ចម្ងាយរវាងពីរចំណុច

គណនាចម្ងាយ \(AB\) ៖

• \(A(3, 7), B(8, -5) \implies AB = \sqrt{(8-3)^2 + (-5-7)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)

• \(A(-1, -2), B(3, 4) \implies AB = \sqrt{(3+1)^2 + (4+2)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)

• \(A(0, 0), B(8, -15) \implies AB = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\)

• \(A(-2, 6), B(3, -6) \implies AB = \sqrt{(3+2)^2 + (-6-6)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\)

គណនាចម្ងាយ \(AB\) ៖

• \(A(-3, -5), B(-1, -8) \implies AB = \sqrt{(-1+3)^2 + (-8+5)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)

• \(A(5, 3), B(11, 11) \implies AB = \sqrt{(11-5)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)

• \(A(9, 2), B(6, 8) \implies AB = \sqrt{(6-9)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

• \(A(5, -3), B(-2, 4) \implies AB = \sqrt{(-2-5)^2 + (4+3)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\)

គណនាចម្ងាយ \(AB\) ៖

• \(A(2, 5), B(0, 0) \implies AB = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}\)

• \(A(-6, -3), B(2, 1) \implies AB = \sqrt{(2+6)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)

• \(A(8, 7), B(8, -6) \implies AB = \sqrt{(8-8)^2 + (-6-7)^2} = \sqrt{169} = 13\)

• \(A(3, 12), B(7, 12) \implies AB = \sqrt{(7-3)^2 + (12-12)^2} = \sqrt{16} = 4\)

គណនាចម្ងាយ \(AB\) ៖

• \(A(100, -203), B(97, -200) \implies AB = \sqrt{(97-100)^2 + (-200+203)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}\)

• \(A(-3, 8), B(-4, 7) \implies AB = \sqrt{(-4+3)^2 + (7-8)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)

• \(A(2, 5), B(6, 2) \implies AB = \sqrt{(6-2)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)

គណនាកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(M\) ៖

• \(A(3, 7), B(8, -5) \implies M\left(\frac{3+8}{2}, \frac{7-5}{2}\right) = M(5.5, 1)\)

• \(A(-1, -2), B(3, 4) \implies M\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{-2+4}{2}\right) = M(1, 1)\)

• \(A(0, 0), B(8, -15) \implies M(4, -7.5)\)

• \(A(5, 3), B(11, 11) \implies M(8, 7)\)

គណនាកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(M\) ៖

• \(A(8, 7), B(8, -6) \implies M(8, 0.5)\)

• \(A(3, 12), B(7, 12) \implies M(5, 12)\)

• \(A(2, 5), B(6, 2) \implies M(4, 3.5)\)

រកកូអរដោនេចុងម្ខាងទៀត ៖ \(M(2, 3)\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([AB]\) ដោយ \(A(-1, 5)\) ៖ \(x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \implies 2 = \frac{-1 + x_B}{2} \implies x_B = 5\) \(y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \implies 3 = \frac{5 + y_B}{2} \implies y_B = 1\) ដូចនេះ \(B(5, 1)\)។

រកចំណុចឆ្លុះ ៖ ចំណុចឆ្លុះ \(A'\) នៃ \(A(4, -2)\) ធៀបនឹង \(I(1, 3)\) ៖ \(I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([AA']\) នាំឱ្យ ៖ \(x_{A'} = 2(1) - 4 = -2\) និង \(y_{A'} = 2(3) - (-2) = 8\) នាំឱ្យ \(A'(-2, 8)\)។

បង្ហាញត្រីកោណសមបាត ៖ \(A(1, 1), B(4, 5), C(7, 1)\) ៖ \(AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) \(BC = \sqrt{(7-4)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) \(AC = \sqrt{(7-1)^2 + (1-1)^2} = 6\) ដោយ \(AB = BC = 5 \ne AC\) នោះត្រីកោណ \(ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(B\)។

បង្ហាញត្រីកោណកែង ៖ \(A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2)\) ៖ \(AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25\), \(BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25\), \(AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36\)។ ត្រីកោណនេះជាត្រីកោណសមបាត មិនកែង។ បើ \(A(0, 0), B(3, 0), C(0, 4)\) ៖ \(AB^2 = 9, AC^2 = 16, BC^2 = 25\) ដោយ \(9 + 16 = 25\) នោះ \(ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\)។

បង្ហាញត្រីកោណសម័ង្ស ៖ \(A(0, 0), B(2, 0), C(1, \sqrt{3})\) ៖ \(AB = 2\) \(BC = \sqrt{(1-2)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\) \(AC = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\) ដោយ \(AB = BC = AC = 2\) នោះ \(ABC\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស។

បង្ហាញចំណុចរត់ត្រង់ជួរ ៖ \(A(1, 2), B(3, 6), C(5, 10)\) ៖ \(AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) \(BC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) \(AC = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) ដោយ \(AB + BC = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} = AC\) នោះ \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា។

រក \(y\) ដើម្បីឱ្យរត់ត្រង់ជួរ ៖ \(A(2, 1), B(4, 5), C(6, y)\) ៖ មេគុណប្រាប់ទិស \(a_{AB} = \frac{5-1}{4-2} = 2\)។ ដើម្បីឱ្យរត់ត្រង់ជួរ \(a_{BC} = \frac{y-5}{6-4} = 2 \implies y - 5 = 4 \implies y = 9\)។

រកចំណុចលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ៖ \(M(x, 0)\) ស្មើចម្ងាយពី \(A(1, 3)\) និង \(B(5, 1)\) ៖ \(MA^2 = MB^2 \iff (x-1)^2 + 3^2 = (x-5)^2 + 1^2\) \(x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 10x + 25 + 1 \implies 8x = 16 \implies x = 2\) ដូចនេះ \(M(2, 0)\)។

រកចំណុចលើអ័ក្សអរដោនេ ៖ \(N(0, y)\) ស្មើចម្ងាយពី \(A(-2, 1)\) និង \(B(4, 3)\) ៖ \(NA^2 = NB^2 \iff 2^2 + (y-1)^2 = (-4)^2 + (y-3)^2\) \(4 + y^2 - 2y + 1 = 16 + y^2 - 6y + 9 \implies 4y = 20 \implies y = 5\) ដូចនេះ \(N(0, 5)\)។

កូអរដោនេកំពូលទី ៤ នៃប្រលេឡូក្រាម ៖ \(A(1, 2), B(5, 3), C(7, 6), D(x, y)\) ៖ ចំណុចកណ្តាល \(AC\) គឺ \(M\left(\frac{1+7}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = M(4, 4)\)។ \(M\) ក៏ជាចំណុចកណ្តាល \(BD\) នាំឱ្យ ៖ \(x = 2(4) - 5 = 3\) និង \(y = 2(4) - 3 = 5\) នាំឱ្យ \(D(3, 5)\)។

បង្ហាញចតុកោណកែង ៖ \(A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3)\) ៖ \(AB = CD = 4\), \(BC = AD = 3\) (ជាប្រលេឡូក្រាម)។ អង្កត់ទ្រូង \(AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) និង \(BD = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5\) (ស្មើគ្នា)។ ដូចនេះ \(ABCD\) ជាចតុកោណកែង។

បង្ហាញចតុកោណស្មើ (Rhombus) ៖ \(A(1, 3), B(4, 7), C(7, 3), D(4, -1)\) ៖ \(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\), \(BC = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5\), \(CD = 5\), \(DA = 5\)។ ជ្រុងទាំង ៤ ស្មើគ្នា នាំឱ្យ \(ABCD\) ជាចតុកោណស្មើ។

បង្ហាញការេ ៖ \(A(0, 0), B(2, -2), C(4, 0), D(2, 2)\) ៖ ជ្រុងទាំង ៤ ស្មើគ្នា \(AB = BC = CD = DA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)។ អង្កត់ទ្រូង \(AC = 4\) និង \(BD = 4\) ស្មើគ្នា នាំឱ្យ \(ABCD\) ជាការេ។

គណនាបរិមាត្រ និងផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណកែង ៖ \(A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8)\) ៖ \(AB = 6, AC = 8, BC = \sqrt{36 + 64} = 10\)។ បរិមាត្រ ៖ \(P = 6 + 8 + 10 = 24\) ឯកតាប្រវែង។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) ឯកតាផ្ទៃ។

គណនាទីប្រជុំទម្ងន់ត្រីកោណ ៖ \(A(2, 4), B(6, 8), C(1, 3)\) ៖ \(G\left(\frac{2+6+1}{3}, \frac{4+8+3}{3}\right) = G(3, 5)\)។

រកកំពូលត្រីកោណពីទីប្រជុំទម្ងន់ ៖ \(G(2, 2)\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃ \(ABC\) ដោយ \(A(1, 3), B(4, -1)\) ៖ \(x_C = 3(2) - 1 - 4 = 1\) និង \(y_C = 3(2) - 3 - (-1) = 4\) នាំឱ្យ \(C(1, 4)\)។

ប្រវែងមេដ្យាននៃត្រីកោណ ៖ \(A(0, 0), B(4, 0), C(0, 6)\) ៖ ចំណុចកណ្តាល \(BC\) គឺ \(M(2, 3)\)។ ប្រវែងមេដ្យាន \(AM = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\)។

ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណកែង ៖ \(A(0, 0), B(8, 0), C(0, 6)\) កែងត្រង់ \(A\) ៖ ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅជាចំណុចកណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\) គឺ \(I(4, 3)\) កាំ \(R = \frac{10}{2} = 5\)។

ពិនិត្យចំណុចលើរង្វង់ ៖ រង្វង់ផ្ចិត \(O(0, 0)\) កាំ \(R = 5\) (\(x^2 + y^2 = 25\)) ៖ \(A(3, 4) \implies 3^2 + 4^2 = 25\) (ស្ថិតនៅលើរង្វង់)។ \(B(2, 3) \implies 2^2 + 3^2 = 13 < 25\) (ស្ថិតក្នុងរង្វង់)។ \(C(5, 2) \implies 5^2 + 2^2 = 29 > 25\) (ស្ថិតក្រៅរង្វង់)។

ចម្ងាយពីចំណុចទៅអ័ក្សកូអរដោនេ ៖ ចំណុច \(P(x, y)\) មានចម្ងាយទៅអ័ក្ស \(x'x\) ស្មើ \(|y|\) និងទៅអ័ក្ស \(y'y\) ស្មើ \(|x|\)។ ចំពោះ \(P(-3, 4)\) ៖ ចម្ងាយទៅ \(x'x\) គឺ \(4\) និងទៅ \(y'y\) គឺ \(3\)។

សមីការមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ ៖ មេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\) ដែល \(A(1, 2), B(5, 4)\) ៖ ចំណុចកណ្តាល \(M(3, 3)\)។ សមីការបន្ទាត់កែងគឺ \(y - 3 = -2(x - 3) \implies 2x + y - 9 = 0\)។

រក \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(AB = 10\) ៖ \(A(2, 3), B(x, 9) \implies (x-2)^2 + (9-3)^2 = 100 \implies (x-2)^2 = 64 \implies x - 2 = \pm 8\) នាំឱ្យ \(x = 10\) ឬ \(x = -6\)។

រកចំណុចចែកអង្កត់តាមផលធៀប ៖ \(P\) ចែក \([AB]\) តាមផលធៀប \(1:2\) ៖ \(x_P = \frac{2x_A + x_B}{3}, y_P = \frac{2y_A + y_B}{3}\)។

ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណតាមកូអរដោនេ (Shoelace Formula) ៖ \(S = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\)។

គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(A(1, 2), B(4, 6), C(5, 1)\) ៖ \(S = \frac{1}{2}|1(6-1) + 4(1-2) + 5(2-6)| = \frac{1}{2}|5 - 4 - 20| = \frac{19}{2} = 9.5\) ឯកតាផ្ទៃ។

បង្ហាញចំណុច ៤ បង្កើតបានជាចតុកោណព្នាយ ៖ \(A(0, 0), B(6, 0), C(4, 3), D(2, 3)\) ៖ មេគុណប្រាប់ទិស \(AB\) និង \(CD\) សុទ្ធតែស្មើ \(0\) (ស្របគ្នា) នាំឱ្យ \(ABCD\) ជាចតុកោណព្នាយ។

បង្ហាញចតុកោណព្នាយសមបាត ៖ ពីលំហាត់ ៣២ ជ្រុងទ្រេត \(AD = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\) និង \(BC = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{13}\) ស្មើគ្នា នាំឱ្យជាចតុកោណព្នាយសមបាត។

គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងចតុកោណព្នាយសមបាត ៖ \(AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) និង \(BD = \sqrt{(2-6)^2 + 3^2} = 5\) ស្មើគ្នា។

រកកូអរដោនេផ្ចិតរង្វង់កាត់តាម ៣ ចំណុច ៖ \(O(0, 0), A(4, 0), B(0, 4)\) ៖ ត្រីកោណកែងត្រង់ \(O\) ផ្ចិតជារង្វង់កណ្តាល \(AB\) គឺ \(I(2, 2)\) កាំ \(R = 2\sqrt{2}\)។

កូអរដោនេចំណុចស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះទី ១ (\(y = x\)) ៖ ចំណុចស៊ីមេទ្រីនៃ \(P(a, b)\) ធៀបនឹង \(y = x\) គឺ \(P'(b, a)\)។

កូអរដោនេចំណុចស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះទី ២ (\(y = -x\)) ៖ ចំណុចស៊ីមេទ្រីនៃ \(P(a, b)\) ធៀបនឹង \(y = -x\) គឺ \(P'(-b, -a)\)។

រក \(k\) ដើម្បីឱ្យចម្ងាយស្មើ \(\sqrt{20}\) ៖ \(A(1, k), B(3, 5) \implies (3-1)^2 + (5-k)^2 = 20 \implies 4 + (5-k)^2 = 20 \implies (5-k)^2 = 16\) នាំឱ្យ \(5 - k = \pm 4 \implies k = 1\) ឬ \(k = 9\)។

ប្រវែងកម្ពស់នៃត្រីកោណសមបាត ៖ \(A(0, 4), B(-3, 0), C(3, 0)\) ៖ បាត \(BC = 6\) ចំណុចកណ្តាល \(O(0, 0)\) នាំឱ្យកម្ពស់ \(h = AO = 4\)។

ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណសមបាត ៖ \(S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\) ឯកតាផ្ទៃ។

រកចំណុចត្រីភាគនៃអង្កត់ ៖ ចំណុច \(P\) និង \(Q\) ដែលចែក \([AB]\) ជា ៣ ស្មើគ្នា ៖ \(P = \left(\frac{2x_A+x_B}{3}, \frac{2y_A+y_B}{3}\right)\) និង \(Q = \left(\frac{x_A+2x_B}{3}, \frac{y_A+2y_B}{3}\right)\)។

វិសមភាពត្រីកោណក្នុងប្លង់កូអរដោនេ ៖ ចំពោះ ៣ ចំណុច \(A, B, C\) ណាក៏ដោយ ៖ \(AB + BC \ge AC\)។ សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ \(B\) ស្ថិតនៅលើអង្កត់ \([AC]\)។

គណនាចម្ងាយអប្បបរមា (Fermat point / Reflection) ៖ រក \(M \in x'x\) ដើម្បីឱ្យ \(MA + MB\) តូចបំផុតដោយ \(A, B\) នៅខាងលើអ័ក្ស ៖ យក \(A'\) ឆ្លុះនៃ \(A\) ធៀបនឹង \(x'x\) រួចភ្ជាប់ \(A'B\) កាត់ \(x'x\) ត្រង់ \(M\)។

ទំនាក់ទំនងស្តីពីអង្កត់ទ្រូងប្រលេឡូក្រាម (Parallelogram Law) ៖ \(2(AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2\) ៖ បង្ហាញដោយជំនួសកូអរដោនេ \(A(0, 0), B(a, 0), C(a+b, c), D(b, c)\)។

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យានរបស់ Apollonius ៖ ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) ដែល \(M\) ជាចំណុចកណ្តាល \(BC\) ៖ \(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2\)។

ផ្ចិត និងកាំនៃរង្វង់ឆ្លងកាត់ចំណុច ៣ ៖ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធចម្ងាយស្មើគ្នា \(IA^2 = IB^2 = IC^2\) ដើម្បីទាញរកកូអរដោនេផ្ចិត \(I(x, y)\)។

អរតូសង់ (Orthocenter) នៃត្រីកោណ ៖ ប្រសព្វនៃកម្ពស់ទាំងបី ៖ ចំពោះត្រីកោណកែង អរតូសង់ជាកំពូលមុំកែង។

បន្ទាត់ Euler នៃត្រីកោណ ៖ បង្ហាញថា អរតូសង់ \(H\), ទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\), និងផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(O\) រត់ត្រង់ជួរគ្នាដោយ \(\vec{HG} = 2\vec{GO}\)។

គណនាផ្ទៃក្រឡាពហុកោណប៉ោង ៖ ប្រើរូបមន្ត Shoelace សម្រាប់ពហុកោណ \(n\) ជ្រុង។

ការអនុវត្តកូអរដោនេក្នុងការរុករក GPS ៖ ចម្ងាយរវាងស្ថានីយពីរ និងទីតាំងឧបករណ៍ត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្តត្រីកោណមាត្រកូអរដោនេ (Trilateration) ផ្អែកលើរូបមន្តចម្ងាយពីរចំណុច។