ត្រីកោណដូចគ្នា (Similar Triangles) គឺជាគំនិតគណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងសិក្សាពីរូបរាងដោយមិនគិតពីទំហំ ៖
លោកអឺគ្លីដ (Euclid of Alexandria, ៣២៥-២៦៥ មុន គ.ស.) ៖ នៅក្នុងសៀវភៅ Elements ក្បាលទី ៦ លោកអឺគ្លីដបានបង្កើតទ្រឹស្តីបទស្តីពី «រូបរាងដូចគ្នា» (Similar Figures) ដោយបង្ហាញថា រូបពីរដូចគ្នា កាលណាមុំត្រូវគ្នាស្មើគ្នា ហើយជ្រុងត្រូវគ្នាសមាមាត្រគ្នា។
លោក Girard Desargues (១៥៩១-១៦៦១) ៖ ស្ថាបត្យករ និងគណិតវិទូជនជាតិបារាំង បានបង្កើត «ធរណីមាត្រប្លង់ចំណោល» (Projective Geometry) និងការបម្លែងពង្រីក-បង្រួម (Homothety) ដែលពន្យល់ពីរបៀបដែលភ្នែកមនុស្សមើលឃើញវត្ថុនៅឆ្ងាយមានទំហំតូចជាងវត្ថុនៅជិត ប៉ុន្តែមានរាងដូចគ្នា។
ការអនុវត្តក្នុងវិស្វកម្មទំនើប ៖ ការផលិតគំរូតូចៗ (Scale Models) នៃយន្តហោះ នាវា និងស្ពាន ដើម្បីធ្វើតេស្តក្នុងបន្ទប់ខ្យល់ (Wind Tunnel) សុទ្ធតែផ្អែកលើច្បាប់ដំណូចនៃធរណីមាត្រនេះ។
និយមន័យត្រីកោណដូចគ្នា និងផលធៀបដំណូច
ត្រីកោណពីរជា ត្រីកោណដូចគ្នា កាលណាវាមាន ៖
មុំទាំងបីប៉ុនរៀងគ្នា ៖
\[\angle A = \angle A', \; \angle B = \angle B', \; \angle C = \angle C'\]ជ្រុងទាំងបីសមាមាត្ររៀងគ្នា ៖
\[\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = k \quad{} (k \text{ ជាផលធៀបដំណូច})\]
គេកំណត់សរសេរ ៖ \(\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'\)។
បើ \(\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'\) តាមផលធៀបដំណូច \(k\) នោះ ៖
ផលធៀបបរិមាត្រ ៖ \(\dfrac{P'}{P} = k\)
ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា ៖ \(\dfrac{S'}{S} = k^2\)
ផលធៀបកម្ពស់ មេដ្យាន និងកាំរង្វង់ ៖
\[\dfrac{h'}{h} = \dfrac{m'}{m} = \dfrac{R'}{R} = \dfrac{r'}{r} = k\]
ត្រីកោណពីរដូចគ្នាមានផលធៀបដំណូច \(k = \dfrac{1}{3}\)។ បើត្រីកោណធំមានផ្ទៃ \(45\,\text{cm}^2\) គណនាផ្ទៃត្រីកោណតូច។
ត្រីកោណពីរដូចគ្នាមានបរិមាត្រ \(20\,\text{cm}\) និង \(30\,\text{cm}\)។ បើត្រីកោណតូចមានផ្ទៃ \(16\,\text{cm}^2\) គណនាផ្ទៃត្រីកោណធំ។
ករណីដំណូចទាំងបីនៃត្រីកោណទូទៅ
ករណីទី ១ ៖ ម.ម (Angle-Angle, AA) ៖ បើត្រីកោណពីរមានមុំពីរប៉ុនរៀងគ្នា នោះត្រីកោណទាំងពីរដូចគ្នា។
ករណីទី ២ ៖ ជ.ម.ជ (Side-Angle-Side, SAS) ៖ បើត្រីកោណពីរមានជ្រុងពីរសមាមាត្ររៀងគ្នា ហើយមុំដែលនៅចន្លោះជ្រុងទាំងនោះប៉ុនគ្នា នោះត្រីកោណទាំងពីរដូចគ្នា។
ករណីទី ៣ ៖ ជ.ជ.ជ (Side-Side-Side, SSS) ៖ បើត្រីកោណពីរមានជ្រុងទាំងបីសមាមាត្ររៀងគ្នា នោះត្រីកោណទាំងពីរដូចគ្នា។
ក្នុង \(\Delta ABC\) មាន \(D \in AB, E \in AC\) ដោយ \(DE \parallel BC\)។ បង្ហាញថា \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\)។
ដោយ \(DE \parallel BC\) គេបាន ៖
\(\angle ADE = \angle ABC\) (មុំស្របគ្នា)
\(\angle AED = \angle ACB\) (មុំស្របគ្នា)
តាមករណីដំណូច ម.ម (AA) គេបាន \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\)។
ត្រីកោណពីរមានជ្រុង \(6, 8, 10\) និង \(9, 12, 15\)។ បញ្ជាក់ថាត្រីកោណទាំងពីរដូចគ្នា និងកំណត់ផលធៀបដំណូច។
អនុវត្តន៍ក្នុងត្រីកោណកែង
កម្ពស់ \(AH\) គូសចេញពីកំពូលមុំកែង \(A\) នៃ \(\Delta ABC\) បង្កើតបានជាត្រីកោណកែងពីរ \(\Delta HBA\) និង \(\Delta HAC\) ដែលដូចគ្នា និងដូចត្រីកោណដើម \(\Delta ABC\) ៖
\(AH^2 = BH \times CH\)
\(AB^2 = BC \times BH \quad{} ; \quad{} AC^2 = BC \times CH\)
\(AB \times AC = BC \times AH\)
លំហាត់អនុវត្តន៍
ក្នុង \(\Delta ABC\) មាន \(D, E\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB, AC\)។ បង្ហាញថា \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) និងរកផលធៀបដំណូច។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញ \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) ៖ ដោយ \(D, E\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB, AC\) នាំឱ្យ \(DE \parallel BC\)។
\(\angle ADE = \angle B\) (មុំស្របគ្នា)
\(\angle AED = \angle C\) (មុំស្របគ្នា)
\(\angle A\) ជាមុំរួម
តាមករណី ម.ម គេបាន \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) តាមផលធៀប \(k = \frac{1}{2}\)។
\(\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'\) តាមផលធៀប \(k = \frac{1}{4}\)។ គណនាជ្រុងនៃត្រីកោណធំបើជ្រុងត្រីកោណតូចគឺ \(2, 3, 4\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនា \(x, y, z\) តាមផលធៀបដំណូច \(k = \frac{1}{4}\) ៖ \(\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{1}{4}\) នាំឱ្យ ៖ \(x = 4A'B', y = 4B'C', z = 4A'C'\) តាមតម្លៃដែលបានផ្តល់ក្នុងប្រធាន។
សរសេរឈ្មោះកំពូលត្រូវគ្នា និងផលធៀបសមាមាត្រនៃគូត្រីកោណដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរឈ្មោះ និងជ្រុងត្រូវគ្នា ៖ រៀបតាមលំដាប់មុំប៉ុនគ្នា ៖ \(\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'\) នាំឱ្យ ៖ \(\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = k\)។
ត្រួតពិនិត្យថាគូត្រីកោណដែលមានមុំ \(50^\circ, 60^\circ\) និង \(60^\circ, 70^\circ\) ដូចគ្នាឬទេ? ព្រោះអ្វី?
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យគូត្រីកោណដូចគ្នា ៖ ត្រួតពិនិត្យផលធៀបជ្រុង \(\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}\) (ករណី ជ.ជ.ជ) ឬមុំពីរប៉ុនគ្នា (ម.ម)។
បង្ហាញថាបន្ទាត់ស្របនឹងជ្រុងមួយនៃត្រីកោណ កាត់ជ្រុងពីរទៀតបង្កើតបានត្រីកោណថ្មីមួយដូចត្រីកោណដើម។
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រៀបធៀប និងសរសេរផលធៀបដំណូច ៖ \(\Delta AMN \sim \Delta ABC\) (ដោយ \(MN \parallel BC\)) \(\implies \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)។
ត្រីកោណពីរមានជ្រុង \(4, 5, 6\) និង \(8, 10, 12\)។ បញ្ជាក់ភាពដូចគ្នាតាមករណី ជ.ជ.ជ។
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណ ៖ ពិនិត្យលក្ខខណ្ឌ ម.ម, ជ.ម.ជ, ឬ ជ.ជ.ជ។
ត្រីកោណពីរមានជ្រុង \(3, 5\) មុំចន្លោះ \(40^\circ\) និង \(6, 10\) មុំចន្លោះ \(40^\circ\)។ បញ្ជាក់ភាពដូចគ្នាតាម ជ.ម.ជ។
មើលដំណោះស្រាយ
បំពេញផលធៀបដំណូច \(\Delta ABC \sim \Delta GEF\) ៖ \(\frac{GE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{GF}{AC} = k\)។
ស្រាយបញ្ជាក់ថាត្រីកោណកែងពីរដែលមានមុំស្រួចមួយប៉ុនគ្នា តែងតែដូចគ្នាជានិច្ច។
មើលដំណោះស្រាយ
ស្រាយបញ្ជាក់ \(\Delta\) ដូចគ្នា និងទាញវិបាក ៖ ទាញផលធៀបសមាមាត្រដើម្បីគណនាជ្រុងដែលមិនទាន់ស្គាល់។
បើ \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\) ដោយ \(AB = 4, BC = 6, DE = 6\) គណនាប្រវែង \(EF\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាជ្រុង \(EF\) ៖ \(\Delta ABC \sim \Delta DEF \implies \frac{EF}{BC} = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{4} = 1.5 \implies EF = 1.5 \times 6 = 9\,\text{cm}\)។
បើ \(\Delta ABC \sim \Delta MNP\) ដោយ \(\angle A = 50^\circ, \angle B = 70^\circ\) គណនាមុំ \(\angle P\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាមុំ \(\angle P\) ៖ \(\Delta ABC \sim \Delta MNP \implies \angle P = \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ\)។
ត្រីកោណពីរដូចគ្នាមានផលធៀបដំណូច \(k = \frac{1}{3}\)។ គណនាផលធៀបផ្ទៃក្រឡារបស់វា។
មើលដំណោះស្រាយ
ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា ៖ \(k = \frac{1}{3} \implies \frac{S'}{S} = k^2 = \frac{1}{9}\)។
ត្រីកោណពីរដូចគ្នាមានផលធៀបផ្ទៃក្រឡាស្មើ \(\frac{4}{25}\)។ គណនាផលធៀបដំណូច និងផលធៀបបរិមាត្រ។
មើលដំណោះស្រាយ
ផលធៀបដំណូចពីផ្ទៃក្រឡា ៖ \(\frac{S'}{S} = \frac{4}{25} \implies k = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}\)។ ផលធៀបបរិមាត្រគឺ \(k = \frac{2}{5}\)។
ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) មាន \(BH = 4\,\text{cm}, CH = 9\,\text{cm}\)។ គណនា \(AH, BC, AB, AC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ទំនាក់ទំនងក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) កម្ពស់ \(AH\) ៖
\(AH^2 = BH \times CH = 4 \times 9 = 36 \implies AH = 6\,\text{cm}\)
\(BC = BH + CH = 4 + 9 = 13\,\text{cm}\)
\(AB = \sqrt{BC \times BH} = \sqrt{13 \times 4} = 2\sqrt{13}\,\text{cm}\)
\(AC = \sqrt{BC \times CH} = \sqrt{13 \times 9} = 3\sqrt{13}\,\text{cm}\)
ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) មាន \(AB = 6\,\text{cm}, AC = 8\,\text{cm}\)។ គណនាកម្ពស់ \(AH\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាកម្ពស់ \(AH\) ៖ \(AB = 6, AC = 8 \implies BC = 10\) \(AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{48}{10} = 4.8\,\text{cm}\)។
ត្រីកោណពីរដូចគ្នាមាន \(k = 2\)។ បើត្រីកោណតូចមានផ្ទៃ \(15\,\text{cm}^2\) គណនាផ្ទៃត្រីកោណធំ។
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណធំ ៖ \(k = 2 \implies \frac{S_{\text{ធំ}}}{S_{\text{តូច}}} = k^2 = 4 \implies S_{\text{ធំ}} = 4 \times 15 = 60\,\text{cm}^2\)។
ចតុកោណព្នាយ \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) អង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(O\)។ បង្ហាញថា \(\Delta OAB \sim \Delta OCD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចតុកោណព្នាយ \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) ៖ \(\Delta OAB \sim \Delta OCD\) តាមផលធៀប \(k = \frac{AB}{CD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)។ \(\frac{S_{OAB}}{S_{OCD}} = k^2 = \frac{1}{9} \implies S_{OCD} = 9 \times 5 = 45\,\text{cm}^2\)។
ពីលំហាត់ ១៦ បើ \(AB = 4, CD = 12\) និង \(S_{OAB} = 5\,\text{cm}^2\) គណនាផ្ទៃក្រឡា \(\Delta OCD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណចំហៀង ៖ \(S_{OAD} = S_{OBC} = \sqrt{S_{OAB} \times S_{OCD}} = \sqrt{5 \times 45} = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}^2\)។
ពីលំហាត់ ១៦ និង ១៧ គណនាផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃចតុកោណព្នាយ \(ABCD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃក្រឡាសរុបចតុកោណព្នាយ ៖ \(S = S_{OAB} + S_{OCD} + S_{OAD} + S_{OBC} = 5 + 45 + 15 + 15 = 80\,\text{cm}^2\)។
បន្ទាត់មួយកាត់ \(AB, AC\) ត្រង់ \(M, N\) ដោយ \(\angle AMN = \angle C\)។ បង្ហាញថា \(AM \times AB = AN \times AC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ត្រីកោណកាត់បញ្ច្រាសមុំ ៖ \(\angle AMN = \angle C, \angle A\) រួម \(\implies \Delta AMN \sim \Delta ACB\) (ម.ម)។ \(\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB} \implies AM \times AB = AN \times AC\)។
អង្កត់ធ្នូ \(AB, CD\) កាត់គ្នាត្រង់ \(P\) ក្នុងរង្វង់។ បង្ហាញថា \(\Delta PAC \sim \Delta PDB\) និងទាញ \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
អង្កត់ធ្នូកាត់គ្នា ៖ \(\Delta PAC \sim \Delta PDB\) (មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូតែមួយ) ៖ \(\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \implies PA \times PB = PC \times PD\)។
ពីចំណុច \(P\) ក្រៅរង្វង់ គូសបន្ទាត់ប៉ះ \(PT\) និងបន្ទាត់កាត់ \(PAB\)។ បង្ហាញថា \(PT^2 = PA \times PB\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បន្ទាត់ប៉ះ និងបន្ទាត់កាត់ ៖ \(\Delta PTA \sim \Delta PBT\) (មុំរួម \(\angle P\), \(\angle PTA = \angle PBT = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AT}\)) ៖ \(\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} \implies PT^2 = PA \times PB\)។
មនុស្សកម្ពស់ \(1.6\,\text{m}\) ឈរចម្ងាយ \(24\,\text{m}\) ពីអាគារ មើលឃើញកំពូលអាគារតម្រង់តាមកំពូលរបងកម្ពស់ \(2.4\,\text{m}\) ចម្ងាយ \(3\,\text{m}\) ពីគាត់។ គណនាកម្ពស់អាគារ។
មើលដំណោះស្រាយ
កម្ពស់អាគារ ៖ ផលធៀបកម្ពស់ធៀបនឹងចម្ងាយ ៖ \(\frac{H - 1.6}{24} = \frac{2.4 - 1.6}{3} = \frac{0.8}{3} \implies H - 1.6 = 6.4 \implies H = 8.0\,\text{m}\)។
បង្ហាញថាក្នុងត្រីកោណកែង កម្ពស់លើអ៊ីប៉ូតេនុសចែកត្រីកោណជាពីរត្រីកោណកែងតូចៗដែលដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញត្រីកោណកែងពីរដូចគ្នា ៖ មានមុំស្រួចមួយប៉ុនគ្នា នាំឱ្យមុំស្រួចទីពីរក៏ប៉ុនគ្នាដែរ ដូចនេះដូចគ្នាតាម ម.ម។
បង្ហាញថាផលធៀបមេដ្យានត្រូវគ្នានៃត្រីកោណពីរដូចគ្នាស្មើនឹងផលធៀបដំណូច \(k\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ផលធៀបមេដ្យាន ៖ ផលធៀបមេដ្យានត្រូវគ្នានៃត្រីកោណពីរដូចគ្នាស្មើនឹងផលធៀបដំណូច \(k\)។
បង្ហាញថាផលធៀបកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំត្រូវគ្នានៃត្រីកោណពីរដូចគ្នាស្មើនឹង \(k\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ផលធៀបកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ ៖ ស្មើនឹងផលធៀបដំណូច \(k\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង \(AH^2 = BH \times CH\) ដោយប្រើដំណូច \(\Delta HBA \sim \Delta HAC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
កម្ពស់ និងអ៊ីប៉ូតេនុស ៖ \(\Delta HBA \sim \Delta HAC \implies \frac{HA}{HC} = \frac{HB}{HA} \implies HA^2 = HB \times HC\)។
បង្ហាញថាត្រីកោណសមបាតពីរដែលមានមុំកំពូលប៉ុនគ្នា តែងតែដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
ត្រីកោណសមបាតពីរដូចគ្នា ៖ មានមុំកំពូលប៉ុនគ្នា នាំឱ្យមុំបាតប៉ុនគ្នា ដូចនេះដូចគ្នាតាម ម.ម។
បង្ហាញថាត្រីកោណសមបាតពីរដែលមានមុំបាតប៉ុនគ្នា តែងតែដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
ត្រីកោណសមបាតពីរមានមុំបាតប៉ុនគ្នា ៖ ដូចគ្នាតាមករណី ម.ម។
ត្រីកោណពីរដូចគ្នាមាន \(P_1 = 30\,\text{cm}\) និង \(k = \frac{3}{5}\)។ គណនាបរិមាត្រ \(P_2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាបរិមាត្រត្រីកោណដូចគ្នា ៖ \(P_1 = 30\,\text{cm}, k = \frac{3}{5} \implies P_2 = 30 \times \frac{3}{5} = 18\,\text{cm}\)។
ត្រីកោណមួយមានជ្រុងសមាមាត្រនឹង \(3, 5, 7\) និងបរិមាត្រ \(45\,\text{cm}\)។ គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបី។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាជ្រុងត្រីកោណពីបរិមាត្រ ៖ ជ្រុងសមាមាត្រនឹង \(3, 5, 7\) ផលបូក \(15\) ភាគ \(= 45\,\text{cm} \implies 1\) ភាគ \(= 3\,\text{cm}\)។ ជ្រុងគឺ \(9\,\text{cm}, 15\,\text{cm}, 21\,\text{cm}\)។
បង្ហាញពីរបៀបចែកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណជាពីរស្មើគ្នាដោយប្រើបន្ទាត់ស្របនឹងបាត។
មើលដំណោះស្រាយ
ចែកផ្ទៃក្រឡាដោយបន្ទាត់ស្រប ៖ បន្ទាត់ស្របនឹង \(BC\) កាត់កម្ពស់តាមផលធៀប \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\) ដើម្បីចែកផ្ទៃជាពីរស្មើគ្នា។
បង្ហាញថាផលធៀបកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅនៃត្រីកោណពីរដូចគ្នាស្មើនឹងផលធៀបដំណូច \(k\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ \(\Delta ABC \sim \Delta A'B'C' \implies \frac{R'}{R} = k\)។
បង្ហាញថាផលធៀបកាំរង្វង់ចារឹកក្នុងនៃត្រីកោណពីរដូចគ្នាស្មើនឹង \(k\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ត្រីកោណចារឹកក្រៅរង្វង់ ៖ \(\frac{r'}{r} = k\)។
បង្គោលកម្ពស់ \(1.8\,\text{m}\) បង្កើតស្រមោល \(2.4\,\text{m}\)។ រកប្រវែងស្រមោលនៃបង្គោលកម្ពស់ \(6\,\text{m}\) ក្នុងពេលជាមួយគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាប្រវែងស្រមោល ៖ កម្ពស់ \(1.8\,\text{m}\) ស្រមោល \(2.4\,\text{m}\) ៖ បង្គោល \(6\,\text{m}\) ស្រមោលគឺ \(6 \times \frac{2.4}{1.8} = 8\,\text{m}\)។
ពន្យល់ពីវិធីវាស់កម្ពស់ដើមឈើដោយប្រើកញ្ចក់ឆ្លុះតាមគោលការណ៍ត្រីកោណដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំណោទកញ្ចក់ឆ្លុះ ៖ មុំចាំងស្មើនឹងមុំឆ្លុះ \(\implies\) ត្រីកោណកែងពីរដូចគ្នាតាម ម.ម។
បង្ហាញថាបន្ទាត់កាត់កែងលើអង្កត់ទ្រូងចតុកោណកែង បង្កើតបានត្រីកោណដូចគ្នាជាច្រើន។
មើលដំណោះស្រាយ
កាត់កែងលើអង្កត់ទ្រូង ៖ បង្ហាញត្រីកោណដូចគ្នាតាមមុំកែង និងមុំឆ្លាស់ក្នុង។
បង្ហាញថាត្រីកោណពីរដែលទាក់ទងគ្នាតាមបម្លែងពង្រីក-បង្រួម (Homothety) តែងតែដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
ត្រីកោណផ្ចិត និងត្រីកោណធំ ៖ \(\Delta OAB \sim \Delta OA'B'\) ក្នុងប្លង់ពង្រីក-បង្រួម (Homothety)។
អង្កត់ទ្រូងចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាត់គ្នាត្រង់ \(H\)។ បង្ហាញថា \(\Delta AHD \sim \Delta BHC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញ \(\Delta AHD \sim \Delta BHC\) ៖ អង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(H\) នៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ ដូចគ្នាតាម ម.ម។
ពីលំហាត់ ៣៨ ទាញបញ្ជាក់ថា \(HA \times HC = HB \times HD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ផលគុណអង្កត់ ៖ \(HA \times HC = HB \times HD\) ពីត្រីកោណដូចគ្នាខាងលើ។
អនុវត្តត្រីកោណដូចគ្នាក្នុងចតុកោណព្នាយកែងដើម្បីគណនាជ្រុងមិនស្គាល់។
មើលដំណោះស្រាយ
ចតុកោណព្នាយកែង ៖ គូសកម្ពស់បំបែកជាចតុកោណកែង និងត្រីកោណកែង រួចប្រើដំណូច។
បង្ហាញថាកម្ពស់លើអ៊ីប៉ូតេនុសជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃចំណោលទាំងពីរ (\(h = \sqrt{pq}\))។
មើលដំណោះស្រាយ
មធ្យមធរណីមាត្រនៃកម្ពស់ ៖ កម្ពស់លើអ៊ីប៉ូតេនុសជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃចំណោលទាំងពីរ ៖ \(h = \sqrt{p \cdot q}\)។
បង្ហាញថាជ្រុងជាប់មុំកែងជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃអ៊ីប៉ូតេនុស និងចំណោលរបស់វា។
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងជាប់មុំកែងជាមធ្យមធរណីមាត្រ ៖ \(b = \sqrt{c \cdot p}\) និង \(a = \sqrt{c \cdot q}\)។
ស្រាយបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ \(a^2 + b^2 = c^2\) ដោយប្រើត្រីកោណដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
ទាញទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រពីត្រីកោណដូចគ្នា ៖ \(b^2 = c \cdot p\) និង \(a^2 = c \cdot q\) បូកបញ្ចូលគ្នា ៖ \(a^2 + b^2 = c(p + q) = c \cdot c = c^2\) (សម្រាយបញ្ជាក់ដ៏ស្រស់ស្អាត)។
រកកាំរង្វង់ប៉ះរួមនៃរង្វង់បីប៉ះគ្នាដោយប្រើត្រីកោណដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
កាំរង្វង់ប៉ះរួមនៃរង្វង់បី ៖ ប្រើប្រាស់ត្រីកោណដូចគ្នាបង្កើតសមីការដោះស្រាយរកកាំ។
បង្ហាញថាពហុកោណដូចគ្នាពីរមានផលធៀបផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹងការេនៃផលធៀបដំណូច (\(k^2\))។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផ្ទៃក្រឡាពហុកោណដូចគ្នា ៖ \(\frac{S_1}{S_2} = k^2\)។
ផែនទីមួយមានមាត្រដ្ឋាន \(1:50000\)។ បើចម្ងាយលើផែនទីគឺ \(4\,\text{cm}\) គណនាចម្ងាយពិតប្រាកដគិតជា \(\text{km}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
មាត្រដ្ឋានផែនទី ៖ មាត្រដ្ឋាន \(1:50000\) ៖ ចម្ងាយលើផែនទី \(4\,\text{cm}\) ត្រូវនឹង \(4 \times 50000\,\text{cm} = 2000\,\text{m} = 2\,\text{km}\)។
ពីលំហាត់ ៤៦ បើផ្ទៃដីលើផែនទីគឺ \(1\,\text{cm}^2\) គណនាផ្ទៃដីពិតប្រាកដគិតជាហិកតា (\(\text{ha}\))។
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៃដីលើផែនទី ៖ ផ្ទៃ \(1\,\text{cm}^2\) លើផែនទីត្រូវនឹង \((50000)^2\,\text{cm}^2 = 250000\,\text{m}^2 = 25\,\text{ha}\)។
ពន្យល់ពីលក្ខណៈនៃបម្លែងពង្រីក-បង្រួម (Homothety) ផ្ចិត \(O\) ផលធៀប \(k\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ប្លង់ពង្រីក-បង្រួម (Homothety) ៖ បម្លែង \(\mathcal{H}(O, k)\) រក្សាមុំ រក្សាភាពស្របគ្នា និងគុណប្រវែងនឹង \(|k|\) គុណផ្ទៃនឹង \(k^2\)។
បង្ហាញពីគន្លឹះសំខាន់ៗក្នុងការស្វែងរកគូត្រីកោណដូចគ្នាក្នុងលំហាត់ធរណីមាត្រស្មុគស្មាញ។
មើលដំណោះស្រាយ
គន្លឹះដោះស្រាយលំហាត់ត្រីកោណដូចគ្នា ៖ ស្វែងរកមុំស្មើគ្នាពីរគូ (មុំរួម មុំឆ្លាស់ក្នុង មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូតែមួយ) ដើម្បីអនុវត្តករណី ម.ម។
សរសេរការពិពណ៌នាអំពីសារៈសំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទដំណូចរបស់ Euclid ក្នុងការអភិវឌ្ឍវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា។
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រវត្តិនៃទ្រឹស្តីបទដំណូចរបស់ Euclid ៖ សៀវភៅ Elements ក្បាលទី ៦ របស់ Euclid ត្រូវបានចាត់ទុកជាស្នាដៃគ្រឹះនៃធរណីមាត្រសមាមាត្រដែលទ្រទ្រង់ដល់ការអភិវឌ្ឍវិទ្យាសាស្ត្រទំនើប។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៦ ត្រីកោណដូចគ្នា — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី