ចំនួនសនិទាន (Rational Numbers) មានប្រភពដើមចេញពីពាក្យឡាតាំង "Ratio" ដែលមានន័យថា «ផលធៀប»។ ចំនួនសនិទានគឺជាការវិវត្តដ៏សំខាន់បំផុតមួយក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រគណិតវិទ្យា ពីព្រោះចំនួនគត់ធម្មជាតិតែមួយមុខមិនអាចបំពេញតម្រូវការវាស់វែង និងបែងចែកក្នុងជីវភាពជាក់ស្ដែងបានឡើយ៖
អារ្យធម៌អេហ្ស៊ីបបុរាណ (ប្រហែល ១៦៥០ មុន គ.ស.)៖ ក្នុងក្រដាសផាពីរុសរីន (Rhind Mathematical Papyrus) ជនជាតិអេហ្ស៊ីបបានកត់ត្រាការប្រើប្រាស់ ប្រភាគឯកតា (Unit Fractions) ដែលមានភាគយកស្មើ \(1\) ដូចជា \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\) ដើម្បីបែងចែកដីស្រែ ដីកសិកម្មតាមដងទន្លេនីល និងបែងចែកស្បៀងអាហារ។
សាលាពីតាករ (Pythagorean School, សតវត្សទី ៦ មុន គ.ស.)៖ ទស្សនវិទូ និងគណិតវិទូក្រិកពីតាករ បានលើកឡើងនូវទស្សនវិជ្ជាថា «អ្វីៗទាំងអស់គឺជាចំនួន» ("All is number") ដោយជឿជាក់ថា គ្រប់ប្រវែង និងបរិមាណក្នុងសកលលោក សុទ្ធតែអាចសរសេរជាផលធៀបនៃពីរចំនួនគត់ (ចំនួនសនិទាន) បានទាំងអស់។
អារ្យធម៌ឥណ្ឌា និងពិភពឥស្លាម៖ គណិតវិទូឥណ្ឌាដូចជា Brahmagupta (សតវត្សទី ៧) និង Bhaskara II (សតវត្សទី ១២) បានបង្កើតក្បួនប្រមាណវិធីបូក ដក គុណ ចែកប្រភាគ និងការប្រើប្រាស់សញ្ញាសូន្យព្រមទាំងចំនួនអវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក គណិតវិទូអារ៉ាប់ Al-Khwarizmi និង Al-Hassār បានបង្កើតសញ្ញារបារប្រភាគផ្ដេក (Fraction bar) ដែលយើងប្រើប្រាស់រហូតដល់សព្វថ្ងៃ។
និមិត្តសញ្ញា \(\mathbb{Q}\)៖ សំណុំនៃចំនួនសនិទានត្រូវបានកំណត់តាងជាសកលដោយអក្សរ \(\mathbb{Q}\) ដែលមកពីពាក្យអ៊ីតាលី "Quoziente" (មានន័យថា «ផលចែក») ដោយគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Giuseppe Peano ក្នុងឆ្នាំ ១៨៩៥។
ក្នុងស្ថាបត្យកម្មខ្មែរបុរាណ៖ បុព្វបុរសខ្មែរនាសម័យអង្គរបានប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធផលធៀប និងសមាមាត្រនៃចំនួនយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះក្នុងការគណនាប្លង់ មាត្រដ្ឋាន និងការកសាងប្រាសាទអង្គរវត្តឱ្យមានតុល្យភាព និងសោភ័ណភាពអស្ចារ្យ។
សញ្ញាណ និងនិយមន័យនៃចំនួនសនិទាន
និយមន័យចំនួនសនិទាន
ចំនួនសនិទាន គឺជាចំនួនទាំងឡាយណាដែលអាចសរសេរជាទម្រង់ប្រភាគ \(\dfrac{a}{b}\) បាន ដែល \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ហើយ \(b \ne 0\)។
\(a\) ហៅថា ភាគយក (Numerator)
\(b\) ហៅថា ភាគបែង (Denominator)
សំណុំនៃចំនួនសនិទានទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់តាងដោយនិមិត្តសញ្ញា \(\mathbb{Q}\)៖
គ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិសុទ្ធតែជាចំនួនសនិទាន ៖ \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\) (ព្រោះ \(n = \dfrac{n}{1}\))។
ចំនួនទសភាគកំណត់ ដូចជា \(0.75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}\) ជាចំនួនសនិទាន។
ចំនួនទសភាគមិនកំណត់ខួប ដូចជា \(0.333\dots = 0.\overline{3} = \dfrac{1}{3}\) ជាចំនួនសនិទាន។
ចំនួនចម្រុះ ដូចជា \(2\dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\) ជាចំនួនសនិទាន។
ចំនួនសនិទានវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន និងសូន្យ
ចំនួនសនិទាន \(\dfrac{a}{b}\) ជា ចំនួនសនិទានវិជ្ជមាន កាលណា \(a\) និង \(b\) មានសញ្ញាដូចគ្នា (\(a \times b > 0\))។ ឧទាហរណ៍ ៖ \(\dfrac{3}{5} > 0\) , \(\dfrac{-4}{-7} = \dfrac{4}{7} > 0\)។
ចំនួនសនិទាន \(\dfrac{a}{b}\) ជា ចំនួនសនិទានអវិជ្ជមាន កាលណា \(a\) និង \(b\) មានសញ្ញាខុសគ្នា (\(a \times b < 0\))។ ឧទាហរណ៍ ៖ \(\dfrac{-2}{5} < 0\) , \(\dfrac{3}{-8} = -\dfrac{3}{8} < 0\)។
ចំនួន \(0\) គឺជាចំនួនសនិទានពីព្រោះ \(0 = \dfrac{0}{b}\) (\(b \ne 0\))។ ចំនួន \(0\) មិនមែនជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយក៏មិនមែនជាចំនួនអវិជ្ជមានដែរ។
ពីរចំនួនសនិទាន \(\dfrac{a}{b}\) និង \(\dfrac{c}{d}\) (ដែល \(b \ne 0, d \ne 0\)) ស្មើគ្នា លុះត្រាតែផលគុណខ្វែងរបស់វាស្មើគ្នា ៖
រកតម្លៃនៃ \(x\) ក្នុងសមភាពចំនួនសនិទានខាងក្រោម ៖
\(\dfrac{x}{12} = \dfrac{5}{4}\)
\(\dfrac{36}{x} = \dfrac{12}{5}\)
តាមលក្ខណៈផលគុណខ្វែង ៖ \(x \times 4 = 12 \times 5 \implies 4x = 60 \implies x = \dfrac{60}{4} = 15\)។
តាមលក្ខណៈផលគុណខ្វែង ៖ \(36 \times 5 = x \times 12 \implies 12x = 180 \implies x = \dfrac{180}{12} = 15\)។
រកតម្លៃ \(x\) នៃសមភាពខាងក្រោម ៖
\(\dfrac{x+4}{9} = \dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{5}{x-2} = \dfrac{4}{3}\)
ការបំប្លែងទម្រង់ចំនួនសនិទាន
ការបំប្លែងប្រភាគទៅជាចំនួនទសភាគ
ដើម្បីបំប្លែងប្រភាគ \(\dfrac{a}{b}\) ជាចំនួនទសភាគ គេយកភាគយក \(a\) ចែកនឹងភាគបែង \(b\) ៖
ចំនួនទសភាគកំណត់ (Terminating Decimals)៖ ផលចែកមានសំណល់ស្មើ \(0\)។ កើតឡើងនៅពេលភាគបែងនៃប្រភាគសម្រួលរួចមានតែកត្តាបឋម \(2\) ឬ \(5\) ប៉ុណ្ណោះ។
ឧទាហរណ៍ ៖ \(\dfrac{3}{8} = 0.375\) , \(\dfrac{7}{20} = 0.35\)ចំនួនទសភាគមិនកំណត់ខួប (Repeating/Periodic Decimals)៖ ផលចែកមានលេខដដែលៗមិនចេះចប់។
ឧទាហរណ៍ ៖ \(\dfrac{1}{3} = 0.333\dots = 0.\overline{3}\) , \(\dfrac{5}{11} = 0.4545\dots = 0.\overline{45}\)
ការបំប្លែងចំនួនទសភាគខួបទៅជាប្រភាគ
ខួបសុទ្ធ (Pure recurring) ៖ តាង \(x = 0.\overline{a_1 a_2 \dots a_n}\)។ គុណអង្គទាំងពីរនឹង \(10^n\) រួចធ្វើផលដក \(10^n x - x\)។
\[0.\overline{a} = \frac{a}{9} \quad{};\quad{} 0.\overline{ab} = \frac{ab}{99} \quad{};\quad{} 0.\overline{abc} = \frac{abc}{999}\]ខួបលាយ (Mixed recurring) ៖ ឧទាហរណ៍ \(x = 0.a\overline{b}\)។ គុណនឹង \(10\) ឱ្យផុតផ្នែកមិនខួប រួចគុណនឹង \(100\) ឱ្យផុតខួបមួយជុំ ហើយដកសមីការទាំងពីរ។
សរសេរចំនួនទសភាគខួបខាងក្រោមជាប្រភាគសម្រួលរួច ៖
\(A = 0.\overline{45}\)
\(B = 1.2\overline{3}\)
តាង \(x = 0.\overline{45} = 0.454545\dots\) (១)
ដោយសារខួបមាន ២ ខ្ទង់ យើងគុណសមីការ (១) នឹង \(100\) ៖\[100x = 45.454545\dots \quad{} \text{(២)}\]យក (២) ដក (១) អង្គនិងអង្គ ៖\[100x - x = 45.4545\dots - 0.4545\dots \implies 99x = 45 \implies x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}\]ដូចនេះ \(0.\overline{45} = \dfrac{5}{11}\)។តាង \(y = 1.2\overline{3} = 1.2333\dots\) (១)
គុណ (១) នឹង \(10\) ៖ \(10y = 12.333\dots\) (២)
គុណ (១) នឹង \(100\) ៖ \(100y = 123.333\dots\) (៣)
យក (៣) ដក (២) ៖\[100y - 10y = 123.333\dots - 12.333\dots \implies 90y = 111 \implies y = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}\]ដូចនេះ \(1.2\overline{3} = \dfrac{37}{30} = 1\dfrac{7}{30}\)។
សរសេរជាប្រភាគងាយ ៖
\(0.\overline{7}\)
\(0.\overline{18}\)
\(0.1\overline{6}\)
\(2.\overline{15}\)
ការប្រៀបធៀប និងរៀបលំដាប់ចំនួនសនិទាន
ការតាងចំនួនសនិទានលើបន្ទាត់ចំនួន
នៅលើបន្ទាត់ចំនួន ចំណុចដែលមានកូអរដោនេធំជាង តែងតែស្ថិតនៅ ខាងស្ដាំ នៃចំណុចដែលមានកូអរដោនេតូចជាង។
វិធាននៃការប្រៀបធៀបចំនួនសនិទាន
ចំពោះពីរចំនួនសនិទាន \(\dfrac{a}{b}\) និង \(\dfrac{c}{d}\) ដែល \(b > 0, d > 0\) ៖
បើភាគបែងដូចគ្នា (\(b = d\)) ៖ \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b} \iff a < c\)
បើភាគបែងខុសគ្នា ៖ គេតម្រូវភាគបែងរួមរួចប្រៀបធៀបភាគយក ឬប្រើផលគុណខ្វែង ៖
\[\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \times d < b \times c\]គ្រប់ចំនួនសនិទានអវិជ្ជមាន តែងតែតូចជាង \(0\) ហើយ \(0\) តែងតែតូចជាងគ្រប់ចំនួនសនិទានវិជ្ជមាន ៖
\[\text{អវិជ្ជមាន} < 0 < \text{វិជ្ជមាន}\]
ការរកចំនួនសនិទាននៅចន្លោះពីរចំនួនសនិទាន
នៅចន្លោះពីរចំនួនសនិទានខុសគ្នា តែងតែមានចំនួនសនិទានដទៃទៀតជាច្រើនរាប់មិនអស់។ ចំនួនសនិទានមួយដែលនៅចំកណ្ដាលរវាង \(x\) និង \(y\) គឺមធ្យមនព្វន្ត ៖
រកចំនួនសនិទានមួយដែលនៅចន្លោះ \(\dfrac{2}{5}\) និង \(\dfrac{3}{4}\)។
ចំនួនសនិទាននៅចំកណ្ដាលនៃ \(\dfrac{2}{5}\) និង \(\dfrac{3}{4}\) គឺ ៖
ចូររៀបលំដាប់ចំនួនសនិទានខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន ៖
ប្រមាណវិធីលើចំនួនសនិទាន
ប្រមាណវិធីបូក និងដក
ភាគបែងដូចគ្នា ៖ \(\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a + b}{m} \quad{};\quad{} \dfrac{a}{m} - \dfrac{b}{m} = \dfrac{a - b}{m}\) (\(m \ne 0\))
ភាគបែងខុសគ្នា ៖ ត្រូវតម្រូវភាគបែងរួម (យក PPCM នៃភាគបែង) ៖
\[\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} \quad{} (b, d \ne 0)\]
ប្រមាណវិធីគុណ និងចែក
វិធីគុណ ៖ យកភាគយកគុណភាគយក និងភាគបែងគុណភាគបែង ៖
\[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \quad{} (b, d \ne 0)\]វិធីចែក ៖ យកចំនួនសនិទានទីមួយគុណនឹងចម្រាសនៃចំនួនសនិទានទីពីរ ៖
\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \quad{} (b, c, d \ne 0)\]
សញ្ញាដកនៅមុខប្រភាគអាចដាក់លើភាគយក ឬភាគបែងបាន ៖ \(-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}\)។
ប៉ុន្តែ \(\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}\) (សញ្ញាដូចគ្នាបានផលវិជ្ជមាន)។
ប្រមាណវិធីចែក ៖ មិនអាចចែកនឹង \(0\) បានជាដាច់ខាត!
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖ \(A = \left( \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} \right) \div \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{10} \times \left( -\dfrac{5}{2} \right)\)។
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖
\(B = \dfrac{3}{5} \times \left( -\dfrac{10}{9} \right) + \dfrac{4}{3} \div \dfrac{8}{3}\)
\(C = \dfrac{\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6}}\)
លំហាត់អនុវត្តន៍
ចូរចាត់ថ្នាក់ចំនួនខាងក្រោមទៅតាមក្រុមនីមួយៗ (ចំនួនគត់ធម្មជាតិ, ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប, ចំនួនទសភាគ, ចំនួនសនិទាន) ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ចាត់ថ្នាក់ចំនួន ៖
ចំនួនគត់ធម្មជាតិ ៖ \(0, 12\)
ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ៖ \(-4, 0, 12, -\frac{15}{5} = -3\)
ចំនួនទសភាគ ៖ \(-0.75, 3\frac{1}{2} = 3.5\)
គ្រប់ចំនួនទាំងអស់ដែលបានឱ្យសុទ្ធតែជា ចំនួនសនិទាន (\(\mathbb{Q}\))។
បញ្ជាក់ថាតើចំនួនខាងក្រោមជាចំនួនវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬសូន្យ ៖
\(\dfrac{-8}{11}\)
\(\dfrac{-15}{-17}\)
\(-\dfrac{-9}{4}\)
\(-\left(-\dfrac{-3}{-5}\right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
កំណត់សញ្ញានៃចំនួន ៖
a. \(\dfrac{-8}{11} < 0\) (ចំនួនអវិជ្ជមាន)
b. \(\dfrac{-15}{-17} = \dfrac{15}{17} > 0\) (ចំនួនវិជ្ជមាន)
c. \(-\dfrac{-9}{4} = \dfrac{9}{4} > 0\) (ចំនួនវិជ្ជមាន)
d. \(-\left(-\dfrac{-3}{-5}\right) = -\left(-\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{3}{5} > 0\) (ចំនួនវិជ្ជមាន)
បញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នានៃគូនៃចំនួនសនិទានខាងក្រោម ដោយប្រើផលគុណខ្វែង ៖
\(\dfrac{-6}{14}\) និង \(\dfrac{-9}{21}\)
\(\dfrac{15}{-25}\) និង \(\dfrac{-18}{30}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នាតាមផលគុណខ្វែង ៖
a. \((-6) \times 21 = -126\) និង \(14 \times (-9) = -126\)។ ដោយផលគុណខ្វែងស្មើគ្នា ដូចនេះ \(\dfrac{-6}{14} = \dfrac{-9}{21} = -\dfrac{3}{7}\)។
b. \(15 \times 30 = 450\) និង \((-25) \times (-18) = 450\)។ ដូចនេះ \(\dfrac{15}{-25} = \dfrac{-18}{30} = -\dfrac{3}{5}\)។
សម្រួលចំនួនសនិទានខាងក្រោមឱ្យទៅជាប្រភាគសម្រួលរួច ៖
\(\dfrac{42}{70}\)
\(\dfrac{-108}{144}\)
\(\dfrac{135}{-225}\)
\(\dfrac{-210}{-315}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលប្រភាគ ៖
a. \(\dfrac{42}{70} = \dfrac{42 \div 14}{70 \div 14} = \dfrac{3}{5}\)
b. \(\dfrac{-108}{144} = \dfrac{-108 \div 36}{144 \div 36} = -\dfrac{3}{4}\)
c. \(\dfrac{135}{-225} = -\dfrac{135 \div 45}{225 \div 45} = -\dfrac{3}{5}\)
d. \(\dfrac{-210}{-315} = \dfrac{210 \div 105}{315 \div 105} = \dfrac{2}{3}\)
រកតម្លៃនៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យសមភាពខាងក្រោមពិត ៖
\(\dfrac{x}{8} = \dfrac{15}{24}\)
\(\dfrac{35}{x} = \dfrac{7}{9}\)
\(\dfrac{-4}{7} = \dfrac{x}{42}\)
\(\dfrac{18}{-x} = \dfrac{-6}{11}\)
មើលដំណោះស្រាយ
រកតម្លៃនៃ \(x\) ៖
a. \(x = \dfrac{8 \times 15}{24} = 5\)
b. \(x = \dfrac{35 \times 9}{7} = 45\)
c. \(x = \dfrac{(-4) \times 42}{7} = -24\)
d. \(\dfrac{18}{-x} = \dfrac{6}{11} \implies -6x = 198 \implies x = -33\)
រកតម្លៃនៃ \(x\) ក្នុងសមីការប្រភាគខាងក្រោម ៖
\(\dfrac{x+3}{10} = \dfrac{4}{5}\)
\(\dfrac{2x - 1}{6} = \dfrac{5}{2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការប្រភាគ ៖
a. \(5(x+3) = 40 \implies x+3 = 8 \implies x = 5\)
b. \(2(2x-1) = 30 \implies 4x - 2 = 30 \implies 4x = 32 \implies x = 8\)
រកតម្លៃនៃ \(x\) ក្នុងសមីការប្រភាគខាងក្រោម ៖
\(\dfrac{8}{x - 2} = \dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{15}{2x + 1} = \dfrac{5}{3}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការប្រភាគ ៖
a. \(4(x-2) = 24 \implies x-2 = 6 \implies x = 8\)
b. \(5(2x+1) = 45 \implies 2x+1 = 9 \implies 2x = 8 \implies x = 4\)
រកតម្លៃនៃ \(x\) និង \(y\) បើ \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{15}{y} = \dfrac{3}{2}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
រក \(x\) និង \(y\) ៖
សរសេរចំនួនទសភាគកំណត់ខាងក្រោមជាប្រភាគសម្រួលរួច ៖
\(0.64\)
\(-0.125\)
\(2.35\)
\(-4.08\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំប្លែងទសភាគកំណត់ជាប្រភាគ ៖
a. \(0.64 = \dfrac{64}{100} = \dfrac{16}{25}\)
b. \(-0.125 = -\dfrac{125}{1000} = -\dfrac{1}{8}\)
c. \(2.35 = \dfrac{235}{100} = \dfrac{47}{20} = 2\dfrac{7}{20}\)
d. \(-4.08 = -\dfrac{408}{100} = -\dfrac{102}{25} = -4\dfrac{2}{25}\)
សរសេរចំនួនទសភាគខួបសុទ្ធខាងក្រោមជាប្រភាគសម្រួលរួច ៖
\(0.\overline{5}\)
\(0.\overline{8}\)
\(0.\overline{36}\)
\(0.\overline{72}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំប្លែងទសភាគខួបសុទ្ធ ៖
a. \(0.\overline{5} = \dfrac{5}{9}\)
b. \(0.\overline{8} = \dfrac{8}{9}\)
c. \(0.\overline{36} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}\)
d. \(0.\overline{72} = \dfrac{72}{99} = \dfrac{8}{11}\)
សរសេរចំនួនទសភាគខួបសុទ្ធខាងក្រោមជាប្រភាគសម្រួលរួច ៖
\(0.\overline{123}\)
\(1.\overline{45}\)
\(2.\overline{27}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំប្លែងទសភាគខួបសុទ្ធ ៖
a. \(0.\overline{123} = \dfrac{123}{999} = \dfrac{41}{333}\)
b. \(1.\overline{45} = 1 + \dfrac{45}{99} = 1 + \dfrac{5}{11} = \dfrac{16}{11}\)
c. \(2.\overline{27} = 2 + \dfrac{27}{99} = 2 + \dfrac{3}{11} = \dfrac{25}{11}\)
សរសេរចំនួនទសភាគខួបលាយខាងក្រោមជាប្រភាគសម្រួលរួច ៖
\(0.2\overline{6}\)
\(0.4\overline{3}\)
\(0.1\overline{45}\)
\(1.2\overline{18}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំប្លែងទសភាគខួបលាយ ៖
a. \(x = 0.2\overline{6} \implies 10x = 2.\overline{6} \implies 100x = 26.\overline{6}\)
\[90x = 24 \implies x = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\]b. \(0.4\overline{3} = \dfrac{43 - 4}{90} = \dfrac{39}{90} = \dfrac{13}{30}\)
c. \(0.1\overline{45} = \dfrac{145 - 1}{990} = \dfrac{144}{990} = \dfrac{8}{55}\)
d. \(1.2\overline{18} = 1 + \dfrac{218 - 2}{990} = 1 + \dfrac{216}{990} = 1 + \dfrac{12}{55} = \dfrac{67}{55}\)
សរសេរចំនួនខាងក្រោមជាទម្រង់ចំនួនទសភាគ ដោយបញ្ជាក់ថាជាទសភាគកំណត់ ឬទសភាគមិនកំណត់ខួប ៖
\(\dfrac{7}{8}\)
\(\dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{9}{20}\)
\(\dfrac{4}{11}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរជាចំនួនទសភាគ ៖
a. \(\dfrac{7}{8} = 0.875\) (ទសភាគកំណត់)
b. \(\dfrac{5}{6} = 0.8333\dots = 0.8\overline{3}\) (ទសភាគមិនកំណត់ខួប)
c. \(\dfrac{9}{20} = 0.45\) (ទសភាគកំណត់)
d. \(\dfrac{4}{11} = 0.3636\dots = 0.\overline{36}\) (ទសភាគមិនកំណត់ខួប)
ដៅចំណុច \(A\left(-\dfrac{3}{2}\right), B\left(\dfrac{1}{2}\right), C\left(\dfrac{7}{4}\right), D(-2), E\left(-\dfrac{1}{4}\right)\) នៅលើបន្ទាត់ចំនួនតែមួយ។
មើលដំណោះស្រាយ
ដៅចំណុចលើបន្ទាត់ចំនួន ៖ បំប្លែងជាទសភាគ ៖ \(A(-1.5), B(0.5), C(1.75), D(-2), E(-0.25)\)។ រៀបពីឆ្វេងទៅស្ដាំ ៖ \(D(-2) < A(-1.5) < E(-0.25) < B(0.5) < C(1.75)\)។
ប្រៀបធៀបគូនៃចំនួនសនិទានខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា \(<, >\) ឬ \(=\) ៖
\(\dfrac{4}{7}\) និង \(\dfrac{5}{9}\)
\(-\dfrac{5}{8}\) និង \(-\dfrac{7}{12}\)
\(\dfrac{-3}{5}\) និង \(-0.6\)
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រៀបធៀបចំនួនសនិទាន ៖
a. \(4 \times 9 = 36\) និង \(7 \times 5 = 35\)។ ព្រោះ \(36 > 35\) នោះ \(\dfrac{4}{7} > \dfrac{5}{9}\)។
b. \(-\dfrac{5}{8} = -\dfrac{15}{24}\) និង \(-\dfrac{7}{12} = -\dfrac{14}{24}\)។ ព្រោះ \(-15 < -14\) នោះ \(-\dfrac{5}{8} < -\dfrac{7}{12}\)។
c. \(\dfrac{-3}{5} = -0.6\)។ ដូចនេះ \(\dfrac{-3}{5} = -0.6\)។
ប្រៀបធៀបគូនៃចំនួនសនិទានខាងក្រោម ៖
\(-1\dfrac{3}{4}\) និង \(-\dfrac{7}{4}\)
\(\dfrac{11}{15}\) និង \(\dfrac{7}{10}\)
\(-2.35\) និង \(-2\dfrac{1}{3}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រៀបធៀបចំនួនសនិទាន ៖
a. \(-1\dfrac{3}{4} = -\dfrac{7}{4}\)។ ដូចនេះ \(-1\dfrac{3}{4} = -\dfrac{7}{4}\)។
b. \(\dfrac{11}{15} = \dfrac{22}{30} > \dfrac{21}{30} = \dfrac{7}{10}\)។
c. \(-2.35 = -\dfrac{235}{100} = -\dfrac{47}{20} = -\dfrac{141}{60}\) និង \(-2\dfrac{1}{3} = -\dfrac{7}{3} = -\dfrac{140}{60}\)។ ដូចនេះ \(-2.35 < -2\dfrac{1}{3}\)។
ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន (ពីតូចទៅធំ) ៖
មើលដំណោះស្រាយ
រៀបតាមលំដាប់កើន ៖ តម្រូវភាគបែងរួម \(12\) ៖ \(-\dfrac{12}{12} < -\dfrac{10}{12} < -\dfrac{8}{12} < 0 < \dfrac{7}{12} < \dfrac{9}{12}\)
ចូររៀបចំនួនខាងក្រោមតាមលំដាប់ចុះ (ពីធំទៅតូច) ៖
មើលដំណោះស្រាយ
រៀបតាមលំដាប់ចុះ ៖
រកចំនួនសនិទានចំនួន ៣ ដែលស្ថិតនៅចន្លោះ \(\dfrac{1}{3}\) និង \(\dfrac{1}{2}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនសនិទាន ៣ នៅចន្លោះ \(\dfrac{1}{3}\) និង \(\dfrac{1}{2}\) ៖ តម្រូវភាគបែង \(24\) ៖ \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{24}\) និង \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{12}{24}\)។ ចំនួន ៣ នោះអាចជា ៖ \(\dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8} , \dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12} , \dfrac{11}{24}\)។
រកចំនួនសនិទានចំនួន ២ ដែលស្ថិតនៅចន្លោះ \(-\dfrac{3}{5}\) និង \(-\dfrac{1}{2}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនសនិទាន ២ នៅចន្លោះ \(-\dfrac{3}{5}\) និង \(-\dfrac{1}{2}\) ៖ តម្រូវភាគបែង \(30\) ៖ \(-\dfrac{3}{5} = -\dfrac{18}{30}\) និង \(-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{15}{30}\)។ ចំនួន ២ នោះគឺ ៖ \(-\dfrac{17}{30} , -\dfrac{16}{30} = -\dfrac{8}{15}\)។
គណនាផលបូក និងដកប្រភាគដែលមានភាគបែងដូចគ្នា ៖
\(\dfrac{7}{15} + \dfrac{11}{15}\)
\(\dfrac{13}{18} - \dfrac{25}{18}\)
\(-\dfrac{9}{14} - \dfrac{5}{14}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាភាគបែងដូចគ្នា ៖
a. \(\dfrac{7+11}{15} = \dfrac{18}{15} = \dfrac{6}{5} = 1\dfrac{1}{5}\)
b. \(\dfrac{13-25}{18} = \dfrac{-12}{18} = -\dfrac{2}{3}\)
c. \(\dfrac{-9-5}{14} = \dfrac{-14}{14} = -1\)
គណនាផលបូក និងដកប្រភាគដែលមានភាគបែងខុសគ្នា ៖
\(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{15}\)
\(-\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{8}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាភាគបែងខុសគ្នា ៖
a. \(\dfrac{9+10}{12} = \dfrac{19}{12} = 1\dfrac{7}{12}\)
b. \(\dfrac{21-8}{30} = \dfrac{13}{30}\)
c. \(\dfrac{-10+9}{24} = -\dfrac{1}{24}\)
គណនាផលបូក និងដកចំនួនសនិទានចម្រុះ ៖
\(2\dfrac{1}{3} + 3\dfrac{3}{4}\)
\(5\dfrac{1}{6} - 2\dfrac{7}{9}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាចំនួនចម្រុះ ៖
a. \(\dfrac{7}{3} + \dfrac{15}{4} = \dfrac{28+45}{12} = \dfrac{73}{12} = 6\dfrac{1}{12}\)
b. \(\dfrac{31}{6} - \dfrac{25}{9} = \dfrac{93-50}{18} = \dfrac{43}{18} = 2\dfrac{7}{18}\)
គណនាផលបូក និងដកដែលមានចំនួនទសភាគ ៖
\(-0.75 + \dfrac{5}{6}\)
\(1.4 - \left(-\dfrac{7}{5}\right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាទសភាគ និងប្រភាគ ៖
a. \(-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{-9+10}{12} = \dfrac{1}{12}\)
b. \(\dfrac{7}{5} + \dfrac{7}{5} = \dfrac{14}{5} = 2.8\)
គណនាផលគុណចំនួនសនិទាន ៖
\(\dfrac{5}{12} \times \dfrac{8}{15}\)
\(\left(-\dfrac{9}{14}\right) \times \dfrac{21}{27}\)
\(\left(-\dfrac{16}{25}\right) \times \left(-\dfrac{35}{24}\right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលគុណ ៖
a. \(\dfrac{5 \times 8}{12 \times 15} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 3} = \dfrac{2}{9}\)
b. \(-\dfrac{9 \times 21}{14 \times 27} = -\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = -\dfrac{1}{2}\)
c. \(\dfrac{16 \times 35}{25 \times 24} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 3} = \dfrac{14}{15}\)
គណនាផលគុណចំនួនសនិទានមានចំនួនចម្រុះ ៖
\(1\dfrac{3}{5} \times \left(-2\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\left(-3\dfrac{1}{3}\right) \times \left(-1\dfrac{2}{5}\right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ផលគុណចំនួនចម្រុះ ៖
a. \(\dfrac{8}{5} \times \left(-\dfrac{9}{4}\right) = -\dfrac{2 \times 9}{5 \times 1} = -\dfrac{18}{5} = -3\dfrac{3}{5}\)
b. \(\left(-\dfrac{10}{3}\right) \times \left(-\dfrac{7}{5}\right) = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 1} = \dfrac{14}{3} = 4\dfrac{2}{3}\)
គណនាផលចែកចំនួនសនិទាន ៖
\(\dfrac{9}{16} \div \dfrac{15}{24}\)
\(\left(-\dfrac{14}{25}\right) \div \dfrac{21}{20}\)
\(\dfrac{33}{40} \div \left(-\dfrac{11}{30}\right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលចែក ៖
a. \(\dfrac{9}{16} \times \dfrac{24}{15} = \dfrac{3 \times 3}{2 \times 5} = \dfrac{9}{10}\)
b. \(-\dfrac{14}{25} \times \dfrac{20}{21} = -\dfrac{2 \times 4}{5 \times 3} = -\dfrac{8}{15}\)
c. \(\dfrac{33}{40} \times \left(-\dfrac{30}{11}\right) = -\dfrac{3 \times 3}{4 \times 1} = -\dfrac{9}{4} = -2\dfrac{1}{4}\)
គណនាផលចែកចំនួនសនិទាន ៖
\(\left(-4\dfrac{2}{3}\right) \div 1\dfrac{2}{7}\)
\(6 \div \left(-\dfrac{3}{4}\right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលចែក ៖
a. \(\left(-\dfrac{14}{3}\right) \div \dfrac{9}{7} = -\dfrac{14}{3} \times \dfrac{7}{9} = -\dfrac{98}{27} = -3\dfrac{17}{27}\)
b. \(6 \times \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -8\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈផ្ដុំ និងបំបែក ៖
\(A = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{11}{17} + \dfrac{4}{9} \times \dfrac{6}{17}\)
\(B = \dfrac{7}{12} \times \dfrac{19}{15} - \dfrac{7}{12} \times \dfrac{4}{15}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតាមលក្ខណៈបំបែក ៖
a. \(A = \dfrac{4}{9} \times \left(\dfrac{11}{17} + \dfrac{6}{17}\right) = \dfrac{4}{9} \times 1 = \dfrac{4}{9}\)
b. \(B = \dfrac{7}{12} \times \left(\dfrac{19}{15} - \dfrac{4}{15}\right) = \dfrac{7}{12} \times \dfrac{15}{15} = \dfrac{7}{12} \times 1 = \dfrac{7}{12}\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមគ្មានវង់ក្រចក ៖
\(P = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}\)
\(Q = \dfrac{5}{8} \div \dfrac{15}{16} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{8}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាតម្លៃកន្សោម ៖
a. \(P = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{9 - 4 + 10}{12} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}\)
b. \(Q = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{16}{15} - \dfrac{2 \times 9}{3 \times 8} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{8 - 9}{12} = -\dfrac{1}{12}\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមមានវង់ក្រចក ៖
\(M = \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\right) \times \left(\dfrac{8}{5} - \dfrac{4}{15}\right)\)
\(N = \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}\right) \div \left(\dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{4}\right)\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាកន្សោមមានវង់ក្រចក ៖
a. \(M = \left(\dfrac{8+9}{12}\right) \times \left(\dfrac{24-4}{15}\right) = \dfrac{17}{12} \times \dfrac{20}{15} = \dfrac{17}{12} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{17}{9} = 1\dfrac{8}{9}\)
b. \(N = \left(\dfrac{20-9}{24}\right) \div \left(\dfrac{7+3}{12}\right) = \dfrac{11}{24} \div \dfrac{10}{12} = \dfrac{11}{24} \times \dfrac{12}{10} = \dfrac{11}{20}\)
គណនាតម្លៃនៃកន្សោមប្រភាគជាន់ ៖
\(E = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}}{\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}}\)
\(F = \dfrac{1 - \dfrac{1}{3}}{1 + \dfrac{1}{3}}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាប្រភាគជាន់ ៖
a. \(E = \dfrac{\dfrac{8+3}{12}}{\dfrac{5-3}{6}} = \dfrac{\dfrac{11}{12}}{\dfrac{2}{6}} = \dfrac{11}{12} \times \dfrac{3}{1} = \dfrac{11}{4} = 2\dfrac{3}{4}\)
b. \(F = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\)
គណនាតម្លៃកន្សោមបន្ត ៖
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាកន្សោមបន្ត ៖
រកតម្លៃនៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \(x + \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{10}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
រកតម្លៃនៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \(\dfrac{2}{3} - x = \dfrac{5}{6}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
រកតម្លៃនៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \(\dfrac{3}{4} x = -\dfrac{9}{16}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
រកតម្លៃនៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \(x \div \left(-\dfrac{5}{6}\right) = \dfrac{12}{25}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
រកតម្លៃនៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \(\dfrac{2}{5} x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{15}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
រកតម្លៃនៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \(\dfrac{3}{4} (x - 2) = \dfrac{1}{2}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
រកតម្លៃនៃ \(x\) ពីសមីការ ៖ \(\dfrac{x+1}{3} - \dfrac{x-2}{4} = \dfrac{1}{2}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖ តម្រូវភាគបែងរួម \(12\) ៖
បុរសម្នាក់បានចំណាយ \(\dfrac{2}{5}\) នៃប្រាក់បៀវត្សរ៍លើថ្លៃម្ហូបអាហារ និង \(\dfrac{1}{4}\) លើថ្លៃជួលផ្ទះ។ បន្ទាប់ពីចំណាយទាំងពីរនេះ គាត់នៅសល់ប្រាក់ចំនួន \(280\) ដុល្លារ។ តើប្រាក់បៀវត្សរ៍សរុបរបស់គាត់មានចំនួនប៉ុន្មាន?
មើលដំណោះស្រាយ
ចំណោទប្រាក់បៀវត្សរ៍ ៖ ប្រភាគចំណាយសរុប ៖
ធុងសាំងរថយន្តមួយមានផ្ទុកសាំង \(\dfrac{3}{8}\) នៃចំណុះធុង។ បើគេចាក់សាំងបន្ថែមចំនួន \(25\) លីត្រទៀត នោះធុងពេញបាន \(\dfrac{7}{8}\) នៃចំណុះធុង។ គណនាចំណុះសរុបនៃធុងសាំងនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំណោទធុងសាំង ៖ ប្រភាគសាំងបន្ថែម \(25\) លីត្រ ៖
ក្នុងដំណើរទេសចរណ៍មួយ រថយន្តបានបើកបរ \(\dfrac{1}{3}\) នៃចម្ងាយផ្លូវសរុបនៅពេលព្រឹក និង \(\dfrac{2}{5}\) នៃចម្ងាយផ្លូវសរុបនៅពេលរសៀល។ នៅសល់ចម្ងាយ \(80\,\text{km}\) ទៀតទើបដល់គោលដៅ។ គណនាចម្ងាយផ្លូវសរុបនៃដំណើរទេសចរណ៍នោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំណោទដំណើរទេសចរណ៍ ៖ ប្រភាគចម្ងាយផ្លូវដែលបានបើកបរ ៖
គេមានក្រណាត់មួយដុំប្រវែង \(24\,\text{m}\)។ ជាងកាត់ដេរម្នាក់បានកាត់យក \(\dfrac{3}{8}\) នៃក្រណាត់ដើម្បីកាត់អាវ និង \(\dfrac{1}{3}\) នៃក្រណាត់ដើម្បីកាត់ខោ។ រកប្រវែងក្រណាត់ដែលនៅសល់។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំណោទក្រណាត់ ៖ ប្រវែងកាត់អាវ ៖ \(24 \times \dfrac{3}{8} = 9\,\text{m}\)។
ប្រវែងកាត់ខោ ៖ \(24 \times \dfrac{1}{3} = 8\,\text{m}\)។
ប្រវែងក្រណាត់នៅសល់ ៖ \(24 - (9 + 8) = 7\,\text{m}\)។
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលគុណសម្រួល ៖
គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖
មើលដំណោះស្រាយ
គណនាផលគុណសម្រួល ៖
គណនាផលបូកនៃកន្សោមប្រភាគ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ផលបូក Telescoping ៖ ដោយ \(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\) ៖
គណនាផលបូក ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ផលបូក Telescoping គម្លាត ២ ៖ ដោយ \(\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)\) ៖
បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(a, b, c\) ជាចំនួនសនិទានវិជ្ជមាន នោះ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញលក្ខណៈ ៖
\(\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\) ពិតជានិច្ច តាមនិយមន័យផលបូកប្រភាគភាគបែងដូចគ្នា។
ប៉ុន្តែ \(\dfrac{a}{b+c} \ne \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c}\)។ ឧទាហរណ៍ យក \(a=1, b=1, c=1\) ៖
\(\dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}\) រីឯ \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\)។ ដោយ \(\dfrac{1}{2} \ne 2\) សមភាពមិនពិតឡើយ។
រកគ្រប់ចំនួនគត់ \(n\) ដើម្បីឱ្យកន្សោម \(P = \dfrac{n+5}{n-2}\) មានតម្លៃជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប។
មើលដំណោះស្រាយ
រកតម្លៃចំនួនគត់ \(n\) ៖
តួចែកនៃ \(7\) គឺ \(\pm 1 , \pm 7\) ៖
\(n-2 = 1 \implies n = 3\)
\(n-2 = -1 \implies n = 1\)
\(n-2 = 7 \implies n = 9\)
\(n-2 = -7 \implies n = -5\)
ដូចនេះ \(n \in \{-5, 1, 3, 9\}\)។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១ ចំនួនសនិទាន — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី