រង្វង់ និងបន្ទាត់

គណនាប្រវែង \(AC\) ៖ ដោយ \(OC \perp AB\) ត្រង់ \(C\) នាំឱ្យ \(C\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB\)។ ដូចនេះ \(AC = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm}\)។

គណនាប្រវែង \(AB\) ៖ តាមរូប \(C\) ជាចំណុចកណ្តាល និង \(AC = 6\,\text{cm}\) នាំឱ្យ \(AB = 2 \times AC = 12\,\text{cm}\)។

គណនារង្វាស់ \(XY\) ៖ ក្នុង \(\Delta OXY\) មាន \(\angle OXY = 30^\circ, \angle XOY = 60^\circ \implies \angle OYX = 90^\circ\) (ត្រីកោណកែងត្រង់ \(Y\))។ ដោយ \(XZ = 32\,\text{cm}\) ជាអង្កត់ផ្ចិត នាំឱ្យកាំ \(OX = 16\,\text{cm}\)។ ក្នុងត្រីកោណកែង \(OYX\) ជ្រុង \(XY = OX \cos 30^\circ = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\,\text{cm}\)។

គណនាប្រវែង \(AC\) និង \(BC\) ៖ \(AB = 25\,\text{cm}\) ជាអង្កត់ផ្ចិត នាំឱ្យ \(\angle ACB = 90^\circ\) (មុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់)។ តាមសមាមាត្រត្រីកោណមាត្រ ឬពីតាគ័រ ៖ បើ \(BC = 15\,\text{cm}\) នោះ \(AC = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20\,\text{cm}\)។

គណនាចម្ងាយពីផ្ចិតរង្វង់ទៅអង្កត់ធ្នូ ៖ កាំ \(R = 5\,\text{cm}\), អង្កត់ធ្នូ \(AB = 8\,\text{cm} \implies AH = 4\,\text{cm}\)។ ចម្ងាយ \(d = OH = \sqrt{R^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3\,\text{cm}\)។

គណនាប្រវែងអង្កត់ធ្នូ ៖ កាំ \(R = 10\,\text{cm}\), ចម្ងាយ \(d = 6\,\text{cm}\) ៖ កន្លះអង្កត់ធ្នូ ៖ \(AH = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\,\text{cm}\) នាំឱ្យ \(AB = 2 \times 8 = 16\,\text{cm}\)។

គណនាកាំរង្វង់ ៖ អង្កត់ធ្នូ \(AB = 24\,\text{cm}\) (\(AH = 12\)), ចម្ងាយ \(d = 5\,\text{cm}\) ៖ \(R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13\,\text{cm}\)។

បង្ហាញអង្កត់ធ្នូពីរប៉ុនគ្នា ៖ ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅ \(AB\) និង \(CD\) គឺ \(d_1 = d_2 = 4\,\text{cm}\) នាំឱ្យ \(AB = CD = 2\sqrt{R^2 - 16}\)។

ប្រវែងបន្ទាត់ប៉ះពីចំណុចក្រៅ ៖ \(OP = 13\,\text{cm}, R = 5\,\text{cm}\) ៖ បន្ទាត់ប៉ះកែងនឹងកាំ នាំឱ្យ \(PT = \sqrt{OP^2 - R^2} = \sqrt{169 - 25} = 12\,\text{cm}\)។

ចម្ងាយពីចំណុចទៅផ្ចិត ៖ \(PT = 8\,\text{cm}, R = 6\,\text{cm}\) ៖ \(OP = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\,\text{cm}\)។

កាំរង្វង់ពីបន្ទាត់ប៉ះ ៖ \(OP = 25\,\text{cm}, PT = 24\,\text{cm}\) ៖ \(R = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\)។

មុំរវាងបន្ទាត់ប៉ះទាំងពីរ ៖ មុំផ្ចិត \(\angle AOB = 130^\circ\) នាំឱ្យ \(\angle APB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\)។

មុំផ្ចិតបង្កើតដោយចំណុចប៉ះ ៖ \(\angle APB = 70^\circ \implies \angle AOB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)។

បន្ទាត់ប៉ះរួមក្រៅ ៖ \(R = 9\,\text{cm}, r = 4\,\text{cm}, d = 13\,\text{cm}\) ៖ \(L = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\,\text{cm}\)។

បន្ទាត់ប៉ះរួមក្នុង ៖ \(R = 5\,\text{cm}, r = 3\,\text{cm}, d = 10\,\text{cm}\) ៖ \(L' = \sqrt{d^2 - (R + r)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\,\text{cm}\)។

ចតុកោណចារឹកក្រៅរង្វង់ ៖ \(AB + CD = BC + AD \implies 6 + 9 = 7 + AD \implies AD = 8\,\text{cm}\)។

បរិមាត្រចតុកោណចារឹកក្រៅរង្វង់ ៖ \(P = 2(AB + CD) = 2(10 + 14) = 48\,\text{cm}\)។

កាំរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណកែង ៖ \(a = 9, b = 12 \implies c = 15\) \(r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3\,\text{cm}\)។

ចម្ងាយរវាងអង្កត់ធ្នូស្របគ្នា ៖ \(R = 10\,\text{cm}\), អង្កត់ធ្នូ \(12\,\text{cm}\) (\(d_1 = 8\)) និង \(16\,\text{cm}\) (\(d_2 = 6\)) ៖

• សងខាងផ្ចិត ៖ \(d = 8 + 6 = 14\,\text{cm}\)

• ម្ខាងផ្ចិត ៖ \(d = 8 - 6 = 2\,\text{cm}\)

ទ្រឹស្តីបទអង្កត់ធ្នូកាត់គ្នា ៖ \(PA \times PB = PC \times PD \implies 4 \times 6 = 3 \times PD \implies PD = 8\,\text{cm}\)។

ទ្រឹស្តីបទបន្ទាត់កាត់ពីរ ៖ \(PA \times PB = PC \times PD \implies 3 \times 8 = 4 \times PD \implies PD = 6\,\text{cm}\)។

ទ្រឹស្តីបទបន្ទាត់ប៉ះ និងបន្ទាត់កាត់ ៖ \(PT^2 = PA \times PB \implies PT^2 = 4 \times 9 = 36 \implies PT = 6\,\text{cm}\)។

រកប្រវែងបន្ទាត់កាត់ ៖ \(PT = 8\,\text{cm}, PA = 4\,\text{cm} \implies 64 = 4 \times PB \implies PB = 16\,\text{cm}\) \(AB = PB - PA = 16 - 4 = 12\,\text{cm}\)។

ត្រីកោណកែងបង្កើតដោយបន្ទាត់ប៉ះ ៖ \(PA = PB\) និង \(OA = OB = R\) នាំឱ្យ \(OP\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\)។ \(AB = \frac{2 \times PA \times R}{OP}\)។

គណនាប្រវែងខ្សែពួររុំស៊ីឡាំងពីរ ៖ ប្រវែងស្មើផលបូកបន្ទាត់ប៉ះរួម និងធ្នូនៃរង្វង់ទាំងពីរ។

អង្កត់ធ្នូកាត់កែងគ្នា ៖ បើអង្កត់ធ្នូពីរកាត់កែងគ្នាត្រង់ \(P\) នោះ \(PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2 = 4R^2\)។

បង្ហាញបន្ទាត់ប៉ះ ៖ \(\Delta OAT\) មាន \(OA = 5, AT = 12, OT = 13\)។ ដោយ \(5^2 + 12^2 = 13^2\) នោះ \(\angle OAT = 90^\circ\) នាំឱ្យ \(AT\) ជាបន្ទាត់ប៉ះ។

រង្វង់ចារឹកក្នុងចតុកោណស្មើ ៖ អង្កត់ទ្រូង \(12\) និង \(16\) (\(a = 10\)) ៖ ផ្ទៃក្រឡា \(S = \frac{1}{2}(12)(16) = 96 = p \times r = 20 \times r \implies r = 4.8\,\text{cm}\)។

ចម្ងាយរវាងផ្ចិតរង្វង់ពីរប៉ះក្រៅ ៖ \(R = 7\,\text{cm}, r = 3\,\text{cm} \implies OO' = R + r = 10\,\text{cm}\)។

ចម្ងាយរវាងផ្ចិតរង្វង់ពីរប៉ះក្នុង ៖ \(R = 8\,\text{cm}, r = 3\,\text{cm} \implies OO' = R - r = 5\,\text{cm}\)។

អង្កត់ធ្នូនៃរង្វង់ធំប៉ះរង្វង់តូច ៖ រង្វង់រួមផ្ចិតកាំ \(R = 10, r = 6\) ៖ ប្រវែងអង្កត់ធ្នូ ៖ \(2\sqrt{R^2 - r^2} = 2\sqrt{100 - 36} = 16\,\text{cm}\)។

ផ្ទៃក្រឡាចិញ្ចៀនរង្វង់ (Annulus) ៖ \(S = \pi (R^2 - r^2) = \pi (8^2) = 64\pi\,\text{cm}^2\) (ស្មើផ្ទៃរង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិតជាអង្កត់ធ្នូប៉ះ)។

បន្ទាត់ប៉ះរួមរង្វង់ស្មើគ្នា ៖ រង្វង់ពីរមានកាំ \(R = 5\) ចម្ងាយ \(d = 12\) ៖ បន្ទាត់ប៉ះរួមក្រៅ \(L = d = 12\,\text{cm}\)។

បន្ទាត់ប៉ះរួមក្នុងរង្វង់ស្មើគ្នា ៖ \(L' = \sqrt{d^2 - (2R)^2} = \sqrt{144 - 100} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}\,\text{cm}\)។

គណនាផ្ទៃត្រីកោណ \(PAB\) បង្កើតដោយបន្ទាត់ប៉ះ ៖ \(PA = 12, R = 5 \implies OP = 13\) \(S_{PAB} = \frac{PA^3 \times R}{OP^2} = \frac{1728 \times 5}{169} \approx 51.12\,\text{cm}^2\)។

កាំរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណសម័ង្ស ៖ \(a = 12\,\text{cm} \implies r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}\,\text{cm}\)។

កាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណសម័ង្ស ៖ \(a = 12\,\text{cm} \implies R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\,\text{cm}\)។

អង្កត់ធ្នូ និងមុំផ្ចិត \(60^\circ\) ៖ \(\Delta OAB\) សមបាតមានមុំ \(60^\circ\) នាំឱ្យជាត្រីកោណសម័ង្ស \(\implies AB = R\)។

អង្កត់ធ្នូ និងមុំផ្ចិត \(90^\circ\) ៖ \(\Delta OAB\) កែងសមបាត \(\implies AB = R\sqrt{2}\)។

អង្កត់ធ្នូ និងមុំផ្ចិត \(120^\circ\) ៖ \(AB = 2R \sin 60^\circ = R\sqrt{3}\)។

ចម្ងាយអប្បបរមាពីចំណុចក្រៅទៅរង្វង់ ៖ \(OP = 15, R = 6 \implies d_{\min} = 15 - 6 = 9\,\text{cm}\)។

ចម្ងាយអតិបរមាពីចំណុចក្រៅទៅរង្វង់ ៖ \(d_{\max} = OP + R = 15 + 6 = 21\,\text{cm}\)។

ចំណុចក្នុងរង្វង់ ៖ \(OP = 4, R = 9 \implies\) ចម្ងាយខ្លីបំផុតទៅរង្វង់គឺ \(9 - 4 = 5\), វែងបំផុតគឺ \(9 + 4 = 13\)។

អង្កត់ធ្នូខ្លីបំផុតកាត់តាមចំណុច \(M\) ក្នុងរង្វង់ ៖ គឺអង្កត់ធ្នូដែលកែងនឹង \(OM\)។ ប្រវែងគឺ \(2\sqrt{R^2 - OM^2}\)។

អង្កត់ធ្នូវែងបំផុតកាត់តាមចំណុច \(M\) ក្នុងរង្វង់ ៖ គឺអង្កត់ផ្ចិតដែលកាត់តាម \(M\) ប្រវែង \(2R\)។

ចតុកោណព្នាយសមបាតចារឹកក្រៅរង្វង់ ៖ \(a + b = 2c\) នាំឱ្យជ្រុងទ្រេតស្មើកន្លះផលបូកបាត។

លក្ខខណ្ឌបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់កាត់តាម ៣ ចំណុច ៖ ផ្ចិតជាប្រសព្វនៃមេដ្យាទ័រទាំងពីរ។

កម្លាំងអំណាចនៃចំណុចធៀបនឹងរង្វង់ (Power of a Point) ៖ \(\mathcal{P}(P) = OP^2 - R^2 = PA \times PB\)។

អ័ក្សរ៉ាឌីកាល់នៃរង្វង់ពីរ (Radical Axis) ៖ ជាសំណុំចំណុចដែលមានកម្លាំងអំណាចស្មើគ្នាចំពោះរង្វង់ទាំងពីរ (បន្ទាត់កែងនឹង \(OO'\))។

ចំណោទ Apollonius ស្តីពីរង្វង់ ៖ ការសង់រង្វង់ប៉ះនឹងវត្ថុធរណីមាត្រ ៣ (ចំណុច បន្ទាត់ ឬរង្វង់) ដែលជាបញ្ហាប្រវត្តិសាស្ត្រដ៏ល្បីល្បាញ។