មេរៀនទី ១៨ : មាឌ និងក្រឡាផ្ទៃខាងនៃសូលីត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៧

ប្រវត្តិនៃធរណីមាត្រលំហ និងរង្វាស់មាឌ

«សូលីត» (Solids) គឺជារូបធរណីមាត្រដែលមានវិមាត្របី (បណ្ដោយ ទទឹង និងកម្ពស់) នៅក្នុងលំហដែលយើងរស់នៅ។ តាំងពីសម័យបុរាណ មនុស្សជាតិនៅតំបន់ទន្លេនីល (អេស៊ីបបុរាណ) និងមេសូប៉ូតាមី បានសិក្សាពីរូបរាងសូលីត ដើម្បីគណនាទំហំដី មាឌស្ដុកស្រូវ និងកសាងសំណង់ស្ថាបត្យកម្មដ៏អស្ចារ្យដូចជា មហាកំពែង និងពីរ៉ាមីត។ គណិតវិទូក្រិកបុរាណលោក អាស៊ីម៉ែត (Archimedes, ២៨៧–២១២ មុន គ.ស.) បានរកឃើញរូបមន្តគណនាមាឌ និងក្រឡាផ្ទៃស៊ីឡាំង និងស្វ៊ែរ ព្រមទាំងបានចាត់ទុករបកគំហើញស៊ីឡាំងចារឹកក្រៅស្វ៊ែរថាជាស្នាដៃដ៏ឧត្តុង្គឧត្តមបំផុតក្នុងជីវិតរបស់លោក។

នៅក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ និងស្ថាបត្យកម្មខ្មែរ បុព្វបុរសខ្មែរនាសម័យអង្គរបានបង្ហាញពីទេពកោសល្យដ៏មហស្ចារ្យក្នុងការប្រើប្រាស់ធរណីមាត្រលំហ។ ដុំថ្មបាយក្រៀម និងថ្មភក់រាប់លានដុំត្រូវបានកាត់ និងរចនាជារាងប្រលេពីប៉ែតកែង និងគូបយ៉ាងស្មើស្អាត ដើម្បីផ្គុំគ្នាកសាងប្រាសាទអង្គរវត្ត ប្រាសាទបាយ័ន និងប្រាសាទបុរាណជាច្រើនទៀត។ លើសពីនេះ បុព្វបុរសខ្មែរបានគណនាមាឌទឹក និងចំណុះយ៉ាងច្បាស់លាស់ក្នុងការជីកកសាងអាងស្ដុកទឹកដ៏ធំសម្បើម (បារាយណ៍ខាងលិច និងបារាយណ៍ខាងកើត) ដែលស្ដុកទឹកបានរាប់សិបលានម៉ែត្រគូបសម្រាប់បម្រើដល់កសិកម្ម។ ក្នុងយុគសម័យទំនើប ការគណនាមាឌ និងក្រឡាផ្ទៃសូលីតគឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិស្វកម្មសំណង់ ឧស្សាហកម្មវេចខ្ចប់ និងការរចនាផលិតផល។

សញ្ញាណទូទៅនៃសូលីត និងការបែងចែក

សូលីតគឺជាផ្នែកមួយនៃលំហដែលព័ទ្ធជុំវិញដោយផ្ទៃបិទជិត។ គេបែងចែកសូលីតជាពីរប្រភេទធំៗ ៖

ពហុមុខ (Polyhedra) ៖ ជាសូលីតដែលព័ទ្ធជុំវិញដោយពហុកោណប្លង់ (មុខនីមួយៗជាពហុកោណ) ដូចជា ព្រីសត្រង់, ប្រលេពីប៉ែតកែង, គូប, ពីរ៉ាមីត។
សូលីតបង្វិល (Solids of Revolution) ៖ ជាសូលីតដែលកើតឡើងពីការបង្វិលរូបធរណីមាត្រប្លង់ជុំវិញអ័ក្សមួយ ដូចជា ស៊ីឡាំង (បង្វិលចតុកោណកែង), កោន (បង្វិលត្រីកោណកែង), ស្វ៊ែរ (បង្វិលកន្លះរង្វង់)។
ធាតុគ្រឹះ ៖ មុខ (Face), កំពូល (Vertex), ទ្រនុង (Edge), កម្ពស់ (Height), ក្រឡាផ្ទៃខាង ($S_L$), ក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ ($S_T$) និងមាឌ ($V$)។

សញ្ញាណសូលីត និងប្រលេពីប៉ែតកែង

ប្រលេពីប៉ែតកែង ៖ ធាតុ ក្រឡាផ្ទៃ និងមាឌ

និយមន័យ ៖ ប្រលេពីប៉ែតកែង (Cuboid) គឺជាសូលីតដែលមានមុខទាំង ៦ ជាចតុកោណកែង។
ធាតុគ្រឹះ ៖ មានកំពូល ៨, ទ្រនុង ១២, មុខ ៦ និងវិមាត្រ ៣ គឺ បណ្ដោយ $a$, ទទឹង $b$, កម្ពស់ $h$។
ក្រឡាផ្ទៃ ៖ ផ្ទៃបាត $B = a \times b$, ផ្ទៃខាង $S_L = 2(a + b)h$, ផ្ទៃទាំងអស់ $S_T = S_L + 2B$
មាឌប្រលេពីប៉ែតកែង ៖ $V = a \times b \times h = B \times h$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

ប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមានបណ្ដោយ $a = 8\text{ cm}$, ទទឹង $b = 5\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 4\text{ cm}$។
ក. គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$ និងក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$ នៃប្រលេពីប៉ែតកែង។
ខ. គណនាមាឌ $V$ នៃប្រលេពីប៉ែតកែងនោះ។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ផ្ទៃខាង ៖ $S_L = 2(8 + 5) \times 4 = 104\text{ cm}^2$ ផ្ទៃទាំងអស់ ៖ $S_T = 104 + 2(8 \times 5) = 184\text{ cm}^2$
មាឌ ៖ $V = 8 \times 5 \times 4 = 160\text{ cm}^3$។ ដូចនេះ $\boxed{S_L = 104\text{ cm}^2}$, $\boxed{S_T = 184\text{ cm}^2}$, $\boxed{V = 160\text{ cm}^3}$

ប្រលេពីប៉ែតកែង

១. ប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមានវិមាត្រ $10\text{ dm}, 6\text{ dm}, 4\text{ dm}$។ គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង និងមាឌរបស់វា។
២. ធុងមួយរាងប្រលេពីប៉ែតកែងមានមាឌ $240\text{ cm}^3$ និងផ្ទៃបាត $30\text{ cm}^2$។ គណនាកម្ពស់នៃធុងនោះ។

គូប

គូប ៖ ធាតុ ក្រឡាផ្ទៃ និងមាឌ

និយមន័យ ៖ គូប (Cube) គឺជាប្រលេពីប៉ែតកែងពិសេសដែលមានវិមាត្រទាំងបីស្មើគ្នា ($a = b = h$)។
លក្ខណៈ ៖ មុខទាំង ៦ ជាការ៉េប៉ុនៗគ្នា, មានទ្រនុង ១២ ប្រវែងស្មើគ្នា $a$ និងមានកំពូល ៨។
ក្រឡាផ្ទៃ ៖ ផ្ទៃបាត $B = a^2$, ផ្ទៃខាង $S_L = 4a^2$, ផ្ទៃទាំងអស់ $S_T = 6a^2$
មាឌគូប ៖ $V = a \times a \times a = a^3 \quad{} \implies \quad{} a = \sqrt[3]{V}$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គូបមួយមានប្រវែងទ្រនុង $a = 6\text{ cm}$។
ក. គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$ និងក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$ នៃគូបនោះ។
ខ. គណនាមាឌ $V$ នៃគូប។ បើគូបមួយទៀតមានមាឌ $V' = 125\text{ cm}^3$ រកទ្រនុង $a'$ របស់វា។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ផ្ទៃខាង ៖ $S_L = 4a^2 = 4 \times 6^2 = 144\text{ cm}^2$ ផ្ទៃទាំងអស់ ៖ $S_T = 6a^2 = 6 \times 6^2 = 216\text{ cm}^2$
មាឌគូប ៖ $V = a^3 = 6^3 = 216\text{ cm}^3$ ទ្រនុងគូបទីពីរ ៖ $a' = \sqrt[3]{125} = 5\text{ cm}$

គូប

១. គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ និងមាឌនៃគូបមួយដែលមានទ្រនុង $a = 4.5\text{ dm}$។
២. គូបមួយមានក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T = 150\text{ cm}^2$។ រកប្រវែងទ្រនុង និងមាឌនៃគូបនោះ។

ស៊ីឡាំង និងក្រឡាផ្ទៃខាងនៃស៊ីឡាំង

ស៊ីឡាំង និងក្រឡាផ្ទៃខាង ផ្ទៃសរុប

និយមន័យ ៖ ស៊ីឡាំង (Cylinder) ជាសូលីតដែលមានបាតពីរជារង្វង់ស្របនិងប៉ុនគ្នា (កាំ $R$) និងផ្ទៃខាងជាផ្ទៃកោង។
រូបពន្លាត ៖ ផ្ទៃខាងពន្លាតជារាងចតុកោណកែងដែលមានបណ្ដោយជាបរិមាត្របាត ($p = 2\pi R$) និងទទឹងជាកម្ពស់ ($h$)។
ក្រឡាផ្ទៃខាង ៖ $S_L = p \times h = 2\pi R h = \pi d h$
ក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ ៖ $S_T = S_L + 2B = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R (h + R)$

ឧទាហរណ៍

ស៊ីឡាំងមួយមានកាំបាត $R = 7\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 10\text{ cm}$ (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$)។
ក. គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$ នៃស៊ីឡាំង។
ខ. គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$ នៃស៊ីឡាំងនោះ។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ក្រឡាផ្ទៃខាង ៖ $S_L = 2\pi R h = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 440\text{ cm}^2$។ ដូចនេះ $\boxed{S_L = 440\text{ cm}^2}$
ផ្ទៃបាតទាំងពីរ ៖ $2B = 2\pi R^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 308\text{ cm}^2 \implies S_T = 440 + 308 = 748\text{ cm}^2$

ក្រឡាផ្ទៃស៊ីឡាំង

១. គណនាផ្ទៃខាងនៃបំពង់រាងស៊ីឡាំងដែលមានអង្កត់ផ្ចិតបាត $d = 14\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 20\text{ cm}$ (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$)។
២. ធុងស៊ីឡាំងបិទជិតមួយមានកាំ $R = 3\text{ m}$ និងកម្ពស់ $h = 5\text{ m}$។ គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់នៃធុងនោះ (យក $\pi \approx 3.14$)។

មាឌនៃស៊ីឡាំង

រូបមន្តមាឌស៊ីឡាំង និងស៊ីឡាំងប្រហោង

មាឌស៊ីឡាំង ៖ ស្មើនឹងក្រឡាផ្ទៃបាតគុណនឹងកម្ពស់ ៖ $V = B \times h = \pi R^2 h$
រូបមន្តទាញ ៖ កម្ពស់ $h = \dfrac{V}{\pi R^2}$ និង កាំ $R = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}$
ស៊ីឡាំងប្រហោង ៖ $V = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi (R^2 - r^2) h$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

ស៊ីឡាំងមួយមានកាំបាត $R = 5\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 14\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$)។
ក. គណនាមាឌ $V$ នៃស៊ីឡាំងនោះ។
ខ. បើស៊ីឡាំងមួយទៀតមានមាឌ $V' = 628\text{ cm}^3$ និងកម្ពស់ $h' = 8\text{ cm}$ ចូររកកាំបាត $R'$ របស់វា។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
មាឌស៊ីឡាំង ៖ $V = \pi R^2 h = 3.14 \times 5^2 \times 14 = 1099\text{ cm}^3$។ ដូចនេះ $\boxed{V = 1099\text{ cm}^3}$
កាំបាតស៊ីឡាំងទីពីរ ៖ $R'^2 = \dfrac{628}{3.14 \times 8} = 25 \implies R' = 5\text{ cm}$។ ដូចនេះ $\boxed{R' = 5\text{ cm}}$

មាឌស៊ីឡាំង

១. គណនាមាឌនៃធុងស៊ីឡាំងមួយដែលមានកាំ $R = 3.5\text{ dm}$ និងកម្ពស់ $h = 10\text{ dm}$ (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$)។
២. បំពង់ទីបដែកប្រហោងមួយមានកម្ពស់ $h = 1\text{ m}$, កាំក្រៅ $R = 10\text{ cm}$ និងកាំក្នុង $r = 8\text{ cm}$។ គណនាមាឌសាច់ដែកនៃបំពង់នោះ (យក $\pi \approx 3.14$)។

ឯកតារង្វាស់មាឌ ចំណុះ និងរូបផ្គុំសូលីត

ឯកតារង្វាស់មាឌ ចំណុះ និងរូបផ្គុំសូលីត

ឯកតារង្វាស់មាឌ ៖ ម៉ែត្រគូប ($\text{m}^3$) ជាខ្នាតគោល ៖ $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3$
ចំណុះ ៖ $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3, \quad{} 1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3, \quad{} 1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L} = 1\text{ kL}$
ទម្ងន់ទឹកបរិសុទ្ធ ៖ $1$ L ទឹក $ = 1\text{ kg} \implies 1\text{ m}^3$ ទឹក $ = 1\,000\text{ kg} = 1$ តោន
រូបផ្គុំសូលីត ៖ មាឌនៃរូបផ្គុំស្មើនឹងផលបូក ឬផលដកនៃមាឌសូលីតគ្រឹះនីមួយៗ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

អាងទឹកមួយរាងប្រលេពីប៉ែតកែងមានបណ្ដោយ $3\text{ m}$, ទទឹង $2\text{ m}$ និងជម្រៅ $1.5\text{ m}$។
ក. គណនាមាឌអាងទឹកនោះគិតជាម៉ែត្រគូប ($\text{m}^3$)។
ខ. តើអាងនោះអាចស្ដុកទឹកបានប៉ុន្មានលីត្រ ($\text{L}$)? បើគេចាក់ទឹកចូល $7\,200\text{ L}$ តើទឹកឡើងបានកម្ពស់ប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
មាឌអាង ៖ $V = 3 \times 2 \times 1.5 = 9\text{ m}^3$ ចំណុះ ៖ $9 \times 1\,000 = 9\,000\text{ L}$
កម្ពស់ទឹក ៖ មាឌទឹក $7\,200\text{ L} = 7.2\text{ m}^3 \implies h_{\text{ទឹក}} = \dfrac{7.2}{3 \times 2} = 1.2\text{ m}$។ ដូចនេះ $\boxed{h_{\text{ទឹក}} = 1.2\text{ m}}$

ឯកតារង្វាស់ និងរូបផ្គុំ

១. បំបែកខ្នាត ៖ ក. $4.5\text{ m}^3 = \dots\dots\text{ dm}^3$ ខ. $2\,500\text{ cm}^3 = \dots\dots\text{ L}$
២. ធុងស៊ីឡាំងមួយមានកាំបាត $R = 1\text{ m}$ និងកម្ពស់ $h = 2\text{ m}$។ រកចំណុះធុងនោះគិតជាលីត្រ (យក $\pi \approx 3.14$)។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមានបណ្ដោយ $a = 12\text{ cm}$, ទទឹង $b = 8\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 5\text{ cm}$ ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$
គណនាមាឌ $V$ នៃប្រលេពីប៉ែតកែង

មើលដំណោះស្រាយ

$S_L = 2(a+b)h = 2(12 + 8) \times 5 = 200\text{ cm}^2$
$V = a \times b \times h = 12 \times 8 \times 5 = 480\text{ cm}^3$

២លំហាត់ទី ២

ប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមានវិមាត្រ $15\text{ dm}, 10\text{ dm}, 6\text{ dm}$ ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$
គណនាមាឌគិតជាដេស៊ីម៉ែត្រគូប ($\text{dm}^3$)

មើលដំណោះស្រាយ

$S_T = 2(15 \times 10 + 10 \times 6 + 15 \times 6) = 600\text{ dm}^2$
$V = 15 \times 10 \times 6 = 900\text{ dm}^3$

៣លំហាត់ទី ៣

ប្រអប់មួយរាងប្រលេពីប៉ែតកែងមានផ្ទៃបាត $B = 48\text{ cm}^2$ និងកម្ពស់ $h = 7.5\text{ cm}$ ៖

គណនាមាឌនៃប្រអប់នោះ
បើបណ្ដោយ $a = 8\text{ cm}$ រកទទឹង $b$

មើលដំណោះស្រាយ

$V = B \times h = 48 \times 7.5 = 360\text{ cm}^3$
$b = \frac{B}{a} = \frac{48}{8} = 6\text{ cm}$

៤លំហាត់ទី ៤

បន្ទប់រៀនមួយមានបណ្ដោយ $9\text{ m}$, ទទឹង $6\text{ m}$ និងកម្ពស់ $3.5\text{ m}$ ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃជញ្ជាំងទាំង ៤ (ផ្ទៃខាង)
គណនាមាឌខ្យល់នៅក្នុងបន្ទប់នោះ

មើលដំណោះស្រាយ

$S_L = 2(9 + 6) \times 3.5 = 105\text{ m}^2$
$V = 9 \times 6 \times 3.5 = 189\text{ m}^3$

៥លំហាត់ទី ៥

ប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមានមាឌ $V = 720\text{ cm}^3$ និងផ្ទៃបាត $B = 60\text{ cm}^2$ ៖

គណនាកម្ពស់នៃប្រលេពីប៉ែតកែង
បើទទឹង $b = 6\text{ cm}$ រកបណ្ដោយ $a$

មើលដំណោះស្រាយ

$h = \frac{V}{B} = \frac{720}{60} = 12\text{ cm}$
$a = \frac{B}{b} = \frac{60}{6} = 10\text{ cm}$

៦លំហាត់ទី ៦

ធុងប្រេងមួយរាងប្រលេពីប៉ែតកែងមានបណ្ដោយ $80\text{ cm}$, ទទឹង $50\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $60\text{ cm}$ ៖

គណនាមាឌធុងគិតជា $\text{cm}^3$
គណនាចំណុះធុងគិតជាលីត្រ ($\text{L}$)

មើលដំណោះស្រាយ

$V = 80 \times 50 \times 60 = 240\,000\text{ cm}^3$
ចំណុះគិតជាលីត្រ ៖
$\frac{240\,000}{1000} = 240\text{ L}$

៧លំហាត់ទី ៧

ដុំឥដ្ឋមួយរាងប្រលេពីប៉ែតកែងមានវិមាត្រ $20\text{ cm}, 10\text{ cm}, 5\text{ cm}$ ៖

គណនាមាឌដុំឥដ្ឋមួយដុំ
រកមាឌឥដ្ឋចំនួន $1\,000$ ដុំ គិតជា $\text{m}^3$

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌ ១ ដុំ ៖ $20 \times 10 \times 5 = 1000\text{ cm}^3$
មាឌ ១០០០ ដុំ ៖
$1000 \times 1000 = 1\,000\,000\text{ cm}^3 = 1\text{ m}^3$

៨លំហាត់ទី ៨

ប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមានផលបូកវិមាត្រទាំងបី $a + b + h = 24\text{ cm}$ ៖

គណនាផលបូកប្រវែងទ្រនុងទាំង ១២
បើ $a = 10\text{ cm}, b = 8\text{ cm}$ រកមាឌ $V$

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក ១២ ទ្រនុង ៖ $4 \times 24 = 96\text{ cm}$
$h = 24 - (10 + 8) = 6\text{ cm}$។
មាឌ ៖ $V = 10 \times 8 \times 6 = 480\text{ cm}^3$

៩លំហាត់ទី ៩

ប្រអប់ក្រដាសមួយគ្មានគម្របលើ មានបណ្ដោយ $25\text{ cm}$, ទទឹង $15\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $10\text{ cm}$ ៖

គណនាផ្ទៃក្រដាសដែលត្រូវប្រើធ្វើប្រអប់
គណនាមាឌនៃប្រអប់នោះ

មើលដំណោះស្រាយ

គ្មានគម្រប ៖
$S = 2(25 + 15) \times 10 + 25 \times 15 = 1175\text{ cm}^2$
$V = 25 \times 15 \times 10 = 3750\text{ cm}^3$

១០លំហាត់ទី ១០

ប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមាន $a = 4\text{ dm}, b = 2.5\text{ dm}, h = 1.2\text{ dm}$ ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$
គណនាមាឌ $V$ គិតជាលីត្រ ($\text{L}$)

មើលដំណោះស្រាយ

$S_T = 2(10 + 3 + 4.8) = 35.6\text{ dm}^2$
$V = 4 \times 2.5 \times 1.2 = 12\text{ dm}^3 = 12\text{ L}$

១១លំហាត់ទី ១១

គូបមួយមានប្រវែងទ្រនុង $a = 8\text{ cm}$ ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$
គណនាមាឌ $V$ នៃគូបនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

$S_L = 4a^2 = 4 \times 64 = 256\text{ cm}^2$
$V = a^3 = 8^3 = 512\text{ cm}^3$

១២លំហាត់ទី ១២

គូបមួយមានទ្រនុង $a = 10\text{ dm}$ ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$
គណនាមាឌគិតជា $\text{m}^3$

មើលដំណោះស្រាយ

$S_T = 6a^2 = 6 \times 100 = 600\text{ dm}^2$
$V = 10^3 = 1000\text{ dm}^3 = 1\text{ m}^3$

១៣លំហាត់ទី ១៣

គូបមួយមានក្រឡាផ្ទៃមុខមួយ $B = 49\text{ cm}^2$ ៖

រកប្រវែងទ្រនុង $a$ នៃគូប
គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ និងមាឌនៃគូប

មើលដំណោះស្រាយ

ទ្រនុង ៖ $a = \sqrt{49} = 7\text{ cm}$
$S_T = 6 \times 49 = 294\text{ cm}^2$។
$V = 7^3 = 343\text{ cm}^3$

១៤លំហាត់ទី ១៤

គូបមួយមានក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T = 96\text{ cm}^2$ ៖

រកប្រវែងទ្រនុង $a$ នៃគូប
គណនាមាឌ $V$ នៃគូបនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

$6a^2 = 96 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\text{ cm}$
$V = 4^3 = 64\text{ cm}^3$

១៥លំហាត់ទី ១៥

គូបមួយមានមាឌ $V = 343\text{ cm}^3$ ៖

រកប្រវែងទ្រនុង $a$ នៃគូប
គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$ នៃគូប

មើលដំណោះស្រាយ

$a = \sqrt[3]{343} = 7\text{ cm}$
$S_L = 4 \times 7^2 = 196\text{ cm}^2$

១៦លំហាត់ទី ១៦

ធុងទឹកមួយរាងគូបមានទ្រនុងប្រវែង $1.2\text{ m}$ ៖

គណនាមាឌធុងគិតជា $\text{m}^3$
រកចំណុះទឹកអតិបរមាគិតជាលីត្រ ($\text{L}$)

មើលដំណោះស្រាយ

$V = 1.2^3 = 1.728\text{ m}^3$
ចំណុះ ៖ $1.728\text{ m}^3 = 1728\text{ L}$

១៧លំហាត់ទី ១៧

ដុំស្ករសូកូឡារាងគូបមានទ្រនុង $3\text{ cm}$ ចំនួន ២៤ ដុំ ៖

គណនាមាឌស្ករមួយដុំ
គណនាមាឌស្ករសរុបទាំង ២៤ ដុំ

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌ ១ ដុំ ៖ $3^3 = 27\text{ cm}^3$
មាឌ ២៤ ដុំ ៖ $24 \times 27 = 648\text{ cm}^3$

១៨លំហាត់ទី ១៨

គូបមួយមានផលបូកប្រវែងទ្រនុងទាំង ១២ ស្មើនឹង $84\text{ cm}$ ៖

រកប្រវែងទ្រនុង $a$ មួយៗ
គណនាមាឌ $V$ នៃគូបនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

$12a = 84 \Rightarrow a = 7\text{ cm}$
$V = 7^3 = 343\text{ cm}^3$

១៩លំហាត់ទី ១៩

គូបដែកមួយមានទ្រនុង $a = 5\text{ cm}$ ហើយដង់ស៊ីតេដែកគឺ $7.8\text{ g/cm}^3$ ៖

គណនាមាឌនៃដុំដែកនោះ
គណនាម៉ាសនៃដុំដែកគិតជាក្រាម ($\text{g}$)

មើលដំណោះស្រាយ

$V = 5^3 = 125\text{ cm}^3$
ម៉ាស ៖ $m = 7.8 \times 125 = 975\text{ g}$

២០លំហាត់ទី ២០

គេមានគូបពីរ ៖ គូប $A$ មានទ្រនុង $2\text{ cm}$ និងគូប $B$ មានទ្រនុង $6\text{ cm}$ ៖

រកផលធៀបនៃផ្ទៃទាំងអស់ $\frac{S_T(A)}{S_T(B)}$
រកផលធៀបនៃមាឌ $\frac{V(A)}{V(B)}$

មើលដំណោះស្រាយ

$\frac{S_T(A)}{S_T(B)} = \left(\frac{2}{6}\right)^2 = \frac{1}{9}$
$\frac{V(A)}{V(B)} = \left(\frac{2}{6}\right)^3 = \frac{1}{27}$

២១លំហាត់ទី ២១

ស៊ីឡាំងមួយមានកាំបាត $R = 5\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 14\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាបរិមាត្ររង្វង់បាត $p$
គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$

មើលដំណោះស្រាយ

$p = 2 \times 3.14 \times 5 = 31.4\text{ cm}$
$S_L = 31.4 \times 14 = 439.6\text{ cm}^2$

២២លំហាត់ទី ២២

ស៊ីឡាំងមួយមានកាំ $R = 7\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 15\text{ cm}$ (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$) ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$
គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$

មើលដំណោះស្រាយ

$S_L = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 15 = 660\text{ cm}^2$
$S_T = 660 + 2\left(\frac{22}{7} \times 49\right) = 968\text{ cm}^2$

២៣លំហាត់ទី ២៣

ស៊ីឡាំងមួយមានអង្កត់ផ្ចិតបាត $d = 20\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 25\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

រកកាំបាត $R$ និងផ្ទៃបាត $B$
គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$

មើលដំណោះស្រាយ

$R = 10\text{ cm}$, $B = 3.14 \times 100 = 314\text{ cm}^2$
$S_L = 2 \times 3.14 \times 10 \times 25 = 1570\text{ cm}^2$

២៤លំហាត់ទី ២៤

បំពង់ទឹកដែកមួយមានកាំ $R = 0.5\text{ m}$ និងប្រវែង $h = 10\text{ m}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាផ្ទៃខាងក្រៅនៃបំពង់ទឹក
គណនាថ្លៃលាបថ្នាំបើ $1\text{ m}^2$ តម្លៃ $2$ ដុល្លារ

មើលដំណោះស្រាយ

$S_L = 2 \times 3.14 \times 0.5 \times 10 = 31.4\text{ m}^2$
ថ្លៃលាប ៖ $31.4 \times 2 = 62.8\$$

២៥លំហាត់ទី ២៥

ស៊ីឡាំងមួយមានក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L = 314\text{ cm}^2$ និងកម្ពស់ $h = 10\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

រកកាំបាត $R$ នៃស៊ីឡាំង
គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$

មើលដំណោះស្រាយ

$314 = 2 \times 3.14 \times R \times 10 \Rightarrow R = 5\text{ cm}$
$S_T = 314 + 2(3.14 \times 25) = 471\text{ cm}^2$

២៦លំហាត់ទី ២៦

កំប៉ុងទឹកដោះគោរាងស៊ីឡាំងមានអង្កត់ផ្ចិត $8\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $12\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃស្លាកបិទជុំវិញកំប៉ុង
គណនាផ្ទៃសន្លឹកលោហៈធ្វើកំប៉ុងទាំងមូល

មើលដំណោះស្រាយ

$R = 4\text{ cm} \Rightarrow S_L = 2 \times 3.14 \times 4 \times 12 = 301.44\text{ cm}^2$
$S_T = 301.44 + 2(3.14 \times 16) = 401.92\text{ cm}^2$

២៧លំហាត់ទី ២៧

ស៊ីឡាំងមួយមានក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T = 462\text{ cm}^2$ និងកាំ $R = 7\text{ cm}$ (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$) ៖

គណនាផ្ទៃបាតទាំងពីរ $2B$
រកផ្ទៃខាង $S_L$ និងកម្ពស់ $h$

មើលដំណោះស្រាយ

$2B = 2 \times \frac{22}{7} \times 49 = 308\text{ cm}^2$
$S_L = 462 - 308 = 154\text{ cm}^2$។
$h = \frac{154}{44} = 3.5\text{ cm}$

២៨លំហាត់ទី ២៨

ស៊ីឡាំងមួយមានកម្ពស់ $h$ ស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតបាត $d = 2R$ ដោយ $R = 4\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃខាង $S_L$
គណនាក្រឡាផ្ទៃទាំងអស់ $S_T$

មើលដំណោះស្រាយ

$h = 2(4) = 8\text{ cm} \Rightarrow S_L = 2 \times 3.14 \times 4 \times 8 = 200.96\text{ cm}^2$
$S_T = 200.96 + 2(3.14 \times 16) = 301.44\text{ cm}^2$

២៩លំហាត់ទី ២៩

សសរផ្ទះរាងស៊ីឡាំងចំនួន ៤ ដើម មានអង្កត់ផ្ចិត $0.4\text{ m}$ និងកម្ពស់ $3.5\text{ m}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាផ្ទៃខាងនៃសសរមួយដើម
គណនាផ្ទៃខាងសរុបនៃសសរទាំង ៤ ដើម

មើលដំណោះស្រាយ

សសរ ១ ដើម ៖
$S_L = 3.14 \times 0.4 \times 3.5 = 4.396\text{ m}^2$
៤ ដើម ៖ $4 \times 4.396 = 17.584\text{ m}^2$

៣០លំហាត់ទី ៣០

ស៊ីឡាំងមួយមានកាំ $R = 6\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 10\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាផលធៀប $\frac{S_L}{2B}$
គណនាផលធៀប $\frac{S_L}{S_T}$

មើលដំណោះស្រាយ

$\frac{S_L}{2B} = \frac{2\pi(6)(10)}{2\pi(6^2)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
$\frac{S_L}{S_T} = \frac{120\pi}{192\pi} = \frac{5}{8}$

៣១លំហាត់ទី ៣១

ស៊ីឡាំងមួយមានកាំបាត $R = 4\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 10\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃបាត $B$
គណនាមាឌ $V$ នៃស៊ីឡាំង

មើលដំណោះស្រាយ

$B = 3.14 \times 16 = 50.24\text{ cm}^2$
$V = 50.24 \times 10 = 502.4\text{ cm}^3$

៣២លំហាត់ទី ៣២

ស៊ីឡាំងមួយមានអង្កត់ផ្ចិតបាត $d = 14\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 20\text{ cm}$ (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$) ៖

រកកាំបាត $R$ នៃស៊ីឡាំង
គណនាមាឌ $V$ នៃស៊ីឡាំង

មើលដំណោះស្រាយ

$R = \frac{14}{2} = 7\text{ cm}$
$V = \frac{22}{7} \times 49 \times 20 = 3080\text{ cm}^3$

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

ស៊ីឡាំងមួយមានមាឌ $V = 628\text{ cm}^3$ និងកាំបាត $R = 5\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃបាត $B$
គណនាកម្ពស់ $h$ នៃស៊ីឡាំង

មើលដំណោះស្រាយ

$B = 3.14 \times 25 = 78.5\text{ cm}^2$
$h = \frac{628}{78.5} = 8\text{ cm}$

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

ស៊ីឡាំងមួយមានមាឌ $V = 1\,540\text{ cm}^3$ និងកម្ពស់ $h = 10\text{ cm}$ (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$) ៖

គណនាក្រឡាផ្ទៃបាត $B$
រកកាំបាត $R$ នៃស៊ីឡាំង

មើលដំណោះស្រាយ

$B = \frac{1540}{10} = 154\text{ cm}^2$
$\frac{22}{7}R^2 = 154 \Rightarrow R^2 = 49 \Rightarrow R = 7\text{ cm}$

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

ធុងស្ដុកប្រេងរាងស៊ីឡាំងមានកាំបាត $R = 2\text{ m}$ និងកម្ពស់ $h = 5\text{ m}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាមាឌធុងគិតជា $\text{m}^3$
គណនាចំណុះប្រេងគិតជាលីត្រ ($\text{L}$)

មើលដំណោះស្រាយ

$V = 3.14 \times 4 \times 5 = 62.8\text{ m}^3$
ចំណុះ ៖ $62.8 \times 1000 = 62\,800\text{ L}$

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

កែវទឹកមួយរាងស៊ីឡាំងមានកាំ $R = 3\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 12\text{ cm}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាមាឌទឹកពេញកែវគិតជា $\text{cm}^3$
បើគេចាក់ទឹកចូលកម្ពស់ $8\text{ cm}$ រកមាឌទឹក

មើលដំណោះស្រាយ

ពេញកែវ ៖ $3.14 \times 9 \times 12 = 339.12\text{ cm}^3$
កម្ពស់ $8\text{ cm}$ ៖ $3.14 \times 9 \times 8 = 226.08\text{ cm}^3$

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

បំពង់ទីបដែកប្រហោងមួយមានកាំក្រៅ $R = 6\text{ cm}$, កាំក្នុង $r = 4\text{ cm}$ និងកម្ពស់ $h = 20\text{ cm}$ ៖

គណនាផ្ទៃមុខកាត់ដែក $B_{\text{ដែក}}$ (យក $\pi \approx 3.14$)
គណនាមាឌសាច់ដែកនៃបំពង់នោះ

មើលដំណោះស្រាយ

$B_{\text{ដែក}} = 3.14(36 - 16) = 62.8\text{ cm}^2$
មាឌសាច់ដែក ៖ $62.8 \times 20 = 1256\text{ cm}^3$

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

ស៊ីឡាំងដែកមួយមាន $R = 7\text{ cm}, h = 10\text{ cm}$ ត្រូវយកទៅស្លរំលាយធ្វើជាគូប ៖

គណនាមាឌស៊ីឡាំងដែក (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$)
តើគូបដែលទទួលបានមានមាឌប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

$V = \frac{22}{7} \times 49 \times 10 = 1540\text{ cm}^3$
មាឌគូបដែលបានគឺ $1540\text{ cm}^3$ (មិនប្រែប្រួល)។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គេមានស៊ីឡាំងពីរ ៖ ស៊ីឡាំងទីមួយមាន $R_1 = 3\text{ cm}, h_1 = 8\text{ cm}$ និងទីពីរមាន $R_2 = 6\text{ cm}, h_2 = 2\text{ cm}$ ៖

គណនាមាឌ $V_1$ នៃស៊ីឡាំងទីមួយ
ប្រៀបធៀបមាឌ $V_1$ និង $V_2$

មើលដំណោះស្រាយ

$V_1 = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi\text{ cm}^3$
$V_2 = \pi \times 6^2 \times 2 = 72\pi\text{ cm}^3$។
ដូចនេះ $V_1 = V_2$ (មាឌស្មើគ្នា)។

៤០លំហាត់ទី ៤០

អណ្ដូងទឹកមួយរាងស៊ីឡាំងមានអង្កត់ផ្ចិត $1.4\text{ m}$ និងជម្រៅ $8\text{ m}$ (យក $\pi \approx \frac{22}{7}$) ៖

គណនាមាឌដីដែលត្រូវជីកចេញ
បើទឹកក្នុងអណ្ដូងមានកម្ពស់ $3\text{ m}$ រកមាឌទឹក

មើលដំណោះស្រាយ

$R = 0.7\text{ m} \Rightarrow V = \frac{22}{7} \times 0.49 \times 8 = 12.32\text{ m}^3$
មាឌទឹក ($3\text{ m}$) ៖ $1.54 \times 3 = 4.62\text{ m}^3$

៤១លំហាត់ទី ៤១

បំបែកខ្នាតមាឌ និងចំណុះខាងក្រោម ៖

$5.8\text{ m}^3 = \dots\dots\text{ dm}^3$
$4\,200\text{ cm}^3 = \dots\dots\text{ L}$

មើលដំណោះស្រាយ

បំបែកខ្នាត ៖

$5.8\text{ m}^3 = 5800\text{ dm}^3$
$4200\text{ cm}^3 = 4.2\text{ dm}^3 = 4.2\text{ L}$

៤២លំហាត់ទី ៤២

បំបែកខ្នាតមាឌ និងចំណុះខាងក្រោម ៖

$0.75\text{ m}^3 = \dots\dots\text{ L}$
$850\text{ mL} = \dots\dots\text{ cm}^3$

មើលដំណោះស្រាយ

បំបែកខ្នាត ៖

$0.75\text{ m}^3 = 750\text{ dm}^3 = 750\text{ L}$
$850\text{ mL} = 850\text{ cm}^3$

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

អាងហែលទឹកមួយមានបណ្ដោយ $25\text{ m}$, ទទឹង $10\text{ m}$ និងជម្រៅមធ្យម $1.8\text{ m}$ ៖

គណនាមាឌទឹកពេញអាងគិតជា $\text{m}^3$
រកចំណុះទឹកគិតជាលីត្រ ($\text{L}$)

មើលដំណោះស្រាយ

$V = 25 \times 10 \times 1.8 = 450\text{ m}^3$
ចំណុះ ៖ $450\,000\text{ L}$

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

ធុងស៊ីឡាំងមួយផ្ទុកទឹកបាន $6\,280\text{ L}$ ហើយមានកម្ពស់ $h = 2\text{ m}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

បំប្លែងចំណុះទឹកទៅជាម៉ែត្រគូប ($\text{m}^3$)
គណនាកាំបាត $R$ នៃធុងនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

$6280\text{ L} = 6.28\text{ m}^3$
$6.28 = 3.14 \times R^2 \times 2 \Rightarrow R = 1\text{ m}$

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

ធុងប្រេងរាងប្រលេពីប៉ែតកែងមួយមានបណ្ដោយ $1.5\text{ m}$, ទទឹង $0.8\text{ m}$ និងកម្ពស់ $1\text{ m}$ ៖

គណនាចំណុះធុងគិតជាលីត្រ
បើប្រេងក្នុងធុងមាន $960\text{ L}$ រកកម្ពស់ប្រេង

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុះធុង ៖ $1.5 \times 0.8 \times 1 = 1.2\text{ m}^3 = 1200\text{ L}$
កម្ពស់ប្រេង ៖ $\frac{0.96}{1.5 \times 0.8} = 0.8\text{ m} = 80\text{ cm}$

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

រូបផ្គុំមួយកើតពីការយកគូបទ្រនុង $4\text{ cm}$ មកចោះជាស៊ីឡាំងកាត់តាមកណ្ដាលមានកាំ $R = 1\text{ cm}$ ៖

គណនាមាឌគូបមុនពេលចោះ
គណនាមាឌសាច់ដែលនៅសល់ (យក $\pi \approx 3.14$)

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌគូប ៖ $4^3 = 64\text{ cm}^3$
មាឌសល់ ៖ $64 - 3.14 \times 1 \times 4 = 51.44\text{ cm}^3$

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ដុំបេតុងមួយមានរាងជាប្រលេពីប៉ែតកែងទ្រពីលើដោយស៊ីឡាំងមួយ ៖

រៀបរាប់វិធីគណនាមាឌសរុបនៃដុំបេតុង
រៀបរាប់វិធីគណនាក្រឡាផ្ទៃខាងក្រៅដែលត្រូវលាបថ្នាំ

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌសរុប = មាឌប្រលេពីប៉ែតកែង + មាឌស៊ីឡាំង។
ក្រឡាផ្ទៃលាបថ្នាំ = ផ្ទៃខាងប្រលេពីប៉ែត + បាតក្រោម + ផ្ទៃខាងស៊ីឡាំង + គម្របលើ + (បាតលើ - បាតស៊ីឡាំង)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ម៉ាស៊ីនបូមទឹកមួយអាចបូមទឹកបាន $50\text{ L}$ ក្នុងមួយនាទី ៖

គណនាមាឌទឹកដែលបូមបានក្នុងរយៈពេល ១ ម៉ោង (គិតជា $\text{m}^3$)
រករយៈពេលដើម្បីបូមទឹកឱ្យពេញអាងចំណុះ $6\text{ m}^3$

មើលដំណោះស្រាយ

១ ម៉ោង ៖ $50 \times 60 = 3000\text{ L} = 3\text{ m}^3$
រយៈពេល ៖ $\frac{6}{3} = 2$ ម៉ោង

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ធុងទឹកស៊ីឡាំងមួយមានកាំ $R = 0.6\text{ m}$ និងកម្ពស់ $h = 1.5\text{ m}$ (យក $\pi \approx 3.14$) ៖

គណនាចំណុះទឹកពេញធុងគិតជាលីត្រ
គណនាម៉ាសទឹកពេញធុងគិតជាគីឡូក្រាម ($\text{kg}$)

មើលដំណោះស្រាយ

$V = 3.14 \times 0.36 \times 1.5 = 1.6956\text{ m}^3 = 1695.6\text{ L}$
ម៉ាសទឹក ៖ $1695.6\text{ kg}$

៥០លំហាត់ទី ៥០

គេទម្លាក់ដុំដែករាងគូបទ្រនុង $6\text{ cm}$ ចូលក្នុងកែវទឹកស៊ីឡាំងដែលមានកាំ $R = 5\text{ cm}$ ៖

គណនាមាឌដុំដែកដែលទម្លាក់ចូល
គណនាកម្ពស់ទឹកដែលហក់ឡើងក្នុងកែវ (យក $\pi \approx 3.14$)

មើលដំណោះស្រាយ

មាឌដែក ៖ $6^3 = 216\text{ cm}^3$
កម្ពស់ទឹកហក់ឡើង ៖
$\Delta h = \frac{216}{3.14 \times 25} = \frac{216}{78.5} \approx 2.75\text{ cm}$

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៨ មាឌ និងក្រឡាផ្ទៃខាងនៃសូលីត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត