រូបធរណីមាត្រដែលមានវិមាត្រពីរ

• សប្តកោណមាន \(7\) កំពូល និង \(7\) មុំក្នុង។

• ចំនួនអង្កត់ទ្រូងសរុប ៖
  \(d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14\)។

ទសកោណមាន \(n = 10\) ជ្រុង ៖

• ចេញពីកំពូលមួយ ៖ \(n - 3 = 10 - 3 = 7\) អង្កត់ទ្រូង។

• អង្កត់ទ្រូងសរុប ៖
  \(d = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = 35\)។

• សមីការ ៖ \(\frac{n(n-3)}{2} = 14 \Rightarrow n(n-3) = 28\)

• \(n^2 - 3n - 28 = 0 \Rightarrow (n-7)(n+4) = 0 \Rightarrow n = 7\)។
  ពហុកោណនោះគឺ សប្តកោណ (ពហុកោណ \(7\) ជ្រុង)។

ក្នុងចតុកោណប៉ោង \(ABCD\) ៖

• ជ្រុងឈម ៖ \((AB, CD)\) និង \((AD, BC)\)។ មុំឈម ៖ \((\angle A, \angle C)\) និង \((\angle B, \angle D)\)។

• ជ្រុងជាប់ ៖ \((AB, BC), (BC, CD), (CD, DA), (DA, AB)\)។ អង្កត់ទ្រូង ៖ \(AC\) និង \(BD\)។

ក្នុងបញ្ចកោណប៉ោង \(ABCDE\) ៖

• អង្កត់ទ្រូងចេញពី \(A\) ៖ \(AC\) និង \(AD\) (មាន \(2\))។

• អង្កត់ទ្រូងទាំងអស់ (មាន \(5\)) ៖ \(AC, AD, BD, BE, CE\)។

• ប៉ោង និង ផត ៖ ពហុកោណប៉ោងមានគ្រប់មុំក្នុងតូចជាង \(180^\circ\)។ ពហុកោណផតមានយ៉ាងហោចណាស់មុំក្នុងមួយធំជាង \(180^\circ\)។

• ប៉ោង និង ខ្វែង ៖ ពហុកោណប៉ោងជ្រុងមិនកាត់គ្នា។ ពហុកោណខ្វែងមានជ្រុងប្រសព្វកាត់គ្នាទៅវិញទៅមក។

• កំពូល ៖ \(M, N, P\); ជ្រុង ៖ \(MN, NP, PM\); មុំក្នុង ៖ \(\angle M, \angle N, \angle P\)។

• ត្រីកោណគ្មានអង្កត់ទ្រូងទេ ព្រោះ \(n=3 \Rightarrow d = \frac{3(3-3)}{2} = 0\) (គ្រប់កំពូលសុទ្ធតែជាប់គ្នា)។

• សមីការ ៖ \(\frac{n(n-3)}{2} = 2n\)

• ដោយ \(n > 0\) សម្រួល \(n\) ៖
  \(n - 3 = 4 \Rightarrow n = 7\) (សប្តកោណ)។

អដ្ឋកោណប៉ោង (\(n = 8\)) ៖

• ចំនួនអង្កត់ទ្រូងសរុប ៖
  \(d = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20\)។

• ចំនួនត្រីកោណបង្កើតចេញពីកំពូល ១ ៖
  \(n - 2 = 8 - 2 = 6\) ត្រីកោណ។

• ជ្រុង \(4\) ស្មើគ្នានិងមុំកែង \(4\) គឺ ការ៉េ (Square)។

• ជ្រុង \(3\) ស្មើគ្នានិងមុំ \(3\) ស្មើគ្នា គឺ ត្រីកោណសម័ង្ស (Equilateral triangle)។

• \(\angle C = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 60^\circ\)

• មុំទាំងបីតូចជាង \(90^\circ\) នាំឱ្យ \(\triangle ABC\) ជា ត្រីកោណស្រួច។

• មុំបាត ៖ \(\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ\)

• មុំក្រៅត្រង់ \(A\) ៖ \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\)

• មុំបាត ៖ \(\angle F = \angle E = 55^\circ\)

• មុំកំពូល ៖ \(\angle D = 180^\circ - 2(55^\circ) = 70^\circ\)

• \(\angle C = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ\)

• មុំក្រៅត្រង់ \(C\) ៖ \(180^\circ - 62^\circ = 118^\circ\)

• \(k = \frac{180^\circ}{2+3+4} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ\)

• មុំទាំងបី ៖ \(2 \times 20^\circ = 40^\circ\), \(3 \times 20^\circ = 60^\circ\), \(4 \times 20^\circ = 80^\circ\)

• មុំក្រៅ ៖ \(\angle ACD = \angle A + \angle B = 50^\circ + 60^\circ = 110^\circ\)

• \(\angle B = \angle ACD - \angle A = 115^\circ - 45^\circ = 70^\circ\)

• មុំក្នុងនីមួយៗ ៖ \(\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\)

• មុំក្រៅត្រង់កំពូលនីមួយៗ ៖ \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)

• មុំបាត ៖ \(\angle Y = \angle Z = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\)

• មុំក្រៅត្រង់ \(Y\) ៖ \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)

• \(\begin{cases} A + B = 110^\circ \\ A - B = 30^\circ \end{cases} \Rightarrow 2A = 140^\circ \Rightarrow A = 70^\circ\), \(B = 40^\circ\)

• មុំទីបី ៖ \(C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)

• \(\angle A = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\)។
  \(\angle C = 130^\circ - \angle B = 130^\circ - 65^\circ = 65^\circ\)

• ដោយ \(\angle B = \angle C = 65^\circ\) នាំឱ្យ \(\triangle ABC\) ជា ត្រីកោណសមបាតកំពូល \(A\)។

• \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(BC \Rightarrow BM = MC = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}\)

• ក្នុងត្រីកោណសមបាត មេដ្យានចេញពីកំពូលជាកម្ពស់ នាំឱ្យ \(AM \perp BC\)។

• ក្នុងត្រីកោណសម័ង្ស កម្ពស់ជាមេដ្យាន នាំឱ្យ \(BH = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}\)

• បន្ទាត់ ៣ ទៀតដែលត្រួតលើ \(AH\) គឺ ៖ មេដ្យាន, ពុះមុំ, និងមេដ្យាទ័រនៃ \([BC]\)។

• កម្ពស់ពីរដែលជាជ្រុងនៃត្រីកោណ គឺ \(AB\) និង \(AC\)។

• ចំណុចប្រសព្វនៃកម្ពស់ទាំងបី (អរតូសង់) គឺត្រង់ កំពូលមុំកែង \(A\)។

• \((\Delta)\) កាត់តាមចំណុចកណ្ដាលនៃ \([BC]\) និងកែងនឹង \([BC]\)។

• បើ \(A \in (\Delta)\) នាំឱ្យ \(AB = AC\) ដូចនេះ \(\triangle ABC\) ជា ត្រីកោណសមបាតកំពូល \(A\)។

• \(AD\) ជាពុះមុំ \(\Rightarrow \angle BAD = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\)

• \(\angle BAC = 2 \angle BAD = 2 \times 32^\circ = 64^\circ\)

• សង់ \(BC = 6\text{ cm}\)។ គូសធ្នូរង្វង់ផ្ចិត \(B\) កាំ \(5\text{ cm}\) និងធ្នូផ្ចិត \(C\) កាំ \(4\text{ cm}\) កាត់គ្នាត្រង់ \(A\)។ ភ្ជាប់ \(AB, AC\)។

• សង់ \(BC = 5\text{ cm}\)។ គូសធ្នូផ្ចិត \(B\) និង \(C\) កាំ \(4\text{ cm}\) កាត់គ្នាត្រង់ \(A\)។ ភ្ជាប់ \(AB, AC\)។

• សង់ \(AB = 5\text{ cm}\)។ វាស់ \(\angle A = 60^\circ\) គូសកាំរស្មី \(Ax\)។ លើ \(Ax\) ដៅ \(AC = 4\text{ cm}\) រួចភ្ជាប់ \(BC\)។

• សង់ \(BC = 6\text{ cm}\)។ វាស់ \(\angle B = 50^\circ\) និង \(\angle C = 70^\circ\) កាំរស្មីប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(A\)។

• \(AG = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \times 9 = 6\text{ cm}\)

• \(GM = AM - AG = 9 - 6 = 3\text{ cm}\)។ ផលធៀប \(\frac{AG}{AM} = \frac{2}{3}\)។

• មុំបាត ៖ \(\angle Q = \angle R = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ\)

• \(\angle QPS = \frac{\angle P}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\)

• ទំនាក់ទំនងមុំក្រៅ ៖ \(\angle A + \angle B = 110^\circ\)

• ដោយ \(\angle A = 2\angle B \Rightarrow 3\angle B = 110^\circ \Rightarrow \angle B = 36^\circ 40'\)។
  \(\angle A = 73^\circ 20'\) និង \(\angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)។

• \(\angle D = 360^\circ - (85^\circ + 95^\circ + 100^\circ) = 80^\circ\)

• ដោយ \(80^\circ < 90^\circ\) នាំឱ្យ \(\angle D\) ជា មុំស្រួច។

• សមីការ ៖ \(x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ \Rightarrow 10x = 360^\circ\)

• \(x = 36^\circ\)។ មុំទាំងបួន ៖ \(36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ\)។

• \(\angle P + \angle Q = 360^\circ - (120^\circ + 80^\circ) = 160^\circ\)

• ដោយ \(\angle P = \angle Q \Rightarrow \angle P = \angle Q = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ\)។

• \(\angle D = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 120^\circ\)

• \(\angle A = 90^\circ \Rightarrow AB \perp AD\) (កែងគ្នា)។

• មុំទីបួន ៖ \(360^\circ - 3(75^\circ) = 135^\circ\)

• មិនអាចជាចតុកោណកែងទេ ព្រោះចតុកោណកែងត្រូវមានមុំទាំងបួនជាមុំកែង \(90^\circ\)។

• ផលបូកមុំក្នុង = ផលបូកមុំក្នុង \(\triangle ABC\) និង \(\triangle ADC = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ\)។

• មុំទាំងអស់ ៖ \(\angle B = 60^\circ, \angle D = 60^\circ\), \(\angle A = 120^\circ, \angle C = 120^\circ\)។

• \(18k = 360^\circ \Rightarrow k = 20^\circ\)

• មុំតូចបំផុត ៖ \(3 \times 20^\circ = 60^\circ\); មុំធំបំផុត ៖ \(6 \times 20^\circ = 120^\circ\)។

• មុំក្នុង \(\angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)

• \(\angle D = 360^\circ - (110^\circ + 100^\circ + 80^\circ) = 70^\circ\)

• ត្រីកោណកែងទាំងបួន ៖ \(\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODA\)។

• បើ \(OA=OC, OB=OD\) និង \(AC \perp BD\) នោះ \(ABCD\) ជា ចតុកោណស្មើ (Rhombus)។

• មុំក្នុងទីបួន ៖ \(360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 115^\circ) = 65^\circ\)

• មុំក្រៅ ៖ \(180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\)។

• បរិមាត្រ ៖ \(P = 2(8 + 6) = 28\text{ cm}\)

• \(CD = AB = 8\text{ cm}\) និង \(DA = BC = 6\text{ cm}\) (ជ្រុងឈមចតុកោណកែងស្មើគ្នា)។

• អង្កត់ទ្រូងស្មើគ្នា ៖ \(BD = AC = 10\text{ cm}\)

• \(OA = OB = OC = OD = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}\)

• បរិមាត្រការ៉េ ៖ \(P = 4 \times 5 = 20\text{ cm}\)

• \(\angle ABC = 90^\circ, \angle BCD = 90^\circ\)។ អង្កត់ទ្រូងជាពុះមុំកែង ៖ \(\angle BAC = 45^\circ\)។

• \(AC = BD = 2 \times OA = 2 \times 3 = 6\text{ cm}\)

• \(\angle AOB = 90^\circ\) ព្រោះអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរនៃការ៉េកែងគ្នា។

• \(OA = OB = \frac{AC}{2} \Rightarrow \triangle OAB\) សមបាត។ ដោយ \(\angle AOB = 60^\circ\) នោះ \(\triangle OAB\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស។

• \(OA = AB = 5\text{ cm} \Rightarrow AC = 2 \times 5 = 10\text{ cm}\)។

• ទទឹង \(x\) បណ្ដោយ \(2x\) ៖ \(2(x + 2x) = 36 \Rightarrow 6x = 36 \Rightarrow x = 6\text{ cm}\)។ ទទឹង \(6\text{ cm}\), បណ្ដោយ \(12\text{ cm}\)។

• ក្រឡាផ្ទៃ ៖ \(S = 12 \times 6 = 72\text{ cm}^2\)។

• បរិមាត្រ ៖ \(P = 2(9 + 5) = 28\text{ cm}\)

• ជ្រុងការ៉េ ៖ \(a = \frac{28}{4} = 7\text{ cm}\)។

• \(\angle MAB = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\) និង \(\angle MBA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\)

• \(\angle AMB = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\)។ \(\triangle MAB\) ជាត្រីកោណកែងសមបាត។

• ចតុកោណកែងមាន \(OA = OB = OC = OD\) នាំឱ្យត្រីកោណទាំងបួនជាត្រីកោណសមបាត។

• ការ៉េមាន \(OA=OB=OC=OD\) និង \(AC \perp BD\) នាំឱ្យជា \(4\) ត្រីកោណកែងសមបាតប៉ុនគ្នា។

• ដោយ \(AB \parallel CD\) និង \(AD \parallel BC\) មុំក្នុងរួមខាងបន្ថែមគ្នា ៖ \(\angle B = 90^\circ, \angle D = 90^\circ, \angle C = 90^\circ\)។

• ចតុកោណដែលមានមុំកែងបួន ជាចតុកោណកែង។