ពហុកោណ

គណនាផលបូករង្វាស់មុំក្នុង \(S = (n-2) \times 180^\circ\) ៖

• \(n = 5\) ៖ \(S = (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ\)

• \(n = 7\) ៖ \(S = (7-2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ\)

• \(n = 10\) ៖ \(S = (10-2) \times 180^\circ = 8 \times 180^\circ = 1440^\circ\)

• \(n = 12\) ៖ \(S = (12-2) \times 180^\circ = 10 \times 180^\circ = 1800^\circ\)

រកចំនួនជ្រុង \(n\) តាមរូបមន្ត \(n = \dfrac{S}{180^\circ} + 2\) ៖

• ក) \(S = 1260^\circ \implies n = \dfrac{1260}{180} + 2 = 7 + 2 = 9\) ជ្រុង

• ខ) \(S = 1800^\circ \implies n = \dfrac{1800}{180} + 2 = 10 + 2 = 12\) ជ្រុង

• គ) \(S = 2340^\circ \implies n = \dfrac{2340}{180} + 2 = 13 + 2 = 15\) ជ្រុង

• ឃ) \(S = 3240^\circ \implies n = \dfrac{3240}{180} + 2 = 18 + 2 = 20\) ជ្រុង

ចំនួនអង្កត់ទ្រូងពីកំពូលមួយគឺ \(d = n - 3\) និងសរុបគឺ \(D = \dfrac{n(n-3)}{2}\) ៖

• ក) \(n = 8\) ៖ \(d = 8-3 = 5\), \(D = \dfrac{8 \times 5}{2} = 20\)

• ខ) \(n = 11\) ៖ \(d = 11-3 = 8\), \(D = \dfrac{11 \times 8}{2} = 44\)

• គ) \(n = 15\) ៖ \(d = 15-3 = 12\), \(D = \dfrac{15 \times 12}{2} = 90\)

• ឃ) \(n = 20\) ៖ \(d = 20-3 = 17\), \(D = \dfrac{20 \times 17}{2} = 170\)

គេមាន \(D = \dfrac{n(n-3)}{2} = 54 \implies n(n-3) = 108\)។ ដោយ \(108 = 12 \times 9\) គេបាន \(n = 12\) ជ្រុង។ ផលបូកមុំក្នុងគឺ ៖

ផលបូកមុំក្នុងត្រូវតែចែកដាច់នឹង \(180^\circ\) ៖

ផលបូកមុំក្នុងនៃចតុកោណគឺ \(360^\circ\)។ តាង \(x\) ជាមុំទីបួន ៖

ផលបូកមុំក្នុងនៃបញ្ចកោណគឺ \(540^\circ\)។ ផលបូកភាគសមាមាត្រ ៖ \(2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20\) ភាគ។ តម្លៃមួយភាគ ៖ \(\dfrac{540^\circ}{20} = 27^\circ\)។ រង្វាស់មុំទាំងប្រាំគឺ ៖

ផលបូកមុំក្នុងនៃឆកោណគឺ \((6-2) \times 180^\circ = 720^\circ\)។

រូបមន្តមុំក្រៅ \(\beta = \dfrac{360^\circ}{n}\) និងមុំក្នុង \(\alpha = 180^\circ - \beta\) ៖

• ក) បញ្ចកោណ (\(n=5\)) ៖ \(\beta = \dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ\), \(\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\)

• ខ) ឆកោណ (\(n=6\)) ៖ \(\beta = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ\), \(\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)

• គ) អដ្ឋកោណ (\(n=8\)) ៖ \(\beta = \dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ\), \(\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)

• ឃ) ទសកោណ (\(n=10\)) ៖ \(\beta = \dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ\), \(\alpha = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ\)

មុំក្រៅ \(\beta = 180^\circ - \alpha\) និងចំនួនជ្រុង \(n = \dfrac{360^\circ}{\beta}\) ៖

• ក) \(\alpha = 140^\circ \implies \beta = 40^\circ \implies n = \dfrac{360^\circ}{40^\circ} = 9\) ជ្រុង

• ខ) \(\alpha = 150^\circ \implies \beta = 30^\circ \implies n = \dfrac{360^\circ}{30^\circ} = 12\) ជ្រុង

• គ) \(\alpha = 156^\circ \implies \beta = 24^\circ \implies n = \dfrac{360^\circ}{24^\circ} = 15\) ជ្រុង

• ឃ) \(\alpha = 162^\circ \implies \beta = 18^\circ \implies n = \dfrac{360^\circ}{18^\circ} = 20\) ជ្រុង

ចំនួនជ្រុង \(n = \dfrac{360^\circ}{\beta}\) ៖

• ក) \(\beta = 45^\circ \implies n = \dfrac{360^\circ}{45^\circ} = 8\) ជ្រុង (អដ្ឋកោណ)

• ខ) \(\beta = 30^\circ \implies n = \dfrac{360^\circ}{30^\circ} = 12\) ជ្រុង (ទ្វាទសកោណ)

• គ) \(\beta = 24^\circ \implies n = \dfrac{360^\circ}{24^\circ} = 15\) ជ្រុង

• ឃ) \(\beta = 15^\circ \implies n = \dfrac{360^\circ}{15^\circ} = 24\) ជ្រុង

ផលបូកមុំក្នុង \(S_{\text{int}} = (n-2) \times 180^\circ\) និងផលបូកមុំក្រៅ \(S_{\text{ext}} = 360^\circ\)។

គេមាន \(S_{\text{int}} = 3 \times S_{\text{ext}}\) ៖

គេមាន \(\alpha - \beta = 100^\circ\) និង \(\alpha + \beta = 180^\circ\)។ បូកសមីការទាំងពីរ ៖ \(2\alpha = 280^\circ \implies \alpha = 140^\circ\)។ មុំក្រៅ ៖ \(\beta = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\)។ ចំនួនជ្រុង ៖

ផលធៀប \(\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{7}{2}\) និង \(\alpha + \beta = 180^\circ\)។ ផលបូកភាគ ៖ \(7 + 2 = 9\) ភាគ។ \(\beta = \dfrac{2}{9} \times 180^\circ = 40^\circ\)។ ចំនួនជ្រុង ៖

ចំពោះពហុកោណនិយ័ត \(16\) ជ្រុង (\(n=16\)) ៖

នៅគ្រប់កំពូលនីមួយៗ មុំក្នុង និងមុំក្រៅជាប់គ្នាមានផលបូក \(180^\circ\)។ ផលបូកមុំក្នុង និងមុំក្រៅទាំងអស់គឺ \(n \times 180^\circ\)។ ផលបូកមុំក្នុងតែឯងគឺ \((n-2) \times 180^\circ\)។ ផលបូកមុំក្រៅគឺ ៖

គេឱ្យ \(D = 2n\) ៖

គេឱ្យ \(D = n\) ៖

ពីកំពូលមួយ គេអាចគូសអង្កត់ទ្រូងទៅកាន់កំពូលផ្សេងទៀតលើកលែងតែកំពូលខ្លួនឯង និងកំពូលជាប់សងខាង (\(3\) កំពូល) គឺបាន \((n-3)\) អង្កត់ទ្រូង។ ដោយពហុកោណមាន \(n\) កំពូល ចំនួនអង្កត់ទ្រូងសរុបគឺ \(n(n-3)\)។ ប៉ុន្តែអង្កត់ទ្រូងនីមួយៗត្រូវបានរាប់ពីរដង (ពីចុងសងខាង) ដូច្នេះចំនួនអង្កត់ទ្រូងពិតប្រាកដគឺ ៖

ក្នុងឆកោណនិយ័ត \(ABCDEF\) មុំផ្ចិតនីមួយៗស្មើ \(\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ\)។ ត្រីកោណ \(OAB\) មាន \(OA = OB = R\) នាំឱ្យជាត្រីកោណសមបាតដែលមានមុំកំពូល \(60^\circ\)។ ដូច្នេះមុំបាតស្មើ \(\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\)។ នាំឱ្យត្រីកោណទាំងប្រាំមួយសុទ្ធតែជាត្រីកោណសម័ង្ស។

ឆកោណនិយ័តជ្រុង \(a = 6\,\text{cm}\) ផ្សំឡើងពីត្រីកោណសម័ង្សចំនួន \(6\) ដែលមានជ្រុង \(a\) ៖

អដ្ឋកោណនិយ័តជ្រុង \(a\) អាចគណនាផ្ទៃក្រឡាតាមរូបមន្ត ៖

ដើម្បីក្រាលប្លង់ជិតល្អដោយគ្មានចន្លោះ (Tessellation) មុំក្នុងនៃពហុកោណនិយ័តត្រូវតែជាតួចែកនៃ \(360^\circ\) ៖

• ត្រីកោណសម័ង្ស ៖ \(60^\circ \implies \dfrac{360^\circ}{60^\circ} = 6\) (៦ ត្រីកោណជួបគ្នា)

• ការេ ៖ \(90^\circ \implies \dfrac{360^\circ}{90^\circ} = 4\) (៤ ការេជួបគ្នា)

• ឆកោណនិយ័ត ៖ \(120^\circ \implies \dfrac{360^\circ}{120^\circ} = 3\) (៣ ឆកោណជួបគ្នា)

បញ្ចកោណនិយ័តមានមុំក្នុង \(\alpha = 108^\circ\)។ ផលធៀប ៖ \(\dfrac{360^\circ}{108^\circ} = 3.333\dots \notin \mathbb{N}\)។ ដូច្នេះ មុំនៃបញ្ចកោណនិយ័តមិនអាចផ្គុំគ្នាជុំវិញចំណុចមួយឱ្យបាន \(360^\circ\) ឡើយ នាំឱ្យមិនអាចក្រាលប្លង់ទោលបានទេ។

ពហុកោណ \(B\) ជាឆកោណនិយ័ត នាំឱ្យ \(\alpha_B = 120^\circ\)។ មុំក្នុងនៃពហុកោណ \(A\) គឺ ៖

ពហុកោណមាន \(n\) ជ្រុង មានមុំកែង \(3\) (\(3 \times 90^\circ = 270^\circ\)) និងមុំ \((n-3)\) ទៀតស្មើ \(150^\circ\) ៖

ផលបូកមុំក្នុងនៃពហុកោណ \(n\) ជ្រុងគឺ \(S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d] = (n-2) \times 180^\circ\)។

គេឱ្យ \(D - n = 42\) ៖

ក្នុងបញ្ចកោណនិយ័ត \(ABCDE\) មុំក្នុងគឺ \(108^\circ\)។ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(B\) មាន \(\angle B = 108^\circ \implies \angle BAC = \angle BCA = \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ\)។ ស្រដៀងគ្នា \(\Delta BCD\) សមបាតត្រង់ \(C \implies \angle CBD = \angle CDB = 36^\circ\)។ ក្នុង \(\Delta PBC\) ៖

ក្នុងបញ្ចកោណនិយ័ត ត្រីកោណដែលបង្កើតដោយជ្រុងពីរជាប់គ្នានិងអង្កត់ទ្រូងមួយ ដូចជា \(\Delta ABC, \Delta BCD, \dots\) សុទ្ធតែប៉ុនគ្នា (តាមករណី ជ.ម.ជ ព្រោះជ្រុងស្មើគ្នា និងមុំ \(108^\circ\) ដូចគ្នា)។ ដូច្នេះ អង្កត់ទ្រូងដែលជាជ្រុងទីបីនៃត្រីកោណទាំងនោះមានប្រវែងស្មើគ្នាទាំងអស់ ៖

ក្នុងឆកោណនិយ័ត \(ABCDEF\) ជ្រុងទាំងអស់ស្មើគ្នា និងមុំក្នុងទាំងអស់ស្មើ \(120^\circ\)។ ត្រីកោណ \(ABC, CDE, EFA\) ប៉ុនគ្នាតាមករណី ជ.ម.ជ ៖ \(AB=BC=CD=DE=EF=FA\) និង \(\angle B = \angle D = \angle F = 120^\circ\)។ នាំឱ្យជ្រុងទីបី \(AC = CE = EA\)។ ដូចនេះ \(\Delta ACE\) មានជ្រុងទាំងបីស្មើគ្នា គឺជាត្រីកោណសម័ង្ស។

តាងជ្រុងឆកោណគឺ \(a\)។ ផ្ទៃក្រឡាឆកោណគឺ \(S_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2\)។ ប្រវែង \(AC = 2a \sin 60^\circ = a\sqrt{3}\)។ ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណសម័ង្ស \(\Delta ACE\) ជ្រុង \(a\sqrt{3}\) គឺ ៖

នៅកំពូលនីមួយៗនៃឆកោណ មានមុំក្នុង \(120^\circ\) និងមុំការេពីរ \(90^\circ \times 2 = 180^\circ\)។ មុំដែលនៅសល់ជុំវិញកំពូលគឺ \(360^\circ - (120^\circ + 180^\circ) = 60^\circ\)។ ត្រីកោណដែលភ្ជាប់កំពូលការេជាប់គ្នាជាត្រីកោណសមបាតមានជ្រុងស្មើជ្រុងការេ និងមុំកំពូល \(60^\circ\) នាំឱ្យជាត្រីកោណសម័ង្ស។ ដូច្នេះជ្រុងថ្មីទាំងអស់ស្មើនឹងជ្រុងការេ និងមុំក្នុងនៃពហុកោណថ្មីស្មើ \(90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\)។ ដោយមុំក្នុង \(150^\circ\) នោះចំនួនជ្រុងគឺ \(n = \dfrac{360^\circ}{180^\circ - 150^\circ} = 12\) ជ្រុងនិយ័ត។

មុំក្រៅនៃអដ្ឋកោណនិយ័តគឺ \(\beta_8 = \dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ\)។ មុំក្រៅនៃពហុកោណ \(n\) ជ្រុងគឺ \(\beta_n\) ដោយ \(\beta_8 = \beta_n - 27^\circ\) ៖

មុំក្រៅនៃឆកោណនិយ័តគឺ \(\beta_6 = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ\)។ មុំក្រៅនៃពហុកោណ \(n\) ជ្រុងគឺ \(\beta_n = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\)។ ចំនួនជ្រុងគឺ ៖

ផ្កាយប្រាំ (\(5\)-pointed star) បង្កើតដោយការបន្តជ្រុងនៃបញ្ចកោណនិយ័ត។ នៅកំពូលនីមួយៗ មុំកំពូលស្មើនឹង \(180^\circ - 2 \times 72^\circ = 36^\circ\)។ ផលបូករង្វាស់មុំកំពូលទាំងប្រាំគឺ ៖

ចំពោះផ្កាយ \(n\) កំពូលធម្មតា ផលបូកមុំកំពូលទាំង \(n\) គឺ ៖

ក្នុងអដ្ឋកោណនិយ័ត \(ABCDEFGH\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖

• \(\angle ABC = \dfrac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = 135^\circ\)

• \(\Delta ABC\) សមបាត \(\implies \angle BAC = \angle BCA = \dfrac{180^\circ - 135^\circ}{2} = 22.5^\circ\)

• \(\angle ABD = 135^\circ - 2 \times 22.5^\circ = 90^\circ\) (ឬតាមមុំចារឹកក្នុងកាត់ធ្នូ \(4\) ចំណែក)

• \(\angle ABE = 135^\circ - 22.5^\circ = 112.5^\circ\)

ក្នុងឆកោណនិយ័តជ្រុង \(a\) ៖

• កាំរង្វង់ចារឹកក្រៅស្មើនឹងប្រវែងជ្រុង ៖ \(R = a\)

• កាំរង្វង់ចារឹកក្នុងស្មើនឹងកម្ពស់ត្រីកោណសម័ង្ស ៖ \(r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

តាងចំនួនជ្រុងគឺ \(n\) និង \(2n\)។ ផលធៀបមុំក្នុង ៖

តាងចំនួនជ្រុងគឺ \(2k\) និង \(3k\)។ មុំក្រៅគឺ \(\beta_1 = \dfrac{360^\circ}{2k}\) និង \(\beta_2 = \dfrac{360^\circ}{3k}\)។ ផលធៀបមុំក្រៅ ៖ \(\dfrac{\beta_1}{\beta_2} = \dfrac{3k}{2k} = \dfrac{3}{2}\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ជានិច្ចចំពោះគ្រប់ \(k\)។ ដោយជាពហុកោណសាមញ្ញ និងសមាមាត្រជ្រុង \(2:3\) ករណីតូចបំផុតគឺ \(n_1 = 4\) និង \(n_2 = 6\) (ការេ និងឆកោណ)។

តាងការេធំមានជ្រុង \(x\)។ កាត់ត្រីកោណកែងសមបាតជ្រុង \(y\) ចេញពីជ្រុងទាំង ៤។ ជ្រុងអដ្ឋកោណគឺ \(a = y\sqrt{2} = x - 2y\)។ \(y = \dfrac{a}{\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)។ ប្រវែងជ្រុងការេគឺ \(x = a + 2y = a + a\sqrt{2} = a(1+\sqrt{2})\)។ ច្រាសមកវិញ បើការេដើមមានជ្រុង \(L\) នោះ \(a = \dfrac{L}{1+\sqrt{2}} = L(\sqrt{2}-1)\)។

ផលបូកមុំក្នុងដើម ៖ \(S_n = (n-2) \times 180^\circ\)។ ផលបូកមុំក្នុងថ្មី ៖ \(S_{n+2} = (n+2-2) \times 180^\circ = n \times 180^\circ\)។ កំណើនផលបូកមុំក្នុងគឺ ៖

ចំនួនអង្កត់ទ្រូងដើម ៖ \(D_n = \dfrac{n(n-3)}{2}\)។ ចំនួនអង្កត់ទ្រូងថ្មី ៖ \(D_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n-2)}{2}\)។ កំណើនចំនួនអង្កត់ទ្រូងគឺ ៖

បើពហុកោណមានមុំស្រួចមួយ នោះមុំក្រៅជាប់គ្នានឹងជាមុំទាល (\(> 90^\circ\))។ បើពហុកោណមានមុំស្រួច \(4\) ឬច្រើនជាង នោះវានឹងមានមុំក្រៅទាលចំនួន \(4\) ឬច្រើនជាង។ ផលបូកមុំក្រៅទាំង \(4\) នោះគឺ \(> 4 \times 90^\circ = 360^\circ\) ដែលផ្ទុយពីទ្រឹស្តីបទផលបូកមុំក្រៅស្មើ \(360^\circ\)។ ដូចនេះ ពហុកោណប៉ោងមិនអាចមានមុំស្រួចលើសពី \(3\) ឡើយ។

ជ្រើសរើសកំពូលមួយនៃពហុកោណ \(n\) ជ្រុង។ គូសអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់ចេញពីកំពូលនោះបាន \((n-3)\) អង្កត់ទ្រូង។ អង្កត់ទ្រូងទាំងនោះចែកពហុកោណជា \((n-2)\) ត្រីកោណដែលមិនត្រួតស៊ីគ្នា។ ផលបូកមុំក្នុងនៃត្រីកោណនីមួយៗគឺ \(180^\circ\)។ ដូច្នេះ ផលបូកមុំក្នុងនៃពហុកោណស្មើនឹងផលបូកមុំក្នុងនៃត្រីកោណទាំង \((n-2)\) គឺ \((n-2) \times 180^\circ\)។

ពហុកោណនិយ័ត \(n\) ជ្រុងចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ \(R\) ៖ មុំផ្ចិត \(\theta = \dfrac{360^\circ}{n}\)។ ជ្រុងនីមួយៗ \(a = 2R \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)\)។ បរិមាត្រ ៖ \(P = n a = 2nR \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \dfrac{1}{2} n R^2 \sin\left(\dfrac{360^\circ}{n}\right)\)។

នៅឆ្នាំ ១៧៩៦ ក្នុងវ័យ ១៩ ឆ្នាំ Carl Friedrich Gauss បានស្រាយបញ្ជាក់ថា ពហុកោណនិយ័ត \(17\) ជ្រុងអាចសង់បានដោយប្រើតែបន្ទាត់ត្រង់ និងដែកឈាន (Compass and Straightedge)។ គាត់បានរកឃើញទ្រឹស្តីបទ Gauss-Wantzel ថាពហុកោណនិយ័ត \(n\) ជ្រុងអាចសង់បាន លុះត្រាតែ \(n\) ជាផលគុណនៃស្វ័យគុណនៃ ២ និងចំនួនបឋម Fermat ផ្សេងៗគ្នា (\(F_k = 2^{2^k} + 1\))។ របកគំហើញនេះបានដោះស្រាយប្រស្នាធរណីមាត្រក្រិកបុរាណដែលមានអាយុកាលជាង ២០០០ ឆ្នាំ។

សង្ខេបលក្ខណៈគ្រឹះនៃពហុកោណនិយ័ត \(n\) ជ្រុង ៖

1. ចំនួនអង្កត់ទ្រូង ៖ \(D = \dfrac{n(n-3)}{2}\)

2. ផលបូកមុំក្នុង ៖ \(S_{\text{int}} = (n-2) \times 180^\circ\)

3. មុំក្នុងនីមួយៗ ៖ \(\alpha = \dfrac{(n-2) \times 180^\circ}{n}\)

4. ផលបូកមុំក្រៅ ៖ \(S_{\text{ext}} = 360^\circ\)

5. មុំក្រៅនីមួយៗ ៖ \(\beta = \dfrac{360^\circ}{n}\)

6. ទំនាក់ទំនងមុំ ៖ \(\alpha + \beta = 180^\circ\)