«ប្រូបាប» (Probability) គឺជាផ្នែកមួយដ៏សំខាន់នៃគណិតវិទ្យាទំនើប ដែលសិក្សាអំពីរង្វាស់នៃភាពមិនប្រាកដប្រជា និងឱកាសនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នានា។ ទ្រឹស្ដីប្រូបាបបានចាប់បដិសន្ធិឡើងជាផ្លូវការនៅពាក់កណ្ដាលសតវត្សទី ១៧ (ឆ្នាំ ១៦៥៤) តាមរយៈការឆ្លើយឆ្លងសំបុត្ររវាងគណិតវិទូបារាំងពីររូបដ៏ល្បីល្បាញ គឺលោក ប្លែស ប៉ាស្កាល់ (Blaise Pascal) និងលោក ព្យែរ ដឺ ហ្វែរម៉ា (Pierre de Fermat) អំពីល្បែងគ្រាប់ឡុកឡាក់។ ក្រោយមក គណិតវិទូជាច្រើនដូចជា Bernoulli, Laplace និង Kolmogorov បានបន្តអភិវឌ្ឍទ្រឹស្ដីនេះឱ្យក្លាយជាវិទ្យាសាស្ត្រដ៏រឹងមាំ។
ក្នុងយុគសម័យបច្ចុប្បន្ន ប្រូបាបដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការព្យាករណ៍អាកាសធាតុ ការគ្រប់គ្រងហានិភ័យហិរញ្ញវត្ថុ ទីផ្សារភាគហ៊ុន ការធានារ៉ាប់រង ការស្រាវជ្រាវវេជ្ជសាស្ត្រ ព្រមទាំងបច្ចេកវិទ្យាបញ្ញាសិប្បនិម្មិត (AI)។ លើសពីនេះ ការយល់ដឹងពីប្រូបាបជួយឱ្យយើងចេះគិតពិចារណាដោយហេតុផល វាយតម្លៃឱកាស និងធ្វើការសម្រេចចិត្តដ៏ត្រឹមត្រូវក្នុងជីវភាពរស់នៅប្រចាំថ្ងៃ។
នៅក្នុងការសិក្សាប្រូបាបថ្នាក់ទី ៧ យើងត្រូវស្វែងយល់នូវចំណុចគ្រឹះសំខាន់ៗ ៖
វិញ្ញាសាចៃដន្យ (Random Experiment) ៖ សកម្មភាពដែលគេដឹងលទ្ធផលអាចកើតមានទាំងអស់ តែមិនអាចដឹងមុននូវលទ្ធផលជាក់ស្ដែង។
លទ្ធផល និងលំហសំណាក (\(S\)) ៖ សំណុំនៃគ្រប់លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់។ ចំនួនករណីអាចតាងដោយ \(n(S)\)។
ព្រឹត្តិការណ៍ (\(A\)) ៖ សំណុំរងនៃលំហសំណាក (\(A \subseteq S\))។ ចំនួនករណីស្របតាងដោយ \(n(A)\)។
ប្រូបាប (\(P(A)\)) ៖ រង្វាស់ឱកាសកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) កំណត់ដោយ \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\) ដោយ \(0 \le P(A) \le 1\)។
វិញ្ញាសាចៃដន្យ
និយមន័យ ៖ វិញ្ញាសាចៃដន្យ (Random Experiment) គឺជាសកម្មភាព ឬការពិសោធន៍ដែលគេមិនអាចដឹងលទ្ធផលជាមុនបានឡើយ។
លក្ខណៈ ៖ គេដឹងគ្រប់ករណីដែលអាចកើតឡើង តែមិនអាចទស្សន៍ទាយលទ្ធផលជាក់ស្ដែងបានត្រឹមត្រូវ \(100\%\) ឡើយ។
ឧទាហរណ៍ ៖ ការបោះកាក់ (ចេញរូប ឬលេខ), ការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ (\(1\) ដល់ \(6\)), ការចាប់បាល់ពីក្នុងថង់។
ចូរបញ្ជាក់ថាតើសកម្មភាពខាងក្រោមណាខ្លះជាវិញ្ញាសាចៃដន្យ ៖
ក. បោះកាក់មួយឡើងលើ រួចកត់ត្រាមុខកាក់ដែលផ្ងារ។ ខ. ដាំទឹកបរិសុទ្ធឱ្យពុះនៅសម្ពាធធម្មតា។
គ. ចាប់យកសន្លឹកឆ្នោតមួយសន្លឹកចេញពីប្រអប់ឆ្នោតផ្សងសំណាង។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ក. ជាវិញ្ញាសាចៃដន្យ ព្រោះមិនអាចដឹងមុនថាកាក់នឹងចេញខាងរូប ឬលេខឡើយ។
ខ. មិនមែនជាវិញ្ញាសាចៃដន្យ ព្រោះទឹកបរិសុទ្ធពុះនៅសីតុណ្ហភាព \(100^\circ\text{C}\) ជាក់លាក់។
គ. ជាវិញ្ញាសាចៃដន្យ ព្រោះមិនអាចដឹងមុនថានឹងចាប់បានលេខរង្វាន់អ្វីឡើយ។
១. ក្នុងចំណោម «ការបោះឡុកឡាក់» និង «ការទម្លាក់ដុំថ្មពីលើចុះក្រោម» តើមួយណាជាវិញ្ញាសាចៃដន្យ?
២. ចូរបង្ហាញឧទាហរណ៍ចំនួនពីរនៃវិញ្ញាសាចៃដន្យក្នុងជីវភាពរស់នៅប្រចាំថ្ងៃ។
លទ្ធផលដែលអាចកើតមាន និងលំហសំណាក
លទ្ធផល (Outcome) ៖ ករណីនីមួយៗដែលអាចកើតមានឡើងនៅក្នុងវិញ្ញាសាមួយ។
លំហសំណាក (Sample Space, \(S\)) ៖ សំណុំនៃគ្រប់លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់។
ចំនួនករណីអាច (\(n(S)\)) ៖ ចំនួនធាតុទាំងអស់នៃលំហសំណាក \(S\)។
ឧទាហរណ៍ ៖ បោះកាក់មួយ ៖ \(S = \{\) រូប \(, \) លេខ \(\} \implies n(S) = 2\) ; បោះឡុកឡាក់ ៖ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6\)។
គេមានថង់មួយផ្ទុកបាល់ ៣ គ្រាប់ ៖ ក្រហម (\(R\)), បៃតង (\(G\)), លឿង (\(Y\))។ គេចាប់បាល់មួយដោយចៃដន្យ។
ក. សរសេរលំហសំណាក \(S\) និងរកចំនួនករណីអាច \(n(S)\)។
ខ. បើគេចាប់បាល់មួយរួចដាក់ចូលវិញ ហើយចាប់ម្ដងទៀត តើមានលទ្ធផលប៉ុន្មានករណីដែលអាចកើតមាន?
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
ក. លំហសំណាក ៖ \(S = \{R, G, Y\} \implies\) \(n(S) = 3\) ករណី។
ខ. លើកទី១ មាន \(3\) លទ្ធផល លើកទី២ មាន \(3\) លទ្ធផល \(\implies n(S) = 3 \times 3 = 9\) ករណី។ ដូចនេះ \(n(S) = 9\) ករណី
១. គេបង្វិលថាសមួយដែលមានលេខ \(1, 2, 3, 4, 5\)។ សរសេរលំហសំណាក \(S\) និងរក \(n(S)\)។
២. ក្នុងប្រអប់មួយមានប័ណ្ណអក្សរនៃពាក្យ «\(MATH\)»។ គេចាប់យកប័ណ្ណមួយដោយចៃដន្យ។ រកចំនួនករណីអាច។
ព្រឹត្តិការណ៍
និយមន័យ ៖ ព្រឹត្តិការណ៍ (Event, \(A\)) គឺជាសំណុំនៃលទ្ធផលស្របតាមលក្ខខណ្ឌកំណត់ (\(A \subseteq S\))។ ចំនួនករណីស្របតាងដោយ \(n(A)\)។
ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់ ៖ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងពិតប្រាកដជានិច្ច (\(A = S \implies n(A) = n(S)\))។
ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតមាន ៖ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចកើតមានដាច់ខាត (\(A = \emptyset \implies n(A) = 0\))។
ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ (\(\overline{A}\)) ៖ ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែល «មិនកើត \(A\)» ដោយ \(n(\overline{A}) = n(S) - n(A)\)។
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយម្ដង។ គេកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ ៖
\(A\) ៖ «បោះបានលេខគូ», \(B\) ៖ «បោះបានលេខធំជាង ៦», \(C\) ៖ «បោះបានលេខតូចជាង ៧»។
ក. សរសេរលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងរក \(n(A)\)។ ខ. បញ្ជាក់ប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) និង \(C\)។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
លំហសំណាក ៖ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6\)។
ព្រឹត្តិការណ៍ \(A = \{2, 4, 6\} \implies\) \(n(A) = 3\) ករណី
ព្រឹត្តិការណ៍ \(B = \emptyset\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតមាន ព្រោះឡុកឡាក់គ្មានលេខធំជាង ៦ ឡើយ។
ព្រឹត្តិការណ៍ \(C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = S\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់។
១. គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយ។ កំណត់ចំនួនករណីស្របនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
ក. \(A\) ៖ «បោះបានលេខសេស» ខ. \(B\) ៖ «បោះបានលេខជាពហុគុណនៃ ៣»
២. បើ \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ «បោះបានលេខ ២» តើព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(\overline{A}\) មានប៉ុន្មានករណី?
សញ្ញាណប្រូបាប និងរូបមន្តគណនា
រូបមន្តប្រូបាប ៖ បើគ្រប់លទ្ធផលមានឱកាសកើតឡើងស្មើគ្នា ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) គឺ ៖
\(P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{\text{ចំនួនករណីស្រប}}{\text{ចំនួនករណីអាច}}\)
លក្ខណៈសំខាន់ៗ ៖
\(0 \le P(A) \le 1\) ជានិច្ច ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតមាន ៖ \(P(\emptyset) = 0\)
ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់ ៖ \(P(S) = 1\) ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ ៖ \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ម្ដង។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក. \(A\) ៖ «បោះបានលេខ ៥» ខ. \(B\) ៖ «បោះបានលេខគូ» និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(\overline{B}\)។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
លំហសំណាក ៖ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6\)។
ក. \(A = \{5\} \implies n(A) = 1 \implies\) \(\boxed{P(A) = \dfrac{1}{6}}\)
ខ. \(B = \{2, 4, 6\} \implies n(B) = 3 \implies\) \(\boxed{P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}}\)
ប្រូបាបព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ ៖ \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)។ ដូចនេះ \(\boxed{P(\overline{B}) = \dfrac{1}{2}}\)
១. គេបោះកាក់មួយ។ គណនាប្រូបាបដែលបោះបានខាងរូប។
២. ក្នុងប្រអប់មានឃ្លីក្រហម ៤ និងឃ្លីខៀវ ៦។ ចាប់យកឃ្លីមួយដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបបានឃ្លីក្រហម។
ការគណនាប្រូបាបជាប្រភាគ ទសភាគ និងភាគរយ
ទម្រង់ទាំងបីនៃប្រូបាប ៖ ជាប្រភាគសម្រួល (ឧ. \(\frac{1}{4}\)), ជាទសភាគ (ឧ. \(0.25\)), ជាភាគរយ (ឧ. \(25\%\))។
ចំនួនដងរំពឹងទុក (Expected Frequency) ៖ បើធ្វើវិញ្ញាសា \(N\) ដង ចំនួនដងរំពឹងទុកនៃ \(A\) គឺ ៖ \(E = N \times P(A)\)។
ក្នុងថ្នាក់មានសិស្ស ២០ នាក់ (ស្រី ១២ នាក់)។ គ្រូហៅសិស្សម្នាក់ដោយចៃដន្យ។
ក. គណនាប្រូបាបសិស្សនោះជាស្រី (ជាប្រភាគ ទសភាគ ភាគរយ)។ ខ. គណនាប្រូបាបជាប្រុស។
ដំណោះស្រាយលម្អិត៖
សិស្សសរុប ៖ \(n(S) = 20\), សិស្សស្រី ៖ \(n(G) = 12\)។
ប្រូបាបជាស្រី ៖ \(P(G) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5} = 0.6 = 60\%\)។ ដូចនេះ \(\boxed{P(G) = \dfrac{3}{5} = 0.6 = 60\%}\)
សិស្សប្រុស ៖ \(n(B) = 20 - 12 = 8 \implies P(B) = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0.4 = 40\%\)។ ដូចនេះ \(\boxed{P(B) = 40\%}\)
១. ព្យាករណ៍ថាឱកាសភ្លៀងធ្លាក់គឺ \(70\%\)។ រកប្រូបាបដែលគ្មានភ្លៀងធ្លាក់ (ជាភាគរយ និងទសភាគ)។
២. គេបោះកាក់មួយ \(200\) ដង។ តើគេរំពឹងថានឹងបានខាងរូបប្រហែលប៉ុន្មានដង?
លំហាត់អនុវត្តន៍
ក្នុងចំណោមសកម្មភាពខាងក្រោម ចូរកំណត់សកម្មភាពដែលជាវិញ្ញាសាចៃដន្យ ៖
បោះកាក់មួយដើម្បីសម្រេចចិត្ត
វាស់មាឌទឹក ១ លីត្រ
មើលដំណោះស្រាយ
បោះកាក់ ៖ ជាវិញ្ញាសាចៃដន្យ (មិនអាចដឹងមុនពីលទ្ធផល)។
វាស់មាឌទឹក ១ លីត្រ ៖ មិនមែនជាវិញ្ញាសាចៃដន្យទេ (លទ្ធផលជាក់លាក់)។
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ ៖
សរសេរគ្រប់លទ្ធផលដែលអាចកើតមាន
រកចំនួនករណីអាច \(n(S)\)
មើលដំណោះស្រាយ
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយ ៖
លទ្ធផលអាចកើតមាន ៖ \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = 6\)
គេបោះកាក់មួយម្ដង ៖
សរសេរលំហសំណាក \(S\)
រកចំនួនករណីអាច \(n(S)\)
មើលដំណោះស្រាយ
បោះកាក់មួយ ៖
\(S = \{\) រូប \(, \) លេខ \(\}\) (ឬ \(\{H, T\}\))
\(n(S) = 2\)
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី ៤ ពណ៌ ៖ ស, ខ្មៅ, ក្រហម, បៃតង។ គេចាប់យកឃ្លីមួយ ៖
សរសេរលំហសំណាក \(S\)
រកចំនួនករណីអាច \(n(S)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ចាប់ឃ្លីមួយ ៖
\(S = \{\) ស \(, \) ខ្មៅ \(, \) ក្រហម \(, \) បៃតង \(\}\)
\(n(S) = 4\)
គេមានថាសបង្វិលមួយចែកជា ៦ ចម្រៀកស្មើគ្នា ចុះលេខពី ១ ដល់ ៦ ៖
កំណត់វិញ្ញាសា និងលទ្ធផល
រកចំនួនករណីអាច \(n(S)\)
មើលដំណោះស្រាយ
វិញ្ញាសា ៖ បង្វិលថាស; លទ្ធផល ៖ \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
\(n(S) = 6\)
ក្នុងប្រអប់មួយមានប័ណ្ណអក្សរនៃពាក្យ «\(KHMER\)»។ គេចាប់យកប័ណ្ណមួយ ៖
សរសេរលំហសំណាក \(S\)
រកចំនួនករណីអាច \(n(S)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពាក្យ «KHMER» ៖
\(S = \{K, H, M, E, R\}\)
\(n(S) = 5\)
គេបោះកាក់មួយ។ កំណត់ប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
\(A\) ៖ «បោះបានខាងរូប ឬខាងលេខ»
\(B\) ៖ «បោះបានទាំងរូបទាំងលេខព្រមគ្នា»
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រភេទព្រឹត្តិការណ៍ ៖
\(A\) ៖ ជា ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់ប្រាកដ (\(P(A) = 1\))។
\(B\) ៖ ជា ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតមាន (\(P(B) = 0\))។
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយ។ កំណត់ប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
\(A\) ៖ «បោះបានលេខ ៧»
\(B\) ៖ «បោះបានលេខតូចជាង ៧»
មើលដំណោះស្រាយ
\(A\) ៖ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតមាន (\(P(A) = 0\))។
\(B\) ៖ ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់ប្រាកដ (\(P(B) = 1\))។
បើ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) ជាលំហសំណាក និង \(A = \{2, 4, 6, 8\}\) ៖
រកចំនួនករណីស្រប \(n(A)\)
សរសេរព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(\overline{A}\) និងរក \(n(\overline{A})\)
មើលដំណោះស្រាយ
\(n(A) = 4\)
\(\overline{A} = \{1, 3, 5, 7\} \Rightarrow n(\overline{A}) = 4\)
គ្រួសារមួយមានកូនពីរនាក់។ តាង \(B\) ជាកូនប្រុស និង \(G\) ជាកូនស្រី ៖
សរសេរលំហសំណាក \(S\)
រកចំនួនករណីអាច \(n(S)\)
មើលដំណោះស្រាយ
\(S = \{BB, BG, GB, GG\}\)
\(n(S) = 4\)
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយម្ដង ៖
គណនាប្រូបាបបោះបានលេខ ៣
គណនាប្រូបាបបោះបានលេខគូ
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) លេខ ៣ \() = \frac{1}{6}\)
\(P(\) លេខគូ \() = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយម្ដង ៖
គណនាប្រូបាបបោះបានលេខសេស
គណនាប្រូបាបបោះបានលេខធំជាង ៤
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) លេខសេស \() = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(P(\) លេខ \( > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយម្ដង ៖
គណនាប្រូបាបបោះបានលេខបឋម
គណនាប្រូបាបបោះបានលេខជាពហុគុណនៃ ៣
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) លេខបឋម \() = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(P(\) ពហុគុណនៃ ៣ \() = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
គេបោះកាក់មួយម្ដង ៖
គណនាប្រូបាបបោះបានខាងរូប
គណនាប្រូបាបបោះបានខាងលេខ
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) រូប \() = \frac{1}{2}\)
\(P(\) លេខ \() = \frac{1}{2}\)
គេបោះកាក់ពីរព្រមគ្នា ៖
គណនាប្រូបាបចេញរូបទាំងពីរ
គណនាប្រូបាបចេញរូបមួយ និងលេខមួយ
មើលដំណោះស្រាយ
បោះកាក់ពីរ (\(n(S) = 4\)) ៖
\(P(\) រូបទាំងពីរ \() = \frac{1}{4}\)
\(P(\) រូប ១ លេខ ១ \() = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
គេបោះកាក់ពីរព្រមគ្នា ៖
គណនាប្រូបាបចេញលេខយ៉ាងតិចមួយ
គណនាប្រូបាបចេញលេខទាំងពីរ
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) លេខយ៉ាងតិចមួយ \() = \frac{3}{4}\)
\(P(\) លេខទាំងពីរ \() = \frac{1}{4}\)
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម ៥ គ្រាប់ និងឃ្លីខៀវ ៥ គ្រាប់ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានឃ្លីក្រហម
គណនាប្រូបាបចាប់បានឃ្លីខៀវ
មើលដំណោះស្រាយ
\(n(S) = 10\) ៖
\(P(\) ក្រហម \() = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
\(P(\) ខៀវ \() = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម ៦ គ្រាប់, ខៀវ ៤ គ្រាប់ និងលឿង ៥ គ្រាប់ ៖
រកចំនួនករណីអាចសរុប \(n(S)\)
គណនាប្រូបាបចាប់បានឃ្លីពណ៌ក្រហម
មើលដំណោះស្រាយ
\(n(S) = 6 + 4 + 5 = 15\)
\(P(\) ក្រហម \() = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)
យោងតាមទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី ១៨ ខាងលើ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានឃ្លីពណ៌ខៀវ
គណនាប្រូបាបចាប់បានឃ្លីពណ៌លឿង
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) ខៀវ \() = \frac{4}{15}\)
\(P(\) លឿង \() = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)
យោងតាមទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី ១៨ ខាងលើ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានឃ្លីមិនមែនពណ៌ក្រហម
គណនាប្រូបាបចាប់បានឃ្លីពណ៌ស
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) មិនមែនក្រហម \() = 1 - \frac{6}{15} = \frac{3}{5}\)
\(P(\) ស \() = \frac{0}{15} = 0\)
ក្នុងប្រអប់មួយមានប័ណ្ណចុះលេខពី ១ ដល់ ១០។ គេចាប់យកប័ណ្ណមួយ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានលេខសេស
គណនាប្រូបាបចាប់បានលេខគូ
មើលដំណោះស្រាយ
ប័ណ្ណ ១ ដល់ ១០ (\(n(S) = 10\)) ៖
\(P(\) សេស \() = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
\(P(\) គូ \() = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
ក្នុងប្រអប់មួយមានប័ណ្ណចុះលេខពី ១ ដល់ ១៥។ គេចាប់យកប័ណ្ណមួយ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានលេខជាពហុគុណនៃ ៣
គណនាប្រូបាបចាប់បានលេខជាពហុគុណនៃ ៥
មើលដំណោះស្រាយ
ប័ណ្ណ ១ ដល់ ១៥ (\(n(S) = 15\)) ៖
\(P(\) ពហុគុណ ៣ \() = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)
\(P(\) ពហុគុណ ៥ \() = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\)
ក្នុងប្រអប់មួយមានប័ណ្ណចុះលេខពី ១ ដល់ ២០។ គេចាប់យកប័ណ្ណមួយ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានលេខបឋម
គណនាប្រូបាបចាប់បានលេខធំជាង ១៥
មើលដំណោះស្រាយ
ប័ណ្ណ ១ ដល់ ២០ (\(n(S) = 20\)) ៖
\(P(\) បឋម \() = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\)
\(P(> 15) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\)
គេមានប័ណ្ណអក្សរនៃពាក្យ «\(EDUCATION\)» (មាន ៩ អក្សរ) ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានស្រៈ (E, U, A, I, O)
គណនាប្រូបាបចាប់បានព្យញ្ជនៈ
មើលដំណោះស្រាយ
«EDUCATION» (\(n(S) = 9\)) ៖
\(P(\) ស្រៈ \() = \frac{5}{9}\)
\(P(\) ព្យញ្ជនៈ \() = \frac{4}{9}\)
គេមានប័ណ្ណអក្សរនៃពាក្យ «\(ANGKOR\)» (មាន ៦ អក្សរ) ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានអក្សរ \(A\)
គណនាប្រូបាបចាប់បានព្យញ្ជនៈ
មើលដំណោះស្រាយ
«ANGKOR» (\(n(S) = 6\)) ៖
\(P(A) = \frac{1}{6}\)
\(P(\) ព្យញ្ជនៈ \() = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
ថាសបង្វិលមួយចែកជា ៨ ចម្រៀកស្មើគ្នា ចុះលេខពី ១ ដល់ ៨ ៖
គណនាប្រូបាបព្រួញចង្អុលលេខ ៧
គណនាប្រូបាបព្រួញចង្អុលលេខតូចជាង ៥
មើលដំណោះស្រាយ
ថាស ៨ ចម្រៀក (\(n(S) = 8\)) ៖
\(P(\) លេខ ៧ \() = \frac{1}{8}\)
\(P(< 5) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
ថាសបង្វិលមួយមាន ៤ ពណ៌ ៖ ក្រហម, ខៀវ, បៃតង, លឿង (ទំហំស្មើគ្នា) ៖
គណនាប្រូបាបព្រួញចង្អុលពណ៌ក្រហម
គណនាប្រូបាបព្រួញចង្អុលពណ៌មិនមែនលឿង
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) ក្រហម \() = \frac{1}{4}\)
\(P(\) មិនមែនលឿង \() = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
បើប្រូបាបដែលកីឡាករម្នាក់បាញ់ធ្នូចំផ្ទាំងស៊ីបគឺ \(0.75\) ៖
រកប្រូបាបដែលកីឡាករបាញ់ខុសផ្ទាំងស៊ីប
សរសេរប្រូបាបទាំងពីរជាភាគរយ
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) ខុស \() = 1 - 0.75 = 0.25\)
ចំ ៖ \(75\%\); ខុស ៖ \(25\%\)
ក្នុងប្រអប់មួយមានបាល់ពណ៌ក្រហម ៨ គ្រាប់ និងពណ៌បៃតង \(x\) គ្រាប់ ដោយ \(P(\) ក្រហម \() = \frac{2}{5}\) ៖
រកចំនួនបាល់សរុបក្នុងប្រអប់
រកចំនួនបាល់ពណ៌បៃតង \(x\)
មើលដំណោះស្រាយ
\(\frac{8}{N} = \frac{2}{5} \Rightarrow N = 20\) (បាល់សរុប)
\(x = 20 - 8 = 12\) (បៃតង)
បើគេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយចំនួន ២ ដង ៖
រកចំនួនករណីអាចសរុប \(n(S)\)
រកចំនួនករណីដែលបោះបានផលបូកលេខស្មើនឹង ៧
មើលដំណោះស្រាយ
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ២ ដង ៖
\(n(S) = 6 \times 6 = 36\)
ផលបូកស្មើ ៧ មាន \(6\) ករណី ៖ \((1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\)។
សរសេរប្រូបាបខាងក្រោមជាចំនួនទសភាគ និងជាភាគរយ ៖
\(P = \frac{1}{5}\)
\(P = \frac{3}{8}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំបែកជាទសភាគ និងភាគរយ ៖
\(P = \frac{1}{5} = 0.2 = 20\%\)
\(P = \frac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%\)
សរសេរប្រូបាបខាងក្រោមជាប្រភាគសម្រួលរួច ៖
\(P = 0.45\)
\(P = 72\%\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំបែកជាប្រភាគសម្រួល ៖
\(P = 0.45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}\)
\(P = 72\% = \frac{72}{100} = \frac{18}{25}\)
ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស ៤០ នាក់ ក្នុងនោះស្រី ២៤ នាក់ ៖
គណនាប្រូបាបជ្រើសរើសបានសិស្សស្រី (ជាភាគរយ)
គណនាប្រូបាបជ្រើសរើសបានសិស្សប្រុស (ជាភាគរយ)
មើលដំណោះស្រាយ
សិស្ស ៤០ នាក់ ស្រី ២៤ នាក់ ៖
\(P(\) ស្រី \() = \frac{24}{40} = 60\%\)
\(P(\) ប្រុស \() = \frac{16}{40} = 40\%\)
ក្នុងកន្ត្រកមួយមានផ្លែក្រូច ៨ ផ្លែ, ប៉ោម ៦ ផ្លែ និងស្វាយ ១០ ផ្លែ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានផ្លែក្រូច (ជាទសភាគ)
គណនាប្រូបាបចាប់បានផ្លែស្វាយ (ជាទសភាគ)
មើលដំណោះស្រាយ
សរុប ២៤ ផ្លែ ៖
\(P(\) ក្រូច \() = \frac{8}{24} \approx 0.333\)
\(P(\) ស្វាយ \() = \frac{10}{24} \approx 0.417\)
យោងតាមទិន្នន័យកន្ត្រកផ្លែឈើក្នុងលំហាត់ទី ៣៤ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានផ្លែប៉ោម (ជាភាគរយ)
គណនាប្រូបាបចាប់បានផ្លែឈើមិនមែនប៉ោម
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) ប៉ោម \() = \frac{6}{24} = 25\%\)
\(P(\) មិនមែនប៉ោម \() = 100\% - 25\% = 75\%\)
គេបោះកាក់មួយចំនួន \(300\) ដង ៖
គណនាចំនួនដងរំពឹងទុកដែលបោះបានខាងរូប
បើជាក់ស្ដែងបោះបានខាងរូប \(142\) ដង រកចំនួនដងដែលចេញខាងលេខ
មើលដំណោះស្រាយ
បោះ ៣០០ ដង ៖
រំពឹងចេញរូប ៖ \(300 \times \frac{1}{2} = 150\) ដង
ចេញលេខជាក់ស្ដែង ៖ \(300 - 142 = 158\) ដង
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយចំនួន \(120\) ដង ៖
គណនាចំនួនដងរំពឹងទុកដែលចេញលេខ ២
គណនាចំនួនដងរំពឹងទុកដែលចេញលេខគូ
មើលដំណោះស្រាយ
បោះ ១២០ ដង ៖
ចេញលេខ ២ ៖ \(120 \times \frac{1}{6} = 20\) ដង
ចេញលេខគូ ៖ \(120 \times \frac{1}{2} = 60\) ដង
ប្រអប់មួយមានអំពូលភ្លើង ១០០ គ្រាប់ ក្នុងនោះមានអំពូលខូច ៥ គ្រាប់ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់ប៉ះអំពូលខូច
គណនាប្រូបាបចាប់ប៉ះអំពូលល្អ
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) ខូច \() = \frac{5}{100} = 0.05\)
\(P(\) ល្អ \() = 1 - 0.05 = 0.95\)
ក្នុងពិធីចាប់ឆ្នោតមួយមានសន្លឹកឆ្នោត ៥០០ សន្លឹក ដែលមានរង្វាន់ ២៥ សន្លឹក ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានសន្លឹកមានរង្វាន់
គណនាប្រូបាបចាប់បានសន្លឹកគ្មានរង្វាន់
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) រង្វាន់ \() = \frac{25}{500} = 0.05 = 5\%\)
\(P(\) គ្មាន \() = 1 - 0.05 = 0.95 = 95\%\)
ក្រុមហ៊ុនមួយផលិតម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយមានអត្រាខូច \(2\%\) ៖
រកប្រូបាបដែលទិញបានម៉ាស៊ីនល្អ
ក្នុងចំណោមម៉ាស៊ីន \(500\) គ្រឿង រំពឹងថានឹងមានម៉ាស៊ីនខូចប៉ុន្មានគ្រឿង?
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) ល្អ \() = 100\% - 2\% = 98\%\)
ម៉ាស៊ីនខូច ៖ \(500 \times 0.02 = 10\) គ្រឿង
ព្យាករណ៍ឧតុនិយមប្រកាសថា ឱកាសភ្លៀងធ្លាក់នៅរាជធានីភ្នំពេញគឺ \(65\%\) ៖
រកប្រូបាបដែលគ្មានភ្លៀងធ្លាក់គិតជាភាគរយ
សរសេរប្រូបាបគ្មានភ្លៀងធ្លាក់ជាប្រភាគសម្រួល
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) គ្មានភ្លៀង \() = 100\% - 65\% = 35\%\)
ជាប្រភាគ ៖ \(\frac{35}{100} = \frac{7}{20}\)
បុគ្គលិកម្នាក់ជិះម៉ូតូទៅធ្វើការ។ ប្រូបាបដែលគាត់ជួបភ្លើងក្រហមនៅស្ដុបគឺ \(0.35\) ៖
រកប្រូបាបដែលគាត់មិនជួបភ្លើងក្រហម
បើគាត់ធ្វើដំណើរ ១០០ ថ្ងៃ រំពឹងថានឹងជួបភ្លើងក្រហមប៉ុន្មានថ្ងៃ?
មើលដំណោះស្រាយ
\(P = 1 - 0.35 = 0.65\)
រំពឹងជួប ៖ \(100 \times 0.35 = 35\) ថ្ងៃ
ក្នុងថង់មួយមានបាល់ក្រហម ៤, បៃតង ៦, លឿង ២។ គេចាប់បាល់មួយ ៖
គណនាប្រូបាបចាប់បានបាល់ក្រហម ឬបៃតង
គណនាប្រូបាបចាប់បានបាល់មិនមែនលឿង
មើលដំណោះស្រាយ
សរុប ១២ គ្រាប់ ៖
\(P(\) ក្រហម ឬ បៃតង \() = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)
\(P(\) មិនមែនលឿង \() = 1 - \frac{2}{12} = \frac{5}{6}\)
គេមានបៀមួយហ៊ូ (៥២ សន្លឹក)។ គេដកបៀមួយសន្លឹកដោយចៃដន្យ ៖
គណនាប្រូបាបដកបានសន្លឹកអាត់ (Ace)
គណនាប្រូបាបដកបានសន្លឹកពណ៌ក្រហម (បេះដូង ឬការ៉ូ)
មើលដំណោះស្រាយ
បៀ ៥២ សន្លឹក ៖
\(P(\) អាត់ \() = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
\(P(\) ក្រហម \() = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\)
យោងតាមបៀ ៥២ សន្លឹកក្នុងលំហាត់ទី ៤៤ ៖
គណនាប្រូបាបដកបានសន្លឹកកូដ (King, Queen, Jack)
គណនាប្រូបាបដកបានសន្លឹកប៊ិច (Spade)
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) កូដ J,Q,K \() = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}\)
\(P(\) ប៊ិច \() = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
សិស្សម្នាក់ឆ្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ) ដែលមាន ៤ ជម្រើសដោយគ្រាន់តែស្មាន ៖
គណនាប្រូបាបដែលសិស្សនោះឆ្លើយត្រូវ
គណនាប្រូបាបដែលសិស្សនោះឆ្លើយខុស
មើលដំណោះស្រាយ
MCQ ៤ ជម្រើស ៖
\(P(\) ត្រូវ \() = \frac{1}{4} = 25\%\)
\(P(\) ខុស \() = \frac{3}{4} = 75\%\)
កាក់មួយមិនស្មើដៃ (Biased coin) មានប្រូបាបចេញខាងរូប \(P(\) រូប \() = 0.6\) ៖
រកប្រូបាបចេញខាងលេខ \(P(\) លេខ \()\)
បើបោះកាក់នេះ \(50\) ដង រំពឹងថានឹងចេញខាងលេខប៉ុន្មានដង?
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) លេខ \() = 1 - 0.6 = 0.4\)
រំពឹងចេញលេខ ៖ \(50 \times 0.4 = 20\) ដង
គ្រូពេទ្យម្នាក់ធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យដោយមានអត្រាត្រឹមត្រូវ \(95\%\) ៖
រកប្រូបាបដែលការធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យអាចមានកំហុស
ក្នុងចំណោមអ្នកជំងឺ \(200\) នាក់ រំពឹងថានឹងធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យត្រូវប៉ុន្មាននាក់?
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) កំហុស \() = 100\% - 95\% = 5\%\)
រំពឹងត្រូវ ៖ \(200 \times 0.95 = 190\) នាក់
ធុងមួយមានបាល់ពណ៌ក្រហម និងសសរុប ៥០ គ្រាប់។ ប្រូបាបចាប់បានបាល់ក្រហមគឺ \(0.28\) ៖
គណនាចំនួនបាល់ពណ៌ក្រហមក្នុងធុង
គណនាចំនួនបាល់ពណ៌សក្នុងធុង
មើលដំណោះស្រាយ
បាល់ក្រហម ៖ \(50 \times 0.28 = 14\) គ្រាប់
បាល់ស ៖ \(50 - 14 = 36\) គ្រាប់
គេបង្វិលថាសព្រួញមួយដែលមាន ៣ ពណ៌ ៖ ផ្ទៃក្រហមស្មើនឹង \(\frac{1}{2}\) នៃថាស, ផ្ទៃខៀវស្មើនឹង \(\frac{1}{3}\) នៃថាស និងនៅសល់ជាផ្ទៃលឿង ៖
គណនាប្រូបាបដែលព្រួញចង្អុលចំផ្ទៃពណ៌លឿង
បើបង្វិល ៦០ ដង រំពឹងថាព្រួញចង្អុលចំផ្ទៃពណ៌ខៀវប៉ុន្មានដង?
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(\) លឿង \() = 1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}\)
រំពឹងចេញខៀវ ៖ \(60 \times \frac{1}{3} = 20\) ដង
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២០ ប្រូបាប — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី