មេរៀនទី ៦ : បំណែកចែកប្រេកង់ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

ប្រវត្តិនៃស្ថិតិវិទ្យា និងការបង្ហាញទិន្នន័យជាក្រាប

ស្ថិតិវិទ្យា (Statistics) មានដើមកំណើតតាំងពីរាប់ពាន់ឆ្នាំមុន នៅពេលដែលរដ្ឋបុរាណត្រូវការជំរឿនប្រជាជន និងប្រមូលពន្ធ ៖

លោក John Graunt (១៦២០-១៦៧៤) ៖ អ្នកជំនួញ និងអ្នកស្ថិតិជនជាតិអង់គ្លេស ត្រូវបានចាត់ទុកជាបិតានៃស្ថិតិប្រជាសាស្ត្រ។ គាត់បានបង្កើត «តារាងជីវិត» (Life Table) ដំបូងបង្អស់ដោយប្រមូលទិន្នន័យនៃការស្លាប់នៅទីក្រុងឡុងដ៍ ដើម្បីវិភាគប្រេកង់នៃជំងឺ និងអាយុសង្ឃឹមរស់។
លោកស្រី Florence Nightingale (១៨២០-១៩១០) ៖ គិលានុបដ្ឋាយិកា និងជាអ្នកស្ថិតិវិទូដ៏ឆ្នើម បានបង្កើតដ្យាក្រាមរាងកង្ហារ (Polar Area Diagram ឬ Coxcomb) ដើម្បីបង្ហាញទិន្នន័យប្រេកង់នៃការស្លាប់របស់ទាហាន ដែលជំរុញឱ្យមានការកែទម្រង់ប្រព័ន្ធសុខាភិបាលទូទាំងពិភពលោក។
លោក Karl Pearson (១៨៥៧-១៩៣៦) ៖ គណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស បានបង្កើតពាក្យ «អ៊ីស្តូក្រាម» (Histogram) ក្នុងឆ្នាំ ១៨៩១ ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីក្រាបសសរតាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យជាប់។

ការប្រមូលផ្តុំទិន្នន័យ និងតារាងប្រេកង់

ប្រេកង់ និងប្រេកង់ធៀប

ប្រេកង់ ($f$) ៖ គឺជាចំនួនដងដែលតម្លៃទិន្នន័យមួយបានកើតឡើងក្នុងចំណោមទិន្នន័យទាំងអស់។
ប្រេកង់សរុប ($N$) ៖ គឺជាផលបូកនៃប្រេកង់ទាំងអស់ ៖ $N = \sum f = f_1 + f_2 + \dots + f_k$។
ប្រេកង់ធៀប ($f\%$) ៖ ជាផលធៀបរវាងប្រេកង់នៃតម្លៃមួយធៀបនឹងប្រេកង់សរុប ៖
\[f\% = \frac{f}{N} \times 100\%\]

ឧទាហរណ៍

ក្នុងការបោះកាក់មួយចំនួន $20$ ដង គេទទួលបានមុខរូប (H) ចំនួន $12$ ដង និងមុខលេខ (T) ចំនួន $8$ ដង។ គណនាប្រេកង់ធៀបនៃមុខរូប និងមុខលេខ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុបគឺ $N = 12 + 8 = 20$។

ប្រេកង់ធៀបមុខរូប ៖ $f\%(H) = \frac{12}{20} \times 100\% = 60\%$
ប្រេកង់ធៀបមុខលេខ ៖ $f\%(T) = \frac{8}{20} \times 100\% = 40\%$

ផលបូកប្រេកង់ធៀប ៖ $60\% + 40\% = 100\%$។

ប្រតិបត្តិ

គេស្ទង់មតិសិស្ស $40$ នាក់អំពីភេសជ្ជៈដែលចូលចិត្ត ៖ តែបៃតង $16$ នាក់, កាហ្វេ $10$ នាក់, ទឹកក្រូច $14$ នាក់។ ចូរបង្កើតតារាងប្រេកង់ និងប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ។

ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ

ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ

ប្រេកង់កើន ($f\nearrow$) ៖ ទទួលបានដោយការបូកប្រេកង់បន្តបន្ទាប់ពីលើចុះក្រោម (ឬពីតូចទៅធំ)។ តម្លៃចុងក្រោយបង្អស់ត្រូវស្មើនឹងប្រេកង់សរុប $N$។
ប្រេកង់ថយ ($f\searrow$) ៖ ទទួលបានដោយយកប្រេកង់សរុប $N$ ដកប្រេកង់បន្តបន្ទាប់ពីលើចុះក្រោម។
ប្រេកង់កើនធៀប ($f\nearrow\%$) ៖ គណនាដោយ $\dfrac{f\nearrow}{N} \times 100\%$ (តម្លៃចុងក្រោយគឺ $100\%$)។

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យតារាងប្រេកង់នៃចំនួនកូនក្នុងគ្រួសារចំនួន $25$ គ្រួសារ ៖

ចំនួនកូន ($x$)	$0$	$1$	$2$	$3$
ប្រេកង់ ($f$)	$3$	$8$	$10$	$4$

ចូរបំពេញតារាងប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ។

ដំណោះស្រាយ

$x$	$f$	$f\nearrow$	$f\searrow$	$f\%$	$f\nearrow\%$
$0$	$3$	$3$	$25$	$12\%$	$12\%$
$1$	$8$	$11$	$22$	$32\%$	$44\%$
$2$	$10$	$21$	$14$	$40\%$	$84\%$
$3$	$4$	$25$	$4$	$16\%$	$100\%$
សរុប	$N=25$	—	—	$100\%$	—

ប្រតិបត្តិ

ពីតារាងខាងលើ ៖

តើមានគ្រួសារប៉ុន្មានដែលមានកូនយ៉ាងច្រើន $1$ នាក់?
តើមានគ្រួសារប៉ុន្មានដែលមានកូនយ៉ាងតិច $2$ នាក់?

ការប្រមូលផ្តុំទិន្នន័យជាថ្នាក់

ទិន្នន័យជាថ្នាក់

នៅពេលទិន្នន័យមានចំនួនច្រើន និងមានគម្លាតឆ្ងាយពីគ្នា គេត្រូវប្រមូលផ្តុំទិន្នន័យជាចន្លោះថ្នាក់ $[a, b)$ ៖

$a$ ជាចុងក្រោម (Lower limit) ហើយ $b$ ជាចុងលើ (Upper limit)។ ទិន្នន័យ $x$ ក្នុងថ្នាក់ផ្ទៀងផ្ទាត់ $a \le x < b$។
ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ (ទំហំថ្នាក់) ៖ $h = b - a$
ផ្ចិតនៃថ្នាក់ (Class mark / Midpoint) ៖ $m = \dfrac{a + b}{2}$

ឧទាហរណ៍

ចំពោះថ្នាក់ទិន្នន័យ $[40, 50)$ ចូរកំណត់ចុងក្រោម ចុងលើ ប្រវែងថ្នាក់ និងផ្ចិតថ្នាក់។

ដំណោះស្រាយ

ចុងក្រោម ៖ $a = 40$
ចុងលើ ៖ $b = 50$
ប្រវែងថ្នាក់ ៖ $h = 50 - 40 = 10$
ផ្ចិតថ្នាក់ ៖ $m = \dfrac{40 + 50}{2} = 45$

ប្រតិបត្តិ

ចំពោះថ្នាក់ពិន្ទុ $[10, 15), [15, 20), [20, 25)$ ៖ គណនាផ្ចិតនៃថ្នាក់នីមួយៗ និងប្រវែងចន្លោះថ្នាក់។

ក្រាបស្ថិតិ ៖ អ៊ីស្តូក្រាម និងពហុកោណប្រេកង់

អ៊ីស្តូក្រាម និងពហុកោណប្រេកង់

អ៊ីស្តូក្រាម (Histogram) ៖ គឺជាក្រាបដែលផ្សំឡើងពីចតុកោណកែង (សសរ) ជាប់ៗគ្នា ដោយបាតនៃសសរតាងឱ្យចន្លោះថ្នាក់នៅលើអ័ក្សដេក ហើយកម្ពស់តាងឱ្យប្រេកង់នៅលើអ័ក្សឈរ។
ពហុកោណប្រេកង់ (Frequency Polygon) ៖ គឺជាខ្សែកាច់ដែលបានមកពីការភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែកខាងលើនៃសសរនីមួយៗ (ផ្ចិតថ្នាក់)។
អូហ្ស៊ីវ (Ogive) ៖ ជាខ្សែកាច់ដែលតាងឱ្យប្រេកង់កើនធៀបទៅនឹងព្រំដែនថ្នាក់។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គេបានសួរគ្រូបង្រៀននៅសាលាមួយ ដើម្បីបញ្ជាក់ចំនួនម៉ោងជាមធ្យមដែលគាត់បានចំណាយលើការកែកិច្ចការរបស់សិស្សក្នុងថ្ងៃនីមួយៗ ៖

$6 \quad{} 4 \quad{} 3 \quad{} 1 \quad{} 2 \quad{} 2 \quad{} 3 \quad{} 1 \quad{} 4 \quad{} 1 \quad{} 2 \quad{} 5 \quad{} 3$
$5 \quad{} 2 \quad{} 2 \quad{} 3 \quad{} 3 \quad{} 1 \quad{} 2 \quad{} 2 \quad{} 3 \quad{} 1 \quad{} 4 \quad{} 2 \quad{} 4$

រៀបចំទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ប្រេកង់កើន ប្រេកង់ថយ និងប្រេកង់ធៀប។
តើមានគ្រូប៉ុន្មាននាក់ដែលបានឆ្លើយក្នុងការស្ទង់មតិនេះ?
រកចំនួនម៉ោងដែលបានចំណាយច្រើនជាងគេក្នុងមួយថ្ងៃ?
រកចំនួនម៉ោងដែលគ្រូភាគច្រើនបានចំណាយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រៀបចំទិន្នន័យម៉ោងកែកិច្ចការដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ៖ ទិន្នន័យរៀបតាមលំដាប់ ៖ មាន ២៦ តម្លៃ។

$x = 1$ មាន $f = 5$ នាំឱ្យ $f\nearrow = 5$, $f\searrow = 26$, $f\% = \frac{5}{26} \approx 19.23\%$
$x = 2$ មាន $f = 8$ នាំឱ្យ $f\nearrow = 13$, $f\searrow = 21$, $f\% = \frac{8}{26} \approx 30.77\%$
$x = 3$ មាន $f = 6$ នាំឱ្យ $f\nearrow = 19$, $f\searrow = 13$, $f\% = \frac{6}{26} \approx 23.08\%$
$x = 4$ មាន $f = 4$ នាំឱ្យ $f\nearrow = 23$, $f\searrow = 7$, $f\% = \frac{4}{26} \approx 15.38\%$
$x = 5$ មាន $f = 2$ នាំឱ្យ $f\nearrow = 25$, $f\searrow = 3$, $f\% = \frac{2}{26} \approx 7.69\%$
$x = 6$ មាន $f = 1$ នាំឱ្យ $f\nearrow = 26$, $f\searrow = 1$, $f\% = \frac{1}{26} \approx 3.85\%$

ខ. ចំនួនគ្រូដែលបានឆ្លើយសរុបគឺ $N = 26$ នាក់។
គ. ចំនួនម៉ោងដែលបានចំណាយច្រើនជាងគេក្នុងមួយថ្ងៃគឺ $6$ ម៉ោង ($1$ នាក់)។
ឃ. ចំនួនម៉ោងដែលគ្រូភាគច្រើនបានចំណាយ (ម៉ូត) គឺ $2$ ម៉ោង (មានគ្រូចំនួន $8$ នាក់)។

២លំហាត់ទី ២

ខាងក្រោមនេះជាលទ្ធផលពិន្ទុរបស់សិស្ស ៥០ នាក់នៃថ្នាក់រៀនមួយ ៖

$4 \quad{} 4 \quad{} 5 \quad{} 4 \quad{} 1 \quad{} 6 \quad{} 5 \quad{} 6 \quad{} 6 \quad{} 5$
$5 \quad{} 4 \quad{} 5 \quad{} 4 \quad{} 9 \quad{} 2 \quad{} 7 \quad{} 5 \quad{} 7 \quad{} 2$
$5 \quad{} 2 \quad{} 6 \quad{} 3 \quad{} 7 \quad{} 3 \quad{} 5 \quad{} 1 \quad{} 5 \quad{} 6$
$4 \quad{} 5 \quad{} 1 \quad{} 5 \quad{} 5 \quad{} 6 \quad{} 1 \quad{} 6 \quad{} 2 \quad{} 5$
$5 \quad{} 2 \quad{} 9 \quad{} 4 \quad{} 6 \quad{} 7 \quad{} 4 \quad{} 4 \quad{} 4 \quad{} 5$

ចូរសង់តារាងប្រេកង់ ប្រេកង់កើន ប្រេកង់ថយ និងប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ។
តើក្នុងថ្នាក់នេះមានសិស្សសរុបប៉ុន្មាននាក់?
តើភាគច្រើនសិស្សទទួលបានពិន្ទុប៉ុន្មាន? ត្រូវជាប៉ុន្មានភាគរយ?
សង់ក្រាបសសរតាងឱ្យប្រេកង់។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. សង់តារាងប្រេកង់នៃពិន្ទុសិស្ស ($N = 50$) ៖

$x = 1 : f = 4, f\nearrow = 4, f\% = 8\%$
$x = 2 : f = 5, f\nearrow = 9, f\% = 10\%$
$x = 3 : f = 2, f\nearrow = 11, f\% = 4\%$
$x = 4 : f = 11, f\nearrow = 22, f\% = 22\%$
$x = 5 : f = 15, f\nearrow = 37, f\% = 30\%$
$x = 6 : f = 7, f\nearrow = 44, f\% = 14\%$
$x = 7 : f = 4, f\nearrow = 48, f\% = 8\%$
$x = 9 : f = 2, f\nearrow = 50, f\% = 4\%$

ខ. សិស្សសរុបក្នុងថ្នាក់គឺ $N = 50$ នាក់។
គ. ភាគច្រើនសិស្សទទួលបានពិន្ទុ $5$ (មាន $15$ នាក់ ត្រូវជា $30\%$)។
ឃ. ក្រាបសសរតាងប្រេកង់គូសតាមអ័ក្សដេកជាពិន្ទុ $x$ និងអ័ក្សឈរជាប្រេកង់ $f$។

៣លំហាត់ទី ៣

គេឱ្យទិន្នន័យដូចខាងក្រោម ៖

$x$	$1$	$3$	$5$	$6$	$7$	$11$
$y$ ($f$)	$2$	$3$	$6$	$5$	$3$	$1$

ចូរសង់តារាងប្រេកង់ ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ។
ចូរសង់ក្រាបសសរតាងឱ្យប្រេកង់កើន។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. តារាងប្រេកង់ ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ ៖

$x = 1, f = 2 \implies f\nearrow = 2, f\searrow = 20$
$x = 3, f = 3 \implies f\nearrow = 5, f\searrow = 18$
$x = 5, f = 6 \implies f\nearrow = 11, f\searrow = 15$
$x = 6, f = 5 \implies f\nearrow = 16, f\searrow = 9$
$x = 7, f = 3 \implies f\nearrow = 19, f\searrow = 4$
$x = 11, f = 1 \implies f\nearrow = 20, f\searrow = 1$

ផលបូកប្រេកង់សរុប $N = 2 + 3 + 6 + 5 + 3 + 1 = 20$។
ខ. ក្រាបសសរតាងប្រេកង់កើន មានកម្ពស់សសររៀងគ្នា $2, 5, 11, 16, 19, 20$។

៤លំហាត់ទី ៤

បើ $x$ ជាចំនួនកូន ហើយ $y$ ($f$) ជាចំនួនគ្រួសារ ៖

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$ ($f$)	$4$	$16$	$18$	$6$	$6$

រកចំនួនគ្រួសារដែលមានកូន ២ នាក់យ៉ាងតិច។
រកចំនួនគ្រួសារដែលមានកូន ២ នាក់យ៉ាងច្រើន។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ចំនួនគ្រួសារដែលមានកូនយ៉ាងតិច ២ នាក់ ($x \ge 2$) ៖ $f(2) + f(3) + f(4) = 18 + 6 + 6 = 30$ គ្រួសារ។
ខ. ចំនួនគ្រួសារដែលមានកូនយ៉ាងច្រើន ២ នាក់ ($x \le 2$) ៖ $f(0) + f(1) + f(2) = 4 + 16 + 18 = 38$ គ្រួសារ (ស្មើនឹងប្រេកង់កើន $f\nearrow$ ត្រង់ $x = 2$)។

៥លំហាត់ទី ៥

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយ គេស្រង់បានកំហុសអក្ខរាវិរុទ្ធនៃសិស្សម្នាក់ៗ ៖

$3 \quad{} 2 \quad{} 1 \quad{} 6 \quad{} 1 \quad{} 7 \quad{} 9 \quad{} 7 \quad{} 10 \quad{} 10 \quad{} 10 \quad{} 3 \quad{} 7 \quad{} 2 \quad{} 5 \quad{} 1 \quad{} 6 \quad{} 4 \quad{} 8 \quad{} 1$
$2 \quad{} 7 \quad{} 1 \quad{} 10 \quad{} 3 \quad{} 5 \quad{} 5 \quad{} 3 \quad{} 7 \quad{} 6 \quad{} 2 \quad{} 10 \quad{} 6 \quad{} 4 \quad{} 3 \quad{} 4 \quad{} 5 \quad{} 5 \quad{} 7 \quad{} 5$

ប្រមូលផ្តុំទិន្នន័យជាតារាងប្រេកង់ ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ។
តើថ្នាក់នេះមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់?
តើសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមានកំហុស $10$? សិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមានកំហុសយ៉ាងច្រើន $5$?
តើសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមានកំហុសយ៉ាងតិច $9$?
សង់ក្រាបសសរនៃប្រេកង់។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. តារាងប្រេកង់នៃកំហុសអក្ខរាវិរុទ្ធ ($N = 40$) ៖

$x = 1 : f = 5, f\nearrow = 5, f\% = 12.5\%$
$x = 2 : f = 4, f\nearrow = 9, f\% = 10\%$
$x = 3 : f = 5, f\nearrow = 14, f\% = 12.5\%$
$x = 4 : f = 3, f\nearrow = 17, f\% = 7.5\%$
$x = 5 : f = 6, f\nearrow = 23, f\% = 15\%$
$x = 6 : f = 3, f\nearrow = 26, f\% = 7.5\%$
$x = 7 : f = 5, f\nearrow = 31, f\% = 12.5\%$
$x = 8 : f = 1, f\nearrow = 32, f\% = 2.5\%$
$x = 9 : f = 1, f\nearrow = 33, f\% = 2.5\%$
$x = 10 : f = 7, f\nearrow = 40, f\% = 17.5\%$

ខ. ថ្នាក់នេះមានសិស្សសរុប $N = 40$ នាក់។
គ. សិស្សដែលមានកំហុស $10$ មានចំនួន $7$ នាក់ ($17.5\%$)។ សិស្សដែលមានកំហុសយ៉ាងច្រើន $5$ ($x \le 5$) មាន $23$ នាក់ ត្រូវជា $\frac{23}{40} = 57.5\%$។
ឃ. សិស្សដែលមានកំហុសយ៉ាងតិច $9$ ($x \ge 9$) មាន $f(9) + f(10) = 1 + 7 = 8$ នាក់ ត្រូវជា $\frac{8}{40} = 20\%$។
ង. ក្រាបសសរប្រេកង់ធៀបថយគូសតាមទិន្នន័យ $f\searrow\%$។

៦លំហាត់ទី ៦

គេស្រង់ស្ថិតិចំនួនកូនតាមគ្រួសារនីមួយៗក្នុងតំបន់មួយ ៖

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$f$	$144$	$195$	$130$	$80$	$58$	$45$	$24$	$6$	$3$

បង្កើតតារាងបង្ហាញពីប្រេកង់ ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ។
តើក្នុងតំបន់នេះមានប៉ុន្មានគ្រួសារ? ប៉ុន្មានគ្រួសារមានកូនយ៉ាងច្រើន ៥ នាក់?
សង់ក្រាបសសរនៃប្រេកង់កើន។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. តារាងប្រេកង់ ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ ៖ ប្រេកង់សរុប $N = 144 + 195 + 130 + 80 + 58 + 45 + 24 + 6 + 3 = 685$ គ្រួសារ។

$x=0: f=144, f\nearrow=144, f\searrow=685$
$x=1: f=195, f\nearrow=339, f\searrow=541$
$x=2: f=130, f\nearrow=469, f\searrow=346$
$x=3: f=80, f\nearrow=549, f\searrow=216$
$x=4: f=58, f\nearrow=607, f\searrow=136$
$x=5: f=45, f\nearrow=652, f\searrow=78$
$x=6: f=24, f\nearrow=676, f\searrow=33$
$x=7: f=6, f\nearrow=682, f\searrow=9$
$x=8: f=3, f\nearrow=685, f\searrow=3$

ខ. ក្នុងតំបន់មាន $685$ គ្រួសារ។ ចំនួនគ្រួសារដែលមានកូនយ៉ាងច្រើន ៥ នាក់គឺ $f\nearrow(5) = 652$ គ្រួសារ។
គ. ក្រាបសសរនៃប្រេកង់កើនគូសតាមតម្លៃ $f\nearrow$ ខាងលើ។

៧លំហាត់ទី ៧

ការស្រង់ចំនួនកូនដែលបានបាត់បង់តាមគ្រួសារទទួលបានលទ្ធផល ៖

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f$	$78$	$1270$	$680$	$320$	$150$	$133$

គណនាប្រេកង់ធៀបជាភាគរយនៃតម្លៃនីមួយៗ។
បកស្រាយអត្ថន័យត្រង់ចំណុច $x = 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ផលបូកសរុប $N = 78 + 1270 + 680 + 320 + 150 + 133 = 2631$។ ប្រេកង់ធៀប ៖

$x=1: 78/2631 \approx 2.96\%$
$x=2: 1270/2631 \approx 48.27\%$
$x=3: 680/2631 \approx 25.85\%$
$x=4: 320/2631 \approx 12.16\%$
$x=5: 150/2631 \approx 5.70\%$
$x=6: 133/2631 \approx 5.06\%$

ខ. បកស្រាយត្រង់ $x=3$ ៖ មានគ្រួសារចំនួន $680$ គ្រួសារដែលមានកូនស្លាប់ ៣ នាក់ ត្រូវជាប្រមាណ $25.85\%$ នៃគ្រួសារទាំងអស់។

៨លំហាត់ទី ៨

ខាងក្រោមនេះជាស្ថិតិនៃម៉ាសសិស្ស $200$ នាក់ (គិតជា $\text{kg}$) នៅវិទ្យាល័យមួយ ៖

ថ្នាក់ម៉ាស ($\text{kg}$)	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$
ប្រេកង់ ($f$)	$35$	$45$	$55$	$65$

សង់តារាងប្រេកង់កើន និងផ្ចិតនៃថ្នាក់។
សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន។
តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមានម៉ាសក្រោម $50\,\text{kg}$?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. តារាងប្រេកង់កើន និងផ្ចិតនៃថ្នាក់ ៖

ថ្នាក់ $[30, 40)$ ៖ ផ្ចិត $m = 35$, $f = 35$, $f\nearrow = 35$
ថ្នាក់ $[40, 50)$ ៖ ផ្ចិត $m = 45$, $f = 45$, $f\nearrow = 80$
ថ្នាក់ $[50, 60)$ ៖ ផ្ចិត $m = 55$, $f = 55$, $f\nearrow = 135$
ថ្នាក់ $[60, 70)$ ៖ ផ្ចិត $m = 65$, $f = 65$, $f\nearrow = 200$

ខ. ពហុកោណប្រេកង់កើនគូសភ្ជាប់ចំណុច $(30, 0), (40, 35), (50, 80), (60, 135), (70, 200)$។
គ. ចំនួនសិស្សដែលមានម៉ាសក្រោម $50\,\text{kg}$ គឺប្រេកង់កើនត្រង់ព្រំដែន $50$ ស្មើនឹង $80$ នាក់។

៩លំហាត់ទី ៩

ខាងក្រោមនេះជាលទ្ធផលនៃការថ្លឹងម៉ាសមនុស្ស ៤០ នាក់ គិតជា $\text{kg}$ ៖

$38 \quad{} 42 \quad{} 48 \quad{} 41 \quad{} 52 \quad{} 55 \quad{} 59 \quad{} 62 \quad{} 62 \quad{} 63 \quad{} 68 \quad{} 69 \quad{} 70 \quad{} 73 \quad{} 74$
$37 \quad{} 45 \quad{} 45 \quad{} 61 \quad{} 65 \quad{} 75 \quad{} 76 \quad{} 77 \quad{} 78 \quad{} 79 \quad{} 81 \quad{} 83 \quad{} 84 \quad{} 85 \quad{} 86$
$87 \quad{} 92 \quad{} 95 \quad{} 91 \quad{} 58 \quad{} 52 \quad{} 41 \quad{} 43 \quad{} 67 \quad{} 64$

សង់តារាងទិន្នន័យដែលមាន ៧ ថ្នាក់ ប្រវែងថ្នាក់ $h = 10$ ($[30, 40), [40, 50), \dots$)។
បំពេញតារាងប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ធៀបកើនជាភាគរយ។
សង់អ៊ីស្តូក្រាម។
តើភាគច្រើនមនុស្សមានម៉ាសស្ថិតក្នុងចន្លោះណា?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រៀបចំជា ៧ ថ្នាក់ ($h = 10$) ពី $30$ ដល់ $100$ ($N = 40$) ៖

$[30, 40)$ ៖ $f = 2$ ($38, 37$)
$[40, 50)$ ៖ $f = 6$ ($42, 48, 41, 45, 45, 41, 43$)
$[50, 60)$ ៖ $f = 4$ ($52, 55, 59, 58, 52$)
$[60, 70)$ ៖ $f = 7$ ($62, 62, 63, 68, 69, 61, 65, 67, 64$)
$[70, 80)$ ៖ $f = 8$ ($73, 74, 75, 76, 77, 78, 79$)
$[80, 90)$ ៖ $f = 6$ ($81, 83, 84, 85, 86, 87$)
$[90, 100)$ ៖ $f = 3$ ($92, 95, 91$)

ខ. ប្រេកង់កើន ៖ $2, 8, 12, 19, 27, 33, 40$ (គិតជាភាគរយ ៖ $5\%, 20\%, 30\%, 47.5\%, 67.5\%, 82.5\%, 100\%$)។
គ. អ៊ីស្តូក្រាមសង់លើចន្លោះថ្នាក់ទាំង ៧។
ឃ. ភាគច្រើនមនុស្សមានម៉ាសក្នុងចន្លោះ $[70, 80)\,\text{kg}$ (ប្រេកង់ខ្ពស់ជាងគេគឺ $8$)។

១០លំហាត់ទី ១០

ទិន្នន័យបង្ហាញពីអាយុរបស់គ្រូនៅសាលាមួយ ($50$ នាក់) ៖

$30 \quad{} 53 \quad{} 54 \quad{} 59 \quad{} 42 \quad{} 45 \quad{} 48 \quad{} 33 \quad{} 61 \quad{} 41 \quad{} 49 \quad{} 36 \quad{} 50 \quad{} 43 \quad{} 52$
$45 \quad{} 46 \quad{} 52 \quad{} 31 \quad{} 53 \quad{} 37 \quad{} 54 \quad{} 60 \quad{} 51 \quad{} 61 \quad{} 47 \quad{} 34 \quad{} 56 \quad{} 42 \quad{} 47$
$31 \quad{} 58 \quad{} 57 \quad{} 36 \quad{} 45 \quad{} 50 \quad{} 40 \quad{} 59 \quad{} 48 \quad{} 60 \quad{} 49 \quad{} 45 \quad{} 38 \quad{} 33 \quad{} 39$
$44 \quad{} 57 \quad{} 45 \quad{} 57 \quad{} 46$

រៀបចំទិន្នន័យជាថ្នាក់ដែលមានប្រវែងចន្លោះ $h = 5$ ចាប់ពី $30$។
តើគ្រូដែលមានអាយុតិចជាង $50$ ឆ្នាំ មានចំនួនប៉ុន្មាននាក់?
សង់អ៊ីស្តូក្រាមតាងទិន្នន័យនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រៀបចំទិន្នន័យអាយុគ្រូ ($N = 50$) ជាថ្នាក់ប្រវែង $h = 5$ ចាប់ពី $30$ ៖

$[30, 35)$ ៖ $f = 6$
$[35, 40)$ ៖ $f = 5$
$[40, 45)$ ៖ $f = 6$
$[45, 50)$ ៖ $f = 11$
$[50, 55)$ ៖ $f = 9$
$[55, 60)$ ៖ $f = 8$
$[60, 65)$ ៖ $f = 5$

ខ. គ្រូដែលមានអាយុតិចជាង $50$ ឆ្នាំ គឺផលបូក ៤ ថ្នាក់ដំបូង ៖ $6 + 5 + 6 + 11 = 28$ នាក់។
គ. អ៊ីស្តូក្រាមសង់លើអ័ក្សដេកជាអាយុ និងអ័ក្សឈរជាចំនួនគ្រូ។

១១លំហាត់ទី ១១

ខាងក្រោមនេះជាស្ថិតិនៃអាយុកម្មករ ៤០ នាក់ក្នុងសហគ្រាសមួយ ៖

$25 \quad{} 22 \quad{} 30 \quad{} 45 \quad{} 28 \quad{} 51 \quad{} 30 \quad{} 32 \quad{} 34 \quad{} 33 \quad{} 18 \quad{} 30 \quad{} 15 \quad{} 20 \quad{} 24$
$17 \quad{} 24 \quad{} 41 \quad{} 38 \quad{} 27 \quad{} 16 \quad{} 25 \quad{} 28 \quad{} 31 \quad{} 41 \quad{} 28 \quad{} 26 \quad{} 15 \quad{} 25 \quad{} 19$
$32 \quad{} 36 \quad{} 21 \quad{} 18 \quad{} 34 \quad{} 41 \quad{} 53 \quad{} 25 \quad{} 42 \quad{} 41$

សរសេរជាតារាងមាន ៨ ថ្នាក់ ប្រវែងថ្នាក់ $h = 5$ ($[15, 20), [20, 25), \dots$)។
បំពេញប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ធៀបកើនជាភាគរយ។
សង់អ៊ីស្តូក្រាម និងបកស្រាយត្រង់អាប់ស៊ីស $25$។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. តារាង ៨ ថ្នាក់ ($h = 5$) ចាប់ពី $15$ ដល់ $55$ ($N = 40$) ៖

$[15, 20)$ ៖ $f = 7, f\nearrow = 7, f\nearrow\% = 17.5\%$
$[20, 25)$ ៖ $f = 6, f\nearrow = 13, f\nearrow\% = 32.5\%$
$[25, 30)$ ៖ $f = 9, f\nearrow = 22, f\nearrow\% = 55.0\%$
$[30, 35)$ ៖ $f = 8, f\nearrow = 30, f\nearrow\% = 75.0\%$
$[35, 40)$ ៖ $f = 2, f\nearrow = 32, f\nearrow\% = 80.0\%$
$[40, 45)$ ៖ $f = 5, f\nearrow = 37, f\nearrow\% = 92.5\%$
$[45, 50)$ ៖ $f = 1, f\nearrow = 38, f\nearrow\% = 95.0\%$
$[50, 55)$ ៖ $f = 2, f\nearrow = 40, f\nearrow\% = 100.0\%$

ខ. សង់អ៊ីស្តូក្រាមតាមទិន្នន័យខាងលើ។
គ. បំពេញតារាងប្រេកង់កើន និងគូសក្រាប Ogive។
ឃ. បកស្រាយត្រង់ $25$ ៖ មានកម្មករចំនួន $13$ នាក់ ($32.5\%$) ដែលមានអាយុតិចជាង ២៥ ឆ្នាំ។

១២លំហាត់ទី ១២

ក្នុងការប្រកួតបោះបាល់ក្នុងថេរវេលា $45$ នាទី ក្រុមកីឡាករបោះបាល់ចូលទីបានលទ្ធផល ៖

រយៈពេល (នាទី)	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$	$[25, 30)$	$[30, 35)$	$[35, 40)$	$[40, 45)$
ចំនួនបាល់	$4$	$5$	$9$	$12$	$15$	$14$	$10$	$8$	$6$

តើកីឡាករបោះចូលទីបានប៉ុន្មានបាល់ក្នុងរយៈពេល $45$ នាទី?
តើបោះចូលបានប៉ុន្មានបាល់ក្នុងរយៈពេលក្រោម ១៥ នាទីដំបូង? និងនៅកន្លះម៉ោងចុងក្រោយ?
គូសពហុកោណប្រេកង់កើន។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ផលបូកចំនួនបាល់សរុបក្នុង $45$ នាទី ៖ $N = 4 + 5 + 9 + 12 + 15 + 14 + 10 + 8 + 6 = 83$ គ្រាប់។
ខ. ក្នុងរយៈពេលក្រោម ១៥ នាទីដំបូង (៣ ថ្នាក់ដំបូង) ៖ $4 + 5 + 9 = 18$ គ្រាប់។
នៅកន្លះម៉ោងចុងក្រោយ (ចាប់ពីនាទីទី ១៥ ដល់ ៤៥) ៖ $83 - 18 = 65$ គ្រាប់ ត្រូវជា $\frac{65}{83} \times 100\% \approx 78.31\%$។
គ. ពហុកោណប្រេកង់កើនគូសភ្ជាប់តាមចំណុចចុងថ្នាក់ និងប្រេកង់កើន ៖
$(5, 4)$, $(10, 9)$, $(15, 18)$, $(20, 30)$, $(25, 45)$, $(30, 59)$, $(35, 69)$, $(40, 77)$, $(45, 83)$។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មតាមទូរទស្សន៍ក្នុងរយៈពេល $45$ នាទី ៖

រយៈពេល (នាទី)	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$	$[25, 30)$	$[30, 35)$	$[35, 40)$	$[40, 45)$
ចំនួនដង	$5$	$1$	$1$	$3$	$2$	$6$	$8$	$12$	$12$

តើផ្សាយបានប៉ុន្មានដងសរុប?
តើផ្សាយបានប៉ុន្មានដងក្នុងរយៈពេល ២០ នាទីចុងក្រោយ? និងក្នុងរយៈពេលតិចជាង ៣០ នាទីដំបូង?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ចំនួនដងផ្សាយពាណិជ្ជកម្មសរុប ៖ $N = 5 + 1 + 1 + 3 + 2 + 6 + 8 + 12 + 12 = 50$ ដង។
រយៈពេលផ្សាយគឺ $45$ នាទី (ពីម៉ោង ២ ដល់ ២:៤៥ រសៀល)។
ខ. ក្នុងរយៈពេល ២០ នាទីចុងក្រោយ (នាទីទី ២៥ ដល់ ៤៥ ៖ ៤ ថ្នាក់ចុងក្រោយ) ៖ $6 + 8 + 12 + 12 = 38$ ដង។
ក្នុងរយៈពេលតិចជាង ៣០ នាទីដំបូង (៦ ថ្នាក់ដំបូង) ៖ $5 + 1 + 1 + 3 + 2 + 6 = 18$ ដង។
គ. គូសពហុកោណប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយលើតម្រុយតែមួយ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

តារាងចំនួនប្រជាជនរងគ្រោះក្រោយសង្គ្រាម ៖

អាយុ	$[0, 5)$	$[5, 15)$	$[15, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 70)$	$[70, 85)$	$[85, 100)$
ស្លាប់	$1$	$104$	$65$	$45$	$70$	$135$	$195$	$210$
របួស	$12$	$3010$	$3645$	$1700$	$1175$	$1800$	$2400$	$1170$

បង្កើតតារាងប្រេកង់កើននៃអ្នកស្លាប់ និងរបួស។
កំណត់ចំនួនអ្នកស្លាប់ និងរបួសសរុប។
រកចំនួនអ្នកស្លាប់ និងរបួសដែលមានអាយុតិចជាង ៣៥ ឆ្នាំ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. សង់អ៊ីស្តូក្រាមពីរដាច់ដោយឡែក ឬត្រួតគ្នាសម្រាប់អ្នកស្លាប់ និងអ្នករបួស។
ខ. ប្រេកង់កើនអ្នកស្លាប់ ៖ $1$, $105$, $170$, $215$, $285$, $420$, $615$, $825$។
ប្រេកង់កើនអ្នករបួស ៖
$12$, $3022$, $6667$, $8367$, $9542$, $11342$, $13742$, $14912$។
គ. ចំនួនសរុប ៖ អ្នកស្លាប់ $825$ នាក់, អ្នករបួស $14912$ នាក់។
ឃ. ប្រជាជនអាយុតិចជាង ៣៥ ឆ្នាំ (៣ ថ្នាក់ដំបូង) ៖

ស្លាប់ ៖ $1 + 104 + 65 = 170$ នាក់
របួស ៖ $12 + 3010 + 3645 = 6667$ នាក់

១៥លំហាត់ទី ១៥

គេស្ទង់មតិគ្រួសារចំនួន ១០ អំពីចំនួនកូន ៖ $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5$។ បង្កើតតារាងប្រេកង់ និងប្រេកង់ធៀប។

មើលដំណោះស្រាយ

តារាងប្រេកង់នៃចំនួនកូនសិស្សក្នុង ១០ គ្រួសារ ៖ $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5$។

$x = 1: f = 1, f\% = 10\%$
$x = 2: f = 2, f\% = 20\%$
$x = 3: f = 3, f\% = 30\%$
$x = 4: f = 2, f\% = 20\%$
$x = 5: f = 2, f\% = 20\%$

ផលបូក $N = 10$, $\sum f\% = 100\%$។

១៦លំហាត់ទី ១៦

ថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សក្រុម A ចំនួន ២៥ នាក់, ក្រុម B ចំនួន ៣៥ នាក់ និងក្រុម C ចំនួន ៤០ នាក់។ គណនាប្រេកង់ធៀបនៃក្រុមនីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ ៖ ប្រេកង់សរុប $N = 25 + 35 + 40 = 100$។

ថ្នាក់ A ៖ $25/100 = 25\%$
ថ្នាក់ B ៖ $35/100 = 35\%$
ថ្នាក់ C ៖ $40/100 = 40\%$

១៧លំហាត់ទី ១៧

គណនាផ្ចិតនៃថ្នាក់នីមួយៗ ៖ $[0, 10), [10, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50)$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផ្ចិតនៃថ្នាក់ ៖

$[0, 10) \implies m_1 = (0+10)/2 = 5$
$[10, 20) \implies m_2 = (10+20)/2 = 15$
$[20, 30) \implies m_3 = (20+30)/2 = 25$
$[30, 40) \implies m_4 = (30+40)/2 = 35$
$[40, 50) \implies m_5 = (40+50)/2 = 45$

១៨លំហាត់ទី ១៨

កំណត់ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ $h$ នៃថ្នាក់ $[10, 20), [20, 30), [30, 40)$។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ $h$ ៖ $h = b - a = 20 - 10 = 10$។ គ្រប់ថ្នាក់ទាំងអស់សុទ្ធតែមានប្រវែងស្មើគ្នាគឺ $h = 10$។

១៩លំហាត់ទី ១៩

តារាងប្រេកង់មួយមានប្រេកង់រៀងគ្នា $6, 14, 20, 10$។ គណនាប្រេកង់កើននៃថ្នាក់នីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រេកង់កើន ៖ ប្រេកង់រៀងគ្នា $6, 14, 20, 10$។

$f_1\nearrow = 6$
$f_2\nearrow = 6 + 14 = 20$
$f_3\nearrow = 20 + 20 = 40$
$f_4\nearrow = 40 + 10 = 50 = N$

២០លំហាត់ទី ២០

ពីទិន្នន័យលំហាត់ ១៩ ចូរគណនាប្រេកង់ថយនៃថ្នាក់នីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រេកង់ថយ ៖ ប្រេកង់សរុប $N = 50$។

ថ្នាក់ទី ១ ៖ $f_1\searrow = 50$
ថ្នាក់ទី ២ ៖ $f_2\searrow = 50 - 6 = 44$
ថ្នាក់ទី ៣ ៖ $f_3\searrow = 44 - 14 = 30$
ថ្នាក់ទី ៤ ៖ $f_4\searrow = 30 - 20 = 10$

២១លំហាត់ទី ២១

តារាងប្រេកង់មួយមាន $N = 40$ និងប្រេកង់រៀងគ្នា $8, x, 15, 7$។ រកតម្លៃ $x$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃប្រេកង់ដែលបាត់ $x$ ៖ $N = 8 + x + 15 + 7 = 40 \implies 30 + x = 40 \implies x = 10$។

២២លំហាត់ទី ២២

បើប្រេកង់សរុបគឺ $240$ ហើយប្រេកង់ធៀបនៃតម្លៃមួយគឺ $15\%$។ រកប្រេកង់នៃតម្លៃនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកប្រេកង់ពីប្រេកង់ធៀប ៖ $f = N \times f\% = 240 \times 15\% = 240 \times 0.15 = 36$ នាក់។

២៣លំហាត់ទី ២៣

បើតម្លៃមួយមានប្រេកង់ $18$ ត្រូវនឹងប្រេកង់ធៀប $12\%$។ រកប្រេកង់សរុប $N$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកប្រេកង់សរុប $N$ ៖ $f = 18$ ត្រូវនឹង $12\%$ នាំឱ្យ $N = \frac{18}{0.12} = 150$។

២៤លំហាត់ទី ២៤

គេឱ្យប្រេកង់កើននៃ ៤ ថ្នាក់គឺ $5, 14, 25, 32$។ រកប្រេកង់នៃថ្នាក់នីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកប្រេកង់ពីប្រេកង់កើន ៖

$f_1 = 5$
$f_2 = 14 - 5 = 9$
$f_3 = 25 - 14 = 11$
$f_4 = 32 - 25 = 7$

២៥លំហាត់ទី ២៥

ទិន្នន័យមានតម្លៃតូចបំផុត $32$ និងធំបំផុត $88$។ រកទំហំប្រែប្រួល $R$។

មើលដំណោះស្រាយ

ទំហំប្រែប្រួល (Range) ៖ $R = X_{\max} - X_{\min} = 88 - 32 = 56$។

២៦លំហាត់ទី ២៦

ពីលំហាត់ ២៥ បើគេចង់ចែកទិន្នន័យជា ៧ ថ្នាក់ស្មើៗគ្នា ចូរកំណត់ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ និងសរសេរថ្នាក់ទាំង ៧។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ចំនួនថ្នាក់ និងប្រវែងថ្នាក់ ៖ បើចែកជា $7$ ថ្នាក់ នោះប្រវែងចន្លោះថ្នាក់គឺ $h = \frac{56}{7} = 8$។ ថ្នាក់ទាំង ៧ គឺ $[32, 40), [40, 48), [48, 56), [56, 64), [64, 72), [72, 80), [80, 88]$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

តារាងមួយមានប្រេកង់កើន $8, 20, 38, 50$។ គណនាប្រេកង់ធៀបកើនជាភាគរយ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រេកង់ធៀបកើនជាភាគរយ ៖ ប្រេកង់កើន ៖ $8, 20, 38, 50$ ធៀបនឹង $N = 50$ ៖

$\frac{8}{50} = 16\%$
$\frac{20}{50} = 40\%$
$\frac{38}{50} = 76\%$
$\frac{50}{50} = 100\%$

២៨លំហាត់ទី ២៨

បកស្រាយពីថ្នាក់ដែលមានប្រេកង់ច្រើនបំផុតក្នុងតារាងស្ថិតិមួយ។

មើលដំណោះស្រាយ

បកស្រាយតារាងប្រេកង់ ៖ តម្លៃទិន្នន័យភាគច្រើនប្រមូលផ្តុំនៅថ្នាក់ដែលមានប្រេកង់ធំបំផុតគឺ ថ្នាក់ទី ៣ ($f = 18$)។

២៩លំហាត់ទី ២៩

តារាងប្រេកង់មាន $N = 50$ និងប្រេកង់កើនត្រង់ពិន្ទុ ៧០ គឺ ៣៨។ រកចំនួនសិស្សដែលមានពិន្ទុក្រោម ៧០។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រេកង់កើនត្រង់កម្រិតកំណត់ ៖ ចំនួនសិស្សដែលទទួលបានពិន្ទុតិចជាង $70$ គឺស្មើនឹងប្រេកង់កើនត្រង់ព្រំដែន $70$ ដែលស្មើនឹង $38$ នាក់។

៣០លំហាត់ទី ៣០

ពីលំហាត់ ២៩ រកចំនួនសិស្ស និងភាគរយសិស្សដែលមានពិន្ទុចាប់ពី ៧០ ឡើងទៅ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាចំនួនសិស្សដែលទទួលបានពិន្ទុចាប់ពី $70$ ឡើងទៅ ៖ $N - f\nearrow(70) = 50 - 38 = 12$ នាក់ ត្រូវជា $\frac{12}{50} = 24\%$។

៣១លំហាត់ទី ៣១

ហាងមួយកត់ត្រាចំនួនថ្ងៃលក់ក្នុងខែមួយ ($30$ ថ្ងៃ)។ ថ្ងៃលក់បានចាប់ពី $100\$$ មាន ១៨ ថ្ងៃ។ រកភាគរយនៃថ្ងៃទាំងនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្ថិតិនៃការលក់ប្រចាំថ្ងៃ ៖ ប្រេកង់សរុប $N = 30$ ថ្ងៃ។ ចំនួនថ្ងៃដែលលក់បានចាប់ពី $100\$$ ឡើងទៅគឺ $18$ ថ្ងៃ ត្រូវជា $60\%$។

៣២លំហាត់ទី ៣២

ក្នុងការវាស់កម្ពស់សិស្ស ៦០ នាក់ ថ្នាក់ $[150, 160)\,\text{cm}$ មានសិស្ស ១២ នាក់។ គណនាប្រេកង់ធៀប។

មើលដំណោះស្រាយ

កម្ពស់សិស្ស ៖ ថ្នាក់ $[150, 160)\,\text{cm}$ មានប្រេកង់ $12$ លើសរុប $60$ នាក់។ ប្រេកង់ធៀបគឺ $\frac{12}{60} = 20\%$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

ការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីនៃ ១៥០ គ្រួសារ ៖ ក្រោម $100\,\text{kWh}$ មាន ៤៥, ពី $100$ ដល់ $200$ មាន ៨០, លើសពី $200$ មាន ២៥។ រកភាគរយគ្រួសារប្រើលើស $200\,\text{kWh}$។

មើលដំណោះស្រាយ

ការប្រើប្រាស់អគ្គិសនី ៖ អគ្គិសនីក្រោម $100\,\text{kWh}$ មាន $45$ គ្រួសារ។ ពី $100$ ដល់ $200$ មាន $80$ គ្រួសារ។ លើសពី $200$ មាន $25$ គ្រួសារ។ សរុប $N = 150$ គ្រួសារ។ ភាគរយលើសពី $200$ គឺ $\frac{25}{150} \approx 16.67\%$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គ្រួសារមានកូនពី ១ ដល់ ៣ នាក់មាន $72\%$ នៃ ៥០០ គ្រួសារ។ រកចំនួនគ្រួសារជាក់ស្តែង។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យគ្រួសារ ៖ គ្រួសារដែលមានកូនពី $1$ ដល់ $3$ នាក់មាន $72\%$ នៃគ្រួសារសរុប $500$ គ្រួសារ នាំឱ្យមាន $500 \times 0.72 = 360$ គ្រួសារ។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

រថយន្ត ១២០ គ្រឿងឆ្លងកាត់ផ្លូវមួយ មាន ១៥ គ្រឿងបើកលើសល្បឿនកំណត់។ រកប្រេកង់ធៀបរថយន្តល្មើស។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យល្បឿនយានយន្ត ៖ រថយន្តដែលបើកលើសល្បឿនកំណត់ ($> 80\,\text{km/h}$) មានចំនួន $15$ គ្រឿង លើ $120$ គ្រឿង ត្រូវជា $\frac{15}{120} = 12.5\%$។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

សិស្ស ១៦០ នាក់ប្រឡង មាន ៨ នាក់បាននិទ្ទេស A។ គណនាប្រេកង់ធៀបនៃសិស្សនិទ្ទេស A។

មើលដំណោះស្រាយ

ពិន្ទុប្រឡង ៖ សិស្សជាប់និទ្ទេស A (ពិន្ទុ $\ge 85$) មាន $8$ នាក់។ សិស្សសរុប $160$ នាក់។ ប្រេកង់ធៀបគឺ $\frac{8}{160} = 5\%$។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

សិស្សអានសៀវភៅយ៉ាងតិច ២ ក្បាលក្នុងមួយខែមាន $f\searrow(2) = 85$ នាក់ លើ ១០០ នាក់។ រកភាគរយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការអានសៀវភៅ ៖ សិស្សអានសៀវភៅយ៉ាងតិច ២ ក្បាលក្នុងមួយខែមានចំនួន $f\searrow(2) = 85$ នាក់ លើ $100$ នាក់ ត្រូវជា $85\%$។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

រយៈពេលរង់ចាំរថយន្ត ៖ ក្រោម ១០ នាទីមាន ៣០ នាក់, ១០ ដល់ ២០ មាន ៥០ នាក់, លើសពី ២០ មាន ២០ នាក់។ គណនាប្រេកង់កើនត្រង់ ២០ នាទី។

មើលដំណោះស្រាយ

រយៈពេលរង់ចាំរថយន្តក្រុង ៖ រយៈពេលរង់ចាំក្រោម ១០ នាទីមាន $30$ នាក់, ពី ១០ ទៅ ២០ មាន $50$ នាក់, លើសពី ២០ មាន $20$ នាក់។ ប្រេកង់កើនត្រង់ ២០ នាទីគឺ $30 + 50 = 80$ នាក់។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

កម្មករ ២០០ នាក់ មាន ៤០ នាក់មានចំណូលក្រោម $250\$$។ រកភាគរយកម្មករចំណូលក្រោម $250\$$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ចំណូលកម្មករ ៖ កម្មករទទួលបានចំណូលក្រោម $250\$$ មាន $40$ នាក់ លើ $200$ នាក់ ត្រូវជា $20\%$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

អ្នកជំងឺ ១៤០ នាក់ មាន ៣៥ នាក់មានអាយុ $\ge 60$ ឆ្នាំ។ រកប្រេកង់ធៀប។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យអាយុអ្នកជំងឺ ៖ អ្នកជំងឺដែលមានអាយុចាប់ពី ៦០ ឆ្នាំឡើងទៅមាន $35$ នាក់ លើ $140$ នាក់ ត្រូវជា $25\%$។

៤១លំហាត់ទី ៤១

តារាងប្រេកង់មាន $f_1 = 4, f_2 = x, f_3 = 12, f_4 = y$ ដោយដឹងថា $N = 30$ និង $f\nearrow_2 = 11$។ រក $x$ និង $y$។

មើលដំណោះស្រាយ

រក $x$ និង $y$ ៖ $f_1 = 4, f_2 = x, f_3 = 12, f_4 = y$ ដោយដឹងថា $N = 30$ និង $f\nearrow_2 = 11$។

$f_1 + x = 11 \implies 4 + x = 11 \implies x = 7$
$4 + 7 + 12 + y = 30 \implies 23 + y = 30 \implies y = 7$

៤២លំហាត់ទី ៤២

បើ $f_1\% = 15\%, f_2\% = 35\%, f_3\% = 30\%, f_4\% = 20\%$ និង $N = 80$។ រកប្រេកង់នៃថ្នាក់នីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកប្រេកង់ $f$ តាមតារាងប្រេកង់ធៀប ៖ បើ $f_1\% = 15\%, f_2\% = 35\%, f_3\% = 30\%, f_4\% = 20\%$ និង $N = 80$ ៖ $f_1 = 12, f_2 = 28, f_3 = 24, f_4 = 16$។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ពីអ៊ីស្តូក្រាមមួយដែលមាន ៤ ថ្នាក់ កម្ពស់សសររៀងគ្នាគឺ $5, 12, 18, 5$។ បង្កើតតារាងប្រេកង់ និងរក $N$។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្កើតតារាងប្រេកង់ពីអ៊ីស្តូក្រាម ៖ កម្ពស់សសរលើថ្នាក់ $[10, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50)$ គឺ $5, 12, 18, 5$។ ប្រេកង់សរុបគឺ $N = 40$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

ពន្យល់អំពីទំនាក់ទំនងរវាងផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃសសរអ៊ីស្តូក្រាម និងប្រេកង់សរុប $N$ កាលណាប្រវែងថ្នាក់ស្មើគ្នា $h = 10$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផ្ទៃក្រឡាសសរអ៊ីស្តូក្រាម ៖ កាលណាប្រវែងថ្នាក់ស្មើគ្នា $h = 10$ ផ្ទៃក្រឡាសសរនីមួយៗគឺ $S_i = h \times f_i$។ ផ្ទៃក្រឡាសរុបគឺ $S = h \times \sum f_i = 10 \times N$។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

បង្ហាញថា $f\nearrow_i + f\searrow_i = N + f_i$ គ្រប់ថ្នាក់ទី $i$ នៃតារាងប្រេកង់មួយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ ៖ បង្ហាញថា $f\nearrow_i + f\searrow_i = N + f_i$ គ្រប់ថ្នាក់ទី $i$ ៖ តាមនិយមន័យ $f\nearrow_i = \sum_{k=1}^i f_k$ និង $f\searrow_i = \sum_{k=i}^m f_k$។ ពេលបូកបញ្ចូលគ្នា តួ $f_i$ ត្រូវបានរាប់ពីរដង ឯតួផ្សេងទៀតរាប់ម្តង ដូចនេះផលបូកស្មើនឹង $N + f_i$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

ទិន្នន័យដើម $N = 50$ ត្រូវបានកត់ត្រាច្រឡំតម្លៃមួយពី $25$ ទៅ $35$។ ពន្យល់ពីការកែសម្រួលតារាងប្រេកង់។

មើលដំណោះស្រាយ

កែតម្រូវទិន្នន័យ ៖ ទិន្នន័យដើម $N = 50$ រកឃើញថាមានតម្លៃមួយកត់ច្រឡំពី $25$ ទៅ $35$ (ប្តូរថ្នាក់ពី $[20, 30)$ ទៅ $[30, 40)$)។ ប្រេកង់ថ្នាក់ $[20, 30)$ ត្រូវបូក ១ បន្ថែម ហើយថ្នាក់ $[30, 40)$ ត្រូវដក ១ ចេញ ឯប្រេកង់សរុប $N$ នៅដដែល។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ថ្នាក់ $[0, 20)$ មានប្រេកង់ $16$ ត្រូវបានបំបែកជាពីរថ្នាក់ស្មើគ្នា។ បើពាក់កណ្តាលតូចជាង $10$ រកប្រេកង់ថ្នាក់នីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំបែកថ្នាក់ ៖ ថ្នាក់ $[0, 20)$ មាន $f = 16$ ត្រូវបានបំបែកជាពីរថ្នាក់ស្មើគ្នា $[0, 10)$ និង $[10, 20)$។ បើដឹងថាពាក់កណ្តាលនៃទិន្នន័យតូចជាង $10$ នោះថ្នាក់នីមួយៗមានប្រេកង់ $8$។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ក្នុងសាលាមួយ សិស្សស្រី ១៨/៤៥ នាក់ និងសិស្សប្រុស ១៥/៥០ នាក់ទទួលបានពិន្ទុលើស ៨០។ តើក្រុមណាមានសមាមាត្រខ្ពស់ជាង?

មើលដំណោះស្រាយ

តារាងបំណែងចែកពីរក្រុម ៖ ប្រៀបធៀបភាគរយសិស្សស្រី និងសិស្សប្រុសដែលទទួលបានពិន្ទុលើសពី $80$ ៖ ស្រី $\frac{18}{45} = 40\%$, ប្រុស $\frac{15}{50} = 30\%$។ សិស្សស្រីមានសមាមាត្រខ្ពស់ជាង។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ពន្យល់ពីរបៀបគណនាកម្ពស់សសរអ៊ីស្តូក្រាម (ដង់ស៊ីតេប្រេកង់) កាលណាថ្នាក់មានប្រវែងមិនស្មើគ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រេកង់នៃថ្នាក់មិនស្មើគ្នា ៖ កាលណាថ្នាក់មានប្រវែងមិនស្មើគ្នា (ឧទាហរណ៍ $h_1 = 5, h_2 = 10$) កម្ពស់សសរអ៊ីស្តូក្រាមត្រូវគិតជាកម្រិតដង់ស៊ីតេប្រេកង់ ៖ $d = \frac{f}{h}$ ដើម្បីកុំឱ្យខូចទ្រង់ទ្រាយផ្ទៃក្រឡា។

៥០លំហាត់ទី ៥០

ពន្យល់ពីភាពខុសគ្នារវាងរបាយទិន្នន័យស៊ីមេទ្រី (Symmetric) និងរបាយទិន្នន័យលម្អៀង (Skewed)។

មើលដំណោះស្រាយ

ការវិភាគទម្រង់របាយទិន្នន័យ ៖ កាលណាសសរខ្ពស់បំផុតស្ថិតនៅកណ្តាល ហើយទាបសងខាងស៊ីមេទ្រី របាយទិន្នន័យមានទម្រង់កណ្តឹង (ស៊ីមេទ្រី)។ បើកន្ទុយអូសបន្លាយទៅខាងស្តាំ ហៅថារបាយលម្អៀងស្តាំ (Positive skew)។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៦ បំណែកចែកប្រេកង់ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

\(x\)	\(f\)	\(f\nearrow\)	\(f\searrow\)	\(f\%\)	\(f\nearrow\%\)
\(0\)	\(3\)	\(3\)	\(25\)	\(12\%\)	\(12\%\)
\(1\)	\(8\)	\(11\)	\(22\)	\(32\%\)	\(44\%\)
\(2\)	\(10\)	\(21\)	\(14\)	\(40\%\)	\(84\%\)
\(3\)	\(4\)	\(25\)	\(4\)	\(16\%\)	\(100\%\)
សរុប	\(N=25\)	—	—	\(100\%\)	—

អាយុ	\([0, 5)\)	\([5, 15)\)	\([15, 35)\)	\([35, 45)\)	\([45, 55)\)	\([55, 70)\)	\([70, 85)\)	\([85, 100)\)
ស្លាប់	\(1\)	\(104\)	\(65\)	\(45\)	\(70\)	\(135\)	\(195\)	\(210\)
របួស	\(12\)	\(3010\)	\(3645\)	\(1700\)	\(1175\)	\(1800\)	\(2400\)	\(1170\)