KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១២
  3. មេរៀនទី ១០
១០
ជំពូកទី ៣ ដេរីវេ · មេរៀនទី ១០ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

អនុវត្តន៍នៃដេរីវេ

ដេរីវេ៨ ផ្នែកសំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០

អនុគមន៍កើន និង អនុគមន៍ចុះ

ការសិក្សាលើទិសដៅអថេរភាពនៃអនុគមន៍ គឺជាការកំណត់ចន្លោះដែលអនុគមន៍កើន ឬចុះ ដោយផ្អែកលើសញ្ញានៃដេរីវេទីមួយ \(f'(x)\)។

និយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទគ្រឹះ

ជាទូទៅ

គេឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ \([a, b]\) និងមានដេរីវេលើចន្លោះបើក \((a, b)\)៖

  • បើគ្រប់ \(x \in (a, b), f'(x) > 0\) នោះអនុគមន៍ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត លើចន្លោះ \([a, b]\)។

  • បើគ្រប់ \(x \in (a, b), f'(x) < 0\) នោះអនុគមន៍ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាត លើចន្លោះ \([a, b]\)។

  • បើគ្រប់ \(x \in (a, b), f'(x) = 0\) នោះអនុគមន៍ \(f\) ជាអនុគមន៍ថេរ លើចន្លោះ \([a, b]\)។

សម្រាយបញ្ជាក់៖ យកពីរតម្លៃ \(x_1, x_2 \in [a, b]\) តាមចិត្តដែល \(x_1 < x_2\)។ ដោយសារអនុគមន៍ \(f\) ជាប់លើចន្លោះបិទ \([x_1, x_2]\) និងមានដេរីវេលើចន្លោះបើក \((x_1, x_2)\) តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម (MVT) មានចំនួនពិត \(c \in (x_1, x_2)\) មួយយ៉ាងតិចដែលផ្ទៀងផ្ទាត់៖

\[\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c) \iff f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)\]
ដោយ \(x_1 < x_2 \implies x_2 - x_1 > 0\)៖

  • បើគ្រប់ \(x \in (a, b), f'(x) > 0\) នោះ \(f'(c) > 0\) នាំឱ្យ \(f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_1) < f(x_2)\)។ ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \([a, b]\)។

  • បើគ្រប់ \(x \in (a, b), f'(x) < 0\) នោះ \(f'(c) < 0\) នាំឱ្យ \(f(x_2) - f(x_1) < 0 \implies f(x_1) > f(x_2)\)។ ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ \([a, b]\)។

  • បើគ្រប់ \(x \in (a, b), f'(x) = 0\) នោះ \(f'(c) = 0\) នាំឱ្យ \(f(x_2) - f(x_1) = 0 \implies f(x_1) = f(x_2)\)។ ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ថេរលើ \([a, b]\)។ \(\blacksquare\)

ចំណុចប្រសព្វសំខាន់ (Critical Numbers)

ចំនួនប្រសព្វសំខាន់

ចំនួន \(c\) ក្នុងដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ \(f\) ហៅថាជា ចំនួនប្រសព្វសំខាន់ (Critical Number) កាលណា \(f'(c) = 0\) ឬ \(f'(c)\) មិនមាន។ ចំណុច \(P(c, f(c))\) ហៅថា ចំណុចប្រសព្វសំខាន់ (Critical Point)។

ឧទាហរណ៍

សិក្សាទិសដៅអថេរភាព និងរកចន្លោះកើន ចុះ នៃអនុគមន៍ \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5\)។

ដំណោះស្រាយ

- ដែនកំណត់៖ \(D = \mathbb{R}\)។ - ដេរីវេទីមួយ៖ \(f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x+1)(x-2)\)។ - ឱ្យ \(f'(x) = 0 \iff 6(x+1)(x-2) = 0 \implies x = -1 \) ឬ \( x = 2\)។ - តារាងសញ្ញា \(f'(x)\)៖

\(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(2\) \(+\infty\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)

សន្និដ្ឋាន៖ - អនុគមន៍ \(f\) កើនលើចន្លោះ \((-\infty, -1]\) និង \([2, +\infty)\) ពីព្រោះ \(f'(x) > 0\)។ - អនុគមន៍ \(f\) ចុះលើចន្លោះ \([-1, 2]\) ពីព្រោះ \(f'(x) < 0\)។

ភាពប៉ោង ភាពផត និងចំណុចរបត់

ភាពប៉ោង និងភាពផត (Concavity)

ជាទូទៅ

គេឱ្យអនុគមន៍ \(f\) មានដេរីវេទីពីរ \(f''(x)\) លើចន្លោះ \(I\)៖

  • បើគ្រប់ \(x \in I, f''(x) > 0\) នោះក្រាបនៃ \(f\) ផត (ប៉ោងឡើងលើ / Concave Up) លើ \(I\) (ខ្សែកោងស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ប៉ះ)។

  • បើគ្រប់ \(x \in I, f''(x) < 0\) នោះក្រាបនៃ \(f\) ប៉ោង (ប៉ោងចុះក្រោម / Concave Down) លើ \(I\) (ខ្សែកោងស្ថិតនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ប៉ះ)។

សម្រាយបញ្ជាក់៖ តាង \((T)\) ជាបន្ទាត់ប៉ះក្រាប \(y = f(x)\) ត្រង់ \(x_0 \in I\) មានសមីការ \(y_T = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\)។ ពិនិត្យគម្លាតបញ្ឈររវាងខ្សែកោង និងបន្ទាត់ប៉ះ៖ \(g(x) = f(x) - y_T = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0)\)។ តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម អនុវត្តលើ \(f(x) - f(x_0)\) មាន \(c_1\) នៅចន្លោះ \(x_0\) និង \(x\) ដែល \(f(x) - f(x_0) = f'(c_1)(x - x_0)\)។ គេបាន៖

\[g(x) = [f'(c_1) - f'(x_0)](x - x_0)\]
អនុវត្តទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យមម្តងទៀតលើអនុគមន៍ \(f'\) ចន្លោះ \(x_0\) និង \(c_1\) មាន \(c\) នៅចន្លោះ \(x_0\) និង \(c_1\) ដែល៖
\[f'(c_1) - f'(x_0) = f''(c)(c_1 - x_0)\]
ដោយ \(c_1\) ស្ថិតនៅចន្លោះ \(x_0\) និង \(x\) នាំឱ្យ \((c_1 - x_0)\) និង \((x - x_0)\) មានសញ្ញាដូចគ្នា ហេតុនេះ \((c_1 - x_0)(x - x_0) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq x_0\)។ នាំឱ្យ \(g(x) = f''(c)(c_1 - x_0)(x - x_0)\) មានសញ្ញាដូចគ្នានឹង \(f''(c)\)៖

  • បើ \(f''(x) > 0\) នោះ \(g(x) > 0 \iff f(x) > y_T\) (ខ្សែកោងស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ប៉ះ \(\implies\) ក្រាបផតឡើងលើ)។

  • បើ \(f''(x) < 0\) នោះ \(g(x) < 0 \iff f(x) < y_T\) (ខ្សែកោងស្ថិតនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ប៉ះ \(\implies\) ក្រាបប៉ោងចុះក្រោម)។ \(\blacksquare\)

ចំណុចរបត់ (Inflection Point)

ជាទូទៅ

ចំណុច \(I(x_0, f(x_0))\) ហៅថា ចំណុចរបត់ នៃក្រាបតាងអនុគមន៍ \(f\) កាលណាដេរីវេទីពីរ \(f''(x_0) = 0\) (ឬ គ្មានដេរីវេទីពីរ) ហើយ \(f''(x)\) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច \(x_0\)។

ការបកស្រាយ និងសម្រាយបញ្ជាក់៖ តាមនិយមន័យធរណីមាត្រ ចំណុចរបត់គឺជាចំណុចដែលខ្សែកោងផ្លាស់ប្តូរភាពកោងពីផតទៅប៉ោង (ឬពីប៉ោងទៅផត)៖

  • នៅពេល \(x < x_0\) ប្រសិនបើ \(f''(x) > 0\) (ក្រាបផតឡើងលើ) ហើយនៅពេល \(x > x_0\) នាំឱ្យ \(f''(x) < 0\) (ក្រាបប៉ោងចុះក្រោម) ឬច្រាសមកវិញ។

  • បើ \(f''\) ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ \(x_0\) នោះការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីវិជ្ជមានទៅអវិជ្ជមាន (ឬច្រាសមកវិញ) តម្រូវឱ្យ \(f''\) កាត់តម្លៃ \(0\) តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃកណ្តាល ពោលគឺ \(f''(x_0) = 0\)។

  • ត្រង់ចំណុចរបត់នេះ បន្ទាត់ប៉ះផ្លាស់ប្តូរទីតាំងពីស្ថិតនៅក្រោមខ្សែកោងទៅនៅខាងលើខ្សែកោង (ឬច្រាសមកវិញ) ពោលគឺ បន្ទាត់ប៉ះកាត់ខ្សែកោង ត្រង់ចំណុចរបត់ \(I\) នោះ។ \(\blacksquare\)

ឧទាហរណ៍

រកចន្លោះប៉ោង ចន្លោះផត និងកូអរដោនេចំណុចរបត់នៃក្រាប \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\)។

ដំណោះស្រាយ

- ដេរីវេទីមួយ៖ \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) - ដេរីវេទីពីរ៖ \(f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)\) - ឱ្យ \(f''(x) = 0 \iff 6(x - 2) = 0 \implies x = 2\) - ចំពោះ \(x < 2 \implies f''(x) < 0 \implies\) ក្រាបប៉ោងចុះក្រោម (Concave Down) លើ \((-\infty, 2)\) - ចំពោះ \(x > 2 \implies f''(x) > 0 \implies\) ក្រាបផតឡើងលើ (Concave Up) លើ \((2, +\infty)\) - ដោយ \(f''(x)\) ប្តូរសញ្ញាឆ្លងកាត់ \(x = 2\) នោះក្រាបមានចំណុចរបត់ត្រង់ \(x = 2\)៖ \(y = f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3 \implies I(2, 3)\)។

ចំណុចអតិបរមា និង អប្បបរមា (Extrema)

តេស្តដេរីវេទី ១ និង តេស្តដេរីវេទី ២

វិធីសាស្ត្រ តេស្តដេរីវេទី ១ (\(f'(x)\)) តេស្តដេរីវេទី ២ (\(f''(x)\)) ប្រភេទបរមា
អតិបរមាធៀប \(f'(x)\) ប្តូរសញ្ញាពី \((+)\) ទៅ \((-)\) ឆ្លងកាត់ \(x_0\) \(f'(x_0) = 0\) និង \(f''(x_0) < 0\) \(M(x_0, f(x_0))\)
អប្បបរមាធៀប \(f'(x)\) ប្តូរសញ្ញាពី \((-)\) ទៅ \((+)\) ឆ្លងកាត់ \(x_0\) \(f'(x_0) = 0\) និង \(f''(x_0) > 0\) \(m(x_0, f(x_0))\)
គ្មានបរមា \(f'(x)\) មិនប្តូរសញ្ញា \(f'(x_0)=0\) និង \(f''(x_0)=0\) (មិនអាចសន្និដ្ឋាន) គ្មានបរមា

បរមាដាច់ខាតលើចន្លោះបិទ \([a, b]\)

ដើម្បីរកតម្លៃអតិបរមាដាច់ខាត និងអប្បបរមាដាច់ខាតនៃអនុគមន៍ជាប់ \(f\) លើចន្លោះបិទ \([a, b]\)៖

  1. រកតម្លៃ \(f(c)\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនប្រសព្វសំខាន់ \(c \in (a, b)\) ដែល \(f'(c) = 0\) ឬ \(f'(c)\) គ្មាន។

  2. គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រង់ចុងចន្លោះ៖ \(f(a)\) និង \(f(b)\)។

  3. តម្លៃធំបំផុតក្នុងចំណោមតម្លៃទាំងនេះ ជា អតិបរមាដាច់ខាត ហើយតម្លៃតូចបំផុតជា អប្បបរមាដាច់ខាត។

ទ្រឹស្តីបទរ៉ូល និងទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម

ទ្រឹស្តីបទរ៉ូល (Rolle’s Theorem)

ជាទូទៅ

បើអនុគមន៍ \(f\) ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌទាំង ៣៖

  1. \(f\) ជាប់លើចន្លោះបិទ \([a, b]\)

  2. \(f\) មានដេរីវេលើចន្លោះបើក \((a, b)\)

  3. \(f(a) = f(b)\)

នោះមានយ៉ាងហោចណាស់ចំនួនមួយ \(c \in (a, b)\) ដែល \(f'(c) = 0\) (មានបន្ទាត់ប៉ះដេក)។

សម្រាយបញ្ជាក់៖ ដោយសារអនុគមន៍ \(f\) ជាប់លើចន្លោះបិទ \([a, b]\) តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃបរមា (Extreme Value Theorem) អនុគមន៍ \(f\) ត្រូវតែមានតម្លៃអតិបរមាដាច់ខាត \(M\) និងតម្លៃអប្បបរមាដាច់ខាត \(m\) លើ \([a, b]\)៖

  • ករណីទី ១៖ បើ \(M = m\) នោះអនុគមន៍ \(f\) ជាអនុគមន៍ថេរលើ \([a, b]\) ពោលគឺ \(f(x) = M\) គ្រប់ \(x \in [a, b]\)។ ហេតុនេះ \(f'(c) = 0\) ចំពោះគ្រប់ចំនួន \(c \in (a, b)\)។

  • ករណីទី ២៖ បើ \(M > m\) ដោយសារលក្ខខណ្ឌ \(f(a) = f(b)\) តម្លៃបរមាទាំងពីរ \(M\) និង \(m\) មិនអាចកើតឡើងដំណាលគ្នានៅចុងចន្លោះ \(a\) និង \(b\) បានឡើយ។ ដូច្នេះយ៉ាងហោចណាស់មានបរមាមួយ (\(M\) ឬ \(m\)) ត្រូវតែកើតឡើងត្រង់ចំណុច \(c \in (a, b)\) ខាងក្នុងចន្លោះ។ ដោយ \(f\) មានដេរីវេត្រង់ \(c\) នោះតាមទ្រឹស្តីបទ Fermat ចំពោះតម្លៃបរមាធៀប នាំឱ្យ \(f'(c) = 0\)។

ដូចនេះ ជានិច្ចកាលមានយ៉ាងហោចណាស់ \(c \in (a, b)\) មួយដែល \(f'(c) = 0\)។ \(\blacksquare\)

ទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម (Mean Value Theorem - MVT)

ជាទូទៅ

បើអនុគមន៍ \(f\) ជាប់លើ \([a, b]\) និងមានដេរីវេលើ \((a, b)\) នោះមានយ៉ាងហោចណាស់ចំនួនមួយ \(c \in (a, b)\) ដែល៖

\[f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \iff f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\]
ន័យធរណីមាត្រ៖ មានចំណុចយ៉ាងហោចណាស់មួយលើខ្សែកោង ដែលបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចនោះស្របនឹងខ្សែធ្នូតភ្ជាប់ចំណុចចុង \((a, f(a))\) និង \((b, f(b))\)។

សម្រាយបញ្ជាក់៖ បន្ទាត់ធ្នូតកាត់តាមចំណុច \(A(a, f(a))\) និង \(B(b, f(b))\) មានសមីការ \(y = f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a)\)។ ពិចារណាលើអនុគមន៍ជំនួយ \(g(x)\) តាងឱ្យគម្លាតបញ្ឈររវាងខ្សែកោង និងបន្ទាត់ធ្នូត៖

\[g(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\]

  1. \(g\) ជាប់លើចន្លោះបិទ \([a, b]\) (ផលដកនៃអនុគមន៍ជាប់)។

  2. \(g\) មានដេរីវេលើចន្លោះបើក \((a, b)\) ដោយ \(g'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)។

  3. គណនាតម្លៃត្រង់ចុងចន្លោះ៖ \(g(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0\) \(g(b) = f(b) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) = 0 \implies g(a) = g(b) = 0\)។

អនុគមន៍ \(g\) ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌទាំង ៣ នៃទ្រឹស្តីបទរ៉ូល ដូច្នេះមាន \(c \in (a, b)\) មួយយ៉ាងតិចដែល \(g'(c) = 0\)៖

\[g'(c) = 0 \iff f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0 \iff f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad{} \blacksquare\]

វិធានឡូពីតាល់ (L’Hôpital’s Rule)

ទម្រង់មិនកំណត់ \(\dfrac{0}{0}\) និង \(\dfrac{\infty}{\infty}\)

ជាទូទៅ

ឧបមាថា \(f\) និង \(g\) មានដេរីវេលើចន្លោះបើកដែលមានចំណុច \(a\) (លើកលែងត្រង់ \(a\)) ហើយ \(g'(x) \neq 0\)។ បើ \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\) និង \(\lim_{x \to a} g(x) = 0\) ឬ \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) និង \(\lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty\) នោះ៖

\[\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\]
(លុះត្រាតែលីមីតខាងស្តាំមាន ឬស្មើ \(\pm\infty\))។

សម្រាយបញ្ជាក់ (ចំពោះទម្រង់មិនកំណត់ \(\frac{0}{0}\))៖ ឧបមាថា \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\) និង \(\lim_{x \to a} g(x) = 0\)។ យើងកំណត់បន្ថែមតម្លៃ \(f(a) = 0\) និង \(g(a) = 0\) ដើម្បីឱ្យ \(f\) និង \(g\) ក្លាយជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ \(a\)។ ចំពោះ \(x > a\) (ករណី \(x < a\) ស្រាយដូចគ្នា) អនុគមន៍ \(f\) និង \(g\) ជាប់លើ \([a, x]\) និងមានដេរីវេលើ \((a, x)\)។ តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យមកូស៊ី (Cauchy’s Extended MVT) មាន \(c \in (a, x)\) មួយដែល៖

\[\dfrac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \iff \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \quad{} (\text{ព្រោះ } f(a)=g(a)=0)\]
នៅពេល \(x \to a^+\) ដោយសារ \(a < c < x\) តាមទ្រឹស្តីបទគៀប នាំឱ្យ \(c \to a^+\) ដែរ។ យកលីមីតនៃអង្គទាំងពីរកាលណា \(x \to a^+\) គេទាញបាន៖
\[\lim_{x \to a^+} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \to a^+} \dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a^+} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\]
ដូចគ្នាដែរចំពោះលីមីតខាងឆ្វេង (\(x \to a^-\)) នាំឱ្យបានរូបមន្តទូទៅ៖ \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)។ \(\blacksquare\)

ទម្រង់មិនកំណត់ដទៃទៀត

  • ទម្រង់ \(0 \cdot \infty\)៖ សរសេរ \(f(x) \cdot g(x) = \dfrac{f(x)}{1/g(x)}\) ដើម្បីបម្លែងជា \(\dfrac{0}{0}\) ឬ \(\dfrac{\infty}{\infty}\)។

  • ទម្រង់ \(\infty - \infty\)៖ តម្រូវភាគបែងរួម ឬបំបែកជាផលគុណដើម្បីបម្លែងជាផលធៀប។

  • ទម្រង់ស្វ័យគុណ \(1^\infty, 0^0, \infty^0\)៖ តាង \(y = [f(x)]^{g(x)} \implies \ln y = g(x) \ln f(x)\) រួចគណនាលីមីតនៃ \(\ln y\) តាមទម្រង់ \(0 \cdot \infty\) រួចទាញរក \(\lim y = e^L\)។

ឧទាហរណ៍

គណនាលីមីតខាងក្រោមតាមវិធានឡូពីតាល់៖

  1. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{\sin(3x)}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} x e^{-x}\)

ដំណោះស្រាយ

  1. រាង \(\dfrac{0}{0}\)៖

    \[\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{\sin(3x)} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2e^{2x}}{3\cos(3x)} = \dfrac{2(1)}{3(1)} = \dfrac{2}{3}\]

  2. រាង \(\dfrac{0}{0}\)៖ តាមវិធានឡូពីតាល់លើកទីមួយ

    \[\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{3x^2} \quad{} \left(\text{រាង } \dfrac{0}{0}\right)\]
    អនុវត្តវិធានឡូពីតាល់លើកទីពីរ៖
    \[= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{6x} = \dfrac{1}{6} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = \dfrac{1}{6}\]

  3. រាង \(\infty \cdot 0\)៖ សរសេរជាផលធៀប

    \[\lim\limits_{x \to +\infty} x e^{-x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} \quad{} \left(\text{រាង } \dfrac{\infty}{\infty}\right)\]
    អនុវត្តវិធានឡូពីតាល់៖
    \[= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^x} = 0\]

អនុវត្តន៍ក្នុងការគណនាតម្លៃបរមា (Applied Optimization)

វិធីសាស្ត្រ ៥ ជំហានក្នុងការដោះស្រាយចំណោទបរមា

  1. អានប្រធានឱ្យយល់ច្បាស់ គូររូបតាង (បើមាន) និងកំណត់អថេរព្រមទាំងលក្ខខណ្ឌរបស់វា។

  2. កំណត់កន្សោមអនុគមន៍ដែលត្រូវរកបរមា (អតិបរមា ឬអប្បបរមា)។

  3. បង្កើតសមីការទំនាក់ទំនង (សម្មតិកម្ម) ដើម្បីបំប្លែងអនុគមន៍នោះឱ្យមានតែមួយអថេរ។

  4. គណនាដេរីវេទីមួយ \(f'(x)\) រកចំនួនប្រសព្វសំខាន់ \(f'(x) = 0\) ក្នុងដែនកំណត់។

  5. ប្រើតេស្តដេរីវេទីមួយ ឬទីពីរ ដើម្បីបញ្ជាក់ថាតម្លៃនោះជាអតិបរមា ឬអប្បបរមាពិតប្រាកដ រួចឆ្លើយសំនួរ។

ចំណោទហ៊ុមព័ទ្ធដីចតុកោណកែងជាប់ជញ្ជាំង

កសិករម្នាក់មានសំណាញ់លួសប្រវែង \(120\) m សម្រាប់ធ្វើរបងព័ទ្ធដីចតុកោណកែងមួយកន្លែង ដោយមានជញ្ជាំងថ្មត្រង់មួយជ្រុងស្រាប់ (មិនបាច់ធ្វើរបងលើជ្រុងនោះទេ)។ ចូរកំណត់វិមាត្រនៃដីដើម្បីឱ្យផ្ទៃក្រឡាទទួលបានធំបំផុត។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(x\) ជាប្រវែងជ្រុងទាំងពីរដែលកែងនឹងជញ្ជាំង (\(x > 0\))។ ជ្រុងស្របនឹងជញ្ជាំងមានប្រវែង \(y = 120 - 2x\) (ដោយ \(120 - 2x > 0 \implies 0 < x < 60\))។ ផ្ទៃក្រឡាដីចតុកោណកែងគឺ៖

\[A(x) = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2\]
ដេរីវេទីមួយ៖ \(A'(x) = 120 - 4x\) ឱ្យ \(A'(x) = 0 \iff 120 - 4x = 0 \implies x = 30\) m។ ដេរីវេទីពីរ៖ \(A''(x) = -4 < 0 \implies\) ផ្ទៃក្រឡាមានតម្លៃអតិបរមាពិតប្រាកដត្រង់ \(x = 30\) m។ វិមាត្រដីគឺ៖ ទទឹង \(x = 30\) m និងបណ្តោយ \(y = 120 - 2(30) = 60\) m។ ផ្ទៃក្រឡាអតិបរមាគឺ \(A_{\max} = 30 \times 60 = 1800\text{ m}^2\)។

ចលនាក្នុងរូបវិទ្យា និងអត្រាបម្រែបម្រួលប្រទាក់ក្រឡា

អនុវត្តន៍លើចលនាត្រង់ (Kinematics)

បើវត្ថុមួយផ្លាស់ទីលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ មានសមីការទីតាំង \(s(t)\) នៅខណៈពេល \(t\) (\(t \ge 0\))៖

  • ល្បឿនខណៈ (Velocity)៖ \(v(t) = s'(t) = \dfrac{ds}{dt}\)

  • ល្បឿនស្កាលែរ (Speed)៖ \(|v(t)|\)

  • សំទុះខណៈ (Acceleration)៖ \(a(t) = v'(t) = s''(t) = \dfrac{d^2s}{dt^2}\)

  • វត្ថុឈប់ស្ងៀម (ឬប្តូរទិសដៅ) នៅពេល \(v(t) = 0\)។

  • វត្ថុផ្លាស់ទីស្ទុះលឿន (Speeding Up) កាលណា \(v(t) \cdot a(t) > 0\)។

  • វត្ថុផ្លាស់ទីយឺត (Slowing Down) កាលណា \(v(t) \cdot a(t) < 0\)។

ឧទាហរណ៍

ចលនានៃភាគល្អិតមួយលើបន្ទាត់ត្រង់ កំណត់ដោយសមីការទីតាំង \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\) (\(t \ge 0\) គិតជាវិនាទី \(s\) គិតជាម៉ែត្រ)។

  1. រកល្បឿន \(v(t)\) និងសំទុះ \(a(t)\) នៃភាគល្អិតនៅខណៈពេល \(t\)។

  2. តើភាគល្អិតឈប់ស្ងៀមនៅខណៈពេលណា?

ដំណោះស្រាយ

  1. ល្បឿន \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9\) (m/s) និងសំទុះ \(a(t) = v'(t) = 6t - 12\) (m/s\(^2\))។

  2. ភាគល្អិតឈប់ស្ងៀមពេល \(v(t) = 0 \iff 3t^2 - 12t + 9 = 0 \iff 3(t-1)(t-3) = 0 \implies t = 1\) s ឬ \( t = 3\text{ s}\)។

  1. កំណត់ចន្លោះកើន ចុះ និងរកចំណុចបរមាធៀបនៃអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\)។

  2. រកចំណុចបរមាធៀបនៃអនុគមន៍ពហុធា \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5\)។

  3. សិក្សាអថេរភាព និងបរមានៃអនុគមន៍សនិទាន \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}\)។

  4. រកតម្លៃបរមានៃអនុគមន៍ \(f(x) = x + \dfrac{4}{x}\) លើចន្លោះ \((0, +\infty)\)។

  5. រកចន្លោះកើន ចុះ នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល \(f(x) = x e^{-x}\)។

  6. រកតម្លៃបរមាធៀបនៃអនុគមន៍លោការីត \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) ចំពោះ \(x > 0\)។

  7. កំណត់តម្លៃបរមាធៀបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ \(f(x) = \sin x + \cos x\) លើចន្លោះ \([0, 2\pi]\)។

  8. រកតម្លៃអតិបរមាដាច់ខាត និងអប្បបរមាដាច់ខាតនៃ \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\) លើចន្លោះ \([-2, 3]\)។

  9. រកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាដាច់ខាតនៃ \(f(x) = x - 2\sin x\) លើចន្លោះ \([0, \pi]\)។

  10. កំណត់តម្លៃនៃ \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1\) មានបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) និង \(x = 3\)។

  11. រកចន្លោះប៉ោង ចន្លោះផត និងចំណុចរបត់នៃក្រាប \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 5\)។

  12. រកចំណុចរបត់នៃក្រាបអនុគមន៍ដឺក្រេទីបួន \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 10\)។

  13. រកចន្លោះប៉ោង ផត នៃអនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 3}\)។

  14. បង្ហាញថាអនុគមន៍ \(f(x) = e^{-x^2}\) (ខ្សែកោងហ្គោស) មានចំណុចរបត់ចំនួនពីរ រួចរកកូអរដោនេចំណុចទាំងពីរនោះ។

  15. រកចំណុចរបត់នៃខ្សែកោង \(f(x) = x^2 \ln x\) ចំពោះ \(x > 0\)។

  16. រកចន្លោះប៉ោង ចន្លោះផត នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ \(f(x) = \sin x\) លើ \([0, 2\pi]\)។

  17. បង្ហាញថាខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ដឺក្រេទីបី \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a \neq 0\)) តែងតែមានចំណុចរបត់មួយជានិច្ច។

  18. កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យក្រាប \(f(x) = x^4 + mx^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + 1\) ផតឡើងលើគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\)។

  19. រកចំណុចរបត់នៃក្រាប \(f(x) = \sqrt[3]{x-1}\)។

  20. បង្ហាញថាក្រាប \(f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}\) គ្មានចំណុចរបត់ឡើយ។

  21. ផ្ទៀងផ្ទាត់ទ្រឹស្តីបទរ៉ូលចំពោះ \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) លើចន្លោះ \([1, 3]\) រួចរកតម្លៃ \(c\)។

  22. ផ្ទៀងផ្ទាត់ទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម (MVT) ចំពោះ \(f(x) = x^3 - x\) លើ \([0, 2]\) រួចរកតម្លៃ \(c\)។

  23. គណនាលីមីតខាងក្រោមតាមវិធានឡូពីតាល់៖

    1. \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^5 - 1}{x^3 - 1}\)

    2. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\)

  24. គណនាលីមីតរាង \(\dfrac{0}{0}\) ខាងក្រោម៖

    1. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x) - x}{x^2}\)

    2. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - x}{x - \sin x}\)

  25. គណនាលីមីតរាង \(\dfrac{\infty}{\infty}\) និងរាង \(0 \cdot \infty\)៖

    1. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\)

    2. \(\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x\)

  26. គណនាលីមីតរាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\)៖ \(\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right)\)។

  27. គណនាលីមីតរាងស្វ័យគុណមិនកំណត់ \(1^\infty\) និង \(1^\infty\)៖

    1. \(\lim_{x \to 0^+} (1+3x)^{1/x}\)

    2. \(\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}\)

  28. គណនាលីមីត \(\lim_{x \to 0^+} x^x\) ដោយបំប្លែងជារាងលោការីត។

  29. គណនាលីមីត \(\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x\) តាមវិធានឡូពីតាល់។

  30. កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យ \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(2x) + ax + bx^3}{x^3} = 0\)។

  31. រកចំនួនវិជ្ជមានពីរដែលមានផលបូកស្មើ \(30\) ហើយផលគុណរបស់ពួកវាមានតម្លៃធំបំផុត។

  32. រកចំនួនវិជ្ជមានពីរដែលមានផលគុណស្មើ \(64\) ហើយផលបូករបស់ពួកវាមានតម្លៃតូចបំផុត។

  33. បន្ទះដែកការ៉េមួយមានជ្រុងប្រវែង \(24\text{ cm}\)។ គេកាត់ការ៉េតូចៗប៉ុនគ្នាពីជ្រុងទាំងបួន រួចបត់គែមឡើងលើដើម្បីធ្វើជាប្រអប់គ្មានគម្របមួយ។ ចូរកំណត់ប្រវែងជ្រុងការ៉េតូចដែលត្រូវកាត់ ដើម្បីឱ្យប្រអប់មានមាឌធំបំផុត។

  34. កសិករម្នាក់ចង់ហ៊ុមព័ទ្ធដីចតុកោណកែងមួយមានផ្ទៃក្រឡា \(600\text{ m}^2\) ហើយចែកដីជាពីរប្លង់ស្មើគ្នាដោយរបងខណ្ឌកណ្តាលមួយស្របនឹងទទឹង។ រកវិមាត្រដីដើម្បីឱ្យប្រវែងរបងសរុបមានកម្រិតអប្បបរមា។

  35. រកវិមាត្រនៃចតុកោណកែងដែលមានបរិមាត្រ \(P = 80\text{ cm}\) ហើយមានផ្ទៃក្រឡាធំបំផុត។

  36. គេចង់ធ្វើកំប៉ុងស៊ីឡាំងបិទជិតមួយមានមាឌ \(V = 1000\pi\text{ cm}^3\)។ ចូរកំណត់កាំបាត \(R\) និងកម្ពស់ \(h\) ដើម្បីឱ្យផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃកំប៉ុងមានកម្រិតអប្បបរមា (សន្សំសំចៃដែកបំផុត)។

  37. រកផ្ទៃក្រឡាធំបំផុតនៃត្រីកោណកែងដែលមានអ៊ីប៉ូតេនុសប្រវែង \(a\) ថេរ។

  38. ចតុកោណកែងមួយមានបាតស្ថិតលើអ័ក្ស \(Ox\) ហើយកំពូលពីរទៀតស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល \(y = 12 - x^2\)។ រកផ្ទៃក្រឡាធំបំផុតនៃចតុកោណកែងនោះ។

  39. រកចំណុចនៅលើប៉ារ៉ាបូល \(y = x^2\) ដែលនៅជិតបំផុតទៅនឹងចំណុច \(A(0, 3)\)។

  40. ស៊ីឡាំងបរិវត្តមួយចារឹកក្នុងស្វ៊ែរកាំ \(R\)។ រកមាឌធំបំផុតនៃស៊ីឡាំងជាកន្សោមនៃ \(R\)។

  41. កោនបរិវត្តមួយចារឹកក្រៅស្វ៊ែរកាំ \(R\)។ រកកម្ពស់នៃកោនដើម្បីឱ្យមាឌកោនមានកម្រិតអប្បបរមា។

  42. ក្រុមហ៊ុនមួយលក់ទំនិញ \(x\) គ្រឿងក្នុងមួយថ្ងៃដោយមានថ្លៃដើម \(C(x) = 2000 + 10x + 0.1x^2\) និងតម្លៃលក់ \(p(x) = 50 - 0.1x\)។ កំណត់បរិមាណលក់ \(x\) ដើម្បីទទួលបានប្រាក់ចំណេញអតិបរមា។

  43. ភាគល្អិតមួយផ្លាស់ទីលើបន្ទាត់ត្រង់តាមសមីការចលនា \(s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t\) (គិតជា \(\text{m}, \text{s}\))។

    1. គណនាល្បឿន \(v(t)\) និងសំទុះ \(a(t)\) នៅខណៈ \(t = 2\text{ s}\)

    2. កំណត់ខណៈពេលណាខ្លះដែលភាគល្អិតឈប់ស្ងៀមមួយរំពេច

  44. ចំពោះភាគល្អិតខាងលើ ចូរកំណត់ចន្លោះពេលដែលភាគល្អិតផ្លាស់ទីស្ទុះលឿន និងចន្លោះពេលដែលផ្លាស់ទីយឺត។

  45. គ្រាប់កាំភ្លើងមួយបាញ់ឡើងលើតាមទិសឈរមានសមីការកម្ពស់ \(h(t) = 80t - 5t^2\) (គិតជា \(\text{m}, \text{s}\))។ រកកម្ពស់ខ្ពស់បំផុតដែលគ្រាប់ទៅដល់ និងល្បឿនពេលធ្លាក់មកដល់ដីវិញ។

  46. បាឡុងស្វ៊ែរមួយកំពុងបូមខ្យល់ចូលដោយអត្រាកំណើនមាឌ \(\dfrac{dV}{dt} = 400\pi\text{ cm}^3/\text{s}\)។ គណនាអត្រាកំណើននៃកាំ \(\dfrac{dr}{dt}\) នៅពេលកាំ \(r = 10\text{ cm}\)។

  47. ថ្មមួយដុំធ្លាក់ចូលក្នុងទឹកស្ងប់ បង្កើតជារង្វង់រលកដែលរីកធំឡើងដោយកាំកើនក្នុងអត្រា \(30\text{ cm/s}\)។ រកអត្រាកំណើននៃផ្ទៃក្រឡារង្វង់រលកនៅពេលកាំ \(r = 2\text{ m}\)។

  48. ធុងទឹកមួយមានរាងកោនផ្កាប់ចុះក្រោម កម្ពស់ \(4\text{ m}\) និងកាំមាត់ខាងលើ \(2\text{ m}\)។ គេបង្ហូរទឹកចូលធុងក្នុងអត្រា \(2\text{ m}^3/\text{min}\)។ រកអត្រាកំណើននៃកម្ពស់ទឹកនៅពេលជម្រៅទឹកស្មើ \(3\text{ m}\)។

  49. ជណ្ដើរប្រវែង \(10\text{ m}\) ផ្អែកលើជញ្ជាំងឈរត្រង់។ ជើងជណ្ដើរត្រូវបានទាញចេញពីជញ្ជាំងក្នុងល្បឿន \(2\text{ m/s}\)។ រកល្បឿនដែលចុងខាងលើនៃជណ្ដើររអិលចុះក្រោម នៅពេលជើងជណ្ដើរនៅចម្ងាយ \(6\text{ m}\) ពីជញ្ជាំង។

  50. កប៉ាល់ \(A\) ធ្វើដំណើរទៅទិសខាងលិចក្នុងល្បឿន \(20\text{ km/h}\) ហើយកប៉ាល់ \(B\) ធ្វើដំណើរទៅទិសខាងជើងក្នុងល្បឿន \(15\text{ km/h}\)។ កប៉ាល់ទាំងពីរចេញដំណើរពីចំណុចតែមួយ។ រកអត្រាបម្រែបម្រួលនៃចម្ងាយរវាងកប៉ាល់ទាំងពីរក្រោយពេលចេញដំណើរបាន \(2\text{ h}\)។

ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត
ក. ចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ក ខ ខ ខ ខ ក ខ ខ ខ ក
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ខ ខ ខ ក ខ គ ក ខ ខ ខ
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
គ ក គ ខ គ ក ខ ខ ខ ខ
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ក ខ ក ក ក ក ខ ក ក ខ
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ខ ខ ក ក ក ក ខ ក ខ ខ
ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

លំហាត់ទី ១ ៖
គេមាន \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \iff x = 0\) ឬ \(x = 2\)។

  • \(f\) កើនលើ \((-\infty, 0) \cup (2, +\infty)\), ចុះលើ \((0, 2)\)

  • អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) គឺ \(f(0) = 1\)

  • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) គឺ \(f(2) = -3\)

លំហាត់ទី ២ ៖
\(f'(x) = 12x(x - 2)(x + 1) = 0 \iff x = -1, 0, 2\)។

  • អប្បបរមាធៀប \(f(-1) = 0\) និង \(f(2) = -27\)

  • អតិបរមាធៀប \(f(0) = 5\)

លំហាត់ទី ៣ ៖ ដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)។

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(2x - 4)(x - 1) - (x^2 - 4x + 4)(1)}{(x - 1)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \end{aligned}\]
\(f'(x) = 0 \iff x = 0\) ឬ \(x = 2\)។

  • \(f\) កើនលើ \((-\infty, 0) \cup (2, +\infty)\)

  • \(f\) ចុះលើ \((0, 1) \cup (1, 2)\)

  • អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) គឺ \(f(0) = -4\)

  • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) គឺ \(f(2) = 0\)

លំហាត់ទី ៤ ៖ ចំពោះ \(x > 0\) ៖ \(f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}\)។
\(f'(x) = 0 \iff x^2 = 4 \implies x = 2\) (ព្រោះ \(x > 0\))។
ដោយ \(f''(x) = \dfrac{8}{x^3} > 0\) គ្រប់ \(x > 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) គឺ ៖

\[f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4\]

លំហាត់ទី ៥ ៖ គេមាន \(f'(x) = (x)' e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x)e^{-x}\)។
ដោយ \(e^{-x} > 0\) គ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) នោះសញ្ញា \(f'(x)\) អាស្រ័យនឹង \((1 - x)\) ៖

  • \(f'(x) > 0 \iff x < 1 \implies f\) កើនលើ \((-\infty, 1)\)

  • \(f'(x) < 0 \iff x > 1 \implies f\) ចុះលើ \((1, +\infty)\)

លំហាត់ទី ៦ ៖ ចំពោះ \(x > 0\) ៖ \(f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\)។
\(f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e\)។
ពេល \(x\) ឆ្លងកាត់ \(e\), \(f'(x)\) ប្តូរសញ្ញាពីវិជ្ជមានទៅអវិជ្ជមាន នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = e\) គឺ ៖

\[f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}\]

លំហាត់ទី ៧ ៖ គេមាន \(f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\) លើ \([0, 2\pi]\)។
\(f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \iff \tan x = 1 \iff x = \frac{\pi}{4}\) ឬ \(x = \frac{5\pi}{4}\)។

  • អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = \dfrac{\pi}{4}\) គឺ \(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\)

  • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = \dfrac{5\pi}{4}\) គឺ \(f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\)

លំហាត់ទី ៨ ៖ \(f'(x) = 6(x - 2)(x + 1) = 0 \iff x = -1, 2\)។
គណនាតម្លៃ ៖

  • \(f(-2) = -3, \quad{} f(-1) = 8\)

  • \(f(2) = -19, \quad{} f(3) = -8\)

ដូចនេះ អតិបរមាដាច់ខាតស្មើ \(8\) (\(x = -1\)) និងអប្បបរមាដាច់ខាតស្មើ \(-19\) (\(x = 2\))។

លំហាត់ទី ៩ ៖ \(f'(x) = 1 - 2\cos x = 0 \iff \cos x = \frac{1}{2} \iff x = \frac{\pi}{3} \in [0, \pi]\)។
គណនាតម្លៃ ៖

  • \(f(0) = 0 - 2\sin 0 = 0\)

  • \(f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} - 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -0.68\)

  • \(f(\pi) = \pi - 2\sin\pi = \pi \approx 3.14\)

ដូចនេះ អតិបរមាដាច់ខាតគឺ \(\pi\) (ត្រង់ \(x = \pi\)) និងអប្បបរមាដាច់ខាតគឺ \(\dfrac{\pi}{3} - \sqrt{3}\) (ត្រង់ \(x = \dfrac{\pi}{3}\))។

លំហាត់ទី ១០ ៖ \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)។
ដើម្បីឱ្យ \(f\) មានបរមាត្រង់ \(x = 1\) និង \(x = 3\) លុះត្រាតែ \(x = 1, 3\) ជាឫសនៃសមីការ \(f'(x) = 0\) ៖

\[\begin{aligned} 3x^2 + 2ax + b &= 3(x - 1)(x - 3) \\ &= 3(x^2 - 4x + 3) \\ &= 3x^2 - 12x + 9 \end{aligned}\]
ផ្ទឹមមេគុណ ៖ \(2a = -12 \implies a = -6\) និង \(b = 9\)។
ដូចនេះ \(a = -6, \; b = 9\)។

លំហាត់ទី ១១ ៖ \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x - 2)^2\)។
\(f''(x) = 6(x - 2) = 0 \iff x = 2\)។

  • ចំពោះ \(x < 2 \implies f''(x) < 0 \implies\) ក្រាបប៉ោង (Concave down)

  • ចំពោះ \(x > 2 \implies f''(x) > 0 \implies\) ក្រាបផត (Concave up)

  • ត្រង់ \(x = 2\), \(f''(x)\) ប្តូរសញ្ញា \(\implies\) ចំណុចរបត់ \(I(2, f(2)) = I(2, 3)\)

លំហាត់ទី ១២ ៖ \(f'(x) = 4x^3 - 12x + 8\)។
\(f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 0 \iff x = \pm 1\)។
\(f''(x)\) ប្តូរសញ្ញាត្រង់ \(x = -1\) និង \(x = 1\) ៖

  • ត្រង់ \(x = -1 \implies f(-1) = 1 - 6 - 8 + 10 = -3 \implies I_1(-1, -3)\)

  • ត្រង់ \(x = 1 \implies f(1) = 1 - 6 + 8 + 10 = 13 \implies I_2(1, 13)\)

ដូចនេះចំណុចរបត់ទាំងពីរគឺ \(I_1(-1, -3)\) និង \(I_2(1, 13)\)។

លំហាត់ទី ១៣ ៖ \(f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2+3)^2}\)។

\[\begin{aligned} f''(x) &= \frac{-2(x^2+3)^2 - (-2x)2(x^2+3)(2x)}{(x^2+3)^4} \\ &= \frac{6(x-1)(x+1)}{(x^2+3)^3} \end{aligned}\]
- ផតលើ \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\) - ប៉ោងលើ \((-1, 1)\) - ចំណុចរបត់ \(I_1(-1, 1/4)\) និង \(I_2(1, 1/4)\)

លំហាត់ទី ១៤ ៖ \(f'(x) = -2x e^{-x^2}\)។

\[\begin{aligned} f''(x) &= -2 e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) \\ &= (4x^2 - 2)e^{-x^2} \end{aligned}\]
\(f''(x) = 0 \iff 4x^2 - 2 = 0 \iff x = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)។
ដោយ \(f''(x)\) ប្តូរសញ្ញាពេលឆ្លងកាត់តម្លៃទាំងពីរនេះ នោះក្រាបមានចំណុចរបត់ពីរគឺ ៖
\[I_1\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right) \text{ និង } I_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)\]

លំហាត់ទី ១៥ ៖ ចំពោះ \(x > 0\) ៖ \(f'(x) = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)\)។

\[f''(x) = (2\ln x + 1) + x\left(\frac{2}{x}\right) = 2\ln x + 3\]
\(f''(x) = 0 \iff \ln x = -\frac{3}{2} \iff x = e^{-3/2}\)។
កូអរដោនេ \(y = (e^{-3/2})^2 \ln(e^{-3/2}) = e^{-3}\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{2}e^{-3}\)។
ដូចនេះចំណុចរបត់គឺ \(I\left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2}e^{-3}\right)\)។

លំហាត់ទី ១៦ ៖ \(f(x) = \sin x\) លើ \([0, 2\pi]\) ៖
\(f'(x) = \cos x \implies f''(x) = -\sin x\)។

  • លើ \((0, \pi)\), \(\sin x > 0 \implies f''(x) < 0 \implies\) ក្រាបប៉ោង

  • លើ \((\pi, 2\pi)\), \(\sin x < 0 \implies f''(x) > 0 \implies\) ក្រាបផត

  • ចំណុចរបត់គឺ \((\pi, 0)\)

លំហាត់ទី ១៧ ៖ គេមាន \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a \neq 0\)) ៖
\(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)
\(f''(x) = 6ax + 2b = 0 \iff x = -\dfrac{b}{3a}\)។
ដោយ \(f''(x)\) ជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ វាតែងតែប្តូរសញ្ញាពេលឆ្លងកាត់ \(x_0 = -\dfrac{b}{3a}\) ជានិច្ច នាំឱ្យខ្សែកោងដឺក្រេទីបីតែងតែមានចំណុចរបត់មួយជានិច្ចគឺ \(I\left(-\frac{b}{3a}, f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)\)។

លំហាត់ទី ១៨ ៖ \(f'(x) = 4x^3 + 3mx^2 + 3x\)។
\(f''(x) = 12x^2 + 6mx + 3\)។
ដើម្បីឱ្យក្រាបផតឡើងលើគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) លុះត្រាតែ \(f''(x) \ge 0\) គ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ៖
\(\iff \Delta' = (3m)^2 - 12(3) \le 0 \iff 9m^2 - 36 \le 0 \iff m^2 \le 4 \iff -2 \le m \le 2\)។

លំហាត់ទី ១៩ ៖ \(f(x) = (x - 1)^{1/3}\) ៖
\(f'(x) = \frac{1}{3}(x - 1)^{-2/3}\)
\(f''(x) = -\frac{2}{9}(x - 1)^{-5/3} = \dfrac{-2}{9\sqrt[3]{(x - 1)^5}}\)។
\(f''(x)\) មិនកំណត់ត្រង់ \(x = 1\) ប៉ុន្តែវាប្តូរសញ្ញាពីវិជ្ជមាន (ចំពោះ \(x < 1\)) មកអវិជ្ជមាន (ចំពោះ \(x > 1\))។
ដូចនេះក្រាបមានចំណុចរបត់មួយគឺ \(I(1, 0)\)។

លំហាត់ទី ២០ ៖ ដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)។
គេអាចសរសេរ \(f(x) = \dfrac{x-1+2}{x-1} = 1 + \dfrac{2}{x-1}\)។
\(f'(x) = -\dfrac{2}{(x-1)^2} \implies f''(x) = \dfrac{4}{(x-1)^3}\)។
ដោយ \(f''(x) = \dfrac{4}{(x-1)^3} \neq 0\) គ្រប់ \(x \neq 1\) នោះសមីការ \(f''(x) = 0\) គ្មានឫសឡើយ។
ដូចនេះ ក្រាបអនុគមន៍ \(f\) គ្មានចំណុចរបត់ឡើយ។

លំហាត់ទី ២១ ៖ អនុគមន៍ \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) ៖

  • ជាប់លើ \([1, 3]\) និងមានដេរីវេលើ \((1, 3)\)

  • \(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) និង \(f(3) = 9 - 12 + 3 = 0 \implies f(1) = f(3)\)

តាមទ្រឹស្តីបទរ៉ូល មាន \(c \in (1, 3)\) ដែល \(f'(c) = 0\) ៖
\(f'(c) = 2c - 4 = 0 \iff c = 2 \in (1, 3)\)។

លំហាត់ទី ២២ ៖ អនុគមន៍ \(f(x) = x^3 - x\) ជាប់លើ \([0, 2]\) និងមានដេរីវេលើ \((0, 2)\)។
តាម MVT មាន \(c \in (0, 2)\) ដែល ៖

\[f'(c) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{(8 - 2) - 0}{2} = 3\]
\(3c^2 - 1 = 3 \iff 3c^2 = 4 \iff c = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \in (0, 2)\)។

លំហាត់ទី ២៣ ៖ អនុវត្តវិធានឡូពីតាល់ ៖
a) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^5 - 1}{x^3 - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{5x^4}{3x^2} = \dfrac{5}{3}\)
b) រាង \(\frac{0}{0}\) ៖

\[\begin{aligned} L &= \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = 2 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៤ ៖ អនុវត្តវិធានឡូពីតាល់រាង \(\frac{0}{0}\) ៖
a) តាមឡូពីតាល់ ៖

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - 1}{2x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(1+x)} = -\frac{1}{2} \end{aligned}\]
b) តាមឡូពីតាល់ ៖
\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x}{2\sin^2(x/2)} = 2 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៥ ៖ គណនាលីមីត ៖
a) រាង \(\frac{\infty}{\infty}\) ៖

\[\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x^2+1}}{1} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2+1} = 0 \end{aligned}\]
b) រាង \(0 \cdot \infty\) ៖
\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2x^{-3}} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \left(-\frac{x^2}{2}\right) = 0 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៦ ៖ រាងមិនកំណត់ \(\infty - \infty\) ៖

\[\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x\sin x}\]
អនុវត្តវិធានឡូពីតាល់ពីរដង ៖
\[\begin{aligned} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin x + x\cos x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2\cos x - x\sin x} = \frac{0}{2} = 0 \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៧ ៖ គណនាលីមីតរាង \(1^\infty\) ៖
a) តាង \(y = (1+3x)^{1/x} \implies \ln y = \dfrac{\ln(1+3x)}{x}\)។

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \ln y &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{3}{1+3x}}{1} = 3 \\ \implies \lim_{x \to 0^+} (1+3x)^{1/x} &= e^3 \end{aligned}\]
b) តាង \(y = (\cos x)^{1/x^2} \implies \ln y = \dfrac{\ln\cos x}{x^2}\)។
\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\ln\cos x}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{2x} = -\frac{1}{2} \\ \implies \lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2} &= e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ២៨ ៖ រាងមិនកំណត់ \(0^0\) ៖
តាង \(y = x^x \implies \ln y = x\ln x = \dfrac{\ln x}{x^{-1}}\)។

\[\lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-x^{-2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0\]
នាំឱ្យ ៖
\[\lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1\]

លំហាត់ទី ២៩ ៖ តាង \(y = \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x \implies \ln y = x \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) = \dfrac{\ln(1 + 2/x)}{1/x}\)។
អនុវត្តវិធានឡូពីតាល់ ៖

\[\lim_{x \to +\infty} \ln y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-2/x^2}{1+2/x}}{-1/x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{1+2/x} = 2\]
ដូចនេះ ៖
\[\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2\]

លំហាត់ទី ៣០ ៖ ពន្លាតម៉ាក់ឡូរ៉ាំង ៖
\(\sin(2x) = 2x - \dfrac{4}{3}x^3 + o(x^3)\)

\[\begin{aligned} L &= \lim_{x \to 0} \frac{(2+a)x + (b - \frac{4}{3})x^3}{x^3} = 0 \end{aligned}\]
លុះត្រាតែ ៖
- \(2 + a = 0 \implies a = -2\)
- \(b - \dfrac{4}{3} = 0 \implies b = \dfrac{4}{3}\)។

លំហាត់ទី ៣១ ៖ តាងចំនួនទាំងពីរដោយ \(x\) និង \(y = 30 - x\) (\(0 < x < 30\))។
អនុគមន៍ផលគុណ ៖ \(P(x) = x(30 - x) = 30x - x^2\)។
\(P'(x) = 30 - 2x = 0 \iff x = 15\)។
\(P''(x) = -2 < 0 \implies P\) មានតម្លៃធំបំផុតត្រង់ \(x = 15\)។
នាំឱ្យ \(y = 30 - 15 = 15\)។
ដូចនេះចំនួនទាំងពីរនោះគឺ \(15\) និង \(15\)។

លំហាត់ទី ៣២ ៖ តាងចំនួនទាំងពីរដោយ \(x\) និង \(y = \dfrac{64}{x}\) (\(x > 0\))។
អនុគមន៍ផលបូក ៖ \(S(x) = x + \dfrac{64}{x}\)។
\(S'(x) = 1 - \dfrac{64}{x^2} = 0 \iff x^2 = 64 \implies x = 8\) (ព្រោះ \(x > 0\))។
\(S''(x) = \dfrac{128}{x^3} > 0 \implies S\) មានតម្លៃតូចបំផុតត្រង់ \(x = 8\)។
នាំឱ្យ \(y = \dfrac{64}{8} = 8\)។ ដូចនេះចំនួនទាំងពីរគឺ \(8\) និង \(8\)។

លំហាត់ទី ៣៣ ៖ តាង \(x\) ជាប្រវែងជ្រុងការ៉េដែលត្រូវកាត់ (\(0 < x < 12\))។
វិមាត្របាតប្រអប់គឺ \(24 - 2x\) និងកម្ពស់ \(x\)។
មាឌប្រអប់ ៖ \(V(x) = x(24 - 2x)^2 = 4x(12 - x)^2\)។

\[\begin{aligned} V'(x) &= 4[(12 - x)^2 - 2x(12 - x)] \\ &= 4(12 - x)(12 - 3x) \\ &= 12(12 - x)(4 - x) = 0 \\ &\iff x = 4\text{ cm} \quad{} (\text{ព្រោះ } x < 12) \end{aligned}\]
ដូចនេះ ជ្រុងការ៉េតូចដែលត្រូវកាត់គឺ \(x = 4\text{ cm}\)។

លំហាត់ទី ៣៤ ៖ តាង \(x\) ជាបណ្តោយ និង \(y\) ជាទទឹងដី (\(xy = 600 \implies y = \frac{600}{x}\))។
ប្រវែងរបងសរុប (មានរបងកណ្តាល ១ ស្របទទឹង) ៖

\[L(x) = 2x + 3y = 2x + \frac{1800}{x}\]
\(L'(x) = 2 - \dfrac{1800}{x^2} = 0 \iff x^2 = 900 \implies x = 30\text{ m}\)។
នាំឱ្យ \(y = \dfrac{600}{30} = 20\text{ m}\)។
ដូចនេះវិមាត្រដីគឺ បណ្តោយ \(30\text{ m}\) និងទទឹង \(20\text{ m}\)។

លំហាត់ទី ៣៥ ៖ តាង \(x, y\) ជាវិមាត្រចតុកោណកែង ៖ \(2(x + y) = 80 \implies y = 40 - x\)។
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S(x) = x(40 - x) = 40x - x^2\) (\(0 < x < 40\))។
\(S'(x) = 40 - 2x = 0 \iff x = 20\text{ cm}\)។
នាំឱ្យ \(y = 40 - 20 = 20\text{ cm}\)។
ដូចនេះចតុកោណកែងនោះជារាងការ៉េមានជ្រុង \(20\text{ cm} \times 20\text{ cm}\)។

លំហាត់ទី ៣៦ ៖ មាឌស៊ីឡាំង ៖ \(V = \pi R^2 h = 1000\pi \implies h = \dfrac{1000}{R^2}\)។
ផ្ទៃក្រឡាសរុប ៖

\[A(R) = 2\pi R^2 + 2\pi R h = 2\pi R^2 + \frac{2000\pi}{R}\]
\(A'(R) = 4\pi R - \dfrac{2000\pi}{R^2} = 0 \iff R^3 = 500 \implies R = 5\sqrt[3]{4}\text{ cm}\)។
កម្ពស់ ៖ \(h = \dfrac{1000}{(5\sqrt[3]{4})^2} = 10\sqrt[3]{4}\text{ cm}\) (\(h = 2R\))។

លំហាត់ទី ៣៧ ៖ តាង \(x, y\) ជាប្រវែងជ្រុងជាប់មុំកែង ៖ \(x^2 + y^2 = a^2\)។
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \dfrac{1}{2}xy\)។
តាមវិសមភាពកូស៊ី ៖ \(xy \le \dfrac{x^2 + y^2}{2} = \dfrac{a^2}{2}\)។
នាំឱ្យ ៖

\[S \le \frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^2}{4}\]
សមភាពកើតមានពេល \(x = y = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)។
ដូចនេះ ផ្ទៃក្រឡាធំបំផុតគឺ \(S_{\max} = \dfrac{a^2}{4}\)។

លំហាត់ទី ៣៨ ៖ កំពូលទាំងពីរនៅលើប៉ារ៉ាបូលគឺ \((\pm x, 12 - x^2)\) ជាមួយ \(0 < x < \sqrt{12}\)។
ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែង ៖

\[S(x) = 2x(12 - x^2) = 24x - 2x^3\]
\(S'(x) = 24 - 6x^2 = 0 \iff x^2 = 4 \implies x = 2\)។
ផ្ទៃក្រឡាធំបំផុតគឺ ៖
\[S_{\max} = S(2) = 24(2) - 2(8) = 48 - 16 = 32\]

លំហាត់ទី ៣៩ ៖ ចម្ងាយពីចំណុច \(M(x, x^2)\) លើប៉ារ៉ាបូលទៅ \(A(0, 3)\) ៖

\[\begin{aligned} d^2 &= (x - 0)^2 + (x^2 - 3)^2 \\ &= x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9 \end{aligned}\]
តាង \(u = x^2 \ge 0 \implies f(u) = u^2 - 5u + 9\)។
\(f'(u) = 2u - 5 = 0 \iff u = \dfrac{5}{2} \implies x^2 = \dfrac{5}{2} \iff x = \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2}\)។
អរដោនេ \(y = x^2 = \dfrac{5}{2}\)។
ដូចនេះចំណុចទាំងពីរគឺ \(\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{5}{2}\right)\) និង \(\left(\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{5}{2}\right)\)។

លំហាត់ទី ៤០ ៖ តាង \(r\) ជាកាំបាត និង \(h\) ជាកម្ពស់ស៊ីឡាំង ៖ \(r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 \implies r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}\)។
មាឌស៊ីឡាំង ៖ \(V(h) = \pi r^2 h = \pi\left(R^2 h - \frac{h^3}{4}\right)\)។
\(V'(h) = \pi\left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0 \iff h = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}\)។
កាំ \(r = \sqrt{R^2 - R^2/3} = R\sqrt{\frac{2}{3}}\)។
មាឌអតិបរមា ៖ \(V_{\max} = \pi \left(\frac{2R^2}{3}\right)\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}\)។

លំហាត់ទី ៤១ ៖ តាង \(r\) ជាកាំបាតកោន និង \(h\) ជាកម្ពស់កោន (\(h > 2R\))។
តាមលក្ខណៈត្រីកោណដូចគ្នា គេបានទំនាក់ទំនង ៖ \(r^2 = \dfrac{R^2 h}{h - 2R}\)។
មាឌកោន ៖ \(V(h) = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{\pi R^2}{3} \cdot \dfrac{h^2}{h - 2R}\)។
ដេរីវេធៀបនឹង \(h\) ស្មើ \(0\) នាំឱ្យ \(h = 4R\)។
ដូចនេះ កម្ពស់កោនដែលធ្វើឱ្យមាឌអប្បបរមាគឺ \(h = 4R\)។

លំហាត់ទី ៤២ ៖ \(R(x) = 50x - 0.1x^2\)។
ប្រាក់ចំណេញ ៖

\[\begin{aligned} P(x) &= R(x) - C(x) \\ &= -0.2x^2 + 40x - 2000 \end{aligned}\]
\(P'(x) = -0.4x + 40 = 0 \iff x = 100\) គ្រឿង។
ដូចនេះ ត្រូវលក់បាន \(100\) គ្រឿងក្នុងមួយថ្ងៃ។

លំហាត់ទី ៤៣ ៖ គេមានសមីការចលនា \(s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t\) ៖
a) ល្បឿន \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 18t + 24\)។
នៅខណៈ \(t = 2\text{ s} \implies v(2) = 3(4) - 18(2) + 24 = 0\text{ m/s}\)។
សំទុះ \(a(t) = v'(t) = 6t - 18\)។
នៅខណៈ \(t = 2\text{ s} \implies a(2) = 6(2) - 18 = -6\text{ m/s}^2\)។
b) ភាគល្អិតឈប់ស្ងៀមមួយរំពេចពេល \(v(t) = 0\) ៖
\(3(t^2 - 6t + 8) = 0 \iff 3(t - 2)(t - 4) = 0 \iff t = 2\text{ s}\) ឬ \(t = 4\text{ s}\)។

លំហាត់ទី ៤៤ ៖ ចលនាស្ទុះលឿនកាលណា \(v(t) \cdot a(t) > 0\) និងយឺតកាលណា \(v(t) \cdot a(t) < 0\) ៖
- \(v(t) = 3(t - 2)(t - 4)\)
- \(a(t) = 6(t - 3)\)
សញ្ញានៃផលគុណ \(v(t)a(t)\) ៖

  • \(v(t)a(t) > 0 \iff t \in (2, 3) \cup (4, +\infty)\) ៖ ចលនាស្ទុះលឿន

  • \(v(t)a(t) < 0 \iff t \in (0, 2) \cup (3, 4)\) ៖ ចលនាយឺត

លំហាត់ទី ៤៥ ៖ គេមាន \(h(t) = 80t - 5t^2\) ៖
- ល្បឿន \(v(t) = 80 - 10t = 0 \iff t = 8\text{ s}\) ៖

\[\begin{aligned} h_{\max} &= 80(8) - 5(64) = 320\text{ m} \end{aligned}\]
- ធ្លាក់ដល់ដីពេល \(t = 16\text{ s}\) ៖
\[v(16) = 80 - 10(16) = -80\text{ m/s}\]
ល្បឿនពេលប៉ះដីគឺ \(80\text{ m/s}\)។

លំហាត់ទី ៤៦ ៖ មាឌស្វ៊ែរ ៖ \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)។
ដេរីវេធៀបនឹងពេល \(t\) ៖ \(\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \dfrac{dr}{dt}\)។
ជំនួស \(\dfrac{dV}{dt} = 400\pi\) និង \(r = 10\text{ cm}\) ៖

\[\begin{aligned} 400\pi &= 4\pi(10^2) \frac{dr}{dt} \iff 400\pi = 400\pi \frac{dr}{dt} \\ &\implies \frac{dr}{dt} = 1\text{ cm/s} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៤៧ ៖ ផ្ទៃក្រឡារង្វង់ ៖ \(A = \pi r^2\)។
ដេរីវេធៀបនឹង \(t\) ៖ \(\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \dfrac{dr}{dt}\)។
នៅពេល \(r = 2\text{ m} = 200\text{ cm}\) និង \(\dfrac{dr}{dt} = 30\text{ cm/s}\) ៖

\[\begin{aligned} \frac{dA}{dt} &= 2\pi(200)(30) \\ &= 12000\pi\text{ cm}^2/\text{s} = 1.2\pi\text{ m}^2/\text{s} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៤៨ ៖ ធុងកោនកម្ពស់ \(4\text{ m}\) កាំ \(2\text{ m}\) នាំឱ្យ \(\dfrac{r}{h} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \implies r = \dfrac{h}{2}\)។
មាឌទឹកក្នុងធុង ៖ \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \dfrac{\pi}{12}h^3\)។
ដេរីវេធៀបនឹង \(t\) ៖ \(\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\pi}{4}h^2 \dfrac{dh}{dt}\)។
នៅពេល \(h = 3\text{ m}\) និង \(\dfrac{dV}{dt} = 2\text{ m}^3/\text{min}\) ៖

\[\begin{aligned} 2 &= \frac{\pi}{4}(3^2) \frac{dh}{dt} \\ \implies \frac{dh}{dt} &= \frac{8}{9\pi}\text{ m/min} \end{aligned}\]

លំហាត់ទី ៤៩ ៖ តាង \(x\) ជាចម្ងាយជើងជណ្ដើរ និង \(y\) ជាកម្ពស់ចុងលើ ៖ \(x^2 + y^2 = 10^2 = 100\)។
ដេរីវេធៀបនឹង \(t\) ៖ \(2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt} = 0 \implies x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0\)។
នៅពេល \(x = 6\text{ m} \implies y = \sqrt{100 - 36} = 8\text{ m}\)។
ជំនួស \(\dfrac{dx}{dt} = 2\text{ m/s}\) ចូល ៖

\[\begin{aligned} 6(2) + 8\frac{dy}{dt} &= 0 \\ \implies \frac{dy}{dt} &= -\frac{12}{8} = -1.5\text{ m/s} \end{aligned}\]
ដូចនេះ ចុងលើនៃជណ្ដើររអិលចុះក្នុងល្បឿន \(1.5\text{ m/s}\)។

លំហាត់ទី ៥០ ៖ ក្រោយ \(t = 2\text{ h}\) ៖ \(x = 40\text{ km}, y = 30\text{ km}\)។
\(z = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50\text{ km}\)។
ដេរីវេ \(z^2 = x^2 + y^2\) ៖

\[\begin{aligned} z\frac{dz}{dt} &= x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} \\ 50\frac{dz}{dt} &= 40(20) + 30(15) = 1250 \\ \implies \frac{dz}{dt} &= 25\text{ km/h} \end{aligned}\]

ដំណោះស្រាយ មេរៀនទី ៣ ៖ អនុវត្តន៍ផ្សេងទៀត និងការសិក្សាអនុគមន៍

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១០ អនុវត្តន៍នៃដេរីវេ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត