អនុគមន៍អិចស្ប៉ណង់ស្យែល

ក. ចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ)

ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty }f(x)\) ៖

   • កាលណា \(x\to +\infty\) ៖ \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} x\left(\frac{e^x}{x} - 1 - \frac{1}{x}\right) = +\infty\) ព្រោះ \(\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\) និង \(\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} = 0\) ។

   • កាលណា \(x\to -\infty\) ៖ \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} (e^x - x - 1) = 0 - (-\infty) - 1 = +\infty\) ព្រោះ \(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0\) ។

2. គណនា \(f'(x)\) សិក្សាសញ្ញា និងគូសតារាងអថេរភាព ៖

   • ដេរីវេ ៖ ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) គេបាន \(f'(x) = (e^x - x - 1)' = e^x - 1\) ។

   • សញ្ញា \(f'(x)\) ៖ \(f'(x) = 0 \iff e^x - 1 = 0 \iff x = 0\) ។ - បើ \(x < 0 \implies f'(x) < 0\) (\(f\) ចុះដាច់ខាតលើ \((-\infty, 0)\)) ។
     - បើ \(x > 0 \implies f'(x) > 0\) (\(f\) កើនដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\)) ។

   • បរមាធៀប ៖ \(f'(x)\) ប្តូរសញ្ញាពី (\(-\)) ទៅ (\(+\)) ត្រង់ \(x = 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបគឺ \(f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

     

3. បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(d: y = -x - 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ៖

   • ពិនិត្យផលដក ៖ \(f(x) - (-x - 1) = (e^x - x - 1) + x + 1 = e^x\) ។

   • លីមីត ៖ \(\lim_{x\to -\infty} [f(x) - (-x - 1)] = \lim_{x\to -\infty} e^x = 0\) ។
     ដូចនេះ បន្ទាត់ \(d: y = -x - 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \((C)\) ខាង \(-\infty\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ ដោយ \(e^x > 0, \forall x \implies f(x) - y_d > 0\) នោះក្រាប \((C)\) នៅលើបន្ទាត់ \(d\) ជានិច្ច ។

4. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច \(P\) ដែលបន្ទាត់ប៉ះស្របនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) ៖

   • បន្ទាត់ \(y = x\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(m = 1\) ។

   • បន្ទាត់ប៉ះស្របនឹង \(y = x \iff f'(x_P) = 1 \iff e^{x_P} - 1 = 1 \iff e^{x_P} = 2 \iff x_P = \ln 2 \approx 0.7\) ។

   • អរដោនេ ៖ \(y_P = f(\ln 2) = e^{\ln 2} - \ln 2 - 1 = 2 - \ln 2 - 1 = 1 - \ln 2 \approx 0.3\) ។
     ដូចនេះ ចំណុច \(P\) មានកូអរដោនេ \(P(\ln 2, 1 - \ln 2) \approx P(0.7, 0.3)\) ។

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T_P)\) ៖ \(y = 1\cdot(x - \ln 2) + 1 - \ln 2 = x + 1 - 2\ln 2 \approx x - 0.386\) ។

5. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត \(d\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \(T_P\) ក្នុងតម្រុយរួមគ្នា ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\)	\(d: y = -x - 1\)	\(y = -x - 1\)
   ចំណុចអប្បបរមាធៀប	\(O(0, 0)\)	\((0, 0)\)
   ចំណុចប៉ះ \(P\)	\(P(\ln 2, 1 - \ln 2)\)	\((0.693, 0.307)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(P\)	\(y = x + 1 - 2\ln 2\)	\(y \approx x - 0.386\)

ដំណោះស្រាយ

1. លីមីតត្រង់ \(+\infty\) និងអាស៊ីមតូតទ្រេត \(d\) ៖

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(x - 1 + \frac{2}{e^x}\right) = +\infty\) ព្រោះ \(\lim_{x\to +\infty} (x - 1) = +\infty\) និង \(\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0 \implies d: y = x - 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - (x - 1) = \frac{2}{e^x} > 0, \forall x \implies\) ក្រាប \((C)\) នៅលើបន្ទាត់ \(d\) ជានិច្ច ។

2. ទម្រង់ប្រភាគនៃ \(f(x)\) និងលីមីតត្រង់ \(-\infty\) ៖

   • \(f(x) = x - 1 + \frac{2}{e^x} = \frac{(x - 1)e^x + 2}{e^x} = \frac{xe^x - e^x + 2}{e^x}\) (ពិត) ។

   • គណនាលីមីត ៖ \(\lim_{x\to -\infty} (xe^x - e^x + 2) = 0 - 0 + 2 = 2\) និង \(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0^+\) ។
     ដូចនេះ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = \frac{2}{0^+} = +\infty\) ។

3. គណនា \(f'(x)\) សិក្សាសញ្ញា និងសង់តារាងអថេរភាព ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 1 - 2e^{-x} = \frac{e^x - 2}{e^x}\) ។

   • សញ្ញា ៖ \(f'(x) = 0 \iff e^x - 2 = 0 \iff x = \ln 2 \approx 0.693\) ។ - បើ \(x < \ln 2 \implies f'(x) < 0\) (\(f\) ចុះ); បើ \(x > \ln 2 \implies f'(x) > 0\) (\(f\) កើន) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(\ln 2) = \ln 2 - 1 + \frac{2}{2} = \ln 2 \approx 0.693\) ។

   • តារាងអថេរភាព ៖

     

4. សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(T\) ត្រង់ \(x_0 = 0\) ៖ \(f(0) = 1\), \(f'(0) = 1 - 2 = -1 \implies (T): y = -1(x - 0) + 1 \iff y = -x + 1\) ។

5. កំណត់ចំនួនឫសនៃ \(f(x) = 2\) និងអមដោយចំនួនគត់ពីរតគ្នា ៖ ដោយ \(\min f = \ln 2 \approx 0.693 < 2\) ហើយ \(f \to +\infty\) សងខាង នោះបន្ទាត់ \(y = 2\) កាត់ក្រាប \((C)\) ត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា \(x_1 < \ln 2 < x_2\) (សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា) ៖ - \(f(-1) = 2e - 2 \approx 3.44 > 2\) និង \(f(0) = 1 < 2 \implies -1 < x_1 < 0\) ។
   - \(f(2) = 1 + \frac{2}{e^2} \approx 1.27 < 2\) និង \(f(3) = 2 + \frac{2}{e^3} \approx 2.10 > 2 \implies 2 < x_2 < 3\) ។

6. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត \(d\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \(T\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\)	\(d: y = x - 1\)	\(y = x - 1\)
   ចំណុចអប្បបរមាធៀប	\(M(\ln 2, \ln 2)\)	\((0.693, 0.693)\)
   ប្រសព្វអ័ក្ស \((Oy)\)	\((0, 1)\)	\((0, 1)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x = 0\)	\((T): y = -x + 1\)	\(y = -x + 1\)
   ឫសទីមួយនៃ \(f(x) = 2\)	\(x_1 \in (-1, 0)\)	\(x_1 \approx -0.584\)
   ឫសទីពីរនៃ \(f(x) = 2\)	\(x_2 \in (2, 3)\)	\(x_2 \approx 2.843\)

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងទាញរកអាស៊ីមតូតនៃក្រាប \((C)\) ៖

   • \(\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\) (រូបមន្តគ្រឹះ) ។

   • \(\lim_{x\to -\infty} \frac{e^x}{x} = \frac{0}{-\infty} = 0 \implies y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\)) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(-\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to 0^+} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty\) និង \(\lim_{x\to 0^-} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty \implies x = 0\) (អ័ក្ស \(Oy\)) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

2. គណនា \(f'(x)\) សិក្សាសញ្ញា អប្បបរមា និងតារាងអថេរភាព ៖

   • \(f'(x) = \frac{(e^x)'x - e^x(x)'}{x^2} = \frac{(x - 1)e^x}{x^2}\) ។

   • ដោយ \(e^x > 0\) និង \(x^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq 0\) នោះសញ្ញានៃ \(f'(x)\) គឺតាម \((x - 1)\) ៖
     \(f'(x) = 0 \iff x = 1\) ។ \(f'(x) < 0\) លើ \((-\infty, 0) \cup (0, 1)\) (\(f\) ចុះ) និង \(f'(x) > 0\) លើ \((1, +\infty)\) (\(f\) កើន) ។

   • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) គឺ \(f(1) = \frac{e^1}{1} = e \approx 2.718\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

     

3. បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x_0 = 1\) ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ៖ \(f'(1) = 0 \implies (T): y = f'(1)(x - 1) + f(1) = e\) (ជាបន្ទាត់ដេក ស្របនឹងអ័ក្ស \(Ox\)) ។

4. ពិភាក្សាឫសនៃសមីការ \(e^x - mx = 0\) ៖ ចំពោះ \(x \neq 0\) សមីការសមមូលនឹង \(\frac{e^x}{x} = m \iff f(x) = m\) ។ តាមក្រាប និងតារាងអថេរភាព ៖ - បើ \(m < 0\) ៖ បន្ទាត់ \(y = m\) កាត់ \((C)\) ខ្នែង \(x < 0\) ត្រង់មួយចំណុច \(\implies\) មានឫសអវិជ្ជមានមួយ ។
   - បើ \(0 \leq m < e\) ៖ បន្ទាត់ \(y = m\) មិនកាត់ \((C)\) ឡើយ \(\implies\) គ្មានឫស ។
   - បើ \(m = e\) ៖ បន្ទាត់ \(y = e\) ប៉ះ \((C)\) ត្រង់ \((1, e)\) \(\implies\) មានឫសឌុប \(x = 1\) ។
   - បើ \(m > e\) ៖ បន្ទាត់ \(y = m\) កាត់ \((C)\) ខ្នែង \(x > 0\) ត្រង់ពីរចំណុច \(\implies\) មានឫសវិជ្ជមានពីរ ។
   សន្និដ្ឋាន ៖ សមីការមានឫសលុះត្រាតែ \(m < 0\) ឬ \(m \geq e\) ។

5. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត និងបន្ទាត់ប៉ះ ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)	\((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតឈរ	\(x = 0\) (អ័ក្ស \(Oy\))	\(x = 0\)
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(-\infty\)	\(y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\))	\(y = 0\)
   ចំណុចអប្បបរមាធៀប	\(M(1, e)\)	\((1, 2.718)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x = 1\)	\(y = e\) (ស្របនឹងអ័ក្ស \(Ox\))	\(y \approx 2.718\)
   លក្ខខណ្ឌ \(e^x - mx = 0\) មានឫស	\(m < 0\) ឬ \(m \geq e\)	\(m \in (-\infty, 0) \cup [2.718, +\infty)\)

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងទាញរកអាស៊ីមតូតដេក ៖

   • \(\lim_{x\to +\infty} (2x + 1)e^{-2x} = \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{2x}{e^{2x}} + \frac{1}{e^{2x}}\right) = 0 \implies y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\)) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to -\infty} (2x + 1)e^{-2x} = (-\infty)(+\infty) = -\infty\) ។

2. គណនា \(f'(x)\) សិក្សាសញ្ញា និងគូសតារាងអថេរភាព ៖

   • \(f'(x) = 2e^{-2x} + (2x + 1)(-2e^{-2x}) = -4x e^{-2x}\) ។

   • ដោយ \(e^{-2x} > 0, \forall x\) នោះសញ្ញា \(f'(x)\) គឺតាម \(-4x\) ៖ \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) ។
     បើ \(x < 0 \implies f'(x) > 0\) (\(f\) កើន); បើ \(x > 0 \implies f'(x) < 0\) (\(f\) ចុះ) ។

   • អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) គឺ \(f(0) = (2(0) + 1)e^0 = 1\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

     

3. រកចំណុចប្រសព្វ \(A\) និងសិក្សាសញ្ញានៃ \(f(x)\) ៖ \(f(x) = 0 \iff 2x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{2} \implies A\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\) ។
   សញ្ញានៃ \(f(x)\) គឺតាម \((2x + 1)\) ៖ \(f(x) < 0\) លើ \(\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)\), \(f\left(-\frac{1}{2}\right) = 0\), \(f(x) > 0\) លើ \(\left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\) ។

4. សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(T\) ត្រង់ \(A\) ៖ \(f'\left(-\frac{1}{2}\right) = 2e \approx 5.44 \implies (T): y = 2e\left(x + \frac{1}{2}\right) = 2ex + e \approx 5.437x + 2.718\) ។

5. កំណត់ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \((2x + 1)e^{-2x} = m\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា ៖ សមីការសមមូលនឹង \(f(x) = m\) ។ តាមតារាងអថេរភាព \(f\) កើនពី \(-\infty\) ទៅ \(1\) ហើយចុះទៅជិត \(0\) ខាងស្តាំ។ ដូចនេះ បន្ទាត់ \(y = m\) កាត់ \((C)\) ត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា លុះត្រាតែ \(0 < m < 1\) ។

6. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត និងបន្ទាត់ប៉ះ \(T\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\)	\(y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\))	\(y = 0\)
   ចំណុចអតិបរមាធៀប	\(M(0, 1)\)	\((0, 1)\)
   ប្រសព្វអ័ក្ស \(Ox\)	\(A\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)	\((-0.5, 0)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\)	\((T): y = 2ex + e\)	\(y \approx 5.437x + 2.718\)
   លក្ខខណ្ឌឫសពីរផ្សេងគ្នា	\(0 < m < 1\)	\(m \in (0, 1)\)

ដំណោះស្រាយ

1. កំណត់ \(a, b\) និងគណនាលីមីតត្រង់ \(+\infty\) ៖ \(f(x) = \frac{(e^x - 1) + 1}{e^x - 1} = 1 + \frac{1}{e^x - 1} \implies a = 1\) និង \(b = 1\) ។
   \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = 1 + 0 = 1 \implies y = 1\) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\) ។

2. ភាពមានដេរីវេ គណនា \(f'(x)\) អថេរភាព និងលីមីតចុងដែនកំណត់ ៖

   • \(f\) មានដេរីវេលើ \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) ដោយភាគបែង \(e^x - 1 \neq 0\) ។

   • \(f'(x) = -\frac{(e^x - 1)'}{(e^x - 1)^2} = -\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} < 0, \forall x \neq 0\) ។
     ដូចនេះ \(f\) ចុះដាច់ខាតលើ \((-\infty, 0)\) និងចុះដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\) ។ គ្មានបរមាធៀបឡើយ។

   • លីមីត ៖ \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0\) ; \(\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty\) ; \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty\) ; \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = 1\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

     

3. អាស៊ីមតូតទាំងអស់ និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(T\) ត្រង់ \(x = 1\) ៖ - អាស៊ីមតូតឈរ ៖ \(x = 0\) (អ័ក្ស \(Oy\)) ។
   - អាស៊ីមតូតដេក ៖ \(y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\)) ខាង \(-\infty\) និង \(y = 1\) ខាង \(+\infty\) ។
   - បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x_0 = 1\) ៖ \(f(1) = \frac{e}{e-1} \approx 1.582\), \(f'(1) = -\frac{e}{(e-1)^2} \approx -0.921\) ៖

   \[(T): y = -\frac{e}{(e - 1)^2}x + \frac{e^2}{(e - 1)^2} \approx -0.921x + 2.503\]

4. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត និងបន្ទាត់ប៉ះ \(T\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)	\((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតឈរ	\(x = 0\) (អ័ក្ស \(Oy\))	\(x = 0\)
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(-\infty\)	\(y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\))	\(y = 0\)
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\)	\(y = 1\)	\(y = 1\)
   ចំណុចប៉ះ \(M\)	\(M\left(1, \dfrac{e}{e-1}\right)\)	\((1, 1.582)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(M\)	\(y = -\dfrac{e}{(e-1)^2}x + \dfrac{e^2}{(e-1)^2}\)	\(y \approx -0.921x + 2.503\)

ដំណោះស្រាយ

1. សិក្សាអនុគមន៍ជំនួយ \(g(x) = (x - 1)e^x + 1\) ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(g'(x) = 1\cdot e^x + (x - 1)e^x = xe^x\) ។

   • សញ្ញា ៖ \(g'(x) = 0 \iff x = 0\) (ព្រោះ \(e^x > 0\)) ។ \(g'(x) < 0\) លើ \((-\infty, 0)\) និង \(g'(x) > 0\) លើ \((0, +\infty)\) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ ត្រង់ \(x = 0\) គឺ \(g(0) = (0 - 1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(g\) ៖

     

   • ទាញរកសញ្ញានៃ \(g(x)\) ៖ ដោយ \(g(0) = 0\) ជាតម្លៃអប្បបរមាដាច់ខាត នោះ \(g(x) \geq 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) (ហើយ \(g(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq 0\)) ។

2. សិក្សាអនុគមន៍ \(f(x) = (x - 2)e^x + x\) ៖

   1. គណនាលីមីត ៖ - \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} (xe^x - 2e^x + x) = 0 - 0 + (-\infty) = -\infty\) (ដោយ \(\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0\)) ។
      - \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = (+\infty)(+\infty) + (+\infty) = +\infty\) ។

   2. អាស៊ីមតូតទ្រេត និងទីតាំងធៀប ៖ \(\lim_{x\to -\infty} [f(x) - x] = \lim_{x\to -\infty} (x - 2)e^x = 0 \implies d: y = x\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ។
      ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - x = (x - 2)e^x\) មានសញ្ញាដូច \((x - 2)\) ៖ - បើ \(x < 2 \implies (C)\) នៅក្រោម \(d\) ; បើ \(x = 2 \implies (C)\) កាត់ \(d\) ត្រង់ \(K(2, 2)\) ; បើ \(x > 2 \implies (C)\) នៅលើ \(d\) ។

   3. គណនា \(f'(x)\) និងតារាងអថេរភាព ៖ \(f'(x) = 1\cdot e^x + (x - 2)e^x + 1 = (x - 1)e^x + 1 = g(x)\) ។
      ដោយ \(g(x) \geq 0\) នោះ \(f'(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\) (ស្មើសូន្យតែត្រង់ \(x = 0\)) \(\implies f\) កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ។

      

   4. ចំណុចរបត់ និងបន្ទាត់ប៉ះផ្តេក ៖ \(f''(x) = g'(x) = xe^x\) ។ \(f''(x) = 0 \iff x = 0\) ។
      ដោយ \(f''\) ប្តូរសញ្ញាពី (\(-\)) ទៅ (\(+\)) ត្រង់ \(x = 0\) នោះចំណុច \(I(0, f(0)) = I(0, -2)\) ជាចំណុចរបត់នៃក្រាប \((C)\) ។
      ត្រង់ \(I(0, -2)\) មេគុណប្រាប់ទិសគឺ \(f'(0) = g(0) = 0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(I\) មានសមីការ \(y = -2\) (ជាបន្ទាត់ដេក ស្របនឹងអ័ក្ស \(Ox\)) ។

3. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូតទ្រេត \(d\) និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចរបត់ ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\)	\(d: y = x\)	\(y = x\)
   ចំណុចរបត់	\(I(0, -2)\)	\((0, -2)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចរបត់ \(I\)	\(y = -2\) (ស្របនឹងអ័ក្ស \(Ox\))	\(y = -2\)
   ចំណុចប្រសព្វជាមួយ \(d\)	\(K(2, 2)\)	\((2, 2)\)

ដំណោះស្រាយ

1. លីមីតចុងដែនកំណត់ និងអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(e^x + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R} \implies D = \mathbb{R}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}} = 1 \implies y = 1\) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1 \implies y = -1\) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(-\infty\) ។

2. ដេរីវេ សិក្សាសញ្ញា និងបរមាធៀប ៖

   • \(f'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - (e^x - 1)e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}\) ។

   • ដោយ \(e^x > 0\) និង \((e^x + 1)^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) នោះ \(f'(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) ។

   • ដូចនេះ \(f\) កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ហើយគ្មានបរមាធៀបឡើយ។

3. បង្ហាញថា \(f\) ជាអនុគមន៍សេស និងបញ្ជាក់ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R} \implies -x \in \mathbb{R}\) ៖

   \[f(-x) = \frac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} = \frac{\frac{1}{e^x} - 1}{\frac{1}{e^x} + 1} = \frac{1 - e^x}{1 + e^x} = -\frac{e^x - 1}{e^x + 1} = -f(x)\]
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍សេស ហើយគល់តម្រុយ \(O(0, 0)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប \((C)\) ។

4. តារាងអថេរភាព និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ផ្ចិតឆ្លុះ ៖

   • តារាងអថេរភាព ៖

     

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(O(0, 0)\) ៖ \(f'(0) = \frac{2e^0}{(e^0 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) ៖

     \[(T): y = f'(0)(x - 0) + f(0) = \frac{1}{2}x\]

5. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត និងបន្ទាត់ប៉ះ \(T\) ៖

   • តម្លៃពិសេស ៖ \(f(1) = \frac{e - 1}{e + 1} \approx \frac{1.7}{3.7} \approx 0.46\) និង \(f(-1) \approx -0.46\) ។

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(-\infty\)	\(y = -1\)	\(y = -1\)
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\)	\(y = 1\)	\(y = 1\)
   ផ្ចិតឆ្លុះ	\(O(0, 0)\)	\((0, 0)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ផ្ចិតឆ្លុះ	\((T): y = \dfrac{1}{2}x\)	\(y = 0.5x\)

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ លីមីតចុងដែន និងអាស៊ីមតូត ៖

   • \(e^x - 1 \neq 0 \iff x \neq 0 \implies D = \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = 1 \implies y = 1\) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1 \implies y = -1\) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(-\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \frac{2}{0^+} = +\infty\) និង \(\lim_{x\to 0^-} f(x) = \frac{2}{0^-} = -\infty \implies x = 0\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

2. ដេរីវេ សិក្សាសញ្ញា និងបរមាធៀប ៖ \(f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 1)e^x}{(e^x - 1)^2} = \frac{-2e^x}{(e^x - 1)^2} < 0, \forall x \neq 0\) ។
   ដូចនេះ \(f\) ចុះដាច់ខាតលើ \((-\infty, 0)\) និងចុះដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\) ។ គ្មានបរមាធៀបឡើយ។

3. ភាពសេស និងផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(f(-x) = \frac{e^{-x} + 1}{e^{-x} - 1} = \frac{1 + e^x}{1 - e^x} = -\frac{e^x + 1}{e^x - 1} = -f(x)\) នាំឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍សេស ហើយគល់ \(O(0, 0)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប \((C)\) ។

4. កូអរដោនេ \(M\) និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(M\) ៖ - ឱ្យ \(f(x) = 3 \iff \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = 3 \iff e^x + 1 = 3e^x - 3 \iff 2e^x = 4 \iff e^x = 2 \iff x = \ln 2\) ។
   ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វគឺ \(M(\ln 2, 3) \approx M(0.7, 3)\) ។
   - មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(f'(\ln 2) = \frac{-2(2)}{(2 - 1)^2} = -4\) ។
   - សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T_M)\) ត្រង់ \(M\) ៖

   \[(T_M): y = -4(x - \ln 2) + 3 = -4x + 4\ln 2 + 3 \approx -4x + 5.77\]

5. តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

   

6. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត និងបន្ទាត់ប៉ះ \((T_M)\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)	\((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតឈរ	\(x = 0\) (អ័ក្ស \(Oy\))	\(x = 0\)
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(-\infty\)	\(y = -1\)	\(y = -1\)
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\)	\(y = 1\)	\(y = 1\)
   ចំណុច \(M\)	\(M(\ln 2, 3)\)	\((0.693, 3)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(M\)	\((T_M): y = -4x + 4\ln 2 + 3\)	\(y \approx -4x + 5.77\)

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់នៃ \(f\) ៖ អនុគមន៍ \(f\) កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(x \implies D = \mathbb{R}\) ។

2. គណនាលីមីតចុងដែនកំណត់ និងអាស៊ីមតូត ៖

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0 \implies y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\)) ជាអាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} x^2 e^{-x} = (+\infty)(+\infty) = +\infty\) ។

3. បន្ទាត់ \((L)\) ប៉ះក្រាប \((C)\) ត្រង់ \(x = 2\) ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 2x e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = x(2 - x)e^{-x}\) ។

   • ត្រង់ \(x = 2\) ៖ \(f'(2) = 2(2 - 2)e^{-2} = 0\) ។

   • មេគុណប្រាប់ទិសស្មើសូន្យ នាំឱ្យបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) មានសមីការ ៖

     \[(L): y = f(2) = 2^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.541\]
     សមីការមានរាង \(y = \text{const}\) ដូចនេះបន្ទាត់ \((L)\) ជាបន្ទាត់ដេក ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស \((Ox)\) ។

4. សិក្សាសញ្ញា \(f'(x)\) និងបរមាធៀប ៖ ដោយ \(e^{-x} > 0, \forall x\) នោះសញ្ញា \(f'(x)\) គឺតាម \(x(2 - x)\) ៖ - \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) ឬ \(x = 2\) ។
   - បើ \(x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \implies f'(x) < 0\) (\(f\) ចុះ) ។
   - បើ \(x \in (0, 2) \implies f'(x) > 0\) (\(f\) កើន) ។
   - អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) គឺ \(f(0) = 0\) ។
   - អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) គឺ \(f(2) = \frac{4}{e^2} \approx 0.541\) ។

5. តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

   

6. សង់ក្រាប \((C)\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតដេកខាង \(+\infty\)	\(y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\))	\(y = 0\)
   ចំណុចអប្បបរមាធៀប	\(O(0, 0)\)	\((0, 0)\)
   ចំណុចអតិបរមាធៀប	\(M\left(2, \dfrac{4}{e^2}\right)\)	\((2, 0.541)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(M\)	\((L): y = \dfrac{4}{e^2}\)	\(y \approx 0.541\)

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ លីមីតចុងដែន និងអាស៊ីមតូត ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D_f = \mathbb{R}\) ។

   • \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\) និង \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x - 2)] = \lim_{x\to +\infty} e^{1-x} = 0 \implies d: y = x - 2\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\) ។

   • \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} (x - 2 + e^{1-x}) = +\infty\) (ព្រោះ \(e^{1-x} \to +\infty\) លឿនជាង \(x \to -\infty\)) ។

2. ដេរីវេ សិក្សាសញ្ញា និងបរមាធៀប ៖

   • \(f'(x) = 1 - e^{1-x}\) ។

   • \(f'(x) = 0 \iff e^{1-x} = 1 \iff 1 - x = 0 \iff x = 1\) ។ - បើ \(x < 1 \implies 1 - x > 0 \implies e^{1-x} > 1 \implies f'(x) < 0\) (\(f\) ចុះ) ។
     - បើ \(x > 1 \implies 1 - x < 0 \implies e^{1-x} < 1 \implies f'(x) > 0\) (\(f\) កើន) ។

   • អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) គឺ \(f(1) = 1 - 2 + e^0 = -1 + 1 = 0\) ។

3. ទីតាំងធៀបរវាង \((C)\) និងបន្ទាត់ \(L\) កាត់តាមគល់តម្រុយ ស្របនឹង \(d\) ៖

   • បន្ទាត់ \(L\) កាត់តាម \(O(0, 0)\) និងស្របនឹង \(d: y = x - 2\) មានសមីការ \(L: y = x\) ។

   • ពិនិត្យផលដក ៖ \(f(x) - x = (x - 2 + e^{1-x}) - x = e^{1-x} - 2\) ។

   • \(f(x) - x = 0 \iff e^{1-x} = 2 \iff 1 - x = \ln 2 \iff x = 1 - \ln 2 \approx 1 - 0.7 = 0.3\) ។ - បើ \(x < 1 - \ln 2 \implies e^{1-x} > 2 \implies f(x) - x > 0\) នាំឱ្យ \((C)\) នៅលើ \(L\) ។
     - បើ \(x > 1 - \ln 2 \implies e^{1-x} < 2 \implies f(x) - x < 0\) នាំឱ្យ \((C)\) នៅក្រោម \(L\) ។
     - បើ \(x = 1 - \ln 2\) នាំឱ្យ \((C)\) កាត់ \(L\) ត្រង់ \(P(1 - \ln 2, 1 - \ln 2) \approx P(0.3, 0.3)\) ។

4. តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

   

5. សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូតទ្រេត \(d\) និងបន្ទាត់ \(L\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D_f = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\)	\(d: y = x - 2\)	\(y = x - 2\)
   ចំណុចអប្បបរមាធៀប	\(M(1, 0)\)	\((1, 0)\)
   បន្ទាត់កាត់តាមគល់ស្រប \(d\)	\(L: y = x\)	\(y = x\)
   ប្រសព្វរវាង \((C)\) និង \(L\)	\(P(1 - \ln 2, 1 - \ln 2)\)	\((0.307, 0.307)\)

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីតនៃ \(f\) ត្រង់ \(-\infty\) និង \(+\infty\) ៖

   • កាលណា \(x\to -\infty\) ៖ \(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0 \implies \lim_{x\to -\infty} \frac{4e^x}{1 + e^x} = \frac{0}{1} = 0\) ។
     ដូចនេះ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} (x + 2 - 0) = -\infty\) ។

   • កាលណា \(x\to +\infty\) ៖ \(\lim_{x\to +\infty} \frac{4e^x}{1 + e^x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{4}{e^{-x} + 1} = 4\) ។
     ដូចនេះ \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} (x + 2 - 4) = +\infty\) ។

2. អាស៊ីមតូតទ្រេត \((d_1)\) និងទីតាំងធៀប ៖

   • \(\lim_{x\to -\infty} [f(x) - (x + 2)] = \lim_{x\to -\infty} \left(-\frac{4e^x}{1 + e^x}\right) = 0 \implies (d_1): y = x + 2\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - (x + 2) = -\frac{4e^x}{1 + e^x} < 0, \forall x \in \mathbb{R}\) នាំឱ្យក្រាប \((C)\) នៅក្រោមបន្ទាត់ \((d_1)\) ជានិច្ច ។

3. ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព \(f(x) = x - 2 + \dfrac{4}{1 + e^x}\) ៖

   \[f(x) = x + 2 - \frac{4e^x}{1 + e^x} = x + 2 - \frac{4(e^x + 1) - 4}{1 + e^x} = x + 2 - 4 + \frac{4}{1 + e^x} = x - 2 + \frac{4}{1 + e^x} \quad{} \text{(ពិត)}\]

4. អាស៊ីមតូតទ្រេត \((d_2)\) និងទីតាំងធៀប ៖

   • \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x - 2)] = \lim_{x\to +\infty} \frac{4}{1 + e^x} = 0 \implies (d_2): y = x - 2\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - (x - 2) = \frac{4}{1 + e^x} > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) នាំឱ្យក្រាប \((C)\) នៅលើបន្ទាត់ \((d_2)\) ជានិច្ច ។

5. សិក្សាអថេរភាពនៃ \(f\) និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ត្រង់ \(x = 0\) ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 1 - \frac{4e^x(1 + e^x) - 4e^x(e^x)}{(1 + e^x)^2} = 1 - \frac{4e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{(1 + e^x)^2 - 4e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{(e^x - 1)^2}{(1 + e^x)^2}\) ។

   • សញ្ញា ៖ \(f'(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\) ដោយ \(f'(x) = 0 \iff e^x - 1 = 0 \iff x = 0\) ។
     ដូចនេះ \(f\) កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ។

   • តារាងអថេរភាព ៖

     

   • បន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ត្រង់ \(x = 0\) ៖ \(f(0) = 0 + 2 - \frac{4}{2} = 0\) និង \(f'(0) = 0\) ៖

     \[(L): y = f'(0)(x - 0) + f(0) \implies y = 0 \quad{} (\text{អ័ក្សអាប់ស៊ីស } Ox)\]

6. សង់ក្រាប \((C)\) បន្ទាត់ \((d_1), (d_2)\) និង \((L)\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\)	\((d_1): y = x + 2\)	\(y = x + 2\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\)	\((d_2): y = x - 2\)	\(y = x - 2\)
   ចំណុចរបត់	\(O(0, 0)\)	\((0, 0)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចរបត់	\((L): y = 0\) (អ័ក្ស \(Ox\))	\(y = 0\)

ដំណោះស្រាយ

1. បំលែងកន្សោម លីមីត និងអាស៊ីមតូតទ្រេត ៖

   1. ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព ៖ - \(f(x) = x - \frac{(e^x + 1) - 2}{e^x + 1} = x - 1 + \frac{2}{1 + e^x}\) (ពិត) ។
      - \(f(x) = x - \frac{2e^x - (e^x + 1)}{e^x + 1} = x + 1 - \frac{2e^x}{1 + e^x}\) (ពិត) ។

   2. គណនាលីមីត ៖ \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty\) និង \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\) ។

   3. អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ - \(\lim_{x\to -\infty} [f(x) - (x + 1)] = \lim_{x\to -\infty} \left(-\frac{2e^x}{1 + e^x}\right) = 0 \implies (d_1): y = x + 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ។
      - \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{1 + e^x} = 0 \implies (d_2): y = x - 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\) ។

   4. ទីតាំងធៀប ៖ - \(f(x) - (x + 1) = -\frac{2e^x}{1 + e^x} < 0 \implies (C)\) នៅក្រោម \((d_1)\) ជានិច្ច ។
      - \(f(x) - (x - 1) = \frac{2}{1 + e^x} > 0 \implies (C)\) នៅលើ \((d_2)\) ជានិច្ច ។

2. ភាពសេស និងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

   • ភាពសេស ៖ \(f(-x) = -x - \frac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} = -x - \left(-\frac{e^x - 1}{e^x + 1}\right) = -\left(x - \frac{e^x - 1}{e^x + 1}\right) = -f(x)\) នាំឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍សេស និងមាន \(O(0, 0)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះ ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 1 - \frac{2e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{(1 + e^x)^2 - 2e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^{2x} + 1}{(1 + e^x)^2} > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) ។

   • ដូចនេះ \(f\) កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ។

   • តារាងអថេរភាព ៖

     

3. សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ត្រង់ \(x = 0\) ៖ \(f(0) = 0\), \(f'(0) = \frac{1 + 1}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies (L): y = \frac{1}{2}x\) ។

4. សង់ក្រាប \((C), (d_1), (d_2), (L)\) ក្នុងតម្រុយតែមួយ ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\)	\((d_1): y = x + 1\)	\(y = x + 1\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\)	\((d_2): y = x - 1\)	\(y = x - 1\)
   ផ្ចិតឆ្លុះ	\(O(0, 0)\)	\((0, 0)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ផ្ចិតឆ្លុះ	\((L): y = \dfrac{1}{2}x\)	\(y = 0.5x\)

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត ៖ - \(\lim_{x\to -\infty} \frac{4e^x}{e^x + 2} = 0 \implies \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty\) ។
   - \(\lim_{x\to +\infty} \frac{4e^x}{e^x + 2} = 4 \implies \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\) ។

2. អាស៊ីមតូតទ្រេត \((d_1), (d_2)\) និងទីតាំងធៀប ៖

   • \(\lim_{x\to -\infty} [f(x) - (x + 2)] = \lim_{x\to -\infty} \left(-\frac{4e^x}{e^x + 2}\right) = 0 \implies (d_1): y = x + 2\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ។
     ទីតាំង ៖ \(f(x) - (x + 2) = -\frac{4e^x}{e^x + 2} < 0 \implies (C)\) នៅក្រោម \((d_1)\) ជានិច្ច ។

   • សរសេរ \(f(x) = x + 2 - \frac{4(e^x + 2) - 8}{e^x + 2} = x - 2 + \frac{8}{e^x + 2}\) ។
     \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x - 2)] = \lim_{x\to +\infty} \frac{8}{e^x + 2} = 0 \implies (d_2): y = x - 2\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\) ។
     ទីតាំង ៖ \(f(x) - (x - 2) = \frac{8}{e^x + 2} > 0 \implies (C)\) នៅលើ \((d_2)\) ជានិច្ច ។

3. អថេរភាព តារាងអថេរភាព និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A(\ln 2, \ln 2)\) ៖

   • \(f'(x) = 1 - \frac{4e^x(e^x + 2) - 4e^x(e^x)}{(e^x + 2)^2} = 1 - \frac{8e^x}{(e^x + 2)^2} = \frac{(e^x + 2)^2 - 8e^x}{(e^x + 2)^2} = \frac{(e^x - 2)^2}{(e^x + 2)^2} \geq 0\) ។

   • \(f'(x) = 0 \iff e^x - 2 = 0 \iff x = \ln 2 \approx 0.693\) ។
     ដូចនេះ \(f\) កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ។

   • តារាងអថេរភាព ៖

     

   • បន្ទាត់ប៉ះ \((L)\) ត្រង់ \(A(\ln 2, \ln 2)\) ៖ ដោយ \(f'(\ln 2) = 0\) នាំឱ្យ ៖

     \[(L): y = f'(\ln 2)(x - \ln 2) + f(\ln 2) \implies y = \ln 2 \approx 0.693 \quad{} (\text{បន្ទាត់ដេក})\]

4. សង់ក្រាប \((C), (d_1), (d_2)\) និង \((L)\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\)	\((d_1): y = x + 2\)	\(y = x + 2\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\)	\((d_2): y = x - 2\)	\(y = x - 2\)
   ចំណុចរបត់ \(A\)	\(A(\ln 2, \ln 2)\)	\((0.693, 0.693)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\)	\((L): y = \ln 2\)	\(y \approx 0.693\)

ដំណោះស្រាយ

1. សិក្សាសញ្ញានៃ \(h(x) = 1 + e^x(1 - x)\) ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(h'(x) = e^x(1 - x) + e^x(-1) = -xe^x\) ។

   • សញ្ញា \(h'(x)\) ៖ \(h'(x) = 0 \iff x = 0\) ។ \(h'(x) > 0\) លើ \((-\infty, 0)\) និង \(h'(x) < 0\) លើ \((0, +\infty)\) ។

   • តម្លៃអតិបរមាដាច់ខាត ៖ ត្រង់ \(x = 0\) គឺ \(h(0) = 1 + e^0(1 - 0) = 2\) ។

   • ភាពជាបន្ត និងសញ្ញានៃ \(h(x)\) ៖ - លើ \((-\infty, 0]\) អនុគមន៍កើនពី \(1\) ទៅ \(2\) នាំឱ្យ \(h(x) > 0\) ជានិច្ចលើចន្លោះនេះ ។
     - លើ \([0, +\infty)\) អនុគមន៍ចុះពី \(2\) ទៅ \(-\infty\) នោះសមីការ \(h(x) = 0\) មានឫសតែមួយគត់ \(\alpha \approx 1.28\) ។
     សន្និដ្ឋាន ៖ \(h(x) > 0\) លើ \((-\infty, \alpha)\) ; \(h(\alpha) = 0\) ; \(h(x) < 0\) លើ \((\alpha, +\infty)\) ។

2. សិក្សាអនុគមន៍ \(f(x) = 2 + x(1 + e^x) = x + 2 + xe^x\) ៖

   1. គណនាលីមីត ៖ - \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} (x + 2 + xe^x) = -\infty\) (ដោយ \(\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0\)) ។
      - \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\) ។

   2. អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ៖ \(\lim_{x\to -\infty} [f(x) - (x + 2)] = \lim_{x\to -\infty} xe^x = 0 \implies d: y = x + 2\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ។

   3. ទីតាំងធៀប និងអថេរភាព ៖ - ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - (x + 2) = xe^x\) មានសញ្ញាដូច \(x\) ៖ បើ \(x < 0 \implies (C)\) នៅក្រោម \(d\) ; បើ \(x = 0 \implies (C)\) កាត់ \(d\) ត្រង់ \((0, 2)\) ; បើ \(x > 0 \implies (C)\) នៅលើ \(d\) ។
      - ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 1 + (1 + e^x) + xe^x = 2 + (x + 1)e^x > 0, \forall x \in \mathbb{R} \implies f\) កើនជានិច្ចលើ \(\mathbb{R}\) ។

      

3. សង់ក្រាប \((C)\) និងអាស៊ីមតូតទ្រេត \(d\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\)	\(d: y = x + 2\)	\(y = x + 2\)
   ប្រសព្វអ័ក្ស \((Oy)\)	\((0, 2)\)	\((0, 2)\)
   ទីតាំងធៀបជាមួយ \(d\)	\((C)\) នៅក្រោម \(d\) លើ \((-\infty, 0)\)	កាត់ \(d\) ត្រង់ \((0, 2)\)

ដំណោះស្រាយ

1. បញ្ជាក់ថា \(e^{2x} \geq 2x + 1\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(h'(x) = 2e^{2x} - 2 = 2(e^{2x} - 1)\) ។

   • សញ្ញា ៖ \(h'(x) = 0 \iff e^{2x} = 1 \iff x = 0\) ។ \(h'(x) < 0\) លើ \((-\infty, 0)\) និង \(h'(x) > 0\) លើ \((0, +\infty)\) ។

   • អប្បបរមាដាច់ខាត ៖ ត្រង់ \(x = 0\) គឺ \(h(0) = e^0 - 0 - 1 = 0\) ។

   • ដោយ \(h(0) = 0\) ជាតម្លៃអប្បបរមាដាច់ខាត នោះ \(h(x) \geq 0 \implies e^{2x} - 2x - 1 \geq 0 \implies e^{2x} \geq 2x + 1, \forall x \in \mathbb{R}\) ។

2. សិក្សាអនុគមន៍ \(f(x) = (x + 1)(e^{-2x} + 1)\) ៖

   1. គណនា \(f'(x)\) និងប្រៀបធៀបសញ្ញាជាមួយ \(h(x)\) ៖

      \[\begin{aligned} f'(x) &= 1\cdot(e^{-2x} + 1) + (x + 1)(-2e^{-2x}) = e^{-2x} + 1 - (2x + 2)e^{-2x} \\ &= 1 - (2x + 1)e^{-2x} = e^{-2x}(e^{2x} - 2x - 1) = e^{-2x} h(x) \end{aligned}\]
      \(f'(0) = e^0 h(0) = 1 \cdot 0 = 0\) ។
      ដោយ \(e^{-2x} > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) នោះ \(f'(x)\) និង \(h(x)\) មានសញ្ញាដូចគ្នាចំពោះគ្រប់ \(x \neq 0\) (ពោលគឺ \(f'(x) > 0, \forall x \neq 0\)) ។

   2. លីមីត និងតារាងអថេរភាព ៖ - \(f(0) = (0 + 1)(e^0 + 1) = 1(2) = 2\) ។
      - \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = (-\infty)(+\infty) = -\infty\) ; \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = (+\infty)(0 + 1) = +\infty\) ។

      

   3. ទម្រង់ពន្លាត និងអាស៊ីមតូតទ្រេត \((D)\) ៖ \(f(x) = (x + 1)e^{-2x} + x + 1 = x + 1 + \frac{x}{e^{2x}} + \frac{1}{e^{2x}} = x + 1 + \left(\frac{x}{e^x}\right)\left(\frac{1}{e^x}\right) + \left(\frac{1}{e^x}\right)^2\) ។
      ដោយ \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0\) និង \(\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0\) នាំឱ្យ \(\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x + 1)] = 0\) ។
      ដូចនេះ បន្ទាត់ \((D): y = x + 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C)\) ខាង \(+\infty\) ។

   4. ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - (x + 1) = (x + 1)e^{-2x}\) មានសញ្ញាដូច \((x + 1)\) ៖ - បើ \(x < -1 \implies (C)\) នៅក្រោម \((D)\) ; បើ \(x = -1 \implies (C)\) កាត់ \((D)\) ត្រង់ \((-1, 0)\) ; បើ \(x > -1 \implies (C)\) នៅលើ \((D)\) ។

   5. ចំណុចប៉ះ \(M\) និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((\Delta)\) ស្របនឹង \((D)\) ៖ - បន្ទាត់ \((\Delta)\) ស្របនឹង \((D): y = x + 1 \iff f'(x_M) = 1\) ៖

      \[1 - (2x_M + 1)e^{-2x_M} = 1 \iff (2x_M + 1)e^{-2x_M} = 0 \iff 2x_M + 1 = 0 \iff x_M = -\frac{1}{2}\]
      - អរដោនេ ៖ \(y_M = f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2} + 1\right)(e^1 + 1) = \frac{e + 1}{2} \approx \frac{2.7 + 1}{2} = 1.85\) ។
      ដូចនេះ \(M\left(-\frac{1}{2}, \frac{e + 1}{2}\right) \approx M(-0.5, 1.85)\) ។ - សមីការ \((\Delta)\) ៖ \(y = 1\left(x + \frac{1}{2}\right) + \frac{e + 1}{2} = x + \frac{e + 2}{2} \approx x + 2.35\) ។

3. សង់បន្ទាត់ \((D), (\Delta)\) និងក្រាប \((C)\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\)	\((D): y = x + 1\)	\(y = x + 1\)
   ចំណុចប៉ះ \(M\)	\(M\left(-\frac{1}{2}, \frac{e+1}{2}\right)\)	\((-0.5, 1.859)\)
   បន្ទាត់ប៉ះ \((\Delta)\) ស្រប \((D)\)	\((\Delta): y = x + \frac{e+2}{2}\)	\(y \approx x + 2.359\)
   ប្រសព្វជាមួយ \((D)\)	\((-1, 0)\)	\((-1, 0)\)

ដំណោះស្រាយ

ក. សិក្សាអនុគមន៍ជំនួយ \(f(x) = (1-x)e^x - 1\) លើ \(\mathbb{R}\) ៖

• ដេរីវេ ៖ ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) គេបាន ៖

  \[f'(x) = -e^x + (1-x)e^x = (-1 + 1 - x)e^x = -xe^x\]

• សញ្ញា \(f'(x)\) ៖ ដោយ \(e^x > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) នោះសញ្ញា \(f'(x)\) អាស្រ័យនឹង \(-x\) ៖

  • \(f'(x) = 0 \iff -x = 0 \iff x = 0\) ។

  • \(x < 0 \implies f'(x) > 0\) (\(f\) កើនដាច់ខាតលើ \((-\infty, 0)\)) ។

  • \(x > 0 \implies f'(x) < 0\) (\(f\) ចុះដាច់ខាតលើ \((0, +\infty)\)) ។

• តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖ (ត្រង់ \(x=0 \implies f(0) = (1-0)e^0 - 1 = 0\))

  

• ទាញរកសញ្ញានៃ \(f(x)\) ៖ តាមតារាងអថេរភាព អនុគមន៍ \(f\) មានតម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(0\) ត្រង់ \(x = 0\) ។
  ដូចនេះ ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R} : f(x) \le 0\) ហើយ \(f(x) = 0 \iff x = 0\) ។

ខ. សិក្សាអនុគមន៍ \(g(x) = (2-x)e^x + 2 - x\) លើ \(\mathbb{R}\) ៖

1. គណនាលីមីត ដេរីវេ និងតារាងអថេរភាពនៃ \(g\) ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x) = \lim_{x\to -\infty} (2e^x - xe^x + 2 - x) = 0 - 0 + 2 - (-\infty) = +\infty\) ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} e^x = 0, \lim_{x\to -\infty} xe^x = 0\) ។

   • \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x) = \lim_{x\to +\infty} (2-x)(e^x + 1) = (-\infty)(+\infty) = -\infty\) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(g'(x) = -e^x + (2-x)e^x - 1 = (1-x)e^x - 1 = f(x)\) ។

   • សញ្ញា \(g'(x)\) ៖ តាមសំណួរទី ១ គេបាន \(g'(x) = f(x) \le 0, \forall x \in \mathbb{R}\) និង \(g'(0) = 0\) ។
     ដូចនេះ \(g\) ចុះដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(g\) ៖ (\(g(0) = (2-0)e^0 + 2 - 0 = 4\))

     រូបភាព (មើលក្នុងសៀវភៅ)

2. អាស៊ីមតូតទ្រេត \((D)\) និងទីតាំងធៀប ៖

   • ផលដក ៖ \(g(x) - (2-x) = (2-x)e^x\) ។

   • លីមីត ៖ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} [g(x) - (2-x)] = \lim_{x\to -\infty} (2e^x - xe^x) = 0\) ។
     ដូចនេះ បន្ទាត់ \((D) : y = 2-x\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C)\) ខាង \(-\infty\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ ដោយ \(e^x > 0, \forall x\) នោះសញ្ញានៃផលដកអាស្រ័យលើ \(2-x\) ៖

     • បើ \(x < 2 \implies g(x) - y_D > 0 \implies (C)\) នៅលើ \((D)\) ។

     • បើ \(x = 2 \implies g(2) = 0 = y_D(2) \implies (C)\) កាត់ \((D)\) ត្រង់ចំណុច \((2, 0)\) ។

     • បើ \(x > 2 \implies g(x) - y_D < 0 \implies (C)\) នៅក្រោម \((D)\) ។

3. សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((\Delta)\) ស្របនឹង \((D) : y = -x + 2\) ៖ បន្ទាត់ \((\Delta) \parallel (D) \iff g'(x_0) = -1 \iff (1-x_0)e^{x_0} - 1 = -1 \iff (1-x_0)e^{x_0} = 0 \iff x_0 = 1\) ។
   អរដោនេចំណុចប៉ះ ៖ \(y_0 = g(1) = (2-1)e^1 + 2 - 1 = e + 1 \approx 3.72\) ។
   សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((\Delta)\) ៖ \(y = -1(x - 1) + e + 1 \iff y = -x + e + 2\) ។

4. ចំណុចរបត់នៃក្រាប \((C)\) ៖ ដេរីវេទីពីរ ៖ \(g''(x) = f'(x) = -xe^x\) ។
   \(g''(x) = 0 \iff x = 0\) ។ ចំពោះ \(x < 0 \implies g''(x) > 0\) (ប៉ោង) និង \(x > 0 \implies g''(x) < 0\) (ផត) ។
   ដោយ \(g''(x)\) ប្តូរសញ្ញាត្រង់ \(x=0\) នោះចំណុច \(I(0, g(0)) = I(0, 4)\) ជាចំណុចរបត់នៃ \((C)\) ។
   (ត្រង់ \(I(0,4)\) មានបន្ទាត់ប៉ះដេក \(y = 4\) ព្រោះ \(g'(0) = 0\)) ។

1. សង់ក្រាប \((C)\) បន្ទាត់ \((D)\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \((\Delta)\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D_g = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\)	\((D) : y = -x + 2\)	\(y = -x + 2\)
   ចំណុចរបត់	\(I(0, 4)\)	\((0, 4)\)
   បន្ទាត់ប៉ះដេកត្រង់ \(I\)	\(y = 4\)	\(y = 4\)
   បន្ទាត់ប៉ះ \((\Delta) \parallel (D)\)	\((\Delta) : y = -x + e + 2\)	\(y \approx -x + 4.72\)
   ចំណុចប៉ះនៃ \((\Delta)\)	\(M(1, e + 1)\)	\((1, 3.72)\)
   ប្រសព្វអ័ក្ស \(Ox\) និង \((D)\)	\((2, 0)\)	\((2, 0)\)

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត អាស៊ីមតូតទ្រេត \(L_1\) និងបង្ហាញអប្បបរមា ៖

   • លីមីត ៖

     • \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} (x - 1 + 2e^{-x}) = +\infty - 1 + 0 = +\infty\) ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} e^{-x} = 0\) ។

     • \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} e^{-x}(xe^x - e^x + 2) = (+\infty)(0 - 0 + 2) = +\infty\) ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0, \lim_{x\to -\infty} e^x = 0\) ។

   • អាស៊ីមតូតទ្រេត \(L_1\) ៖ \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x-1)] = \lim_{x\to +\infty} 2e^{-x} = 0\) ។
     ដូចនេះ បន្ទាត់ \(L_1 : y = x - 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \((C)\) ខាង \(+\infty\) ។
     (ដោយ \(2e^{-x} > 0, \forall x \implies (C)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(L_1\) ជានិច្ច) ។

   • អប្បបរមាត្រង់ \(x = \ln 2\) ៖

     • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 1 - 2e^{-x}\) ។

     • \(f'(x) = 0 \iff 2e^{-x} = 1 \iff e^x = 2 \iff x = \ln 2\) ។

     • ដេរីវេទីពីរ ៖ \(f''(x) = 2e^{-x} > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) នាំឱ្យ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = \ln 2\) ។

     • តម្លៃអប្បបរមា ៖ \(f(\ln 2) = \ln 2 - 1 + 2e^{-\ln 2} = \ln 2 - 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2 \approx 0.693\) ។

2. សង់តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) និងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(L_2\) ត្រង់ \(A(0, 1)\) ៖

   • តារាងអថេរភាព ៖

     

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(L_2\) ត្រង់ \(A(0, 1)\) ៖ ត្រង់ \(x = 0 \implies f(0) = 0 - 1 + 2(1) = 1 \implies A(0, 1) \in (C)\) ។
     មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(f'(0) = 1 - 2e^0 = 1 - 2 = -1\) ។
     សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(L_2\) ៖ \(y = f'(0)(x - 0) + f(0) \iff y = -1(x) + 1 \iff y = -x + 1\) ។

3. គណនាក្រលាផ្ទៃ \(S\) នៃផ្នែកប្លង់ ៖ ផ្នែកប្លង់កំណត់ដោយក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូតទ្រេត \(L_1\) និងបន្ទាត់ឈរ \(x = 0, x = 1\) ៖
   ដោយ \((C)\) នៅលើបន្ទាត់ \(L_1\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in [0, 1]\) គេបាន ៖

   \[S = \int_{0}^{1} [f(x) - (x-1)]\,dx = \int_{0}^{1} 2e^{-x}\,dx = \left[-2e^{-x}\right]_{0}^{1} = -2e^{-1} - (-2e^0) = 2 - \frac{2}{e} = \frac{2(e-1)}{e}\]
   តម្លៃប្រហែល ៖ \(S \approx 2 - \frac{2}{2.718} \approx 1.264\) ឯកតាផ្ទៃ ។

1. សង់បន្ទាត់ \(L_1, L_2\) និងក្រាប \((C)\) ៖

   

   តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

   ធាតុសំខាន់ៗ	សមីការ / កូអរដោនេពិត	តម្លៃប្រហែល
   ដែនកំណត់	\(D_f = \mathbb{R}\)	\((-\infty, +\infty)\)
   អាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(+\infty\)	\(L_1 : y = x - 1\)	\(y = x - 1\)
   ចំណុចអប្បបរមាធៀប	\(M(\ln 2, \ln 2)\)	\((0.693, 0.693)\)
   ចំណុចកាត់អ័ក្ស \(Oy\)	\(A(0, 1)\)	\((0, 1)\)
   បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\)	\(L_2 : y = -x + 1\)	\(y = -x + 1\)
   ក្រលាផ្ទៃរវាង \((C)\) និង \(L_1\)	\(S = \frac{2(e-1)}{e}\)	\(\approx 1.264\) ឯកតាផ្ទៃ

ដំណោះស្រាយ

1. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា \((C_1)\) និង \((C_2)\) មានចំណុចរួម \(A(0, 1)\) ៖

   • ចំពោះអនុគមន៍ \(f\) ៖ \(f(0) = e^0 = 1 \implies A(0, 1) \in (C_1)\) ។

   • ចំពោះអនុគមន៍ \(g\) ៖ \(g(0) = \ln(0 + 1) + 1 = \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 \implies A(0, 1) \in (C_2)\) ។

   ដូចនេះ ខ្សែកោង \((C_1)\) និង \((C_2)\) មានចំណុចរួម \(A(0, 1)\) ។

2. គណនា \(f'(0), g'(0)\) និងទាញថា \((C_1)\) និង \((C_2)\) ប៉ះគ្នាត្រង់ \(A\) ៖

   • ដេរីវេនៃ \(f\) លើ \(\mathbb{R}\) ៖ \(f'(x) = e^x \implies f'(0) = e^0 = 1\) ។

   • ដេរីវេនៃ \(g\) លើ \((-1, +\infty)\) ៖ \(g'(x) = \frac{1}{x+1} \implies g'(0) = \frac{1}{0+1} = 1\) ។

   ដោយ \(f(0) = g(0) = 1\) និង \(f'(0) = g'(0) = 1\) នោះក្រាប \((C_1)\) និង \((C_2)\) មានបន្ទាត់ប៉ះរួមគ្នាតែមួយត្រង់ចំណុច \(A(0, 1)\) ។
   ដូចនេះ ខ្សែកោង \((C_1)\) និង \((C_2)\) ប៉ះគ្នាត្រង់ចំណុច \(A(0, 1)\) ។

3. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះរួម \((T)\) និងទីតាំងធៀប ៖ សមីការបន្ទាត់ប៉ះរួម \((T)\) ត្រង់ \(A(0, 1)\) ៖

   \[(T) : y = f'(0)(x - 0) + f(0) \iff y = 1(x) + 1 \iff y = x + 1\]
   កំណត់សម្គាល់អំពីទីតាំងធៀប ៖

   • ចំពោះ \((C_1)\) ៖ តាមវិសមភាពមូលដ្ឋាន \(e^x \ge x + 1, \forall x \in \mathbb{R}\) (ស្មើគ្នាតែត្រង់ \(x=0\)) នាំឱ្យ \((C_1)\) ស្ថិតនៅលើ \((T)\) ជានិច្ច ។

   • ចំពោះ \((C_2)\) ៖ តាមវិសមភាព \(\ln(x+1) \le x, \forall x > -1 \iff \ln(x+1) + 1 \le x + 1\) នាំឱ្យ \((C_2)\) ស្ថិតនៅក្រោម \((T)\) ជានិច្ច ។

   • ហេតុនេះ បន្ទាត់ប៉ះរួម \((T)\) ខណ្ឌចែកខ្សែកោងទាំងពីរ ដោយ \((C_1)\) នៅខាងលើ \((T)\) ហើយ \((C_2)\) នៅខាងក្រោម \((T)\) ហើយក្រាបទាំងពីរប៉ះគ្នាត្រង់ចំណុច \(A(0,1)\) តែមួយគត់ ។

សង់ក្រាប \((C_1), (C_2)\) និងបន្ទាត់ប៉ះរួម \((T)\) ៖

តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗ ៖

ដំណោះស្រាយ

ក. សិក្សាអំពីលីមីត អាស៊ីមតូត និងទម្រង់សមមូល ៖

1. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} (4 - x - 2e^{-x}) = -\infty - 0 = -\infty\) ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} e^{-x} = 0\) ។

2. អាស៊ីមតូតទ្រេត \((D) : y = -x + 4\) ៖
   \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (-x + 4)] = \lim_{x\to +\infty} (-2e^{-x}) = 0\) ។
   ដូចនេះ បន្ទាត់ \((D) : y = -x + 4\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \((C)\) ខាង \(+\infty\) ។

3. ទីតាំងធៀបនៃ \((C)\) និង \((D)\) ៖
   ផលដក \(f(x) - y_D = -2e^{-x} < 0, \forall x \in \mathbb{R}\) ព្រោះ \(e^{-x} > 0\) ។
   ដូចនេះ ក្រាប \((C)\) ស្ថិតនៅក្រោមបន្ទាត់អាស៊ីមតូត \((D)\) ជានិច្ច ។

4. ផ្ទៀងផ្ទាត់ទម្រង់ប្រភាគ ៖ ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ៖

   \[f(x) = 4 - x - \frac{2}{e^x} = \frac{(4 - x)e^x - 2}{e^x} = \frac{4e^x - xe^x - 2}{e^x} \quad{} (\text{ពិត})\]

5. គណនា \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)\) ៖
   ដោយប្រើ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0\) និង \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} e^x = 0^+\) គេបាន ៖

   \[\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} \frac{4e^x - xe^x - 2}{e^x} = \frac{0 - 0 - 2}{0^+} = -\infty\]

ខ. សិក្សាអថេរភាព បន្ទាត់ប៉ះ និងឫសនៃសមីការ ៖

1. ដេរីវេ អថេរភាព និងអតិបរមា ៖

   • \(f'(x) = -1 - 2(-e^{-x}) = -1 + 2e^{-x}\) ។

   • \(f'(x) = 0 \iff 2e^{-x} = 1 \iff e^x = 2 \iff x = \ln 2 \approx 0.693\) ។

   • \(x < \ln 2 \implies f'(x) > 0\) (\(f\) កើន) ; \(x > \ln 2 \implies f'(x) < 0\) (\(f\) ចុះ) ។

   • តម្លៃអតិបរមា ៖ \(f(\ln 2) = 4 - \ln 2 - 2e^{-\ln 2} = 4 - \ln 2 - 1 = 3 - \ln 2 \approx 2.307\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

     

2. បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុច \(A\) ដែលមានអាប់ស៊ីស \(x = 0\) ៖

   • អរដោនេ ៖ \(f(0) = 4 - 0 - 2e^0 = 2 \implies A(0, 2)\) ។

   • មេគុណប្រាប់ទិស ៖ \(f'(0) = -1 + 2e^0 = 1\) ។

   • សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T_A)\) ៖ \(y = 1(x - 0) + 2 \iff y = x + 2\) ។

3. បង្ហាញថាសមីការ \(f(x) = 0\) មានឫសតែមួយគត់ \(\beta \in [-1, 0]\) ៖

   • អនុគមន៍ \(f\) ជាប់ និងកើនដាច់ខាតលើចន្លោះ \([-1, 0]\) ។

   • \(f(-1) = 4 - (-1) - 2e^1 = 5 - 2e \approx 5 - 5.436 = -0.436 < 0\) ។

   • \(f(0) = 2 > 0\) ។

   ដោយ \(f(-1) \times f(0) < 0\) តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃកណ្តាល សមីការ \(f(x) = 0\) មានឫសពិតតែមួយគត់ \(\beta \in [-1, 0]\) (តម្លៃប្រហែល \(\beta \approx -0.27\)) ។

សង់ក្រាប \((C)\) អាស៊ីមតូត \((D)\) និងបន្ទាត់ប៉ះ \((T_A)\) ៖

តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

ដំណោះស្រាយ

1. គណនាលីមីត និងទីតាំងធៀបនៃក្រាប \((C)\) នឹងបន្ទាត់ \(d_1 : y = x + 2\) ៖

   • \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty\) (ព្រោះ \(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0\)) ; \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\) (ព្រោះ \(\lim_{x\to +\infty} \frac{4e^x}{e^x+3} = 4\)) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - (x+2) = -\frac{4e^x}{e^x+3} < 0, \forall x \in \mathbb{R} \implies (C)\) នៅក្រោម \(d_1\) ជានិច្ច ។
     ម្យ៉ាងទៀត \(\lim_{x\to -\infty} [f(x) - (x+2)] = 0 \implies d_1 : y = x + 2\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង \(-\infty\) ។

2. ស្រាយបំភ្លឺដេរីវេ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 1 - \frac{12e^x}{(e^x+3)^2} = \frac{(e^x+3)^2 - 12e^x}{(e^x+3)^2} = \left(\frac{e^x-3}{e^x+3}\right)^2\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។

   • អថេរភាព ៖ ដោយ \(f'(x) = \left(\frac{e^x-3}{e^x+3}\right)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}\) ហើយ \(f'(x) = 0 \iff x = \ln 3 \implies f\) កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ។

   • តម្លៃត្រង់ \(x = \ln 3\) គឺ \(f(\ln 3) = \ln 3\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

     រូបភាព (មើលក្នុងសៀវភៅ)

3. បន្ទាត់ប៉ះ \(d_2\) ត្រង់ \(I(\ln 3, \ln 3)\) និងទីតាំងធៀប ៖

   • ដោយ \(f'(\ln 3) = 0\) នោះបន្ទាត់ប៉ះ \(d_2\) ជាបន្ទាត់ដេកមានសមីការ ៖ \(d_2 : y = \ln 3\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ បើ \(x < \ln 3 \implies f(x) < \ln 3\) (\((C)\) នៅក្រោម \(d_2\)) ; បើ \(x > \ln 3 \implies f(x) > \ln 3\) (\((C)\) នៅលើ \(d_2\)) ។ ក្រាប \((C)\) ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប៉ះ \(d_2\) ត្រង់ចំណុច \(I(\ln 3, \ln 3)\) នាំឱ្យ \(I\) ជាចំណុចរបត់នៃ \((C)\) ។

4. បន្ទាត់ប៉ះ \(d_3\) ត្រង់ \(x = 0\) និងផ្ចិតឆ្លុះ \(I\) ៖

   • ត្រង់ \(x = 0 \implies f(0) = 1\) និង \(f'(0) = \left(\frac{1-3}{1+3}\right)^2 = \frac{1}{4}\) ។ សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(d_3 : y = \frac{1}{4}x + 1\) ។

   • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ ចំណុច \(I(\ln 3, \ln 3)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប \((C)\) ព្រោះ \(f(\ln 3 + X) + f(\ln 3 - X) = 2\ln 3, \forall X \in \mathbb{R}\) ។

សង់ក្រាប \((C)\) និងបន្ទាត់ \(d_1, d_2, d_3\) ៖

តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

ដំណោះស្រាយ

1. ទម្រង់សមមូល លីមីតត្រង់ \(-\infty\) និងអាស៊ីមតូត \(d_1\) ៖

   • ទម្រង់សមមូល ៖ \(\frac{1-3e^x}{1+e^x} = \frac{(1+e^x) - 4e^x}{1+e^x} = 1 - \frac{4e^x}{1+e^x} \implies f(x) = x + 1 - \frac{4e^x}{1+e^x}\) ។

   • លីមីត ៖ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} \left(x + 1 - \frac{4e^x}{1+e^x}\right) = -\infty\) (ព្រោះ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} e^x = 0\)) ។

   • អាស៊ីមតូតទ្រេត \(d_1\) ៖ \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} [f(x) - (x+1)] = \lim_{x\to -\infty} \left(-\frac{4e^x}{1+e^x}\right) = 0\) ។
     ដូចនេះ បន្ទាត់ \(d_1 : y = x + 1\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C)\) ខាង \(-\infty\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - (x+1) = -\frac{4e^x}{1+e^x} < 0, \forall x \in \mathbb{R} \implies (C)\) នៅក្រោម \(d_1\) ជានិច្ច ។

2. លីមីតត្រង់ \(+\infty\) និងអាស៊ីមតូត \(d_2 : y = x - 3\) ៖

   • \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \frac{1-3e^x}{1+e^x} = -3 \implies \lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} (x - 3) = +\infty\) ។

   • អាស៊ីមតូតទ្រេត \(d_2\) ៖ \(f(x) - (x-3) = \frac{4}{1+e^x} \implies \lim_{x\to +\infty} [f(x) - (x-3)] = 0\) ។
     ដូចនេះ បន្ទាត់ \(d_2 : y = x - 3\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \((C)\) ខាង \(+\infty\) ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - (x-3) = \frac{4}{1+e^x} > 0, \forall x \in \mathbb{R} \implies (C)\) នៅលើបន្ទាត់ \(d_2\) ជានិច្ច ។

3. គណនាដេរីវេ \(f'(x)\) និងសង់តារាងអថេរភាព ៖

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 1 - \frac{4e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{(1+e^x)^2 - 4e^x}{(1+e^x)^2} = \left(\frac{e^x-1}{1+e^x}\right)^2\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។

   • អថេរភាព ៖ \(f'(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}\) ហើយ \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) នាំឱ្យ \(f\) កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) ។

   • ត្រង់ \(x = 0 \implies f(0) = -1\) ។ ចំណុច \(I(0, -1)\) ជាចំណុចរបត់ និងផ្ចិតឆ្លុះ មានបន្ទាត់ប៉ះដេក \(y = -1\) ។

   • តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) ៖

     រូបភាព (មើលក្នុងសៀវភៅ)

សង់ក្រាប \((C)\) និងអាស៊ីមតូត \(d_1, d_2\) ៖

តារាងសង្ខេបធាតុសំខាន់ៗនៃក្រាប \((C)\) ៖

ដំណោះស្រាយ មេរៀនទី ៣ ៖ អនុគមន៍លោការីត