មុំ

• កំពូល \(A\), ជ្រុង \(AB, AC\) ៖ និមិត្តសញ្ញា \(\angle BAC\) (ឬ \(\angle A\))

• កំពូល \(O\), ជ្រុង \(Om, On\) ៖ និមិត្តសញ្ញា \(\angle mOn\)

• កំពូល \(M\), ជ្រុង \(MN, MP\) ៖ និមិត្តសញ្ញា \(\angle NMP\) (ឬ \(\angle M\))

• កំពូល \(K\), ជ្រុង \(Kx, Ky\) ៖ និមិត្តសញ្ញា \(\angle xKy\)

ចាត់ថ្នាក់មុំ ៖

• \(35^\circ < 90^\circ\) ៖ មុំស្រួច

• \(90^\circ\) ៖ មុំកែង

• \(125^\circ\) (\(90^\circ < 125^\circ < 180^\circ\)) ៖ មុំទាល

• \(180^\circ\) ៖ មុំរាប

• \(89^\circ < 90^\circ\) ៖ មុំស្រួច

• \(91^\circ\) ៖ មុំទាល

• \(15^\circ < 90^\circ\) ៖ មុំស្រួច

• \(179^\circ\) ៖ មុំទាល

ប្ដូរជារង្វាស់ជាមីនុត (\('\)) (ដឹងថា \(1^\circ = 60'\)) ៖

• \(5^\circ = 5 \times 60' = 300'\)

• \(12^\circ = 12 \times 60' = 720'\)

• \(2.5^\circ = 2.5 \times 60' = 150'\)

• \(10.25^\circ = 10.25 \times 60' = 615'\)

ប្ដូរជារង្វាស់ជាសឺកុង (\(''\)) ៖

• \(4' = 4 \times 60'' = 240''\)

• \(15' = 15 \times 60'' = 900''\)

• \(2^\circ = 2 \times 3600'' = 7200''\)

• \(3^\circ 20' = 3 \times 3600'' + 20 \times 60'' = 12000''\)

ប្ដូរជាដឺក្រេ មីនុត សឺកុង ៖

• \(3250'' = 54' 10'' = 0^\circ 54' 10''\)

• \(5420'' = 90' 20'' = 1^\circ 30' 20''\)

• \(15200'' = 4^\circ 13' 20''\)

• \(45.5^\circ = 45^\circ + 0.5 \times 60' = 45^\circ 30' 00''\)

គណនាផលបូករង្វាស់មុំ ៖

• \(18^\circ 25' + 32^\circ 15' = 50^\circ 40'\)

• \(24^\circ 45' + 35^\circ 30' = 59^\circ 75' = 60^\circ 15'\)

• \(12^\circ 35' 40'' + 27^\circ 42' 35'' = 39^\circ 77' 75'' = 40^\circ 18' 15''\)

• \(45^\circ 52' 18'' + 19^\circ 28' 54'' = 64^\circ 80' 72'' = 65^\circ 21' 12''\)

គណនាផលសងរង្វាស់មុំ ៖

• \(58^\circ 40' - 23^\circ 15' = 35^\circ 25'\)

• \(90^\circ - 34^\circ 28' = 89^\circ 60' - 34^\circ 28' = 55^\circ 32'\)

• \(180^\circ - 125^\circ 42' = 179^\circ 60' - 125^\circ 42' = 54^\circ 18'\)

• \(42^\circ 15' 20'' - 18^\circ 36' 45'' = 41^\circ 74' 80'' - 18^\circ 36' 45'' = 23^\circ 38' 35''\)

គណនាផលគុណ និងផលចែក ៖

• \((15^\circ 20') \times 3 = 45^\circ 60' = 46^\circ 00'\)

• \((12^\circ 15' 30'') \times 4 = 48^\circ 60' 120'' = 49^\circ 02' 00''\)

• \((45^\circ 30') \div 2 = 44^\circ 90' \div 2 = 22^\circ 45'\)

• \((75^\circ 40' 20'') \div 4 = 18^\circ 55' 05''\)

គេឱ្យ \(\angle AOB = 65^\circ\) ៖

• មុំបំពេញ ៖ \(90^\circ - 65^\circ = 25^\circ\)

• មុំបន្ថែម ៖ \(180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\)

រកមុំបំពេញ និងមុំបន្ថែម ៖

• \(20^\circ\) ៖ បំពេញ \(70^\circ\), បន្ថែម \(160^\circ\)

• \(48^\circ\) ៖ បំពេញ \(42^\circ\), បន្ថែម \(132^\circ\)

• \(72^\circ\) ៖ បំពេញ \(18^\circ\), បន្ថែម \(108^\circ\)

• \(85^\circ\) ៖ បំពេញ \(5^\circ\), បន្ថែម \(95^\circ\)

តាងមុំទាំងពីរដោយ \(x\) និង \(y\) (\(x > y\)) ៖
យើងមាន \(\begin{cases} x + y = 90^\circ \\ x - y = 24^\circ \end{cases}\)
បូកអង្គនិងអង្គ ៖ \(2x = 114^\circ \Rightarrow x = 57^\circ\)
នាំឱ្យ \(y = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ\)
ដូចនេះ មុំទាំងពីរគឺ \(57^\circ\) និង \(33^\circ\)។

តាងមុំទាំងពីរដោយ \(x\) និង \(y\) (\(x > y\)) ៖
យើងមាន \(\begin{cases} x + y = 180^\circ \\ x - y = 50^\circ \end{cases}\)
បូកអង្គនិងអង្គ ៖ \(2x = 230^\circ \Rightarrow x = 115^\circ\)
នាំឱ្យ \(y = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\)
ដូចនេះ មុំទាំងពីរគឺ \(115^\circ\) និង \(65^\circ\)។

តាងមុំទាំងពីរដោយ \(x\) និង \(y\) ៖
\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{x+y}{2+3} = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ\)

• \(x = 2 \times 18^\circ = 36^\circ\)

• \(y = 3 \times 18^\circ = 54^\circ\)

ដូចនេះ មុំទាំងពីរមានរង្វាស់ \(36^\circ\) និង \(54^\circ\)។

តាងមុំទាំងពីរដោយ \(x\) និង \(y\) ៖
\(\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{x+y}{4+5} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ\)

• \(x = 4 \times 20^\circ = 80^\circ\)

• \(y = 5 \times 20^\circ = 100^\circ\)

ដូចនេះ មុំទាំងពីរគឺ \(80^\circ\) និង \(100^\circ\)។

• ក. រង្វាស់មុំ \(\angle xOz\) ៖
  \(\angle xOz = \angle xOy + \angle yOz = 45^\circ + 35^\circ = 80^\circ\)

• ខ. ដោយ \(80^\circ < 90^\circ\) នោះ \(\angle xOz\) ជាមុំស្រួច។

• ក. \(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ\)

• ខ. \(\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ\)

• ក. មុំជាប់បន្ថែមមានផលបូក \(180^\circ\) ៖
  \(3x + 2x = 180^\circ \Rightarrow 5x = 180^\circ \Rightarrow x = 36^\circ\)

• ខ. រង្វាស់មុំ ៖
  \(\angle AOB = 3 \times 36^\circ = 108^\circ\)
  \(\angle BOC = 2 \times 36^\circ = 72^\circ\)

• ក. មុំជាប់បំពេញមានផលបូក \(90^\circ\) ៖
  \((x + 15^\circ) + 2x = 90^\circ \Rightarrow 3x = 75^\circ \Rightarrow x = 25^\circ\)

• ខ. រង្វាស់មុំ ៖
  \(\angle MON = 25^\circ + 15^\circ = 40^\circ\)
  \(\angle NOP = 2 \times 25^\circ = 50^\circ\)

គណនារង្វាស់មុំ ៖

• \(\angle BOD = \angle AOC = 52^\circ\) (មុំទល់កំពូល)

• \(\angle AOD = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ\) (មុំជាប់បន្ថែម)

• \(\angle BOC = \angle AOD = 128^\circ\) (មុំទល់កំពូល)

បន្ទាត់ \(xy\) និង \(zt\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(I\) ៖

• គូមុំទល់កំពូល ៖ \((\angle xIz, \angle yIt)\) និង \((\angle xIt, \angle yIz)\)

• រង្វាស់មុំ ៖
  \(\angle yIt = \angle xIz = 118^\circ\)
  \(\angle xIt = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\)
  \(\angle yIz = \angle xIt = 62^\circ\)

• ក. មុំទល់កំពូលមានរង្វាស់ស្មើគ្នា ៖
  \(4x - 20^\circ = 2x + 30^\circ \Rightarrow 2x = 50^\circ \Rightarrow x = 25^\circ\)

• ខ. រង្វាស់មុំនីមួយៗ ៖
  \(4(25^\circ) - 20^\circ = 100^\circ - 20^\circ = 80^\circ\)

ផលបូកមុំជាប់បន្ថែមស្មើ \(180^\circ\) ៖
\((5x - 10^\circ) + (3x + 30^\circ) = 180^\circ\)
\(8x + 20^\circ = 180^\circ \Rightarrow 8x = 160^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\)
រង្វាស់មុំទាំងពីរ ៖

• \(5(20^\circ) - 10^\circ = 90^\circ\)

• \(3(20^\circ) + 30^\circ = 90^\circ\)

• ក. \([Ot)\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ ៖
  \(\angle xOt = \angle tOy = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\)

• ខ. ដោយ \(60^\circ < 90^\circ\) នាំឱ្យមុំទាំងពីរជាមុំស្រួច។

• ក. \([OM)\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ ៖
  \(\angle AOB = 2 \times 36^\circ 30' = 73^\circ 00'\)

• ខ. ដោយ \(73^\circ < 90^\circ\) នាំឱ្យ \(\angle AOB\) ជាមុំស្រួច។

យើងមាន \(\angle xOz + \angle zOy = 180^\circ\) (មុំជាប់បន្ថែម)។
ដោយ \([Om)\) និង \([On)\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ ៖
\(\angle mOz = \frac{\angle xOz}{2}\) និង \(\angle zOn = \frac{\angle zOy}{2}\)
នាំឱ្យ \(\angle mOn = \angle mOz + \angle zOn = \frac{\angle xOz + \angle zOy}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\)
ដូចនេះ កន្លះបន្ទាត់ពុះទាំងពីរកែងគ្នា (\(Om \perp On\))។

• ក. រង្វាស់មុំ \(\angle AOB\) ៖
  \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle xOA + \angle yOB) = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ) = 90^\circ\)

• ខ. ដោយ \(\angle AOB = 90^\circ\) នោះកន្លះបន្ទាត់ \(OA\) និង \(OB\) កែងគ្នា (\(OA \perp OB\))។

គណនា \(\angle xOz\) ជា ២ ករណី ៖

• ករណី \(Oz\) នៅក្រៅ \(\angle xOy\) ៖
  \(\angle xOz = \angle xOy + \angle yOz = 80^\circ + 50^\circ = 130^\circ\)

• ករណី \(Oz\) នៅខាងក្នុង \(\angle xOy\) ៖
  \(\angle xOz = \angle xOy - \angle yOz = 80^\circ - 50^\circ = 30^\circ\)

តាង \(x\) ជារង្វាស់មុំនោះ ៖
មុំបំពេញនៃ \(x\) គឺ \(90^\circ - x\)។
តាមបម្រាប់ ៖ \(x = 4(90^\circ - x) \Rightarrow x = 360^\circ - 4x\)
\(5x = 360^\circ \Rightarrow x = 72^\circ\)
ដូចនេះ មុំនោះមានរង្វាស់ \(72^\circ\)។

តាង \(x\) ជារង្វាស់មុំនោះ ៖
មុំបន្ថែមនៃ \(x\) គឺ \(180^\circ - x\)។
តាមបម្រាប់ ៖ \(x = 5(180^\circ - x) \Rightarrow x = 900^\circ - 5x\)
\(6x = 900^\circ \Rightarrow x = 150^\circ\)
ដូចនេះ មុំនោះមានរង្វាស់ \(150^\circ\)។

តាង \(x\) ជារង្វាស់មុំនោះ ៖
តាមបម្រាប់ ៖ \(x = \frac{1}{2}(180^\circ - x)\)
\(2x = 180^\circ - x \Rightarrow 3x = 180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ\)
ដូចនេះ មុំនោះមានរង្វាស់ \(60^\circ\)។

តាង \(x\) ជារង្វាស់មុំដើម ៖
\((90^\circ - x) + (180^\circ - x) = 150^\circ\)
\(270^\circ - 2x = 150^\circ \Rightarrow 2x = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ\)
ដូចនេះ មុំដើមនោះមានរង្វាស់ \(60^\circ\)។

តាមបម្រាប់ ៖
\((180^\circ - \alpha) - 3(90^\circ - \alpha) = 10^\circ\)
\(180^\circ - \alpha - 270^\circ + 3\alpha = 10^\circ\)
\(2\alpha - 90^\circ = 10^\circ \Rightarrow 2\alpha = 100^\circ \Rightarrow \alpha = 50^\circ\)។

• ក. ចំនួនគូមុំទល់កំពូល ៖ \(3 \times 2 = 6\) គូ។

• ខ. ដោយ \(A, O, B\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា ៖
  \(\angle EOB = 180^\circ - (\angle AOC + \angle COE) = 180^\circ - (40^\circ + 75^\circ) = 65^\circ\)
  \(\angle BOD = \angle AOC = 40^\circ\) (មុំទល់កំពូល)។

ផលបូកមុំពីរស្មើ \(100^\circ\) គឺជាមុំទល់កំពូល ៖
\(\angle 1 = \angle 2 = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\)
មុំពីរទៀតជាមុំជាប់បន្ថែម ៖
\(\angle 3 = \angle 4 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)
ដូចនេះ មុំទាំងបួនគឺ \(50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ\)។

ផលបូកមុំទាំងបួនជុំវិញចំណុចមួយស្មើ \(360^\circ\) ៖
មុំទីបួន ៖ \(360^\circ - 250^\circ = 110^\circ\)
មុំទល់កំពូលរបស់វា ៖ \(110^\circ\)
មុំពីរទៀតស្មើគ្នា ៖ \(\frac{360^\circ - 2(110^\circ)}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ\)
ដូចនេះ មុំទាំងបួនគឺ \(110^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 70^\circ\)។

• ក. \(\angle AOB = 90^\circ - (\angle xOA + \angle yOB) = 90^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 30^\circ\)

• ខ. តាង \(Ot\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\angle xOy \Rightarrow \angle xOt = 45^\circ\)។
  \(\angle AOt = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ\)
  \(\angle tOB = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ\)
  ដោយ \(\angle AOt = \angle tOB = 15^\circ\) នោះ \(Ot\) ក៏ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\angle AOB\) ដែរ។

\([Ot)\) ជាពុះមុំ \(\angle xOy \Rightarrow \angle xOt = \angle tOy = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ\)។
ដោយ \(Ot'\) ឈមនឹង \(Ot\) នាំឱ្យ ៖

• \(\angle xOt' = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\)

• \(\angle yOt' = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\)

• ក. \(\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)

• ខ. \(OD\) ជាពុះមុំនៃ \(\angle BOC \Rightarrow \angle BOD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\)
  \(\angle AOD = \angle AOB + \angle BOD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\)

ផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណស្មើ \(180^\circ\) ៖
\(\angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ\)
មុំក្រៅត្រង់កំពូល \(C\) គឺ ៖
\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (ឬ \(\angle A + \angle B = 120^\circ\))។

ផលបូកមុំជុំវិញចំណុចមួយស្មើ \(360^\circ\) ៖
រង្វាស់មុំនីមួយៗ ៖ \(\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ\)
ដោយ \(72^\circ < 90^\circ\) នាំឱ្យមុំនីមួយៗជាមុំស្រួច។

ផលបូកមុំជុំវិញចំណុចមួយស្មើ \(360^\circ\) ៖
\(x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ \Rightarrow 10x = 360^\circ \Rightarrow x = 36^\circ\)
រង្វាស់មុំនីមួយៗ ៖

• \(x = 36^\circ\)

• \(2x = 72^\circ\)

• \(3x = 108^\circ\)

• \(4x = 144^\circ\)

\([Oz)\) ជាពុះមុំ \(\angle xOy \Rightarrow \angle xOz = \angle zOy = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\)។
\([Ot)\) ជាពុះមុំ \(\angle xOz \Rightarrow \angle zOt = \frac{35^\circ}{2} = 17.5^\circ\)។
\(\angle tOy = \angle zOt + \angle zOy = 17.5^\circ + 35^\circ = 52.5^\circ = 52^\circ 30'\)។

\(Ox, Oy\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំជាប់គ្នា ៖
\(\angle xOy = \frac{\angle AOB}{2} + \frac{\angle BOC}{2} = \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\)។

\(Ox, Oy\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំជាប់គ្នា ៖
\(\angle xOy = \frac{\angle AOB + \angle BOC}{2} = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\)។

តាងមុំជាប់គ្នាពីរគឺ \(\angle AOB\) និង \(\angle BOC\) ហើយ \(Ox, Oy\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះរៀងគ្នា។
យើងមាន \(\angle xOB = \frac{1}{2}\angle AOB\) និង \(\angle BOy = \frac{1}{2}\angle BOC\)
\(\angle xOy = \angle xOB + \angle BOy = \frac{1}{2}(\angle AOB + \angle BOC)\)
ពិតជាស្មើនឹងពាក់កណ្ដាលនៃផលបូករង្វាស់មុំទាំងពីរ។

តាង \(Ot\) ជាពុះមុំនៃ \(\angle xOy \Rightarrow \angle yOt = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ\)។
តាង \(Oy'\) ជាកន្លះបន្ទាត់ឈមនៃ \(Oy \Rightarrow \angle yOy' = 180^\circ\)។
មុំរវាង \(Ot\) និង \(Oy'\) គឺ ៖
\(\angle tOy' = 180^\circ - \angle yOt = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\)។

តាងមុំទល់កំពូលពីរគឺ \(\angle AOB\) និង \(\angle A'OB'\)។
តាង \(Ot\) និង \(Ot'\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះរៀងគ្នា ៖
\(\angle AOt = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}\angle A'OB' = \angle A'Ot'\)
\(\angle tOA' + \angle A'Ot' = (180^\circ - \angle AOt) + \angle AOt = 180^\circ\)
នាំឱ្យ \(Ot\) និង \(Ot'\) បង្កើតបានជាបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ (កន្លះបន្ទាត់ឈមគ្នា)។

• ក. \(\angle COD = 180^\circ - (\angle AOC + \angle BOD) = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ) = 90^\circ\)

• ខ. ដោយ \(\angle COD = 90^\circ\) នោះកន្លះបន្ទាត់ \(OC\) និង \(OD\) កែងគ្នា (\(OC \perp OD\))។

សមីការ ៖ \((180^\circ - x) - 4(90^\circ - x) = 15^\circ\)
\(180^\circ - x - 360^\circ + 4x = 15^\circ\)
\(3x - 180^\circ = 15^\circ \Rightarrow 3x = 195^\circ \Rightarrow x = 65^\circ\)
ដូចនេះ តម្លៃនៃ \(x\) គឺ \(65^\circ\)។

• ក. នៅម៉ោង ៣:០០ ៖ មុំរវាងទ្រនិចទាំងពីរគឺ \(3 \times 30^\circ = 90^\circ\) (មុំកែង)។

• ខ. នៅម៉ោង ៦:០០ ៖ មុំរវាងទ្រនិចទាំងពីរគឺ \(6 \times 30^\circ = 180^\circ\) ជាមុំរាប។

• គ. នៅម៉ោង ៤:០០ ៖ \(4 \times 30^\circ = 120^\circ\)។
  នៅម៉ោង ៨:០០ ៖ \(4 \times 30^\circ = 120^\circ\) (មុំតូចជាង)។