ផ្ទៃក្រឡានៃផ្នែកប្លង់

មេរៀនទី ៣ ៖ អនុវត្តន៍អាំងតេក្រាលក្នុងធរណីមាត្រ

ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

ដំណោះស្រាយ

1. \(\displaystyle I = \int_0^2 3x \, dx\)

   គេបាន \(I = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{3(4)}{2} - 0 = 6\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = 6}\)

2. \(\displaystyle I = \int_2^4 4x \, dx\)

   គេបាន \(I = \Big[ 2x^2 \Big]_2^4 = 2(16) - 2(4) = 24\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = 24}\)

3. \(\displaystyle I = \int_0^2 x^2 \, dx\)

   គេបាន \(I = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = \frac{8}{3}}\)

4. \(\displaystyle I = \int_0^2 (x^2 - 5x) \, dx\)

   គេបាន \(I = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 10\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = -\frac{22}{3}}\)

5. \(\displaystyle I = \int_1^2 x^2 \, dx\)

   គេបាន \(I = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = \frac{7}{3}}\)

6. \(\displaystyle I = \int_0^3 (2x + 1) \, dx\)

   គេបាន \(I = \Big[ x^2 + x \Big]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = 12}\)

7. \(\displaystyle I = \int_0^1 x^3 \, dx\)

   គេបាន \(I = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = \frac{1}{4}}\)

8. \(\displaystyle I = \int_1^3 (3x^2 - 2x) \, dx\)

   គេបាន \(I = \Big[ x^3 - x^2 \Big]_1^3 = (27 - 9) - 0 = 18\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = 18}\)

9. \(\displaystyle I = \int_0^2 (4 - x^2) \, dx\)

   គេបាន \(I = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{I = \frac{16}{3}}\)

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = 9 - x^2\) លើ \([-3, 2]\) ជាមួយ \(n = 5\) ៖

   • \(\Delta x = \dfrac{2 - (-3)}{5} = 1\)

   • \(x_i \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}\)

   • \(f(x_i) \in \{5, 8, 9, 8, 5\}\)

   • \(S \approx R_5 = 1 \times (5 + 8 + 9 + 8 + 5)\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{S \approx 35}\)

2. \(f(x) = \dfrac{1}{x + 2}\) លើ \([-1, 3]\) ជាមួយ \(n = 4\) ៖

   • \(\Delta x = \dfrac{3 - (-1)}{4} = 1\)

   • \(x_i \in \{0, 1, 2, 3\}\)

   • \(f(x_i) \in \{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\}\)

   • \(S \approx R_4 = 1 \times \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) = \frac{77}{60}\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{S \approx 1.283}\)

3. \(f(x) = \sqrt{x}\) លើ \([0, 4]\) ជាមួយ \(n = 4\) ៖

   • \(\Delta x = \dfrac{4 - 0}{4} = 1\)

   • \(x_i \in \{1, 2, 3, 4\}\)

   • \(f(x_i) \in \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2\}\)

   • \(S \approx R_4 = 1 \times (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2)\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{S \approx 6.146}\)

4. \(f(x) = x^2 + 1\) លើ \([0, 3]\) ជាមួយ \(n = 6\) ៖

   • \(\Delta x = \dfrac{3 - 0}{6} = 0.5\)

   • \(x_i \in \{0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3\}\)

   • \(f(x_i) \in \{1.25, 2, 3.25, 5, 7.25, 10\}\)

   • \(S \approx R_6 = 0.5 \times 28.75\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{S \approx 14.375}\)

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = x^2\) លើ \([1, 3]\) ៖

   ដោយ \(x^2 \ge 0\) លើ \([1, 3]\) នាំឱ្យ ៖

   \(S = \displaystyle\int_1^3 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{26}{3}}\)

2. \(f(x) = x^2 + 2x - 3\) លើ \([1, 3]\) ៖

   លើ \([1, 3]\) គេមាន \(x^2 + 2x - 3 \ge 0\)

   \(S = \displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 3) dx\)

   \(= \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x \right]_1^3 = \frac{32}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{32}{3}}\)

3. \(f(x) = 2 - x^3\) លើ \([-3, -2]\) ៖

   លើ \([-3, -2]\) គេមាន \(2 - x^3 > 0\)

   \(S = \displaystyle\int_{-3}^{-2} (2 - x^3) dx\)

   \(= \left[ 2x - \frac{x^4}{4} \right]_{-3}^{-2} = \frac{73}{4}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{73}{4}}\)

4. \(f(x) = \dfrac{3}{2x + 1}\) លើ \([0, 2]\) ៖

   ដោយ \(\frac{3}{2x+1} > 0\) លើ \([0, 2]\) នាំឱ្យ ៖

   \(S = \displaystyle\int_0^2 \frac{3}{2x+1} dx = \left[ \frac{3}{2}\ln(2x+1) \right]_0^2\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{3}{2}\ln 5}\)

5. \(f(x) = 4 - x^2\) លើ \([-2, 2]\) ៖

   លើ \([-2, 2]\) គេមាន \(4 - x^2 \ge 0\)

   \(S = \displaystyle\int_{-2}^2 (4 - x^2) dx\)

   \(= \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 = \frac{32}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{32}{3}}\)

6. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) លើ \([0, 2]\) ៖

   លើ \([0, 1]\) ៖ \(f(x) \ge 0\), លើ \([1, 2]\) ៖ \(f(x) \le 0\)

   \(S = \displaystyle\int_0^1 f(x)dx - \int_1^2 f(x)dx\)

   \(= \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{1}{2}}\)

7. \(f(x) = \cos x\) លើ \([0, \pi]\) ៖

   លើ \([0, \frac{\pi}{2}]\) ៖ \(\cos x \ge 0\)

   លើ \([\frac{\pi}{2}, \pi]\) ៖ \(\cos x \le 0\)

   \(S = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx - \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \cos x dx = 2\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = 2}\)

8. \(f(x) = e^x - 1\) លើ \([0, 2]\) ៖

   លើ \([0, 2]\) គេមាន \(e^x - 1 \ge 0\)

   \(S = \displaystyle\int_0^2 (e^x - 1) dx\)

   \(= \Big[ e^x - x \Big]_0^2 = e^2 - 3\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = e^2 - 3}\)

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = x^2 + 2\) និង \(g(x) = x\) លើ \([2, 5]\) ៖

   លើ \([2, 5]\) គេមាន \(x^2 + 2 > x\) គ្រប់ \(x\)

   \(S = \displaystyle\int_2^5 (x^2 + 2 - x) dx\)

   \(= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_2^5 = \frac{155}{6}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{155}{6}}\)

2. \(f(x) = x^2\) និង \(g(x) = x^3\) លើ \([0, 1]\) ៖

   លើ \([0, 1]\) គេមាន \(x^2 \ge x^3\)

   \(S = \displaystyle\int_0^1 (x^2 - x^3) dx = \frac{1}{12}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{1}{12}}\)

3. \(f(x) = \sqrt{2x + 1}\) និង \(g(x) = 3x + 2\) លើ \([0, 2]\) ៖

   លើ \([0, 2]\) គេមាន \(3x + 2 \ge \sqrt{2x + 1}\)

   \(S = \displaystyle\int_0^2 (3x + 2 - \sqrt{2x + 1}) dx = \frac{13}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{13}{3}}\)

4. \(f(x) = e^{x-1}\) និង \(g(x) = x\) លើ \([1, 4]\) ៖

   លើ \([1, 4]\) គេមាន \(e^{x-1} \ge x\)

   \(S = \displaystyle\int_1^4 (e^{x-1} - x) dx = \left[ e^{x-1} - \frac{x^2}{2} \right]_1^4\)

   \(= (e^3 - 8) - \frac{1}{2} = e^3 - \frac{17}{2}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = e^3 - \frac{17}{2}}\)

5. \(f(x) = 4 - x^2\) និង \(g(x) = x + 2\) ៖

   សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ ៖ \(4 - x^2 = x + 2\)

   \(\iff x^2 + x - 2 = 0 \iff x = -2 \) ឬ \( x = 1\)

   លើ \([-2, 1]\) គេបាន \(4 - x^2 \ge x + 2\) ៖

   \(S = \displaystyle\int_{-2}^1 (2 - x - x^2) dx = \frac{9}{2}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{9}{2}}\)

6. \(f(x) = x^3\) និង \(g(x) = 4x\) ៖

   សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ ៖ \(x^3 = 4x \iff x \in \{-2, 0, 2\}\)

   ដោយភាពស៊ីមេទ្រី ៖

   \(S = 2\displaystyle\int_0^2 (4x - x^3) dx = 2\left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 8\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = 8}\)

ដំណោះស្រាយ

1. \(x = y^2\) និង \(x = 4\) ៖

   \(y^2 = 4 \implies y \in [-2, 2]\)

   \(S = \displaystyle\int_{-2}^2 (4 - y^2) dy\)

   \(= \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{-2}^2 = \frac{32}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{32}{3}}\)

2. \(x = \sqrt{y}\) ពី \(y = 1\) ដល់ \(y = 4\) ៖

   \(S = \displaystyle\int_1^4 \sqrt{y} dy = \left[ \frac{2}{3}y^{3/2} \right]_1^4 = \frac{14}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{14}{3}}\)

3. \(x = y^2 - 2y\) និង \(Oy\) ៖

   \(y^2 - 2y = 0 \implies y \in [0, 2]\)

   \(S = \displaystyle\int_0^2 (2y - y^2) dy\)

   \(= \left[ y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_0^2 = \frac{4}{3}\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{4}{3}}\)

4. \(x = e^y\) ពី \(y = 0\) ដល់ \(y = 1\) ៖

   \(S = \displaystyle\int_0^1 e^y dy = \Big[ e^y \Big]_0^1 = e - 1\)

   ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = e - 1}\)

ដំណោះស្រាយ

• សរសេរ \(x\) ជាអនុគមន៍នៃ \(y\) ៖

  \(x = y^2\) និង \(x = y + 2\)

• សមីការអ័រដោណេប្រសព្វ ៖

  \(y^2 = y + 2 \iff y^2 - y - 2 = 0\)

  \(\iff y = -1 \) ឬ \( y = 2\)

• លើចន្លោះ \([-1, 2]\) ៖ \(y + 2 \ge y^2\)

• គណនាផ្ទៃក្រឡា ៖

  \(S = \displaystyle\int_{-1}^2 (y + 2 - y^2) dy\)

  \(= \left[ \frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^2\)

  \(= \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}\)

  ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{9}{2}}\)

ដំណោះស្រាយ

• ចំណុចប្រសព្វ ៖

  លើ \([0, 1]\) ក្រាបប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(x = 0\) និង \(x = 1\)

• ប្រៀបធៀប ៖

  លើ \([0, 1]\) គេមាន \(\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \ge x^4\)

• គណនាផ្ទៃក្រឡា ៖

  \(S = \displaystyle\int_0^1 \left[ \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) - x^4 \right] dx\)

  \(= \left[ -\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \frac{x^5}{5} \right]_0^1\)

  \(= \frac{2}{\pi} - \frac{1}{5} = \frac{10 - \pi}{5\pi}\)

  ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{10 - \pi}{5\pi}}\)

ដំណោះស្រាយ

• លើ \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]\) គេមាន \(\sin x \ge \cos x\)

  \(\implies \sin^3 x \ge \cos^3 x\)

• ព្រីមីទីវ ៖

  \(\int \sin^3 x dx = -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x\)

  \(\int \cos^3 x dx = \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x\)

• គណនាផ្ទៃក្រឡា ៖

  \(S = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin^3 x - \cos^3 x) dx\)

  \(= \left[ -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} - \sin x + \frac{\sin^3 x}{3} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\)

  \(= \frac{5\sqrt{2}}{3}\)

  ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{5\sqrt{2}}{3}}\)

ដំណោះស្រាយ

1. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(l\) ៖

   • \(y' = 2e^{2x} \implies y'(1) = 2e^2\)

   • \(y - (e^2 - 1) = 2e^2(x - 1)\)

     \(\iff y = 2e^2 x - e^2 - 1\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{y = 2e^2 x - e^2 - 1}\)

2. រកផ្ទៃក្រឡា \(\mathcal{A}\) ៖

   • បន្ទាត់ \(l\) កាត់ \(Ox\) ត្រង់ \(x_0 = \frac{e^2+1}{2e^2}\)

   • \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (e^{2x}-1)dx - S_{\Delta}\)

     \(= \left[\frac{e^{2x}}{2} - x\right]_0^1 - \frac{1}{2}\left(1 - x_0\right)(e^2-1)\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{\mathcal{A} = \frac{e^2 - 1}{4e^2}}\)

ដំណោះស្រាយ

1. រកតម្លៃ \(m\) ៖

   • ផ្ទៃសរុប ៖ \(S = \displaystyle\int_{-2}^2 (4 - x^2) dx = \frac{32}{3}\)

   • ផ្ទៃលើបន្ទាត់ \(y = m\) ៖

     \(S_1 = \displaystyle\int_{-\sqrt{4-m}}^{\sqrt{4-m}} (4 - x^2 - m) dx = \frac{4}{3}(4-m)^{3/2}\)

   • ដោយ \(S_1 = \frac{1}{2}S \iff (4-m)^{3/2} = 4\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{m = 4 - 2\sqrt[3]{2}}\)

2. រកបន្ទាត់ឈរ \(x = c\) ៖

   • ដោយ \((P): y = 4 - x^2\) ជាអនុគមន៍គូ និងមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីជាអ័ក្ស \(Oy\) (\(x = 0\))

   • ផ្ទៃដែនប្លង់ស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងអ័ក្ស \(Oy\) ៖

     \(\displaystyle\int_{-2}^0 (4 - x^2) dx = \int_0^2 (4 - x^2) dx = \frac{16}{3}\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{x = 0}\)

រូបតំណាង ៖ បន្ទាត់ \(y = m\) ចែកផ្ទៃប៉ារ៉ាបូល \((P)\) ជាពីរផ្នែកស្មើគ្នា \(S_1 = S_2 = \frac{16}{3}\)

ដំណោះស្រាយ

1. រកចំណុចលំនឹងទីផ្សារ \((x_0, P_0)\) ៖

   • លំនឹងកើតឡើងនៅពេល \(D(x) = S(x)\) ៖

     \(100 - 0.5x = 10 + 0.5x \iff x = 90\)

     \(\implies x_0 = 90 \) ឯកតា

   • តម្លៃលំនឹង ៖

     \(P_0 = D(90) = 100 - 0.5(90) = 55 \) ពាន់រៀល

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{(x_0, P_0) = (90, 55)}\)

2. គណនាអតិរេកអ្នកប្រើប្រាស់ (\(CS\)) ៖

   • \(CS = \displaystyle\int_0^{90} [(100 - 0.5x) - 55] \, dx\)

     \(= \displaystyle\int_0^{90} (45 - 0.5x) \, dx\)

     \(= \left[ 45x - 0.25x^2 \right]_0^{90} = 4050 - 2025\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{CS = 2025 \text{ ពាន់រៀល}}\)

3. គណនាអតិរេកអ្នកផលិត (\(PS\)) ៖

   • \(PS = \displaystyle\int_0^{90} [55 - (10 + 0.5x)] \, dx\)

     \(= \displaystyle\int_0^{90} (45 - 0.5x) \, dx\)

     \(= \left[ 45x - 0.25x^2 \right]_0^{90}\)

     \(= 4050 - 2025 = 2025\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{PS = 2025 \text{ ពាន់រៀល}}\)

រូបតំណាង ៖ ក្រាបតម្រូវការ \(D(x)\), ផ្គត់ផ្គង់ \(S(x)\), ចំណុចលំនឹងទីផ្សារ និងដែនអតិរេក \(CS, PS\)

ដំណោះស្រាយ

1. ដោះស្រាយសំណួរ (a) ៖

   • ប្រសព្វ \(Ox\) (\(y = 0\)) ៖

     \(-x^2 + 2x + 3 = 0 \iff x = -1 \) ឬ \( x = 3\)

     នាំឱ្យ \(\boxed{(-1, 0) \text{ និង } (3, 0)}\)

   • ប្រសព្វ \(Oy\) (\(x = 0\)) ៖ \(y = 3 \implies\) \(\boxed{(0, 3)}\)

   • ផ្ទៃក្រឡា ៖

     \(S = \displaystyle\int_{-1}^3 (-x^2 + 2x + 3) dx = \frac{32}{3}\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{32}{3}}\)

2. ដោះស្រាយសំណួរ (b) ៖

   • សមីការអាប់ស៊ីសប្រសព្វ ៖

     \(x^2 - 3x + 2 = -x^2 + x + 2 \iff 2x(x - 2) = 0\)

     នាំឱ្យ \(\boxed{(0, 2) \text{ និង } (2, 0)}\)

   • លើ \([0, 2]\): \(-x^2 + x + 2 \ge x^2 - 3x + 2\)

     \(S = \displaystyle\int_0^2 (4x - 2x^2) dx = \frac{8}{3}\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{S = \frac{8}{3}}\)

3. ដោះស្រាយសំណួរ (c) ៖

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((\Delta)\) ត្រង់ \(x = 0\) ៖

     \(f'(x) = xe^x \implies f'(0) = 0\)

     \(f(0) = -1\)

     \((\Delta): y - (-1) = 0(x - 0)\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{y = -1}\)

   • គណនាផ្ទៃក្រឡា \(\mathcal{A}\) ៖

     លើ \([1, 2]\): \((x-1)e^x \ge 0\)

     \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 (x - 1)e^x dx\)

     តាង \(\begin{cases} u = x - 1 \\ dv = e^x dx \end{cases} \implies \begin{cases} du = dx \\ v = e^x \end{cases}\)

     \(\mathcal{A} = \Big[ (x - 1)e^x \Big]_1^2 - \displaystyle\int_1^2 e^x dx\)

     \(= e^2 - (e^2 - e) = e\)

     ដូចនេះ៖ \(\boxed{\mathcal{A} = e}\)

រូប (ក) ៖ ផ្ទៃខណ្ឌដោយ \((P)\) និង \(Ox\)

រូប (ខ) ៖ ផ្ទៃខណ្ឌដោយ \((C_1)\) និង \((C_2)\)

រូប (គ) ៖ ផ្ទៃខណ្ឌដោយ \((C), Ox, x=1, x=2\)