ៖ $\dfrac{x + 3}{(x + 3)(x - 3)} \ge 0$
សម្រួលតួ $(x + 3)$ ដោយសារ $x \ne -3$ ៖
$\iff \dfrac{1}{x - 3} \ge 0 \iff x - 3 > 0 \iff x > 3$។
ដូចនេះ $x \in (3, +\infty)$។
ឃ. $g(x) = \dfrac{2x^2 - x - 1}{x^2 - 4} < 0 \iff \dfrac{(2x + 1)(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} < 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne \pm 2$។ ឫសទាំង ៤ តាមលំដាប់ ៖ $-2, -\dfrac{1}{2}, 1, 2$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូចនេះ $x \in \left(-2, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (1, 2)$។

១៧លំហាត់ទី ១៧

ដោះស្រាយវិសមីការសនិទាន (បោះអង្គមកម្ខាងរួចតម្រូវភាគបែង) ៖

$\dfrac{x + 1}{x - 2} \ge 2$
$\dfrac{2x - 1}{x + 3} < 1$
$\dfrac{1}{x} \le 1$
$\dfrac{2}{x - 1} > \dfrac{3}{x + 2}$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការសនិទាន ៖
ក. $\dfrac{x + 1}{x - 2} \ge 2 \iff \dfrac{x + 1}{x - 2} - 2 \ge 0$
$\iff \dfrac{x + 1 - 2(x - 2)}{x - 2} \ge 0 \iff \dfrac{-x + 5}{x - 2} \ge 0$
$\iff \dfrac{x - 5}{x - 2} \le 0$ (លក្ខខណ្ឌ $x \ne 2$)។
ដូចនេះ $x \in (2, 5]$។
ខ. $\dfrac{2x - 1}{x + 3} < 1 \iff \dfrac{2x - 1}{x + 3} - 1 < 0$
$\iff \dfrac{2x - 1 - (x + 3)}{x + 3} < 0 \iff \dfrac{x - 4}{x + 3} < 0$
(លក្ខខណ្ឌ $x \ne -3$)។
ដូចនេះ $x \in (-3, 4)$។
គ. $\dfrac{1}{x} \le 1 \iff \dfrac{1}{x} - 1 \le 0 \iff \dfrac{1 - x}{x} \le 0 \iff \dfrac{x - 1}{x} \ge 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne 0$។ ឫសភាគយក $x = 1$។
ដូចនេះ $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$។
ឃ. $\dfrac{2}{x - 1} > \dfrac{3}{x + 2} \iff \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2} > 0$
$\iff \dfrac{2(x + 2) - 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} > 0 \iff \dfrac{2x + 4 - 3x + 3}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\iff \dfrac{-x + 7}{(x - 1)(x + 2)} > 0 \iff \dfrac{x - 7}{(x - 1)(x + 2)} < 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne 1, x \ne -2$។ ឫសភាគយក $x = 7$។
ឫសទាំង ៣ តាមលំដាប់ ៖ $-2, 1, 7$។
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 7)$។

១៨លំហាត់ទី ១៨

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2} \ge 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2} \ge 0$
ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖
ភាគយក ៖ $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$
ភាគបែង ៖ $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne -1$ និង $x \ne -2$។
វិសមីការក្លាយជា ៖ $f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x + 2)} \ge 0$
ឫសភាគយកគឺ $1, 2$ និងឫសភាគបែងគឺ $-2, -1$។
តារាងសញ្ញា ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមតារាងសញ្ញា វិសមីការ $f(x) \ge 0$ លុះត្រាតែ ៖
$x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1] \cup [2, +\infty)$។
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1] \cup [2, +\infty)$។

១៩លំហាត់ទី ១៩

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\dfrac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 4x + 4} \le 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\dfrac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 4x + 4} \le 0$
ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖
$f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x - 2)^2} \le 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x - 2 \ne 0 \iff x \ne 2$។
ឫសភាគយកគឺ $-3, 1$ និងឫសភាគបែងគឺ $2$។
តារាងសញ្ញា ៖

តាមតារាងសញ្ញា វិសមីការ $f(x) \le 0$ លុះត្រាតែ ៖
$x \in [-3, 1]$ (ចំណាំ ៖ $x = 2$ មិនយកព្រោះជាភាគបែង)។
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $x \in [-3, 1]$។

២០លំហាត់ទី ២០

ដោះស្រាយវិសមីការដែលមានតម្លៃដាច់ខាតរាង $|A| \le B$ ៖

$|x - 3| \le 4$
$|2x + 1| < 5$
$|3x - 2| \le 7$
$|5 - 2x| < 3$

មើលដំណោះស្រាយ

វិសមីការដែលមានតម្លៃដាច់ខាតរាង $|A| \le B$ ៖
រូបមន្ត ៖ $|A| \le B \iff -B \le A \le B$ (លក្ខខណ្ឌ $B \ge 0$)។
ក. $|x - 3| \le 4$
$\iff -4 \le x - 3 \le 4 \iff -1 \le x \le 7$
ដូចនេះ $x \in [-1, 7]$។
ខ. $|2x + 1| < 5$
$\iff -5 < 2x + 1 < 5 \iff -6 < 2x < 4 \iff -3 < x < 2$
ដូចនេះ $x \in (-3, 2)$។
គ. $|3x - 2| \le 7$
$\iff -7 \le 3x - 2 \le 7 \iff -5 \le 3x \le 9 \iff -\dfrac{5}{3} \le x \le 3$
ដូចនេះ $x \in \left[-\dfrac{5}{3}, 3\right]$។
ឃ. $|5 - 2x| < 3$
$\iff -3 < 5 - 2x < 3 \iff -8 < -2x < -2$
ចែកនឹង $-2 < 0$ ៖ $4 > x > 1 \iff 1 < x < 4$
ដូចនេះ $x \in (1, 4)$។

២១លំហាត់ទី ២១

ដោះស្រាយវិសមីការដែលមានតម្លៃដាច់ខាតរាង $|A| \ge B$ ៖

$|x + 2| \ge 3$
$|2x - 5| > 7$
$|4 - 3x| \ge 5$
$|3x + 1| > 10$

មើលដំណោះស្រាយ

វិសមីការតម្លៃដាច់ខាតរាង $|A| \ge B$ ៖
រូបមន្ត ៖ $|A| \ge B \iff A \le -B $ ឬ $ A \ge B$។
ក. $|x + 2| \ge 3$
$\iff x + 2 \le -3 $ ឬ $ x + 2 \ge 3$
$\iff x \le -5 $ ឬ $ x \ge 1$
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty)$។
ខ. $|2x - 5| > 7$
$\iff 2x - 5 < -7 $ ឬ $ 2x - 5 > 7$
$\iff 2x < -2 $ ឬ $ 2x > 12 \iff x < -1 $ ឬ $ x > 6$
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -1) \cup (6, +\infty)$។
គ. $|4 - 3x| \ge 5$
$\iff 4 - 3x \le -5 $ ឬ $ 4 - 3x \ge 5$
$\iff -3x \le -9 \iff x \ge 3$ ឬ $-3x \ge 1 \iff x \le -\dfrac{1}{3}$
ដូចនេះ $x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{3}\right] \cup [3, +\infty)$។
ឃ. $|3x + 1| > 10$
$\iff 3x + 1 < -10 $ ឬ $ 3x + 1 > 10$
$\iff 3x < -11 \iff x < -\dfrac{11}{3}$ ឬ $3x > 9 \iff x > 3$
ដូចនេះ $x \in \left(-\infty, -\dfrac{11}{3}\right) \cup (3, +\infty)$។

២២លំហាត់ទី ២២

ដោះស្រាយវិសមីការតម្លៃដាច់ខាតរាង $|A| < |B|$ (លើកជាការ៉េអង្គសងខាង) ៖

$|x - 1| \le |x + 3|$
$|2x + 1| > |x - 4|$
$|3x - 2| \le |2x + 3|$
$|x + 5| > |2x - 1|$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការតម្លៃដាច់ខាតរាង $|A| < |B|$ ៖
រូបមន្ត ៖ $|A| < |B| \iff A^2 < B^2 \iff (A - B)(A + B) < 0$។
ក. $|x - 1| \le |x + 3|$
$\iff (x - 1)^2 \le (x + 3)^2 \iff x^2 - 2x + 1 \le x^2 + 6x + 9$
$\iff -8x \le 8 \iff x \ge -1$
ដូចនេះ $x \in [-1, +\infty)$។
ខ. $|2x + 1| > |x - 4|$
$\iff (2x + 1)^2 - (x - 4)^2 > 0$
$\iff [(2x + 1) - (x - 4)][(2x + 1) + (x - 4)] > 0$
$\iff (x + 5)(3x - 3) > 0 \iff 3(x + 5)(x - 1) > 0$
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$។
គ. $|3x - 2| \le |2x + 3|$
$\iff [(3x - 2) - (2x + 3)][(3x - 2) + (2x + 3)] \le 0$
$\iff (x - 5)(5x + 1) \le 0$
ដូចនេះ $x \in \left[-\dfrac{1}{5}, 5\right]$។
ឃ. $|x + 5| > |2x - 1|$
$\iff [(x + 5) - (2x - 1)][(x + 5) + (2x - 1)] > 0$
$\iff (-x + 6)(3x + 4) > 0 \iff (x - 6)(3x + 4) < 0$
ដូចនេះ $x \in \left(-\dfrac{4}{3}, 6\right)$។

២៣លំហាត់ទី ២៣

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $|x^2 - 5x| < 6$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $|x^2 - 5x| < 6$
$\iff -6 < x^2 - 5x < 6 \iff \begin{cases} x^2 - 5x > -6 \\ x^2 - 5x < 6 \end{cases}$
1. $x^2 - 5x + 6 > 0 \iff (x - 2)(x - 3) > 0$
$\implies x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
2. $x^2 - 5x - 6 < 0 \iff (x + 1)(x - 6) < 0$
$\implies x \in (-1, 6)$
ប្រសព្វចម្លើយទាំងពីរ ៖
$x \in (-1, 2) \cup (3, 6)$។

២៤លំហាត់ទី ២៤

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $|x^2 - 4| \le 3x$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $|x^2 - 4| \le 3x$
លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ ៖ $3x \ge 0 \iff x \ge 0$។
នៅពេល $x \ge 0$ វិសមីការសមមូលនឹង ៖
$-3x \le x^2 - 4 \le 3x \iff \begin{cases} x^2 + 3x - 4 \ge 0 \\ x^2 - 3x - 4 \le 0 \end{cases}$
1. $x^2 + 3x - 4 \ge 0 \iff (x - 1)(x + 4) \ge 0$
$\implies x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$
2. $x^2 - 3x - 4 \le 0 \iff (x + 1)(x - 4) \le 0$
$\implies x \in [-1, 4]$
ប្រសព្វលក្ខខណ្ឌទាំងពីរ និង $x \ge 0$ ៖
$x \in [1, 4]$។
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $x \in [1, 4]$។

២៥លំហាត់ទី ២៥

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\dfrac{|x - 2|}{x + 1} \le 1$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\dfrac{|x - 2|}{x + 1} \le 1$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x + 1 \ne 0 \iff x \ne -1$។
យើងចែកជាពីរករណី ៖
- ករណីទី ១ ៖ $x + 1 < 0 \iff x < -1$
ដោយ $|x - 2| \ge 0$ និង $x + 1 < 0$ នោះ $\dfrac{|x - 2|}{x + 1} \le 0 < 1$ ជានិច្ច។
ដូចនេះ គ្រប់ $x \in (-\infty, -1)$ សុទ្ធតែជាចម្លើយ។
- ករណីទី ២ ៖ $x + 1 > 0 \iff x > -1$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x + 1 > 0$ ៖
$|x - 2| \le x + 1 \iff -(x + 1) \le x - 2 \le x + 1$
$\bullet\ -x - 1 \le x - 2 \iff 2x \ge 1 \iff x \ge \dfrac{1}{2}$
$\bullet\ x - 2 \le x + 1 \iff -2 \le 1$ (ពិតជានិច្ច)
នាំឱ្យ $x \ge \dfrac{1}{2}$ (ផ្ទៀងផ្ទាត់ $x > -1$)។
រួមចម្លើយករណីទាំងពីរ ៖
$x \in (-\infty, -1) \cup \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right)$។

២៦លំហាត់ទី ២៦

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖

\[\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \le 0 \\ x^2 - 6x + 8 > 0 \end{cases}\]

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \le 0 \quad{} (1) \\ x^2 - 6x + 8 > 0 \quad{} (2) \end{cases}$
ដោះស្រាយ $(1)$ ៖
$x^2 - 4x + 3 \le 0 \iff (x - 1)(x - 3) \le 0 \iff 1 \le x \le 3$
ដោះស្រាយ $(2)$ ៖
$x^2 - 6x + 8 > 0 \iff (x - 2)(x - 4) > 0 \iff x < 2 $ ឬ $ x > 4$
យកប្រសព្វនៃចន្លើយទាំងពីរ ៖
$[1, 3] \cap ((-\infty, 2) \cup (4, +\infty)) = [1, 2)$។
ដូចនេះ $x \in [1, 2)$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖

\[\begin{cases} 2x^2 - 7x + 3 \le 0 \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases}\]

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
$\begin{cases} 2x^2 - 7x + 3 \le 0 \quad{} (1) \\ x^2 - 4 > 0 \quad{} (2) \end{cases}$
ដោះស្រាយ $(1)$ ៖
$2x^2 - 7x + 3 \le 0 \iff (2x - 1)(x - 3) \le 0 \iff \dfrac{1}{2} \le x \le 3$
ដោះស្រាយ $(2)$ ៖
$x^2 - 4 > 0 \iff (x - 2)(x + 2) > 0 \iff x < -2 $ ឬ $ x > 2$
យកប្រសព្វនៃចម្លើយទាំងពីរ ៖
$\left[\dfrac{1}{2}, 3\right] \cap ((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) = (2, 3]$។
ដូចនេះ $x \in (2, 3]$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ៖ $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ៖ $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$
អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែកន្សោមក្រោមរ៉ាឌីកាល់មិនអវិជ្ជមាន ៖
$x^2 - 5x + 6 \ge 0 \iff (x - 2)(x - 3) \ge 0$
សមីការ $(x-2)(x-3) = 0$ មានឫស $x = 2, x = 3$។
តារាងសញ្ញា ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមតារាងសញ្ញា កន្សោមមិនអវិជ្ជមានលើ ៖
$x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$។
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D_f = (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$។

២៩លំហាត់ទី ២៩

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ៖ $g(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{3-x}}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ៖ $g(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{3-x}}$
អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែ $f(x) = \dfrac{x - 1}{3 - x} \ge 0$។
លក្ខខណ្ឌភាគបែង ៖ $3 - x \ne 0 \iff x \ne 3$។
ឫសភាគយកគឺ $x = 1$ និងឫសភាគបែងគឺ $x = 3$។
តារាងសញ្ញា ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមតារាងសញ្ញា វិសមីការ $f(x) \ge 0$ លុះត្រាតែ ៖
$x \in [1, 3)$ ($x = 3$ មិនយកព្រោះជាភាគបែង)។
ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ $D_g = [1, 3)$។

៣០លំហាត់ទី ៣០

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ៖ $h(x) = \sqrt{x^2 - 9} + \dfrac{1}{\sqrt{16 - x^2}}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ៖ $h(x) = \sqrt{x^2 - 9} + \dfrac{1}{\sqrt{16 - x^2}}$
អនុគមន៍មានន័យកាលណាប្រព័ន្ធលក្ខខណ្ឌត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖
$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \quad{} (1) \\ 16 - x^2 > 0 \quad{} (2) \end{cases}$
- ពី $(1)$ ៖ $(x - 3)(x + 3) \ge 0 \iff x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$
- ពី $(2)$ ៖ $x^2 < 16 \iff -4 < x < 4$
ប្រសព្វចន្លោះទាំងពីរ ៖
$D_h = (-4, -3] \cup [3, 4)$។

៣១លំហាត់ទី ៣១

កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យត្រីធា $f(x) = x^2 - 2(m-1)x + 4$ វិជ្ជមានជានិច្ចចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ($f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$)។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ $m$ ដើម្បីឱ្យ $f(x) = x^2 - 2(m-1)x + 4 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ ៖
ត្រីធាដឺក្រេទីពីរ $f(x) = ax^2 + bx + c$ វិជ្ជមានជានិច្ចគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ លុះត្រាតែ ៖
$\begin{cases} a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases}$
ដោយ $a = 1 > 0$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ជានិច្ច នោះយើងត្រូវឱ្យ $\Delta' < 0$ ៖
$\Delta' = (m - 1)^2 - 1(4) = m^2 - 2m + 1 - 4 = m^2 - 2m - 3$
$\Delta' < 0 \iff (m + 1)(m - 3) < 0$
$\iff -1 < m < 3$។
ដូចនេះ តម្លៃ $m$ ដែលត្រូវរកគឺ $m \in (-1, 3)$។

៣២លំហាត់ទី ៣២

កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យសមីការ $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ មានឫសពីរជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ $m$ ដើម្បីឱ្យសមីការ $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ មានឫសពីរជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា ៖
សមីការដឺក្រេទីពីរមាន $a = 1 \ne 0$។
សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា លុះត្រាតែ $\Delta' > 0$ ៖
$\Delta' = (-m)^2 - 1(m + 6) = m^2 - m - 6$
$\Delta' > 0 \iff (m - 3)(m + 2) > 0$
$\iff m < -2 $ ឬ $ m > 3$។
ដូចនេះ $m \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យវិសមីការ $mx^2 - 4x + m \le 0$ ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ $m$ ដើម្បីឱ្យ $mx^2 - 4x + m \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ ៖
- ករណី $m = 0$ ៖ វិសមីការទៅជា $-4x \le 0 \iff x \ge 0$ (មិនផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ទេ)។
- ករណី $m \ne 0$ ៖ វិសមីការផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ លុះត្រាតែ ៖
$\begin{cases} m < 0 \\ \Delta' \le 0 \end{cases}$
$\Delta' = (-2)^2 - m \cdot m = 4 - m^2 \le 0 \iff m^2 \ge 4$
$\iff m \le -2 $ ឬ $ m \ge 2$។
ដោយសារ $m < 0$ យើងបាន $m \le -2$។
ដូចនេះ តម្លៃ $m$ គឺ $m \in (-\infty, -2]$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យត្រីធា $f(x) = (m-1)x^2 + 2(m-1)x + 1$ មិនអវិជ្ជមានជានិច្ចគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ $m$ ដើម្បីឱ្យត្រីធា $f(x) = (m-1)x^2 + 2(m-1)x + 1 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ ៖
- ករណីទី ១ ៖ $m - 1 = 0 \iff m = 1$
សមីការទៅជា $f(x) = 0x^2 + 0x + 1 = 1 \ge 0$ ពិតចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$។
ដូចនេះ $m = 1$ យកបាន។
- ករណីទី ២ ៖ $m - 1 \ne 0 \iff m \ne 1$
ដើម្បីឱ្យ $f(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ លុះត្រាតែ ៖
$\begin{cases} m - 1 > 0 \\ \Delta' \le 0 \end{cases}$
$\Delta' = (m - 1)^2 - (m - 1)(1) = (m - 1)(m - 1 - 1) = (m - 1)(m - 2)$
$\Delta' \le 0 \iff 1 \le m \le 2$។
រួមជាមួយ $m - 1 > 0 \iff m > 1$ យើងបាន $1 < m \le 2$។
រួមករណីទាំងពីរ ៖ $1 \le m \le 2$។
ដូចនេះ $m \in [1, 2]$។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

រកគ្រប់ចំនួនគត់ $x$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមីការ ៖ $\dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 1} \le 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកគ្រប់ចំនួនគត់ $x$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមីការ ៖ $\dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 1} \le 0$
ដាក់ភាគយកជាផលគុណកត្តា ៖
$\dfrac{(x - 5)(x + 2)}{x - 1} \le 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x \ne 1$។
តាង $f(x) = \dfrac{(x - 5)(x + 2)}{x - 1}$។
ឫសភាគយកគឺ $-2, 5$ និងឫសភាគបែងគឺ $1$។
តារាងសញ្ញា ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមតារាងសញ្ញា កន្សោមអវិជ្ជមានលើ ៖
$x \in (-\infty, -2] \cup (1, 5]$។
- ចំពោះចន្លោះ $(1, 5]$ ចំនួនគត់ $x$ គឺ ៖ $x \in \{2, 3, 4, 5\}$។
- ចំពោះចន្លោះ $(-\infty, -2]$ ចំនួនគត់ $x$ គឺគ្រប់ $x \le -2$ ($x \in \{\dots, -4, -3, -2\}$)។
ប្រសិនបើសំណួរកំណត់យកចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះចម្លើយគឺ $x \in \{2, 3, 4, 5\}$។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $(x^2 - x - 2)(x^2 - 9) \le 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $(x^2 - x - 2)(x^2 - 9) \le 0$
ដាក់ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទីមួយ ៖
$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
វិសមីការក្លាយជា ៖
$P(x) = (x + 3)(x + 1)(x - 2)(x - 3) \le 0$
ឫសនៃ $P(x)$ តាមលំដាប់ ៖ $-3, -1, 2, 3$។
តារាងសញ្ញា ៖

តាមតារាងសញ្ញា វិសមីការ $P(x) \le 0$ លុះត្រាតែ ៖
$x \in [-3, -1] \cup [2, 3]$។
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $x \in [-3, -1] \cup [2, 3]$។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\dfrac{(x-1)^2 (x+2)}{(x-3)^3} \ge 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\dfrac{(x-1)^2 (x+2)}{(x-3)^3} \ge 0$
លក្ខខណ្ឌ ៖ $x - 3 \ne 0 \iff x \ne 3$។
តាង $f(x) = \dfrac{(x-1)^2 (x+2)}{(x-3)^3}$។
ឫសភាគយកគឺ $x = -2, x = 1$ និងឫសភាគបែងគឺ $x = 3$។
តារាងសញ្ញា ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមតារាងសញ្ញា វិសមីការ $f(x) \ge 0$ លុះត្រាតែ ៖
$x \in (-\infty, -2] \cup \{1\} \cup (3, +\infty)$។
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $x \in (-\infty, -2] \cup \{1\} \cup (3, +\infty)$។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\sqrt{x + 2} \le x$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\sqrt{x + 2} \le x$
រូបមន្ត ៖ $\sqrt{A} \le B \iff \begin{cases} A \ge 0 \\ B \ge 0 \\ A \le B^2 \end{cases}$
អនុវត្ត ៖
$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \iff x \ge -2 \\ x \ge 0 \\ x + 2 \le x^2 \iff x^2 - x - 2 \ge 0 \end{cases}$
ដោះស្រាយ $x^2 - x - 2 \ge 0$ ៖
$(x - 2)(x + 1) \ge 0 \iff x \le -1 $ ឬ $ x \ge 2$។
យកប្រសព្វជាមួយលក្ខខណ្ឌ $x \ge 0$ ៖
$x \ge 2$។
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺ $x \in [2, +\infty)$។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\sqrt{2x - 1} > x - 2$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\sqrt{2x - 1} > x - 2$
លក្ខខណ្ឌរ៉ាឌីកាល់ ៖ $2x - 1 \ge 0 \iff x \ge \dfrac{1}{2}$។
យើងពិនិត្យពីរករណីនៃអង្គខាងស្តាំ ៖
- ករណីទី ១ ៖ $x - 2 < 0 \iff x < 2$
ជាមួយ $x \ge \dfrac{1}{2}$ យើងបាន $\dfrac{1}{2} \le x < 2$។
នៅពេលនោះ អង្គខាងឆ្វេង $\ge 0$ ហើយអង្គខាងស្តាំ $< 0$ នាំឱ្យវិសមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ជានិច្ច ៖
ចម្លើយករណីទី ១ គឺ $x \in \left[\dfrac{1}{2}, 2\right)$។
- ករណីទី ២ ៖ $x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2$
លើកជាការ៉េអង្គទាំងពីរ ៖
$2x - 1 > (x - 2)^2 \iff 2x - 1 > x^2 - 4x + 4$
$\iff x^2 - 6x + 5 < 0 \iff (x - 1)(x - 5) < 0$
$\iff 1 < x < 5$។
ប្រសព្វជាមួយ $x \ge 2$ នាំឱ្យ $2 \le x < 5$ ៖
ចម្លើយករណីទី ២ គឺ $x \in [2, 5)$។
រួមចម្លើយទាំងពីរករណី ៖
$x \in \left[\dfrac{1}{2}, 2\right) \cup [2, 5) = \left[\dfrac{1}{2}, 5\right)$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\sqrt{x^2 - 3x - 4} \ge x - 1$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $\sqrt{x^2 - 3x - 4} \ge x - 1$
លក្ខខណ្ឌរ៉ាឌីកាល់ ៖ $x^2 - 3x - 4 \ge 0 \iff (x + 1)(x - 4) \ge 0$
$\iff x \le -1 $ ឬ $ x \ge 4$។
- ករណីទី ១ ៖ $x - 1 < 0 \iff x < 1$
ប្រសព្វជាមួយលក្ខខណ្ឌរ៉ាឌីកាល់ ៖ $x \le -1$។
ដោយ $\sqrt{x^2 - 3x - 4} \ge 0$ ហើយ $x - 1 < 0$ នោះវិសមីការតែងតែពិត ៖
ដូចនេះ $x \in (-\infty, -1]$ ជាចម្លើយ។
- ករណីទី ២ ៖ $x - 1 \ge 0 \iff x \ge 1$
ប្រសព្វជាមួយលក្ខខណ្ឌរ៉ាឌីកាល់ ៖ $x \ge 4$។
លើកជាការ៉េអង្គទាំងពីរ ៖
$x^2 - 3x - 4 \ge (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$
$\iff -3x - 4 \ge -2x + 1 \iff -x \ge 5 \iff x \le -5$។
ប្រសព្វរវាង $x \le -5$ និង $x \ge 4$ គឺគ្មានតម្លៃ $x$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ($\emptyset$)។
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយរួមគឺ $x \in (-\infty, -1]$។

៤១លំហាត់ទី ៤១

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $|2x - 1| + |x + 2| \le 5$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $|2x - 1| + |x + 2| \le 5$
ឫសនៃកន្សោមក្នុងតម្លៃដាច់ខាត ៖ $x = \dfrac{1}{2}$ និង $x = -2$។
យើងបែងចែកជា ៣ ចន្លោះ ៖
1. ចន្លោះ $x < -2$ ៖
$|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1$ និង $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$
វិសមីការទៅជា ៖ $(-2x + 1) + (-x - 2) \le 5$
$\iff -3x - 1 \le 5 \iff -3x \le 6 \iff x \ge -2$
គ្មានចម្លើយលើចន្លោះ $x < -2$ ទេ។
2. ចន្លោះ $-2 \le x \le \dfrac{1}{2}$ ៖
$|2x - 1| = 1 - 2x$ និង $|x + 2| = x + 2$
វិសមីការទៅជា ៖ $(1 - 2x) + (x + 2) \le 5 \iff -x + 3 \le 5$
$\iff -x \le 2 \iff x \ge -2$ (ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់តម្លៃក្នុងចន្លោះនេះ)
នាំឱ្យបានចន្លោះចម្លើយ ៖ $\left[-2, \dfrac{1}{2}\right]$។
3. ចន្លោះ $x > \dfrac{1}{2}$ ៖
$|2x - 1| = 2x - 1$ និង $|x + 2| = x + 2$
វិសមីការទៅជា ៖ $(2x - 1) + (x + 2) \le 5 \iff 3x + 1 \le 5$
$\iff 3x \le 4 \iff x \le \dfrac{4}{3}$
ប្រសព្វជាមួយ $x > \dfrac{1}{2}$ នាំឱ្យបាន $x \in \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{3}\right]$។
រួមចម្លើយ ៖ $x \in \left[-2, \dfrac{1}{2}\right] \cup \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{3}\right] = \left[-2, \dfrac{4}{3}\right]$។

៤២លំហាត់ទី ៤២

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $|x - 1| - |x + 3| > 2$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ $|x - 1| - |x + 3| > 2$
ឫសនៃកន្សោមតម្លៃដាច់ខាត ៖ $x = 1, x = -3$។
បែងចែកជា ៣ ចន្លោះ ៖
1. ចន្លោះ $x < -3$ ៖
$|x - 1| = 1 - x$ និង $|x + 3| = -x - 3$
វិសមីការ ៖ $(1 - x) - (-x - 3) > 2 \iff 1 - x + x + 3 > 2 \iff 4 > 2$ (ពិតជានិច្ច)
ដូចនេះ គ្រប់ $x \in (-\infty, -3)$ ជាចម្លើយ។
2. ចន្លោះ $-3 \le x \le 1$ ៖
$|x - 1| = 1 - x$ និង $|x + 3| = x + 3$
វិសមីការ ៖ $(1 - x) - (x + 3) > 2 \iff -2x - 2 > 2$
$\iff -2x > 4 \iff x < -2$
ប្រសព្វជាមួយ $[-3, 1]$ ទទួលបាន $x \in [-3, -2)$។
3. ចន្លោះ $x > 1$ ៖
$|x - 1| = x - 1$ និង $|x + 3| = x + 3$
វិសមីការ ៖ $(x - 1) - (x + 3) > 2 \iff -4 > 2$ (មិនពិត)។
រួមចម្លើយ ៖ $(-\infty, -3) \cup [-3, -2) = (-\infty, -2)$។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន $a, b > 0$ យើងតែងមាន $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ (វិសមីការ AM-GM)។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ ចំពោះគ្រប់ $a, b > 0$ (វិសមីការ AM-GM) ៖
ដោយសារ $a > 0$ និង $b > 0$ យើងអាចសរសេរ $a = (\sqrt{a})^2$ និង $b = (\sqrt{b})^2$។
ពិនិត្យកន្សោមការ៉េនៃផលដក ៖
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ (ពិតជានិច្ចចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $\sqrt{a}, \sqrt{b}$)
$\iff (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$
$\iff a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$
$\iff a + b \ge 2\sqrt{ab}$
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $2$ ៖
$\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ (ពិត)។
សមភាពកើតមានកាលណា $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0 \iff a = b$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យ $a, b, c > 0$។ បង្ហាញថា $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ $a, b, c > 0$។ បង្ហាញថា $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$ ៖
អនុវត្តវិសមីការ AM-GM ចំពោះគូនីមួយៗនៃចំនួនវិជ្ជមាន ៖
$\bullet\ a + b \ge 2\sqrt{ab}$ (សមភាពពេល $a = b$)
$\bullet\ b + c \ge 2\sqrt{bc}$ (សមភាពពេល $b = c$)
$\bullet\ c + a \ge 2\sqrt{ca}$ (សមភាពពេល $c = a$)
ដោយសារអង្គទាំងសងខាងនៃវិសមភាពទាំងបីសុទ្ធតែវិជ្ជមាន យើងគុណវិសមភាពទាំងបីបញ្ចូលគ្នា ៖
$(a + b)(b + c)(c + a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})$
$\iff (a + b)(b + c)(c + a) \ge 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ca}$
$\iff (a + b)(b + c)(c + a) \ge 8\sqrt{a^2 b^2 c^2} = 8abc$ (ពិត)។
សមភាពកើតមានកាលណា $a = b = c$។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

គេឱ្យ $x, y > 0$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x + y = 1$។ រកតម្លៃតូចបំផុតនៃកន្សោម $S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃតូចបំផុតនៃ $S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ ដោយ $x, y > 0$ និង $x + y = 1$ ៖
តម្រូវភាគបែង ៖ $S = \dfrac{x + y}{xy} = \dfrac{1}{xy}$ (ព្រោះ $x + y = 1$)។
តាមវិសមីការ AM-GM សម្រាប់ $x, y > 0$ ៖
$\sqrt{xy} \le \dfrac{x + y}{2} = \dfrac{1}{2} \implies xy \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$
ដោយសារ $xy > 0$ យើងច្រាសវិសមភាព ៖
$S = \dfrac{1}{xy} \ge \dfrac{1}{\frac{1}{4}} = 4$។
សមភាពកើតមានកាលណា $x = y = \dfrac{1}{2}$ (ផ្ទៀងផ្ទាត់ $x + y = 1$)។
ដូចនេះ តម្លៃតូចបំផុតនៃ $S$ គឺ $S_{\min} = 4$ ត្រង់ $x = y = \dfrac{1}{2}$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

លំហាត់ PISA - ជម្រើសកញ្ចប់សេវាទូរស័ព្ទ ៖ ក្រុមហ៊ុនមួយផ្តល់ជម្រើសពីរ ៖ គម្រោង A (សេវាថេរ $12\$$ បូក $0.05\$/$ នាទី ) និង គម្រោង B (គ្មានសេវាថេរ តែគិត $0.15\$/$ នាទី )។

សរសេរវិសមីការកំណត់ចំនួននាទីហៅចេញ $x$ ក្នុងមួយខែ ដែលធ្វើឱ្យគម្រោង A អស់តិចជាង B។
ដោះស្រាយវិសមីការ និងផ្តល់អនុសាសន៍ដល់អ្នកប្រើប្រាស់។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - ជម្រើសកញ្ចប់សេវាទូរស័ព្ទ ៖
តាង $x$ ជាចំនួននាទីហៅចេញក្នុងមួយខែ ($x \ge 0$)។
ថ្លៃចំណាយគម្រោង A ៖ $C_A(x) = 12 + 0.05x$
ថ្លៃចំណាយគម្រោង B ៖ $C_B(x) = 0.15x$
ក. វិសមីការកំណត់ចំនួននាទីដើម្បីឱ្យគម្រោង A អស់តិចជាង B ៖
$C_A(x) < C_B(x) \iff 12 + 0.05x < 0.15x$
ខ. ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
$12 < 0.15x - 0.05x \iff 0.10x > 12 \iff x > \dfrac{12}{0.10} = 120$ នាទី។
អនុសាសន៍ ៖

ប្រសិនបើអ្នកប្រើប្រាស់ហៅចេញច្រើនជាង $120$ នាទី (លើសពី ២ ម៉ោង) ក្នុងមួយខែ នោះគួរជ្រើសរើស គម្រោង A ព្រោះចំណេញជាង។
ប្រសិនបើហៅចេញតិចជាង $120$ នាទី គួរជ្រើសរើស គម្រោង B។
ប្រសិនបើហៅចេញចំ $120$ នាទី គម្រោងទាំងពីរអស់ប្រាក់ស្មើគ្នា ($18\$$)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

លំហាត់ PISA - សមត្ថភាពផ្ទុកទម្ងន់សុវត្ថិភាពនៃជណ្តើរយន្ត ៖ ជណ្តើរយន្តដឹកទំនិញមួយមានកម្រិតផ្ទុកទម្ងន់សុវត្ថិភាពអតិបរមា $800\text{ kg}$។ បុគ្គលិកម្នាក់មានទម្ងន់ $75\text{ kg}$ ត្រូវរុញកេសទំនិញដែលមានទម្ងន់ $35\text{ kg}$ ក្នុងមួយកេស។

សរសេរវិសមីការតំណាងឱ្យទម្ងន់សរុប។
រកចំនួនកេសអតិបរមាដឹកបានក្នុងមួយជើង។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - សមត្ថភាពផ្ទុកទម្ងន់សុវត្ថិភាពនៃជណ្តើរយន្ត ៖
តាង $n$ ជាចំនួនកេសទំនិញដែលអាចដឹកបាន ($n \in \mathbb{N}$)។
ទម្ងន់មនុស្ស ៖ $75\text{ kg}$
ទម្ងន់កេសទំនិញ $n$ កេស ៖ $35n\text{ kg}$
ទម្ងន់ផ្ទុកអតិបរមា ៖ $800\text{ kg}$
ក. វិសមីការតំណាងឱ្យទម្ងន់សរុបប្រកបដោយសុវត្ថិភាព ៖
$75 + 35n \le 800$
ខ. រកចំនួនកេសអតិបរមា ៖
$35n \le 800 - 75 \iff 35n \le 725$
$\iff n \le \dfrac{725}{35} = \dfrac{145}{7} \approx 20.71$
ដោយសារ $n$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះតម្លៃអតិបរមានៃ $n$ គឺ $n_{\max} = 20$។
ដូចនេះ ជណ្តើរយន្តអាចដឹកកេសទំនិញបានច្រើនបំផុត $20$ កេស ក្នុងមួយជើង។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

លំហាត់ PISA - ការគ្រប់គ្រងប្រាក់ចំណេញសហគ្រាស ៖ អាជីវកម្មមួយចំណាយថ្លៃដើមថេរ $1800\$$ និងថ្លៃដើមផលិត $4\$$ ក្នុងមួយឯកតា។ ផលិតផលត្រូវលក់ក្នុងតម្លៃ $10\$$។

សរសេរវិសមីការឱ្យបានចំណេញសុទ្ធយ៉ាងតិច $1200\$$។
រកចំនួនឯកតាអប្បបរមាដែលត្រូវលក់ក្នុងមួយខែ។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - ការគ្រប់គ្រងប្រាក់ចំណេញសហគ្រាស ៖
តាង $x$ ជាចំនួនឯកតាផលិតផលដែលត្រូវផលិត និងលក់ ($x \in \mathbb{N}$)។
ចំណូលសរុប ៖ $R(x) = 10x$
ថ្លៃដើមសរុប ៖ $C(x) = 1800 + 4x$
ប្រាក់ចំណេញសុទ្ធ ៖ $P(x) = R(x) - C(x) = 10x - (1800 + 4x) = 6x - 1800$
ក. វិសមីការដើម្បីទទួលបានចំណេញយ៉ាងតិច $1200\$$ ៖
$6x - 1800 \ge 1200$
ខ. ដោះស្រាយវិសមីការរកចំនួនឯកតាអប្បបរមា ៖
$6x \ge 1200 + 1800 \iff 6x \ge 3000$
$\iff x \ge \dfrac{3000}{6} = 500$ ឯកតា។
ដូចនេះ សហគ្រាសត្រូវផលិត និងលក់ឱ្យបានយ៉ាងតិច $500$ ឯកតា ក្នុងមួយខែ។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

លំហាត់ PISA - សីតុណ្ហភាពសុវត្ថិភាពក្នុងការរក្សាទុកឱសថ ៖ ឱសថមួយប្រភេទត្រូវរក្សាទុកនៅសីតុណ្ហភាព $C$ ចន្លោះ $2^\circ\text{C}$ ដល់ $8^\circ\text{C}$ ($2 \le C \le 8$) ដោយ $C = \frac{5}{9}(F - 32)$។

បំប្លែងជាវិសមីការទ្វេនៃអង្សាហ្វារិនហៃ $F$។
កំណត់ដែនសីតុណ្ហភាពគិតជា $F$។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - សីតុណ្ហភាពសុវត្ថិភាពក្នុងការរក្សាទុកឱសថ ៖
លក្ខខណ្ឌសីតុណ្ហភាពគិតជាអង្សាសេ ៖ $2 \le C \le 8$
ដោយ $C = \dfrac{5}{9}(F - 32)$
ក. បំប្លែងជាវិសមីការទ្វេនៃ $F$ ៖
$2 \le \dfrac{5}{9}(F - 32) \le 8$
ខ. កំណត់ដែនសីតុណ្ហភាពជាអង្សាហ្វារិនហៃ ($F$) ៖
គុណគ្រប់អង្គនឹង $\dfrac{9}{5} = 1.8$ ៖
$2 \times \dfrac{9}{5} \le F - 32 \le 8 \times \dfrac{9}{5}$
$\iff 3.6 \le F - 32 \le 14.4$
បូក $32$ គ្រប់អង្គ ៖
$3.6 + 32 \le F \le 14.4 + 32 \iff 35.6 \le F \le 46.4$។
ដូចនេះ ដែនសីតុណ្ហភាពសុវត្ថិភាពគឺពី $35.6^\circ\text{F}$ ដល់ $46.4^\circ\text{F}$ ($F \in [35.6^\circ\text{F}, 46.4^\circ\text{F}]$)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

លំហាត់ PISA - ល្បឿនសុវត្ថិភាពលើផ្លូវល្បឿនលឿន ៖ ផ្លាកសញ្ញាកំណត់ល្បឿនអប្បបរមា $60\text{ km/h}$ និងអតិបរមា $120\text{ km/h}$។

សរសេរវិសមីការតំណាងឱ្យល្បឿន $v$។
រកចន្លោះរយៈពេលធ្វើដំណើរលើចម្ងាយ $180\text{ km}$។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - ល្បឿនសុវត្ថិភាពលើផ្លូវល្បឿនលឿន ៖
ចម្ងាយផ្លូវ ៖ $d = 180\text{ km}$
ក. វិសមីការតំណាងឱ្យល្បឿនអនុញ្ញាត $v$ ($\text{km/h}$) ៖
$60 \le v \le 120$
ខ. រកចន្លោះរយៈពេលធ្វើដំណើរ $t$ (ម៉ោង) ៖
រូបមន្ត ៖ $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{180}{v}$
ដោយសារ $60 \le v \le 120$ និង $v > 0$ យើងច្រាសវិសមភាព ៖
$\dfrac{180}{120} \le \dfrac{180}{v} \le \dfrac{180}{60}$
$\iff 1.5 \le t \le 3$ ម៉ោង។
បំប្លែង $1.5$ ម៉ោង $ = 1$ ម៉ោង $ 30$ នាទី ។
ដូចនេះ រយៈពេលធ្វើដំណើរប្រកបដោយសុវត្ថិភាព និងស្របច្បាប់ គឺស្ថិតនៅចន្លោះពី $1$ ម៉ោង $ 30$ នាទី ដល់ $3$ ម៉ោង ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៣ សមីការ និងវិសមីការ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

វិសមីការនិងប្រព័ន្ធវិសមីការ

សញ្ញាណ និងលក្ខណៈនៃវិសមីការ

សញ្ញានៃទ្វេធាដឺក្រេទីមួយ \(ax + b\)

សញ្ញានៃត្រីធាដឺក្រេទីពីរ \(ax^2 + bx + c\)

វិសមីការសនិទាន និងវិសមីការតម្លៃដាច់ខាត

លំហាត់អនុវត្តន៍

សំណួរពហុជ្រើសរើស

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០