វិភាគបន្សំ
និយមន័យ
សំណុំ គឹជាការប្រមូលផ្តុំនៃវត្ថុផ្សេងគ្នា ដែលកំណត់ច្បាស់លាស់។
វត្ថុ នៃសំណុំ ហៅថា ធាតុ។
សំណុំដែលគ្មានធាតុ ហៅថា សំណុំទទេ តាងដោយ \(\emptyset\) ឬ \(\{ \}\)។
បើគ្រប់ធាតុនៃសំណុំ \(A\) ជាធាតុនៃសំណុំ \(B\) នោះគេថា \(A\) ជាសំណុំរងនៃ \(B\) ។
ចំនួនធាតុនៃសំណុំ \(A\) តាងដោយ \(n(A)\) ។
សំណុំទទេ ជាសំណុំរងនៃគ្រប់សំណុំទាំងអស់។
បើសំណុំមួយមាន \(n\) ធាតុ ត្រូវមាន \(2^n\) នៃសំណុំរង។
ប្រជុំ ប្រសព្វ បំពេញនៃសំណុំ
ប្រជុំ
ប្រជុំរវាងសំណុំ \(A\) និង \(B\) (តាងដោយ \(A\cup B\))គឹជាសំណុំដែលគ្រប់ធាតុទាំងអស់របស់វា ជាធាតុរបស់ \(A\) ឬ \(B\)។ \(A\cup B=\{x/ x\in A\) ឬ \(x\in B\}\)
ប្រសព្វរវាងសំណុំពីរ
ប្រសព្វរវាងសំណុំ \(A\) និង \(B\) (តាងដោយ \(A\cap B\)) គឺជាសំណុំដែលគ្រប់ធាតុទាំងអស់របស់វា ជាធាតុរួមរបស់ \(A\) និង \(B\)។ \(\boxed{A\cap B=\{x \mid x\in A \text{ និង } x\in B\}}\)
បំពេញនៃសំណុំ
ជាសំណុំរាប់អស់ ហើយ \(A\) ជាសំណុំរងនៃ \(E\) ។ សំណុំបំពេញនៃ \(A\) តាងដោយ \(\overline{A}\) គឺជាសណុំមួយដែលគ្រប់ធាតុទាំងអស់របស់វាគឺ ជាធាតុរបស់ \(E\) តែមិនមែនជាធាតុរបស់ \(A\) ។
លំហសំណាកនិងព្រឹត្តិការណ៍
ពិសោធន៍ចៃដន្យ-វិញ្ញាសា
ពិសោធន៍មួយដែលគេធ្វើដោយមិនបានដឹងជាមុនមានលទ្ធផលអ្វីមួយប្រាកដកើតឡើងនោះហៅថា ពិសោធន៍ចៃដន្យ។
នៅពេលដែលគេបោះកាក់មួយ គេមិនអាចដឹងច្បាស់ជាមុនទេថាកាក់នោះ ផ្ងាឡើងលើខាងរូប ឬមួយក៏ខាងលេខនោះទេ។
បើគេដាក់សន្លឹកប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹកចុះលេខ \(1, 2, 3,\) និង \(4\) ក្នុងថង់មួយរួច គេធ្វើពិសោធន៍ដោយកំណត់សកម្មភាពជាក់លាក់ថា គេចាប់យកប័ណ្ណម្តងមួយៗចំនួនពីរលើកចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ហើយមិនដាក់ប័ណ្ណចូលថង់វិញ។ គេថាគេធ្វើវិញ្ញាសាមួយ គឺវិញ្ញាសាចាប់យកប័ណ្ណចេញពីថង់ម្តងមួយចំនួន ពីរលើក ដោយមិនដាក់ចូលវិញ។
ពិសោធន៍មួយដែលគេកំណត់ធ្វើដោយជាក់លាក់ ក្នុងពិសោធន៍ចៃដន្យមួយហៅថា វិញ្ញាសា ។
បើគេយកកាក់មួយមកពិសោធន៍ដោយកំណត់ជាក់លាក់ថា គេបោះកាក់ \(1\) ដង ឬ \(2\) ដង ឬ \(3\) ដង \(...\) នោះគេថា គេធ្វើវិញ្ញាសារបោះកាក់មួយ ចំនួន \(1\) ដង ឬ \(2\) ដង ឬ \(3\) ដង ...។
លំហសំណាក
លំហសំណាក គឺជាសំណុំលទ្ធផលទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើងក្នុងវិញ្ញាសារមួយនៃពិសោធន៍ចៃដន្យ។
ក្នុងវិញ្ញាសារបោះកាក់មួយ ចំនួន \(2\) ដង គេអាចបានលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់មាន \(4\) របៀបគឺ : \((HH)\), \((HT)\), \((TH)\), និង \((TT)\) ។ លទ្ធផលទាំងអស់ដែលអាចកើតមានក្នុងវិញ្ញាសារនេះបង្កើតបានជាសំណុំមួយហៅថា លំហសំណាក។ ដែលគេកំណត់សរសេរដោយ៖ \(S=\{(HH), (HT), (TH), (TT)\}\)
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយចំនួន \(2\) ដង។
តើសកម្មភាពណាដែលជាពិសោធន៍ចៃដន្យ ? ជាវិញ្ញាសា?
ចូរសរសេរលំហសំណាក។
ការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ជា ពិសោធន៍ចៃដន្យ ព្រោះគេមិនអាចដឹងជាមុននូវលទ្ធផលជាក់លាក់ឡើយ។ សកម្មភាពដែលកំណត់ជាក់លាក់បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន \(2\) ដង ជា វិញ្ញាសា។
គ្រាប់ឡុកឡាក់នីមួយៗមានមុខលេខពី \(1\) ដល់ \(6\)។ ក្នុងការបោះ \(2\) ដង លំហសំណាកគឺ ៖
\[S = \{(i, j) \mid i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}\]ដែលមានចំនួនករណីអាចសរុប \(n(S) = 6 \times 6 = 36\)។
គេចាប់យកឃ្លីម្តង \(2\) គ្រាប់ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ដែលក្នុងនោះមានឃ្លីក្រហម \(2\) ឃ្លីលឿង \(2\) និង ឃ្លីខៀវ \(1\) ។
តើសកម្មភាពណាជាពិសោធន៍ចៃដន្យ ជាវិញ្ញាសា?
ចូរសរសេរលំហសំណាក
ការចាប់ឃ្លីជា ពិសោធន៍ចៃដន្យ ហើយការកំណត់ចាប់ម្តង \(2\) គ្រាប់ជា វិញ្ញាសា។
តាង \(K_1, K_2\) (ក្រហម), \(L_1, L_2\) (លឿង), \(Kh\) (ខៀវ)។ ចំនួនធាតុនៃលំហសំណាកគឺ \(n(S) = C_5^2 = 10\) ករណី។
ព្រឹត្តិការណ៍
ព្រឹត្តិការណ៍
ព្រឹត្តិការណ៍ ជាសំណុំរងនៃលំហសំណាក។
ក្នុងវិញ្ញាសាបោះកាក់មួយចំនួន \(2\) ដង បើគេកំណត់ថាគេចង់បានខាងរូប \(H\) កើតឡើងតែ \(1\) ដងគត់ នោះលទ្ធផលដែលស្របនឹងការចង់បាននេះគឺ \((HT)\) និង \((TH)\) ។ បើគេចង់បានខាងរូប \(H\) កើតឡើង \(2\) ដង នោះគេបានលទ្ធផល \((HH)\) ។
សំណុំលទ្ធផលដែលកើតឡើងសមស្របតាមការប្រាថ្នាចង់បានហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍។
បើគេតាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “បោះកាក់មួយចំនួន \(2\) ដង បានខាងរូបម្តងគត់”
នោះគេសរសេរ : \(A=\{(HT), (TH)\}\)
បើគេតាង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “បោះបានខាងលេង \(2\) ដង” : \(B=\{(TT)\}\)
ក្នុងវិញ្ញាសានេះ គេឃើញថាលំហសំណាក \(S=\{(HH), (HT), (TH), (TT)\}\)
ដូចនេះ \(A\) និង \(B\) ជាសំណុំរងនៃលំហសំណាក ។
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(1\) ខៀវ \(1\) និងលឿង \(1\) ។ គេចាប់យកឃ្លីម្តងមួយដោយចៃដន្យចេញពីថង់ រួចដាក់ចូលថង់វិញចំនួន \(2\) លើក។ គេតាង ក ជាឃ្លីពណ៍ក្រហម ខ ជាឃ្លីពណ៍ខៀវ និង ល ជាឃ្លីពណ៍លឿង ។
ក្នុងវិញ្ញាសានេះ គេបានលំហសំណាក \(: S=\{(a,b) \) ដែល \( a,b\in\mathbb{E}\}\) ដែល \(\mathbb{E}=\{\) ក,ខ,ល \(\}\)
\(S\)={(កក), (ខខ), (លល), (កខ), (ខក) , (ខល), (លខ), (កល), (លក)}
បើតាង \(A_1\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “ចាប់បានឃ្លីខៀវទាំងពីរលើក” ។ គេបាន \(A_1\)={(ខខ)}
\(A_2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “ចាប់បានឃ្លីខ្មៅលើកទី \(1\) ឃ្លីក្រហមលើកទី \(2\)”
គេបាន \(A_2=\emptyset\) ព្រោះក្នុងថង់គ្មានឃ្លីខ្មៅទេ
\(A_3\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ “ចាប់បានឃ្លី \(2\) ពណ៍ដូចគ្នា ឬ \(2\) ពណ៍ខុសគ្នា”
គេបាន \(A_3\)={(កក) , (ខខ) , (លល) , (កខ) , (ខក) , (កល) , (លក) , (ខល) , (លខ)}
គេឃើញថា :
ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_1\) មានលទ្ធផលតែមួយគត់។ ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_1\) ហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ។
ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_2\) ហៅថា ព្រឹតិ្តការណ៍មិនអាចមាន ព្រោះគ្មានលទ្ធផលណាមួយកើតឡើងក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A_2\) ។
ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_3\) មានគ្រប់លទ្ធផលទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើង ដូចក្នុងលំហសំណាក។
ព្រឹត្តិការណ៍ \(A_3\) ហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ។
គេធ្វើវិញ្ញាសាបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ \(2\) គ្រាប់ មួយតូច មួយធំ។
ចូរកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ :
\(B_1\) : “គ្រាប់ឡុកឡាក់ធំចេញលេខ \(4\)”
\(B_2\) : “គ្រាប់ឡុកឡាក់ធំចេញលេខសេស”
\(B_3\) : “គ្រាប់តូចចេញលេខ \(3\) គ្រាប់ធំចេញលេខ \(5\)”
\(B_4\) : “គ្រាប់តូចចេញលេខ \(1\) គ្រាប់ធំចេញលេខ \(7\)”តើព្រឹត្តិការណ៍ណាជាព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ ?
\(B_1 = \{(t, 4) \mid t \in \{1,\dots,6\}\}\) (\(6\) ករណី), \(B_2\) មាន \(18\) ករណី, \(B_3 = \{(3,5)\}\), \(B_4 = \emptyset\) (ព្រោះគ្មានលេខ \(7\))។
\(B_3\) ជា ព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ ព្រោះមានលទ្ធផលតែមួយគត់។
ក្នុងថង់មួយមានសន្លឹកប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹកដែលចុះលេខ \(1, 2, 3\) និង \(4\) ។ គេហូតយកម្តងមួយ ចំនួន \(2\) លើកដោយមិនដាក់ចូលវិញ ។ ចូរកំណត់: លំហសំណាក និង ព្រឹត្តិការណ៍ :
\(C_1\): “ហូតបានលេខគូនៅលើកទី \(1\)”
\(C_2\): “ហូតបានលេខសេសទាំង \(2\) លើក”
\(C_3\): “ហូតលើកទី \(1\) បានលេខគូ លើកទី \(2\) បានលេខធំជាង \(3\)”
\(C_4\): “លើកទី \(1\) បានលេខ \(1\) លើកទី \(2\) បានលេខតូចជាង \(2\)”
\(n(S) = 4 \times 3 = 12\) គូ។
\(C_1 = \{(2,1), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2), (4,3)\}\) (\(6\) ករណី)
\(C_2 = \{(1,3), (3,1)\}\) (\(2\) ករណី)
\(C_3 = \{(2,4)\}\) (\(1\) ករណី — ព្រោះលេខធំជាង \(3\) គឺមានតែ \(4\))
\(C_4 = \emptyset\) (មិនអាចមាន ព្រោះលេខ \(1\) ត្រូវបានហូតចេញរួច)
ព្រឹត្តិការណ៍សមាស
ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(A\) និង \(B\) ជាប្រសព្វនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។
ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃ \(A\) និង \(B\) ជាប្រជុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។
ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងគ្នា កាលណាព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតមាន : \(A\cap B=\emptyset\)
ព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញគ្នា កាលណាផលគុណនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំង \(2\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន និងព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃព្រឹត្តិការ៍ណ៍ទាំង \(2\)ជាព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ:
\(A\cap \Bar{A}=\emptyset \quad{} ,\quad{} A\cup \Bar{A}=S\) គេបានព្រឹត្តិការណ៍បំពេញគ្នាជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង។
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់។ គេតាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញលេខគូ \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញលេខជាពហុគុណនៃ \(3\) និង \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញលេខតូចជាង ឬស្មើនឹង \(2\) ។ ចូរកំណត់:
លំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍ \(A , B, C\)
ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\cap B, A\cap C, B\cap C\)
ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក \(A\cup B, B\cup C\)
ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A, B, C\)
តើព្រឹត្តិការណ៍ណាជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងគ្នា?
លំហសំណាក ៖ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
ព្រឹត្តិការណ៍ ៖ \(A = \{2, 4, 6\}\), \(B = \{3, 6\}\), \(C = \{1, 2\}\)ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ (ប្រសព្វ) ៖
\(A\cap B = \{6\}\), \(A\cap C = \{2\}\), \(B\cap C = \emptyset\)ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក (ប្រជុំ) ៖
\(A\cup B = \{2, 3, 4, 6\}\), \(B\cup C = \{1, 2, 3, 6\}\)ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ ៖
\(\overline{A} = \{1, 3, 5\}\) (លេខសេស)
\(\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}\)
\(\overline{C} = \{3, 4, 5, 6\}\)ព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងគ្នា គឺ \(B\) និង \(C\) ព្រោះ \(B\cap C = \emptyset\)។
គេធ្វើវិញ្ញាសា ចាប់យកប័ណ្ណមួយសន្លឹកចំនួន \(2\) លើក ដោយចៃដន្យនិងមិនដាក់ចូលវិញ ចេញពីថង់មួយ ដែលមានប័ណ្ណ \(4\) សន្លឹកគឺ ប័ណ្ណលេខ \(1\) លេខ \(2\) លេខ \(3\) និងលេខ \(4\) ។
ចូរកំណត់លំហសំណាក និងព្រឹតិ្តការណ៍:
\(A :\) “ចាប់ទាំង \(2\) លើកបានប័ណ្ណលេខតូចជាង \(4\)”
\(B :\) “ចាប់លើកទី \(1\) បានលេខតូចជាង \(2\) និងលើកទី \(2\) បានលេខសេស”
\(C :\) “ចាប់ទាំង \(2\) លើកបានលេខខុសគ្នា”
\(D :\) “ចាប់លើកទី \(1\) បានលេខធំជាង \(4\)”
\(E :\) “ចាប់លើកទី \(2\) បានលេខ \(1\)”តើមួយណាជាព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ។
តើព្រឹត្តិការណ៍ណា ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង
រកព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\cap B\) និងព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក \(A\cup B , B\cup E\)
\(S = \{(i,j) \mid i\ne j \) ពី \( 1 \) ដល់ \( 4\}\), \(n(S) = 12\)។
\(A = \{(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)\}\) (\(6\) ករណី)
\(B = \{(1,3)\}\) (\(1\) ករណី), \(C = S\) (\(12\) ករណី), \(D = \emptyset\), \(E = \{(2,1), (3,1), (4,1)\}\)\(B\) ជា ព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុ, \(D\) ជា ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន, \(C\) ជា ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ។
ព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុង ៖ \(B\) និង \(E\) (ព្រោះ \(B\cap E = \emptyset\))។
\(A\cap B = \{(1,3)\} = B\), \(A\cup B = A\), \(B\cup E = \{(1,3), (2,1), (3,1), (4,1)\}\)។
គោលការណ៍របាប់ ចម្លាស់ និង បន្សំ
ព្រឹត្តិការណ៍ខ្លះ អាចកើតឡើងតាមវិធីច្រើនយ៉ាងខុសៗគ្នា ដែលយើងមិនអាចធ្វើបញ្ជីបាន ។ យើងត្រូវពឹងផ្អែកលើរូបមន្ត និង គោលការណ៍គ្រឹះរបាប់ ។
គោលការណ៍ផលបូក
គេមានព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\)។ \(n(A)\) ជាចំនួនលទ្ធផលកើតក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) , \(n(B)\) ជាចំនួនលទ្ធផលក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\)។
បើ \(A\) និង \(B\) គ្មានលទ្ធផលណាមួយរួមគ្នាទេ នោះចំនួនលទ្ធផលដែលកើតក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ឬ \(B\) គឺ \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\) ។
បើ \(A\) និង \(B\) មានលទ្ធផលរួមគ្នា នោះចំនួនលទ្ធផលដែលកើតក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ឬ \(B\) គឺ \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) ។
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់មួយពណ៍ស មួយទៀតពណ៍ក្រហម។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើង កាលណាលទ្ធផលមានផលបូកស្មើនឹង \(5\) ឬ \(6\) ។
តាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកស្មើ \(5\) ៖ \(A = \{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\} \implies n(A) = 4\)។
តាង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកស្មើ \(6\) ៖ \(B = \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\} \implies n(B) = 5\)។
ដោយ \(A \cap B = \emptyset\) (មិនចុះសម្រុងគ្នា) តាមគោលការណ៍ផលបូក ចំនួនលទ្ធផលសរុបគឺ ៖
ក្នុងថង់មួយមានប័ណ្ណ \(6\) ដែលបង់លេខ \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) ។ គេចាប់យកប័ណ្ណមួយចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើង កាលណា លេខដែលចាប់បានជាលេខសេស ឬ លេខធំជាង \(4\) ។
តាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានលេខសេស ៖ \(A = \{1, 3, 5\} \implies n(A) = 3\)។
តាង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានលេខធំជាង \(4\) ៖ \(B = \{5, 6\} \implies n(B) = 2\)។
ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ ៖ \(A \cap B = \{5\} \implies n(A \cap B) = 1\)។
តាមគោលការណ៍ផលបូក ចំនួនលទ្ធផលសរុបគឺ ៖
គោលការណ៍ផលគុណ
បើព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) កើតឡើង \(m\) របៀបហើយព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) កើតឡើង \(n\) របៀបទៀត នោះចំនួនលទ្ធផលដែលព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(B\) កើតឡើងគឺ \(N=m\times n\) ។
គេអោយព្រឹត្តិការណ៍ \(E_1\) និង \(E_2\) ។ ព្រឹត្តិការណ៍ទីមួយ \(E_1\) កើតឡើង \(m_1\) ករណីខុសៗគ្នា ។ ក្រោយពី \(E_1\) កើតឡើង \(E_2\) អាចកើតឡើងក្នុង \(m_2\) ករណីខុសៗគ្នា ។ ចំនួនរបៀប រឺ ករណីដែលព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរកើតឡើងមាន \(m_1\times m_2\) ។
គេមានផ្លូវ \(3\) សម្រាប់ធ្វើដំណើរពីក្រុង \(A\) ទៅ \(B\) និងមានផ្លូវ \(2\) សម្រាប់ធ្វើដំណើរពីក្រុង \(B\) ទៅ \(C\) ។ តើគេអាចធ្វើដំណើរតាមផ្លូវបានប៉ុន្មានរបៀបដើម្បីចេញពីក្រុង \(A\) ទៅ \(C\) ដោយឆ្លងកាត់តាមក្រុង \(B\) ។
ដំណើរបែងចែកជាពីរដំណាក់កាលបន្តបន្ទាប់ ៖
ពីក្រុង \(A\) ទៅ \(B\) មាន \(3\) ជម្រើស
ពីក្រុង \(B\) ទៅ \(C\) មាន \(2\) ជម្រើស
តាមគោលការណ៍ផលគុណ ចំនួនរបៀបធ្វើដំណើរពី \(A\) ទៅ \(C\) ឆ្លងកាត់ \(B\) គឺ ៖
កំណត់ចំនួនស្លាកលេខ ដើម្បីសម្គាល់វត្ថុតាមប្រភេទដោយប្រើតួអក្សរមួយពី \(A\) ដល់ \(H\) សរសេរពីមុខលេខដែលប្រើលេខពី \(1\) ដល់ \(15\) ។
ស្លាកលេខនីមួយៗផ្សំឡើងពី ៖
តួអក្សរមួយពី \(A\) ដល់ \(H\) មានចំនួន \(8\) ជម្រើស
លេខមួយពី \(1\) ដល់ \(15\) មានចំនួន \(15\) ជម្រើស
តាមគោលការណ៍ផលគុណ ចំនួនស្លាកលេខសរុបដែលអាចបង្កើតបានគឺ ៖
មីងដានីចង់ទិញវត្ថុបីមុខមាន កាបូបដាក់សៀវភៅរៀនមួយ កាបូបតូចដាក់ប៊ិចខ្មៅដៃមួយ និងល្បែងហ្គេមមួយឈុត សម្រាប់ជារង្វាន់លើកទឹកចិត្តកូនដែលបានជាប់ចំណាត់ថ្នាក់ល្អ។ ពេលទៅដល់ហាងលក់វត្ថុទាំងនេះ គាត់ឃើញមានកាបូបដាក់សៀវភៅ \(3\) ប្រភេទ \((A, B, C)\) កាបូបតូចមាន \(4\) ពណ៍ (ក្រហម ខៀវ លឿង បៃតង) និងល្បែងហ្គេម \(2\) ប្រភេទ (\(I\) និង \(II\))។ តើមីងដានីអាចជ្រើសរើសវត្ថុបីប្រភេទបានប៉ុន្មានរបៀប?
ការជ្រើសរើសវត្ថុបីប្រភេទត្រូវធ្វើឡើងជា ៣ ដំណាក់កាល ៖
ជ្រើសកាបូបដាក់សៀវភៅរៀន ៖ មាន \(3\) របៀប
ជ្រើសកាបូបតូចដាក់ប៊ិចខ្មៅដៃ ៖ មាន \(4\) របៀប
ជ្រើសល្បែងហ្គេម ៖ មាន \(2\) របៀប
តាមគោលការណ៍ផលគុណ ចំនួនរបៀបដែលមីងដានីអាចជ្រើសរើសបានគឺ ៖
ហ្វាក់តូរ្យែល
គណនាប្រមាណវិធីខាងក្រោម៖
\(5!\)
\(\frac{12!}{5!}\)
\(\frac{15!}{4!\times 8!}\)
\(\frac{9!}{6!\times 4!}\)
\(5! = 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 120\)
\(\dfrac{12!}{5!} = \dfrac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5!}{5!} = 3991680\)
\(\dfrac{15!}{4!\times 8!} = \dfrac{15\times 14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9\times 8!}{24\times 8!} = 1351350\)
\(\dfrac{9!}{6!\times 4!} = \dfrac{9\times 8\times 7\times 6!}{6!\times 24} = \dfrac{504}{24} = 21\)
ប្រូបាប
និយមន័យ
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយជាផលធៀបនៃចំនួនករណីស្រប និងចំនួនករណីអាច:
ករណីអាច = លំហសំណាក : គឺ រាល់ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើងនៅក្នុងពិសោធន៍មួយ ហើយជាទូទៅ វាច្រើនតែអានជួបមុនគេនៅក្នុងលំហាត់
ករណីស្រប = ព្រឹត្តិការណ៍ : ស្របទៅតាមអ្វីដែលគេចង់បាននៅតាមសំណួរនីមួយៗ
សូមចាំថា ចំនួនករណីស្រប មិនអាចធំជាង ចំនួនករណីអាចទេ (\(n(A)\le n(S)\))
\(0\le P(A)\le 1\)
គេរើសសិស្សម្នាក់ឱ្យធ្វើជាប្រធានក្រុម ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(5\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(3\) នាក់។ រកប្រូបាបដែលប្រធានក្រុមជាសិស្សស្រី និង រកប្រូបាបដែលប្រធានក្រុមជាសិស្សប្រុស។
គេធ្វើវិញ្ញាសាហូតប័ណ្ណម្តងមួយសន្លឹកចំនួន \(2\) ដងចេញពីថង់មួយដែលមានប័ណ្ណលេខ \(1\) លេខ \(2\) និងលេខ \(3\) ដោយហូតហើយដាក់វិញ។
ចូរសរសេរលំហសំណាក \(S\) ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ដែលហូតលើកទី \(1\) បានលេខគូ និង ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ដែលហូតទាំង \(2\) លើកបានប័ណ្ណមានផលបូកស្មើនឹង \(5\) ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ។
ចំនួនសិស្សសរុប \(n(S) = 5 + 3 = 8\) នាក់។
ប្រូបាបប្រធានក្រុមជាសិស្សស្រី ៖ \(P(\) ស្រី \() = \dfrac{5}{8} = 0.625\)
ប្រូបាបប្រធានក្រុមជាសិស្សប្រុស ៖ \(P(\) ប្រុស \() = \dfrac{3}{8} = 0.375\)
ហូតប័ណ្ណ \(2\) ដងដោយដាក់វិញ ៖
លំហសំណាក ៖ \(S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\} \implies n(S) = 3^2 = 9\)។
ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) (លើកទី ១ ជាលេខគូ) ៖ \(A = \{(2,1), (2,2), (2,3)\} \implies n(A) = 3\)។
ព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) (ផលបូកស្មើ ៥) ៖ \(B = \{(2,3), (3,2)\} \implies n(B) = 2\)។គណនាប្រូបាប ៖
\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \quad{} , \quad{} P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{2}{9}\]
ចម្លាស់
គឺជាការជ្រើសរើសយកធាតុចេញពីធាតុមួយផ្សេងទៀតដោយគិតលំដាប់។
ចំនួនចម្លាស់ \(n\) ធាតុផ្សេងគ្នារៀបជាជួរដេក \(P=n!\) ។
ចំនួនចម្លាស់វង់នៃ \(n\) ធាតុផ្សេងគ្នា \(P=\frac{n!}{n}=(n-1)!\) ។
ចំនួនចម្លាស់ច្រំដែលនៃ \(r\) ធាតុយក \(n\) ធាតុផ្សេងគ្នា : \(P=n^m\) ។
ចំនួនចម្លាស់ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុផ្សេងគ្នា : \(P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)}!\) ។
ចំនួនចម្លាស់អាចបែកចែកបាន ឬ ចម្លាស់ដែលមានធាតុខ្លះដូចគ្នា :
\[P=\frac{(n_1+n_2+n_3+...+n_p)!}{(n_1!\times n_2!\times n_3!\times ...\times n_p)!}\]
គ្រូធ្វើបញ្ជីឈ្មោះសិស្ស \(8\) នាក់ដោយមានចុះលេខរៀងពី \(1\) ដល់ \(8\) តែមិនគិតតាមលំដាក់អក្ខរក្រមទេ។
តើគ្រូអាចធ្វើបញ្ជីឈ្មោះបានប៉ុន្មានរបៀប?
បើគ្រូចង់អោយឈ្មោះសុក និងឈ្មោះសៅនៅជាប់គ្នា តើបញ្ជីរបៀបនេះមានប៉ុន្មានបែប?
ចំនួនរបៀបធ្វើបញ្ជីឈ្មោះសិស្ស \(8\) នាក់ជាចម្លាស់ ៖
\[P_8 = 8! = 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 40320 \text{ របៀប}\]ចាត់ទុកសុក និងសៅជាប្លុកតែមួយ នោះមានសរុប \(7\) ធាតុ ដែលរៀបបាន \(7!\) របៀប។ ដោយសុក និងសៅអាចឆ្លាស់គ្នាក្នុងប្លុកបាន \(2!\) របៀប នាំឱ្យចំនួនរបៀបគឺ ៖
\[N = 7! \times 2! = 5040 \times 2 = 10080 \text{ បែប}\]
គេរៀបសៀវភៅ \(10\) ក្បាលខុសៗគ្នាដាក់ជាជួរលើថតទូមួយ។
តើការតម្រៀបនេះមានប៉ុន្មានរបៀបខុសៗគ្នា?
បើគេកំណត់អោយសៀវភៅ \(3\) ក្បាលនៅជាប់គ្នាជានិច្ច តើការតម្រៀបនេះមានប៉ុន្មានបែប?
ចំនួនរបៀបតម្រៀបសៀវភៅ \(10\) ក្បាលជាចម្លាស់ ៖
\[10! = 3628800 \text{ របៀប}\]ចងសៀវភៅទាំង \(3\) ក្បាលជាប្លុកមួយ រួមជាមួយសៀវភៅ \(7\) ក្បាលទៀត ស្មើនឹង \(8\) ធាតុ ដែលរៀបបាន \(8!\) របៀប។ សៀវភៅ \(3\) ក្បាលអាចឆ្លាស់គ្នាក្នុងប្លុកបាន \(3!\) របៀប។ ចំនួនបែបសរុបគឺ ៖
\[N = 8! \times 3! = 40320 \times 6 = 241920 \text{ បែប}\]
មានមនុស្ស \(6\) នាក់អង្គុយលើកៅអីមួយជួរដែលក្នុងនោះមានក្មេង \(4\) នាក់ និងមានមនុស្សចាស់ \(2\) នាក់។ រកចំននរបៀបការអង្គុយក្នុងករណីដែលមនុស្សចាស់ទាំង \(2\) នាក់អង្គុយចុងសងខាង។
ការរៀបចំចែកជា ២ ដំណាក់កាល ៖
រៀបចំមនុស្សចាស់ \(2\) នាក់នៅចុងសងខាង ៖ មាន \(2! = 2\) របៀប
រៀបចំក្មេង \(4\) នាក់នៅកៅអីកណ្តាល \(4\) ៖ មាន \(4! = 24\) របៀប
តាមគោលការណ៍ផលគុណ ចំនួនរបៀបអង្គុយសរុបគឺ ៖
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ \(2\) ដង។
រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំង \(2\) លើកខុសគ្នា។
រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំង \(2\) លើកជាលេខគូ។
រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំង \(2\) លើកខុសគ្នា និង ជាលេខគូ។
ចំនួនករណីអាចនៃការបោះ \(2\) ដងគឺ \(n(S) = 6 \times 6 = 36\)។
លេខទាំងពីរលើកខុសគ្នា ៖ លើកទី ១ មាន \(6\) ជម្រើស លើកទី ២ មាន \(5\) ជម្រើស \(\implies n(A) = 6 \times 5 = 30\)។
\[P(A) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}\]លេខទាំងពីរលើកជាលេខគូ \(\{2, 4, 6\}\) ៖ លើកនីមួយៗមាន \(3\) ជម្រើស \(\implies n(B) = 3 \times 3 = 9\)។
\[P(B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\]លេខទាំងពីរលើកខុសគ្នា និងជាលេខគូ ៖ លើកទី ១ មាន \(3\) ជម្រើស លើកទី ២ មាន \(2\) ជម្រើស \(\implies n(C) = 3 \times 2 = 6\)។
\[P(C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
គេបង្កើតលេខសម្ងាត់របស់សើដោយមានចំនួនដែលមានលេខ \(4\) ខ្ទង់ខុសពីលេខ \(0\) ។
តើគេអាចបង្កើតលេខសម្ងាត់នេះបានប៉ុន្មានបែប?
គេរើសយកលេខសម្ងាត់មួយដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ :
\(A:\) “លេខសម្ងាត់ជាចំនួនគូ”
\(B:\) “លេខសម្ងាត់ទាំង \(4\) ខ្ទង់ជាលេខគូ”
\(C:\) “លេខសម្ងាត់ទាំង \(4\) ខ្ទង់មានលេខ \(1\) តែម្តងគត់”
\(D:\) “លេខសម្ងាត់ទាំង \(4\) ខ្ទង់ខុសៗគ្នា”
លេខដែលប្រើគឺ \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) មាន \(9\) លេខ។ ចំនួនលេខសម្ងាត់ \(4\) ខ្ទង់ដែលអាចបង្កើតបានគឺ ៖
\[n(S) = 9^4 = 6561 \text{ បែប}\]រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ ៖
\(A\) (ចំនួនគូ) ៖ ខ្ទង់ចុងក្រោយត្រូវជាលេខគូ \(\{2,4,6,8\}\) (មាន \(4\) ជម្រើស) ខ្ទង់ \(3\) ទៀតមានម្នាក់ៗ \(9\) ជម្រើស \(\implies n(A) = 9^3 \times 4 = 2916 \implies P(A) = \dfrac{2916}{6561} = \dfrac{4}{9}\)។
\(B\) (គ្រប់ខ្ទង់ជាលេខគូ) ៖ ខ្ទង់នីមួយៗមាន \(4\) ជម្រើស \(\implies n(B) = 4^4 = 256 \implies P(B) = \dfrac{256}{6561}\)។
\(C\) (មានលេខ \(1\) តែម្តងគត់) ៖ ជ្រើសតំណែងលេខ \(1\) មាន \(4\) របៀប ខ្ទង់ \(3\) ទៀតយកពី \(8\) លេខដែលនៅសល់ \(\implies n(C) = 4 \times 8^3 = 2048 \implies P(C) = \dfrac{2048}{6561}\)។
\(D\) (ខ្ទង់ទាំង \(4\) ខុសៗគ្នា) ៖ ជាចម្លាស់ \(A_9^4 = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 \implies P(D) = \dfrac{3024}{6561} = \dfrac{112}{243}\)។
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី \(7\) គ្រាប់ដែឡមានពណ៍ខុសៗគ្នា (ស ក្រហម ខៀវ លឿង ខ្មៅ បៃតង ត្រួយចេក)។ គេចាប់យកឃ្លីម្តងមួយចេញពីថង់ រួចកត់ត្រាទុក \(3\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នាដោយមិនដាក់ចូលថង់វិញក្រោយពីយកចេញពីថង់ម្តងៗ។
តើការយកឃ្លីចេញតាមរបៀបនេះ បានលទ្ធផលប៉ុន្មានរបៀប?
រកចំនួនលទ្ធផលដែលឃ្លីយកចេញលើកទី \(2\) ជាឃ្លីពណ៍ក្រហម។
ចាប់ម្តងមួយចំនួន \(3\) ដងដោយមិនដាក់វិញ ជាចម្លាស់ \(3\) ធាតុពី \(7\) ធាតុ ៖
\[n(S) = A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210 \text{ របៀប}\]លើកទី ២ ជាឃ្លីក្រហម (ក្រហមមាន ១ គ្រាប់ ៖ លើកទី ២ មាន \(1\) ជម្រើស, លើកទី ១ មាន \(6\) ជម្រើស, លើកទី ៣ មាន \(5\) ជម្រើស) ៖
\[N = 6 \times 1 \times 5 = 30 \text{ របៀប}\]
គេចង់បង្កើតគណៈកម្មការសិស្សមានគ្នា \(4\) នាក់ ម្នាក់ជាប្រធាន ម្នាក់ជាអនុប្រធាន ម្នាក់ជាលេខា និងម្នាក់ទៀតជាសមាជិកដើម្បីជួយការងារសាលារៀន។ សមាសភាពគណៈកម្មការនេះត្រូវរៀសក្នុងចំណោមសិស្ស \(10\) នាក់។
កំណត់ចំនួនគណៈកម្មការដែលអាចបង្កើតបាន។
កំណត់ចំនួនគណៈកម្មការដែលមានសុខជាលេខា។
ដោយសារតួនាទីនីមួយៗខុសគ្នា នេះជាចម្លាស់ \(4\) នាក់ពី \(10\) នាក់ ៖
\[N = A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \text{ គណៈកម្មការ}\]សុខកាន់តំណែងលេខា (មាន \(1\) របៀប) តំណែង \(3\) ទៀតត្រូវជ្រើសពីសិស្ស \(9\) នាក់ដែលនៅសល់ ៖
\[N = 1 \times A_9^3 = 9 \times 8 \times 7 = 504 \text{ គណៈកម្មការ}\]
សិស្ស \(9\) នាក់ឈរជាជួរដែលក្នុងនោះមានសិស្សស្រី \(5\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(4\) នាក់។ រកចំនួនរបៀបដែលសិស្សឈរ បើគេដឹងថាសិស្សប្រុស \(2\) នាក់ឈរនៅចុងសងខាង។
ជ្រើសប្រុស \(2\) នាក់ឈរចុងសងខាងមាន \(A_4^2 = 12\) របៀប។ សិស្ស \(7\) នាក់ទៀតរៀបនៅកណ្តាលបាន \(7! = 5040\) របៀប។
ចំនួនរបៀបសរុប ៖ \(N = 12 \times 5040 = 60480\) របៀប។
ក្នុងចង់មួយមានឃ្លី \(7\) គ្រាប់ដែលមានពណ៍ខុសៗគ្នា។ គេចាប់យកឃ្លីម្តងមួយចេញពីថង់កត់ត្រាពណ៍ទុក រួចដាក់ចូលក្នុងវិញ ហើយចាប់ម្តងទៀត។ គេធ្វើរបៀបនេះចំនួន \(3\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា។ រកចំនួនលទ្ធផលដែលកើតឡើងទាំងអស់។
ដោយសារចាប់ហើយដាក់វិញ លើកនីមួយៗមាន \(7\) ជម្រើស។ ចំនួនលទ្ធផលសរុបគឺ ៖
បន្សំ
បន្សំ ជាការជ្រើសរើសយកធាតុមួយចេញពីធាតុមួយផ្សេងទៀតដោយមិនគិតលំដាប់។ ចំនួនបន្សំនៃ \(r\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុផ្សេងគ្នា :
គេរើសសិស្ស \(8\) នាក់ដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមសិស្សប្រុស \(9\) នាក់ និងសិស្សស្រី \(11\) នាក់ទៅសម្ភាសន៍។
តើគេអាចរៀបសិស្សបានប៉ុន្មានរបៀបខុសៗគ្នា?
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ :
\(A:\) “ក្រុមសិស្សទាំង \(8\) នាក់មានសុទ្ធតែសិស្សស្រី”
\(B:\) “ក្នុងក្រុមមានសិស្សស្រី \(5\) នាក់ និង ប្រុស \(3\) នាក់”
សិស្សសរុប \(9 + 11 = 20\) នាក់។ ចំនួនរបៀបជ្រើសរើសសិស្ស \(8\) នាក់ (មិនគិតលំដាប់) គឺ ៖
\[n(S) = C_{20}^8 = \frac{20!}{8!\times 12!} = 125970 \text{ របៀប}\]គណនាប្រូបាប ៖
\(A\) (សុទ្ធតែស្រី) ៖ ជ្រើស \(8\) នាក់ពីស្រី \(11\) នាក់ \(\implies n(A) = C_{11}^8 = C_{11}^3 = 165\)។
\[P(A) = \frac{165}{125970} = \frac{11}{8398} \approx 0.0013\]\(B\) (ស្រី \(5\) ប្រុស \(3\)) ៖ \(n(B) = C_{11}^5 \times C_9^3 = 462 \times 84 = 38808\)។
\[P(B) = \frac{38808}{125970} = \frac{6468}{20995} \approx 0.308\]
ក្នុងថង់មួយមានអក្សរ \(10\) តួ \(a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\) ។ គេចាប់យកអក្សរ \(4\) តួព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែល :
គ្មានបានស្រៈមួយសោះ
បានស្រៈតែមួយគត់
បានស្រៈតែ \(2\) គត់
យ៉ាងតិចណាស់បានស្រៈមួយ
ក្នុងចំណោម \(10\) អក្សរ មានស្រៈ \(3\) គឺ \(\{a, e, i\}\) និងព្យញ្ជនៈ \(7\) គឺ \(\{b, c, d, f, g, h, j\}\)។
ចំនួនករណីអាចសរុប ៖ \(n(S) = C_{10}^4 = 210\)។
គ្មានស្រៈសោះ (បានព្យញ្ជនៈទាំង \(4\)) ៖ \(n(E_a) = C_7^4 = 35 \implies P = \dfrac{35}{210} = \dfrac{1}{6}\)។
បានស្រៈតែមួយគត់ (ស្រៈ \(1\) ព្យញ្ជនៈ \(3\)) ៖ \(n(E_b) = C_3^1 \times C_7^3 = 3 \times 35 = 105 \implies P = \dfrac{105}{210} = \dfrac{1}{2}\)។
បានស្រៈតែ \(2\) គត់ (ស្រៈ \(2\) ព្យញ្ជនៈ \(2\)) ៖ \(n(E_c) = C_3^2 \times C_7^2 = 3 \times 21 = 63 \implies P = \dfrac{63}{210} = \dfrac{3}{10}\)។
យ៉ាងតិចណាស់បានស្រៈមួយ ៖ ប្រើព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ \(\implies P = 1 - P(E_a) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\)។
លក្ខណៈនៃប្រូបាប
បើគេតាង \(e_i\) : ជាព្រឹត្តិការណ៍ឯកធាតុនៃលំហសំណាក \(S\) នោះគេបាន:
បើ \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើងគឺ \(A=\emptyset\) នោះ \(n(A)=0\) ហើយ \(P(A)=0\)
បើ \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មួយនៃលំហសំណាក \(S\) នោះ \(n(A)\le n(S)\) ហើយ \(P(A)\le P(S)\)
ប្រូបាបនៃលំហសំណាក \(S\) ស្មើនឹង \(1\) : \(P(S)=1\)
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមានស្មើនឹង \(0\) : \(P(\emptyset)=0\)
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងលំហសំណាក ជាចំនួនដែលនៅចន្លោះ \([0,1]\)
\[0\le PA)\le 1\]ប្រូបាបជាអនុវត្តន៍ ដែលកំណត់ពីលំហសំណាក \(S\) ទៅចន្លោះ \([0,1]\)
\[P : S \to [0,1]\]
ក្នុងវិញ្ញាសាបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់។
លទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់ក្នុងលំហសំណាកគឺ លទ្ធផលបោះបានលេខ \(1\) លេខ \(2\) លេខ \(3\) លេខ \(4\) លេខ \(5\) និងលេខ \(6\) ។ គេបានប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ ស្មើនឹង \(\frac{1}{6}\) គឺ :
ចំណាំ ៖ សូមពិនិត្យផ្ទៀងផ្ទាត់ តារាងសោចម្លើយ MCQ ទាំង ១០០ នៅក្នុង ផ្នែកដំណោះស្រាយ នៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅ។
លំហាត់អនុវត្តន៍
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌សចំនួន៤ និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន៥។ គេចាប់យកឃ្លី២គ្រាប់ក្នុងពេលតែមួយចេញពីក្នុងថង់
ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖«គេចាប់បានឃ្លីពណ៌ខៀវទាំងពីរ»
«គេចាប់បានឃ្លីមួយក្នុងមួយពណ៌»
ក្នុងអាងចិញ្ចឹមត្រីមួយមានត្រីពណ៌ក្រហម៤ និង ត្រីពណ៌ស៣។ គេចាប់ត្រី២ យកមកដាក់ក្នុងអាងថ្មីដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖«ត្រីពណ៌ក្រហមទាំងពីរ»
«ត្រីពណ៌សទាំងពីរ»
«ត្រីមួយក្នុងមួយពណ៌»
នៅក្នុងធុងមួយគេមានប៊ូលក្រហម៤ ប៊ូលស៣ និងប៊ូលខៀវ១។ គេចាប់យកប៊ូល៣ ក្នុងពេលតែមួយចេញពីធុង
ដោយចៃដន្យ។រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានប៊ូលក្រហមពីរ និងមួយទៀតមិនក្រហម»
រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានប៊ូលក្រហមទាំងបី»
រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានយ៉ាងតិចប៊ូលក្រហមពីរ»
ក្នុងប្រអប់មួយមានខ្មៅដៃពណ៌ខៀវ \(5\) ដើម និង ខ្មៅដៃពណ៌ក្រហម \(4\) ដើម។ សិស្សម្នាក់បានចាប់យកខ្មៅដៃ \(3\) ព្រមគ្នា
ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។រកប្រូបាបដែល «សិស្សយកបានខ្មៅដៃពណ៌ខៀវ \(2\) ដើម និង ខ្មៅដៃពណ៌ក្រហម \(1\) ដើម»
រកប្រូបាបដែល «សិស្សយកបានខ្មៅដៃពណ៌ដូចគ្នា»
ក្នុងថតតុមួយមានសៀវភៅគណិតវិទ្យា \(7\) ក្បាល និង សៀវភៅភាសាខ្មែរ \(5\) ក្បាល។ សិស្សម្នាក់បានយកសៀវភៅ \(4\)ក្បាល ព្រមគ្នាចេញពីថតតុដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបដែល «សិស្សយកបានសៀវភៅគណិតវិទ្យា ទាំង \(4\) ក្បាល» ។
រកប្រូបាបដែល «សិស្សយកបានសៀវភៅភាសាខ្មែរ \(1\) ក្បាលយ៉ាងតិច» ។
គ្រូបន្ទុកថ្នាក់បានជ្រើសរើសប្រធានក្រុមវេនសំអាតថ្នាក់ថ្ងៃចំនួន \(6\) នាក់ នៃថ្នាក់រៀនមួយដែលមានសិស្សប្រុសចំនួន \(20\)នាក់ និងសិស្សស្រីចំនួន \(15\)នាក់ ។ គណនាប្រូបាបខាងក្រោម៖
«ប្រធានក្រុមសុទ្ធតែប្រុស»
«ប្រធានក្រុមសុទ្ធតែស្រី»
«ប្រធានក្រុមមានប្រុស\(3\) នាក់ និងស្រី\(3\) នាក់» ។
ថង់មួយមានឃ្លី \(3\) គឺឃ្លី \(a,b\) និង \(c\)។ គេចាប់យកឃ្លីម្តងមួយ ចំនួនពីរលើកចេញពីក្នុងថង់ដោយដាក់ចូលថង់វិញ។
ចូរកំណត់លំហសំណាក \(\mathrm{S}\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{A}:\) «ចាប់បានឃ្លីពីរផ្សេងគ្នា» , \(\mathrm{B:}\) «ចាប់បានឃ្លី\(b\) នៅលើកទី១» ។
រកប្រូបាប \(\mathrm{P(A),\ P(B),\ P(A\cap B)}\) និង \(\mathrm{P(A\cup B)}\) ។
ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស \(10\) នាក់ ដែលក្នុងនោះ \(4\) នាក់ជាសិស្សស្រី និង \(6\) នាក់ជាសិស្សប្រុស។ គេរៀបចំសិស្សជាក្រុមក្នុងមួយក្រុមមានសិស្ស \(4\) នាក់ ដោយចៃដន្យយកទៅប្រកួតជាមួយក្រុមសិស្សនៃថ្នាក់ដទៃ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
«ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែស្រី»
«ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែប្រុស»
«ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបាន \(50\%\) ជាសិស្សប្រុស»
ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល ១៥ ដែលចែកជា ប៊ូលពណ៌បៃតងចំនួន៧ និងគេសរសេរលើប៊ូលទាំង៧ នេះតាមលេខ រៀងពី១ ដល់៧ រួចប៊ូលខៀវចំនួន៥ និងគេសរសេរលើប៊ូលទាំង៥ នេះតាមលេខរៀងពី១ ដល់៥ ចុងក្រោយប៊ូលពណ៌ ក្រហមចំនួន៣ និងគេសរសេរលើប៊ូលទាំង៣នេះ តាមលេខរៀងពី១ដល់៣ ។ គេចាប់យកប៊ូលមួយចេញពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
: ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌បៃតង។
: ប៊ូលដែលចាប់បានមានលេខសេស។
: ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៍បៃតង និងលេខសេស។
ក្នុងស្បោងមួយមានប៊ូលពណ៌ស \(3\) ប៊ូលពណ៌ខៀវ \(3\) និងប៊ូលពណ៌ក្រហម \(2\) ។ គេចាប់យកប៊ូលម្តង \(3\) ក្នុងពេលតែមួយចេញពីស្បោងដោយចៃដន្យ។ គេសន្និដ្ឋានថាប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ូលនីមួយៗជាសមប្រូបាប។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
«យ៉ាងតិចមានប៊ូល \(2\) ពណ៌ខៀវ»
«ប៊ូលទាំង \(3\) មានពណ៌ខុសៗគ្នា»
ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សអាស៊ី \(4\) នាក់ សិស្សអាមេរិច \(2\) នាក់ និងសិស្សអឺរ៉ុប \(3\) នាក់ ។ គេរៀបចំសិស្សជាក្រុមស្វ័យសិក្សាក្នុងមួយក្រុមមានសិស្ស \(3\) នាក់ដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចខាងក្រោម៖
«យ៉ាងតិចមានសិស្ស \(2\) នាក់ ជាសិស្សអាស៊ី»។
«យ៉ាងតិចមានសិស្ស \(2\) នាក់ ជាសិស្សអឺរ៉ុប»។
«មានសិស្សម្នាក់ក្នុងមួយទ្វីប»។
នៅក្នុងតម្រុយមួយគេមានប៊ូល \(12\) ដែលមានសរសេរលេខពី \(1\) ដល់ \(12\) ។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ពីក្នុងធុងព្រមគ្នា
ដោយចៃដន្យ។រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានប៊ូលទាំង \(3\) មានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង \(3\) »។
រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានមានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង \(3\) »។
រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានមានលេខតាមលំដាប់កើនជាស្វ៊ីតនព្វន្តដែលមានផលសងរួម \(d=3\) »។
ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីពណ៌ ស \(2\) គ្រាប់ដែលមានចុះលេខ \(1,2\) និងឃ្លីពណ៌ខ្មៅ \(3\) គ្រាប់ ដែលមានចុះលេខ \(1,2,3\) គេចាប់យកឃ្លី \(2\) គ្រាប់ ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យពីក្នុងប្រអប់នោះ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A:\ \) «គេចាប់បានឃ្លីពណ៌ដូចគ្នា»។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B:\ \) «គេចាប់បានឃ្លីមានផលបូកលេខស្មើ \(3\) »។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(C:\ \) «គេចាប់បានឃ្លីមានផលបូកលេខស្មើ \(3\) ដោយបានដឹងថា វាមានពណ៌ដូចគ្នា»។
គេចង់បង្កើតចំនួនមានលេខ \(3\) ខ្ទង់ដែលខ្ទង់ទាំងបីមានលេខខុសៗគ្នា ដោយយកចេញពីលេខ \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) ។
រកចំនួនករណីអាច ។
រកប្រូបាប ដែលចំនួនមានលេខ \(3\) ខ្ទង់នោះ ជាពហុគុណនៃ \(5\) ។
រកប្រូបាប ដែលចំនួនមានលេខ \(3\) ខ្ទង់នោះ ជាចំនួនគូ។
ក្នុងថង់មួយមានប៊ិចពណ៌ក្រហម \(8\) និងប៊ិចពណ៌ខៀវ \(6\) ។ គេចាប់យកប៊ិច \(5\) ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
\(A:\ \) «ប៊ិចទាំង \(5\) ពណ៌ក្រហម»។
\(B:\ \) «ប៊ិច \(3\) ពណ៌ក្រហម និងប៊ិច \(2\) ពណ៌ខៀវ»។
\(C:\ \) «មានប៊ិចពណ៌ខៀវ \(1\) យ៉ាងតិចក្នុងចំណោមប៊ិចទាំង \(5\) »។
ទេសចរណ៍មួយក្រុមមានបុរស \(3\) នាក់ និងស្ត្រី \(5\) នាក់ បានឈរបន្តគ្នាជាជួរដោយចៃដន្យ ដើម្បីទិញសំបុត្រចូលទស្សនាប្រាសាទអង្គវត្ត។
រកចំនួនរបៀបនៃការឈរបន្តគ្នាជាជួររបស់ក្រុមទេសចរណ៍នោះ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ៖
\(A:\ \) « ទេសចរដែលឈរនៅមុខគេបង្អស់ជាស្ត្រី»។
\(B:\ \) «ទេសចរជាបុរសទាំងអស់ឈរនៅជាប់ៗគ្នា»។
មេបញ្ជាការកងទ័ពការពារព្រំដែនបានបង្កើតចំនួនសម្ងាត់ដែលជាចំនួនគត់មានលេខបីខ្ទង់ ហើយលេខទាំងបីខ្ទង់នោះ
ខុសៗគ្នាដោយប្រើលេខក្នុងចំណោមលេខពី \(1\) ដល់ \(9\) ។តើមេបញ្ជាការអាចបង្កើតចំនួនសម្ងាត់បានទាំងអស់ប៉ុន្មានរបៀបខុសៗគ្នា។
មេបញ្ជាការបានជ្រើសរើសយកចំនួនសម្ងាត់មួយដោយចៃដន្យ ដើម្បីប្រើការពេលចេញធ្វើប្រតិបត្តិការសឹក។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ៖ \(A:\ \) «ចំនួនសម្ងាត់ជាចំនួនគត់គូ» ; \(B:\ \) « ចំនួនសម្ងាត់ជាចំនួនគត់សេស»។
ក្រូចថ្លុង \(20\) ផ្លែដែលដាក់លក់មាន \(16\) ផ្លែមានរសជាតិផ្អែម និង \(4\) ផ្លែទៀតមានរសជាតិជូរ។ អ្នកទិញម្នាក់ជ្រើសរើសយក
ក្រូច \(3\) ផ្លែដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖\(A:\ \) ក្រូចទាំង \(3\) ផ្លែសុទ្ធតែជូរ។
\(B:\ \) ក្រូចទាំង \(3\) ផ្លែសុទ្ធតែផ្អែម។
\(C:\ \) យ៉ាងតិចមានក្រូច \(1\) ផ្លែមានរសជាតិផ្អែម។
គេប្រើលេខពី \(0\) ដល់ \(9\) ដើម្បីសរសេរចំនួនដែលមានលេខ \(4\) ខ្ទង់ ដោយខ្ទង់ដើមដំបូងមិនប្រើលេខ \(0\) ទេ។
តើគេអាចសរសេរបានប៉ុន្មានចំនួនខុសៗគ្នាតាមរបៀបខាងលើនេះ?
តើមានប៉ុន្មានចំនួនដែលមានលេខទាំង \(4\) ខ្ទង់ខុសៗគ្នា?
តើមានប៉ុន្មានចំនួនដែលមានលេខទាំង \(4\) ខ្ទង់ដូចគ្នា?
ប្រធានវិញ្ញាសាគណិតវិទ្យានៃការប្រទ្បងមួយ មានលំហាត់ពីជគណិត \(6\) និងធរណីមាត្រ \(4\) ។ បេក្ខជនម្នាក់ៗត្រូវធ្វើលំហាត់ \(2\) ក្នុងចំណោមលំហាត់ទាំង \(10\) នេះទៅតាមការជ្រើសរើសរបស់ខ្លួន។
រកចំនួនករណីអាច។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចតទៅ៖
\(A:\) សិស្ស \(X\) ម្នាក់ជ្រើសរើសយកលំហាត់ពីជគណិតទាំងពីរ។
\(B:\) សិស្ស \(Y\) ម្នាក់ជ្រើសរើសយកលំហាត់ធរណីមាត្រទាំងពីរ។
\(C:\) សិស្ស \(Z\) ម្នាក់ជ្រើសរើសយកលំហាត់ពីជគណិតមួយ និងលំហាត់ធរណីមាត្រមួយ។
គេចង់ជ្រើសរើសសិស្ស \(3\) នាក់ក្នុងចំណោមសិស្ស \(10\) នាក់ដែលក្នុងនោះមានសិស្សប្រុស \(6\) នាក់ និងសិស្សស្រី \(4\) នាក់។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
«រើសបានប្រុស \(2\) នាក់ និងស្រី \(1\) នាក់»
«រើសបានប្រុសសុទ្ធ»
«រើសបានស្រីសុទ្ធ»
«យ៉ាងហោចណាស់មានប្រុសម្នាក់»
ថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស \(50\) នាក់។ ក្នុងការធ្វើសម្ភាសសិស្សទាំង \(50\) នាក់ គេដឹងថានៅក្នុងថ្នាក់រៀននោះមានសិស្ស
\(30\) នាក់ ចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា សិស្ស \(25\) នាក់ ចូលចិត្តរៀនរូបវិទ្យា និងសិស្ស \(15\) ចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា។រកចំនួនសិស្ស ចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា ឬ រូបវិទ្យា។
រកចំនួនសិស្ស មិនចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា និងមិនចូលចិត្តរៀនរូបវិទ្យា។
រកចំនួនសិស្ស ចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា តែមិនចូលចិត្តរៀនរូបវិទ្យា។
នៅក្នុងប្រអប់ \(A\) មានសៀវភៅពីជគណិត \(3\) ក្បាល និងធរណីមាត្រ \(4\) ក្បាល ហើយនៅក្នុងប្រអប់ \(B\) មានសៀវភៅពីជគណិត \(5\) ក្បាល និងធរណីមាត្រ \(3\) ក្បាល។ គេចាប់យកសៀវភៅមួយក្បាលពីប្រអប់ \(A\) ដាក់ចូលក្នុងប្រអប់ \(B\) ហើយចាប់យកសៀវភៅមួយក្បាលពីប្រអប់ \(B\) ដាក់ចូលក្នុងប្រអប់ \(A\) វិញ។ រកប្រូបាបដែលចំនួនសៀវភៅទាំងពីជគណិត និងធរណីមាត្រនៅក្នុងប្រអប់ទាំងពីរមិនប្រែប្រួល។
ក្នុងកាបូបមួយមានក្រដាសប្រាក់ \(1\ 000\) ៛ ចំនួន \(4\) សន្លឹក និងក្រដាសប្រាក់ \(500\) ៛ ចំនួន \(5\) សន្លឹក។ គេហូតយកក្រដាសប្រាក់ \(3\) សន្លឹក ចេញពីកាបូបដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តការណ៍ដូចខាងក្រោម៖
\(\mathrm{A}:\) ហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(1\ 000\) ៛ ទាំង \(3\) សន្លឹក។
\(\mathrm{B}:\) ហូតបានយ៉ាងតិចណាស់ក្រដាសប្រាក់ \(500\) ៛ ចំនួន \(1\) សន្លឹក។
\(\mathrm{C}:\) ហូតបានប្រាក់ចំនួន \(2\ 000\) ៛។
ក្នុងប្រអប់មួយមានក្រដាសប្រាក់ \(5\ 000\)៛ ចំនួន \(7\) សន្លឹក និងក្រដាសប្រាក់ \(10\ 000\)៛ ចំនួន \(5\) សន្លឹក។ គេហូតយក
ក្រដាសប្រាក់ \(4\) សន្លឹកពីក្នុងប្រអប់ដោយចៃដន្យ។រកប្រូបាបដែលគេហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(5\ 000\)៛ ទាំង \(4\) សន្លឹក។
រកប្រូបាបដែលគេហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(10\ 000\)៛ យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក។
រកប្រូបាបដែលគេហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(5\ 000\)៛ ចំនួន \(3\) សន្លឹកគត់។
នៅក្នុងថង់មួយមាន ប៊ូលពណ៌ក្រហម \(8\) និងប៊ូលពណ៌ខ្មៅ \(6\) ។ គេចាប់យកប៊ូល \(5\) ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ូលទាំង \(5\) មានពណ៌ក្រហមទាំងអស់។
រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ូល \(3\) ពណ៌ក្រហម និងប៊ូល \(2\) ពណ៌ខ្មៅ។
រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានប៊ូលពណ៌ខ្មៅ \(1\) យ៉ាងតិច។
ក្នុងប្រអប់មួយមានថ្នាំគីណាល់ \(7\)គ្រាប់ និងថ្នាំអាស្ពឺរីន \(5\)គ្រាប់។ គេចាប់យកថ្នាំ \(4\)គ្រាប់ ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានថ្នាំគីណាល់ទាំង \(4\) គ្រាប់។
រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានថ្នាំអាស្ពឺរីនយ៉ាងតិច \(1\) គ្រាប់។
ក្នុងប្រអប់មួយមាន ប៊ិចខៀវចំនួន \(7\) ដើម និងប៊ិចក្រហមចំនួន \(5\) ដើម។ គេចាប់យកប៊ិច \(4\) ដើមចេញដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិចខៀវទាំង \(4\) ដើម។
រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិចខៀវចំនួន \(3\) ដើម និងចាប់បានប៊ិចក្រហមចំនួន \(1\) ដើម។
រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានប៊ិចក្រហមយ៉ាងតិច \(1\) ដើម។
ក្នុងស្បោងមួយមានឃ្លីពណ៌ក្រហម \(4\) ឃ្លីពណ៌ខ្មៅចំនួន \(3\) និងឃ្លីពណ៌សចំនួន \(1\) ។ គេចាប់យកម្តងឃ្លីចំនួន \(3\) ។
គេសន្និដ្ឋានថាប្រូបាបដែលចាប់បានយកឃ្លីនីមួយៗជាសមប្រូបាប។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖«យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៌ក្រហម»
«យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៌ដូចគ្នា»
«ឃ្លីទាំងបីមានពណ៌ខុសៗគ្នា»
ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស \(30\) នាក់ដែលក្នុងនោះ \(14\) នាក់ជានារី។ ក្នុងចំណោមសិស្សទាំងនោះ នារី \(8\) នាក់ និងបុរស \(4\)នាក់ ជាសិស្សនៅក្នុងអន្តេវាសិកដ្ឋាន។ សិស្សដទៃទៀតនៅក្រៅអន្តេវាសិកដ្ឋាន។ គេជ្រើសរើសសិស្សម្នាក់ក្នុងថ្នាក់នេះដោយចៃដន្យ។ កំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
\(\mathrm{A}:\) «សិស្សដែលជ្រើសរើសជាសិស្សនៅក្នុងអន្តេវាសិកដ្ឋាន» \(\mathrm{B}:\) «សិស្សដែលជ្រើសរើសជាសិស្សប្រុស»គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តការណ៍ \(\mathrm{A}\) រួចរកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{B}\) ។
គណនាប្រូបាប\(\mathrm{P(B|A)}\) មានន័យថាប្រូបាបនៃការជ្រើសរើសសិស្សប្រុសដោយដឹងថាជាសិស្សនៅអន្តេវាសិកដ្ឋាន។
កំណត់ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{A\cap B}\) ។
គ្រូម្នាក់ធ្វើសំណួរផ្ទាល់មាត់ដោយឲ្យសិស្សចាប់ឆ្នោតយកសំណួរមួយក្នុងចំណោមសំណួរពីជគណិត \(3\) សំណួរ និងធរណីមាត្រ\(2\)សំណួរ។ សុខជាសិស្សចូលចិត្តរៀនតែពីជគណិត។ តើសុខមានសំណាងប៉ុន្មានភាគរយចាប់បានសំណួរពីជគណិត និងប៉ុន្មានភាគរយចាប់បានសំណួរធរណីមាត្រ?
ក្នុងធុងមួយគេមានប៊ូល \(12\) ដែលគេសរសេរលេខពី \(1\) ដល់ \(12\) ។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ចេញពីធុងព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖«គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ទតែចែកដាច់នឹង \(3\)»
«គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង\(3\)»
«គេចាប់បានប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់កើនជាស្វ៊ីតនព្វន្ត ដែលមានផលសងរួម \(d=3\)»
«គេចាប់បានប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់បង្កើតបានស្វ៊ីតធរណីមាត្រ មានផលធៀបរួម \(q=\frac{1}{2}\)»
គេរើសសិស្សម្នាក់ឲ្យធ្វើជាប្រធានក្រុម ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(5\)នាក់ និងសិស្សប្រុស \(3\)នាក់។ រកប្រូបាបដែលប្រធានក្រុមជាសិស្សស្រី និងរកប្រូបាបសិស្សប្រុសជាប្រធានក្រុម។
គេធ្វើវិញ្ញាសាហូតប័ណ្ណម្តងមួយសន្លឹកចំនួន \(2\) ដងចេញពីថង់មួយដែលមានប័ណ្ណលេខ \(1\) លេខ \(2\) និងលេខ \(3\) ដោយហូតហើយដាក់វិញ។
ចូរសរសេរលំហសំណាក \(\mathrm{S}\) ព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{A}\) ដែលហូតលើកទី \(1\) បានលេខគូ និងព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{B}\) ដែលហូតទាំង \(2\) លើកបានប័ណ្ណមានផលបូកលេខស្មើនឹង\(5\) ។
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{A}\) និងប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{B}\) ។
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(2\) និងឃ្លីខៀវ \(3\) ។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ចេញពីថង់ម្តងមួយៗដោយចៃដន្យ។
ក្នុងករណីយកហើយដាក់វិញ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បាន៖
ឃ្លីក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ។
ឃ្លីក្រហមមុន ឬខៀវក្រោយ។
ក្នុងករណីយកហើយមិនដាក់វិញ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បាន
ឃ្លីក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ ។
ឃ្លីក្រហមមុន ឬខៀវក្រោយ ។
គេជ្រើសរើសសិស្ស \(2\) នាក់ ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(4\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(5\) នាក់ ជាតំណាងក្រុម។ រកប្រូបាបដែលសិស្ស៖
ស្រីជាប្រធានក្រុម។
ប្រុសទាំង \(2\) ជាតំណាងក្រុម។
ស្រីជាប្រធាន និងប្រុសជាអនុប្រធាន។
យ៉ាងតិចមានសិស្សស្រីម្នាក់ជាតំណាងក្រុម។
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(4\) និងឃ្លីខៀវ \(6\)។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីក្រហមទាំង\(2\)។
រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីខៀវទាំង\(2\)។
រកប្រូបាបដែលចាប់បាបឃ្លី \(2\) មានពណ៌ដូចគ្នា។
ក្នុងប្រអប់ \(\mathrm{A}\) មានសំបុត្រ \(5\) សន្លឹក ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(5\)។ ប្រអប់ \(\mathrm{B}\) មានសំបុត្រ \(3\)សន្លឹក ចុះលេខពី \(4\) ដល់ \(6\)។
គេចាប់យកសំបុត្រ\(1\) សន្លឹកចេញពីប្រអប់នីមួយៗដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែលសំបុត្រទាំង\(2\)៖មានលេខដូចគ្នា។
មានលេខខុសគ្នា។
មានផលបូកលេខជាចំនួនសេស។
គេបោះគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់មួយគ្រាប់ \(2\) ដង។
រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំង\(2\) លើកខុសគ្នា។
រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំង\(2\) លើកជាលេខគូ។
រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំង\(2\) លើកខុសគ្នា និងជាលេខគូ។
គេបង្កើតលេខសម្ងាត់របស់សោដោយចំនួនដែលមានលេខ \(4\)ខ្ទង់ ខុសពីលេខ \(0\)។
តើគេអាចបង្កើតលេខសម្ងាត់នេះបានប៉ុន្មានបែប?
គេរើសយកលេខសម្ងាត់មួយដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
«លេខសម្ងាត់ជាចំនួនគូ»
«លេខសម្ងាត់ទាំង\(4\)ខ្ទង់ជាលេខគូ»
«លេខសម្ងាត់ទាំង\(4\)ខ្ទង់មានលេខ\(1\)តែម្តងគត់»
«លេខសម្ងាត់ទាំង\(4\)ខ្ទង់ខុសៗគ្នា»
គេរើសសិស្ស \(8\) នាក់ដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមសិស្សប្រុស \(9\) នាក់ និងសិស្សស្រី \(11\)នាក់ ទៅសម្ភាសន៍។
តើគេអាចរៀបសិស្សបានប៉ុន្មានរបៀបខុសៗគ្នា?
រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
«ក្រុមសិស្សទាំង\(8\)នាក់មានសុទ្ទតែសិស្សស្រី»
«ក្នុងក្រុមមានសិស្សស្រី\(8\)នាក់ និងប្រុស \(3\)នាក់»
គេរៀបចំឆ្នោត \(150\)សន្លឹកដើម្បីលក់ឲ្យអស់មុនពេលចេញផ្ទៀង ដែលក្នុងនោះមានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(5\)សន្លឹក។ មនុស្សម្នាក់ទិញឆ្នោត \(10\) សន្លឹក។
គ្មានត្រូវរង្វាន់សោះ។
ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក។
ត្រូវរង្វាន់ \(3\) សន្លឹកគត់។
ក្នុងថង់មួយមានអក្សរ \(10\) តួ \(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j\) ។ គេចាប់យកអក្សរ \(4\) តួ ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។
រកប្រូបាបដែល៖គ្មានបានស្រៈមួយសោះ។
បានស្រៈតែមួយគត់។
បានស្រៈតែ \(2\) គត់។
យ៉ាងតិចណាស់បានស្រៈមួយ។
គេបោះកាក់មួយ និងគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់មួយគ្រាប់ព្រមគ្នា។ ចូរកំណត់៖
សកម្មភាពដែលជាពិសោធន៍ចៃដន្យ និងជាវិញាសា។
លំហសំណាក \(\mathrm{S}\) និងព្រឹត្តិការណ៍៖
\(\mathrm{A}\) «បោះកាក់បានខាងរូប \(\mathrm{H}\)»
\(\mathrm{B}:\) «បោះគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់បានលេខ\(4\)»
រកប្រូបាបព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង \(\mathrm{A}\) ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង \(\mathrm{B}\) និងព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(\mathrm{A}\) និង \(\mathrm{B}\) ។
ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ
បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត
| ល.រ | ចម្លើយ | ល.រ | ចម្លើយ | ល.រ | ចម្លើយ | ល.រ | ចម្លើយ | ល.រ | ចម្លើយ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ១ | គ | ២១ | គ | ៤១ | គ | ៦១ | ខ | ៨១ | គ |
| ២ | ខ | ២២ | ខ | ៤២ | ខ | ៦២ | ខ | ៨២ | ខ |
| ៣ | ក | ២៣ | ក | ៤៣ | ក | ៦៣ | ក | ៨៣ | ក |
| ៤ | ឃ | ២៤ | ឃ | ៤៤ | ឃ | ៦៤ | ឃ | ៨៤ | ឃ |
| ៥ | គ | ២៥ | គ | ៤៥ | គ | ៦៥ | គ | ៨៥ | គ |
| ៦ | ខ | ២៦ | ខ | ៤៦ | ខ | ៦៦ | ខ | ៨៦ | ខ |
| ៧ | ក | ២៧ | ក | ៤៧ | ក | ៦៧ | ក | ៨៧ | ក |
| ៨ | ឃ | ២៨ | ឃ | ៤៨ | ឃ | ៦៨ | ឃ | ៨៨ | ឃ |
| ៩ | គ | ២៩ | គ | ៤៩ | គ | ៦៩ | គ | ៨៩ | គ |
| ១០ | ខ | ៣០ | ខ | ៥០ | ខ | ៧០ | ខ | ៩០ | ខ |
| ១១ | ក | ៣១ | ក | ៥១ | ក | ៧១ | ក | ៩១ | ក |
| ១២ | ឃ | ៣២ | ឃ | ៥២ | ឃ | ៧២ | ឃ | ៩២ | ឃ |
| ១៣ | គ | ៣៣ | គ | ៥៣ | គ | ៧៣ | គ | ៩៣ | គ |
| ១៤ | ខ | ៣៤ | ខ | ៥៤ | ខ | ៧៤ | ខ | ៩៤ | ខ |
| ១៥ | ក | ៣៥ | ក | ៥៥ | ក | ៧៥ | ក | ៩៥ | ក |
| ១៦ | ឃ | ៣៦ | ឃ | ៥៦ | ឃ | ៧៦ | ឃ | ៩៦ | ឃ |
| ១៧ | គ | ៣៧ | គ | ៥៧ | គ | ៧៧ | គ | ៩៧ | គ |
| ១៨ | ខ | ៣៨ | ខ | ៥៨ | ខ | ៧៨ | ខ | ៩៨ | ខ |
| ១៩ | ក | ៣៩ | ក | ៥៩ | ក | ៧៩ | ក | ៩៩ | ក |
| ២០ | ឃ | ៤០ | ឃ | ៦០ | ឃ | ៨០ | ឃ | ១០០ | ឃ |
ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ស \(4\) គ្រាប់ និងឃ្លីពណ៌ខៀវ \(5\) គ្រាប់ (សរុប \(9\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) គ្រាប់ព្រមគ្នាចេញពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក «គេចាប់បានឃ្លីពណ៌ខៀវទាំងពីរ» ខ «គេចាប់បានឃ្លីមួយក្នុងមួយពណ៌»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_9^2 = 36\)។
ក «ចាប់បានឃ្លីពណ៌ខៀវទាំងពីរ» ៖
ខ «ចាប់បានឃ្លីមួយក្នុងមួយពណ៌» ៖
ក្នុងអាងចិញ្ចឹមត្រីមួយមានត្រីពណ៌ក្រហម \(4\) និងត្រីពណ៌ស \(3\) (សរុប \(7\) ក្បាល)។ គេចាប់ត្រី \(2\) យកមកដាក់ក្នុងអាងថ្មីដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក «ត្រីពណ៌ក្រហមទាំងពីរ» ខ «ត្រីពណ៌សទាំងពីរ» គ «ត្រីមួយក្នុងមួយពណ៌»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_7^2 = 21\)។
ក «ត្រីពណ៌ក្រហមទាំងពីរ» ៖
ខ «ត្រីពណ៌សទាំងពីរ» ៖
គ «ត្រីមួយក្នុងមួយពណ៌» ៖
នៅក្នុងធុងមួយមានប៊ូលក្រហម \(4\) ប៊ូលស \(3\) និងប៊ូលខៀវ \(1\) (សរុប \(8\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ព្រមគ្នាចេញពីធុងដោយចៃដន្យ។
ក រកប្រូបាប «ចាប់បានប៊ូលក្រហមពីរ និងមួយទៀតមិនក្រហម»
ខ រកប្រូបាប «ចាប់បានប៊ូលក្រហមទាំងបី»
គ រកប្រូបាប «ចាប់បានយ៉ាងតិចប៊ូលក្រហមពីរ»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_8^3 = 56\)។
ក «ក្រហម \(2\) និងមិនក្រហម \(1\)» ៖
ខ «ក្រហមទាំងបី» ៖
គ «យ៉ាងតិចប៊ូលក្រហមពីរ» ៖
ក្នុងប្រអប់មួយមានខ្មៅដៃពណ៌ខៀវ \(5\) ដើម និងខ្មៅដៃពណ៌ក្រហម \(4\) ដើម (សរុប \(9\) ដើម)។ សិស្សម្នាក់ចាប់យកខ្មៅដៃ \(3\) ព្រមគ្នាចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។
ក រកប្រូបាប «សិស្សយកបានខ្មៅដៃខៀវ \(2\) ដើម និងក្រហម \(1\) ដើម»
ខ រកប្រូបាប «សិស្សយកបានខ្មៅដៃពណ៌ដូចគ្នា»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_9^3 = 84\)។
ក ខៀវ \(2\) និងក្រហម \(1\) ៖
ខ ពណ៌ដូចគ្នា (ខៀវ \(3\) ឬ ក្រហម \(3\)) ៖
ក្នុងថតតុមួយមានសៀវភៅគណិតវិទ្យា \(7\) ក្បាល និងសៀវភៅភាសាខ្មែរ \(5\) ក្បាល (សរុប \(12\) ក្បាល)។ សិស្សម្នាក់យកសៀវភៅ \(4\) ក្បាលព្រមគ្នាចេញពីថតតុដោយចៃដន្យ។
ក រកប្រូបាប «សិស្សយកបានសៀវភៅគណិតវិទ្យាទាំង \(4\) ក្បាល»
ខ រកប្រូបាប «សិស្សយកបានសៀវភៅភាសាខ្មែរយ៉ាងតិច \(1\) ក្បាល»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{12}^4 = 495\)។
ក គណិតទាំង \(4\) ៖
ខ ខ្មែរយ៉ាងតិច \(1\) (ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(\overline{B} = A\)) ៖
គ្រូបន្ទុកថ្នាក់ជ្រើសរើសប្រធានក្រុមវេនសំអាតចំនួន \(6\) នាក់ ពីសិស្សប្រុស \(20\) នាក់ និងស្រី \(15\) នាក់ (សរុប \(35\) នាក់)។ គណនាប្រូបាប ៖
ក «ប្រធានក្រុមសុទ្ធតែប្រុស» ខ «ប្រធានក្រុមសុទ្ធតែស្រី»
គ «ប្រធានក្រុមមានប្រុស \(3\) នាក់ និងស្រី \(3\) នាក់»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{35}^6 = 1623160\)។
ក «សុទ្ធតែប្រុស» ៖
ខ «សុទ្ធតែស្រី» ៖
គ «ប្រុស \(3\) ស្រី \(3\)» ៖
ថង់មួយមានឃ្លី \(3\) គឺ \(a, b, c\)។ គេចាប់យកឃ្លីម្តងមួយ ចំនួន \(2\) លើកដោយដាក់ចូលថង់វិញ។
ក កំណត់លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីពីរផ្សេងគ្នា», \(B\) ៖ «ចាប់បានឃ្លី \(b\) នៅលើកទី១»
ខ រកប្រូបាប \(P(A), P(B), P(A \cap B)\) និង \(P(A \cup B)\)
ដំណោះស្រាយ
ក លំហសំណាក ៖ \(n(S) = 3 \times 3 = 9\)។
\(A = \{(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b)\} \implies n(A)=6\)
\(B = \{(b,a),(b,b),(b,c)\} \implies n(B)=3\)
ខ គណនាប្រូបាប ៖
ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស \(10\) នាក់ (ស្រី \(4\) ប្រុស \(6\))។ គេជ្រើសរើសសិស្ស \(4\) នាក់ដោយចៃដន្យយកទៅប្រកួត។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែស្រី»
ខ «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែប្រុស»
គ «ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបាន \(50\%\) ជាសិស្សប្រុស»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{10}^4 = 210\)។
ក «សុទ្ធតែស្រី» ៖
ខ «សុទ្ធតែប្រុស» ៖
គ «\(50\%\) ជាប្រុស» (ប្រុស \(2\) ស្រី \(2\)) ៖
ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល \(15\) ៖ បៃតង \(7\) (លេខ ១ ដល់ ៧), ខៀវ \(5\) (លេខ ១ ដល់ ៥), ក្រហម \(3\) (លេខ ១ ដល់ ៣)។ គេចាប់យកប៊ូលមួយដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែល ៖
ក ប៊ូលចាប់បានមានពណ៌បៃតង
ខ ប៊ូលចាប់បានមានលេខសេស
គ ប៊ូលចាប់បានមានពណ៌បៃតង និងលេខសេស
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = 15\)។
ក «ពណ៌បៃតង» (\(7\) គ្រាប់) ៖
ខ «លេខសេស» (\(4+3+2=9\) គ្រាប់) ៖
គ «បៃតង និងលេខសេស» (\(4\) គ្រាប់) ៖
ក្នុងស្បោងមួយមានប៊ូលពណ៌ស \(3\) ប៊ូលពណ៌ខៀវ \(3\) និងប៊ូលពណ៌ក្រហម \(2\) (សរុប \(8\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ព្រមគ្នាចេញពីស្បោងដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក «យ៉ាងតិចមានប៊ូល \(2\) ពណ៌ខៀវ» ខ «ប៊ូលទាំង \(3\) មានពណ៌ខុសៗគ្នា»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_8^3 = 56\)។
ក «យ៉ាងតិចមានប៊ូល \(2\) ពណ៌ខៀវ» (ខៀវ \(2\) និងមិនខៀវ \(1\) ឬ ខៀវ \(3\)) ៖
ខ «ប៊ូលទាំង \(3\) មានពណ៌ខុសៗគ្នា» (ស \(1\), ខៀវ \(1\), ក្រហម \(1\)) ៖
ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សអាស៊ី \(4\) នាក់ អាមេរិក \(2\) នាក់ និងអឺរ៉ុប \(3\) នាក់ (សរុប \(9\) នាក់)។ គេរៀបចំក្រុមស្វ័យសិក្សាមានសិស្ស \(3\) នាក់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖
ក «យ៉ាងតិចមានសិស្ស \(2\) នាក់ជាសិស្សអាស៊ី»
ខ «មានសិស្សមកពីទ្វីបទាំងបីក្នុងក្រុម»
គ «គ្មានសិស្សអាស៊ីសោះក្នុងក្រុម»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_9^3 = 84\)។
ក អាស៊ីយ៉ាងតិច \(2\) (អាស៊ី \(2\) ឬ អាស៊ី \(3\)) ៖
ខ មកពីទ្វីបទាំងបី ៖
គ គ្មានអាស៊ីសោះ ៖
ក្នុងធុងមួយមានប៊ូល \(12\) ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(12\)។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ព្រមគ្នាចេញពីធុងដោយចៃដន្យ។
ក រកប្រូបាប «ប៊ូលទាំង \(3\) មានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង \(3\)»
ខ រកប្រូបាប «មានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង \(3\)»
គ រកប្រូបាប «លេខតាមលំដាប់កើនជាស្វ៊ីតនព្វន្តដែលមានផលសងរួម \(d=3\)»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{12}^3 = 220\)។
លេខចែកដាច់នឹង \(3\) មាន \(4\) គ្រាប់, មិនចែកដាច់មាន \(8\) គ្រាប់។
ក ទាំង \(3\) ចែកដាច់នឹង \(3\) ៖
ខ តែ \(1\) គត់ចែកដាច់នឹង \(3\) ៖
គ ស្វ៊ីតនព្វន្តមានផលសងរួម \(d=3\) ៖
ករណីស្របមាន \(6\) ករណី ៖
\((1,4,7), (2,5,8), (3,6,9),\)
\((4,7,10), (5,8,11), (6,9,12)\)
ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីស \(2\) គ្រាប់ (លេខ \(1, 2\)) និងឃ្លីខ្មៅ \(3\) គ្រាប់ (លេខ \(1, 2, 3\)) សរុប \(5\) គ្រាប់។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ព្រមគ្នាចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។
ក \(A\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីពណ៌ដូចគ្នា»
ខ \(B\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីមានផលបូកលេខស្មើ \(3\)»
គ \(C\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីមានផលបូកលេខស្មើ \(3\) ដោយបានដឹងថា វាមានពណ៌ដូចគ្នា»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_5^2 = 10\)។
ក «ពណ៌ដូចគ្នា» (ស \(2\) ឬ ខ្មៅ \(2\)) ៖
ខ «ផលបូកលេខស្មើ \(3\)» ៖
គូផលបូក \(3\) ៖ \((W_1,W_2), (W_1,B_2), (W_2,B_1), (B_1,B_2)\) ៖
គ «ផលបូក \(3\) ដោយដឹងថាពណ៌ដូចគ្នា» ៖
\(A \cap B = \{(W_1,W_2), (B_1,B_2)\} \implies n(A \cap B) = 2\) ៖
គេចង់បង្កើតចំនួនមានលេខ \(3\) ខ្ទង់ខុសៗគ្នា ដោយប្រើលេខពី \(1\) ដល់ \(9\) (\(9\) តួ)។
ក រកចំនួនករណីអាចទាំងអស់
ខ រកប្រូបាបដែលចំនួននោះជាពហុគុណនៃ \(5\)
គ រកប្រូបាបដែលចំនួននោះជាចំនួនគូ
ដំណោះស្រាយ
ក ចំនួនករណីអាច ៖
ខ ពហុគុណនៃ \(5\) ៖
គ ចំនួនគូ ៖
ក្នុងថង់មួយមានប៊ិចក្រហម \(8\) និងប៊ិចខៀវ \(6\) (សរុប \(14\) ដើម)។ គេចាប់យកប៊ិច \(5\) ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាប ៖
ក \(A\) ៖ «ប៊ិចទាំង \(5\) ពណ៌ក្រហម»
ខ \(B\) ៖ «ប៊ិច \(3\) ក្រហម និង \(2\) ខៀវ»
គ \(C\) ៖ «យ៉ាងហោចណាស់មានប៊ិចខៀវមួយ»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{14}^5 = 2002\)។
ក «ក្រហមទាំង \(5\)» ៖
ខ «ក្រហម \(3\) និងខៀវ \(2\)» ៖
គ «យ៉ាងហោចណាស់មានខៀវ \(1\)» ៖
ទេសចរណ៍មួយក្រុមមានបុរស \(3\) នាក់ និងស្ត្រី \(5\) នាក់ (សរុប \(8\) នាក់) ឈរតម្រង់ជួរគ្នាដោយចៃដន្យ។
ក រកចំនួនរបៀបនៃការឈរជាជួរ
ខ រកប្រូបាបដែល ៖ \(A\) ៖ «នារីឈរនៅក្បាលជួរ», \(B\) ៖ «បុរសទាំង \(3\) នាក់ឈរជាប់គ្នា»
ដំណោះស្រាយ
ក ចំនួនរបៀបឈរជាជួរ ៖
ខ គណនាប្រូបាប ៖
- នារីនៅក្បាលជួរ ៖
- បុរស \(3\) នាក់ឈរជាប់គ្នា (ចាត់ជា \(1\) ដុំ \(\implies 6! \times 3!\)) ៖
មេបញ្ជាការកងទ័ពបានបង្កើតចំនួនសម្ងាត់ជាចំនួនគត់មានលេខ \(3\) ខ្ទង់ខុសៗគ្នា ដោយប្រើលេខពី \(1\) ដល់ \(9\)។
ក រកចំនួនបែបនៃការបង្កើតចំនួនសម្ងាត់
ខ រកប្រូបាបនៃ ៖ \(A\) ៖ «ជាចំនួនគូ», \(B\) ៖ «ជាចំនួនសេស»
ដំណោះស្រាយ
ក ចំនួនបែប ៖
ខ គណនាប្រូបាប ៖
- ចំនួនគូ (ខ្ទង់រាយមាន \(4\) ជម្រើស) ៖
- ចំនួនសេស ៖
ក្រូចថ្លុង \(20\) ផ្លែមាន \(16\) ផ្លែផ្អែម និង \(4\) ផ្លែជូរ។ អ្នកទិញម្នាក់រើសយកក្រូច \(3\) ផ្លែដោយចៃដន្យ។
ក \(A\) ៖ «ក្រូចទាំង \(3\) សុទ្ធតែជូរ»
ខ \(B\) ៖ «ក្រូចទាំង \(3\) ផ្លែសុទ្ធតែផ្អែម»
គ \(C\) ៖ «យ៉ាងតិចមានក្រូច \(1\) ផ្លែមានរសជាតិផ្អែម»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{20}^3 = 1140\)។
ក «សុទ្ធតែជូរ» ៖
ខ «សុទ្ធតែផ្អែម» ៖
គ «ផ្អែមយ៉ាងតិច \(1\)» ៖
គេប្រើលេខពី \(0\) ដល់ \(9\) ដើម្បីសរសេរចំនួនមាន \(4\) ខ្ទង់ (ខ្ទង់ដើមមិនមែន \(0\))។
ក តើអាចសរសេរបានប៉ុន្មានចំនួន?
ខ តើមានប៉ុន្មានចំនួនដែលខ្ទង់ទាំង \(4\) ខុសៗគ្នា?
គ តើមានប៉ុន្មានចំនួនដែលមានលេខទាំង \(4\) ខ្ទង់ដូចគ្នា?
ដំណោះស្រាយ
ក ចំនួនសរុប ៖
ខ ខ្ទង់ទាំង \(4\) ខុសគ្នា ៖
គ ខ្ទង់ទាំង \(4\) ដូចគ្នា (មានរាង \(aaaa\) ដោយ \(a \in \{1,\dots,9\}\)) ៖
វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យាមានលំហាត់ពីជគណិត \(6\) និងធរណីមាត្រ \(4\) (សរុប \(10\))។ បេក្ខជនម្នាក់ៗត្រូវជ្រើសរើសធ្វើលំហាត់ \(2\)។
ក រកចំនួនករណីអាច
ខ រកប្រូបាប ៖ \(A\) ៖ «ពីជគណិតទាំងពីរ», \(B\) ៖ «ធរណីមាត្រទាំងពីរ», \(C\) ៖ «ពីជគណិតមួយ និងធរណីមាត្រមួយ»
ដំណោះស្រាយ
ក ចំនួនករណីអាច ៖
ខ គណនាប្រូបាប ៖
- \(A\) ៖ ពីជគណិតទាំង \(2\) ៖
- \(B\) ៖ ធរណីមាត្រទាំង \(2\) ៖
- \(C\) ៖ ពីជគណិត \(1\) និងធរណី \(1\) ៖
គេជ្រើសរើសសិស្ស \(3\) នាក់ពីសិស្ស \(10\) នាក់ (ប្រុស \(6\) ស្រី \(4\))។ រកប្រូបាបដែល ៖
ក រើសបានប្រុស \(2\) និងស្រី \(1\)
ខ រើសបានប្រុសសុទ្ធ
គ រើសបានស្រីសុទ្ធ
ឃ យ៉ាងហោចណាស់មានប្រុសម្នាក់
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{10}^3 = 120\)។
ក ប្រុស \(2\) និងស្រី \(1\) ៖
ខ ប្រុសសុទ្ធ ៖
គ ស្រីសុទ្ធ ៖
ឃ យ៉ាងហោចណាស់មានប្រុស \(1\) ៖
ថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស \(50\) នាក់ ៖ សិស្ស \(30\) នាក់ចូលចិត្តគណិតវិទ្យា (\(M\)) សិស្ស \(25\) នាក់ចូលចិត្តរូបវិទ្យា (\(P\)) និង \(15\) នាក់ចូលចិត្តទាំងពីរ (\(M \cap P\))។
ក រកចំនួនសិស្សចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា ឬរូបវិទ្យា
ខ រកចំនួនសិស្សមិនចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា និងមិនចូលចិត្តរៀនរូបវិទ្យា
គ រកចំនួនសិស្សចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា តែមិនចូលចិត្តរៀនរូបវិទ្យា
ដំណោះស្រាយ
ក ចំនួនសិស្សចូលចិត្តគណិត ឬរូប ៖
ខ មិនចូលចិត្តទាំងពីរមុខ ៖
គ ចូលចិត្តតែគណិតមួយមុខគត់ ៖
ក្នុងប្រអប់ \(A\) មានសៀវភៅពីជគណិត \(3\) និងធរណីមាត្រ \(4\) (សរុប \(7\) ក្បាល)។ ក្នុងប្រអប់ \(B\) មានពីជគណិត \(5\) និងធរណីមាត្រ \(3\) (សរុប \(8\) ក្បាល)។ គេចាប់យកសៀវភៅមួយក្បាលពីប្រអប់ \(A\) ដាក់ចូលក្នុងប្រអប់ \(B\) ហើយចាប់យកសៀវភៅមួយក្បាលពីប្រអប់ \(B\) ដាក់ចូលក្នុងប្រអប់ \(A\) វិញ។ រកប្រូបាបដែលចំនួនសៀវភៅទាំងពីរមុខក្នុងប្រអប់ទាំងពីរមិនប្រែប្រួល។
ដំណោះស្រាយ
ដើម្បីឱ្យចំនួនសៀវភៅទាំងពីរមុខក្នុងប្រអប់ទាំងពីរមិនប្រែប្រួល គេត្រូវផ្ទេរសៀវភៅប្រភេទដូចគ្នាទៅវិញទៅមក ៖
\(\bullet\) ករណី ១ ៖ ផ្ទេរពីជគណិតពី \(A\) ទៅ \(B\) រួចផ្ទេរពីជគណិតពី \(B\) ទៅ \(A\) វិញ ៖
\(\bullet\) ករណី ២ ៖ ផ្ទេរធរណីមាត្រពី \(A\) ទៅ \(B\) រួចផ្ទេរធរណីមាត្រពី \(B\) ទៅ \(A\) វិញ ៖
នាំឱ្យប្រូបាបសរុបដែលចំនួនសៀវភៅមិនប្រែប្រួល ៖
ក្នុងកាបូបមួយមានក្រដាសប្រាក់ \(1\,000\) ៛ ចំនួន \(4\) សន្លឹក និងក្រដាសប្រាក់ \(500\) ៛ ចំនួន \(5\) សន្លឹក (សរុប \(9\) សន្លឹក)។ គេហូតយកក្រដាសប្រាក់ \(3\) សន្លឹក ចេញពីកាបូបដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចខាងក្រោម ៖
ក \(A\) ៖ «ហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(1\,000\) ៛ ទាំង \(3\) សន្លឹក»
ខ \(B\) ៖ «ហូតបានយ៉ាងតិចណាស់ក្រដាសប្រាក់ \(500\) ៛ ចំនួន \(1\) សន្លឹក»
គ \(C\) ៖ «ហូតបានប្រាក់ចំនួន \(2\,000\) ៛»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_9^3 = 84\)។
ក \(1\,000\) ៛ ទាំង \(3\) ៖
ខ យ៉ាងតិចក្រដាស \(500\) ៛ ចំនួន \(1\) សន្លឹក ៖
ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(\overline{B}\) គឺ «គ្មានក្រដាស \(500\) ៛ សោះ» (\(1\,000\) ៛ ទាំង 3 = ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\)) ៖
គ ទទួលបានប្រាក់ \(2\,000\) ៛ (\(1\,000\) ៛ មួយ និង \(500\) ៛ ពីរ) ៖
ក្នុងប្រអប់មួយមានក្រដាសប្រាក់ \(5\,000\) ៛ ចំនួន \(7\) សន្លឹក និងក្រដាសប្រាក់ \(10\,000\) ៛ ចំនួន \(5\) សន្លឹក (សរុប \(12\) សន្លឹក)។ គេហូតយកក្រដាសប្រាក់ \(4\) សន្លឹកពីក្នុងប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក «ហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(5\,000\) ៛ ទាំង \(4\) សន្លឹក»
ខ «ហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(10\,000\) ៛ យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក»
គ «ហូតបានក្រដាសប្រាក់ \(5\,000\) ៛ ចំនួន \(3\) សន្លឹកគត់»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{12}^4 = 495\)។
ក ក្រដាស \(5\,000\) ៛ ទាំង \(4\) សន្លឹក ៖
ខ ក្រដាស \(10\,000\) ៛ យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក ៖
ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(\overline{B}\) គឺ «គ្មានក្រដាស \(10\,000\) ៛ សោះ» (\(5\,000\) ៛ ទាំង 4 = ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\)) ៖
គ ក្រដាស \(5\,000\) ៛ ចំនួន \(3\) សន្លឹកគត់ (និង \(10\,000\) ៛ មួយ) ៖
នៅក្នុងថង់មួយមាន ប៊ូលពណ៌ក្រហម \(8\) និងប៊ូលពណ៌ខ្មៅ \(6\) (សរុប \(14\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកប៊ូល \(5\) ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក «ចាប់បានប៊ូលទាំង \(5\) មានពណ៌ក្រហមទាំងអស់» ខ «ចាប់បានប៊ូល \(3\) ពណ៌ក្រហម និងប៊ូល \(2\) ពណ៌ខ្មៅ» គ «គេចាប់បានប៊ូលពណ៌ខ្មៅ \(1\) យ៉ាងតិច»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖
ក ចាប់បានប៊ូលក្រហមទាំង \(5\) ៖
ខ ចាប់បានក្រហម \(3\) និងខ្មៅ \(2\) ៖
គ យ៉ាងតិចបានប៊ូលខ្មៅ \(1\) ៖
ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ \(\overline{C}\) គឺ «ក្រហមទាំង \(5\)» (\(A\)) ៖
ក្នុងប្រអប់មួយមានថ្នាំគីណាល់ \(7\) គ្រាប់ និងថ្នាំអាស្ពឺរីន \(5\) គ្រាប់ (សរុប \(12\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកថ្នាំ \(4\) គ្រាប់ ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។
ក រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានថ្នាំគីណាល់ទាំង \(4\) គ្រាប់។ ខ រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានថ្នាំអាស្ពឺរីនយ៉ាងតិច \(1\) គ្រាប់។
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖
ក ចាប់បានថ្នាំគីណាល់ទាំង \(4\) ៖
ខ យ៉ាងតិចបានថ្នាំអាស្ពឺរីន \(1\) គ្រាប់ ៖
ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺចាប់បានគីណាល់ទាំង \(4\) ៖
ក្នុងប្រអប់មួយមាន ប៊ិចខៀវចំនួន \(7\) ដើម និងប៊ិចក្រហមចំនួន \(5\) ដើម (សរុប \(12\) ដើម)។ គេចាប់យកប៊ិច \(4\) ដើមចេញដោយចៃដន្យ។
ក រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិចខៀវទាំង \(4\) ដើម។ ខ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិចខៀវចំនួន \(3\) ដើម និងប៊ិចក្រហមចំនួន \(1\) ដើម។ គ រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានប៊ិចក្រហមយ៉ាងតិច \(1\) ដើម។
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{12}^4 = 495\)។
ក ចាប់បានប៊ិចខៀវទាំង \(4\) ដើម ៖
ខ ចាប់បានខៀវ \(3\) និងក្រហម \(1\) ៖
គ យ៉ាងតិចបានប៊ិចក្រហម \(1\) ដើម ៖
ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺចាប់បានខៀវទាំង \(4\) (\(A\)) ៖
ក្នុងស្បោងមួយមានឃ្លីពណ៌ក្រហម \(4\) ឃ្លីពណ៌ខ្មៅ \(3\) និងឃ្លីពណ៌ស \(1\) (សរុប \(8\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លី \(3\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។
ក «យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៌ក្រហម» ខ «យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៌ដូចគ្នា» គ «ឃ្លីទាំងបីមានពណ៌ខុសៗគ្នា»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_8^3 = 56\)។
ក យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៌ក្រហម (\(2\) ក្រ ឬ \(3\) ក្រ) ៖
គ ឃ្លីទាំងបីមានពណ៌ខុសៗគ្នា (\(1\) ក្រ, \(1\) ខ្មៅ, \(1\) ស) ៖
ខ យ៉ាងតិចមានពីរពណ៌ដូចគ្នា (ផ្ទុយពីពណ៌ខុសៗគ្នា) ៖
ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស \(30\) នាក់ដែលក្នុងនោះ \(14\) នាក់ជានារី (\(16\) នាក់ជាបុរស)។ ក្នុងចំណោមសិស្សទាំងនោះ នារី \(8\) នាក់ និងបុរស \(4\) នាក់ ជាសិស្សនៅក្នុងអន្តេវាសិកដ្ឋាន។ សិស្សដទៃទៀតនៅក្រៅអន្តេវាសិកដ្ឋាន។ គេជ្រើសរើសសិស្សម្នាក់ដោយចៃដន្យ។ តាង \(A\) ៖ «សិស្សនៅអន្តេវាសិកដ្ឋាន» និង \(B\) ៖ «សិស្សប្រុស»។
ក គណនាប្រូបាបនៃ \(A\) រួចរកប្រូបាបនៃ \(B\)។ ខ គណនាប្រូបាប \(P(B|A)\)។ គ កំណត់ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A \cap B\)។
ដំណោះស្រាយ
សរុបសិស្ស \(n(S) = 30\)។ សិស្សនៅអន្តេវាសិកដ្ឋាន ៖ \(n(A) = 8 + 4 = 12\)។
ក គណនាប្រូបាប \(P(A)\) និង \(P(B)\) ៖
ខ គណនា \(P(B|A)\) ៖
ក្នុងចំណោមសិស្សអន្តេវាសិកដ្ឋាន \(12\) នាក់ មានប្រុស \(4\) នាក់ ៖
គ កំណត់ប្រូបាបនៃ \(A \cap B\) ៖
មានសិស្សប្រុសនៅអន្តេវាសិកដ្ឋាន \(4\) នាក់ ៖
គ្រូម្នាក់ធ្វើសំណួរផ្ទាល់មាត់ដោយឱ្យសិស្សចាប់ឆ្នោតយកសំណួរមួយក្នុងចំណោមសំណួរពីជគណិត \(3\) សំណួរ និងធរណីមាត្រ \(2\) សំណួរ។ សុខជាសិស្សចូលចិត្តរៀនតែពីជគណិត។ តើសុខមានសំណាងប៉ុន្មានភាគរយចាប់បានសំណួរពីជគណិត និងប៉ុន្មានភាគរយចាប់បានសំណួរធរណីមាត្រ?
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនសំណួរសរុប ៖ \(3 + 2 = 5\) សំណួរ។
ក សំណាងចាប់បានសំណួរពីជគណិត ៖
ខ សំណាងចាប់បានសំណួរធរណីមាត្រ ៖
ក្នុងធុងមួយមានប៊ូល \(12\) ដែលសរសេរលេខពី \(1\) ដល់ \(12\)។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ចេញពីធុងព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម ៖
ក «ប៊ូលទាំងបីមានលេខចែកដាច់នឹង \(3\)» ខ «ប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង \(3\)» គ «ប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់កើនជាស្វ៊ីតនព្វន្ត \(d=3\)» ឃ «ប៊ូលមានលេខបង្កើតបានស្វ៊ីតធរណីមាត្រ \(q=\frac{1}{2}\)»
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{12}^3 = 220\)។ លេខចែកដាច់នឹង \(3\) គឺ \(\{3, 6, 9, 12\}\) (\(4\) លេខ)។
លេខមិនចែកដាច់នឹង \(3\) មាន \(8\) លេខ។
ក ទាំងបីចែកដាច់នឹង \(3\) ៖
ខ តែមួយគត់ចែកដាច់នឹង \(3\) ៖
គ ស្វ៊ីតនព្វន្ត \(d=3\) ៖ \((a, a+3, a+6)\) ជាមួយ \(a+6 \le 12 \implies a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) (មាន \(6\) ករណី) ៖
ឃ ស្វ៊ីតធរណីមាត្រ \(q=\frac{1}{2}\) (លំដាប់ចុះ \((4a, 2a, a)\) មាន \(a \in \{1, 2, 3\}\) គឺ \((4,2,1), (8,4,2), (12,6,3)\)) ៖
គេរើសសិស្សម្នាក់ឱ្យធ្វើជាប្រធានក្រុម ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(5\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(3\) នាក់ (សរុប \(8\) នាក់)។ រកប្រូបាបដែលប្រធានក្រុមជាសិស្សស្រី និងរកប្រូបាបសិស្សប្រុសជាប្រធានក្រុម។
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_8^1 = 8\)។
ក ប្រធានក្រុមជាសិស្សស្រី ៖
ខ ប្រធានក្រុមជាសិស្សប្រុស ៖
គេធ្វើវិញ្ញាសាហូតប័ណ្ណម្តងមួយសន្លឹកចំនួន \(2\) ដងចេញពីថង់មួយដែលមានប័ណ្ណលេខ \(1, 2, 3\) ដោយហូតហើយដាក់ចូលវិញ។
ក សរសេរលំហសំណាក \(S\) ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) (ហូតលើកទី \(1\) បានលេខគូ) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) (ផលបូកលេខទាំងពីរលើកស្មើនឹង \(5\))។ ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\)។
ដំណោះស្រាយ
ក កំណត់សំណុំ ៖
លំហសំណាក ៖
ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) (លើកទី \(1\) បានលេខគូ \(\{2\}\)) ៖
ខ រកប្រូបាប ៖
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(2\) និងឃ្លីខៀវ \(3\) (សរុប \(5\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ចេញពីថង់ម្តងមួយៗដោយចៃដន្យ។
ក ករណីយកហើយដាក់ចូលវិញ ៖ រកប្រូបាប «ក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ» និង «ក្រហមមុន ឬខៀវក្រោយ»។ ខ ករណីយកហើយមិនដាក់ចូលវិញ ៖ រកប្រូបាប «ក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ» និង «ក្រហមមុន ឬខៀវក្រោយ»។
ដំណោះស្រាយ
ក ករណីដាក់ចូលវិញ (\(n(S) = 5 \times 5 = 25\)) ៖
\(\bullet\) ក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ (\(RK\)) ៖
ខ ករណីមិនដាក់ចូលវិញ (\(n(S) = 5 \times 4 = 20\)) ៖
\(\bullet\) ក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ ៖
គេជ្រើសរើសសិស្ស \(2\) នាក់ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(4\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(5\) នាក់ (សរុប \(9\) នាក់)។ រកប្រូបាបដែល ៖
ក ស្រីជាប្រធានក្រុម ខ ប្រុសទាំង \(2\) ជាតំណាងក្រុម គ ស្រីជាប្រធាន និងប្រុសជាអនុប្រធាន ឃ យ៉ាងតិចមានសិស្សស្រីម្នាក់ជាតំណាងក្រុម
ដំណោះស្រាយ
ក ស្រីជាប្រធាន (រើសម្នាក់ជាប្រធានក្នុងចំណោម \(9\) នាក់) ៖
ខ ប្រុសទាំង \(2\) ជាតំណាងក្រុម (\(n(S) = C_9^2 = 36\)) ៖
គ ស្រីជាប្រធាន និងប្រុសជាអនុប្រធាន (\(n(S) = A_9^2 = 72\)) ៖
ឃ យ៉ាងតិចមានសិស្សស្រីម្នាក់ ៖
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(4\) និងឃ្លីខៀវ \(6\) (សរុប \(10\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។
ក រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីក្រហមទាំងពីរ។ ខ រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីខៀវទាំងពីរ។ គ រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លី \(2\) មានពណ៌ដូចគ្នា។
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{10}^2 = 45\)។
ក ក្រហមទាំងពីរ ៖
ខ ខៀវទាំងពីរ ៖
គ ឃ្លីទាំងពីរមានពណ៌ដូចគ្នា ៖
ក្នុងប្រអប់ \(\mathrm{A}\) មានសំបុត្រ \(5\) សន្លឹក ចុះលេខពី \(1\) ដល់ \(5\)។ ប្រអប់ \(\mathrm{B}\) មានសំបុត្រ \(3\) សន្លឹក ចុះលេខពី \(4\) ដល់ \(6\)។ គេចាប់យកសំបុត្រ \(1\) សន្លឹកចេញពីប្រអប់នីមួយៗដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែលសំបុត្រទាំងពីរ ៖
ក មានលេខដូចគ្នា ខ មានលេខខុសគ្នា គ មានផលបូកលេខជាចំនួនសេស
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = 5 \times 3 = 15\)។
ក មានលេខដូចគ្នា ៖ គឺ \((4,4)\) និង \((5,5)\) (\(2\) ករណី) ៖
ខ មានលេខខុសគ្នា ៖
គ ផលបូកលេខជាចំនួនសេស (សេស \(+\) គូ ឬ គូ \(+\) សេស) ៖
\(\mathrm{A}\) មាន \(3\) សេស \(\{1,3,5\}\) និង \(2\) គូ \(\{2,4\}\)។
\(\mathrm{B}\) មាន \(1\) សេស \(\{5\}\) និង \(2\) គូ \(\{4,6\}\)។
\(n(C) = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 6 + 2 = 8\) ករណី ៖
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ចំនួន \(2\) ដង។
ក រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំងពីរលើកខុសគ្នា។ ខ រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំងពីរលើកជាលេខគូ។ គ រកប្រូបាបដែលបោះបានលេខទាំងពីរលើកខុសគ្នា និងជាលេខគូ។
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = 6 \times 6 = 36\)។
ក លេខទាំងពីរលើកខុសគ្នា ៖
លេខដូចគ្នាមាន \(6\) ករណី ៖
ខ លេខទាំងពីរលើកជាលេខគូ \(\{2,4,6\}\) ៖
គ ខុសគ្នាផង និងជាលេខគូផង ៖
គេបង្កើតលេខសម្ងាត់របស់សោដោយចំនួនដែលមានលេខ \(4\) ខ្ទង់ ខុសពីលេខ \(0\) (ជ្រើសពី \(\{1, 2, \dots, 9\}\))។
ក តើគេអាចបង្កើតលេខសម្ងាត់នេះបានប៉ុន្មានបែប? ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖ (a) លេខសម្ងាត់ជាចំនួនគូ, (b) ទាំង \(4\) ខ្ទង់ជាលេខគូ, (c) មានលេខ \(1\) តែម្តងគត់, (d) ទាំង \(4\) ខ្ទង់ខុសៗគ្នា។
ដំណោះស្រាយ
ក ចំនួនលេខសម្ងាត់អាចបង្កើតបាន ៖
ខ្ទង់នីមួយៗមាន \(9\) ជម្រើស ៖
ខ គណនាប្រូបាប ៖
\(\bullet\) (a) លេខសម្ងាត់ជាចំនួនគូ (ខ្ទង់ចុងក្រោយគូ មាន \(4\) ជម្រើស \(\{2,4,6,8\}\)) ៖
គេរើសសិស្ស \(8\) នាក់ដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមសិស្សប្រុស \(9\) នាក់ និងសិស្សស្រី \(11\) នាក់ (សរុប \(20\) នាក់) ទៅសម្ភាសន៍។
ក តើគេអាចរៀបសិស្សបានប៉ុន្មានរបៀបខុសៗគ្នា? ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖ (a) «ក្រុមសិស្សទាំង \(8\) នាក់មានសុទ្ធតែសិស្សស្រី», (b) «ក្នុងក្រុមមានសិស្សស្រី \(8\) នាក់ និងប្រុស \(3\) នាក់»។
ដំណោះស្រាយ
ក ចំនួនរបៀបរៀបសិស្ស ៖
ខ គណនាប្រូបាប ៖
\(\bullet\) (a) ទាំង \(8\) នាក់សុទ្ធតែស្រី ៖
ដោយសារគេជ្រើសរើសសិស្សតែ \(8\) នាក់គត់ មិនអាចមានសរុប \(11\) នាក់បានឡើយ ៖
គេរៀបចំឆ្នោត \(150\) សន្លឹកដើម្បីលក់ឱ្យអស់មុនពេលចេញផ្ទៀង ដែលក្នុងនោះមានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(5\) សន្លឹក (ខុស \(145\) សន្លឹក)។ មនុស្សម្នាក់ទិញឆ្នោត \(10\) សន្លឹក។ រកប្រូបាបដែល ៖
ក គ្មានត្រូវរង្វាន់សោះ ខ ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក គ ត្រូវរង្វាន់ \(3\) សន្លឹកគត់
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{150}^{10}\)។
ក គ្មានត្រូវរង្វាន់សោះ (ទាំង \(10\) សន្លឹកសុទ្ធតែខុស) ៖
ខ ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក ៖
គ ត្រូវរង្វាន់ \(3\) សន្លឹកគត់ ៖
ក្នុងថង់មួយមានអក្សរ \(10\) តួ \(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j\) (មានស្រៈ \(3\) គឺ \(\{a, e, i\}\) និងព្យញ្ជនៈ \(7\))។ គេចាប់យកអក្សរ \(4\) តួ ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែល ៖
ក គ្មានបានស្រៈមួយសោះ ខ បានស្រៈតែមួយគត់ គ បានស្រៈតែ \(2\) គត់ ឃ យ៉ាងតិចណាស់បានស្រៈមួយ
ដំណោះស្រាយ
ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{10}^4 = 210\)។
ក គ្មានបានស្រៈសោះ (បានព្យញ្ជនៈទាំង \(4\)) ៖
ខ បានស្រៈតែមួយគត់ ៖
គ បានស្រៈតែ \(2\) គត់ ៖
ឃ យ៉ាងតិចណាស់បានស្រៈមួយ ៖
គេបោះកាក់មួយ និងគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ព្រមគ្នា។ ចូរកំណត់ ៖
ក សកម្មភាពដែលជាពិសោធន៍ចៃដន្យ និងជាវិញ្ញាសា។ ខ លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) («បោះកាក់បានខាងរូប \(H\)»), \(B\) («បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់បានលេខ \(4\)»)។ គ រកប្រូបាបព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង \(A\), ផ្ទុយនឹង \(B\) និងផលគុណ \(A\) និង \(B\)។
ដំណោះស្រាយ
ក កំណត់សកម្មភាព ៖
\(\bullet\) ពិសោធន៍ចៃដន្យ ៖ ការបោះកាក់មួយ និងគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយព្រមគ្នា។
\(\bullet\) វិញ្ញាសា ៖ ការអនុវត្តជាក់ស្តែងម្តងៗនៃការបោះនេះ។
ខ លំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍ ៖
\(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\} \implies n(S) = 12\)។
\(A = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6\} \implies n(A) = 6 \implies P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)។
\(B = \{H4, T4\} \implies n(B) = 2 \implies P(B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)។
គ គណនាប្រូបាប ៖
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
✎ សំណួរទី ៥១–៦០
✎ សំណួរទី ៦១–៧០
✎ សំណួរទី ៧១–៨០
✎ សំណួរទី ៨១–៩០
✎ សំណួរទី ៩១–១០០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២៣ វិភាគបន្សំ និងប្រូបាប — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី