KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១២
  3. មេរៀនទី ២៨
២៨
ជំពូកទី ៨ កោនិក · មេរៀនទី ២៨ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

ប៉ារ៉ាបូល (Parabola)

កោនិក៣ ផ្នែកសំណួរពហុជ្រើសរើស ១០០
និយមន័យ

ប៉ារ៉ាបូលគឺជាសំណុំចំណុច \(P(x,y)\) នៅក្នុងប្លង់ ដែលមានចម្ងាយស្មើពីចំណុចនឹង \(F\) (Focus) មួយទៅនិងបន្ទាត់នឹង \(\Delta\) មួយ (Directrix) នៅក្នុងប្លង់នោះ។

  • \(F\) (Focus) នោះហៅថា កំណុំ

  • បន្ទាត់នឹង \(\Delta\) ហៅថា បន្ទាត់ប្រាប់ទិស (Directrix line)

  • បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំណុំហើយកែងនឹងបន្ទាត់ប្រាប់ទិសហៅថា អ័ក្សឆ្លុះ នៃប៉ារ៉ាបូល។

  • \(V\) ជាចំណុចកណ្តាលដែលភ្ជាប់រវាងកំណុំ \(F\) និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta\)។

  • គ្រប់ចំណុច \(P(x,y)\) ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូលមានកំណុំ \(F\) និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta\) គេបាន \(PF = d(P,\Delta)\)។

ក្នុងមេរៀននេះ យើងសិក្សាតែប៉ារ៉ាបូលដែលមាន អ័ក្សឆ្លុះដេក និង អ័ក្សឆ្លុះឈរ តែប៉ុណ្ណោះ ។

១. ប៉ារ៉ាបូលបើកបញ្ឈរ (Vertical Parabola)

ក. ទម្រង់ \(x^2 = 4py\) (កំពូលនៅ \((0, 0)\))

លក្ខណៈ/សមីការ \(x^2=4py\)
អ័ក្សឆ្លុះ \(x = 0\) (អ័ក្ស \(y\))
កំពូល (Vertex) \((0, 0)\)
កំណុំ (Focus) \((0, p)\)
បន្ទាត់ប្រាប់ទិស (Directrix) \(y = -p\)
ទិសដៅបើក លើ (\(p>0\)) / ក្រោម (\(p<0\))

ឧទាហរណ៍

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល \(x^2 = 12y\) រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការ \(x^2 = 12y\) មានទម្រង់ស្តង់ដា \(x^2 = 4py\) ដែលជាប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះឈរ (ត្រួតលើអ័ក្ស \(y\)) និងមានកំពូលនៅគល់តម្រុយ \(V(0, 0)\)។

  • តាមសមីការ \(4p = 12 \implies p = 3 > 0\) នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលបើកទៅលើ។

  • កំពូល៖ \(V(0, 0)\)

  • កំណុំ៖ \(F(0, p) = F(0, 3)\)

  • សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖ \(y = -p \iff y = -3\)

  • អ័ក្សឆ្លុះ៖ \(x = 0\) (អ័ក្សអរដោនេ \(y\))

ប្រតិបត្តិ

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល រួចសង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូលនីមួយៗខាងក្រោម៖

  1. \(x^2 = 8y\)

  2. \(x^2 = -6y\)

ចម្លើយខ្លី

  1. \(V(0, 0), \, F(0, 2), \, \Delta: y = -2\)

  2. \(V(0, 0), \, F\!\left(0, -\dfrac{3}{2}\right), \, \Delta: y = \dfrac{3}{2}\)

ខ. ទម្រង់ \((x-h)^2 = 4p(y-k)\) (កំពូលនៅ \((h, k)\))

លក្ខណៈ/សមីការ \((x-h)^2 = 4p(y-k)\)
អ័ក្សឆ្លុះ (Symetry) \(x = h\)
កំពូល (Vertex) \((h, k)\)
កំណុំ (Focus) \((h, k+p)\)
បន្ទាត់ប្រាប់ទិស (Directrix) \(y = k-p\)
ទិសដៅបើក លើ (\(p>0\)) / ក្រោម (\(p<0\))

ឧទាហរណ៍

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល \((x-3)^2 = 8(y+1)\) រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការ \((x-3)^2 = 8(y+1)\) មានទម្រង់ស្តង់ដា \((x-h)^2 = 4p(y-k)\) ដែលមានអ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្ស \(y\)។

  • តាមសមីការ យើងបាន៖ \(h = 3, \; k = -1 \implies\) កំពូល \(V(h, k) = V(3, -1)\)។

  • \(4p = 8 \implies p = 2 > 0\) នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលបើកទៅលើ។

  • កំណុំ៖ \(F(h, k+p) = F(3, -1+2) = F(3, 1)\)។

  • សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖ \(y = k - p = -1 - 2 \iff y = -3\)។

  • អ័ក្សឆ្លុះ៖ \(x = h \iff x = 3\)។

ប្រតិបត្តិ

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល រួចសង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូលនីមួយៗខាងក្រោម៖

  1. \((x-2)^2= 4(y-3)\)

  2. \((x-1)^2+ 8(y+2)=0\)

ចម្លើយខ្លី

  1. \(V(2, 3), \, F(2, 4), \, \Delta: y = 2\)

  2. \(V(1, -2), \, F(1, -4), \, \Delta: y = 0\)

២. សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្លុះដេក (Horizontal Parabola)

ក. ទម្រង់ \(y^2 = 4px\) (កំពូលនៅគល់តម្រុយ \((0, 0)\))

លក្ខណៈ/សមីការ \(y^2 = 4px\)
អ័ក្សឆ្លុះ \(y = 0\) (អ័ក្ស \((Ox)\))
កំពូល (Vertex) \((0, 0)\)
កំណុំ (Focus) \((p, 0)\)
បន្ទាត់ប្រាប់ទិស (Directrix) \(x = -p\)
ទិសដៅបើក ស្តាំ (\(p>0\)) / ឆ្វេង (\(p<0\))

ឧទាហរណ៍

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល \(y^2 = -8x\) រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការ \(y^2 = -8x\) មានទម្រង់ស្តង់ដា \(y^2 = 4px\) ដែលជាប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះដេក (ត្រួតលើអ័ក្ស \(x\)) និងកំពូល \(V(0, 0)\)។

  • តាមសមីការ \(4p = -8 \implies p = -2 < 0\) នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលបើកទៅឆ្វេង។

  • កំពូល៖ \(V(0, 0)\)

  • កំណុំ៖ \(F(p, 0) = F(-2, 0)\)

  • សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖ \(x = -p \iff x = 2\)

  • អ័ក្សឆ្លុះ៖ \(y = 0\) (អ័ក្សអាប់ស៊ីស \(x\))

ប្រតិបត្តិ

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល រួចសង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូលនីមួយៗខាងក្រោម៖

  1. \(y^2 = 4x\)

  2. \(y^2 +12x = 0\)

ចម្លើយខ្លី

  1. \(V(0, 0), \, F(1, 0), \, \Delta: x = -1\)

  2. \(V(0, 0), \, F(-3, 0), \, \Delta: x = 3\)

ខ. ទម្រង់ \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) (កំពូលនៅ \((h, k)\))

លក្ខណៈ/សមីការ \((y-k)^2 = 4p(x-h)\)
អ័ក្សឆ្លុះ \(y = k\)
កំពូល (Vertex) \((h, k)\)
កំណុំ (Focus) \((h+p, k)\)
បន្ទាត់ប្រាប់ទិស (Directrix) \(x = h-p\)
ទិសដៅបើក ស្តាំ (\(p>0\)) / ឆ្វេង (\(p<0\))

ឧទាហរណ៍

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល \((y-1)^2 = -4(x+2)\) រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការ \((y-1)^2 = -4(x+2)\) មានទម្រង់ស្តង់ដា \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ដែលជាប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្ស \(x\)។

  • តាមសមីការ យើងបាន៖ \(h = -2, \; k = 1 \implies\) កំពូល \(V(h, k) = V(-2, 1)\)។

  • \(4p = -4 \implies p = -1 < 0\) នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលបើកទៅឆ្វេង។

  • កំណុំ៖ \(F(h+p, k) = F(-2+(-1), 1) = F(-3, 1)\)។

  • សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖ \(x = h - p = -2 - (-1) \iff x = -1\)។

  • អ័ក្សឆ្លុះ៖ \(y = k \iff y = 1\)។

ប្រតិបត្តិ

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល រួចសង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូលនីមួយៗខាងក្រោម៖

  1. \((y+2)^2= 4(x-1)\)

  2. \((x+3)+ (y-2)^2=0\)

ចម្លើយខ្លី

  1. \(V(1, -2), \, F(2, -2), \, \Delta: x = 0\)

  2. \(V(-3, 2), \, F\!\left(-\dfrac{13}{4}, 2\right), \, \Delta: x = -\dfrac{11}{4}\)

លក្ខណៈ / អ័ក្សឆ្លុះ អ័ក្សឆ្លុះដេក (ស្របអ័ក្ស \(x\)) អ័ក្សឆ្លុះឈរ (ស្របអ័ក្ស \(y\))
សមីការស្តង់ដា \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) \((x-h)^2 = 4p(y-k)\)
អ័ក្សឆ្លុះ \(y = k\) \(x = h\)
កំពូល (V) \(V(h, k)\) \(V(h, k)\)
កំណុំ (F) \(F(h+p, k)\) \(F(h, k+p)\)
បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta\) \(x = h - p\) \(y = k - p\)
ទិសដៅបើក ស្តាំ (\(p>0\)) / ឆ្វេង (\(p<0\)) លើ (\(p>0\)) / ក្រោម (\(p<0\))
ក្រាប
ឧទាហរណ៍

គេមានសមីការ \((x-2)^2 = 12(y-1)\) ជាសមីការប៉ារ៉ាបូល។ រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ សមីការអ័ក្សឆ្លុះ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការដែលឱ្យ៖ \((x-2)^2 = 12(y-1)\)

  • ប្រៀបធៀបនឹងសមីការស្តង់ដា៖ \((x-h)^2 = 4p(y-k)\) ជាប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្លុះឈរ (ស្របនឹងអ័ក្ស \(y\))។

  • គេបាន៖

    \[h = 2, \quad{} k = 1, \quad{} 4p = 12 \implies p = 3 > 0 \quad{} (\text{ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅលើ})\]

  • កំពូល៖ \(V(h, k) = V(2, 1)\)

  • កំណុំ៖ \(F(h, k+p) = F(2, 1+3) = F(2, 4)\)

  • សមីការអ័ក្សឆ្លុះ៖ \(x = h \iff x = 2\)

  • សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស (\(\Delta\))៖ \(y = k - p = 1 - 3 \iff y = -2\)

  • ចំណុចជំនួយសម្រាប់សង់ក្រាប៖

    • យក \(y = 4\) (កម្ពស់កំណុំ \(F\)) នាំឱ្យ៖

      \[(x-2)^2 = 12(4-1) = 36 \implies x - 2 = \pm 6 \implies x = 8 \;\text{ឬ}\; x = -4\]
      នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច \((-4, 4)\) និង \((8, 4)\) (ចុងទាំងសងខាងនៃអង្កត់កាត់កំណុំ Latus Rectum ប្រវែង \(4p = 12\))។

    • ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស \(Oy\) (\(x=0\))៖ \((0-2)^2 = 12(y-1) \implies 4 = 12(y-1) \implies y = \dfrac{4}{3}\)។

ឧទាហរណ៍

គេមានសមីការ \((y+1)^2 = -8(x-1)\) ជាសមីការប៉ារ៉ាបូល។ រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ សមីការអ័ក្សឆ្លុះ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការដែលឱ្យ៖ \((y+1)^2 = -8(x-1)\)

  • ប្រៀបធៀបនឹងសមីការស្តង់ដា៖ \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ជាប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្លុះដេក (ស្របនឹងអ័ក្ស \(x\))។

  • គេបាន៖

    \[h = 1, \quad{} k = -1, \quad{} 4p = -8 \implies p = -2 < 0 \quad{} (\text{ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅឆ្វេង})\]

  • កំពូល៖ \(V(h, k) = V(1, -1)\)

  • កំណុំ៖ \(F(h+p, k) = F(1 - 2, -1) = F(-1, -1)\)

  • សមីការអ័ក្សឆ្លុះ៖ \(y = k \iff y = -1\)

  • សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស (\(\Delta\))៖ \(x = h - p = 1 - (-2) \iff x = 3\)

  • ចំណុចជំនួយសម្រាប់សង់ក្រាប៖

    • យក \(x = -1\) (អាប់ស៊ីសកំណុំ \(F\)) នាំឱ្យ៖

      \[(y+1)^2 = -8(-1-1) = 16 \implies y + 1 = \pm 4 \implies y = 3 \;\text{ឬ}\; y = -5\]
      នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច \((-1, 3)\) និង \((-1, -5)\) (ចុងទាំងសងខាងនៃអង្កត់កាត់កំណុំ Latus Rectum ប្រវែង \(|4p| = 8\))។

    • ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស \(Oy\) (\(x=0\))៖ \((y+1)^2 = -8(0-1) = 8 \implies y = -1 \pm 2\sqrt{2} \approx 1.83 \;\) ឬ \(\; -3.83\)។

ឧទាហរណ៍

គេមានសមីការ \(\left(y - \dfrac{1}{2}\right)^2 = -4(x+1)\) ជាសមីការប៉ារ៉ាបូល។ រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ សមីការអ័ក្សឆ្លុះ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល រួចសង់ក្រាប។

ចម្លើយ

សមីការដែលឱ្យ៖ \(\left(y - \dfrac{1}{2}\right)^2 = -4(x+1)\)

  • ប្រៀបធៀបនឹងសមីការស្តង់ដា៖ \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ជាប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្លុះដេក (ស្របនឹងអ័ក្ស \(x\))។

  • គេបាន៖

    \[h = -1, \quad{} k = \frac{1}{2}, \quad{} 4p = -4 \implies p = -1 < 0 \quad{} (\text{ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅឆ្វេង})\]

  • កំពូល៖ \(V(h, k) = V\left(-1, \dfrac{1}{2}\right)\)

  • កំណុំ៖ \(F(h+p, k) = F\left(-1 - 1, \dfrac{1}{2}\right) = F\left(-2, \dfrac{1}{2}\right)\)

  • សមីការអ័ក្សឆ្លុះ៖ \(y = k \iff y = \dfrac{1}{2}\)

  • សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស (\(\Delta\))៖ \(x = h - p = -1 - (-1) \iff x = 0\) (អ័ក្សអរដោនេ \(Oy\))

  • ចំណុចជំនួយសម្រាប់សង់ក្រាប៖

    • យក \(x = -2\) (អាប់ស៊ីសកំណុំ \(F\)) នាំឱ្យ៖

      \[\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = -4(-2+1) = 4 \implies y - \frac{1}{2} = \pm 2 \implies y = \frac{5}{2} = 2.5 \;\text{ឬ}\; y = -\frac{3}{2} = -1.5\]
      នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលកាត់តាមចំណុច \(\left(-2, \dfrac{5}{2}\right)\) និង \(\left(-2, -\dfrac{3}{2}\right)\) (ចុងទាំងសងខាងនៃអង្កត់កាត់កំណុំ Latus Rectum ប្រវែង \(|4p| = 4\))។

លំហាត់

សង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូលខាងក្រោម៖

  1. សមីការ៖ \((x+2)^2=8(y-3)\)

    • កំពូល \(V(h, k)\): \(V(-2, 3)\)

    • កំណុំ \(F(h, k+p)\): \(F(-2, 5)\)

    • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta\): \(y = 1\)

  2. សមីការ៖ \((x-4)^2=-12y\)

    • កំពូល \(V(h, k)\): \(V(4, 0)\)

    • កំណុំ \(F(h, k+p)\): \(F(4, -3)\)

    • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta\): \(y = 3\)

  3. សមីការ៖ \((y+1)^2=4x\)

    • កំពូល \(V(h, k)\): \(V(0, -1)\)

    • កំណុំ \(F(h+p, k)\): \(F(1, -1)\)

    • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta\): \(x = -1\)

  4. សមីការ៖ \((y+4)^2=-8(x+5)\)

    • កំពូល \(V(h, k)\): \(V(-5, -4)\)

    • កំណុំ \(F(h+p, k)\): \(F(-7, -4)\)

    • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta\): \(x = -3\)

សមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល

លក្ខណៈ ប៉ារ៉ាបូលឈរ (Vertical Parabola) ប៉ារ៉ាបូលដេក (Horizontal Parabola)
សមីការទូទៅ \(\mathbf{Ax^2 + Dx + Ey + F = 0}\) \(\mathbf{Cy^2 + Dx + Ey + F = 0}\)
លក្ខខណ្ឌ \(C=0\) និង \(A \neq 0\) \(A=0\) និង \(C \neq 0\)
អ័ក្សឆ្លុះ ឈរ (\(x = h\)) ដេក (\(y = k\))

ការផ្លាស់ប្តូរទៅសមីការស្តង់ដារ (Completing the Square)

គោលគំនិតសំខាន់នៃការដោះស្រាយសមីការទូទៅគឺការបំប្លែងវាទៅជា សមីការស្តង់ដារ ដោយប្រើវិធី បំពេញការ៉េ (Completing the Square)។

១. ប៉ារ៉ាបូលឈរ

ប៉ារ៉ាបូលឈរមានតួ \(x^2\)។ យើងត្រូវបំពេញការ៉េលើតួ \(x\) ដូចខាងក្រោម៖

\[\begin{aligned} Ax^2 + Dx &= -(Ey + F) \\ A\left(x^2 + \frac{D}{A}x\right) &= -E\left(y + \frac{F}{E}\right) \\ \left(x - h\right)^2 &= 4p\left(y - k\right) \end{aligned}\]

២. ប៉ារ៉ាបូលដេក

ប៉ារ៉ាបូលដេកមានតួ \(y^2\)។ យើងត្រូវបំពេញការ៉េលើតួ \(y\) ដូចខាងក្រោម៖

\[\begin{aligned} Cy^2 + Ey &= -(Dx + F) \\ C\left(y^2 + \frac{E}{C}y\right) &= -D\left(x + \frac{F}{D}\right) \\ \left(y - k\right)^2 &= 4p\left(x - h\right) \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍

បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល \(x^2 - 4x - 8y + 12 = 0\) ទៅជាសមីការស្តង់ដា រួចកំណត់កូអរដោនេកំពូល និងកំណុំ។

ចម្លើយ

សមីការដែលឱ្យ៖ \(x^2 - 4x - 8y + 12 = 0\)

  • រក្សាទុកតួដែលមានអថេរ \(x\) នៅអង្គខាងឆ្វេង ហើយផ្ទេរតួផ្សេងទៀតទៅអង្គខាងស្តាំ៖

    \[x^2 - 4x = 8y - 12\]

  • បំពេញការ៉េអង្គខាងឆ្វេង ដោយបន្ថែម \(\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4\) ទៅអង្គទាំងសងខាង៖

    \[x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4 \iff (x - 2)^2 = 8y - 8\]

  • ដាក់មេគុណ \(8\) ជាកត្តារួមនៅអង្គខាងស្តាំ៖

    \[(x - 2)^2 = 8(y - 1)\]

  • នេះជាសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលឈរ \((x-h)^2 = 4p(y-k)\) ដែលមាន៖

    • កំពូល៖ \(V(h, k) = V(2, 1)\)

    • \(4p = 8 \implies p = 2\) នាំឱ្យកំណុំ \(F(h, k+p) = F(2, 1+2) = F(2, 3)\)

ប្រតិបត្តិ

បំប្លែងសមីការខាងក្រោមជាសមីការស្តង់ដារ៖

  1. \(x^2 - 2x - 3y - 8 = 0\)

  2. \(9y^2 - 36y - 2x + 24 = 0\)

  3. \(4x - y^2 - 2y - 33 = 0\)

  4. \(x^2 + 4x + 4y - 4 = 0\)

  5. \(y^2 - 4x + 4y + 24 = 0\)

  6. \(y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}\)

ចម្លើយខ្លី

  1. \((x - 1)^2 = 3(y + 3)\)

  2. \((y - 2)^2 = \dfrac{2}{9}(x + 6)\)

  3. \((y + 1)^2 = 4(x - 8)\)

  4. \((x + 2)^2 = -4(y - 2)\)

  5. \((y + 2)^2 = 4(x - 5)\)

  6. \((x + 1)^2 = -2(y - 1)\)

ឧទាហរណ៍

រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូលដែលមាន អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ ហើយក្រាបកាត់តាមបីចំណុច \((2,1)\), \((5,-5)\) និង \((10,5)\)។

ដោយអ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ (\(Oy\)) នោះសមីការទូទៅមានទម្រង់៖ \(x^2 + Dx + Ey + F = 0\) (\(E \neq 0\))។

ជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងបី \((2,1)\), \((5,-5)\) និង \((10,5)\) ចូលក្នុងសមីការ៖

\[\begin{cases} 2^2 + 2D + E + F = 0 \iff 2D + E + F = -4 &(1) \\ 5^2 + 5D - 5E + F = 0 \iff 5D - 5E + F = -25 &(2) \\ 10^2 + 10D + 5E + F = 0 \iff 10D + 5E + F = -100 &(3) \end{cases}\]

  • យក \((2) - (1) \implies 3D - 6E = -21 \iff D - 2E = -7 \quad{} (4)\)

  • យក \((3) - (2) \implies 5D + 10E = -75 \iff D + 2E = -15 \quad{} (5)\)

  • បូក \((4)\) និង \((5)\) អង្គនិងអង្គ៖ \(2D = -22 \implies D = -11\)

  • ជំនួស \(D = -11\) ចូល \((5)\) បាន \(E = -2\) រួចជំនួសចូល \((1)\) បាន \(F = 20\)

ដូចនេះ សមីការទូទៅគឺ៖ \(\mathbf{x^2 - 11x - 2y + 20 = 0}\) និងស្តង់ដារ៖ \(\left(x - \dfrac{11}{2}\right)^2 = 2\left(y + \dfrac{41}{8}\right)\)។

ឧទាហរណ៍

រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូលដែលមាន អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយក្រាបកាត់តាមបីចំណុច \((0,0)\), \((-3,-6)\) និង \((-8,4)\)។

ដោយអ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស (\(Ox\)) នោះសមីការទូទៅមានទម្រង់៖ \(y^2 + Dx + Ey + F = 0\) (\(D \neq 0\))។

ជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងបី \((0,0)\), \((-3,-6)\) និង \((-8,4)\) ចូលក្នុងសមីការ៖

\[\begin{cases} 0^2 + 0D + 0E + F = 0 \implies F = 0 &(1) \\ (-6)^2 - 3D - 6E + F = 0 \iff 36 - 3D - 6E = 0 \iff D + 2E = 12 &(2) \\ 4^2 - 8D + 4E + F = 0 \iff 16 - 8D + 4E = 0 \iff 2D - E = 4 &(3) \end{cases}\]

  • ពីសមីការ \((3)\) បាន \(E = 2D - 4\) ជំនួសចូល \((2)\)៖ \(D + 2(2D - 4) = 12 \implies D = 4\)

  • រកបាន \(E = 2(4) - 4 = 4\) និង \(F = 0\)

ដូចនេះ សមីការទូទៅគឺ៖ \(\mathbf{y^2 + 4x + 4y = 0}\) និងស្តង់ដារ៖ \((y + 2)^2 = -4(x - 1)\)។

ឧទាហរណ៍

គេមានសមីការប៉ារ៉ាបូល \(y^2+8y-8x = 0\) ។

  1. បំប្លែងសមីការប៉ារ៉ាបូលខាងលើទៅជាទម្រង់ស្តង់ដា។

  2. រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល។

  3. រួចសង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូលនោះ។

ចម្លើយ

  1. បំប្លែងសមីការប៉ារ៉ាបូលទៅជាទម្រង់ស្តង់ដា៖

    \[y^2 + 8y - 8x = 0 \iff y^2 + 8y + 16 = 8x + 16 \iff (y + 4)^2 = 8(x + 2)\]

  2. រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖

    នេះជាសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដេក \((y - k)^2 = 4p(x - h)\) ដែលមាន \(h = -2, \; k = -4\)។

    ដោយ \(4p = 8 \implies p = 2 > 0\) នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលបែរភាពប៉ោងទៅទិសខាងស្តាំ៖

    • កំពូល៖ \(V(h, k) = V(-2, -4)\) កំណុំ៖ \(F(h + p, k) = F(0, -4)\)

    • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖ \(\Delta: x = -4\) អ័ក្សឆ្លុះ៖ \(y = -4\)

  3. សង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូល៖

ចំណុចប្រសព្វអ័ក្សកូអរដោនេ៖

  • ចំពោះ \(y = 0 \implies x = 0\) (កាត់គល់ \(O\))

  • ចំពោះ \(x = 0 \implies y = 0\) ឬ \(y = -8\)

\(x\) \(6\) \(0\) \(-2\) \(0\) \(6\)
\(y\) \(-12\) \(-8\) \(-4\) \(0\) \(4\)

ឧទាហរណ៍

ចូរកំណត់កូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូលខាងក្រោម រួចសង់ក្រាប៖

  1. \((y-2)^2 = 4(x+1)\)

  2. \((y+3)^2 = -8(x-4)\)

ក. សមីការ \((y-2)^2 = 4(x+1)\)៖

  • ទម្រង់ស្តង់ដា \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ដែល \(h=-1, k=2\)

  • \(4p = 4 \implies p = 1 > 0\) (បែរទៅស្តាំ)

  • កំពូល \(V(h,k) = V(-1, 2)\)

  • កំណុំ \(F(h+p,k) = F(0, 2)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: x = -2\), អ័ក្សឆ្លុះ \(y=2\)

  • ចំណុចប្រសព្វ \(Oy\) (\(x=0\)): \((0,0)\) និង \((0,4)\)

ខ. សមីការ \((y+3)^2 = -8(x-4)\)៖

  • ទម្រង់ស្តង់ដា \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ដែល \(h=4, k=-3\)

  • \(4p = -8 \implies p = -2 < 0\) (បែរទៅឆ្វេង)

  • កំពូល \(V(h,k) = V(4, -3)\)

  • កំណុំ \(F(h+p,k) = F(2, -3)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: x = 6\), អ័ក្សឆ្លុះ \(y=-3\)

  • ចុង Latus Rectum (\(x=2\)): \((2,1)\) និង \((2,-7)\)

ឧទាហរណ៍

គេមានប៉ារ៉ាបូលមួយមានកំពូលត្រង់គល់តម្រុយ និងកំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សអរដោនេ។

  1. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល បើក្រាបវាកាត់តាមចំណុច \(A(4, 12)\)។

  2. រកតម្លៃនៃ \(y_1\) បើ \(B(3,y_1)\) ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល រួចសង់ក្រាប។

  1. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល៖

    ដោយកំពូលនៅគល់តម្រុយ \(O(0,0)\) និងកំណុំនៅលើអ័ក្សអរដោនេ (\(Oy\)) នោះសមីការមានទម្រង់៖

    \[x^2 = 4py\]

    ដោយក្រាបកាត់តាមចំណុច \(A(4, 12)\) ជំនួស \(x = 4, y = 12\) ចូល៖

    \[4^2 = 4p(12) \iff 16 = 48p \implies p = \frac{1}{3} \implies 4p = \frac{4}{3}\]
    ដូចនេះ សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលគឺ៖ \(\mathbf{x^2 = \dfrac{4}{3}y}\) (ឬ \(y = \dfrac{3}{4}x^2\))។

  2. រកតម្លៃនៃ \(y_1\)៖

    ដោយចំណុច \(B(3, y_1)\) ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល ជំនួស \(x = 3, y = y_1\) ចូល៖

    \[3^2 = \frac{4}{3}y_1 \iff 9 = \frac{4}{3}y_1 \implies \mathbf{y_1 = \frac{27}{4} = 6.75}\]
    ដូចនេះ ចំណុចនោះគឺ \(B\left(3, \dfrac{27}{4}\right)\)។

ឧទាហរណ៍

គេមានប៉ារ៉ាបូលមួយមានកំពូលនៅត្រង់ចំណុច \((0,0)\) និងកំណុំ \(F\) ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអរដោនេ។

  1. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលនេះ បើគេដឹងថាវាកាត់តាមចំណុច \(A(2,6)\)។

  2. រកតម្លៃ \(x_1\) បើ \(B\left(x_1,\dfrac{3}{2}\right)\) ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូលនេះ រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនោះ។

  1. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល៖

    សមីការមានទម្រង់៖ \(x^2 = 4py\) (\(Oy\) ជាអ័ក្សឆ្លុះ)។

    ក្រាបកាត់តាម \(A(2,6) \implies 2^2 = 4p(6) \implies p = \dfrac{1}{6} \implies 4p = \dfrac{2}{3}\)។

    ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ៖ \(\mathbf{x^2 = \dfrac{2}{3}y}\) (ឬ \(y = \dfrac{3}{2}x^2\))។

  2. រកតម្លៃ \(x_1\) និងសង់ក្រាប៖

    ជំនួស \(y = \dfrac{3}{2} \implies x_1^2 = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{3}{2}\right) = 1 \implies \mathbf{x_1 = \pm 1}\)។

    បានពីរចំណុចគឺ៖ \(B_1\left(1, \dfrac{3}{2}\right)\) និង \(B_2\left(-1, \dfrac{3}{2}\right)\)។

    • កំពូល៖ \(O(0,0)\)

    • កំណុំ៖ \(F\left(0, \dfrac{1}{6}\right)\)

    • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖ \(\Delta: y = -\dfrac{1}{6}\)

ឧទាហរណ៍

គេមានប៉ារ៉ាបូលមួយមានកំពូលនៅត្រង់ចំណុច \((0,0)\) និងកំណុំ \(F\) ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

  1. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលនេះ បើគេដឹងថាវាកាត់តាមចំណុច \(A\left(\dfrac{3}{2},-3\right)\)។

  2. រកកូអរដោនេកំណុំ សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនោះ។

  1. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល៖

    សមីការមានទម្រង់៖ \(y^2 = 4px\) (\(Ox\) ជាអ័ក្សឆ្លុះ)។

    ក្រាបកាត់តាម \(A\left(\dfrac{3}{2},-3\right) \implies (-3)^2 = 4p\left(\dfrac{3}{2}\right) \implies 9 = 6p \implies p = \dfrac{3}{2}\)។

    នាំឱ្យ \(4p = 4\left(\dfrac{3}{2}\right) = 6\)។

    ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ៖ \(\mathbf{y^2 = 6x}\)។

  2. កំណុំ បន្ទាត់ប្រាប់ទិស និងសង់ក្រាប៖

    ដោយ \(p = \dfrac{3}{2} > 0\) ប៉ារ៉ាបូលបែរភាពប៉ោងទៅខាងស្តាំ៖

    • កំពូល៖ \(O(0,0)\) កំណុំ៖ \(F\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\)

    • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖ \(\Delta: x = -\dfrac{3}{2}\)

    • ចំណុចកាត់៖ \(A\left(\dfrac{3}{2},-3\right)\) និង \(A'\left(\dfrac{3}{2},3\right)\)

ឧទាហរណ៍

ប៉ារ៉ាបូលមួយមានកំពូលនៅគល់តម្រុយ \(O(0,0)\) និងកំណុំ \(F\) ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

  1. រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូលនេះ បើវាកាត់តាមចំណុច \(A(2,4)\)។

  2. រកតម្លៃ \(x_1\) បើចំណុច \(B(x_1, -8)\) ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូលនេះ រួចសង់ក្រាប។

  1. រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូល៖

    ដោយកំពូលនៅ \(O(0,0)\) និងកំណុំលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស (\(Ox\)) នោះសមីការមានទម្រង់៖

    \[y^2 = 4px\]

    ក្រាបកាត់តាម \(A(2,4) \implies 4^2 = 4p(2) \iff 16 = 8p \implies p = 2\) នាំឱ្យ \(4p = 8\)។

    ដូចនេះ សមីការនៃប៉ារ៉ាបូលគឺ៖ \(\mathbf{y^2 = 8x}\)។

  2. រកតម្លៃ \(x_1\) និងសង់ក្រាប៖

    ដោយចំណុច \(B(x_1, -8)\) ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល ជំនួស \(x = x_1, y = -8\) ចូល៖

    \[(-8)^2 = 8x_1 \iff 64 = 8x_1 \implies \mathbf{x_1 = 8}\]

    ដូចនេះ ចំណុចនោះគឺ \(B(8, -8)\) និងចំណុចឆ្លុះ \(B'(8, 8)\)។

    • កំពូល៖ \(O(0,0)\) កំណុំ៖ \(F(2,0)\)

    • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស៖ \(\Delta: x = -2\)

ឧទាហរណ៍

រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល ក្នុងករណីនីមួយៗដូចខាងក្រោម៖

  1. កំពូល \(V(0,0)\) និង កំណុំ \(F\left(0, -\dfrac{3}{2}\right)\)

  2. កំណុំ \(F(2,0)\) និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិសមានសមីការ \(x = -2\)

  3. កំពូល \(V(4,1)\) និង កំណុំ \(F(2,1)\)

  4. កំណុំ \(F(2,5)\) និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិសមានសមីការ \(y = 3\)

  5. កំពូល \(V(-1,1)\) អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ ហើយក្រាបកាត់តាមចំណុច \((1,0)\)

  6. អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយក្រាបកាត់តាមបីចំណុច \((4,2), (0,0), (3,-3)\)

  1. កំពូល \(V(0,0)\) និង \(F\left(0, -\frac{3}{2}\right) \in Oy \implies\) សមីការមានទម្រង់ \(x^2 = 4py\)។

    ដោយ \(p = -\frac{3}{2} \implies 4p = -6\)។

    ដូចនេះ សមីការគឺ៖ \(\mathbf{x^2 = -6y}\)។

  2. កំណុំ \(F(2,0)\) និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(x = -2\)៖

    កំពូលជាចំណុចកណ្ដាល \(V(0,0)\) និង \(p = 2 > 0\)។

    សមីការមានទម្រង់ \(y^2 = 4px\) នាំឱ្យ \(\mathbf{y^2 = 8x}\)។

  3. កំពូល \(V(4,1)\) និង \(F(2,1)\)៖

    មានអ័ក្សឆ្លុះដេក \(y = 1\) (\(h=4, k=1\))។

    \(p = x_F - h = 2 - 4 = -2\) នាំឱ្យ \(4p = -8\)។

    សមីការ៖ \(\mathbf{(y-1)^2 = -8(x-4)}\)។

  4. កំណុំ \(F(2,5)\) និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(y = 3\)៖

    ប៉ារ៉ាបូលឈរ (អ័ក្សឆ្លុះ \(x = 2\))។ កំពូល \(V(2, k)\) ដែល \(k = \frac{5+3}{2} = 4\)។

    \(p = y_F - k = 5 - 4 = 1\) នាំឱ្យ \(4p = 4\)។

    សមីការ៖ \(\mathbf{(x-2)^2 = 4(y-4)}\)។

  5. កំពូល \(V(-1,1)\) អ័ក្សឆ្លុះស្រប \(Oy\)៖

    សមីការ៖ \((x+1)^2 = 4p(y-1)\)។

    កាត់តាម \((1,0) \implies (1+1)^2 = 4p(0-1)\) \(\implies 4 = -4p \implies 4p = -4\)។

    សមីការ៖ \(\mathbf{(x+1)^2 = -4(y-1)}\)។

  6. អ័ក្សឆ្លុះស្រប \(Ox \implies y^2+Dx+Ey+F=0\)៖

    កាត់ \((0,0) \implies F = 0\)។

    កាត់ \((4,2) \implies 4+4D+2E = 0 \iff 2D+E=-2\) (1)

    កាត់ \((3,-3) \implies 9+3D-3E = 0 \iff D-E=-3\) (2)

    ពី (1) និង (2) បាន \(D = -\frac{5}{3}, E = \frac{4}{3}\)។

    សមីការទូទៅ៖ \(\mathbf{3y^2 - 5x + 4y = 0}\)

    ស្តង់ដា៖ \(\mathbf{\left(y + \frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{3}\left(x + \frac{4}{15}\right)}\)។

ឧទាហរណ៍

ចូរកំណត់កូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូលខាងក្រោម រួចសង់ក្រាប៖

  1. \((y+2)^2 = -8(x-2)\)

  2. \(y^2+4y-8x-4=0\)

ក. សមីការ \((y+2)^2 = -8(x-2)\)៖

  • ទម្រង់ \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ដែល \(h=2, k=-2\)

  • \(4p = -8 \implies p = -2 < 0\) (បែរទៅឆ្វេង)

  • កំពូល \(V(h,k) = V(2, -2)\)

  • កំណុំ \(F(h+p,k) = F(0, -2)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: x = 4\), អ័ក្សឆ្លុះ \(y=-2\)

  • កាត់អ័ក្ស \(Oy\) (\(x=0\)): \((0,2)\) និង \((0,-6)\)

ខ. សមីការ \(y^2+4y-8x-4=0\)៖

  • \(y^2+4y+4 = 8x+8 \iff (y+2)^2 = 8(x+1)\)

  • មាន \(h=-1, k=-2\), \(4p = 8 \implies p = 2 > 0\)

  • កំពូល \(V(h,k) = V(-1, -2)\)

  • កំណុំ \(F(h+p,k) = F(1, -2)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: x = -3\), អ័ក្សឆ្លុះ \(y=-2\)

  • ចុង Latus Rectum (\(x=1\)): \((1,2)\) និង \((1,-6)\)

ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត

មេរៀនទី ១ ៖ ប៉ារ៉ាបូល

តារាងចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ 100) — មេរៀនទី ១ ៖ ប៉ារ៉ាបូល

ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ
១ គ ២១ ក ៤១ គ ៦១ ឃ ៨១ ក
២ គ ២២ ខ ៤២ គ ៦២ ក ៨២ ឃ
៣ ខ ២៣ ខ ៤៣ ក ៦៣ ខ ៨៣ គ
៤ ក ២៤ ឃ ៤៤ ខ ៦៤ ឃ ៨៤ គ
៥ ក ២៥ ក ៤៥ ឃ ៦៥ ខ ៨៥ ឃ
៦ ឃ ២៦ គ ៤៦ ខ ៦៦ ឃ ៨៦ ខ
៧ គ ២៧ ខ ៤៧ គ ៦៧ ក ៨៧ គ
៨ ក ២៨ ឃ ៤៨ ខ ៦៨ ខ ៨៨ ខ
៩ គ ២៩ គ ៤៩ ក ៦៩ ខ ៨៩ ក
១០ គ ៣០ គ ៥០ ក ៧០ ក ៩០ ក
១១ ក ៣១ ឃ ៥១ ខ ៧១ គ ៩១ គ
១២ ខ ៣២ ខ ៥២ ខ ៧២ គ ៩២ ក
១៣ គ ៣៣ ក ៥៣ ឃ ៧៣ ឃ ៩៣ ក
១៤ ខ ៣៤ ក ៥៤ ឃ ៧៤ ខ ៩៤ ខ
១៥ ក ៣៥ ឃ ៥៥ ខ ៧៥ ឃ ៩៥ ឃ
១៦ ឃ ៣៦ គ ៥៦ ឃ ៧៦ ខ ៩៦ ក
១៧ ក ៣៧ ក ៥៧ ឃ ៧៧ គ ៩៧ ក
១៨ ខ ៣៨ ខ ៥៨ គ ៧៨ ឃ ៩៨ ឃ
១៩ ឃ ៣៩ គ ៥៩ គ ៧៩ គ ៩៩ ខ
២០ គ ៤០ ក ៦០ ឃ ៨០ ឃ ១០០ ឃ

ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

លំហាត់ទី ១

រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូលខាងក្រោម រួចសង់ក្រាបតាងប៉ារ៉ាបូលនេះ ៖

ក \(y = \frac{1}{4}(x^2 - 2x + 5)\)

ខ \(x^2 + 4x + 4y - 4 = 0\)

គ \(2x^2 + 4x - 8y + 20 = 0\)

ឃ \(y^2 + 6y + 8x + 25 = 0\)

ង \(y^2 + 4y + 8x - 12 = 0\)

ច \(4y^2 + 8y - 3x + 10 = 0\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(y = \frac{1}{4}(x^2 - 2x + 5)\)

\(\begin{aligned}[t] 4y &= x^2 - 2x + 5 \\ 4y - 4 &= x^2 - 2x + 1 \\ (x - 1)^2 &= 4(y - 1) \end{aligned}\)

សមីការស្តង់ដា \((x-h)^2 = 4p(y-k)\) ៖ \(\begin{cases} h = 1,\; k = 1 \\ 4p = 4 \implies p = 1 > 0 \end{cases}\)

ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះឈរ \(x = 1\) បើកឡើងលើ ៖

  • កំពូល \(V(1, 1)\)

  • កំណុំ \(F(1, 1 + 1) = F(1, 2)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: y = 1 - 1 \implies y = 0\)

ដូចនេះ \(\boxed{V(1, 1),\; F(1, 2),\; \Delta: y = 0}\)

ខ \(x^2 + 4x + 4y - 4 = 0\)

\(\begin{aligned}[t] x^2 + 4x + 4 &= -4y + 4 + 4 \\ (x + 2)^2 &= -4(y - 2) \end{aligned}\)

សមីការស្តង់ដា \((x-h)^2 = 4p(y-k)\) ៖ \(\begin{cases} h = -2,\; k = 2 \\ 4p = -4 \implies p = -1 < 0 \end{cases}\)

ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះឈរ \(x = -2\) បើកចុះក្រោម ៖

  • កំពូល \(V(-2, 2)\)

  • កំណុំ \(F(-2, 2 - 1) = F(-2, 1)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: y = 2 - (-1) \implies y = 3\)

ដូចនេះ \(\boxed{V(-2, 2),\; F(-2, 1),\; \Delta: y = 3}\)

គ \(2x^2 + 4x - 8y + 20 = 0\)

\(\begin{aligned}[t] 2(x^2 + 2x + 1) &= 8y - 20 + 2 \\ 2(x + 1)^2 &= 8y - 18 \\ (x + 1)^2 &= 4\left(y - \frac{9}{4}\right) \end{aligned}\)

សមីការស្តង់ដាមាន \(h = -1, k = \frac{9}{4}, p = 1 > 0\) ៖ អ័ក្សឆ្លុះឈរ \(x = -1\) បើកឡើងលើ ៖

  • កំពូល \(V\left(-1, \frac{9}{4}\right)\)

  • កំណុំ \(F\left(-1, \frac{9}{4} + 1\right) = F\left(-1, \frac{13}{4}\right)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: y = \frac{9}{4} - 1 \implies y = \frac{5}{4}\)

ដូចនេះ \(\boxed{V\left(-1, \frac{9}{4}\right),\; F\left(-1, \frac{13}{4}\right),\; \Delta: y = \frac{5}{4}}\)

ឃ \(y^2 + 6y + 8x + 25 = 0\)

\(\begin{aligned}[t] y^2 + 6y + 9 &= -8x - 25 + 9 \\ (y + 3)^2 &= -8(x + 2) \end{aligned}\)

សមីការស្តង់ដា \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ៖ \(\begin{cases} h = -2,\; k = -3 \\ 4p = -8 \implies p = -2 < 0 \end{cases}\)

ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះដេក \(y = -3\) បើកទៅឆ្វេង ៖

  • កំពូល \(V(-2, -3)\)

  • កំណុំ \(F(-2 - 2, -3) = F(-4, -3)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: x = -2 - (-2) \implies x = 0\)

ដូចនេះ \(\boxed{V(-2, -3),\; F(-4, -3),\; \Delta: x = 0}\)

ង \(y^2 + 4y + 8x - 12 = 0\)

\(\begin{aligned}[t] y^2 + 4y + 4 &= -8x + 12 + 4 \\ (y + 2)^2 &= -8(x - 2) \end{aligned}\)

សមីការស្តង់ដា \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ៖ \(\begin{cases} h = 2,\; k = -2 \\ 4p = -8 \implies p = -2 < 0 \end{cases}\)

ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះដេក \(y = -2\) បើកទៅឆ្វេង ៖

  • កំពូល \(V(2, -2)\)

  • កំណុំ \(F(2 - 2, -2) = F(0, -2)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: x = 2 - (-2) \implies x = 4\)

ដូចនេះ \(\boxed{V(2, -2),\; F(0, -2),\; \Delta: x = 4}\)

ច \(4y^2 + 8y - 3x + 10 = 0\)

\(\begin{aligned}[t] 4(y^2 + 2y + 1) &= 3x - 10 + 4 \\ 4(y + 1)^2 &= 3(x - 2) \\ (y + 1)^2 &= \frac{3}{4}(x - 2) \end{aligned}\)

សមីការស្តង់ដា \((y-k)^2 = 4p(x-h)\) ៖ \(\begin{cases} h = 2,\; k = -1 \\ 4p = \frac{3}{4} \implies p = \frac{3}{16} > 0 \end{cases}\)

ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះដេក \(y = -1\) បើកទៅស្តាំ ៖

  • កំពូល \(V(2, -1)\)

  • កំណុំ \(F\left(2 + \frac{3}{16}, -1\right) = F\left(\frac{35}{16}, -1\right)\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(\Delta: x = 2 - \frac{3}{16} \implies x = \frac{29}{16}\)

ដូចនេះ \(\boxed{V(2, -1),\; F\left(\frac{35}{16}, -1\right),\; \Delta: x = \frac{29}{16}}\)

លំហាត់ទី ២

រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម ៖

ក កំពូល \(V(0,0)\) និងកំណុំ \(F(2,0)\)

ខ កំពូល \(V(3,2)\) និងកំណុំ \(F(1,2)\)

គ កំពូល \(V(0,-4)\) និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(y - 2 = 0\)

ឃ កំពូល \(V(-2,1)\) និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(x - 1 = 0\)

ង កំណុំ \(F(2,1)\) និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(x = -2\)

ដំណោះស្រាយ

ក \(V(0,0)\) និង \(F(2,0)\)

  • អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក \(y = 0\) កាត់តាម \(V\) និង \(F\)។

  • \(p = x_F - x_V = 2 - 0 = 2 > 0\) (បើកទៅស្តាំ)។

  • សមីការទម្រង់ \(y^2 = 4px\) ៖

    \[y^2 = 4(2)x \iff y^2 = 8x\]

ដូចនេះ \(\boxed{y^2 = 8x}\)

ខ \(V(3,2)\) និង \(F(1,2)\)

  • អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក \(y = 2\)។

  • \(p = x_F - x_V = 1 - 3 = -2 < 0\) (បើកទៅឆ្វេង)។

  • សមីការ \((y - k)^2 = 4p(x - h)\) ៖

    \[(y - 2)^2 = 4(-2)(x - 3)\]
    \[\iff (y - 2)^2 = -8(x - 3)\]

ដូចនេះ \(\boxed{(y - 2)^2 = -8(x - 3)}\)

គ \(V(0,-4)\) និង \(\Delta: y - 2 = 0 \iff y = 2\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ដេក \(\implies\) អ័ក្សឆ្លុះឈរ \(x = 0\)។

  • \(y = k - p \implies 2 = -4 - p \implies p = -6 < 0\) (បើកចុះក្រោម)។

  • សមីការ \((x - h)^2 = 4p(y - k)\) ៖

    \[x^2 = 4(-6)(y - (-4)) \iff x^2 = -24(y + 4)\]

ដូចនេះ \(\boxed{x^2 = -24(y + 4)}\)

ឃ \(V(-2,1)\) និង \(\Delta: x - 1 = 0 \iff x = 1\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរ \(\implies\) អ័ក្សឆ្លុះដេក \(y = 1\)។

  • \(x = h - p \implies 1 = -2 - p \implies p = -3 < 0\) (បើកទៅឆ្វេង)។

  • សមីការ \((y - k)^2 = 4p(x - h)\) ៖

    \[(y - 1)^2 = 4(-3)(x - (-2))\]
    \[\iff (y - 1)^2 = -12(x + 2)\]

ដូចនេះ \(\boxed{(y - 1)^2 = -12(x + 2)}\)

ង \(F(2,1)\) និង \(\Delta: x = -2\)

  • បន្ទាត់ប្រាប់ទិសឈរ \(\implies\) អ័ក្សឆ្លុះដេក \(y = 1\)។

  • កំពូល \(V(h, k)\) ជាចំណុចកណ្តាលរវាង \(F\) និង \(\Delta\) ៖ \(h = \frac{2 + (-2)}{2} = 0, \; k = 1 \implies V(0, 1)\)

  • \(p = x_F - h = 2 - 0 = 2 > 0\) (បើកទៅស្តាំ)។

  • សមីការ \((y - 1)^2 = 4(2)(x - 0) \iff (y - 1)^2 = 8x\)

ដូចនេះ \(\boxed{(y - 1)^2 = 8x}\)

លំហាត់ទី ៣

រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងក្រាបនៃប៉ារ៉ាបូល \(y^2=2x\) ដែលកាត់តាមចំណុច \((-4,1)\)។

ដំណោះស្រាយ

តាងបន្ទាត់ប៉ះកាត់តាមចំណុច \((-4, 1)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m\) ៖

\[y - 1 = m(x + 4) \iff x = \frac{y - 1}{m} - 4 \quad{} (m \neq 0)\]
ជំនួស \(x\) ចូលក្នុងសមីការប៉ារ៉ាបូល \(y^2 = 2x\) ៖
\[y^2 = 2\left(\frac{y - 1}{m} - 4\right) \iff m y^2 - 2y + (8m + 2) = 0\]
ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ប៉ះក្រាបប៉ារ៉ាបូល លុះត្រាតែសមីការមានឫសឌុប (\(\Delta' = 0\)) ៖
\[\Delta' = (-1)^2 - m(8m + 2) = 1 - 8m^2 - 2m = 0 \iff 8m^2 + 2m - 1 = 0\]
ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖
\[(4m - 1)(2m + 1) = 0 \implies m_1 = \frac{1}{4}, \quad{} m_2 = -\frac{1}{2}\]

  • ចំពោះ \(m = \frac{1}{4}\) ៖ \(y - 1 = \frac{1}{4}(x + 4) \iff x - 4y + 8 = 0\)

  • ចំពោះ \(m = -\frac{1}{2}\) ៖ \(y - 1 = -\frac{1}{2}(x + 4) \iff x + 2y + 2 = 0\)

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់ប៉ះទាំងពីរគឺ ៖ \(\boxed{x - 4y + 8 = 0}\) និង \(\boxed{x + 2y + 2 = 0}\)

លំហាត់ទី ៤

តាង \(m\) និង \(b\) ជាចំនួនពិតពីរខុសពីសូន្យ។ បើបន្ទាត់ \(y=mx+b\) ប៉ះប៉ារ៉ាបូល \(y^2=4px\) ត្រង់ចំណុចមួយ។ បង្ហាញថា បន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងប៉ារ៉ាបូល \(y^2 = 4px\) ត្រង់ចំណុច \(P(x_1,y_1)\) មានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើនឹង \(\frac{y_1}{2x_1}\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយចំណុច \(P(x_1, y_1)\) ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល \(y^2 = 4px\) នាំឱ្យសមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖

\[y_1^2 = 4px_1 \implies 2p = \frac{y_1^2}{2x_1}\]
យកដេរីវេធៀបនឹង \(x\) លើអង្គទាំងសងខាងនៃសមីការ \(y^2 = 4px\) ៖
\[2y \cdot y' = 4p \implies y' = \frac{4p}{2y} = \frac{2p}{y}\]
មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុច \(P(x_1, y_1)\) គឺតម្លៃដេរីវេត្រង់ \(x_1\) ៖
\[m = y'(x_1) = \frac{2p}{y_1}\]
ជំនួស \(2p = \frac{y_1^2}{2x_1}\) ចូលក្នុងកន្សោម \(m\) ៖
\[m = \frac{\frac{y_1^2}{2x_1}}{y_1} = \frac{y_1}{2x_1}\]
ដូចនេះ បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុច \(P(x_1, y_1)\) មានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើនឹង \(\boxed{m = \frac{y_1}{2x_1}}\) (ត្រូវបានស្រាយបំភ្លឺ)។

លំហាត់ទី ៥

រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូលដែលមាន អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ និងក្រាបកាត់តាមចំណុច \((2,5)\), \((-2,-3)\) និង \((1,6)\)។

ដំណោះស្រាយ

ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ (\(y\)) មានសមីការទូទៅ ៖

\[y = ax^2 + bx + c \quad{} (a \neq 0)\]
ដោយក្រាបកាត់តាមចំណុចទាំងបី យើងជំនួសកូអរដោនេចូល ៖
\[\begin{aligned} (2, 5) &: 4a + 2b + c = 5 \\ (-2, -3) &: 4a - 2b + c = -3 \\ (1, 6) &: a + b + c = 6 \end{aligned}\]
ដកសមីការទីមួយ និងទីពីរ ៖ \(4b = 8 \implies b = 2\)។
ជំនួស \(b = 2\) ចូល ៖
\[\begin{cases} 4a + c = 5 - 2(2) = 1 \\ a + c = 6 - 2 = 4 \end{cases} \implies 3a = -3 \implies a = -1, \quad{} c = 5\]
សមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ ៖ \(y = -x^2 + 2x + 5 \iff y = -(x-1)^2 + 6 \iff (x - 1)^2 = -(y - 6)\)។
ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ \(\boxed{(x - 1)^2 = -(y - 6)}\) (ឬ \(y = -x^2 + 2x + 5\))

លំហាត់ទី ៦

រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូលដែលមាន អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក និងក្រាបកាត់តាមចំណុច \((-1,1)\), \((11,-2)\) និង \((5,-1)\)។

ដំណោះស្រាយ

ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក មានសមីការទូទៅ ៖

\[x = ay^2 + by + c \quad{} (a \neq 0)\]
ជំនួសចំណុចទាំងបីចូល ៖
\[\begin{aligned} (-1, 1) &: a + b + c = -1 \\ (11, -2) &: 4a - 2b + c = 11 \\ (5, -1) &: a - b + c = 5 \end{aligned}\]
ដកសមីការទីមួយ និងទីបី ៖ \(2b = -6 \implies b = -3\)។
ជំនួស \(b = -3\) ចូល ៖
\[\begin{cases} a + c = -1 - (-3) = 2 \\ 4a + c = 11 + 2(-3) = 5 \end{cases} \implies 3a = 3 \implies a = 1, \quad{} c = 1\]
សមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ ៖ \(x = y^2 - 3y + 1 \iff x + \frac{5}{4} = \left(y - \frac{3}{2}\right)^2\)។
ដូចនេះ សមីការស្តង់ដាគឺ \(\boxed{\left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = x + \frac{5}{4}}\) (ឬ \(x = y^2 - 3y + 1\))

លំហាត់ទី ៧

ក្រុមហ៊ុនទូរគមនាគមន៍មួយបានរចនា ចានផ្កាយរណប (Satellite Dish) រាងប៉ារ៉ាបូល ដែលមានទទឹងសរុប \(W = 2.4\text{ m}\) និងជម្រៅ \(D = 0.45\text{ m}\) នៅចំកណ្តាល។

ក កំណត់សមីការស្តង់ដារនៃប៉ារ៉ាបូលនេះ (កំពូល \(V(0,0)\))។

ខ គណនាចម្ងាយ \(p\) (ចម្ងាយរវាងកំពូលនិងកំណុំ)។

គ តើឧបករណ៍ចាប់សញ្ញាត្រូវដាក់នៅចម្ងាយប៉ុន្មានម៉ែត្រពីបាតចាន?

ដំណោះស្រាយ

ក កំណត់សមីការស្តង់ដារ ៖
ចាត់ទុកកំពូល \(V\) ស្ថិតនៅ \((0, 0)\) និងអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ (\(y\)) បើកឡើងលើ ៖

\[x^2 = 4py\]
ទទឹងសរុប \(W = 2.4\text{ m} \implies\) ពាក់កណ្តាលទទឹង \(x = 1.2\text{ m}\)។
គែមចានមានកូអរដោនេ \((1.2, 0.45)\) ៖
\[(1.2)^2 = 4p(0.45) \implies 1.44 = 1.8p\]
\[\implies p = 0.8\text{ m}\]
សមីការស្តង់ដាគឺ ៖ \(x^2 = 4(0.8)y \iff x^2 = 3.2y\)។
ដូចនេះ \(\boxed{x^2 = 3.2y}\)

ខ គណនាចម្ងាយ \(p\) ៖
តាមការគណនាខាងលើ ៖

\[p = \frac{1.44}{1.8} = 0.8\text{ m}\]
ដូចនេះ \(\boxed{p = 0.8\text{ m}}\)

គ ទីតាំងឧបករណ៍ចាប់សញ្ញា ៖
ដើម្បីទទួលបានសញ្ញាខ្លាំងបំផុត ឧបករណ៍ចាប់សញ្ញាត្រូវដាក់នៅចំកំណុំ \(F(0, p) = F(0, 0.8\text{m})\)។
ដូចនេះ ឧបករណ៍ត្រូវដាក់នៅចម្ងាយ \(\boxed{0.8\text{ m}}\) ពីបាតចាន (កំពូល) តាមអ័ក្សឆ្លុះ។

លំហាត់ទី ៨

ស្ពានព្យួរមួយមានខ្សែកាបសំខាន់រាងប៉ារ៉ាបូល។ កំពូល \(V\) ស្ថិតនៅចំកណ្តាលស្ពានកម្ពស់ \(2\text{ m}\) ពីផ្លូវ។ បង្គោលទ្រទាំងពីរមានចម្ងាយ \(200\text{ m}\) ពីគ្នានិងមានកម្ពស់ \(50\text{ m}\) ពីផ្លូវ។

ដំណោះស្រាយ

ក ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ ៖
ជ្រើសរើសផ្លូវស្ពានជាអ័ក្សដេក (\(x\)) និងអ័ក្សឆ្លុះនៃស្ពានជាអ័ក្សឈរ (\(y\))។ កំពូលស្ថិតនៅ \(V(0, 2)\)។ បង្គោលទាំងពីរស្ថិតនៅចម្ងាយ \(100\text{ m}\) សងខាងគល់អ័ក្ស គឺចំណុច \((-100, 50)\) និង \((100, 50)\)។

ខ រកសមីការតំណាងឱ្យខ្សែកាប ៖
សមីការប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ ៖ \((x - 0)^2 = 4p(y - 2)\)។
កាត់តាមចំណុចកំពូលបង្គោល \((100, 50)\) ៖

\[100^2 = 4p(50 - 2) \implies 10000 = 4p(48)\]
\[\implies 4p = \frac{10000}{48} = \frac{625}{3}\]
សមីការ ៖ \(x^2 = \frac{625}{3}(y - 2) \iff y = \frac{3}{625}x^2 + 2\)។
ដូចនេះ \(\boxed{y = \frac{3}{625}x^2 + 2}\)

គ គណនាកម្ពស់ខ្សែកាបនៅ \(75\text{ m}\) ពីបង្គោល ៖
ចម្ងាយ \(75\text{ m}\) ពីបង្គោលមួយ (\(x = 100\)) នាំឱ្យ ៖

\[x = 100 - 75 = 25\text{ m}\]
ជំនួស \(x = 25\) ចូលក្នុងសមីការ ៖
\[y = \frac{3}{625}(625) + 2 = 3 + 2 = 5\text{ m}\]
ដូចនេះ កម្ពស់ខ្សែកាបគឺ \(\boxed{5\text{ m}}\) ពីផ្លូវស្ពាន។

លំហាត់ទី ៩

រថយន្តពន្លត់អគ្គីភ័យបាញ់ទឹកចេញពីកម្ពស់ \(1.5\text{ m}\) ពីដី។ ផ្លូវទឹកមានរាងជាប៉ារ៉ាបូល \(y = -0.01x^2 + 0.8x + 1.5\) (\(x,y\) គិតជាម៉ែត្រ)។

ដំណោះស្រាយ

ក ចម្ងាយដេកឆ្ងាយបំផុត (ពេល \(y = 0\)) ៖

\[-0.01x^2 + 0.8x + 1.5 = 0\]
\[\iff x^2 - 80x - 150 = 0\]
\(\Delta' = 40^2 - (-150) = 1600 + 150 = 1750\)
\[x = 40 + \sqrt{1750} \approx 40 + 41.83 = 81.83\text{ m}\]
ដូចនេះ ចម្ងាយដេកឆ្ងាយបំផុតគឺ \(\boxed{x \approx 81.83\text{ m}}\)

ខ កម្ពស់អតិបរមា ៖
អាប់ស៊ីសនៃកំពូល ៖ \(x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.8}{2(-0.01)} = 40\text{ m}\)។
កម្ពស់អតិបរមា ៖

\[y_{\max} = -0.01(40^2) + 0.8(40) + 1.5 = 17.5\text{ m}\]
ដូចនេះ \(\boxed{y_{\max} = 17.5\text{ m}}\)

គ ចម្ងាយដើម្បីបាញ់ដល់កំពូលផ្ទះកម្ពស់ \(6\text{ m}\) ៖
លក្ខខណ្ឌ \(y \ge 6\) ៖

\[-0.01x^2 + 0.8x + 1.5 \ge 6\]
\[\iff x^2 - 80x + 450 \le 0\]
\(\Delta' = 1600 - 450 = 1150\) នាំឱ្យ ៖ \(x \in [40 - \sqrt{1150}, \; 40 + \sqrt{1150}] \approx [6.09\text{ m}, \; 73.91\text{ m}]\) ដូចនេះ ផ្ទះត្រូវស្ថិតនៅចម្ងាយពី \(6.09\text{ m}\) ដល់ \(73.91\text{ m}\)

លំហាត់ទី ១០

កញ្ចក់ឆ្លុះពន្លឺព្រះអាទិត្យរាងប៉ារ៉ាបូលដេក មានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(x = 2\) និងកំណុំ \(F(10, 5)\)។

ដំណោះស្រាយ

ក បន្ទាត់ប្រាប់ទិសឈរ \(x = 2\) និងកំណុំ \(F(10, 5)\) មាន \(x_F = 10 > 2\) នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលជាប្រភេទ ដេក បើកទៅស្តាំ។
ដូចនេះ ប៉ារ៉ាបូលដេក បើកទៅស្តាំ

ខ កំពូល \(V(h, k)\) ជាចំណុចកណ្តាល ៖ \(h = \frac{2 + 10}{2} = 6, \; k = 5 \implies V(6, 5)\)។
ដូចនេះ \(\boxed{V(6, 5)}\)

គ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(p = 10 - 6 = 4 > 0\) នាំឱ្យ ៖

\[(y - 5)^2 = 4(4)(x - 6)\]
\[\iff (y - 5)^2 = 16(x - 6)\]
ដូចនេះ \(\boxed{(y - 5)^2 = 16(x - 6)}\)

ឃ ទទឹងបញ្ឈរសរុប \(10\text{ m} \implies 2|y - 5| = 10 \implies y - 5 = \pm 5\) ៖

\[(\pm 5)^2 = 16(x - 6) \iff 25 = 16(x - 6)\]
\[\implies x - 6 = \frac{25}{16} = 1.5625\text{ m}\]
ដូចនេះ ប្រវែងដេកគឺ \(\boxed{1.5625\text{ m}}\)

លំហាត់ទី ១១

យន្តហោះដ្រូនហោះតាមគន្លងប៉ារ៉ាបូលដែលមានសមីការទូទៅ \(4x^2 - 16x - y + 15 = 0\) (\(x,y\) គិតជា \(\text{km}\))។

ដំណោះស្រាយ

ក សមីការស្តង់ដារ ៖
\(4(x^2 - 4x + 4) = y - 15 + 16 \iff 4(x - 2)^2 = y + 1 \iff (x - 2)^2 = \frac{1}{4}(y + 1)\)។
ដូចនេះ \(\boxed{(x - 2)^2 = \frac{1}{4}(y + 1)}\)

ខ កម្ពស់អប្បបរមា ៖
កំពូល \(V(2, -1)\) នាំឱ្យកម្ពស់ទាបបំផុតគឺ ៖

\[y_{\min} = -1\text{ km}\]
ដូចនេះ \(\boxed{y_{\min} = -1\text{ km}}\)

គ កម្ពស់ដំបូងត្រង់ \(x = 0\) ៖
\(y = 4(0)^2 - 16(0) + 15 = 15\text{ km}\)។
ដូចនេះ \(\boxed{y = 15\text{ km}}\)

លំហាត់ទី ១២

ទ្វារចូលសង្វៀនកីឡារាងប៉ារ៉ាបូលដេក មានកំណុំ \(F(2, -3)\) និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស \(x = 6\)។

ដំណោះស្រាយ

ក បន្ទាត់ប្រាប់ទិសឈរ \(x = 6\) និង \(x_F = 2 < 6\) នាំឱ្យប៉ារ៉ាបូលជាប្រភេទ ដេក បើកទៅឆ្វេង។
ដូចនេះ ប៉ារ៉ាបូលដេក បើកទៅឆ្វេង

ខ កំពូល \(V(h, k)\) ជាចំណុចកណ្តាល ៖ \(h = \frac{2 + 6}{2} = 4, \; k = -3 \implies V(4, -3)\)។
ដូចនេះ \(\boxed{V(4, -3)}\)

គ \(p = x_F - h = 2 - 4 = -2\) នាំឱ្យប្រវែងឡាទុសរ៉ិចទុម (ទទឹងបញ្ឈរ) គឺ ៖

\[4|p| = 4|-2| = 8\text{ m}\]
ដូចនេះ ទទឹងបញ្ឈរសរុបគឺ \(\boxed{8\text{ m}}\)

ឃ សមីការស្តង់ដា ៖

\[(y - (-3))^2 = 4(-2)(x - 4)\]
\[\iff (y + 3)^2 = -8(x - 4)\]
ដូចនេះ \(\boxed{(y + 3)^2 = -8(x - 4)}\)

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

✎ សំណួរទី ៥១–៦០

✎ សំណួរទី ៦១–៧០

✎ សំណួរទី ៧១–៨០

✎ សំណួរទី ៨១–៩០

✎ សំណួរទី ៩១–១០០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២៨ ប៉ារ៉ាបូល (Parabola) — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត