KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ៧
  3. មេរៀនទី ៤
៤
មេរៀនទី ៤ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៧

ប្រភាគ

នព្វន្ត៨ ផ្នែកលំហាត់ ៥០សំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០
ប្រវត្តិនៃប្រភាគ និងរបារបន្ទាត់ប្រភាគ

សញ្ញាណនៃប្រភាគបានកកើតឡើងតាំងពីរាប់ពាន់ឆ្នាំមុនគ.ស. នៅពេលដែលមនុស្សត្រូវការបែងចែកដីធ្លី ស្បៀងអាហារ និងវាស់វែងបរិមាណដែលមិនពេញមួយឯកតា។

ក្នុងអារ្យធម៌អេហ្ស៊ីបបុរាណ (ប្រមាណ ១៦៥០ ឆ្នាំមុន គ.ស.) ដូចដែលបានកត់ត្រាក្នុងក្រដាសប៉ាពីរុស Rhind Mathematical Papyrus ជនជាតិអេហ្ស៊ីបបានប្រើប្រាស់តែ «ប្រភាគឯកតា» (Unit Fractions) ដែលមានភាគយកស្មើនឹង \(1\) ប៉ុណ្ណោះ ដូចជា \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\) (លើកលែងតែប្រភាគពិសេស \(\frac{2}{3}\)) ហើយរាល់ប្រភាគផ្សេងៗត្រូវបានបំបែកជាផលបូកនៃប្រភាគឯកតា។ រីឯជនជាតិបាប៊ីឡូនបានប្រើប្រាស់ប្រភាគដែលមានភាគបែងជាប្រព័ន្ធគោល ៦០ សម្រាប់កិច្ចការតារាសាស្ត្រ និងការវាស់មុំ។

នៅប្រទេសឥណ្ឌា គណិតវិទូបុរាណ Aryabhata (សតវត្សទី៥) និង Brahmagupta (សតវត្សទី៧) បានសរសេរប្រភាគដោយដាក់ភាគយកនៅពីលើភាគបែង ប៉ុន្តែពុំទាន់មានរបារបន្ទាត់ខណ្ឌកណ្ដាលឡើយ (ឧទាហរណ៍ សរសេរលេខ \(3\) នៅលើលេខ \(4\))។

លុះមកដល់សតវត្សទី១២ គណិតវិទូអារ៉ាប់ដើមកំណើតម៉ារ៉ុក Abu Bakr al-Hassar បានបង្កើតរបារបន្ទាត់ផ្ដេកខណ្ឌចែករវាងភាគយក និងភាគបែងជាលើកដំបូងក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ជាសកលរហូតដល់សព្វថ្ងៃ បន្ទាប់ពីគណិតវិទូអ៊ីតាលី Leonardo Fibonacci បាននាំយកមកផ្សព្វផ្សាយនៅទ្វីបអឺរ៉ុបតាមរយៈសៀវភៅ Liber Abaci ក្នុងឆ្នាំ ១២០២។

សញ្ញាណប្រភាគ និងគំរូរូបភាព

ប្រភាគ

ប្រភាគ គឺជាចំនួនដែលសរសេរក្រោមទម្រង់ \(\dfrac{a}{b}\) ដែល ៖

  • \(a\) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ហៅថា ភាគយក (Numerator)។

  • \(b\) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបខុសពីសូន្យ (\(b \ne 0\)) ហៅថា ភាគបែង (Denominator)។

អត្ថន័យធរណីមាត្រ ៖ ភាគបែង \(b\) បង្ហាញពីចំនួនចំណែកស្មើៗគ្នាដែលឯកតាទាំងមូលត្រូវបានបែងចែក ហើយភាគយក \(a\) បង្ហាញពីចំនួនចំណែកដែលត្រូវបានជ្រើសរើស ឬផាត់ពណ៌។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រភេទនៃប្រភាគ និងចំនួនចម្រុះ

  • ប្រភាគសុទ្ធ (Proper Fraction) ៖ ប្រភាគដែលភាគយកតូចជាងភាគបែង (\(|a| < |b|\)) ដូចជា \(\frac{2}{3}, \frac{5}{7}, -\frac{3}{8}\) (តម្លៃរបស់វាតូចជាង \(1\))។

  • ប្រភាគមិនសុទ្ធ (Improper Fraction) ៖ ប្រភាគដែលភាគយកធំជាង ឬស្មើភាគបែង (\(|a| \ge |b|\)) ដូចជា \(\frac{7}{4}, \frac{11}{5}, \frac{9}{9}\) (តម្លៃរបស់វាធំជាង ឬស្មើ \(1\))។

  • ចំនួនចម្រុះ (Mixed Number) ៖ ចំនួនដែលផ្សំឡើងដោយចំនួនគត់ និងប្រភាគសុទ្ធ ៖

    \[q\frac{r}{b} = q + \frac{r}{b} = \frac{q \times b + r}{b} \qquad{} (r < b)\]
    ឧទាហរណ៍ ៖ \(\dfrac{11}{4} = \dfrac{2 \times 4 + 3}{4} = 2\dfrac{3}{4}\)។

ឧទាហរណ៍

ក. បំប្លែងប្រភាគមិនសុទ្ធ \(\frac{17}{5}\) និង \(\frac{29}{6}\) ជាចំនួនចម្រុះ។
ខ. បំប្លែងចំនួនចម្រុះ \(3\frac{2}{7}\) និង \(5\frac{3}{4}\) ជាប្រភាគមិនសុទ្ធ។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. បំប្លែងជាចំនួនចម្រុះ ៖

    • \(17 \div 5 = 3\) សល់សំណល់ \(2 \implies \dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}\)

    • \(29 \div 6 = 4\) សល់សំណល់ \(5 \implies \dfrac{29}{6} = 4\dfrac{5}{6}\)

  2. បំប្លែងជាប្រភាគមិនសុទ្ធ ៖

    • \(3\dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 7 + 2}{7} = \dfrac{21 + 2}{7} = \dfrac{23}{7}\)

    • \(5\dfrac{3}{4} = \dfrac{5 \times 4 + 3}{4} = \dfrac{20 + 3}{4} = \dfrac{23}{4}\)

កំណត់ និងបំប្លែងប្រភាគ

១. បំប្លែងប្រភាគមិនសុទ្ធខាងក្រោមជាចំនួនចម្រុះ ៖

  1. \(\dfrac{23}{4}\)

  2. \(\dfrac{37}{7}\)

  3. \(\dfrac{45}{8}\)

២. បំប្លែងចំនួនចម្រុះខាងក្រោមជាប្រភាគមិនសុទ្ធ ៖

  1. \(4\dfrac{3}{5}\)

  2. \(6\dfrac{1}{8}\)

  3. \(2\dfrac{7}{9}\)

ប្រភាគសមមូល ឬប្រភាគស្មើគ្នា

ប្រភាគសមមូល

ពីរប្រភាគ \(\dfrac{a}{b}\) និង \(\dfrac{c}{d}\) ហៅថាជាប្រភាគសមមូល ឬស្មើគ្នា (កំណត់សរសេរ \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)) លុះត្រាតែផលគុណខ្វែងរបស់វាស្មើគ្នា ៖

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c \qquad{} (b \ne 0, d \ne 0)\]

លក្ខណៈគ្រឹះនៃប្រភាគសមមូល

បើគេគុណ ឬចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគមួយនឹងចំនួនគត់ខុសពីសូន្យ \(k\) តែមួយ នោះគេទទួលបានប្រភាគថ្មីមួយសមមូលនឹងប្រភាគដើម ៖

\[\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad{} \text{និង} \qquad{} \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} \qquad{} (k \ne 0)\]

ឧទាហរណ៍

ក. រកតម្លៃ \(x\) បើគេដឹងថា \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{24}{30}\)។
ខ. បំពេញចំនួនក្នុងប្រអប់ \(\Box\) ៖ \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{\Box}{28} = \dfrac{27}{\Box}\)។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. ដោយ \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{24}{30} \implies x \times 30 = 5 \times 24 \implies 30x = 120 \implies x = \dfrac{120}{30} = 4\)។

  2. គេមាន \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{12}{28} \implies \Box = 12\)។
    និង \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 9}{7 \times 9} = \dfrac{27}{63} \implies \Box = 63\)។

ស្វែងរកតម្លៃមិនស្គាល់ក្នុងប្រភាគសមមូល

១. រកតម្លៃ \(x\) ក្នុងសមភាពខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{x}{8} = \dfrac{21}{56}\)

  2. \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{x}{60}\)

  3. \(\dfrac{x - 1}{4} = \dfrac{6}{8}\)

  4. \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{-15}{25}\)

២. បំពេញប្រអប់ ៖ \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{\Box}{12} = \dfrac{10}{\Box} = \dfrac{\Box}{30} = \dfrac{24}{\Box}\)។

ការសម្រួលប្រភាគ និងប្រភាគបង្រួមមិនបាន

ការសម្រួលប្រភាគ

សម្រួលប្រភាគ គឺការចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនឹងតួចែករួមធំបំផុត (\(\gcd\)) របស់វា ដើម្បីទទួលបានប្រភាគបង្រួមមិនបាន (Irreducible Fraction) ដែលសមមូលនឹងប្រភាគដើម។

  • ប្រភាគ \(\dfrac{a}{b}\) ជាប្រភាគបង្រួមមិនបាន លុះត្រាតែ \(\gcd(|a|, |b|) = 1\)។

  • សញ្ញានៃប្រភាគ ៖ \(\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}\) និង \(\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}\)។

ឧទាហរណ៍

សម្រួលប្រភាគខាងក្រោមឱ្យទៅជាប្រភាគបង្រួមមិនបាន ៖

  1. \(\dfrac{48}{72}\)

  2. \(\dfrac{-35}{105}\)

  3. \(\dfrac{-84}{-126}\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. \(\gcd(48, 72) = 24 \implies \dfrac{48}{72} = \dfrac{48 \div 24}{72 \div 24} = \dfrac{2}{3}\)

  2. \(\gcd(35, 105) = 35 \implies \dfrac{-35}{105} = \dfrac{-35 \div 35}{105 \div 35} = -\dfrac{1}{3}\)

  3. \(\gcd(84, 126) = 42 \implies \dfrac{-84}{-126} = \dfrac{84 \div 42}{126 \div 42} = \dfrac{2}{3}\)

សម្រួលប្រភាគ

សម្រួលប្រភាគខាងក្រោមឱ្យទៅជាប្រភាគបង្រួមមិនបាន ៖

  1. \(\dfrac{36}{90}\)

  2. \(\dfrac{-45}{60}\)

  3. \(\dfrac{56}{-140}\)

  4. \(\dfrac{-75}{-125}\)

  5. \(\dfrac{144}{216}\)

  6. \(\dfrac{-108}{180}\)

ការប្រៀបធៀប និងរៀបលំដាប់ប្រភាគ

វិធាននៃការប្រៀបធៀបប្រភាគ

  • ប្រភាគមានភាគបែងដូចគ្នា ៖ ប្រភាគណាដែលមានភាគយកធំជាង ជាប្រភាគធំជាង ៖

    \[\frac{a}{m} > \frac{b}{m} \iff a > b \qquad{} (m > 0)\]

  • ប្រភាគមានភាគយកដូចគ្នា (\(a > 0\)) ៖ ប្រភាគណាដែលមានភាគបែងតូចជាង ជាប្រភាគធំជាង ៖

    \[\frac{a}{b} > \frac{a}{c} \iff b < c \qquad{} (b, c > 0)\]

  • ប្រភាគមានភាគបែងខុសគ្នា ៖ គេត្រូវតម្រូវភាគបែងរួម (យកពហុគុណរួមតូចបំផុត \(\text{lcm}\) នៃភាគបែងធ្វើជាភាគបែងរួម) រួចប្រៀបធៀបភាគយក និងភាគយក។

ឧទាហរណ៍

ប្រៀបធៀប និងរៀបប្រភាគខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន ៖ \(\dfrac{5}{6}, \quad{} \dfrac{3}{4}, \quad{} \dfrac{7}{12}, \quad{} \dfrac{2}{3}\)។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  • រកភាគបែងរួម ៖ \(\text{lcm}(6, 4, 12, 3) = 12\)។

  • តម្រូវភាគបែង ៖ \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}, \quad{} \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}, \quad{} \dfrac{7}{12} = \dfrac{7}{12}, \quad{} \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\)។

  • ដោយ \(7 < 8 < 9 < 10 \implies \dfrac{7}{12} < \dfrac{8}{12} < \dfrac{9}{12} < \dfrac{10}{12}\)។

  • ដូចនេះ លំដាប់កើនគឺ ៖ \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}\)។

ប្រៀបធៀប និងរៀបលំដាប់

១. ប្រៀបធៀបគូចំនួនប្រភាគដោយប្រើសញ្ញា \(<\) ឬ \(>\) ៖

  1. \(\dfrac{7}{9}\) និង \(\dfrac{5}{6}\)

  2. \(-\dfrac{3}{5}\) និង \(-\dfrac{4}{7}\)

២. ចូររៀបប្រភាគខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន ៖ \(\dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{12}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{16}\)។
៣. ចូររៀបប្រភាគខាងក្រោមតាមលំដាប់ចុះ ៖ \(\dfrac{4}{5}, \dfrac{7}{10}, \dfrac{11}{15}, \dfrac{2}{3}\)។

វិធីបូក និងវិធីដកប្រភាគ

វិធាននៃវិធីបូក និងវិធីដកប្រភាគ

  • ប្រភាគមានភាគបែងដូចគ្នា ៖ គេបូក ឬដកតែភាគយក និងភាគយក ហើយរក្សាភាគបែងរួមដដែល ៖

    \[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \qquad{} \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} \qquad{} (c \ne 0)\]

  • ប្រភាគមានភាគបែងខុសគ្នា ៖ គេត្រូវតម្រូវភាគបែងរួម (តាមរយៈ \(\text{lcm}\)) រួចបូក ឬដកភាគយក ៖

    \[\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \times d \pm b \times c}{b \times d} \qquad{} (b, d \ne 0)\]

ឧទាហរណ៍

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម រួចសម្រួលលទ្ធផលជាប្រភាគបង្រួមមិនបាន ៖

  1. \(A = \dfrac{7}{15} + \dfrac{4}{15} - \dfrac{2}{15}\)

  2. \(B = \dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{7}{12}\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. \(A = \dfrac{7 + 4 - 2}{15} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{9 \div 3}{15 \div 3} = \dfrac{3}{5}\)

  2. ភាគបែងរួមនៃ \(8, 6, 12\) គឺ \(\text{lcm}(8, 6, 12) = 24\) ៖

    \[B = \frac{5 \times 3}{24} - \frac{1 \times 4}{24} + \frac{7 \times 2}{24} = \frac{15 - 4 + 14}{24} = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}\]

គណនាផលបូក និងផលដកប្រភាគ

គណនា រួចសម្រួលលទ្ធផល ៖

  1. \(\dfrac{5}{14} + \dfrac{3}{7}\)

  2. \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{5}{12}\)

  3. \(2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{3}{4}\)

  4. \(3\dfrac{2}{5} - 1\dfrac{7}{10}\)

  5. \(-\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{6}\)

  6. \(\dfrac{4}{15} - \left(-\dfrac{2}{5}\right) - \dfrac{7}{30}\)

វិធីគុណ និងវិធីចែកប្រភាគ

វិធាននៃវិធីគុណ និងវិធីចែកប្រភាគ

  • វិធីគុណ ៖ គេគុណភាគយកនឹងភាគយក ហើយគុណភាគបែងនឹងភាគបែង ៖

    \[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \qquad{} (b \ne 0, d \ne 0)\]

  • ចម្រាសនៃប្រភាគ ៖ ចម្រាសនៃប្រភាគ \(\dfrac{a}{b}\) (\(a \ne 0, b \ne 0\)) គឺ \(\dfrac{b}{a}\) ពីព្រោះ \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = 1\)។

  • វិធីចែក ៖ ដើម្បីចែកប្រភាគមួយនឹងប្រភាគមួយទៀត គេត្រូវយកប្រភាគទីមួយគុណនឹងចម្រាសនៃប្រភាគទីពីរ ៖

    \[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \qquad{} (b, c, d \ne 0)\]

ឧទាហរណ៍

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(C = \dfrac{-15}{28} \times \dfrac{14}{25}\)

  2. \(D = \dfrac{9}{16} \div \left(-\dfrac{27}{32}\right)\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. សម្រួលកត្តារួមមុនពេលគុណ ៖

    \[C = -\frac{15 \times 14}{28 \times 25} = -\frac{(3 \times 5) \times (2 \times 7)}{(4 \times 7) \times (5 \times 5)} = -\frac{3 \times 2}{4 \times 5} = -\frac{6}{20} = -\frac{3}{10}\]

  2. គុណនឹងចម្រាស ៖

    \[D = \frac{9}{16} \times \left(-\frac{32}{27}\right) = -\frac{9 \times 32}{16 \times 27} = -\frac{1 \times 2}{1 \times 3} = -\frac{2}{3}\]

គណនាផលគុណ និងផលចែកប្រភាគ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{8}{15} \times \dfrac{25}{16}\)

  2. \(\left(-\dfrac{14}{27}\right) \times \left(-\dfrac{18}{35}\right)\)

  3. \(\dfrac{21}{32} \div \dfrac{7}{8}\)

  4. \(\left(-\dfrac{15}{26}\right) \div \dfrac{25}{39}\)

  5. \(2\dfrac{1}{7} \times 1\dfrac{2}{5}\)

  6. \(3\dfrac{3}{4} \div 2\dfrac{1}{2}\)

កន្សោមចម្រុះ និងលំដាប់នៃប្រមាណវិធីលើប្រភាគ

អាទិភាពនៃប្រមាណវិធី និងប្រភាគជាន់

  • អនុវត្តតាមលំដាប់ ៖ វង់ក្រចក \(\to\) ស្វ័យគុណ \(\to\) គុណ/ចែក \(\to\) បូក/ដក (ពីឆ្វេងទៅស្ដាំ)។

  • ប្រភាគជាន់ (Complex Fraction) ៖

    \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times c}\]

ឧទាហរណ៍

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(E = \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right) \div \dfrac{5}{12} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\)។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

\[\begin{aligned} E &= \left(\frac{8 - 3}{12}\right) \div \frac{5}{12} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{5}{12} \div \frac{5}{12} + \frac{1}{4} \\ &= 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \end{aligned}\]

គណនាកន្សោមចម្រុះ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(A = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}\right) - \dfrac{1}{6}\)

  2. \(B = \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}\right) \div \left(1\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}\right)\)

  3. \(C = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}}\)

  4. \(D = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 \times \dfrac{9}{8} + \dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{3}\)

ចំណោទអនុវត្តជាក់ស្ដែង

ឧទាហរណ៍

សិស្សម្នាក់មានប្រាក់សរុប \(60\,000\) រៀល ។ គាត់បានចំណាយ \(\frac{1}{3}\) នៃប្រាក់ដើម្បីទិញសៀវភៅ និងចំណាយ \(\frac{2}{5}\) នៃប្រាក់ដើម្បីទិញសម្ភារសិក្សា។

  1. គណនាប្រភាគតាងប្រាក់សរុបដែលគាត់បានចំណាយ។

  2. គណនាចំនួនប្រាក់ដែលនៅសល់។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. ប្រភាគតាងប្រាក់ដែលបានចំណាយសរុប ៖

    \[\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5 + 6}{15} = \frac{11}{15} \text{ នៃប្រាក់សរុប}\]

  2. ប្រភាគតាងប្រាក់ដែលនៅសល់គឺ ៖

    \[1 - \frac{11}{15} = \frac{15 - 11}{15} = \frac{4}{15} \text{ នៃប្រាក់សរុប}\]
    ចំនួនប្រាក់ដែលនៅសល់គឺ ៖ \(60\,000 \times \dfrac{4}{15} = 4\,000 \times 4 = 16\,000\) រៀល ។

ដោះស្រាយចំណោទប្រភាគ

១. ស្រែមួយកន្លែងមានផ្ទៃដីសរុប \(2400\text{ m}^2\)។ ម្ចាស់ដីបានដាំស្រូវលើផ្ទៃដី \(\frac{5}{8}\) នៃផ្ទៃសរុប និងដាំបន្លែលើផ្ទៃដី \(\frac{1}{6}\) នៃផ្ទៃសរុប ហើយផ្ទៃដីដែលនៅសល់សម្រាប់ជីកស្រះចិញ្ចឹមត្រី។ គណនាផ្ទៃដីស្រះចិញ្ចឹមត្រី។
២. ធុងមួយមានទឹកពេញចំណុះ \(60\) លីត្រ ។ គេដងទឹកចេញលើកទីមួយអស់ \(\frac{1}{4}\) នៃធុង និងលើកទីពីរអស់ \(\frac{2}{5}\) នៃទឹកដែលនៅសល់។ រកបរិមាណទឹកដែលនៅសល់ចុងក្រោយក្នុងធុង។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ចូរសរសេរប្រភាគតំណាងឱ្យផ្នែកផាត់ពណ៌នៃរូបនីមួយៗ ៖ រូបចតុកោណកែងចែកជា \(8\) ចំណែកស្មើគ្នាផាត់ពណ៌ \(5\) ចំណែក, និងរង្វង់ចែកជា \(6\) ចំណែកស្មើគ្នាផាត់ពណ៌ \(4\) ចំណែក។

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរប្រភាគតំណាងផ្នែកផាត់ពណ៌ ៖

  • ចតុកោណកែងចែកជា \(8\) ចំណែកស្មើគ្នា ផាត់ពណ៌ \(5\) ចំណែក តាងដោយ \(\dfrac{5}{8}\)។

  • រង្វង់ចែកជា \(6\) ចំណែកស្មើគ្នា ផាត់ពណ៌ \(4\) ចំណែក តាងដោយ \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)។

២លំហាត់ទី ២

បំប្លែងប្រភាគមិនសុទ្ធខាងក្រោមជាចំនួនចម្រុះ ៖

  1. \(\dfrac{19}{4}\)

  2. \(\dfrac{31}{6}\)

  3. \(\dfrac{47}{9}\)

  4. \(\dfrac{53}{8}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បំប្លែងប្រភាគមិនសុទ្ធជាចំនួនចម្រុះ ៖

  • \(\dfrac{19}{4} = 4\dfrac{3}{4}\) (ព្រោះ \(19 = 4 \times 4 + 3\))

  • \(\dfrac{31}{6} = 5\dfrac{1}{6}\) (ព្រោះ \(31 = 6 \times 5 + 1\))

  • \(\dfrac{47}{9} = 5\dfrac{2}{9}\) (ព្រោះ \(47 = 9 \times 5 + 2\))

  • \(\dfrac{53}{8} = 6\dfrac{5}{8}\) (ព្រោះ \(53 = 8 \times 6 + 5\))

៣លំហាត់ទី ៣

បំប្លែងចំនួនចម្រុះខាងក្រោមជាប្រភាគមិនសុទ្ធ ៖

  1. \(3\dfrac{5}{7}\)

  2. \(5\dfrac{2}{9}\)

  3. \(7\dfrac{1}{4}\)

  4. \(4\dfrac{3}{8}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បំប្លែងចំនួនចម្រុះជាប្រភាគមិនសុទ្ធ ៖

  • \(3\dfrac{5}{7} = \dfrac{3 \times 7 + 5}{7} = \dfrac{26}{7}\)

  • \(5\dfrac{2}{9} = \dfrac{5 \times 9 + 2}{9} = \dfrac{47}{9}\)

  • \(7\dfrac{1}{4} = \dfrac{7 \times 4 + 1}{4} = \dfrac{29}{4}\)

  • \(4\dfrac{3}{8} = \dfrac{4 \times 8 + 3}{8} = \dfrac{35}{8}\)

៤លំហាត់ទី ៤

រកតម្លៃនៃ \(x\) ក្នុងសមភាពប្រភាគខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{x}{9} = \dfrac{28}{36}\)

  2. \(\dfrac{7}{x} = \dfrac{35}{45}\)

  3. \(\dfrac{4}{15} = \dfrac{x}{60}\)

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃនៃ \(x\) ក្នុងសមភាព ៖

  • \(\dfrac{x}{9} = \dfrac{28}{36} \Rightarrow x = \dfrac{28 \times 9}{36} = 7\)

  • \(\dfrac{7}{x} = \dfrac{35}{45} = \dfrac{7}{9} \Rightarrow x = 9\)

  • \(\dfrac{4}{15} = \dfrac{x}{60} \Rightarrow x = \dfrac{4 \times 60}{15} = 16\)

៥លំហាត់ទី ៥

រកតម្លៃនៃ \(y\) ក្នុងសមភាពប្រភាគខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{-6}{y} = \dfrac{18}{33}\)

  2. \(\dfrac{y}{14} = \dfrac{-15}{35}\)

  3. \(\dfrac{2y + 1}{5} = \dfrac{9}{15}\)

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃនៃ \(y\) ក្នុងសមភាព ៖

  • \(\dfrac{-6}{y} = \dfrac{18}{33} \Rightarrow y = \dfrac{-6 \times 33}{18} = -11\)

  • \(\dfrac{y}{14} = \dfrac{-15}{35} = -\dfrac{3}{7} \Rightarrow y = -\dfrac{3 \times 14}{7} = -6\)

  • \(\dfrac{2y + 1}{5} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow 2y + 1 = 3 \Rightarrow y = 1\)

៦លំហាត់ទី ៦

បំពេញចំនួនក្នុងប្រអប់ \(\Box\) ៖

  1. \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{\Box}{15} = \dfrac{18}{\Box} = \dfrac{\Box}{45} = \dfrac{36}{\Box}\)

  2. \(\dfrac{4}{7} = \dfrac{8}{\Box} = \dfrac{\Box}{28} = \dfrac{24}{\Box} = \dfrac{\Box}{70}\)

មើលដំណោះស្រាយ

បំពេញចំនួនក្នុងប្រអប់ \(\Box\) ៖

  • \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{\mathbf{9}}{15} = \dfrac{18}{\mathbf{30}} = \dfrac{\mathbf{27}}{45} = \dfrac{36}{\mathbf{60}}\)

  • \(\dfrac{4}{7} = \dfrac{8}{\mathbf{14}} = \dfrac{\mathbf{16}}{28} = \dfrac{24}{\mathbf{42}} = \dfrac{\mathbf{40}}{70}\)

៧លំហាត់ទី ៧

សម្រួលប្រភាគខាងក្រោមឱ្យទៅជាប្រភាគបង្រួមមិនបាន ៖

  1. \(\dfrac{28}{42}\)

  2. \(\dfrac{45}{75}\)

  3. \(\dfrac{64}{96}\)

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលប្រភាគឱ្យបង្រួមមិនបាន ៖

  • \(\dfrac{28}{42} = \dfrac{28 \div 14}{42 \div 14} = \dfrac{2}{3}\)

  • \(\dfrac{45}{75} = \dfrac{45 \div 15}{75 \div 15} = \dfrac{3}{5}\)

  • \(\dfrac{64}{96} = \dfrac{64 \div 32}{96 \div 32} = \dfrac{2}{3}\)

៨លំហាត់ទី ៨

សម្រួលប្រភាគខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{-36}{84}\)

  2. \(\dfrac{72}{-108}\)

  3. \(\dfrac{-120}{-180}\)

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលប្រភាគ ៖

  • \(\dfrac{-36}{84} = -\dfrac{36 \div 12}{84 \div 12} = -\dfrac{3}{7}\)

  • \(\dfrac{72}{-108} = -\dfrac{72 \div 36}{108 \div 36} = -\dfrac{2}{3}\)

  • \(\dfrac{-120}{-180} = \dfrac{120 \div 60}{180 \div 60} = \dfrac{2}{3}\)

៩លំហាត់ទី ៩

សម្រួលប្រភាគដែលមានលេខធំ ៖

  1. \(\dfrac{210}{315}\)

  2. \(\dfrac{396}{528}\)

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលប្រភាគដែលមានលេខធំ ៖

  • \(\dfrac{210}{315}\)៖ ត.ប.ធ\((210, 315) = 105\)
    \(\Rightarrow \dfrac{210 \div 105}{315 \div 105} = \dfrac{2}{3}\)

  • \(\dfrac{396}{528}\)៖ ត.ប.ធ\((396, 528) = 132\)
    \(\Rightarrow \dfrac{396 \div 132}{528 \div 132} = \dfrac{3}{4}\)

១០លំហាត់ទី ១០

ប្រៀបធៀបគូចំនួនប្រភាគដោយប្រើសញ្ញា \(<\) ឬ \(>\) ៖

  1. \(\dfrac{7}{12}\) និង \(\dfrac{5}{8}\)

  2. \(\dfrac{9}{14}\) និង \(\dfrac{11}{21}\)

  3. \(-\dfrac{4}{9}\) និង \(-\dfrac{5}{12}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រៀបធៀបគូចំនួនប្រភាគ ៖

  • \(\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}\) និង \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}\)។ ព្រោះ \(14 < 15 \Rightarrow \dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{8}\)

  • \(\dfrac{9}{14} = \dfrac{27}{42}\) និង \(\dfrac{11}{21} = \dfrac{22}{42}\)។ ព្រោះ \(27 > 22 \Rightarrow \dfrac{9}{14} > \dfrac{11}{21}\)

  • \(-\dfrac{4}{9} = -\dfrac{16}{36}\) និង \(-\dfrac{5}{12} = -\dfrac{15}{36}\)។ ព្រោះ \(-16 < -15 \Rightarrow -\dfrac{4}{9} < -\dfrac{5}{12}\)

១១លំហាត់ទី ១១

រៀបប្រភាគខាងក្រោមតាមលំដាប់កើន ៖

\[\frac{3}{5}, \quad{} \frac{7}{10}, \quad{} \frac{1}{2}, \quad{} \frac{11}{20}, \quad{} \frac{3}{4}\]

មើលដំណោះស្រាយ

រៀបតាមលំដាប់កើន ៖ តម្រូវភាគបែងរួម \(20\) ៖ \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{20}\), \(\dfrac{11}{20}\), \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}\), \(\dfrac{7}{10} = \dfrac{14}{20}\), \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\)
ព្រោះ \(10 < 11 < 12 < 14 < 15\)
ដូច្នេះ ៖ \(\dfrac{1}{2} < \dfrac{11}{20} < \dfrac{3}{5} < \dfrac{7}{10} < \dfrac{3}{4}\)

១២លំហាត់ទី ១២

រៀបប្រភាគខាងក្រោមតាមលំដាប់ចុះ ៖

\[\frac{5}{6}, \quad{} \frac{7}{9}, \quad{} \frac{11}{18}, \quad{} \frac{2}{3}, \quad{} \frac{13}{36}\]

មើលដំណោះស្រាយ

រៀបតាមលំដាប់ចុះ ៖ តម្រូវភាគបែងរួម \(36\) ៖ \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{30}{36}\), \(\dfrac{7}{9} = \dfrac{28}{36}\), \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{24}{36}\), \(\dfrac{11}{18} = \dfrac{22}{36}\), \(\dfrac{13}{36}\)
ព្រោះ \(30 > 28 > 24 > 22 > 13\)
ដូច្នេះ ៖ \(\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9} > \dfrac{2}{3} > \dfrac{11}{18} > \dfrac{13}{36}\)

១៣លំហាត់ទី ១៣

គណនាផលបូកប្រភាគដែលមានភាគបែងដូចគ្នា ៖

  1. \(\dfrac{5}{13} + \dfrac{7}{13}\)

  2. \(\dfrac{8}{17} + \dfrac{11}{17}\)

  3. \(\dfrac{14}{25} + \dfrac{6}{25} + \dfrac{7}{25}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូកភាគបែងដូចគ្នា ៖

  • \(\dfrac{5}{13} + \dfrac{7}{13} = \dfrac{12}{13}\)

  • \(\dfrac{8}{17} + \dfrac{11}{17} = \dfrac{19}{17} = 1\dfrac{2}{17}\)

  • \(\dfrac{14}{25} + \dfrac{6}{25} + \dfrac{7}{25} = \dfrac{27}{25} = 1\dfrac{2}{25}\)

១៤លំហាត់ទី ១៤

គណនាផលដកប្រភាគដែលមានភាគបែងដូចគ្នា ៖

  1. \(\dfrac{19}{24} - \dfrac{7}{24}\)

  2. \(\dfrac{23}{30} - \dfrac{8}{30}\)

  3. \(\dfrac{15}{16} - \dfrac{3}{16} - \dfrac{5}{16}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលដកភាគបែងដូចគ្នា ៖

  • \(\dfrac{19}{24} - \dfrac{7}{24} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}\)

  • \(\dfrac{23}{30} - \dfrac{8}{30} = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}\)

  • \(\dfrac{15}{16} - \dfrac{3}{16} - \dfrac{5}{16} = \dfrac{7}{16}\)

១៥លំហាត់ទី ១៥

គណនាផលបូកប្រភាគដែលមានភាគបែងខុសគ្នា ៖

  1. \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12}\)

  2. \(\dfrac{7}{15} + \dfrac{4}{9}\)

  3. \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{18}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូកភាគបែងខុសគ្នា ៖

  • \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9 + 10}{24} = \dfrac{19}{24}\)

  • \(\dfrac{7}{15} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{21 + 20}{45} = \dfrac{41}{45}\)

  • \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{18} = \dfrac{15 + 7}{18} = \dfrac{22}{18} = \dfrac{11}{9} = 1\dfrac{2}{9}\)

១៦លំហាត់ទី ១៦

គណនាផលដកប្រភាគដែលមានភាគបែងខុសគ្នា ៖

  1. \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{15}\)

  2. \(\dfrac{11}{14} - \dfrac{5}{21}\)

  3. \(\dfrac{13}{16} - \dfrac{7}{24}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលដកភាគបែងខុសគ្នា ៖

  • \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{15} = \dfrac{21 - 8}{30} = \dfrac{13}{30}\)

  • \(\dfrac{11}{14} - \dfrac{5}{21} = \dfrac{33 - 10}{42} = \dfrac{23}{42}\)

  • \(\dfrac{13}{16} - \dfrac{7}{24} = \dfrac{39 - 14}{48} = \dfrac{25}{48}\)

១៧លំហាត់ទី ១៧

គណនាផលបូក និងផលដកចំនួនចម្រុះ ៖

  1. \(3\dfrac{1}{4} + 2\dfrac{2}{3}\)

  2. \(5\dfrac{3}{8} - 2\dfrac{5}{6}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូក និងផលដកចំនួនចម្រុះ ៖

  • \(3\dfrac{1}{4} + 2\dfrac{2}{3} = (3+2) + \left(\dfrac{3+8}{12}\right) = 5\dfrac{11}{12}\)

  • \(5\dfrac{3}{8} - 2\dfrac{5}{6} = \dfrac{43}{8} - \dfrac{17}{6} = \dfrac{129 - 68}{24} = \dfrac{61}{24} = 2\dfrac{13}{24}\)

១៨លំហាត់ទី ១៨

គណនាកន្សោមចម្រុះនៃវិធីបូក និងដក ៖

  1. \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6}\)

  2. \(\dfrac{7}{12} + \dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{16}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាកន្សោមចម្រុះបូក និងដក ៖

  • \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{8 - 3 + 10}{12} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}\)

  • \(\dfrac{7}{12} + \dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{16} = \dfrac{28 + 18 - 15}{48} = \dfrac{31}{48}\)

១៩លំហាត់ទី ១៩

គណនាកន្សោមដែលមានប្រភាគអវិជ្ជមាន ៖

  1. \(-\dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{12} - \left(-\dfrac{1}{6}\right)\)

  2. \(\dfrac{4}{9} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) + \left(-\dfrac{5}{18}\right)\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាកន្សោមប្រភាគអវិជ្ជមាន ៖

  • \(-\dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{-15 + 14 + 4}{24} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}\)

  • \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{18} = \dfrac{8 + 12 - 5}{18} = \dfrac{15}{18} = \dfrac{5}{6}\)

២០លំហាត់ទី ២០

គណនាផលគុណប្រភាគ ៖

  1. \(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{15}{16}\)

  2. \(\dfrac{14}{25} \times \dfrac{15}{28}\)

  3. \(\dfrac{21}{32} \times \dfrac{16}{35}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណប្រភាគ ៖

  • \(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{15}{16} = \dfrac{4 \times 15}{9 \times 16} = \dfrac{1 \times 5}{3 \times 4} = \dfrac{5}{12}\)

  • \(\dfrac{14}{25} \times \dfrac{15}{28} = \dfrac{14 \times 15}{25 \times 28} = \dfrac{1 \times 3}{5 \times 2} = \dfrac{3}{10}\)

  • \(\dfrac{21}{32} \times \dfrac{16}{35} = \dfrac{21 \times 16}{32 \times 35} = \dfrac{3 \times 1}{2 \times 5} = \dfrac{3}{10}\)

២១លំហាត់ទី ២១

គណនាផលគុណចំនួន ៣ ប្រភាគ ៖

  1. \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{12}{25} \times \dfrac{10}{9}\)

  2. \(\left(-\dfrac{9}{14}\right) \times \dfrac{28}{15} \times \left(-\dfrac{5}{12}\right)\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណ ៣ ប្រភាគ ៖

  • \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{12}{25} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{5 \times 12 \times 10}{8 \times 25 \times 9} = \dfrac{600}{1800} = \dfrac{1}{3}\)

  • \(\left(-\dfrac{9}{14}\right) \times \dfrac{28}{15} \times \left(-\dfrac{5}{12}\right) = +\dfrac{9 \times 28 \times 5}{14 \times 15 \times 12} = \dfrac{1}{2}\)

២២លំហាត់ទី ២២

គណនាផលគុណចំនួនចម្រុះ ៖

  1. \(2\dfrac{1}{7} \times 1\dfrac{3}{10}\)

  2. \(3\dfrac{1}{3} \times 2\dfrac{2}{5} \times 1\dfrac{1}{8}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណចំនួនចម្រុះ ៖

  • \(2\dfrac{1}{7} \times 1\dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{7} \times \dfrac{13}{10} = \dfrac{3 \times 13}{7 \times 2} = \dfrac{39}{14} = 2\dfrac{11}{14}\)

  • \(3\dfrac{1}{3} \times 2\dfrac{2}{5} \times 1\dfrac{1}{8} = \dfrac{10}{3} \times \dfrac{12}{5} \times \dfrac{9}{8} = 9\)

២៣លំហាត់ទី ២៣

រកចម្រាសនៃចំនួនខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{4}{9}\)

  2. \(-\dfrac{7}{11}\)

  3. \(8\)

  4. \(-2\dfrac{3}{5}\)

មើលដំណោះស្រាយ

រកចម្រាសនៃចំនួន ៖

  • ចម្រាសនៃ \(\dfrac{4}{9}\) គឺ \(\dfrac{9}{4}\)

  • ចម្រាសនៃ \(-\dfrac{7}{11}\) គឺ \(-\dfrac{11}{7}\)

  • ចម្រាសនៃ \(8\) គឺ \(\dfrac{1}{8}\)

  • ចម្រាសនៃ \(-2\dfrac{3}{5} = -\dfrac{13}{5}\) គឺ \(-\dfrac{5}{13}\)

២៤លំហាត់ទី ២៤

គណនាផលចែកប្រភាគ ៖

  1. \(\dfrac{9}{14} \div \dfrac{3}{7}\)

  2. \(\dfrac{16}{25} \div \dfrac{24}{35}\)

  3. \(\dfrac{27}{40} \div \dfrac{18}{25}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលចែកប្រភាគ ៖

  • \(\dfrac{9}{14} \div \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{14} \times \dfrac{7}{3} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\)

  • \(\dfrac{16}{25} \div \dfrac{24}{35} = \dfrac{16}{25} \times \dfrac{35}{24} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 3} = \dfrac{14}{15}\)

  • \(\dfrac{27}{40} \div \dfrac{18}{25} = \dfrac{27}{40} \times \dfrac{25}{18} = \dfrac{3 \times 5}{8 \times 2} = \dfrac{15}{16}\)

២៥លំហាត់ទី ២៥

គណនាផលចែកជាមួយចំនួនគត់ ៖

  1. \(\dfrac{15}{16} \div 5\)

  2. \(12 \div \dfrac{4}{9}\)

  3. \(\left(-\dfrac{18}{35}\right) \div 6\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលចែកជាមួយចំនួនគត់ ៖

  • \(\dfrac{15}{16} \div 5 = \dfrac{15}{16 \times 5} = \dfrac{3}{16}\)

  • \(12 \div \dfrac{4}{9} = 12 \times \dfrac{9}{4} = 3 \times 9 = 27\)

  • \(\left(-\dfrac{18}{35}\right) \div 6 = -\dfrac{18}{35 \times 6} = -\dfrac{3}{35}\)

២៦លំហាត់ទី ២៦

គណនាផលចែកចំនួនចម្រុះ ៖

  1. \(4\dfrac{2}{3} \div 1\dfrac{1}{6}\)

  2. \(3\dfrac{3}{8} \div 2\dfrac{1}{4}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលចែកចំនួនចម្រុះ ៖

  • \(4\dfrac{2}{3} \div 1\dfrac{1}{6} = \dfrac{14}{3} \div \dfrac{7}{6} = \dfrac{14}{3} \times \dfrac{6}{7} = 4\)

  • \(3\dfrac{3}{8} \div 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{27}{8} \div \dfrac{9}{4} = \dfrac{27}{8} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\)

២៧លំហាត់ទី ២៧

គណនាស្វ័យគុណនៃប្រភាគ ៖

  1. \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\)

  2. \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3\)

  3. \(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^4\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាស្វ័យគុណនៃប្រភាគ ៖

  • \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{3^3}{4^3} = \dfrac{27}{64}\)

  • \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3 = -\dfrac{2^3}{5^3} = -\dfrac{8}{125}\)

  • \(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{3^4}{2^4} = \dfrac{81}{16} = 5\dfrac{1}{16}\)

២៨លំហាត់ទី ២៨

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

  1. \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9} + \dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{3}\)

  2. \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃកន្សោម ៖

  • \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9} + \dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} + \left(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{6} = 1\dfrac{1}{6}\)

  • \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{35 - 12}{40} = \dfrac{23}{40}\)

២៩លំហាត់ទី ២៩

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

  1. \(\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}\right) \times \dfrac{8}{7}\)

  2. \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\right) \div \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}\right)\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃកន្សោម ៖

  • \(\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}\right) \times \dfrac{8}{7} = \dfrac{7}{12} \times \dfrac{8}{7} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\)

  • \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\right) \div \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{17}{12} \div \dfrac{2}{6} = \dfrac{17}{12} \times 3 = \dfrac{17}{4} = 4\dfrac{1}{4}\)

៣០លំហាត់ទី ៣០

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម ៖

  1. \(2\dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{3}{4}\)

  2. \(\left(3\dfrac{1}{3} - 1\dfrac{1}{2}\right) \div \left(2\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}\right)\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃកន្សោម ៖

  • \(2\dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{2}{15} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}\)

  • \(\left(3\dfrac{1}{3} - 1\dfrac{1}{2}\right) \div \left(2\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}\right) = \dfrac{11}{6} \div \dfrac{21}{8} = \dfrac{11}{6} \times \dfrac{8}{21} = \dfrac{44}{63}\)

៣១លំហាត់ទី ៣១

គណនាប្រភាគជាន់ ៖

  1. \(\dfrac{\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{5}}\)

  2. \(\dfrac{\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}}{\dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{4}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រភាគជាន់ ៖

  • \(\dfrac{\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{5}} = \dfrac{\dfrac{11}{10}}{\dfrac{5}{10}} = \dfrac{11}{5} = 2\dfrac{1}{5}\)

  • \(\dfrac{\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}}{\dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\dfrac{11}{24}}{\dfrac{10}{12}} = \dfrac{11}{24} \times \dfrac{12}{10} = \dfrac{11}{20}\)

៣២លំហាត់ទី ៣២

គណនាប្រភាគជាន់ ៖

  1. \(\dfrac{2 - \dfrac{3}{4}}{1 + \dfrac{2}{3}}\)

  2. \(\dfrac{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}}}{1 - \dfrac{1}{3}}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រភាគជាន់ ៖

  • \(\dfrac{2 - \dfrac{3}{4}}{1 + \dfrac{2}{3}} = \dfrac{\dfrac{5}{4}}{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{4}\)

  • \(\dfrac{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1 + \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2}\)

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គណនាដោយប្រើលក្ខណៈបំបែកនៃវិធីគុណចំពោះវិធីបូក/ដក ៖

  1. \(A = \dfrac{5}{9} \times \dfrac{7}{13} + \dfrac{5}{9} \times \dfrac{6}{13}\)

  2. \(B = \dfrac{8}{15} \times \dfrac{23}{17} - \dfrac{8}{15} \times \dfrac{6}{17}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាដោយប្រើលក្ខណៈបំបែក ៖

  • \(A = \dfrac{5}{9} \left(\dfrac{7}{13} + \dfrac{6}{13}\right) = \dfrac{5}{9} \times 1 = \dfrac{5}{9}\)

  • \(B = \dfrac{8}{15} \left(\dfrac{23}{17} - \dfrac{6}{17}\right) = \dfrac{8}{15} \times 1 = \dfrac{8}{15}\)

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

ដោះស្រាយសមីការលើ \(\mathbb{Q}\) ៖

  1. \(x + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{14}\)

  2. \(x - \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{10}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការលើ \(\mathbb{Q}\) ៖

  • \(x + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{14} \Rightarrow x = \dfrac{5}{14} - \dfrac{6}{14} = -\dfrac{1}{14}\)

  • \(x - \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{10} \Rightarrow x = \dfrac{7}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{11}{10} = 1\dfrac{1}{10}\)

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

ដោះស្រាយសមីការលើ \(\mathbb{Q}\) ៖

  1. \(\dfrac{3}{4}x = \dfrac{9}{16}\)

  2. \(\dfrac{5}{6}x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{12}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការលើ \(\mathbb{Q}\) ៖

  • \(\dfrac{3}{4}x = \dfrac{9}{16} \Rightarrow x = \dfrac{9}{16} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4}\)

  • \(\dfrac{5}{6}x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{12} \Rightarrow \dfrac{5}{6}x = \dfrac{7-4}{12} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{3}{10}\)

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ដោះស្រាយសមីការលើ \(\mathbb{Q}\) ៖

  1. \(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}\)

  2. \(\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{x + 1}{4}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការលើ \(\mathbb{Q}\) ៖

  • \(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12} \Rightarrow \dfrac{2}{3}x = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = 1\)

  • \(\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{x + 1}{4} \Rightarrow 4(x - 2) = 3(x + 1) \Rightarrow 4x - 8 = 3x + 3 \Rightarrow x = 11\)

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

បើ \(x = \dfrac{2}{3}\) និង \(y = -\dfrac{3}{4}\) ចូរគណនាតម្លៃនៃ ៖

  1. \(x + y\)

  2. \(x - y\)

  3. \(x \times y\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម (\(x = \dfrac{2}{3}, y = -\dfrac{3}{4}\)) ៖

  • \(x + y = \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{8 - 9}{12} = -\dfrac{1}{12}\)

  • \(x - y = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8 + 9}{12} = \dfrac{17}{12} = 1\dfrac{5}{12}\)

  • \(x \times y = \dfrac{2}{3} \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{1}{2}\)

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

បើ \(a = -\dfrac{1}{2}\) និង \(b = \dfrac{2}{5}\) ចូរគណនាតម្លៃនៃ ៖

  1. \(\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a}\)

  2. \(a^2 + b^2\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម (\(a = -\dfrac{1}{2}, b = \dfrac{2}{5}\)) ៖

  • \(\dfrac{a}{b} = -\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{5}\)
    \(\Rightarrow \dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{4} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{-25 + 16}{20} = -\dfrac{9}{20}\)

  • \(a^2 + b^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{41}{100}\)

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គណនាផលបូកកម្រងប្រភាគ (Telescoping Sum) ៖

\[S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100}\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូកកម្រងប្រភាគ ៖

\[\begin{aligned} S &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \end{aligned}\]

៤០លំហាត់ទី ៤០

គណនាផលគុណកម្រងប្រភាគ ៖

\[P = \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{4}\right)\dots\left(1 - \frac{1}{50}\right)\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណកម្រងប្រភាគ ៖

\[\begin{aligned} P &= \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\right)\dots\left(\frac{49}{50}\right) \\ &= \frac{1}{50} \end{aligned}\]

៤១លំហាត់ទី ៤១

គណនាផលគុណកម្រងប្រភាគ ៖

\[Q = \left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{4}\right)\dots\left(1 + \frac{1}{49}\right)\]

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណកម្រងប្រភាគ ៖

\[\begin{aligned} Q &= \left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{5}{4}\right)\dots\left(\frac{50}{49}\right) \\ &= \frac{50}{2} = 25 \end{aligned}\]

៤២លំហាត់ទី ៤២

រកចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n\) ដែលបំពេញវិសមភាព ៖ \(\dfrac{1}{3} < \dfrac{n}{18} < \dfrac{5}{6}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រកចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n\) ៖

\[\frac{1}{3} < \frac{n}{18} < \frac{5}{6} \iff \frac{6}{18} < \frac{n}{18} < \frac{15}{18}\]
\(\Rightarrow 6 < n < 15\)។
ព្រោះ \(n \in \mathbb{N}\) នាំឱ្យ ៖
\[n \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}\]

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

រកប្រភាគដែលមានភាគបែង \(15\) ហើយស្ថិតនៅចន្លោះ \(\dfrac{1}{3}\) និង \(\dfrac{3}{5}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រកប្រភាគដែលមានភាគបែង \(15\) ៖ តម្រូវភាគបែងរួម \(15\) ៖ \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{15}\) និង \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}\)
ប្រភាគដែលមានភាគបែង \(15\) នៅចន្លោះនោះគឺ ៖

\[\frac{6}{15} = \frac{2}{5}, \quad{} \frac{7}{15}, \quad{} \frac{8}{15}\]

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

នារីម្នាក់ញ៉ាំនំអស់ \(\dfrac{1}{4}\) នៃនំទាំងមូល ហើយប្អូនប្រុសរបស់នាងញ៉ាំអស់ \(\dfrac{3}{8}\) នៃនំ។ តើនៅសល់ប្រភាគប៉ុន្មាននៃនំ?

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រភាគនំដែលនៅសល់ ៖

  • នារី និងប្អូនប្រុសញ៉ាំអស់ ៖
    \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{2 + 3}{8} = \dfrac{5}{8}\) នៃនំ

  • ប្រភាគនំដែលនៅសល់ ៖
    \(1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}\) នៃនំទាំងមូល

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សចំនួន \(45\) នាក់។ ក្នុងនោះសិស្ស \(\dfrac{2}{5}\) ចូលចិត្តលេងបាល់ទាត់ សិស្ស \(\dfrac{1}{3}\) ចូលចិត្តលេងបាល់ទះ និងសិស្សដែលនៅសល់ចូលចិត្តរត់ប្រណាំង។

  1. រកចំនួនសិស្សដែលចូលចិត្តកីឡានីមួយៗ។

  2. រកប្រភាគតាងសិស្សដែលចូលចិត្តរត់ប្រណាំង។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាចំនួនសិស្ស ៖

  • បាល់ទាត់ ៖ \(45 \times \dfrac{2}{5} = 18\) នាក់

  • បាល់ទះ ៖ \(45 \times \dfrac{1}{3} = 15\) នាក់

  • រត់ប្រណាំង ៖ \(45 - (18 + 15) = 12\) នាក់

  • ប្រភាគតាងសិស្សរត់ប្រណាំង ៖
    \(1 - \left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}\right) = 1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}\)

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

បុរសម្នាក់បានធ្វើដំណើរផ្លូវឆ្ងាយមួយ។ ថ្ងៃទីមួយគាត់ធ្វើដំណើរបាន \(\dfrac{3}{8}\) នៃចម្ងាយផ្លូវសរុប ថ្ងៃទីពីរធ្វើបាន \(\dfrac{2}{5}\) នៃផ្លូវសរុប ហើយថ្ងៃទីបីគាត់ធ្វើដំណើរនៅសល់ \(45\text{ km}\) ទៀតទើបដល់គោលដៅ។ គណនាប្រវែងផ្លូវសរុបដែលគាត់ត្រូវធ្វើដំណើរ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រវែងផ្លូវសរុប ៖

  • ពីរថ្ងៃដំបូងធ្វើដំណើរបាន ៖
    \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{15 + 16}{40} = \dfrac{31}{40}\) នៃផ្លូវ

  • ថ្ងៃទីបីនៅសល់ប្រភាគ ៖
    \(1 - \dfrac{31}{40} = \dfrac{9}{40}\) នៃផ្លូវ ដែលត្រូវនឹង \(45\text{ km}\)

  • ប្រវែងផ្លូវសរុប ៖
    \(45 \div \dfrac{9}{40} = 45 \times \dfrac{40}{9} = 200\text{ km}\)

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

ដីឡូត៍មួយមានបណ្ដោយ \(\dfrac{35}{2}\text{ m}\) និងទទឹង \(\dfrac{24}{5}\text{ m}\)។

  1. គណនាបរិមាណក្រឡាផ្ទៃដីឡូត៍នោះ។

  2. គណនាបរិមាត្រនៃដីឡូត៍។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាក្រឡាផ្ទៃ និងបរិមាត្រដីឡូត៍ ៖

  • ក្រឡាផ្ទៃ ៖
    \(S = \dfrac{35}{2} \times \dfrac{24}{5} = \dfrac{35 \times 24}{10} = 84\text{ m}^2\)

  • បរិមាត្រ ៖
    \(P = 2 \times \left(\dfrac{35}{2} + \dfrac{24}{5}\right) = 2 \times \dfrac{175 + 48}{10} = \dfrac{223}{5} = 44.6\text{ m}\)

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

ធុងប្រេងមួយមានប្រេង \(\dfrac{3}{4}\) នៃចំណុះធុង។ បន្ទាប់ពីគេដងប្រេងចេញអស់ \(30\) លីត្រ ប្រេងក្នុងធុងនៅសល់ \(\dfrac{2}{5}\) នៃចំណុះធុង។ រកចំណុះសរុបនៃធុងប្រេងនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកចំណុះសរុបនៃធុងប្រេង ៖

  • ប្រភាគប្រេងដែលដងចេញ \(30\text{ L}\) គឺ ៖
    \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{15 - 8}{20} = \dfrac{7}{20}\) នៃចំណុះធុង

  • ចំណុះសរុបនៃធុង ៖
    \(30 \div \dfrac{7}{20} = \dfrac{600}{7} \approx 85.71\) លីត្រ (ឬ \(85\dfrac{5}{7}\text{ L}\))

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ឪពុកម្នាក់បានចែកទ្រព្យសម្បត្តិឱ្យកូន ៣ នាក់ ៖ កូនច្បងទទួលបាន \(\dfrac{3}{7}\) នៃទ្រព្យ កូនកណ្ដាលទទួលបាន \(\dfrac{1}{3}\) នៃទ្រព្យ និងកូនពៅទទួលបានប្រាក់ \(20\,000\,000\) រៀល ។ គណនាតម្លៃទ្រព្យសម្បត្តិសរុបរបស់ឪពុក និងប្រាក់ដែលកូនម្នាក់ៗទទួលបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាទ្រព្យសម្បត្តិសរុប និងប្រាក់កូនម្នាក់ៗ ៖

  • កូនច្បង និងកូនកណ្ដាលបាន ៖
    \(\dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9 + 7}{21} = \dfrac{16}{21}\) នៃទ្រព្យ

  • កូនពៅទទួលបាន ៖
    \(1 - \dfrac{16}{21} = \dfrac{5}{21}\) ត្រូវនឹង \(20\,000\,000\) រៀល

  • ទ្រព្យសម្បត្តិសរុប ៖
    \(20\,000\,000 \div \dfrac{5}{21} = 84\,000\,000\) រៀល

  • កូនច្បង ៖ \(84\,000\,000 \times \dfrac{3}{7} = 36\,000\,000\) រៀល

  • កូនកណ្ដាល ៖ \(84\,000\,000 \times \dfrac{1}{3} = 28\,000\,000\) រៀល

៥០លំហាត់ទី ៥០

កម្រងប្រភាគមួយមានតួ ៖ \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \dots\)។

  1. ចូរសរសេររូបមន្តតួទូទៅ \(u_n\) នៃកម្រងប្រភាគនេះ។

  2. តើតួទី ១០០ នៃកម្រងនេះស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

កម្រងប្រភាគ \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dots\) ៖

  • តួទូទៅ ៖ \(u_n = \dfrac{n}{n+1}\)

  • តួទី ១០០ គឺ ៖ \(u_{100} = \dfrac{100}{100+1} = \dfrac{100}{101}\)

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៤ ប្រភាគ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត