មេរៀនទី ២៦ : កម្រងប្រធានវិញ្ញាសាប្រឡងបាក់ឌុប (២០១៤-២០២៦) — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

ប្រមូលផ្តុំវិញ្ញាសាប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាទុតិយភូមិ លើប្រធានបទប្រូបាប ពីឆ្នាំ២០១៤ ដល់ ២០២៦ និងវិញ្ញាសាត្រៀមជ្រើសរើសពិសេស អមដោយកន្លែងកត់ត្រាដំណោះស្រាយ ៖

ផ្នែកទី១ ៖ ប្រធានវិញ្ញាសាប្រឡងផ្លូវការ (២០១៤ - ២០២៦)

(បាក់ឌុប ២០១៤) ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីក្រហម \(4\) ឃ្លីខៀវ \(3\) និងឃ្លីស \(5\) (សរុប \(12\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លី \(3\) គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យចេញពីប្រអប់។
1. រកចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ឃ្លី។
2. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
  - \(A\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីពណ៌ដូចគ្នាទាំង \(3\)»
  - \(B\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីពណ៌ខុសគ្នាទាំង \(3\)»
  - \(C\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិច \(1\)»
(បាក់ឌុប ២០១៥) គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ដែលល្អស្មើចំនួន \(2\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា។
1. រកចំនួនករណីអាចនៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរលើក។
2. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
  - \(A\) ៖ «ផលបូកនៃលេខដែលចេញលើមុខទាំងពីរស្មើនឹង \(8\)»
  - \(B\) ៖ «បោះលើកទី១ បានលេខធំជាងលើកទី២»
  - \(C\) ៖ «បោះបានលេខគូទាំងពីរលើក»
(បាក់ឌុប ២០១៦) ក្នុងថង់មួយមានប័ណ្ណ \(10\) សន្លឹក ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(10\)។ គេចាប់យកប័ណ្ណ \(2\) សន្លឹកព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។
1. រកចំនួនករណីអាចទាំងអស់នៃការចាប់ប័ណ្ណ។
2. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
  - \(A\) ៖ «ផលបូកនៃលេខលើប័ណ្ណទាំងពីរជាចំនួនគូ»
  - \(B\) ៖ «ផលគុណនៃលេខលើប័ណ្ណទាំងពីរជាចំនួនសេស»
  - \(C\) ៖ «យ៉ាងតិចមានប័ណ្ណមួយមានលេខជាពហុគុណនៃ \(3\)»
(បាក់ឌុប ២០១៧) (១០ពិន្ទុ) ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សពូកែចំនួន \(10\) នាក់ ដែលក្នុងនោះ \(4\) នាក់ជាសិស្សស្រី និង \(6\) នាក់ជាសិស្សប្រុស។
គេរៀបចំសិស្សជាក្រុមក្នុងមួយក្រុមមានសិស្ស \(4\) នាក់ ដោយចៃដន្យ យកទៅប្រកួតជាមួយក្រុមសិស្សនៃថ្នាក់ដទៃ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
1. \(A\) ៖ «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែស្រី»
2. \(B\) ៖ «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែប្រុស»
3. \(C\) ៖ «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបាន \(50\%\) ជាសិស្សប្រុស»
(បាក់ឌុប ២០១៨) (១០ពិន្ទុ) ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌សចំនួន \(2\) ឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន \(4\) និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន \(4\)។ គេចាប់យកឃ្លី \(3\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
1. \(A\) ៖ «ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ក្រហម»
2. \(B\) ៖ «យ៉ាងតិចមានឃ្លី \(2\) មានពណ៌ខៀវ»
3. \(C\) ៖ «ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ខុសៗគ្នា»
(បាក់ឌុប ២០១៩) (១០ពិន្ទុ) ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល \(16\) ដែលគេសរសេរលេខពី \(1\) ដល់ \(16\)។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
1. \(A\) ៖ គេចាប់បានប៊ូលទាំង \(3\) មានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង \(4\)
2. \(B\) ៖ គេចាប់បានប៊ូលទាំង \(3\) មានលេខសុទ្ធតែចែកមិនដាច់នឹង \(5\)
3. \(C\) ៖ គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង \(4\)
(បាក់ឌុប ២០២១) (១០ពិន្ទុ) ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន \(2\) ឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន \(3\) និង ឃ្លីពណ៌ស ចំនួន \(4\)។ គេចាប់យកឃ្លីចំនួន \(3\) ពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
1. ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ស
2. ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ខុសៗគ្នា
(បាក់ឌុប ២០២២) (១០ពិន្ទុ) ក្នុងមណ្ឌលសុខភាពមួយមានបុគ្គលិកនារី \(9\) នាក់ និងបុគ្គលិកបុរស \(5\) នាក់។ គេរៀបចំជាក្រុមការងារមួយក្រុមមានគ្នា \(4\) នាក់ដោយចៃដន្យឱ្យចុះធ្វើការតាមភូមិ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
1. \(A\) ៖ ក្រុមការងារដែលរៀបចំមានបុគ្គលិកទាំង \(4\) នាក់សុទ្ធតែជានារី
2. \(B\) ៖ ក្រុមការងារដែលរៀបចំមានបុគ្គលិក \(50\%\) ជានារី
(បាក់ឌុប ២០២៣) (១០ពិន្ទុ) អ្នកលក់បន្ទាត់ម្នាក់ គាត់មានបន្ទាត់សំប៉ែតចំនួន \(25\) ដែលក្នុងនោះមានបន្ទាត់ \(3\) ដែលឆែបចុង។ គេចាប់យកបន្ទាត់មួយក្នុងចំណោម \(25\) ដោយចៃដន្យ។
1. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ៖ «បន្ទាត់ដែលចាប់បានមិនឆែបចុង»
2. អ្នកទិញគាត់ចាប់យកដោយមិនបានផ្ទៀងផ្ទាត់ ហើយគាត់ចង់បានដាច់ខាតបន្ទាត់ល្អចំនួន \(7\)។ តើគាត់ត្រូវទិញបន្ទាត់យ៉ាងតិចចំនួនប៉ុន្មាន?
3. គេចាប់យកបន្ទាត់ \(2\) ម្ដងដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមបន្ទាត់ទាំង \(25\)។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ៖ «បន្ទាត់ទាំងពីរចាប់បានមិនឆែបចុង»
(បាក់ឌុប ២០២៤) (១០ពិន្ទុ) ក្នុងថ្នាក់រៀននៃសាលាអន្តរជាតិមួយមានសិស្ស \(24\) នាក់ ដែលក្នុងនោះមាន \(3\) នាក់ជាជនជាតិអង់គ្លេស \(2\) នាក់ជាជនជាតិបារាំង \(5\) នាក់ជាជនជាតិចិន \(4\) នាក់ជាជនជាតិកូរ៉េ និង \(10\) នាក់ជាជនជាតិខ្មែរ។ គេជ្រើសរើសសិស្ស \(3\) នាក់ដោយចៃដន្យជាតំណាងថ្នាក់យកទៅប្រកួតក្នុងកម្មវិធីមួយ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងបី៖
1. «សិស្សទាំង \(3\) នាក់ សុទ្ធតែជាជនជាតិនៅទ្វីបអឺរ៉ុប»
2. «សិស្សទាំង \(3\) នាក់ សុទ្ធតែជាជនជាតិនៅទ្វីបអាស៊ី តែមិនមែនជាជនជាតិខ្មែរ»
3. «សិស្សទាំង \(3\) នាក់ មានម្នាក់ជាជនជាតិខ្មែរ ម្នាក់ជាជនជាតិនៅទ្វីបអឺរ៉ុប និងម្នាក់ទៀតជាជនជាតិនៅទ្វីបអាស៊ីមិនមែនខ្មែរ»
(បាក់ឌុប ២០២៥) (១០ពិន្ទុ) ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីទាំងអស់ចំនួន \(4n\)។ ដែលក្នុងនោះមានកូនឃ្លីចំនួន \(2n+1\) មានពណ៌លឿង និង \(2n-1\) មានពណ៌បៃតង។ គេចាប់យកកូនឃ្លីពីរព្រមគ្នា ពីក្នុងប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ ក្នុងសំណួរនេះយើងកំណត់យក \(n=10\)។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
1. កូនឃ្លីទាំងពីរដែលចាប់បានមានពណ៌ខុសគ្នា
2. កូនឃ្លីទាំងពីរដែលចាប់បានមានពណ៌បៃតង
3. កូនឃ្លីទាំងពីរដែលចាប់បានមានពណ៌ដូចគ្នា
(បាក់ឌុប ២០២៦) (១០ពិន្ទុ) ក្នុងចានមួយមានប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន \(8\) ដែលគេសរសេរលើប៊ូលទាំងនោះលេខរៀងពីលេខ \(1\) ដល់លេខ \(8\) ប៊ូលពណ៌បៃតងចំនួន \(5\) ដែលគេសរសេរលើប៊ូលទាំងនោះលេខរៀងពីលេខ \(1\) ដល់លេខ \(5\) និងប៊ូលពណ៌សចំនួន \(7\) ដែលគេសរសេរលើប៊ូលទាំងនោះលេខរៀងពីលេខ \(1\) ដល់លេខ \(7\)។
គេចាប់យកប៊ូលមួយពីក្នុងចានដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
1. ប៊ូលដែលចាប់បានមានលេខគូ
2. ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌ក្រហម
3. ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌ស និងលេខសេស

ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត

ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃកម្រងវិញ្ញាសាប្រឡងបាក់ឌុប

បាក់ឌុប ២០១៤

ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីក្រហម \(4\) ឃ្លីខៀវ \(3\) និងឃ្លីស \(5\) (សរុប \(12\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លី \(3\) គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យចេញពីប្រអប់។

ក រកចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ឃ្លី។ ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖ \(A\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីពណ៌ដូចគ្នាទាំង \(3\)», \(B\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីពណ៌ខុសគ្នាទាំង \(3\)», \(C\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិច \(1\)»។

ដំណោះស្រាយ

ក ចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ឃ្លី \(3\) ពី \(12\) គ្រាប់ ៖

\[n(S) = C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220\]

ដូចនេះ ៖

ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ ៖
\(\bullet\) \(A\) ៖ «ពណ៌ដូចគ្នាទាំង \(3\)» (ក្រ ៣ ឬ ខ ៣ ឬ ស ៣) ៖

\[n(A) = C_4^3 + C_3^3 + C_5^3 = 4 + 1 + 10 = 15\]

\[\implies \boxed{P(A) = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}}\]

\(\bullet\) \(B\) ៖ «ពណ៌ខុសគ្នាទាំង \(3\)» (\(1\) ក្រ, \(1\) ខ, \(1\) ស) ៖

\[n(B) = C_4^1 \times C_3^1 \times C_5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60\]

\[\implies \boxed{P(B) = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}}\]

\(\bullet\) \(C\) ៖ «ក្រហមយ៉ាងតិច \(1\)» (ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(\overline{C}\)) ៖
គ្មានក្រហមសោះ (ចាប់ពីខៀវ និងស សរុប ៨ គ្រាប់) ៖

\[n(\overline{C}) = C_8^3 = 56 \implies P(\overline{C}) = \frac{56}{220} = \frac{14}{55}\]

\[\implies \boxed{P(C) = 1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55}}\]

enhanced, colback=cyan!4!white, colframe=cyan!60!black, colbacktitle=cyan!60!black, coltitle=white, boxrule=0.6pt, arc=3pt, left=8pt, right=8pt, top=4pt, bottom=4pt, title= គន្លឹះដោះស្រាយ និងវិធីផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ (សំណួរ គ)

ក្រៅពីវិធីប្រើព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ យើងអាចគណនាព្រឹត្តិការណ៍ \(C\) «ក្រហមយ៉ាងតិច \(1\)» ដោយផ្ទាល់ ៖

ក្រហម \(1\) (និងមិនមែនក្រហម \(2\)) ៖ \(C_4^1 \times C_8^2 = 4 \times 28 = 112\) ករណី
ក្រហម \(2\) (និងមិនមែនក្រហម \(1\)) ៖ \(C_4^2 \times C_8^1 = 6 \times 8 = 48\) ករណី
ក្រហម \(3\) ៖ \(C_4^3 = 4\) ករណី

ចំនួនករណីស្របសរុប ៖ \(n(C) = 112 + 48 + 4 = 164 \implies \boxed{P(C) = \frac{164}{220} = \frac{41}{55}}\) (ដូចគ្នានឹងវិធីខាងលើ)។

បាក់ឌុប ២០១៥

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ដែលល្អស្មើចំនួន \(2\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា។

ក រកចំនួនករណីអាចនៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរលើក។ ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖ \(A\) ៖ «ផលបូកលេខទាំងពីរស្មើនឹង \(8\)», \(B\) ៖ «បោះលើកទី១ បានលេខធំជាងលើកទី២», \(C\) ៖ «បោះបានលេខគូទាំងពីរលើក»។

ដំណោះស្រាយ

ក ចំនួនករណីអាច ៖

\[n(S) = 6 \times 6 = 36\]

ដូចនេះ ៖

ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
\(\bullet\) \(A\) ៖ ផលបូកស្មើ \(8\) ៖
\(A = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\} \implies n(A) = 5\) ៖

\[\implies \boxed{P(A) = \frac{5}{36}}\]

\(\bullet\) \(B\) ៖ លើកទី១ ធំជាងលើកទី២ (ដក ៦ ករណីស្មើ) ៖

\[n(B) = \frac{36 - 6}{2} = 15 \implies \boxed{P(B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}}\]

\(\bullet\) \(C\) ៖ លេខគូទាំងពីរលើក \(\{2,4,6\}\) ៖

\[n(C) = 3 \times 3 = 9 \implies \boxed{P(C) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}}\]

បាក់ឌុប ២០១៦

ក្នុងថង់មួយមានប័ណ្ណ \(10\) សន្លឹក ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(10\)។ គេចាប់យកប័ណ្ណ \(2\) សន្លឹកព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។

ក រកចំនួនករណីអាចទាំងអស់នៃការចាប់ប័ណ្ណ។ ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖ \(A\) ៖ «ផលបូកលេខលើប័ណ្ណទាំងពីរជាចំនួនគូ», \(B\) ៖ «ផលគុណលេខលើប័ណ្ណទាំងពីរជាចំនួនសេស», \(C\) ៖ «យ៉ាងតិចមានប័ណ្ណមួយមានលេខជាពហុគុណនៃ \(3\)»។

ដំណោះស្រាយ

ក ចំនួនករណីអាច ៖

\[n(S) = C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45\]

ដូចនេះ ៖

ខ ក្នុង \(10\) សន្លឹក មាន \(5\) គូ និង \(5\) សេស ៖
\(\bullet\) \(A\) ៖ ផលបូកជាចំនួនគូ (គូ ២ ឬ សេស ២) ៖

\[n(A) = C_5^2 + C_5^2 = 20 \implies \boxed{P(A) = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}}\]

\(\bullet\) \(B\) ៖ ផលគុណជាចំនួនសេស (សេសទាំងពីរ) ៖

\[n(B) = C_5^2 = 10 \implies \boxed{P(B) = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}}\]

\(\bullet\) \(C\) ៖ យ៉ាងតិចមួយជាពហុគុណនៃ \(3\) ៖
មិនមែនពហុគុណនៃ \(3\) មាន \(7\) សន្លឹក ៖

\[P(\overline{C}) = \frac{C_7^2}{45} = \frac{7}{15} \implies \boxed{P(C) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}}\]

បាក់ឌុប ២០១៧ (១០ពិន្ទុ)

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សពូកែចំនួន \(10\) នាក់ ដែលក្នុងនោះ \(4\) នាក់ជាសិស្សស្រី និង \(6\) នាក់ជាសិស្សប្រុស។ គេរៀបចំសិស្សជាក្រុមក្នុងមួយក្រុមមានសិស្ស \(4\) នាក់ដោយចៃដន្យ យកទៅប្រកួតជាមួយក្រុមសិស្សនៃថ្នាក់ដទៃ។

រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
ក \(A\) ៖ «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែស្រី» ខ \(B\) ៖ «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែប្រុស» គ \(C\) ៖ «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបាន \(50\%\) ជាសិស្សប្រុស»

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាចនៃការរៀបចំសិស្ស ៖

\[n(S) = C_{10}^4 = 210\]

ដូចនេះ ៖

ក \(A\) ៖ «សុទ្ធតែស្រី» (\(4\) នាក់ពីស្រី \(4\)) ៖

\[n(A) = C_4^4 = 1 \implies \boxed{P(A) = \frac{1}{210}}\]

ខ \(B\) ៖ «សុទ្ធតែប្រុស» (\(4\) នាក់ពីប្រុស \(6\)) ៖

\[n(B) = C_6^4 = 15 \implies \boxed{P(B) = \frac{15}{210} = \frac{1}{14}}\]

គ \(C\) ៖ «\(50\%\) ជាសិស្សប្រុស» (ប្រុស \(2\), ស្រី \(2\)) ៖

\[n(C) = C_6^2 \times C_4^2 = 15 \times 6 = 90\]

\[\implies \boxed{P(C) = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}}\]

បាក់ឌុប ២០១៨ (១០ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌សចំនួន \(2\) ឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន \(4\) និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន \(4\) (សរុប \(10\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លី \(3\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។

រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
ក \(A\) ៖ «ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ក្រហម» ខ \(B\) ៖ «យ៉ាងតិចមានឃ្លី \(2\) មានពណ៌ខៀវ» គ \(C\) ៖ «ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ខុសៗគ្នា»

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ឃ្លី ៖

\[n(S) = C_{10}^3 = 120\]

ដូចនេះ ៖

ក \(A\) ៖ «ឃ្លីទាំង \(3\) ពណ៌ក្រហម» ៖

\[n(A) = C_4^3 = 4 \implies \boxed{P(A) = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}}\]

ខ \(B\) ៖ «យ៉ាងតិចមានឃ្លី \(2\) ពណ៌ខៀវ» ៖

\[n(B) = C_4^2 \times C_6^1 + C_4^3 = 36 + 4 = 40\]

\[\implies \boxed{P(B) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}}\]

គ \(C\) ៖ «ពណ៌ខុសៗគ្នាទាំង \(3\)» ៖

\[n(C) = C_2^1 \times C_4^1 \times C_4^1 = 32\]

\[\implies \boxed{P(C) = \frac{32}{120} = \frac{4}{15}}\]

បាក់ឌុប ២០១៩ (១០ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល \(16\) ដែលគេសរសេរលេខពី \(1\) ដល់ \(16\)។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។

រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
ក \(A\) ៖ «គេចាប់បានប៊ូលទាំង \(3\) មានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង \(4\)»
ខ \(B\) ៖ «គេចាប់បានប៊ូលទាំង \(3\) មានលេខសុទ្ធតែចែកមិនដាច់នឹង \(5\)»
គ \(C\) ៖ «គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង \(4\)»

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ប៊ូល ៖

\[n(S) = C_{16}^3 = 560\]

ដូចនេះ ៖

ក ចែកដាច់នឹង \(4\) មាន \(\{4, 8, 12, 16\}\) (\(4\) គ្រាប់) ៖

\[n(A) = C_4^3 = 4 \implies \boxed{P(A) = \frac{4}{560} = \frac{1}{140}}\]

ខ ចែកមិនដាច់នឹង \(5\) មាន \(16 - 3 = 13\) គ្រាប់ ៖

\[n(B) = C_{13}^3 = 286 \implies \boxed{P(B) = \frac{286}{560} = \frac{143}{280}}\]

គ មួយចែកដាច់នឹង \(4\) និងពីរមិនចែកដាច់ ៖

\[n(C) = C_4^1 \times C_{12}^2 = 4 \times 66 = 264\]

\[\implies \boxed{P(C) = \frac{264}{560} = \frac{33}{70}}\]

បាក់ឌុប ២០២១ (១០ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន \(2\) ឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន \(3\) និង ឃ្លីពណ៌ស ចំនួន \(4\) (សរុប \(9\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លីចំនួន \(3\) ពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ។

គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ស ខ ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ខុសៗគ្នា

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ឃ្លី ៖

\[n(S) = C_9^3 = 84\]

ដូចនេះ ៖

ក ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ៖ «ឃ្លីទាំង \(3\) មានពណ៌ស» ៖

\[n(A) = C_4^3 = 4 \implies \boxed{P(A) = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}}\]

ខ ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ៖ «ពណ៌ខុសៗគ្នា» ៖

\[n(B) = C_2^1 \times C_3^1 \times C_4^1 = 24\]

\[\implies \boxed{P(B) = \frac{24}{84} = \frac{2}{7}}\]

បាក់ឌុប ២០២២ (១០ពិន្ទុ)

ក្នុងមណ្ឌលសុខភាពមួយមានបុគ្គលិកនារី \(9\) នាក់ និងបុគ្គលិកបុរស \(5\) នាក់ (សរុប \(14\) នាក់)។ គេរៀបចំជាក្រុមការងារមួយក្រុមមានគ្នា \(4\) នាក់ដោយចៃដន្យឱ្យចុះធ្វើការតាមភូមិ។

រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក \(A\) ៖ «ក្រុមការងារដែលរៀបចំមានបុគ្គលិកទាំង \(4\) នាក់សុទ្ធតែជានារី»
ខ \(B\) ៖ «ក្រុមការងារដែលរៀបចំមានបុគ្គលិក \(50\%\) ជានារី»

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាចនៃការជ្រើសរើសមនុស្ស ៖

\[n(S) = C_{14}^4 = 1001\]

ដូចនេះ ៖

ក \(A\) ៖ «បុគ្គលិកទាំង \(4\) សុទ្ធតែជានារី» ៖

\[n(A) = C_9^4 = 126 \implies \boxed{P(A) = \frac{126}{1001} = \frac{18}{143}}\]

ខ \(B\) ៖ «បុគ្គលិក \(50\%\) ជានារី» (\(2\) នារី, \(2\) បុរស) ៖

\[n(B) = C_9^2 \times C_5^2 = 36 \times 10 = 360\]

\[\implies \boxed{P(B) = \frac{360}{1001}}\]

បាក់ឌុប ២០២៣ (១០ពិន្ទុ)

អ្នកលក់បន្ទាត់ម្នាក់ គាត់មានបន្ទាត់សំប៉ែតចំនួន \(25\) ដែលក្នុងនោះមានបន្ទាត់ \(3\) ដែលឆែបចុង (និងបន្ទាត់ល្អ \(22\))។ គេចាប់យកបន្ទាត់មួយក្នុងចំណោម \(25\) ដោយចៃដន្យ។

១ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ៖ «បន្ទាត់ដែលចាប់បានមិនឆែបចុង»
២ អ្នកទិញគាត់ចាប់យកដោយមិនបានផ្ទៀងផ្ទាត់ ហើយគាត់ចង់បានដាច់ខាតបន្ទាត់ល្អចំនួន \(7\)។ តើគាត់ត្រូវទិញបន្ទាត់យ៉ាងតិចចំនួនប៉ុន្មាន?
៣ គេចាប់យកបន្ទាត់ \(2\) ម្ដងដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមបន្ទាត់ទាំង \(25\)។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ៖ «បន្ទាត់ទាំងពីរចាប់បានមិនឆែបចុង»

ដំណោះស្រាយ

១ \(n(S) = 25\), បន្ទាត់ល្អមាន \(22\) ដើម ៖

\[\boxed{P(A) = \frac{22}{25} = 88\%}\]

២ ករណីអាក្រក់បំផុតគឺទិញប៉ះបន្ទាត់ឆែបចុង \(3\) មុន ៖

\[N = 3 + 7 = 10 \text{ បន្ទាត់}\]

ដូចនេះ ៖

៣ ចាប់បន្ទាត់ \(2\) ព្រមគ្នាពី \(25\) ដើម ៖

\[n(S) = C_{25}^2 = 300\]

បន្ទាត់ទាំងពីរមិនឆែបចុង (ចាប់ពីបន្ទាត់ល្អ \(22\)) ៖

\[n(B) = C_{22}^2 = 231 \implies \boxed{P(B) = \frac{231}{300} = \frac{77}{100}}\]

បាក់ឌុប ២០២៤ (១០ពិន្ទុ)

ក្នុងថ្នាក់រៀននៃសាលាអន្តរជាតិមួយមានសិស្ស \(24\) នាក់ ដែលក្នុងនោះមាន \(3\) នាក់ជាជនជាតិអង់គ្លេស \(2\) នាក់ជាជនជាតិបារាំង \(5\) នាក់ជាជនជាតិចិន \(4\) នាក់ជាជនជាតិកូរ៉េ និង \(10\) នាក់ជាជនជាតិខ្មែរ។ គេជ្រើសរើសសិស្ស \(3\) នាក់ដោយចៃដន្យជាតំណាងថ្នាក់យកទៅប្រកួតក្នុងកម្មវិធីមួយ។

រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងបី ៖
ក «សិស្សទាំង \(3\) នាក់ សុទ្ធតែជាជនជាតិនៅទ្វីបអឺរ៉ុប»
ខ «សិស្សទាំង \(3\) នាក់ សុទ្ធតែជាជនជាតិនៅទ្វីបអាស៊ី តែមិនមែនជាជនជាតិខ្មែរ»
គ «សិស្សទាំង \(3\) នាក់ មានម្នាក់ជាជនជាតិខ្មែរ ម្នាក់ជាជនជាតិនៅទ្វីបអឺរ៉ុប និងម្នាក់ទៀតជាជនជាតិនៅទ្វីបអាស៊ីមិនមែនខ្មែរ»

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាចនៃការជ្រើសរើសសិស្ស \(3\) ពី \(24\) នាក់ ៖

\[n(S) = C_{24}^3 = \frac{24 \times 23 \times 22}{6} = 2024\]

ដូចនេះ ៖

ក សិស្សទ្វីបអឺរ៉ុបមាន \(3 + 2 = 5\) នាក់ ៖

\[n(A) = C_5^3 = 10 \implies \boxed{P(A) = \frac{10}{2024} = \frac{5}{1012}}\]

ខ សិស្សទ្វីបអាស៊ីមិនមែនខ្មែរមាន \(5 + 4 = 9\) នាក់ ៖

\[n(B) = C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 84\]

\[\implies \boxed{P(B) = \frac{84}{2024} = \frac{21}{506}}\]

គ ខ្មែរ ១ នាក់, អឺរ៉ុប ១ នាក់, អាស៊ីមិនមែនខ្មែរ ១ នាក់ ៖

\[n(C) = C_{10}^1 \times C_5^1 \times C_9^1 = 10 \times 5 \times 9 = 450\]

\[\implies \boxed{P(C) = \frac{450}{2024} = \frac{225}{1012}}\]

enhanced, colback=blue!4!white, colframe=blue!60!black, colbacktitle=blue!60!black, coltitle=white, boxrule=0.6pt, arc=3pt, left=8pt, right=8pt, top=4pt, bottom=4pt, title= ការបែងចែកប្រភេទ និងចំណាំសំខាន់ (បាក់ឌុប ២០២៤)

បែងចែកសិស្សតាមតំបន់ភូមិសាស្ត្រដើម្បីងាយស្រួលគណនា ៖

ទ្វីបអឺរ៉ុប ៖ អង់គ្លេស (\(3\)) + បារាំង (\(2\)) = \(5\) នាក់
ទ្វីបអាស៊ី (មិនមែនខ្មែរ) ៖ ចិន (\(5\)) + កូរ៉េ (\(4\)) = \(9\) នាក់
ជនជាតិខ្មែរ ៖ \(10\) នាក់ \(\implies\) សរុបទាំងអស់ \(5 + 9 + 10 = 24\) នាក់

ចំណាំ ៖ ចំនួនករណីអាច \(n(S) = C_{24}^3 = 2024\) ត្រូវគ្នានឹងឆ្នាំប្រឡង ២០២៤ តែម្តង!

បាក់ឌុប ២០២៥ (១០ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីទាំងអស់ចំនួន \(4n\) ដែលក្នុងនោះមានកូនឃ្លីចំនួន \(2n+1\) មានពណ៌លឿង និង \(2n-1\) មានពណ៌បៃតង។ គេចាប់យកកូនឃ្លីពីរព្រមគ្នាពីក្នុងប្រអប់ដោយចៃដន្យ ដោយកំណត់យក \(n=10\)។

គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក \(A\) ៖ «កូនឃ្លីទាំងពីរដែលចាប់បានមានពណ៌ខុសគ្នា»
ខ \(B\) ៖ «កូនឃ្លីទាំងពីរដែលចាប់បានមានពណ៌បៃតង»
គ \(C\) ៖ «កូនឃ្លីទាំងពីរដែលចាប់បានមានពណ៌ដូចគ្នា»

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះ \(n = 10\) ៖
- ចំនួនឃ្លីសរុប ៖ \(4(10) = 40\) គ្រាប់
- ឃ្លីពណ៌លឿង ៖ \(2(10) + 1 = 21\) គ្រាប់
- ឃ្លីពណ៌បៃតង ៖ \(2(10) - 1 = 19\) គ្រាប់
ចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ឃ្លី ៖

\[n(S) = C_{40}^2 = 780\]

ដូចនេះ ៖

ក «ពណ៌ខុសគ្នា» (លឿង ១, បៃតង ១) ៖

\[n(A) = C_{21}^1 \times C_{19}^1 = 21 \times 19 = 399\]

\[\implies \boxed{P(A) = \frac{399}{780} = \frac{133}{260}}\]

ខ «ពណ៌បៃតងទាំងពីរ» ៖

\[n(B) = C_{19}^2 = \frac{19 \times 18}{2} = 171\]

\[\implies \boxed{P(B) = \frac{171}{780} = \frac{57}{260}}\]

គ «ពណ៌ដូចគ្នាទាំងពីរ» (ផ្ទុយពី \(A\)) ៖

\[\boxed{P(C) = 1 - P(A) = \frac{127}{260}}\]

ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ \(C_{21}^2 + C_{19}^2 = 381 \implies P(C) = \frac{381}{780} = \frac{127}{260}\)។

enhanced, colback=teal!4!white, colframe=teal!60!black, colbacktitle=teal!60!black, coltitle=white, boxrule=0.6pt, arc=3pt, left=8pt, right=8pt, top=4pt, bottom=4pt, title= ពង្រីកចំណេះដឹង ៖ រូបមន្តទូទៅជាអនុគមន៍នៃ \(n\) (បាក់ឌុប ២០២៥)

ចំពោះតម្លៃ \(n\) ណាមួយ (\(n \ge 1\)) ៖

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{4n}^2 = 2n(4n-1) = 8n^2 - 2n\)
ប្រូបាបពណ៌ខុសគ្នា ៖ \(P(A) = \frac{C_{2n+1}^1 \times C_{2n-1}^1}{C_{4n}^2} = \frac{4n^2 - 1}{8n^2 - 2n}\)
ចំពោះ \(n=10\) ៖ \(P(A) = \frac{4(100)-1}{8(100)-20} = \frac{399}{780} = \frac{133}{260}\) (ពិតជាត្រឹមត្រូវ)
នៅពេល \(n \to +\infty\) ៖ \(\lim_{n \to +\infty} P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\%\)។

បាក់ឌុប ២០២៦ (១០ពិន្ទុ)

ក្នុងចានមួយមានប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន \(8\) ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(8\), ប៊ូលពណ៌បៃតងចំនួន \(5\) ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(5\) និងប៊ូលពណ៌សចំនួន \(7\) ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(7\) (សរុប \(20\) ប៊ូល)។ គេចាប់យកប៊ូលមួយពីក្នុងចានដោយចៃដន្យ។

រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក \(A\) ៖ «ប៊ូលដែលចាប់បានមានលេខគូ» ខ \(B\) ៖ «ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌ក្រហម»
គ \(C\) ៖ «ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌ស និងលេខសេស»

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ប៊ូល \(1\) ពី \(20\) ៖

\[n(S) = 20\]

ដូចនេះ ៖

ក «ប៊ូលមានលេខគូ» ៖
- ក្រហមលេខគូ \(\{2,4,6,8\} \implies 4\)
- បៃតងលេខគូ \(\{2,4\} \implies 2\)
- សលេខគូ \(\{2,4,6\} \implies 3\)
សរុបប៊ូលលេខគូ \(n(A) = 4 + 2 + 3 = 9\) ៖

\[\implies \boxed{P(A) = \frac{9}{20} = 45\%}\]

ខ «ប៊ូលពណ៌ក្រហម» (មាន \(8\) គ្រាប់) ៖

\[n(B) = 8 \implies \boxed{P(B) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 40\%}\]

គ «ពណ៌ស និងលេខសេស» ៖
ប៊ូលពណ៌សលេខសេស \(\{1, 3, 5, 7\}\) មាន \(4\) គ្រាប់ ៖

\[n(C) = 4 \implies \boxed{P(C) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 20\%}\]

enhanced, colback=blue!4!white, colframe=blue!70!black, boxrule=0.7pt, arc=3pt, left=8pt, right=8pt, top=5pt, bottom=5pt, title= សេចក្តីសន្និដ្ឋាន និងការណែនាំគន្លឹះសម្រាប់បេក្ខជនប្រឡងបាក់ឌុប, coltitle=white, colbacktitle=blue!70!black, fonttitle= , attach boxed title to top left=yshift=-2.5mm, xshift=5mm, boxed title style=boxrule=0pt, colframe=blue!70!black, arc=2pt

ដើម្បីទទួលបានពិន្ទុពេញក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់ប្រូបាបនៃវិញ្ញាសាប្រឡងបាក់ឌុប បេក្ខជនគួរចងចាំនូវចំណុចគន្លឹះសំខាន់ៗដូចខាងក្រោម ៖

វិភាគប្រធានឱ្យបានច្បាស់លាស់ ៖ កំណត់ប្រភេទនៃការទាញ ឬជ្រើសរើស (ចាប់ព្រមគ្នា \(\implies C_n^k\), ចាប់ម្តងមួយដោយគ្មានសំណង \(\implies A_n^k\), ឬចាប់ម្តងមួយដោយមានសំណង \(\implies n^k\))។
សរសេរលំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍ ៖ ត្រូវសរសេរកំណត់លំហសំណាក \(S\), គណនាចំនួនករណីអាច \(n(S)\), និងតាងព្រឹត្តិការណ៍ដោយអក្សរធំ \(A, B, C\) ឱ្យបានត្រឹមត្រូវជានិច្ចមុននឹងគណនា។
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍បដិសេធ (ផ្ទុយ) ៖ ចំពោះសំណួរដែលមានពាក្យគន្លឹះ «យ៉ាងតិច...» ឬ «យ៉ាងហោចណាស់...» គួរប្រើរូបមន្តព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(P(A) = 1 - P(\overline{A})\) ដើម្បីចំណេញពេលវេលា និងជៀសវាងការខកខានករណី។
ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ និងទ្រឹស្ដីបទបៃយេស ៖ គូសដ្យាក្រាមដើមឈើ (Tree Diagram) ជាមុនសិន ដើម្បីមើលឃើញច្បាស់នូវលំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ និងមិនច្រឡំរវាង \(P(A|B)\) និង \(P(B|A)\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌសុពលភាព ៖ ពិនិត្យមើលលទ្ធផលប្រូបាប \(0 \le P(A) \le 1\) និងផលបូកក្នុងតារាងបំណែងចែកអថេរចៃដន្យ \(\sum p_i = 1\)។ ប្រសិនបើលទ្ធផលធំជាង \(1\) ឬអវិជ្ជមាន បង្ហាញថាការគណនាមានកំហុស។