មេរៀនទី ២៩ : អេលីប (Ellipse) — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

គេយកប្លង់មួយ កាត់ជាកោនបរិវត្តន៍ ដែលមិនកែងនឹងអ័ក្សកោន នោះផ្នែកប្រសព្វដែលបានជារូបធរណីមាត្រមួយហៅថា អេលីប។ ដូច្នេះ អេលីប គឺជា កោនិកមួយ។ អេលីប (Ellipse) គឺជាទម្រង់ធរណីមាត្រមួយប្រភេទនៃ ផ្នែកកោណ (Conic Section) ដែលមើលទៅដូចជារង្វង់ត្រូវសង្កត់ឲ្យសំប៉ែត ឬរាងពងក្រពើ។

១. និយមន័យគ្រឹះ (Definition)

និយមន័យ

អេលីប គឺជា គន្លងនៃសំណុំចំណុចទាំងអស់ ($P$) នៅលើប្លង់មួយ ដែល ផលបូកនៃចម្ងាយ ពីចំណុច $P$ នោះទៅកាន់ ចំណុចថេរពីរ (ហៅថា ផ្ចិត ឬ Foci) គឺមាន តម្លៃថេរ ជានិច្ច។

កំណុំ (Foci)៖ ចំណុចថេរទាំងពីរ (តាងដោយ $F_1$ និង $F_2$) ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងអេលីប។
លក្ខខណ្ឌថេរ៖ បើ $P$ ជាចំណុចណាមួយលើអេលីប នោះ៖
\[PF_1 + PF_2 = \text{ តម្លៃថេរ } = 2a\]

២. ធាតុសំខាន់ៗនៃអេលីប (Key Components)

ធាតុ	និយមន័យ	តម្លៃ
ផ្ចិត (Center)	ចំណុចកណ្តាលនៃអ័ក្សធំ និងអ័ក្សតូច ឬ កំពូលទាំងពីរ ឬ កំណុំទាំងពីរ។	$I(h, k)$ ឬ $I(0, 0)$
កំពូល (Vertices)	ចំណុចកាត់នៃអ័ក្សធំ និងអេលីប។	$V(h\pm a, k)$ ឬ $V(h, k\pm a)$
កំណុំ (Foci)	ចំណុចថេរទាំងពីរ (តាងដោយ $F_1$ និង $F_2$) ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងអេលីប	$F(h\pm c, k)$ ឬ $F(h, k\pm c)$
អ័ក្សធំ (Major Axis)	អ័ក្សធំ ដែលឆ្លងកាត់ផ្ចិតកណ្តាល និងផ្ចិតទាំងពីរ។	ប្រវែង $= 2a$
អ័ក្សតូច (Minor Axis)	អ័ក្សតូច ជាអ័ក្សដែលកាត់កែងនឹងអ័ក្សធំត្រង់ផ្ចិតនៃចំណុចកណ្តាល។	ប្រវែង $= 2b$

៣. សមីការស្តង់ដារ (Standard Equation)

ដោយសារលក្ខណៈស៊ីមេទ្រី ចម្ងាយ $BF_1$ និង $BF_2$ គឺស្មើគ្នា៖ $BF_1 = BF_2$។

អនុវត្តតាមនិយមន័យអេលីបចំពោះចំណុច $B$៖ $BF_1 + BF_2 = 2a \implies 2BF_1 = 2a \implies \mathbf{BF_1 = a}$។

តាម ទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គ័រ គេបាន៖ $(\text{IF}_1)^2 + (\text{IB})^2 = (\text{BF}_1)^2 \iff c^2 + b^2 = a^2$។

ទំនាក់ទំនងរវាង $a, b,$ និងចម្ងាយពីផ្ចិតកណ្តាលទៅផ្ចិត ($c$) គឺ៖ $\mathbf{c^2 = a^2 - b^2}$។

ទម្រង់	សមីការ (ផ្ចិតនៅ $(0, 0)$)	លក្ខខណ្ឌ
ផ្ដេក (អ័ក្សធំតាម $x$)	$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
បញ្ឈរ (អ័ក្សធំតាម $y$)	$\displaystyle \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យសមីការអេលីប $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$។ រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ ប្រវែងអ័ក្សធំ និងប្រវែងអ័ក្សតូចនៃអេលីប។

ចម្លើយ

សមីការ $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ មានទម្រង់ $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ដោយ $25 > 9$ នាំឱ្យអេលីបនេះមានអ័ក្សធំដេក (នៅលើអ័ក្ស $x$) និងផ្ចិតនៅគល់តម្រុយ $I(0, 0)$។

$a^2 = 25 \implies a = 5$ និង $b^2 = 9 \implies b = 3$
$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 \implies c = 4$
កំពូលទាំងពីរ៖ $V_1(-a, 0) = V_1(-5, 0)$ និង $V_2(a, 0) = V_2(5, 0)$
កំណុំទាំងពីរ៖ $F_1(-c, 0) = F_1(-4, 0)$ និង $F_2(c, 0) = F_2(4, 0)$
ប្រវែងអ័ក្សធំ៖ $2a = 2(5) = 10$
ប្រវែងអ័ក្សតូច៖ $2b = 2(3) = 6$
ចំណុចប្រសព្វលើអ័ក្សតូច៖ $B_1(0, -3)$ និង $B_2(0, 3)$

សមីការស្តង់ដារនៃអេលីប ករណីផ្ចិតនៅ $(h, k)$

សមីការស្តង់ដារនៃអេលីបមានពីរទម្រង់ ដោយផ្អែកលើទិសដៅនៃអ័ក្សធំ (Major Axis) របស់វា។
លក្ខខណ្ឌគឺ $\mathbf{a > b > 0}$ និង $\mathbf{c^2 = a^2 - b^2}$។

សំណើ

អេលីបផ្ដេក (Horizontal Ellipse) (អ័ក្សធំស្របទៅនឹងអ័ក្ស $x$):

\[\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\]
- ផ្ចិត (Center): $\mathbf{I(h, k)}$
- កំពូល (Vertices): $\mathbf{V(h \pm a, k)}$
- កំណុំ (Foci): $\mathbf{F(h \pm c, k)}$ ដែល $c=\sqrt{a^2-b^2}$
- ប្រសព្វអ័ក្សតូច៖ $B(h, k \pm b)$
- ប្រវែងអ័ក្សធំ $\mathbf{= 2a}$ ; ប្រវែងអ័ក្សតូច $\mathbf{= 2b}$
អេលីបបញ្ឈរ (Vertical Ellipse) (អ័ក្សធំស្របទៅនឹងអ័ក្ស $y$):

\[\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1\]
- ផ្ចិត (Center): $\mathbf{I(h, k)}$
- កំពូល (Vertices): $\mathbf{V(h, k \pm a)}$
- កំណុំ (Foci): $\mathbf{F(h, k \pm c)}$ ដែល $c=\sqrt{a^2-b^2}$
- ប្រសព្វអ័ក្សតូច៖ $B(h \pm b, k)$
- ប្រវែងអ័ក្សធំ $\mathbf{= 2a}$ ; ប្រវែងអ័ក្សតូច $\mathbf{= 2b}$

អនុវត្ត សង្ខេបខ្លឹមសារ

លក្ខណៈ / អ័ក្សធំ	អ័ក្សធំដេក (ស្របអ័ក្ស $x$)	អ័ក្សធំឈរ (ស្របអ័ក្ស $y$)
សមីការស្តង់ដា	$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \;\; (a>b)$	$\dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \;\; (a>b)$
ផ្ចិត	$I(h, k)$	$I(h, k)$
កំពូល $(V)$	$V_1(h-a, k) \,,\, V_2(h+a, k)$	$V_1(h, k-a) \,,\, V_2(h, k+a)$
កំណុំ $(F)$	$F_1(h-c, k) \,,\, F_2(h+c, k)$	$F_1(h, k-c) \,,\, F_2(h, k+c)$
ទំនាក់ទំនង $a, b, c$	$c^2 = a^2 - b^2 \;\; (c = \sqrt{a^2-b^2})$	$c^2 = a^2 - b^2 \;\; (c = \sqrt{a^2-b^2})$
ប្រវែងអ័ក្សធំ និង តូច	អ័ក្សធំ $= 2a$ , អ័ក្សតូច $= 2b$	អ័ក្សធំ $= 2a$ , អ័ក្សតូច $= 2b$
ប្រសព្វអេលីបនិងអ័ក្សតូច	$B_1(h, k-b) \,,\, B_2(h, k+b)$	$B_1(h-b, k) \,,\, B_2(h+b, k)$
ក្រាប

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យសមីការអេលីប $\dfrac{(x-2)^2}{25} + \dfrac{(y+1)^2}{16} = 1$។ រកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច។

ចម្លើយ

សមីការ $\dfrac{(x-2)^2}{25} + \dfrac{(y+1)^2}{16} = 1$ មានទម្រង់ស្តង់ដា $\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ ដែលមានអ័ក្សធំស្របនឹងអ័ក្ស $x$ (ដោយ $25 > 16$)។

ផ្ចិត៖ $I(h, k) = I(2, -1)$
$a^2 = 25 \implies a = 5$ និង $b^2 = 16 \implies b = 4$
$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9 \implies c = 3$
កំពូលទាំងពីរ៖ $V(h \pm a, k) \implies V_1(2-5, -1) = V_1(-3, -1)$ និង $V_2(2+5, -1) = V_2(7, -1)$
កំណុំទាំងពីរ៖ $F(h \pm c, k) \implies F_1(2-3, -1) = F_1(-1, -1)$ និង $F_2(2+3, -1) = F_2(5, -1)$
ប្រវែងអ័ក្សធំ៖ $2a = 2(5) = 10$
ប្រវែងអ័ក្សតូច៖ $2b = 2(4) = 8$

ឧទាហរណ៍

គេមានសមីការ $\dfrac{(x-1)^2}{16} + \dfrac{(y+2)^2}{4} = 1$ ជាសមីការអេលីប។ រកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល កំណុំ ប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច និងចំណុចប្រសព្វនៃអេលីបជាមួយអ័ក្សតូច រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការដែលឱ្យ៖ $\dfrac{(x-1)^2}{16} + \dfrac{(y+2)^2}{4} = 1$

ប្រៀបធៀបនឹងសមីការស្តង់ដា៖ $\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ (ដោយ $16 > 4$) ជាអេលីបដែលមានអ័ក្សធំដេក (ស្របនឹងអ័ក្ស $x$)។
គេបាន៖
\[h = 1, \quad{} k = -2, \quad{} a^2 = 16 \implies a = 4, \quad{} b^2 = 4 \implies b = 2\]

\[c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46\]
ផ្ចិត៖ $I(h, k) = I(1, -2)$
កំពូលទាំងពីរ៖ $V(h \pm a, k) \implies V_1(1-4, -2) = V_1(-3, -2)$ និង $V_2(1+4, -2) = V_2(5, -2)$
កំណុំទាំងពីរ៖ $F(h \pm c, k) \implies F_1(1-2\sqrt{3}, -2)$ និង $F_2(1+2\sqrt{3}, -2)$
ប្រវែងអ័ក្សធំ និងអ័ក្សតូច៖
- ប្រវែងអ័ក្សធំ៖ $2a = 2(4) = 8$
- ប្រវែងអ័ក្សតូច៖ $2b = 2(2) = 4$
ចំណុចប្រសព្វនៃអេលីបជាមួយអ័ក្សតូច៖
\[B(h, k \pm b) \implies B_1(1, -2+2) = B_1(1, 0) \;\text{និង}\; B_2(1, -2-2) = B_2(1, -4)\]

ឧទាហរណ៍

គេមានសមីការ $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{(y+1)^2}{9} = 1$ ជាសមីការអេលីប។ រកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល កំណុំ ប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច និងចំណុចប្រសព្វនៃអេលីបជាមួយអ័ក្សតូច រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការដែលឱ្យ៖ $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{(y+1)^2}{9} = 1$

ប្រៀបធៀបនឹងសមីការស្តង់ដា៖ $\dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1$ (ដោយ $9 > 4$) ជាអេលីបដែលមានអ័ក្សធំឈរ (ស្របនឹងអ័ក្ស $y$)។
គេបាន៖
\[h = 0, \quad{} k = -1, \quad{} a^2 = 9 \implies a = 3, \quad{} b^2 = 4 \implies b = 2\]

\[c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \approx 2.24\]
ផ្ចិត៖ $I(h, k) = I(0, -1)$
កំពូលទាំងពីរ៖ $V(h, k \pm a) \implies V_1(0, -1-3) = V_1(0, -4)$ និង $V_2(0, -1+3) = V_2(0, 2)$
កំណុំទាំងពីរ៖ $F(h, k \pm c) \implies F_1(0, -1-\sqrt{5})$ និង $F_2(0, -1+\sqrt{5})$
ប្រវែងអ័ក្សធំ និងអ័ក្សតូច៖
- ប្រវែងអ័ក្សធំ៖ $2a = 2(3) = 6$
- ប្រវែងអ័ក្សតូច៖ $2b = 2(2) = 4$
ចំណុចប្រសព្វនៃអេលីបជាមួយអ័ក្សតូច៖
\[B(h \pm b, k) \implies B_1(0-2, -1) = B_1(-2, -1) \;\text{និង}\; B_2(0+2, -1) = B_2(2, -1)\]

លំហាត់

សង់ក្រាបតាងអេលីបខាងក្រោម៖

មើលចម្លើយ

ក. សមីការ៖ $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

ផ្ចិត៖ $I(0, 0)$
កំពូល៖ $V_1(-5, 0) \,,\, V_2(5, 0)$
កំណុំ៖ $F_1(-4, 0) \,,\, F_2(4, 0)$
ប្រវែងអ័ក្សធំ៖ $2a = 10$ ; អ័ក្សតូច៖ $2b = 6$
ប្រសព្វអ័ក្សតូច៖ $B_1(0, -3) \,,\, B_2(0, 3)$

ដំណោះស្រាយ

គ. សមីការ៖ $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{64} = 1$

ផ្ចិត៖ $I(0, 0)$
កំពូល៖ $V_1(0, -8) \,,\, V_2(0, 8)$
កំណុំ៖ $F_1(0, -4\sqrt{3}) \,,\, F_2(0, 4\sqrt{3})$
ប្រវែងអ័ក្សធំ៖ $2a = 16$ ; អ័ក្សតូច៖ $2b = 8$
ប្រសព្វអ័ក្សតូច៖ $B_1(-4, 0) \,,\, B_2(4, 0)$

ដំណោះស្រាយ

ខ. សមីការ៖ $\dfrac{(x-4)^2}{49} + \dfrac{(y+1)^2}{13} = 1$

ផ្ចិត៖ $I(4, -1)$
កំពូល៖ $V_1(-3, -1) \,,\, V_2(11, -1)$
កំណុំ៖ $F_1(-2, -1) \,,\, F_2(10, -1)$
ប្រវែងអ័ក្សធំ៖ $2a = 14$ ; អ័ក្សតូច៖ $2b = 2\sqrt{13}$
ប្រសព្វអ័ក្សតូច៖ $B(4, -1 \pm \sqrt{13})$

ដំណោះស្រាយ

ឃ. សមីការ៖ $\dfrac{(x+2)^2}{25} + \dfrac{(y-3)^2}{36} = 1$

ផ្ចិត៖ $I(-2, 3)$
កំពូល៖ $V_1(-2, -3) \,,\, V_2(-2, 9)$
កំណុំ៖ $F(-2, 3 \pm \sqrt{11})$
ប្រវែងអ័ក្សធំ៖ $2a = 12$ ; អ័ក្សតូច៖ $2b = 10$
ប្រសព្វអ័ក្សតូច៖ $B_1(-7, 3) \,,\, B_2(3, 3)$

ប្រតិបត្តិ

កំណត់ទម្រង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីប តាមករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

ផ្ចិត $(0,0)$ កំណុំ $(2,0)$ និងកំពូល $(3,0)$
ផ្ចិត $(0,0)$ កំណុំ $(0,1)$ និងកំពូល $(0,-2)$
ផ្ចិត $(0,0)$ កំពូល $(2,0)$ និងអ័ក្សតូចមានប្រវែង $3$ ឯកតា
កំណុំ $(0,2)$ និង $(0,-2)$ និងអ័ក្សធំមានប្រវែង $6$ ឯកតា

ចម្លើយខ្លី

$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$
$\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{4} = 1$
$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{4y^2}{9} = 1$
$\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថាសមីការនីមួយៗខាងក្រោមជាសមីការអេលីប រួចកំណត់ផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងអ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ៖

$4x^2+25y^2=100$
$75x^2=300-12y^2$
$9y^2=25(3-x)(3+x)$
$(2x+3y)^2=12(xy+3)$

ចម្លើយខ្លី

$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{4} = 1 \implies I(0,0), \, V(\pm 5, 0), \, F(\pm\sqrt{21}, 0)$
$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{25} = 1 \implies I(0,0), \, V(0, \pm 5), \, F(0, \pm\sqrt{21})$
$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1 \implies I(0,0), \, V(0, \pm 5), \, F(0, \pm 4)$
$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1 \implies I(0,0), \, V(\pm 3, 0), \, F(\pm\sqrt{5}, 0)$

សមីការទូទៅនៃអេលីប

ជាទូទៅ

សមីការទូទៅនៃអេលីបដែលមាន អ័ក្សស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ មានទម្រង់៖

\[\mathbf{Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0}\]

លក្ខណៈសំខាន់នៃអេលីបក្នុងទម្រង់ទូទៅ

ដើម្បីឲ្យសមីការខាងលើតំណាងឲ្យអេលីប វាត្រូវតែមានលក្ខខណ្ឌសំខាន់ៗដូចខាងក្រោម៖

សញ្ញាដូចគ្នា: មេគុណ $\mathbf{A}$ និង $\mathbf{C}$ ត្រូវតែមានសញ្ញាដូចគ្នា ($\mathbf{A \cdot C > 0}$ )។
មិនស្មើគ្នា: មេគុណ $\mathbf{A}$ និង $\mathbf{C}$ មិនត្រូវស្មើគ្នាទេ។ (បើ $A=C$ នោះវាជា រង្វង់ វិញ)។

៣. ដំណើរការប្តូរជាទម្រង់ស្តង់ដា (Conversion Process)

គោលគំនិតគន្លឹះគឺការបំប្លែងសមីការទូទៅទៅជា សមីការស្តង់ដា វិញ ដោយប្រើវិធី បំពេញការ៉េ (Completing the Square)៖

ដាក់ជាក្រុម: ដាក់តួ $x$ និង $y$ ជាមួយគ្នា។
ទាញមេគុណរួម: ទាញមេគុណ $A$ និង $C$ ចេញពីតួការ៉េនីមួយៗ។
បំពេញការ៉េ: បំពេញការ៉េក្នុងតួ $x$ និងតួ $y$ ។
បែងចែក: ចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹងតួថេរនៅខាងស្តាំ ដើម្បីឲ្យវាក្លាយជា $1$។

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យសមីការទូទៅនៃអេលីប $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$។ ចូរបំប្លែងសមីការនេះជាសមីការស្តង់ដា រួចកំណត់កូអរដោនេផ្ចិត កំពូល និងកំណុំនៃអេលីប។

ចម្លើយ

ផ្ដុំតួដែលមានអថេរ $x$ និង $y$ ជាមួយគ្នា ហើយផ្ទេរតួថេរទៅអង្គខាងស្តាំ៖
\[(4x^2 - 16x) + (9y^2 + 18y) = 11\]
ទាញមេគុណមុខតួការ៉េជាកត្តារួម៖
\[4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11\]
បំពេញការ៉េក្នុងវង់ក្រចកនីមួយៗ (បន្ថែម $4\cdot 4 = 16$ និង $9\cdot 1 = 9$ ទៅអង្គខាងស្តាំ)៖
\[4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 + 2y + 1) = 11 + 16 + 9\]

\[4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36\]
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $36$៖
\[\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1\]
នេះជាសមីការស្តង់ដាដែលមាន $a^2 = 9 \implies a = 3$, $b^2 = 4 \implies b = 2$, និង $c = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}$។
- ផ្ចិត៖ $I(2, -1)$
- កំពូល៖ $V_1(2-3, -1) = V_1(-1, -1)$ និង $V_2(2+3, -1) = V_2(5, -1)$
- កំណុំ៖ $F_1(2-\sqrt{5}, -1)$ និង $F_2(2+\sqrt{5}, -1)$

ប្រតិបត្តិ

កំណត់ប្រភេទសមីការ រួចសរសេរជាទម្រង់ស្តង់ដានៃសមីការខាងក្រោម៖

$x^2+9y^2-4x+54y+49=0$
$4x^2+y^2-8x+4y-8=0$
$9x^2+4y^2+18x-16y-11=0$
$4x^2+25y^2-24x+100y+36=0$

ចម្លើយខ្លី

$\dfrac{(x-2)^2}{36} + \dfrac{(y+3)^2}{4} = 1$ (អេលីបដេក)
$\dfrac{(x-1)^2}{4} + \dfrac{(y+2)^2}{16} = 1$ (អេលីបឈរ)
$\dfrac{(x+1)^2}{4} + \dfrac{(y-2)^2}{9} = 1$ (អេលីបឈរ)
$\dfrac{(x-3)^2}{25} + \dfrac{(y+2)^2}{4} = 1$ (អេលីបដេក)

ប្រតិបត្តិ

រកសមីការស្តង់ដានៃអេលីបតាមលក្ខខណ្ឌនីមួយៗខាងក្រោម៖

កំណុំ $(0,0)$ និង $(4,0)$ ហើយផលបូកចម្ងាយស្មើ $10$
កំពូលទាំងពីរ $(\pm 4,0)$ និងកំណុំមួយនៅ $(3,0)$
កំណុំមួយនៅ $(-1,0)$ និងកំពូលទាំងពីរ $(\pm 3,0)$
កំពូលទាំងពីរនៅ $(3,1)$ និង $(3,9)$ ហើយ $2b = 6$

ចម្លើយខ្លី

$\dfrac{(x-2)^2}{25} + \dfrac{y^2}{21} = 1$
$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1$
$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{8} = 1$
$\dfrac{(x-3)^2}{9} + \dfrac{(y-5)^2}{16} = 1$

ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត

មេរៀនទី ២ ៖ អេលីប

តារាងចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ 100) — មេរៀនទី ២ ៖ អេលីប

ល.រ	ចម្លើយ	ល.រ	ចម្លើយ	ល.រ	ចម្លើយ	ល.រ	ចម្លើយ	ល.រ	ចម្លើយ
១	ខ	២១	គ	៤១	គ	៦១	ក	៨១	គ
២	ខ	២២	គ	៤២	ខ	៦២	ឃ	៨២	ក
៣	គ	២៣	ក	៤៣	គ	៦៣	គ	៨៣	គ
៤	គ	២៤	ខ	៤៤	ខ	៦៤	ក	៨៤	ខ
៥	ខ	២៥	ក	៤៥	ក	៦៥	ឃ	៨៥	ក
៦	គ	២៦	គ	៤៦	ឃ	៦៦	ខ	៨៦	ក
៧	ក	២៧	គ	៤៧	ខ	៦៧	ឃ	៨៧	ឃ
៨	ឃ	២៨	ខ	៤៨	ខ	៦៨	ក	៨៨	ក
៩	គ	២៩	គ	៤៩	ឃ	៦៩	គ	៨៩	ខ
១០	ឃ	៣០	គ	៥០	ខ	៧០	ខ	៩០	ខ
១១	ខ	៣១	ឃ	៥១	ឃ	៧១	ឃ	៩១	ឃ
១២	ក	៣២	ខ	៥២	ក	៧២	ឃ	៩២	ក
១៣	ខ	៣៣	ក	៥៣	ក	៧៣	ក	៩៣	ឃ
១៤	ឃ	៣៤	ខ	៥៤	គ	៧៤	ឃ	៩៤	ខ
១៥	គ	៣៥	ឃ	៥៥	ក	៧៥	គ	៩៥	ក
១៦	ខ	៣៦	ក	៥៦	ក	៧៦	ឃ	៩៦	ឃ
១៧	ឃ	៣៧	គ	៥៧	គ	៧៧	ក	៩៧	ក
១៨	ខ	៣៨	គ	៥៨	ឃ	៧៨	ឃ	៩៨	ក
១៩	គ	៣៩	ក	៥៩	ខ	៧៩	គ	៩៩	ឃ
២០	ឃ	៤០	ខ	៦០	ខ	៨០	ឃ	១០០	គ

ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

លំហាត់ទី ១

រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងអ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេនៃអេលីប ៖

ក $x^2 + 4y^2 = 4$

ខ $5x^2 + 2y^2 = 10$

គ $(x+2)^2 + \frac{(y+4)^2}{1/4} = 1$

ឃ $\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$

ង $\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-5)^2}{25} = 1$

ច $\frac{(x+2)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{25} = 1$

ដំណោះស្រាយ

ក $x^2 + 4y^2 = 4 \iff \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$

អេលីបដេក ផ្ចិត $I(0,0)$
$a = 2,\; b = 1 \implies c = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$
កំពូល $V(\pm 2, 0)$, កំណុំ $F(\pm\sqrt{3}, 0)$
$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ដូចនេះ $\boxed{I(0,0),\; V(\pm 2,0),\; F(\pm\sqrt{3},0),\; e=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

ខ $5x^2 + 2y^2 = 10 \iff \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{5} = 1$

អេលីបឈរ ផ្ចិត $I(0,0)$
$a = \sqrt{5},\; b = \sqrt{2} \implies c = \sqrt{3}$
កំពូល $V(0, \pm\sqrt{5})$, កំណុំ $F(0, \pm\sqrt{3})$
$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

ដូចនេះ $\boxed{I(0,0),\; V(0,\pm\sqrt{5}),\; F(0,\pm\sqrt{3}),\; e=\frac{\sqrt{15}}{5}}$

គ $(x+2)^2 + \frac{(y+4)^2}{1/4} = 1$

$a = 1,\; b = \frac{1}{2} \implies c = \frac{\sqrt{3}}{2}$
អេលីបដេក ផ្ចិត $I(-2, -4)$
កំពូល $V(-2 \pm 1, -4)$, កំណុំ $F\left(-2 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, -4\right)$
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ដូចនេះ $\boxed{I(-2,-4),\; V(-2\pm 1, -4),\; e=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

ឃ $\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$

អេលីបដេក ផ្ចិត $I(3, -4)$
$a = 4,\; b = 3 \implies c = \sqrt{7}$
កំពូល $V(3 \pm 4, -4)$, កំណុំ $F(3 \pm \sqrt{7}, -4)$
$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$

ដូចនេះ $\boxed{I(3,-4),\; V(3\pm 4,-4),\; e=\frac{\sqrt{7}}{4}}$

ង $\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-5)^2}{25} = 1$

អេលីបឈរ ផ្ចិត $I(1, 5)$
$a = 5,\; b = 3 \implies c = 4$
កំពូល $V(1, 5 \pm 5)$, កំណុំ $F(1, 5 \pm 4)$
$e = \frac{4}{5} = 0.8$

ដូចនេះ $\boxed{I(1,5),\; V(1, 5\pm 5),\; F(1, 5\pm 4),\; e=0.8}$

ច $\frac{(x+2)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{25} = 1$

អេលីបឈរ ផ្ចិត $I(-2, -2)$
$a = 5,\; b = 2 \implies c = \sqrt{21}$
កំពូល $V(-2, -2 \pm 5)$, កំណុំ $F(-2, -2 \pm \sqrt{21})$
$e = \frac{\sqrt{21}}{5}$

ដូចនេះ $\boxed{I(-2,-2),\; V(-2, -2\pm 5),\; e=\frac{\sqrt{21}}{5}}$

លំហាត់ទី ២

រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងអ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេនៃអេលីប ៖

ក $9x^2 + 4y^2 + 36x - 24y + 36 = 0$

ខ $100x^2 + 16y^2 - 100x - 64y - 311 = 0$

គ $9x^2 + 16y^2 + 54x - 32y - 47 = 0$

ឃ $2x^2 + 3y^2 - 8x + 6y + 5 = 0$

ង $4x^2 + y^2 + 4y = 0$

ដំណោះស្រាយ

ក $9(x+2)^2 + 4(y-3)^2 = 36 \iff \frac{(x+2)^2}{4} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1$

អេលីបឈរ ផ្ចិត $I(-2, 3)$
$a = 3, b = 2 \implies c = \sqrt{5}$
កំពូល $V(-2, 3 \pm 3)$
កំណុំ $F(-2, 3 \pm \sqrt{5})$
$e = \frac{\sqrt{5}}{3}$

ដូចនេះ $I(-2,3), V(-2, 3\pm 3), F(-2, 3\pm\sqrt{5})$

ខ $100\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 16(y-2)^2 = 400$

\[\iff \frac{(x - 1/2)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1\]

អេលីបឈរ ផ្ចិត $I\left(\frac{1}{2}, 2\right)$
$a = 5, b = 2 \implies c = \sqrt{21}$
កំពូល $V\left(\frac{1}{2}, 2 \pm 5\right)$
កំណុំ $F\left(\frac{1}{2}, 2 \pm \sqrt{21}\right)$
$e = \frac{\sqrt{21}}{5}$

ដូចនេះ $I\left(\frac{1}{2}, 2\right), V\left(\frac{1}{2}, 2\pm 5\right), e=\frac{\sqrt{21}}{5}$

គ $9(x+3)^2 + 16(y-1)^2 = 144$

\[\iff \frac{(x+3)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1\]

អេលីបដេក ផ្ចិត $I(-3, 1)$
$a = 4, b = 3 \implies c = \sqrt{7}$
កំពូល $V(-3 \pm 4, 1)$
កំណុំ $F(-3 \pm \sqrt{7}, 1)$
$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$

ដូចនេះ $I(-3,1), V(-3\pm 4, 1), F(-3\pm\sqrt{7}, 1)$

ឃ $2(x-2)^2 + 3(y+1)^2 = 6$

\[\iff \frac{(x-2)^2}{3} + \frac{(y+1)^2}{2} = 1\]

អេលីបដេក ផ្ចិត $I(2, -1)$
$a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2} \implies c = 1$
កំពូល $V(2 \pm \sqrt{3}, -1)$
កំណុំ $F(2 \pm 1, -1)$
$e = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ដូចនេះ $I(2,-1), V(2\pm\sqrt{3}, -1), F(2\pm 1, -1)$

ង $4x^2 + (y+2)^2 = 4 \iff \frac{x^2}{1} + \frac{(y+2)^2}{4} = 1$

អេលីបឈរ ផ្ចិត $I(0, -2)$
$a = 2, b = 1 \implies c = \sqrt{3}$
កំពូល $V(0, -2 \pm 2)$
កំណុំ $F(0, -2 \pm \sqrt{3})$
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ដូចនេះ $I(0,-2), V(0, -2\pm 2), F(0, -2\pm\sqrt{3})$

លំហាត់ទី ៣

គេឱ្យសមីការ $36x^2 + 4y^2 = 36$ ៖

បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកូអរដោនេនៃកំណុំទាំងពីរនៃអេលីប។
សង់អេលីបនោះ។

ដំណោះស្រាយ

ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $36$ ៖ $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{9} = 1$។
សមីការនេះមានរាង $\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$ ($a > b$) នាំឱ្យជាសមីការអេលីបឈរ ផ្ចិតនៅគល់ $I(0,0)$។
$a^2 = 9 \implies a = 3$ និង $b^2 = 1 \implies b = 1$។
ប្រវែងអ័ក្សធំ ៖ $2a = 2(3) = 6$ ឯកតា, ប្រវែងអ័ក្សតូច ៖ $2b = 2(1) = 2$ ឯកតា។
ចម្ងាយកំណុំ ៖ $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$។
កំពូលទាំងពីរ ៖ $V(0, \pm 3) \implies V_1(0, 3), \; V_2(0, -3)$។
កំណុំទាំងពីរ ៖ $F(0, \pm 2\sqrt{2}) \implies F_1(0, 2\sqrt{2}), \; F_2(0, -2\sqrt{2})$។

ដូចនេះ $\boxed{2a = 6, \; 2b = 2, \; V(0, \pm 3), \; F(0, \pm 2\sqrt{2})}$

លំហាត់ទី ៤

រកសមីការនៃអេលីបដែលមានកំពូលទាំងពីរជាចំណុច $(-3,2)$ និង $(5,2)$ និងមានអ័ក្សតូចមានប្រវែង $4$ ឯកតា។ សង់អេលីបនោះ។

ដំណោះស្រាយ

កំពូលទាំងពីរមានអរដោនេដូចគ្នា $y = 2$ នាំឱ្យអ័ក្សធំស្របនឹងអ័ក្សដេក $x$។
ផ្ចិត $I\left(\frac{-3+5}{2}, 2\right) = I(1, 2)$។
ប្រវែងអ័ក្សធំ $2a = |5 - (-3)| = 8 \implies a = 4 \implies a^2 = 16$។
ប្រវែងអ័ក្សតូច $2b = 4 \implies b = 2 \implies b^2 = 4$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1}$

លំហាត់ទី ៥

រកសមីការអេលីបដែលមានកំណុំមួយនៅត្រង់ចំណុច $(0,2)$ និងកំពូលពីរនៅត្រង់ចំណុច $(0,-3)$ និង $(0,3)$ រួចសង់អេលីបនោះ។

ដំណោះស្រាយ

កំពូលទាំងពីរ $V(0, \pm 3)$ មានអាប់ស៊ីស $x = 0$ នាំឱ្យអ័ក្សធំនៅលើអ័ក្សឈរ $y$ និងផ្ចិត $I(0,0)$។
$a = 3 \implies a^2 = 9$។
កំណុំមួយនៅ $(0, 2) \implies c = 2$។
$b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1}$

លំហាត់ទី ៦

គេឱ្យសមីការ $4x^2 + 25y^2 = 100$ ៖

បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេកំពូលទាំងពីរ និងកូអរដោនេកំណុំទាំងពីរនៃអេលីប។
សង់អេលីបនោះ។

ដំណោះស្រាយ

ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $100$ ៖ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$។
នេះជាសមីការអេលីបដេក ផ្ចិត $I(0,0)$ ដែលមាន $a^2 = 25 \implies a = 5$ និង $b^2 = 4 \implies b = 2$។
ប្រវែងអ័ក្សធំ $2a = 2(5) = 10$ ឯកតា, អ័ក្សតូច $2b = 2(2) = 4$ ឯកតា។
ចម្ងាយកំណុំ $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$។
កំពូលទាំងពីរ ៖ $V(\pm 5, 0) \implies V_1(5, 0), \; V_2(-5, 0)$។
កំណុំទាំងពីរ ៖ $F(\pm\sqrt{21}, 0) \implies F_1(\sqrt{21}, 0), \; F_2(-\sqrt{21}, 0)$។

ដូចនេះ $\boxed{2a=10, \; 2b=4, \; V(\pm 5, 0), \; F(\pm\sqrt{21}, 0)}$

លំហាត់ទី ៧

រកសមីការស្តង់ដានៃអេលីបតាមករណីនីមួយៗខាងក្រោម ៖

អ័ក្សធំមានប្រវែង $10$ ឯកតា កំណុំទាំងពីរមានកូអរដោនេ $(4,0)$ និង $(-4,0)$។
អ័ក្សតូចមានប្រវែង $6$ ឯកតា កំណុំទាំងពីរមានកូអរដោនេ $(0,4)$ និង $(0,-4)$។

ដំណោះស្រាយ

កំណុំ $(\pm 4, 0) \implies$ អ័ក្សធំដេក ផ្ចិត $I(0,0)$ និង $c = 4$។
- អ័ក្សធំ $2a = 10 \implies a = 5 \implies a^2 = 25$
- $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9$
- សមីការស្តង់ដា ៖ $\boxed{\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1}$
កំណុំ $(0, \pm 4) \implies$ អ័ក្សធំឈរ ផ្ចិត $I(0,0)$ និង $c = 4$។
- អ័ក្សតូច $2b = 6 \implies b = 3 \implies b^2 = 9$
- $a^2 = b^2 + c^2 = 9 + 16 = 25$
- សមីការស្តង់ដា ៖ $\boxed{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1}$

លំហាត់ទី ៨

រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេផ្ចិត កំណុំ និងកំពូលនៃអេលីប រួចសង់អេលីបតាមករណីនីមួយៗ ៖

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$25x^2 + 16y^2 = 400$

ដំណោះស្រាយ

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ ៖ អេលីបដេក ផ្ចិត $I(0,0)$, $a = 5, b = 4 \implies c = \sqrt{25-16} = 3$។
- ប្រវែងអ័ក្សធំ $2a = 10$, ប្រវែងអ័ក្សតូច $2b = 8$
- កំពូល $V(\pm 5, 0)$, កំណុំ $F(\pm 3, 0)$
- ដូចនេះ $\boxed{2a=10, \; 2b=8, \; V(\pm 5, 0), \; F(\pm 3, 0)}$
$25x^2 + 16y^2 = 400 \iff \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ ៖ អេលីបឈរ ផ្ចិត $I(0,0)$, $a = 5, b = 4 \implies c = 3$។
- ប្រវែងអ័ក្សធំ $2a = 10$, ប្រវែងអ័ក្សតូច $2b = 8$
- កំពូល $V(0, \pm 5)$, កំណុំ $F(0, \pm 3)$
- ដូចនេះ $\boxed{2a=10, \; 2b=8, \; V(0, \pm 5), \; F(0, \pm 3)}$

លំហាត់ទី ៩

គេឱ្យសមីការ $\frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y+4)^2}{4} = 1$ ៖

កំណត់ប្រភេទនៃរូបធរណីមាត្រដែលជាក្រាបតាងសមីការខាងលើ។
សង់រូបធរណីមាត្រនោះ រួចរកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល និងកំណុំនៃរូបនោះ។

ដំណោះស្រាយ

សមីការមានរាង $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ ដែល $a^2 = 25 > b^2 = 4$។ ដូចនេះ ក្រាបតាងសមីការជា អេលីបដេក។
ផ្ចិត $I(3, -4)$, $a = 5, b = 2 \implies c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$ ៖
- កំពូលទាំងពីរ ៖ $V(3 \pm 5, -4) \implies V_1(8, -4), \; V_2(-2, -4)$
- កំណុំទាំងពីរ ៖ $F(3 \pm \sqrt{21}, -4)$

ដូចនេះ $\boxed{I(3,-4), \; V(3\pm 5, -4), \; F(3\pm\sqrt{21}, -4)}$

លំហាត់ទី ១០

រកសមីការអេលីបដែលមានកំពូលទាំងពីរនៅត្រង់ចំណុច $(3,1)$ និងចំណុច $(3,9)$ ហើយអ័ក្សតូចមានប្រវែង $6$ ឯកតា។

ដំណោះស្រាយ

កំពូលទាំងពីរមានអាប់ស៊ីសដូចគ្នា $x = 3$ នាំឱ្យអ័ក្សធំឈរស្របនឹងអ័ក្ស $y$។
ផ្ចិត $I\left(3, \frac{1+9}{2}\right) = I(3, 5)$។
ប្រវែងអ័ក្សធំ $2a = |9 - 1| = 8 \implies a = 4 \implies a^2 = 16$។
ប្រវែងអ័ក្សតូច $2b = 6 \implies b = 3 \implies b^2 = 9$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y-5)^2}{16} = 1}$

លំហាត់ទី ១១

រកប្រភេទនៃរូបធរណីមាត្រព្រមទាំងបញ្ជាក់កូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ ហើយសង់រូបធរណីមាត្រតាងសមីការនីមួយៗ ៖

$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+3)^2}{49} = 1$
$4(x-3)^2 + 9(y-2)^2 = 36$

ដំណោះស្រាយ

ជាអេលីបឈរ ផ្ចិត $I(2, -3)$ ដែលមាន $a = 7, b = 4 \implies c = \sqrt{49 - 16} = \sqrt{33}$ ៖
- កំពូល $V(2, -3 \pm 7)$, កំណុំ $F(2, -3 \pm \sqrt{33})$
- ដូចនេះ $\boxed{I(2,-3), \; V(2, -3\pm 7), \; F(2, -3\pm\sqrt{33})}$
ចែកនឹង $36 \implies \frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1$ ៖ ជាអេលីបដេក ផ្ចិត $I(3, 2)$។
- $a = 3, b = 2 \implies c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$
- កំពូល $V(3 \pm 3, 2)$, កំណុំ $F(3 \pm \sqrt{5}, 2)$
- ដូចនេះ $\boxed{I(3,2), \; V(3\pm 3, 2), \; F(3\pm\sqrt{5}, 2)}$

លំហាត់ទី ១២

អេលីបមួយមានសមីការទូទៅ $12x^2 + 20y^2 - 12x + 40y - 37 = 0$ ៖

បំប្លែងសមីការនេះជាសមីការស្តង់ដា។
រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ ហើយសង់អេលីបនោះ។

ដំណោះស្រាយ

$12\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 20(y+1)^2 = 60 \iff \frac{(x-1/2)^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{3} = 1$
- ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{(x-1/2)^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{3} = 1}$
អេលីបដេក $a = \sqrt{5}, b = \sqrt{3} \implies c = \sqrt{5 - 3} = \sqrt{2}$ ៖
- ផ្ចិត $I\left(\frac{1}{2}, -1\right)$
- កំពូល $V\left(\frac{1}{2} \pm \sqrt{5}, -1\right)$, កំណុំ $F\left(\frac{1}{2} \pm \sqrt{2}, -1\right)$
- ដូចនេះ $\boxed{I\left(\frac{1}{2}, -1\right), \; V\left(\frac{1}{2}\pm\sqrt{5}, -1\right), \; F\left(\frac{1}{2}\pm\sqrt{2}, -1\right)}$

លំហាត់ទី ១៣

រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំណុំ និងកំពូលនៃអេលីប ហើយសង់អេលីបនីមួយៗខាងក្រោម ៖

$4x^2 + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$
$x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$

ដំណោះស្រាយ

$4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \iff \frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y+2)^2}{4} = 1$ ៖ អេលីបឈរ ផ្ចិត $I(1, -2)$។
- $a = 2, b = 1 \implies c = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$
- កំពូល $V(1, -2 \pm 2)$, កំណុំ $F(1, -2 \pm \sqrt{3})$
- ដូចនេះ $\boxed{I(1,-2), \; V(1, -2\pm 2), \; F(1, -2\pm\sqrt{3})}$
$(x-4)^2 + 9(y+2)^2 = 48 \iff \frac{(x-4)^2}{48} + \frac{(y+2)^2}{16/3} = 1$ ៖ អេលីបដេក ផ្ចិត $I(4, -2)$។
- $a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}, \; b = \frac{4}{\sqrt{3}} \implies c = \sqrt{48 - \frac{16}{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$
- កំពូល $V(4 \pm 4\sqrt{3}, -2)$, កំណុំ $F\left(4 \pm \frac{8\sqrt{6}}{3}, -2\right)$
- ដូចនេះ $\boxed{I(4,-2), \; V(4\pm 4\sqrt{3}, -2), \; F\left(4\pm\frac{8\sqrt{6}}{3}, -2\right)}$

លំហាត់ទី ១៤

រកសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត $(0,0)$ កំណុំ $(2,0)$ និងកំពូល $(3,0)$។

ដំណោះស្រាយ

កំណុំ $(2,0)$ និងកំពូល $(3,0)$ នៅលើអ័ក្សដេក $x$ នាំឱ្យអ័ក្សធំដេក និងផ្ចិតនៅគល់ $I(0,0)$។
កំពូល $(3,0) \implies a = 3 \implies a^2 = 9$។
កំណុំ $(2,0) \implies c = 2$។
$b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1}$

លំហាត់ទី ១៥

រកសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត $(0,0)$ កំពូល $(2,0)$ ហើយអ័ក្សតូចមានប្រវែង $3$ ឯកតា។

ដំណោះស្រាយ

កំពូល $(2,0)$ នៅលើអ័ក្សដេក នាំឱ្យអ័ក្សធំដេក និង $a = 2 \implies a^2 = 4$។
ប្រវែងអ័ក្សតូច $2b = 3 \implies b = \frac{3}{2} \implies b^2 = \frac{9}{4}$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \iff \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9/4} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{4} + \frac{4y^2}{9} = 1}$

លំហាត់ទី ១៦

រកសមីការអេលីបដែលមានកំពូល $(2,0)$ និង $(-2,0)$ ហើយមានអ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេស្មើនឹង $\frac{3}{5}$។

ដំណោះស្រាយ

កំពូលទាំងពីរនៅត្រង់ $(\pm 2, 0)$ លើអ័ក្សដេក នាំឱ្យអ័ក្សធំដេក ផ្ចិត $I(0,0)$ និង $a = 2 \implies a^2 = 4$។
អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} \implies c = \frac{3}{5} \times 2 = \frac{6}{5}$។
$b^2 = a^2 - c^2 = 4 - \left(\frac{6}{5}\right)^2 = 4 - \frac{36}{25} = \frac{64}{25}$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \iff \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{64/25} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{4} + \frac{25y^2}{64} = 1}$

លំហាត់ទី ១៧

រកសមីការអេលីបដែលមានកំណុំ $(\pm\sqrt{5},0)$ ហើយអ័ក្សធំមានប្រវែង $6$ ឯកតា។

ដំណោះស្រាយ

កំណុំទាំងពីរ $(\pm\sqrt{5}, 0)$ នៅលើអ័ក្សដេក នាំឱ្យអ័ក្សធំដេក ផ្ចិត $I(0,0)$ និង $c = \sqrt{5}$។
ប្រវែងអ័ក្សធំ $2a = 6 \implies a = 3 \implies a^2 = 9$។
$b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1}$

លំហាត់ទី ១៨

រកសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត $(0,0)$ និងអ័ក្សធំជាអ័ក្សដេក ហើយចំណុច $(3,1)$ និង $(4,0)$ ស្ថិតនៅលើអេលីប។

ដំណោះស្រាយ

សមីការមានរាង $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (អ័ក្សធំដេក)។
អេលីបកាត់តាម $(4,0) \implies \frac{4^2}{a^2} + 0 = 1 \implies a^2 = 16 \implies a = 4$។
អេលីបកាត់តាម $(3,1) \implies \frac{3^2}{16} + \frac{1^2}{b^2} = 1 \implies \frac{1}{b^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies b^2 = \frac{16}{7}$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16/7} = 1 \iff \frac{x^2}{16} + \frac{7y^2}{16} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{16} + \frac{7y^2}{16} = 1}$

លំហាត់ទី ១៩

រកសមីការអេលីបដែលមានកំណុំ $(0,0)$ និង $(4,0)$។ ផលបូកចម្ងាយពីកំណុំទាំងពីរទៅចំណុចមួយនៅលើអេលីបស្មើនឹង $10$ ឯកតា។

ដំណោះស្រាយ

កំណុំ $F_1(0,0)$ និង $F_2(4,0)$ មានអរដោនេដូចគ្នា $y = 0$ នាំឱ្យអ័ក្សធំដេក។
ផ្ចិត $I\left(\frac{0+4}{2}, 0\right) = I(2,0)$។
$2c = |4 - 0| = 4 \implies c = 2$។
តាមនិយមន័យអេលីប ផលបូកចម្ងាយថេរគឺ $2a = 10 \implies a = 5 \implies a^2 = 25$។
$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 4 = 21$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{y^2}{21} = 1}$

លំហាត់ទី ២០

រកសមីការនៃបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងអេលីប $4x^2 + y^2 = 4$ ដែលកាត់តាមចំណុច $(3,0)$។

ដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់កាត់តាម $(3,0)$ មានសមីការ $y = m(x-3)$។
ជំនួសចូលសមីការអេលីប $4x^2 + y^2 = 4$ ៖
\[4x^2 + m^2(x-3)^2 = 4 \iff (4+m^2)x^2 - 6m^2x + (9m^2-4) = 0\]
លក្ខខណ្ឌបន្ទាត់ប៉ះ គឺសមីការមានឫសឌុប ($\Delta' = 0$) ៖
\[\Delta' = (3m^2)^2 - (4+m^2)(9m^2-4) = 16 - 32m^2 = 0 \implies m^2 = \frac{1}{2} \implies m = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\]
សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖ $y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(x-3) \iff \sqrt{2}x \pm 2y - 3\sqrt{2} = 0$

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់ប៉ះទាំងពីរគឺ $\boxed{\sqrt{2}x \pm 2y - 3\sqrt{2} = 0}$

លំហាត់ទី ២១

រកសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត $(0,0)$ និងកំពូល $(0,\pm 6)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(3,2)$។

ដំណោះស្រាយ

កំពូល $(0,\pm 6)$ នៅលើអ័ក្សឈរ $y \implies$ អ័ក្សធំឈរ ផ្ចិត $I(0,0)$ និង $a = 6 \implies a^2 = 36$។
សមីការស្តង់ដាមានរាង ៖ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{36} = 1$
អេលីបកាត់តាម $(3,2) \implies \frac{3^2}{b^2} + \frac{2^2}{36} = 1 \iff \frac{9}{b^2} + \frac{1}{9} = 1 \implies \frac{9}{b^2} = \frac{8}{9} \implies b^2 = \frac{81}{8}$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{81/8} + \frac{y^2}{36} = 1 \iff \frac{8x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{8x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1}$

លំហាត់ទី ២២

រកសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត $(0,0)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(2,3)$ និង $(6,1)$។

ដំណោះស្រាយ

សមីការមានរាង $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$។ តាង $u = \frac{1}{a^2}$ និង $v = \frac{1}{b^2}$ ($u, v > 0$) ៖
\[\begin{cases} 4u + 9v = 1 \\ 36u + v = 1 \end{cases}\]
គុណសមីការទីពីរនឹង $9$ រួចដកសមីការទីមួយ ៖
\[324u + 9v - (4u + 9v) = 9 - 1 \iff 320u = 8 \implies u = \frac{1}{40} \implies a^2 = 40\]
ជំនួស $u$ ចូល ៖ $v = 1 - 36\left(\frac{1}{40}\right) = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} \implies b^2 = 10$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{40} + \frac{y^2}{10} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{40} + \frac{y^2}{10} = 1}$

លំហាត់ទី ២៣

រកសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត $(0,0)$ ហើយអ័ក្សធំជាអ័ក្សដេកមានប្រវែង $8$ ឯកតា និងអ័ក្សតូចមានប្រវែង $5$ ឯកតា។

ដំណោះស្រាយ

ផ្ចិត $I(0,0)$ និងអ័ក្សធំដេក នាំឱ្យសមីការស្តង់ដាមានរាង $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$។
ប្រវែងអ័ក្សធំ $2a = 8 \implies a = 4 \implies a^2 = 16$។
ប្រវែងអ័ក្សតូច $2b = 5 \implies b = \frac{5}{2} \implies b^2 = \frac{25}{4}$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25/4} = 1 \iff \frac{x^2}{16} + \frac{4y^2}{25} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{16} + \frac{4y^2}{25} = 1}$

លំហាត់ទី ២៤

រកសមីការស្ដង់ដារនៃអេលីបដែលមានកំណុំមួយជាចំណុច $(1,0)$ និងចំណុចកំពូលពីរមានកូអរដោនេ $(-2,0)$ និង $(2,0)$ រួចសង់អេលីបនោះ។

ដំណោះស្រាយ

កំពូលទាំងពីរនៅត្រង់ $(\pm 2, 0)$ លើអ័ក្សដេក $x \implies$ អ័ក្សធំដេក ផ្ចិត $I(0,0)$ និង $a = 2 \implies a^2 = 4$។
កំណុំមួយនៅ $(1,0) \implies c = 1$។
$b^2 = a^2 - c^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$។
សមីការស្តង់ដា ៖ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ $\boxed{\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1}$

លំហាត់ទី ២៥ ៖ ស្ពានរាងកន្លះអេលីប

ស្ពានថ្មីមួយមានរចនាសម្ព័ន្ធទ្រទ្រង់រាងកន្លះអេលីប មានទទឹងសរុប $40\text{ m}$ និងកម្ពស់អតិបរមា $10\text{ m}$ នៅចំផ្ចិត។ រកកម្ពស់ស្ពាននៅចម្ងាយ $15\text{ m}$ ពីផ្ចិតស្ពាន។

ដំណោះស្រាយ

ផ្ចិតនៅគល់ $(0,0)$ នាំឱ្យពាក់កណ្តាលទទឹង $a = \frac{40}{2} = 20\text{ m}$ និងកម្ពស់អតិបរមា $b = 10\text{ m}$។
សមីការកន្លះអេលីប ៖ $\frac{x^2}{20^2} + \frac{y^2}{10^2} = 1 \iff \frac{x^2}{400} + \frac{y^2}{100} = 1 \quad{} (y \ge 0)$
ត្រង់ចំណុចចម្ងាយ $x = 15\text{ m}$ ពីផ្ចិត ៖
\[\frac{15^2}{400} + \frac{y^2}{100} = 1 \implies \frac{y^2}{100} = 1 - \frac{225}{400} = \frac{175}{400} \implies y^2 = \frac{175}{4} = 43.75\]

\[y = \sqrt{43.75} \approx 6.61\text{ m}\]

ដូចនេះ កម្ពស់ស្ពាននៅចម្ងាយ $15\text{ m}$ ពីផ្ចិតគឺប្រមាណ $\boxed{6.61\text{ m}}$

លំហាត់ទី ២៦ ៖ សួនច្បារអេលីប

សួនច្បារអេលីបមួយមានប្រវែងអ័ក្សធំ $30\text{ m}$ និងអ័ក្សតូច $16\text{ m}$។

ក តើអំពូលសូឡាទាំងពីរនៅត្រង់កំណុំទាំងពីរមានចម្ងាយប៉ុន្មានម៉ែត្រពីគ្នា?

ខ តម្លៃដីខាតបង់ $8\text{ \$/m}^2$ តើខាតបង់សរុបប៉ុន្មានដុល្លារ? ($\pi \approx 3.14$)

ដំណោះស្រាយ

ក $2a = 30 \implies a = 15\text{ m}$, $2b = 16 \implies b = 8\text{ m}$។
ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំណុំ ៖

\[c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{15^2 - 8^2} = \sqrt{161}\]

\[\implies c \approx 12.69\text{ m}\]

ចម្ងាយរវាងអំពូលទាំងពីរ (រវាងកំណុំទាំងពីរ) ៖

\[2c = 2\sqrt{161} \approx 25.38\text{ m}\]

ដូចនេះ $\boxed{2c \approx 25.38\text{ m}}$

ខ ក្រឡាផ្ទៃសួនច្បាររាងអេលីប ៖

\[S = \pi a b \approx 3.14 \times 15 \times 8 = 376.8\text{ m}^2\]

ការខាតបង់សរុបជាទឹកប្រាក់ ៖

\[376.8 \times 8 = 3014.4\text{ ដុល្លារ}\]

ដូចនេះ $\boxed{3014.4\text{ ដុល្លារ}}$

លំហាត់ទី ២៧ ៖ ផ្លូវរូងក្រោមដីរាងកន្លះអេលីប

ច្រកចូលផ្លូវរូងក្រោមដីមានសមីការ $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1$។ រថភ្លើងដឹកទំនិញមានទទឹង $8\text{ m}$។ រកកម្ពស់អតិបរមាដែលអាចឆ្លងកាត់ដោយសុវត្ថិភាព។

ដំណោះស្រាយ

ទទឹងរថភ្លើង $8\text{ m} \implies$ ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅសងខាងគឺ $x = \pm 4\text{ m}$។
ជំនួស $x = 4$ ចូលក្នុងសមីការច្រកចូល ៖
\[\frac{4^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1 \implies \frac{y^2}{36} = 1 - \frac{16}{49} = \frac{33}{49}\]

\[y = 6\frac{\sqrt{33}}{7} \approx 6 \times \frac{5.745}{7} \approx 4.92\text{ m}\]

ដូចនេះ កម្ពស់អតិបរមាគឺ $\boxed{y \approx 4.92\text{ m}}$

លំហាត់ទី ២៨ ៖ ដំបូលសាលប្រជុំ

ដំបូលអេលីបថ្មី $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{49} = 1$ ($a=9, b=7$)។ រកប្រវែងបរិវេណខ្លីជាងដំបូលរង្វង់ដើមកាំ $a=9$។

ដំណោះស្រាយ

បរិវេណដំបូលរង្វង់ដើម ៖ $P_{\text{រង្វង់}} = 2\pi a = 2\pi(9) = 18\pi \approx 56.55\text{ m}$
បរិវេណដំបូលអេលីបប៉ាន់ស្មាន ៖
\[P_{\text{អេលីប}} \approx 2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} = 2\pi\sqrt{\frac{81+49}{2}} = 2\pi\sqrt{65} \approx 50.66\text{ m}\]
ប្រវែងខ្លីជាង ៖ $\Delta P \approx 56.55 - 50.66 \approx 5.89\text{ m}$

ដូចនេះ ខ្លីជាងប្រមាណ $\boxed{5.89\text{ m}}$

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

✎ សំណួរទី ៥១–៦០

✎ សំណួរទី ៦១–៧០

✎ សំណួរទី ៧១–៨០

✎ សំណួរទី ៨១–៩០

✎ សំណួរទី ៩១–១០០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២៩ អេលីប (Ellipse) — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

ទម្រង់	សមីការ (ផ្ចិតនៅ \((0, 0)\))	លក្ខខណ្ឌ
ផ្ដេក (អ័ក្សធំតាម \(x\))	\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
បញ្ឈរ (អ័ក្សធំតាម \(y\))	\(\displaystyle \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\)

លក្ខណៈ / អ័ក្សធំ	អ័ក្សធំដេក (ស្របអ័ក្ស \(x\))	អ័ក្សធំឈរ (ស្របអ័ក្ស \(y\))
សមីការស្តង់ដា	\(\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \;\; (a>b)\)	\(\dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \;\; (a>b)\)
ផ្ចិត	\(I(h, k)\)	\(I(h, k)\)
កំពូល \((V)\)	\(V_1(h-a, k) \,,\, V_2(h+a, k)\)	\(V_1(h, k-a) \,,\, V_2(h, k+a)\)
កំណុំ \((F)\)	\(F_1(h-c, k) \,,\, F_2(h+c, k)\)	\(F_1(h, k-c) \,,\, F_2(h, k+c)\)
ទំនាក់ទំនង \(a, b, c\)	\(c^2 = a^2 - b^2 \;\; (c = \sqrt{a^2-b^2})\)	\(c^2 = a^2 - b^2 \;\; (c = \sqrt{a^2-b^2})\)
ប្រវែងអ័ក្សធំ និង តូច	អ័ក្សធំ \(= 2a\) , អ័ក្សតូច \(= 2b\)	អ័ក្សធំ \(= 2a\) , អ័ក្សតូច \(= 2b\)
ប្រសព្វអេលីបនិងអ័ក្សតូច	\(B_1(h, k-b) \,,\, B_2(h, k+b)\)	\(B_1(h-b, k) \,,\, B_2(h+b, k)\)
ក្រាប

ធាតុ	និយមន័យ	តម្លៃ
ផ្ចិត (Center)	ចំណុចកណ្តាលនៃអ័ក្សធំ និងអ័ក្សតូច ឬ កំពូលទាំងពីរ ឬ កំណុំទាំងពីរ។	\(I(h, k)\) ឬ \(I(0, 0)\)
កំពូល (Vertices)	ចំណុចកាត់នៃអ័ក្សធំ និងអេលីប។	\(V(h\pm a, k)\) ឬ \(V(h, k\pm a)\)
កំណុំ (Foci)	ចំណុចថេរទាំងពីរ (តាងដោយ \(F_1\) និង \(F_2\)) ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងអេលីប	\(F(h\pm c, k)\) ឬ \(F(h, k\pm c)\)
អ័ក្សធំ (Major Axis)	អ័ក្សធំ ដែលឆ្លងកាត់ផ្ចិតកណ្តាល និងផ្ចិតទាំងពីរ។	ប្រវែង \(= 2a\)
អ័ក្សតូច (Minor Axis)	អ័ក្សតូច ជាអ័ក្សដែលកាត់កែងនឹងអ័ក្សធំត្រង់ផ្ចិតនៃចំណុចកណ្តាល។	ប្រវែង \(= 2b\)