អនុគមន៍សនិទាន

ក. ចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ)

ខ. ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = 2x + 3\) ៖
   អនុគមន៍ \(f(x)\) ជាអនុគមន៍ពហុធា កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(x\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)}\) ។

2. \(f(x) = \sqrt{x + 1}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែកន្សោមក្រោមរ៉ាឌីកាល់មិនអវិជ្ជមាន ៖

   \[x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1\]
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = [-1, +\infty)}\) ។

3. \(f(x) = \sqrt{x^2 - 1}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែ ៖

   \[x^2 - 1 \ge 0 \iff (x - 1)(x + 1) \ge 0 \iff x \le -1 \text{ ឬ } x \ge 1\]
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែភាគបែងខុសពីសូន្យ ៖

   \[x + 2 \ne 0 \iff x \ne -2\]
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 3}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែភាគបែងខុសពីសូន្យ ៖

   \[x - 3 \ne 0 \iff x \ne 3\]
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{3\} = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 2}}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែកន្សោមក្រោមរ៉ាឌីកាល់នៅភាគបែងវិជ្ជមានដាច់ខាត ៖

   \[x - 2 > 0 \iff x > 2\]
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = (2, +\infty)}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - 2}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែ \(\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ x - 2 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \\ x \ne 2 \end{cases}\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = ((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)) \setminus \{2\}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x + 3}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែ \(\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ x + 3 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \\ x \ne -3 \end{cases}\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = ((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)) \setminus \{-3\}}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 4}{x - 1}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែភាគបែង \(x - 1 \ne 0 \iff x \ne 1\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)}\) ។

4. \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែ \(x^2 - 4x + 3 \ge 0 \iff (x - 1)(x - 3) \ge 0\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)}\) ។

5. \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4} + \dfrac{\sqrt{x^2 - 9}}{x - 1}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែ \(\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \iff |x| \ge 2 \\ x^2 - 9 \ge 0 \iff |x| \ge 3 \\ x - 1 \ne 0 \iff x \ne 1 \end{cases}\) ។
   ប្រសព្វនៃលក្ខខណ្ឌទាំងបីគឺ \(|x| \ge 3\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 4}}{x - 2}\) ៖
   អនុគមន៍មានន័យលុះត្រាតែ \(\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \iff |x| \ge 2 \\ x - 2 \ne 0 \iff x \ne 2 \end{cases} \iff x \le -2 \text{ ឬ } x > 2\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = (-\infty, -2] \cup (2, +\infty)}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = e^x \implies \boxed{D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)}\) ។

2. \(f(x) = e^x - 1 \implies \boxed{D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{e^x}{x - 1} \implies x - 1 \ne 0 \implies \boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{1\}}\) ។

4. \(f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x^2 - 4x + 3 > 0 \iff (x - 1)(x - 3) > 0 \implies \boxed{D = (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)}\) ។

5. \(f(x) = x + 1 + \dfrac{\ln x}{x}\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x > 0\) និង \(x \ne 0 \implies \boxed{D = (0, +\infty)}\) ។

6. \(f(x) = \ln\left(\dfrac{x - 1}{x}\right)\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(\dfrac{x - 1}{x} > 0 \iff x(x - 1) > 0 \implies \boxed{D = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 2}\) ៖
   \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\) និង \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \implies \boxed{x = 2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

2. \(f(x) = \dfrac{1 - x}{x - 2}\) ៖
   \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty\) និង \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty \implies \boxed{x = 2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

3. \(f(x) = \dfrac{2 - 3x}{x + 1}\) ៖
   \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty\) និង \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty \implies \boxed{x = -1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

4. \(f(x) = \dfrac{2 + 3x}{1 - x}\) ៖
   \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\) និង \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty \implies \boxed{x = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

5. \(f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{1}{x + 1}\) (ចំពោះ \(x \ne -1\)) ៖
   \(\lim_{x \to -1} f(x) = \infty \implies \boxed{x = -1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

6. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^2 + 3x + 2} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{(x + 1)(x + 2)}\) ៖
   \(\lim_{x \to -1} f(x) = \infty \implies \boxed{x = -1}\) និង \(\lim_{x \to -2} f(x) = \infty \implies \boxed{x = -2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរទាំងពីរ ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{1 - x}{2x - 1}\) ៖ \(2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}\) (ភាគយកខុសពី \(0\)) \(\implies \boxed{x = \dfrac{1}{2}}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

2. \(f(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 1}\) ៖ \(x + 1 = 0 \iff x = -1 \implies \boxed{x = -1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

3. \(f(x) = \dfrac{2 + 3x}{x^2 - 1}\) ៖ \(x^2 - 1 = 0 \iff x = \pm 1 \implies \boxed{x = 1 \text{ និង } x = -1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

4. \(f(x) = \dfrac{2 + 3x}{x^2 - x + 2}\) ៖ \(\Delta = -7 < 0 \implies x^2 - x + 2 > 0, \forall x \implies \boxed{\text{គ្មានអាស៊ីមតូតឈរទេ}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 3x - 4} = \dfrac{x + 1}{(x - 1)(x + 4)} \implies \boxed{x = 1 \text{ និង } x = -4}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

6. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{(x - 1)(x - 2)} \implies \boxed{x = 1 \text{ និង } x = 2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{3 - x}{(2x - 1)^2}\) ៖ \(2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2} \implies \boxed{x = \dfrac{1}{2}}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

2. \(f(x) = \dfrac{3x + 1}{x^2 - 4x + 3} = \dfrac{3x + 1}{(x - 1)(x - 3)} \implies \boxed{x = 1 \text{ និង } x = 3}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

3. \(f(x) = \dfrac{2 + 3x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{2 + 3x}{(x - 2)(x - 3)} \implies \boxed{x = 2 \text{ និង } x = 3}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

4. \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 - x + 2}\) ៖ \(\Delta = -7 < 0 \implies \boxed{\text{គ្មានអាស៊ីមតូតឈរទេ}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x + 1}{(x + 1)(x - 4)} = \dfrac{1}{x - 4}\) (\(x \ne -1\)) ៖ \(\lim_{x \to -1} f(x) = -\dfrac{1}{5}\) មិនមែនអាស៊ីមតូតទេ នាំឱ្យ \(\boxed{x = 4}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរតែមួយគត់ ។

6. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{(x + 1)(x - 4)}\) ៖ \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty\) និង \(\lim_{x \to 4} f(x) = \infty \implies \boxed{x = -1 \text{ និង } x = 4}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 2} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2 \implies \boxed{y = 2}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

2. \(f(x) = \dfrac{1 - x}{x - 2} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -1 \implies \boxed{y = -1}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

3. \(f(x) = \dfrac{2 - 3x}{x + 1} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -3 \implies \boxed{y = -3}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

4. \(f(x) = \dfrac{2 + 3x}{1 - x} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -3 \implies \boxed{y = -3}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2x + 1} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \implies \boxed{y = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

6. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 3x + 2} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \implies \boxed{y = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 4x + 5} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \implies \boxed{y = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 4x + 11} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \implies \boxed{y = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{-x^2 + 4x} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -2 \implies \boxed{y = -2}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

4. \(f(x) = \dfrac{3x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 5} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\dfrac{3}{2} \implies \boxed{y = -\dfrac{3}{2}}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 2}{-2x^2 + 4x + 5} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\dfrac{1}{2} \implies \boxed{y = -\dfrac{1}{2}}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

6. \(f(x) = \dfrac{11x^2 + 3x + 2}{x^2 + 8x + 1} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 11 \implies \boxed{y = 11}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{x^2 + 4x + 5} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 \implies \boxed{y = 0}\) (អ័ក្ស \(Ox\)) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^2 + 4x + 11} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \implies \boxed{y = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{-x^3 + 4x} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 \implies \boxed{y = 0}\) (អ័ក្ស \(Ox\)) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

4. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 12}{-2x^2 + 5} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\dfrac{1}{2} \implies \boxed{y = -\dfrac{1}{2}}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 23x - 12}{-2x^2 + 4x + 5} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\dfrac{1}{2} \implies \boxed{y = -\dfrac{1}{2}}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

6. \(f(x) = \dfrac{-4x^2 + 3x + 2}{3x^2 + 8x + 1} \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\dfrac{4}{3} \implies \boxed{y = -\dfrac{4}{3}}\) ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x - 2} = x + 5 + \dfrac{11}{x - 2}\) ៖
   ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{11}{x - 2} = 0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(\boxed{y = x + 5}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប ។

2. \(f(x) = \dfrac{-x^2 - x + 1}{x - 2} = -x - 3 - \dfrac{5}{x - 2}\) ៖
   ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{-5}{x - 2} = 0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(\boxed{y = -x - 3}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប ។

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x + 1} = x - 4 + \dfrac{6}{x + 1}\) ៖
   ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{6}{x + 1} = 0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(\boxed{y = x - 4}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប ។

4. \(f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x + 2}{1 - x} = 2x - 1 + \dfrac{3}{1 - x}\) ៖
   ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3}{1 - x} = 0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(\boxed{y = 2x - 1}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 1}{2x + 1} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{4(2x + 1)}\) ៖
   ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{-3}{4(2x + 1)} = 0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(\boxed{y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{4}}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

6. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 8}{3x + 2} = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{9} + \dfrac{58}{9(3x + 2)}\) ៖
   ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{58}{9(3x + 2)} = 0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(\boxed{y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{9}}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{4x + 5} = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{16} - \dfrac{3}{16(4x + 5)} \implies \boxed{y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{16}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{4x + 11} = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{23}{16} + \dfrac{285}{16(4x + 11)} \implies \boxed{y = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{23}{16}}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{4x + 1} = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{11}{16} + \dfrac{21}{16(4x + 1)} \implies \boxed{y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{11}{16}}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{3x^2 + x + 2}{2x + 5} = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{13}{4} + \dfrac{73}{4(2x + 5)} \implies \boxed{y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{13}{4}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 2}{4x + 5} = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{17}{16} + \dfrac{53}{16(4x + 5)} \implies \boxed{y = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{17}{16}}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{11x^2 + 3x + 2}{2x + 1} = \dfrac{11}{2}x - \dfrac{5}{4} + \dfrac{13}{4(2x + 1)} \implies \boxed{y = \dfrac{11}{2}x - \dfrac{5}{4}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 5}{3x + 2} = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{10}{9} + \dfrac{25}{9(3x + 2)} \implies \boxed{y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{10}{9}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} = x + 1 + \dfrac{2}{x + 1} \implies \boxed{y = x + 1}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{4x - 1} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{8} + \dfrac{23}{8(4x - 1)} \implies \boxed{y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{8}}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 12}{5x + 2} = \dfrac{1}{5}x - \dfrac{17}{25} + \dfrac{334}{25(5x + 2)} \implies \boxed{y = \dfrac{1}{5}x - \dfrac{17}{25}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 23x - 12}{4x + 5} = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{87}{16} - \dfrac{627}{16(4x + 5)} \implies \boxed{y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{87}{16}}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{-4x^2 + 3x + 2}{8x + 1} = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{16} + \dfrac{25}{16(8x + 1)} \implies \boxed{y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{16}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 5}{-3x + 2} = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{10}{9} + \dfrac{25}{9(-3x + 2)} \implies \boxed{y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{10}{9}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 2x + 3}{x + 1} = 2x + \dfrac{3}{x + 1} \implies \boxed{y = 2x}\) ។

3. \(f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}\) ៖
   - ខាង \(+\infty\) ៖ \(\boxed{y = x + \dfrac{1}{2}}\) ; - ខាង \(-\infty\) ៖ \(\boxed{y = -x - \dfrac{1}{2}}\) ។

4. \(f(x) = \sqrt{4x^2 + x + 3} = \sqrt{\left(2x + \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{47}{16}}\) ៖
   - ខាង \(+\infty\) ៖ \(\boxed{y = 2x + \dfrac{1}{4}}\) ; - ខាង \(-\infty\) ៖ \(\boxed{y = -2x - \dfrac{1}{4}}\) ។

5. \(f(x) = \sqrt{9x^2 + x + 2} = \sqrt{\left(3x + \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{71}{36}}\) ៖
   - ខាង \(+\infty\) ៖ \(\boxed{y = 3x + \dfrac{1}{6}}\) ; - ខាង \(-\infty\) ៖ \(\boxed{y = -3x - \dfrac{1}{6}}\) ។

6. \(f(x) = \sqrt{8x^2 + x - 5}\) ៖
   - ខាង \(+\infty\) ៖ \(\boxed{y = 2\sqrt{2}x + \dfrac{\sqrt{2}}{8}}\) ; - ខាង \(-\infty\) ៖ \(\boxed{y = -2\sqrt{2}x - \dfrac{\sqrt{2}}{8}}\) ។

7. \(f(x) = \sqrt{x^2 + x - 1}\) ៖
   - ខាង \(+\infty\) ៖ \(\boxed{y = x + \dfrac{1}{2}}\) ; - ខាង \(-\infty\) ៖ \(\boxed{y = -x - \dfrac{1}{2}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 2}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{(2x + 1)'(x - 2) - (2x + 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \dfrac{2(x - 2) - (2x + 1)(1)}{(x - 2)^2} = \dfrac{2x - 4 - 2x - 1}{(x - 2)^2} = \boxed{\dfrac{-5}{(x - 2)^2}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{1 - x}{x - 2}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{-1(x - 2) - (1 - x)(1)}{(x - 2)^2} = \dfrac{-x + 2 - 1 + x}{(x - 2)^2} = \boxed{\dfrac{1}{(x - 2)^2}}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2 - 3x}{x + 1}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{-3(x + 1) - (2 - 3x)(1)}{(x + 1)^2} = \dfrac{-3x - 3 - 2 + 3x}{(x + 1)^2} = \boxed{\dfrac{-5}{(x + 1)^2}}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{2 + 3x}{1 - x}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{3(1 - x) - (2 + 3x)(-1)}{(1 - x)^2} = \dfrac{3 - 3x + 2 + 3x}{(1 - x)^2} = \boxed{\dfrac{5}{(1 - x)^2}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{(x + 1)^2}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{2x(x + 1)^2 - (x^2 + 1)\cdot 2(x + 1)}{(x + 1)^4} = \dfrac{2(x + 1)[x(x + 1) - (x^2 + 1)]}{(x + 1)^4} = \boxed{\dfrac{2(x - 1)}{(x + 1)^3}}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 3x + 2}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{2x(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 1)(2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^2} = \dfrac{2x^3 + 6x^2 + 4x - (2x^3 + 3x^2 + 2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^2} = \boxed{\dfrac{3x^2 + 2x - 3}{(x^2 + 3x + 2)^2}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 4x + 5}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{(2x + 3)(x^2 + 4x + 5) - (2x + 4)(x^2 + 3x + 2)}{(x^2 + 4x + 5)^2} = \boxed{\dfrac{x^2 + 6x + 7}{(x^2 + 4x + 5)^2}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 4x + 11}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(x^2 + 4x + 11) - (2x + 4)(x^2 - 3x + 2)}{(x^2 + 4x + 11)^2} = \boxed{\dfrac{7x^2 + 18x - 41}{(x^2 + 4x + 11)^2}}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{-x^2 + 4x}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{(4x + 3)(-x^2 + 4x) - (-2x + 4)(2x^2 + 3x + 2)}{(-x^2 + 4x)^2} = \boxed{\dfrac{11x^2 + 4x - 8}{(-x^2 + 4x)^2}}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{3x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 5}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{(6x + 3)(-2x^2 + 5) - (-4x)(3x^2 + 3x + 2)}{(-2x^2 + 5)^2} = \boxed{\dfrac{6x^2 + 38x + 15}{(-2x^2 + 5)^2}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 2}{-2x^2 + 4x + 5}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(-2x^2 + 4x + 5) - (-4x + 4)(x^2 - 3x - 2)}{(-2x^2 + 4x + 5)^2} = \boxed{\dfrac{-2x^2 + 2x - 7}{(-2x^2 + 4x + 5)^2}}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{11x^2 + 3x + 2}{x^2 + 8x + 1}\) ៖
   \(f'(x) = \dfrac{(22x + 3)(x^2 + 8x + 1) - (2x + 8)(11x^2 + 3x + 2)}{(x^2 + 8x + 1)^2} = \boxed{\dfrac{85x^2 + 18x - 13}{(x^2 + 8x + 1)^2}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{x^2 + 4x + 5} \implies f'(x) = \dfrac{3(x^2 + 4x + 5) - (2x + 4)(3x + 2)}{(x^2 + 4x + 5)^2} = \boxed{\dfrac{-3x^2 - 4x + 7}{(x^2 + 4x + 5)^2}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^2 + 4x + 11} \implies f'(x) = \dfrac{2x(x^2 + 4x + 11) - (2x + 4)(x^2 + 2)}{(x^2 + 4x + 11)^2} = \boxed{\dfrac{4x^2 + 18x - 8}{(x^2 + 4x + 11)^2}}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{-x^3 + 4x} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{2x^4 + 6x^3 + 2x^2 - 16x - 8}{(-x^3 + 4x)^2}}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 12}{-2x^2 + 5} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{-6x^2 + 58x - 15}{(-2x^2 + 5)^2}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 23x - 12}{-2x^2 + 4x + 5} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{50x^2 - 44x + 163}{(-2x^2 + 4x + 5)^2}}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{-4x^2 + 3x + 2}{3x^2 + 8x + 1} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{-41x^2 - 20x - 13}{(3x^2 + 8x + 1)^2}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x - 2} \implies f'(x) = \dfrac{(2x + 3)(x - 2) - (x^2 + 3x + 1)}{(x - 2)^2} = \boxed{\dfrac{x^2 - 4x - 7}{(x - 2)^2}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{-x^2 - x + 1}{x - 2} \implies f'(x) = \dfrac{(-2x - 1)(x - 2) - (-x^2 - x + 1)}{(x - 2)^2} = \boxed{\dfrac{-x^2 + 4x + 3}{(x - 2)^2}}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x + 1} \implies f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x + 2)}{(x + 1)^2} = \boxed{\dfrac{x^2 + 2x - 5}{(x + 1)^2}}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x + 2}{1 - x} \implies f'(x) = \dfrac{(-4x + 3)(1 - x) - (-1)(-2x^2 + 3x + 2)}{(1 - x)^2} = \boxed{\dfrac{2x^2 - 4x + 5}{(1 - x)^2}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 1}{2x + 1} \implies f'(x) = \dfrac{(2x + 4)(2x + 1) - 2(x^2 + 4x + 1)}{(2x + 1)^2} = \boxed{\dfrac{2(x^2 + x + 1)}{(2x + 1)^2}}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 8}{3x + 2} \implies f'(x) = \dfrac{(2x + 3)(3x + 2) - 3(x^2 + 3x + 8)}{(3x + 2)^2} = \boxed{\dfrac{3x^2 + 4x - 18}{(3x + 2)^2}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{4x + 5} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{4x^2 + 10x + 7}{(4x + 5)^2}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{4x + 11} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{4x^2 + 22x - 41}{(4x + 11)^2}}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{4x + 1} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{4x^2 + 2x - 5}{(4x + 1)^2}}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{3x^2 + x + 2}{2x + 5} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{6x^2 + 30x + 1}{(2x + 5)^2}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 2}{4x + 5} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{4x^2 + 10x - 7}{(4x + 5)^2}}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{11x^2 + 3x + 2}{2x + 1} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{22x^2 + 22x - 1}{(2x + 1)^2}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 5}{3x + 2} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{3x^2 + 4x - 7}{(3x + 2)^2}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{4x - 1} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{8x^2 - 4x - 11}{(4x - 1)^2}}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 12}{5x + 2} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{5x^2 + 4x - 66}{(5x + 2)^2}}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 23x - 12}{4x + 5} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{4x^2 + 10x + 163}{(4x + 5)^2}}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{-4x^2 + 3x + 2}{8x + 1} \implies f'(x) = \boxed{\dfrac{-32x^2 - 8x - 13}{(8x + 1)^2}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = 2x - 3\) ៖
   រកឫស ៖ \(2x - 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}\) ។
   ដោយមេគុណ \(a = 2 > 0\) គេបានតារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញាខាងលើ ៖

   • \(f(x) < 0\) ចំពោះ \(x \in \left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x = \dfrac{3}{2}\) ។

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះ \(x \in \left(\dfrac{3}{2}, +\infty\right)\) ។

2. \(f(x) = 3x + 2\) ៖
   រកឫស ៖ \(3x + 2 = 0 \iff x = -\dfrac{2}{3}\) ។
   ដោយមេគុណ \(a = 3 > 0\) គេបានតារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញាខាងលើ ៖

   • \(f(x) < 0\) ចំពោះ \(x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x = -\dfrac{2}{3}\) ។

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះ \(x \in \left(-\dfrac{2}{3}, +\infty\right)\) ។

3. \(f(x) = -x + 1\) ៖
   រកឫស ៖ \(-x + 1 = 0 \iff x = 1\) ។
   ដោយមេគុណ \(a = -1 < 0\) គេបានតារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញាខាងលើ ៖

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះ \(x \in (-\infty, 1)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x = 1\) ។

   • \(f(x) < 0\) ចំពោះ \(x \in (1, +\infty)\) ។

4. \(f(x) = -2x + 1\) ៖
   រកឫស ៖ \(-2x + 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}\) ។
   ដោយមេគុណ \(a = -2 < 0\) គេបានតារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញាខាងលើ ៖

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះ \(x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{2}\right)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x = \dfrac{1}{2}\) ។

   • \(f(x) < 0\) ចំពោះ \(x \in \left(\dfrac{1}{2}, +\infty\right)\) ។

5. \(f(x) = 4 - 3x\) ៖
   រកឫស ៖ \(4 - 3x = 0 \iff x = \dfrac{4}{3}\) ។
   ដោយមេគុណ \(a = -3 < 0\) គេបានតារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញាខាងលើ ៖

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះ \(x \in \left(-\infty, \dfrac{4}{3}\right)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x = \dfrac{4}{3}\) ។

   • \(f(x) < 0\) ចំពោះ \(x \in \left(\dfrac{4}{3}, +\infty\right)\) ។

6. \(f(x) = -5x + 10\) ៖
   រកឫស ៖ \(-5x + 10 = 0 \iff x = 2\) ។
   ដោយមេគុណ \(a = -5 < 0\) គេបានតារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញាខាងលើ ៖

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះ \(x \in (-\infty, 2)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x = 2\) ។

   • \(f(x) < 0\) ចំពោះ \(x \in (2, +\infty)\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) ៖
   សមីការ \(x^2 - 2x - 3 = 0\) មានឫសពីរគឺ \(x_1 = -1\) និង \(x_2 = 3\) ។ មេគុណ \(a = 1 > 0\) គេបានតារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញា ៖

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះ \(x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x \in \{-1, 3\}\) ។

   • \(f(x) < 0\) ចំពោះ \(x \in (-1, 3)\) ។

2. \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) ៖
   សមីការ \(x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x - 1)(x - 2) = 0\) មានឫស \(x_1 = 1, x_2 = 2\) ។ មេគុណ \(a = 1 > 0\) ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញា ៖

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះ \(x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x \in \{1, 2\}\) ។

   • \(f(x) < 0\) ចំពោះ \(x \in (1, 2)\) ។

3. \(f(x) = x^2 - 2x + 1\) ៖
   កន្សោមជាការេពេញលេញ ៖ \(f(x) = (x - 1)^2 \ge 0\) មានឫសឌុប \(x = 1\) ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញា ៖

   • \(f(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0\) ចំពោះ \(x = 1\) ។

4. \(f(x) = 2x^2 - 2x + 1\) ៖
   ឌីសគ្រីមីណង់សង្ខេប ៖ \(\Delta' = (-1)^2 - 2(1) = -1 < 0\) ។
   ដោយ \(a = 2 > 0\) និង \(\Delta' < 0\) នាំឱ្យត្រីធាមានសញ្ញាវិជ្ជមានជានិច្ច ៖

   

   ដូចនេះ \(f(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។

5. \(f(x) = x^2 - 3x + 4\) ៖
   ឌីសគ្រីមីណង់ ៖ \(\Delta = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0\) ។
   ដោយ \(a = 1 > 0\) និង \(\Delta < 0\) នាំឱ្យ ៖

   

   ដូចនេះ \(f(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។

6. \(f(x) = x^2 - 5x + 10\) ៖
   ឌីសគ្រីមីណង់ ៖ \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(10) = 25 - 40 = -15 < 0\) ។
   ដោយ \(a = 1 > 0\) និង \(\Delta < 0\) នាំឱ្យ ៖

   

   ដូចនេះ \(f(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 2}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) ។ ឫសភាគយក ៖ \(x = -\dfrac{1}{2}\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = 2\) ។
   តារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញា ៖

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (2, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 2\right)\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{1 - x}{x - 2}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) ។ ឫសភាគយក ៖ \(x = 1\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = 2\) ។
   តារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញា ៖

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (1, 2)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x = 1\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2 - 3x}{x + 1}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) ។ ឫសភាគយក ៖ \(x = \dfrac{2}{3}\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = -1\) ។
   តារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញា ៖

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-1, \dfrac{2}{3}\right)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x = \dfrac{2}{3}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, -1) \cup \left(\dfrac{2}{3}, +\infty\right)\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{2 + 3x}{1 - x}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) ។ ឫសភាគយក ៖ \(x = -\dfrac{2}{3}\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = 1\) ។
   តារាងសញ្ញា ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញា ៖

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{2}{3}, 1\right)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x = -\dfrac{2}{3}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right) \cup (1, +\infty)\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{(x + 1)^2}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) ។ ដោយភាគយក \(x^2 + 1 > 0\) និងភាគបែង \((x + 1)^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \ne -1\) ៖

   

   ដូចនេះ \(f(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{(x + 1)(x + 2)}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1\}\) ។ ដោយ \(x^2 + 1 > 0, \forall x\) នោះសញ្ញានៃ \(f(x)\) ស្របតាមភាគបែង \((x + 1)(x + 2)\) ៖

   

   តាមតារាងសញ្ញា ៖

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-2, -1)\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 2)^2 + 1}\) ៖
   ភាគបែង \((x + 2)^2 + 1 > 0, \forall x \implies D = \mathbb{R}\) ។ សញ្ញានៃ \(f(x)\) ស្របតាមភាគយក ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{-2, -1\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-2, -1)\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x + 2)^2 + 7}\) ៖
   ភាគបែង \(> 0, \forall x \implies D = \mathbb{R}\) ។ សញ្ញានៃ \(f(x)\) ស្របតាមភាគយក ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{1, 2\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (1, 2)\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{-x(x - 4)}\) ៖
   ភាគយកមាន \(\Delta = 9 - 16 = -7 < 0 \implies 2x^2 + 3x + 2 > 0, \forall x\) ។ ភាគបែង \(-x^2 + 4x\) មានឫស \(x = 0\) និង \(x = 4\) (\(D = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\}\)) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (0, 4)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{3x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 5}\) ៖
   ភាគយក \(\Delta = 9 - 24 = -15 < 0 \implies\) ភាគយក \(> 0, \forall x\) ។ ភាគបែង \(-2x^2 + 5 = 0 \iff x = \pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{\sqrt{10}}{2}, \dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\sqrt{10}}{2}, +\infty\right)\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 2}{-2x^2 + 4x + 5}\) ៖
   ឫសភាគយក ៖ \(x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0.56, \ x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3.56\) ។
   ឫសភាគបែង ៖ \(x_3 = \dfrac{2 - \sqrt{14}}{2} \approx -0.87, \ x_4 = \dfrac{2 + \sqrt{14}}{2} \approx 2.87\) ។
   លំដាប់ឫសលើបន្ទាត់ចំនួន ៖ \(x_3 < x_1 < x_4 < x_2\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (x_3, x_1) \cup (x_4, x_2)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{x_1, x_2\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, x_3) \cup (x_1, x_4) \cup (x_2, +\infty)\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{11x^2 + 3x + 2}{x^2 + 8x + 1}\) ៖
   ភាគយកមាន \(\Delta = 9 - 88 = -79 < 0 \implies\) ភាគយក \(> 0, \forall x\) ។
   ភាគបែងមានឫស ៖ \(x = -4 \pm \sqrt{15}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (-\infty, -4 - \sqrt{15}) \cup (-4 + \sqrt{15}, +\infty)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-4 - \sqrt{15}, -4 + \sqrt{15})\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{x^2 + 4x + 5}\) ៖
   ភាគបែង \((x + 2)^2 + 1 > 0, \forall x \implies D = \mathbb{R}\) ។ សញ្ញាស្របតាមទ្វេធា \(3x + 2\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{2}{3}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x = -\dfrac{2}{3}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right)\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^2 + 4x + 11}\) ៖
   ភាគយក \(x^2 + 2 > 0\) និងភាគបែង \((x + 2)^2 + 7 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ៖

   

   ដូចនេះ \(f(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{-x(x - 2)(x + 2)}\) ៖
   ភាគយក \(> 0, \forall x\) ។ ភាគបែងមានឫស \(-2, 0, 2\) ។ មេគុណ \(-1 < 0\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-2, 0) \cup (2, +\infty)\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 12}{-2x^2 + 5}\) ៖
   ភាគយក \(> 0, \forall x\) (ព្រោះ \(\Delta = -39 < 0\)) ។ ភាគបែងមានឫស \(\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{\sqrt{10}}{2}, \dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\sqrt{10}}{2}, +\infty\right)\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 23x - 12}{-2x^2 + 4x + 5}\) ៖
   ឫសភាគយក ៖ \(x_1 = \dfrac{-23 - \sqrt{577}}{2} \approx -23.51, \ x_2 = \dfrac{-23 + \sqrt{577}}{2} \approx 0.51\) ។
   ឫសភាគបែង ៖ \(x_3 = \dfrac{2 - \sqrt{14}}{2} \approx -0.87, \ x_4 = \dfrac{2 + \sqrt{14}}{2} \approx 2.87\) ។
   លំដាប់ ៖ \(x_1 < x_3 < x_2 < x_4\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (x_1, x_3) \cup (x_2, x_4)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{x_1, x_2\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, x_1) \cup (x_3, x_2) \cup (x_4, +\infty)\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{-4x^2 + 3x + 2}{3x^2 + 8x + 1}\) ៖
   ឫសភាគយក ៖ \(x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{41}}{8} \approx -0.43, \ x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{41}}{8} \approx 1.18\) ។
   ឫសភាគបែង ៖ \(x_3 = \dfrac{-4 - \sqrt{13}}{3} \approx -2.54, \ x_4 = \dfrac{-4 + \sqrt{13}}{3} \approx -0.13\) ។
   លំដាប់ ៖ \(x_3 < x_1 < x_4 < x_2\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (x_3, x_1) \cup (x_4, x_2)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{x_1, x_2\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, x_3) \cup (x_1, x_4) \cup (x_2, +\infty)\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x - 2}\) ៖
   ឫសភាគយក ៖ \(x_1 = \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx -2.62, \ x_2 = \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.38\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = 2\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(\dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}, \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}\right) \cup (2, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \left\{\dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}, 2\right)\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{-(x^2 + x - 1)}{x - 2}\) ៖
   ឫសភាគយក ៖ \(x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.62, \ x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.62\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = 2\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\infty, \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}, 2\right)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \left\{\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right) \cup (2, +\infty)\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{x + 1}\) ៖
   ឫសភាគយក ៖ \(x = 1, 2\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = -1\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (-1, 1) \cup (2, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{1, 2\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, -1) \cup (1, 2)\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{(2x + 1)(x - 2)}{x - 1}\) ៖
   ឫសភាគយក ៖ \(x = -\dfrac{1}{2}, 2\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = 1\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 1\right) \cup (2, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \left\{-\dfrac{1}{2}, 2\right\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (1, 2)\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 1}{2x + 1}\) ៖
   ឫសភាគយក ៖ \(x = -2 \pm \sqrt{3}\) ; ឫសភាគបែង ៖ \(x = -\dfrac{1}{2}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-2 - \sqrt{3}, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (-2 + \sqrt{3}, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{-2 \pm \sqrt{3}\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, -2 - \sqrt{3}) \cup \left(-\dfrac{1}{2}, -2 + \sqrt{3}\right)\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 8}{3x + 2}\) ៖
   ភាគយក \(\Delta = 9 - 32 = -23 < 0 \implies\) ភាគយក \(> 0, \forall x\) ។ ភាគបែង \(x = -\dfrac{2}{3}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{2}{3}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{4x + 5}\) ៖ ឫស \(-2 < -\dfrac{5}{4} < -1\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-2, -\dfrac{5}{4}\right) \cup (-1, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{-2, -1\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, -2) \cup \left(-\dfrac{5}{4}, -1\right)\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{4x + 11}\) ៖ ឫស \(-\dfrac{11}{4} < 1 < 2\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{11}{4}, 1\right) \cup (2, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{1, 2\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{11}{4}\right) \cup (1, 2)\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{4x + 1}\) ៖ ឫស \(-2 < -1 < -\dfrac{1}{4}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (-2, -1) \cup \left(-\dfrac{1}{4}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{-2, -1\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, -2) \cup \left(-1, -\dfrac{1}{4}\right)\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{3x^2 + x + 2}{2x + 5}\) ៖ ភាគយក \(> 0, \forall x\) នាំឱ្យសញ្ញាស្របតាមភាគបែង \(2x + 5\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{5}{2}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{5}{2}\right)\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 2}{4x + 5}\) ៖ ឫសភាគយក \(x = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\) ; ភាគបែង \(x = -\dfrac{5}{4}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{5}{4}, \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \left\{\dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\right\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{5}{4}\right) \cup \left(\dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}, \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\right)\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{11x^2 + 3x + 2}{2x + 1}\) ៖ ភាគយក \(> 0, \forall x\) នាំឱ្យសញ្ញាស្របតាម \(2x + 1\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{1}{2}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 5}{3x + 2}\) ៖ ភាគយក \((x + 2)^2 + 1 > 0, \forall x\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{2}{3}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right)\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}\) ៖ ភាគយក \((x + 1)^2 + 2 > 0, \forall x\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in (-1, +\infty)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, -1)\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{4x - 1}\) ៖ ភាគយកមាន \(\Delta = -7 < 0 \implies\) ភាគយក \(> 0, \forall x\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(\dfrac{1}{4}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{4}\right)\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 12}{5x + 2}\) ៖ ភាគយកមាន \(\Delta = -39 < 0 \implies\) ភាគយក \(> 0, \forall x\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\dfrac{2}{5}, +\infty\right)\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{5}\right)\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 23x - 12}{4x + 5}\) ៖ ឫសភាគយក \(x_1 = \dfrac{-23 - \sqrt{577}}{2} \approx -23.51, \ x_2 = \dfrac{-23 + \sqrt{577}}{2} \approx 0.51\) ; ភាគបែង \(x = -\dfrac{5}{4}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(x_1, -\dfrac{5}{4}\right) \cup (x_2, +\infty)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{x_1, x_2\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in (-\infty, x_1) \cup \left(-\dfrac{5}{4}, x_2\right)\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{-4x^2 + 3x + 2}{8x + 1}\) ៖ ឫសភាគយក \(x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{41}}{8} \approx -0.43, \ x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{41}}{8} \approx 1.18\) ; ភាគបែង \(x = -\dfrac{1}{8}\) ៖

   

   • \(f(x) > 0 \iff x \in \left(-\infty, x_1\right) \cup \left(-\dfrac{1}{8}, x_2\right)\) ។

   • \(f(x) = 0 \iff x \in \{x_1, x_2\}\) ។

   • \(f(x) < 0 \iff x \in \left(x_1, -\dfrac{1}{8}\right) \cup (x_2, +\infty)\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x - 2}{x - 1}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) ។
   គណនាដេរីវេ ៖

   \[f'(x) = \dfrac{1(x - 1) - (x - 2)(1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x - 1 - x + 2}{(x - 1)^2} = \dfrac{1}{(x - 1)^2}\]
   ដោយ \((x - 1)^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq 1\) នោះ \(f'(x) = \dfrac{1}{(x - 1)^2} > 0, \ \forall x \in D\) ។
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើដែនកំណត់ \(D\) របស់វាជានិច្ច ។

2. \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 2}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)\) ។
   គណនាដេរីវេ ៖

   \[f'(x) = \dfrac{2(x + 2) - (2x - 1)(1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{2x + 4 - 2x + 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{5}{(x + 2)^2}\]
   ដោយ \(5 > 0\) និង \((x + 2)^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq -2\) នោះ \(f'(x) > 0, \ \forall x \in D\) ។
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើដែនកំណត់ \(D\) របស់វាជានិច្ច ។

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4x}{x - 2}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\) ។
   បំលែងទម្រង់ទូទៅ ៖

   \[f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 4 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)^2 - 4}{x - 2} = x - 2 - \dfrac{4}{x - 2}\]
   គណនាដេរីវេ ៖
   \[f'(x) = 1 - \left(-\dfrac{4}{(x - 2)^2}\right) = 1 + \dfrac{4}{(x - 2)^2}\]
   ដោយ \(\dfrac{4}{(x - 2)^2} > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq 2\) នោះ \(f'(x) = 1 + \dfrac{4}{(x - 2)^2} > 1 > 0, \ \forall x \in D\) ។
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើដែនកំណត់ \(D\) របស់វាជានិច្ច ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{-x + 2}{x - 1}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) ។
   គណនាដេរីវេ ៖

   \[f'(x) = \dfrac{-1(x - 1) - (-x + 2)(1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{-x + 1 + x - 2}{(x - 1)^2} = \dfrac{-1}{(x - 1)^2}\]
   ដោយ \(-1 < 0\) និង \((x - 1)^2 > 0, \forall x \neq 1\) នោះ \(f'(x) < 0, \ \forall x \in D\) ។
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើដែនកំណត់របស់វាជានិច្ច ។

2. \(f(x) = \dfrac{-2x + 3}{x + 1}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) ។
   គណនាដេរីវេ ៖

   \[f'(x) = \dfrac{-2(x + 1) - (-2x + 3)(1)}{(x + 1)^2} = \dfrac{-2x - 2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = \dfrac{-5}{(x + 1)^2}\]
   ដោយ \(-5 < 0\) និង \((x + 1)^2 > 0, \forall x \neq -1\) នោះ \(f'(x) < 0, \ \forall x \in D\) ។
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើដែនកំណត់របស់វាជានិច្ច ។

3. \(f(x) = \dfrac{-x^2 + x + 3}{x + 1}\) ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) ។
   ចែកពហុធាភាគយកនឹងភាគបែង ៖

   \[f(x) = -x + 2 + \dfrac{1}{x + 1}\]
   គណនាដេរីវេ ៖
   \[f'(x) = -1 - \dfrac{1}{(x + 1)^2} = -\left(1 + \dfrac{1}{(x + 1)^2}\right)\]
   ដោយ \(1 + \dfrac{1}{(x + 1)^2} > 1 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq -1\) នាំឱ្យ ៖
   \[f'(x) = -\left(1 + \dfrac{1}{(x + 1)^2}\right) < -1 < 0, \quad{} \forall x \in D\]
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើដែនកំណត់របស់វាជានិច្ច ។

ដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍ \(f(x) = (2m - 1)x^2 + m + 1\) មានដេរីវេ ៖

ដំណោះស្រាយ

គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f(x)\) ៖

1. ដើម្បីឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះចំពោះ \(x < 0\) លុះត្រាតែ ៖

   \[f'(x) < 0, \quad{} \forall x < 0 \iff 2(k + 3)x < 0, \quad{} \forall x < 0\]
   ដោយលក្ខខណ្ឌ \(x < 0\) នាំឱ្យ \(2x < 0\) (អវិជ្ជមានដាច់ខាត) ។ ពេលចែកអង្គទាំងពីរនឹង \(2x < 0\) វិសមភាពត្រូវត្រឡប់ទិសដៅ ៖
   \[k + 3 > 0 \iff k > -3\]
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះចំពោះ \(x < 0\) លុះត្រាតែ \(\boxed{k > -3}\) ។

2. ដើម្បីឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍ថេរចំពោះ \(x < 0\) លុះត្រាតែ ៖

   \[f'(x) = 0, \quad{} \forall x < 0 \iff 2(k + 3)x = 0, \quad{} \forall x < 0 \iff k + 3 = 0 \iff k = -3\]
   ពិនិត្យជាក់ស្តែង ៖ នៅពេល \(k = -3\) គេបាន \(f(x) = (-3 + 3)x^2 - (-3) + 2 = 5\) (ថេរជានិច្ច) ។
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ថេរលុះត្រាតែ \(\boxed{k = -3}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = -x^2 + 4x - 1\) ៖
   \(f'(x) = -2x + 4 = 0 \iff x = 2\) ។ ដោយ \(a = -1 < 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) ៖

   \[f_{\max} = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 1 = -4 + 8 - 1 = \boxed{3}\]
   ដូចនេះ អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(3\) ត្រង់ \(x = 2\) ។

2. \(f(x) = -2x^2 + 3x + 6\) ៖
   \(f'(x) = -4x + 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{4}\) ។ ដោយ \(a = -2 < 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = \dfrac{3}{4}\) ៖

   \[f_{\max} = f\left(\dfrac{3}{4}\right) = -2\left(\dfrac{9}{16}\right) + 3\left(\dfrac{3}{4}\right) + 6 = -\dfrac{9}{8} + \dfrac{18}{8} + \dfrac{48}{8} = \boxed{\dfrac{57}{8}}\]
   ដូចនេះ អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(\dfrac{57}{8}\) ត្រង់ \(x = \dfrac{3}{4}\) ។

3. \(f(x) = -x^2 + 9x - 3\) ៖
   \(f'(x) = -2x + 9 = 0 \iff x = \dfrac{9}{2}\) ។ ដោយ \(a = -1 < 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = \dfrac{9}{2}\) ៖

   \[f_{\max} = f\left(\dfrac{9}{2}\right) = -\left(\dfrac{81}{4}\right) + 9\left(\dfrac{9}{2}\right) - 3 = -\dfrac{81}{4} + \dfrac{162}{4} - \dfrac{12}{4} = \boxed{\dfrac{69}{4}}\]
   ដូចនេះ អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(\dfrac{69}{4}\) ត្រង់ \(x = \dfrac{9}{2}\) ។

4. \(f(x) = -3x^2 - 9x + 8\) ៖
   \(f'(x) = -6x - 9 = 0 \iff x = -\dfrac{3}{2}\) ។ ដោយ \(a = -3 < 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = -\dfrac{3}{2}\) ៖

   \[f_{\max} = f\left(-\dfrac{3}{2}\right) = -3\left(\dfrac{9}{4}\right) - 9\left(-\dfrac{3}{2}\right) + 8 = -\dfrac{27}{4} + \dfrac{54}{4} + \dfrac{32}{4} = \boxed{\dfrac{59}{4}}\]
   ដូចនេះ អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(\dfrac{59}{4}\) ត្រង់ \(x = -\dfrac{3}{2}\) ។

5. \(f(x) = x^2 + 4x + 3\) ៖
   \(f'(x) = 2x + 4 = 0 \iff x = -2\) ។ ដោយ \(a = 1 > 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = -2\) ៖

   \[f_{\min} = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = \boxed{-1}\]
   ដូចនេះ អនុគមន៍មានតម្លៃអប្បបរមាធៀបស្មើ \(-1\) ត្រង់ \(x = -2\) ។

6. \(f(x) = -x^2 + 3x - 2\) ៖
   \(f'(x) = -2x + 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}\) ។ ដោយ \(a = -1 < 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = \dfrac{3}{2}\) ៖

   \[f_{\max} = f\left(\dfrac{3}{2}\right) = -\left(\dfrac{9}{4}\right) + 3\left(\dfrac{3}{2}\right) - 2 = -\dfrac{9}{4} + \dfrac{18}{4} - \dfrac{8}{4} = \boxed{\dfrac{1}{4}}\]
   ដូចនេះ អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(\dfrac{1}{4}\) ត្រង់ \(x = \dfrac{3}{2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = -x^2 + 4x + 4\) ៖
   \(f'(x) = -2x + 4 = 0 \iff x = 2\) ។ ដោយ \(a = -1 < 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) ៖

   \[f_{\max} = f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 4 = -4 + 8 + 4 = \boxed{8}\]
   ដូចនេះ តម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(8\) ត្រង់ \(x = 2\) ។

2. \(f(x) = -x^2 + 3x + 2\) ៖
   \(f'(x) = -2x + 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}\) ។ ដោយ \(a = -1 < 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = \dfrac{3}{2}\) ៖

   \[f_{\max} = f\left(\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{2} + 2 = -\dfrac{9}{4} + \dfrac{18}{4} + \dfrac{8}{4} = \boxed{\dfrac{17}{4}}\]
   ដូចនេះ តម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(\dfrac{17}{4}\) ត្រង់ \(x = \dfrac{3}{2}\) ។

3. \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) ៖
   \(f'(x) = -2x + 4 = 0 \iff x = 2\) ។ ដោយ \(a = -1 < 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) ៖

   \[f_{\max} = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = \boxed{1}\]
   ដូចនេះ តម្លៃអតិបរមាធៀបស្មើ \(1\) ត្រង់ \(x = 2\) ។

4. \(f(x) = x^2 - 4x + 8\) ៖
   \(f'(x) = 2x - 4 = 0 \iff x = 2\) ។ ដោយ \(a = 1 > 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) ៖

   \[f_{\min} = f(2) = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = \boxed{4}\]
   ដូចនេះ តម្លៃអប្បបរមាធៀបស្មើ \(4\) ត្រង់ \(x = 2\) ។

5. \(f(x) = x^2 - x + 3\) ៖
   \(f'(x) = 2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}\) ។ ដោយ \(a = 1 > 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = \dfrac{1}{2}\) ៖

   \[f_{\min} = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + 3 = \dfrac{1 - 2 + 12}{4} = \boxed{\dfrac{11}{4}}\]
   ដូចនេះ តម្លៃអប្បបរមាធៀបស្មើ \(\dfrac{11}{4}\) ត្រង់ \(x = \dfrac{1}{2}\) ។

6. \(f(x) = x^2 + 3x + 2\) ៖
   \(f'(x) = 2x + 3 = 0 \iff x = -\dfrac{3}{2}\) ។ ដោយ \(a = 1 > 0\) នាំឱ្យ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = -\dfrac{3}{2}\) ៖

   \[f_{\min} = f\left(-\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} + 2 = \dfrac{9 - 18 + 8}{4} = \boxed{-\dfrac{1}{4}}\]
   ដូចនេះ តម្លៃអប្បបរមាធៀបស្មើ \(-\dfrac{1}{4}\) ត្រង់ \(x = -\dfrac{3}{2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(h(x)\) ៖

ដំណោះស្រាយ

គណនាដេរីវេទីមួយ និងដេរីវេទីពីរ ៖

1. \(f\) មានអប្បបរមាត្រង់ \(x = 2\) ៖
   លក្ខខណ្ឌចាំបាច់គឺ \(f'(2) = 0\) ៖

   \[2(2) - \dfrac{a}{2^2} = 0 \iff 4 - \dfrac{a}{4} = 0 \implies a = 16\]
   ផ្ទៀងផ្ទាត់ដេរីវេទីពីរ ៖ \(f''(2) = 2 + \dfrac{2(16)}{2^3} = 2 + 4 = 6 > 0\) (ពិតជាចំណុចអប្បបរមា) ។
   ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(\boxed{a = 16}\) ។

2. \(f\) មានអប្បបរមាត្រង់ \(x = -3\) ៖
   លក្ខខណ្ឌចាំបាច់គឺ \(f'(-3) = 0\) ៖

   \[2(-3) - \dfrac{a}{(-3)^2} = 0 \iff -6 - \dfrac{a}{9} = 0 \iff \dfrac{a}{9} = -6 \implies a = -54\]
   ផ្ទៀងផ្ទាត់ដេរីវេទីពីរ ៖ \(f''(-3) = 2 + \dfrac{2(-54)}{(-3)^3} = 2 + \dfrac{-108}{-27} = 2 + 4 = 6 > 0\) (ពិតជាចំណុចអប្បបរមា) ។
   ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(\boxed{a = -54}\) ។

3. \(f\) មានចំណុចរបត់ត្រង់ \(x = 1\) ៖
   ក្រាបនៃអនុគមន៍មានចំណុចរបត់ត្រង់ \(x = 1\) លុះត្រាតែ \(f''(1) = 0\) ហើយ \(f''(x)\) ប្តូរសញ្ញាកាត់តាម \(x = 1\) ៖

   \[f''(1) = 2 + \dfrac{2a}{1^3} = 2 + 2a = 0 \implies a = -1\]
   នៅពេល \(a = -1\) គេបាន \(f''(x) = \dfrac{2(x^3 - 1)}{x^3}\) ដែលប្តូរសញ្ញាពី \(-\) ទៅ \(+\) កាត់តាម \(x = 1\) ។
   ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(\boxed{a = -1}\) ។

4. បង្ហាញថាគ្មានតម្លៃ \(a\) ដែលធ្វើឱ្យ \(f\) មានតម្លៃអតិបរិមា ៖
   ដើម្បីឱ្យ \(f\) មានបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) លុះត្រាតែ \(f'(x_0) = 0\) ៖

   \[2x_0 - \dfrac{a}{x_0^2} = 0 \iff 2x_0^3 = a \iff x_0^3 = \dfrac{a}{2} \quad{} (a \neq 0)\]
   ពិនិត្យដេរីវេទីពីរត្រង់ចំណុច \(x_0\) នេះ ៖
   \[f''(x_0) = 2 + \dfrac{2a}{x_0^3} = 2 + \dfrac{2a}{\frac{a}{2}} = 2 + 4 = 6 > 0\]
   ដោយ \(f''(x_0) = 6 > 0\) ជានិច្ច គ្រប់ចំណុចស្ថានីយ \(x_0\) សុទ្ធតែជាចំណុចអប្បបរមាធៀបទាំងអស់ មិនអាចជាចំណុចអតិបរមាឡើយ ។
   ចំពោះករណី \(a = 0\) គេបាន \(f(x) = x^2\) ដែលជាប៉ារ៉ាបូលមានតែអប្បបរមាត្រង់កំពូល គ្មានអតិបរិមាឡើយ ។
   ដូចនេះ គ្មានតម្លៃ \(a\) ណាដែលអាចធ្វើឱ្យអនុគមន៍ \(f\) មានតម្លៃអតិបរិមាឡើយ ។ (បញ្ជាក់រួច)

ដំណោះស្រាយ

1. រកតម្លៃ \(a\) និង \(b\) ៖
   គណនាដេរីវេទីមួយនៃអនុគមន៍ ៖

   \[f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b\]
   អនុគមន៍ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 1\) និងអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2\) លុះត្រាតែ \(x = 1\) និង \(x = 2\) ជាឫសនៃ \(f'(x) = 0\) ៖
   \[\begin{cases} f'(1) = 3(1)^2 + 6a(1) + 3b = 0 \\ f'(2) = 3(2)^2 + 6a(2) + 3b = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 3 + 6a + 3b = 0 \\ 12 + 12a + 3b = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2a + b = -1 \quad{} (1) \\ 4a + b = -4 \quad{} (2) \end{cases}\]
   យកសមីការ \((2)\) ដកសមីការ \((1)\) អង្គនឹងអង្គ ៖
   \[(4a + b) - (2a + b) = -4 - (-1) \iff 2a = -3 \implies a = -\dfrac{3}{2}\]
   ជំនួសតម្លៃ \(a = -\dfrac{3}{2}\) ចូលក្នុងសមីការ \((1)\) ៖
   \[2\left(-\dfrac{3}{2}\right) + b = -1 \iff -3 + b = -1 \implies b = 2\]
   ពិនិត្យដេរីវេទីពីរ ៖ \(f''(x) = 6x + 6a = 6x - 9\) ៖

   • \(f''(1) = 6(1) - 9 = -3 < 0 \implies x = 1\) ពិតជាចំណុចអតិបរមាធៀប ។

   • \(f''(2) = 6(2) - 9 = 3 > 0 \implies x = 2\) ពិតជាចំណុចអប្បបរមាធៀប ។

   ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(\boxed{a = -\dfrac{3}{2}, \quad{} b = 2}\) ។

2. រកផលដករវាងតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាធៀបនៃ \(f\) ៖
   ជំនួស \(a = -\dfrac{3}{2}\) និង \(b = 2\) ចូលក្នុងកន្សោមអនុគមន៍ ៖

   \[f(x) = x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 6x + 2\]
   គណនាតម្លៃអតិបរមាធៀប ៖
   \[f_{\max} = f(1) = 1^3 - \dfrac{9}{2}(1)^2 + 6(1) + 2 = 1 - \dfrac{9}{2} + 8 = 9 - 4.5 = \dfrac{9}{2}\]
   គណនាតម្លៃអប្បបរមាធៀប ៖
   \[f_{\min} = f(2) = 2^3 - \dfrac{9}{2}(2)^2 + 6(2) + 2 = 8 - 18 + 12 + 2 = 4\]
   ផលដករវាងតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាធៀប ៖
   \[f_{\max} - f_{\min} = \dfrac{9}{2} - 4 = \dfrac{9 - 8}{2} = \dfrac{1}{2}\]
   ដូចនេះ ផលដកដែលត្រូវរកគឺ \(\boxed{f(1) - f(2) = \dfrac{1}{2}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

គណនាដេរីវេទីមួយ និងដេរីវេទីពីរ ៖

1. \(f\) មានអតិបរមាត្រង់ \(x = -1\) និងអប្បបរមាត្រង់ \(x = 3\) ៖
   លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ ៖

   \[\begin{cases} f'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 0 \\ f'(3) = 3(3)^2 + 2a(3) + b = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 3 - 2a + b = 0 \\ 27 + 6a + b = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} -2a + b = -3 \quad{} (1) \\ 6a + b = -27 \quad{} (2) \end{cases}\]
   យក \((2)\) ដក \((1)\) អង្គនឹងអង្គ ៖
   \[(6a + b) - (-2a + b) = -27 - (-3) \iff 8a = -24 \implies a = -3\]
   ជំនួស \(a = -3\) ចូល \((1)\) ៖
   \[-2(-3) + b = -3 \iff 6 + b = -3 \implies b = -9\]
   ពិនិត្យដេរីវេទីពីរ ៖ \(f''(x) = 6x + 2(-3) = 6x - 6\) ៖

   • \(f''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 < 0 \implies x = -1\) ជាចំណុចអតិបរមាពិតប្រាកដ ។

   • \(f''(3) = 6(3) - 6 = 12 > 0 \implies x = 3\) ជាចំណុចអប្បបរមាពិតប្រាកដ ។

   ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(\boxed{a = -3, \quad{} b = -9}\) ។

2. \(f\) មានអប្បបរមាត្រង់ \(x = 4\) និងចំណុចរបត់ត្រង់ \(x = -1\) ៖
   ចំណុចរបត់ត្រង់ \(x = -1\) តម្រូវឱ្យ ៖

   \[f''(-1) = 0 \iff 6(-1) + 2a = 0 \iff -6 + 2a = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3\]
   ជាមួយ \(a = 3\) នោះ \(f'(x) = 3x^2 + 6x + b\) ។
   លក្ខខណ្ឌអប្បបរមាត្រង់ \(x = 4\) តម្រូវឱ្យ \(f'(4) = 0\) ៖
   \[f'(4) = 3(4)^2 + 6(4) + b = 0 \iff 48 + 24 + b = 0 \iff 72 + b = 0 \implies b = -72\]
   ពិនិត្យដេរីវេទីពីរ ៖

   • \(f''(4) = 6(4) + 2(3) = 24 + 6 = 30 > 0 \implies x = 4\) ជាចំណុចអប្បបរមាពិតប្រាកដ ។

   • \(f''(x) = 6x + 6 = 6(x + 1)\) ប្តូរសញ្ញាពី \(-\) ទៅ \(+\) កាត់តាម \(x = -1 \implies x = -1\) ជាចំណុចរបត់ពិតប្រាកដ ។

   ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(\boxed{a = 3, \quad{} b = -72}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = 2x^2 - 8x + 5\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R}\) ។

   • ទិសដៅអថេរភាព ៖
     ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 4x - 8 = 4(x - 2)\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = 2\) ។
     - ចំពោះ \(x \in (-\infty, 2) \implies f'(x) < 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាត ។
     - ចំពោះ \(x \in (2, +\infty) \implies f'(x) > 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត ។

   • បរមាធៀប ៖
     ត្រង់ \(x = 2\), \(f'(x)\) ប្តូរសញ្ញាពី \(-\) ទៅ \(+\) នាំឱ្យ \(f\) មានតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ ៖

     \[f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = \boxed{-3}\]

   • លីមីត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} 2x^2 = +\infty\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

2. \(f(x) = x^3 - 3x + 3x + 2 = x^3 + 2\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R}\) ។

   • ទិសដៅអថេរភាព ៖
     ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 3x^2 \ge 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) (ឫសឌុប មិនប្តូរសញ្ញា) ។
     ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\) និងគ្មានតម្លៃបរមាធៀបឡើយ ។

   • លីមីត ៖ \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \quad{} \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) ។

   • ចំណុចរបត់ ៖ \(f''(x) = 6x = 0 \iff x = 0\) (ប្តូរសញ្ញា) \(\implies I(0, 2)\) ជាចំណុចរបត់នៃក្រាប ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

3. \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 2\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R}\) ។

   • ទិសដៅអថេរភាព ៖
     ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = -1, \quad{} x = 0, \quad{} x = 1\) ។
     - ចំពោះ \(x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \implies f'(x) < 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍ចុះ ។
     - ចំពោះ \(x \in (-1, 0) \cup (1, +\infty) \implies f'(x) > 0 \implies f\) ជាអនុគមន៍កើន ។

   • បរមាធៀប ៖
     - ត្រង់ \(x = \pm 1\) ៖ អប្បបរមាធៀបគឺ \(f(\pm 1) = (\pm 1)^4 - 2(\pm 1)^2 + 2 = \boxed{1}\) ។
     - ត្រង់ \(x = 0\) ៖ អតិបរមាធៀបគឺ \(f(0) = \boxed{2}\) ។

   • លីមីត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4x}{x^2 + 3x}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(x^2 + 3x \neq 0 \iff x(x + 3) \neq 0 \implies \boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0\}}\) ។

   • សម្រួលកន្សោមចំពោះ \(x \neq 0\) ៖ \(f(x) = \dfrac{x(x - 4)}{x(x + 3)} = \dfrac{x - 4}{x + 3} = 1 - \dfrac{7}{x + 3}\) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \implies \boxed{y = 1}\) (ដេក) ; \(\lim_{x \to -3^\pm} f(x) = \pm\infty \implies \boxed{x = -3}\) (ឈរ) ។
     ត្រង់ \(x = 0\) ៖ \(\lim_{x \to 0} f(x) = -\dfrac{4}{3}\) (ក្រាបមានចន្លោះប្រហោងត្រង់ \((0, -4/3)\)) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{7}{(x + 3)^2} > 0, \ \forall x \in D \implies f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \((-\infty, -3)\), \((-3, 0)\) និង \((0, +\infty)\) ព្រមទាំងគ្មានបរមាឡើយ ។

2. \(f(x) = \dfrac{2x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{1\}}\) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2 \implies \boxed{y = 2}\) (ដេក) ; \(\lim_{x \to 1} f(x) = -\infty \implies \boxed{x = 1}\) (ឈរ) ។

   • បំបែក ៖ \(f(x) = \dfrac{2(x-1)^2 + 2x - 3}{(x-1)^2} = 2 + \dfrac{2x - 3}{(x - 1)^2}\) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{2(x-1)^2 - 2(x-1)(2x-3)}{(x-1)^4} = \dfrac{2(x-1) - 2(2x-3)}{(x-1)^3} = \dfrac{-2x + 4}{(x-1)^3} = \dfrac{-2(x - 2)}{(x - 1)^3}\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = 2\) ។

   • អថេរភាព ៖ \(f'(x) > 0 \iff x \in (1, 2) \implies f\) កើន ; \(f'(x) < 0 \iff x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \implies f\) ចុះ ។

   • បរមាធៀប ៖ ត្រង់ \(x = 2\), \(f\) មានតម្លៃអតិបរមាធៀបគឺ \(f(2) = \dfrac{2(4) - 4 - 1}{(2 - 1)^2} = \boxed{3}\) ។

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 4x + 3} = 1 - \dfrac{3}{(x - 1)(x - 3)}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(x^2 - 4x + 3 \neq 0 \implies \boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}}\) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(y = 1\) (ដេក) ; \(x = 1\) និង \(x = 3\) (ឈរ) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{(2x - 4)(x^2 - 4x + 3) - (2x - 4)(x^2 - 4x)}{(x^2 - 4x + 3)^2} = \dfrac{6(x - 2)}{(x^2 - 4x + 3)^2}\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = 2\) ។

   • អថេរភាព ៖ \(f'(x) < 0 \iff x \in (-\infty, 1) \cup (1, 2) \implies f\) ចុះ ; \(f'(x) > 0 \iff x \in (2, 3) \cup (3, +\infty) \implies f\) កើន ។

   • បរមាធៀប ៖ ត្រង់ \(x = 2\), \(f\) មានតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ \(f(2) = \dfrac{4 - 8}{4 - 8 + 3} = \boxed{4}\) ។

4. \(f(x) = \dfrac{3x^2 - 18x + 25}{x^2 - 6x + 8} = 3 + \dfrac{1}{(x - 2)(x - 4)}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{2, 4\}}\) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(y = 3\) (ដេក) ; \(x = 2\) និង \(x = 4\) (ឈរ) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{-(2x - 6)}{(x^2 - 6x + 8)^2} = \dfrac{-2(x - 3)}{(x^2 - 6x + 8)^2}\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = 3\) ។

   • អថេរភាព ៖ \(f'(x) > 0 \iff x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3) \implies f\) កើន ; \(f'(x) < 0 \iff x \in (3, 4) \cup (4, +\infty) \implies f\) ចុះ ។

   • បរមាធៀប ៖ ត្រង់ \(x = 3\), \(f\) មានតម្លៃអតិបរមាធៀបគឺ \(f(3) = 3 + \dfrac{1}{9 - 18 + 8} = \boxed{2}\) ។

5. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 1} = 1 - \dfrac{5}{x^2 + 1}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R}}\) (ដោយ \(x^2 + 1 > 0, \ \forall x\)) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \implies \boxed{y = 1}\) (ដេក) ។ គ្មានអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{10x}{(x^2 + 1)^2}\) ។ \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) ។

   • អថេរភាព ៖ \(f'(x) < 0 \iff x < 0 \implies f\) ចុះ ; \(f'(x) > 0 \iff x > 0 \implies f\) កើន ។

   • បរមាធៀប ៖ ត្រង់ \(x = 0\), \(f\) មានតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ \(f(0) = \boxed{-4}\) ។

6. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2} = 1 - \dfrac{3}{x^2 + 2}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R}}\) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \implies \boxed{y = 1}\) (ដេក) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{6x}{(x^2 + 2)^2}\) ។ \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) ។

   • អថេរភាព ៖ \(f'(x) < 0 \iff x < 0 \implies f\) ចុះ ; \(f'(x) > 0 \iff x > 0 \implies f\) កើន ។

   • បរមាធៀប ៖ ត្រង់ \(x = 0\), \(f\) មានតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ \(f(0) = \boxed{-\dfrac{1}{2}}\) ។

7. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - 1}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}\) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(y = 1\) (ដេក) ; \(x = -1\) និង \(x = 1\) (ឈរ) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{(2x - 2)(x^2 - 1) - 2x(x^2 - 2x + 3)}{(x^2 - 1)^2} = \dfrac{2(x^2 - 4x + 1)}{(x^2 - 1)^2}\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = 2 - \sqrt{3} \approx 0.27\) ឬ \(x = 2 + \sqrt{3} \approx 3.73\) ។

   • បរមាធៀប ៖
     - អតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2 - \sqrt{3}\) គឺ \(f(2 - \sqrt{3}) = \boxed{1 - \sqrt{3}}\) ។
     - អប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = 2 + \sqrt{3}\) គឺ \(f(2 + \sqrt{3}) = \boxed{1 + \sqrt{3}}\) ។

8. \(f(x) = \dfrac{-x^2 + 3x + 5}{x^2 - 2x - 3}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(x^2 - 2x - 3 \neq 0 \iff (x + 1)(x - 3) \neq 0 \implies \boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\}}\) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -1 \implies \boxed{y = -1}\) (ដេក) ; \(x = -1\) និង \(x = 3\) (ឈរ) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{(-2x + 3)(x^2 - 2x - 3) - (2x - 2)(-x^2 + 3x + 5)}{(x^2 - 2x - 3)^2} = \dfrac{-x^2 - 16x + 1}{(x^2 - 2x - 3)^2}\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = -8 \pm \sqrt{65}\) ។

   • បរមាធៀប ៖ អប្បបរមាត្រង់ \(x = -8 - \sqrt{65}\) និងអតិបរមាត្រង់ \(x = -8 + \sqrt{65}\) ។

9. \(f(x) = \dfrac{2x^2 - x + 3}{1 - x^2}\) ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(1 - x^2 \neq 0 \implies \boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}\) ។

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -2 \implies \boxed{y = -2}\) (ដេក) ; \(x = -1\) និង \(x = 1\) (ឈរ) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = \dfrac{(4x - 1)(1 - x^2) - (-2x)(2x^2 - x + 3)}{(1 - x^2)^2} = \dfrac{-x^2 + 10x - 1}{(1 - x^2)^2}\) ។
     \(f'(x) = 0 \iff x = 5 \pm 2\sqrt{6}\) ។

   • បរមាធៀប ៖ អប្បបរមាត្រង់ \(x = 5 - 2\sqrt{6}\) និងអតិបរមាត្រង់ \(x = 5 + 2\sqrt{6}\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. រកចំនួនពិត \(a, b, c\) ៖
   ធ្វើវិធីចែកពហុធាភាគយក \(2x^2+x-1\) នឹងភាគបែង \(x-2\) ៖

   \[\begin{array}{r|l} 2x^2 + x - 1 & x - 2 \\ -(2x^2 - 4x) & 2x + 5 \\ 5x - 1 & \\ -(5x - 10) & \\ 9 & \end{array}\]
   គេបាន ៖ \(f(x) = 2x + 5 + \dfrac{9}{x-2}\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq 2\) ។
   ដូចនេះ \(\boxed{a = 2, \quad{} b = 5, \quad{} c = 9}\) ។

2. រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតទ្រេត ៖

   • អាស៊ីមតូតឈរ ៖ គណនាលីមីតត្រង់ \(x \to 2\) ៖

     \[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(2x + 5 + \dfrac{9}{x-2}\right) = 9 + \left(\dfrac{9}{0^-}\right) = -\infty\]
     \[\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left(2x + 5 + \dfrac{9}{x-2}\right) = 9 + \left(\dfrac{9}{0^+}\right) = +\infty\]
     ដូចនេះ បន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(\boxed{x = 2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប \((C)\) ។

   • អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ គណនាលីមីតនៃផលដក \(f(x) - (2x + 5)\) កាលណា \(x \to \pm\infty\) ៖

     \[\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (2x + 5)] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{9}{x-2} = 0\]
     ដូចនេះ បន្ទាត់ \((d) \colon \boxed{y = 2x + 5}\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \((C)\) ។

3. សិក្សាទីតាំងធៀបនៃក្រាប \((C)\) ធៀបនឹងអាស៊ីមតូតទ្រេត \((d)\) ៖
   ពិនិត្យសញ្ញានៃផលដក \(f(x) - y_d = \dfrac{9}{x-2}\) ៖

   • បើ \(x \in (2, +\infty) \implies x - 2 > 0 \implies f(x) - y_d > 0\) នាំឱ្យក្រាប \((C)\) ស្ថិតនៅខាងលើ អាស៊ីមតូតទ្រេត \((d)\) ។

   • បើ \(x \in (-\infty, 2) \implies x - 2 < 0 \implies f(x) - y_d < 0\) នាំឱ្យក្រាប \((C)\) ស្ថិតនៅខាងក្រោម អាស៊ីមតូតទ្រេត \((d)\) ។

4. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាប ៖

   • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\) ។

   • ដេរីវេ ៖

     \[f'(x) = (2x + 5)' + \left(\dfrac{9}{x-2}\right)' = 2 - \dfrac{9}{(x-2)^2} = \dfrac{2(x-2)^2 - 9}{(x-2)^2}\]
     ឱ្យ \(f'(x) = 0 \iff 2(x-2)^2 = 9 \iff (x-2)^2 = \dfrac{9}{2} \iff x - 2 = \pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) ៖
     \[x_1 = 2 - \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx -0.12, \qquad{} x_2 = 2 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx 4.12\]

   • តម្លៃបរមាធៀប ៖

     \[f(x_1) = 2\left(2 - \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right) + 5 + \dfrac{9}{-\frac{3\sqrt{2}}{2}} = 9 - 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 9 - 6\sqrt{2} \approx 0.51 \quad{} (\text{អតិបរមាធៀប})\]
     \[f(x_2) = 2\left(2 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right) + 5 + \dfrac{9}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = 9 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 9 + 6\sqrt{2} \approx 17.49 \quad{} (\text{អប្បបរមាធៀប})\]

   • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ ចំណុចប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរគឺ \(I(2, 9)\) ។
     ចំពោះគ្រប់ \(x \neq 2\) គេបាន \(4 - x \neq 2\) ហើយ ៖

     \[f(4-x) + f(x) = \left(2(4-x)+5+\dfrac{9}{2-x}\right) + \left(2x+5+\dfrac{9}{x-2}\right) = 18 = 2(9)\]
     ដូចនេះ \(I(2, 9)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប \((C)\) ។

   • ចំណុចប្រសព្វអ័ក្សកូអរដោនេ ៖

     • ប្រសព្វអ័ក្ស \((Oy)\) ៖ \(x = 0 \implies y = f(0) = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}\) ។ ចំណុច \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\) ។

     • ប្រសព្វអ័ក្ស \((Ox)\) ៖ \(y = 0 \iff 2x^2+x-1 = 0 \iff (2x-1)(x+1) = 0 \implies x = \dfrac{1}{2}, \ x = -1\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

   ក្រាបតំណាង \((C)\) ៖

   

5. ពិភាក្សាអត្ថិភាព និងសញ្ញានៃឫសតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(m\) ៖
   សមីការដែលត្រូវពិភាក្សា ៖ \(2x^2 + (1-m)x + 2m - 1 = 0\) (ចំពោះ \(x \neq 2\)) ។
   បំប្លែងសមីការ ៖

   \[2x^2 + x - 1 - mx + 2m = 0 \iff 2x^2 + x - 1 = m(x - 2) \iff \dfrac{2x^2+x-1}{x-2} = m \iff f(x) = m\]
   ចំនួនឫសនៃសមីការគឺចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប \((C)\) និងបន្ទាត់ដេក \((d_m) \colon y = m\) ៖

   • បើ \(m < 9 - 6\sqrt{2} \approx 0.51\) ៖ បន្ទាត់កាត់ក្រាប \((C)\) ត្រង់ពីរចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីស \(x < 2\) (ឫសទាំងពីរអវិជ្ជមាន ឬមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នាអាស្រ័យតាម \(m\) ធៀបនឹង \(\frac{1}{2}\)) ។

   • បើ \(m = 9 - 6\sqrt{2}\) ៖ បន្ទាត់ប៉ះក្រាប \((C)\) ត្រង់កំពូលអតិបរមា នាំឱ្យសមីការមានឫសឌុប \(x = 2 - \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) ។

   • បើ \(9 - 6\sqrt{2} < m < 9 + 6\sqrt{2}\) ៖ បន្ទាត់មិនកាត់ក្រាប \((C)\) ឡើយ នាំឱ្យសមីការគ្មានឫសក្នុង \(\mathbb{R}\) ។

   • បើ \(m = 9 + 6\sqrt{2}\) ៖ បន្ទាត់ប៉ះក្រាប \((C)\) ត្រង់កំពូលអប្បបរមា នាំឱ្យសមីការមានឫសឌុប \(x = 2 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) ។

   • បើ \(m > 9 + 6\sqrt{2} \approx 17.49\) ៖ បន្ទាត់កាត់ក្រាប \((C)\) ត្រង់ពីរចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីសវិជ្ជមានទាំងពីរ \(x > 2\) (សមីការមានឫសវិជ្ជមានពីរផ្សេងគ្នា) ។

ដំណោះស្រាយ

1. រកចំនួនពិត \(a, b, c\) ៖
   បំបែកកន្សោមភាគយក ៖

   \[f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 4 + 4}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)^2 + 4}{x - 2} = x - 2 + \dfrac{4}{x - 2}\]
   ដូចនេះ \(\boxed{a = 1, \quad{} b = -2, \quad{} c = 4}\) ។

2. រកសមីការអាស៊ីមតូត ៖

   • អាស៊ីមតូតឈរ ៖

     \[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(x - 2 + \dfrac{4}{x - 2}\right) = -\infty, \qquad{} \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\]
     ដូចនេះ បន្ទាត់សមីការ \(\boxed{x = 2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃ \((C)\) ។

   • អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖

     \[\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x - 2)] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4}{x - 2} = 0\]
     ដូចនេះ បន្ទាត់ \((d) \colon \boxed{y = x - 2}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C)\) ។

3. សិក្សាអថេរភាព ៖

   • ដេរីវេ ៖

     \[f'(x) = 1 - \dfrac{4}{(x-2)^2} = \dfrac{(x-2)^2 - 4}{(x-2)^2} = \dfrac{(x-2-2)(x-2+2)}{(x-2)^2} = \dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}\]
     ឱ្យ \(f'(x) = 0 \iff x(x-4) = 0 \iff x = 0 \) ឬ \( x = 4\) ។

   • បរមាធៀប ៖

     • ត្រង់ \(x = 0 \implies f(0) = 0 - 2 + \dfrac{4}{0 - 2} = -4\) ជាតម្លៃអតិបរមាធៀប ។

     • ត្រង់ \(x = 4 \implies f(4) = 4 - 2 + \dfrac{4}{4 - 2} = 2 + 2 = 4\) ជាតម្លៃអប្បបរមាធៀប ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

4. ផ្ចិតឆ្លុះ និងសង់ក្រាប \((C)\) ៖
   ចំណុចប្រសព្វអាស៊ីមតូតទាំងពីរគឺ \(I(2, 0)\) ។
   ផ្ទៀងផ្ទាត់រូបមន្តផ្ចិតឆ្លុះ \(f(2a-x) + f(x) = 2b\) ជាមួយ \(a=2, b=0\) ៖

   \[f(4-x) + f(x) = \left(4-x-2 + \dfrac{4}{4-x-2}\right) + \left(x-2 + \dfrac{4}{x-2}\right) = (2-x) - \dfrac{4}{x-2} + x - 2 + \dfrac{4}{x-2} = 0 = 2(0)\]
   ដូចនេះ \(I(2, 0)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប \((C)\) ។
   

5. ពិភាក្សាអត្ថិភាព និងសញ្ញានៃឫសសមីការ ៖
   សមីការ \(x^2 - (m+4)x + 2m + 8 = 0 \iff x^2 - 4x + 8 = m(x - 2) \iff \dfrac{x^2-4x+8}{x-2} = m \iff f(x) = m\) ។

   • បើ \(m < -4\) ៖ បន្ទាត់កាត់ក្រាបត្រង់ពីរចំណុចដែលមាន \(x < 2\) (ឫសអវិជ្ជមានពីរ) ។

   • បើ \(m = -4\) ៖ បន្ទាត់ប៉ះក្រាបត្រង់ចំណុច \((0, -4)\) នាំឱ្យមានឫសឌុប \(x = 0\) ។

   • បើ \(-4 < m < 4\) ៖ បន្ទាត់មិនកាត់ក្រាប \((C)\) ទេ នាំឱ្យសមីការគ្មានឫសក្នុង \(\mathbb{R}\) ។

   • បើ \(m = 4\) ៖ បន្ទាត់ប៉ះក្រាបត្រង់ចំណុច \((4, 4)\) នាំឱ្យមានឫសឌុប \(x = 4\) ។

   • បើ \(m > 4\) ៖ បន្ទាត់កាត់ក្រាបត្រង់ពីរចំណុចដែលមាន \(x > 2\) (ឫសវិជ្ជមានពីរផ្សេងគ្នា) ។

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ ៖ \(x + 1 \neq 0 \iff x \neq -1 \implies \boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)}\) ។

2. ទម្រង់បន្ទាប់ ៖
   ចែកភាគយកនឹងភាគបែង ៖ \(x^2 - x - 3 = (x - 2)(x + 1) - 1\) ។
   នាំឱ្យ \(f(x) = \dfrac{(x-2)(x+1)-1}{x+1} = \boxed{x - 2 - \dfrac{1}{x+1}}\) (ពិត) ។

3. អាស៊ីមតូត និងទីតាំងធៀប ៖

   • \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty, \ \lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty \implies \boxed{x = -1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x-2)] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\dfrac{1}{x+1}\right) = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = x - 2}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

   • ទីតាំងធៀប ៖ \(f(x) - y_d = -\dfrac{1}{x+1}\) ៖

     • បើ \(x > -1 \implies f(x) - y_d < 0 \implies (C)\) ស្ថិតនៅខាងក្រោម \((d)\) ។

     • បើ \(x < -1 \implies f(x) - y_d > 0 \implies (C)\) ស្ថិតនៅខាងលើ \((d)\) ។

4. ទិសដៅអថេរភាព ៖
   \(f'(x) = 1 - \left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right) = 1 + \dfrac{1}{(x+1)^2}\) ។
   ដោយ \((x+1)^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq -1\) នាំឱ្យ \(f'(x) > 1 > 0, \ \forall x \in D\) ។
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតជានិច្ចលើ \((-\infty, -1)\) និងលើ \((-1, +\infty)\) ហើយគ្មានបរមាធៀបឡើយ ។

5. ផ្ចិតឆ្លុះ និងសង់ក្រាប ៖
   ប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតគឺ \(I(-1, -3)\) ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖

   \[f(-2-x) + f(x) = -2-x-2 - \dfrac{1}{-2-x+1} + x-2 - \dfrac{1}{x+1} = -6 = 2(-3)\]
   ដូចនេះ \(I(-1, -3)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃ \((C)\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

   ក្រាបតំណាង \((C)\) ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 - x + 2x - 2 + 1}{x - 1} = x + 2 + \dfrac{1}{x - 1} \implies \boxed{a = 1, \quad{} b = 2, \quad{} c = 1}\) ។

2. អាស៊ីមតូត ៖

   • \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \ \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \implies \boxed{x = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x+2)] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x-1} = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = x + 2}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

3. អថេរភាព ៖

   \[f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\]
   \(f'(x) = 0 \iff x = 0 \) ឬ \( x = 2\) ៖

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(0) = \dfrac{-1}{-1} = \boxed{1}\) ត្រង់ \(x = 0\) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(2) = 2 + 2 + \dfrac{1}{1} = \boxed{5}\) ត្រង់ \(x = 2\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

4. ផ្ចិតឆ្លុះ និងក្រាប \((C)\) ៖
   \(I(1, 3)\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ \(f(2-x) + f(x) = (2-x+2 + \frac{1}{1-x}) + (x+2 + \frac{1}{x-1}) = 6 = 2(3)\) ។
   ដូចនេះ \(I(1, 3)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃ \((C)\) ។

   

5. ពិភាក្សាឫសសមីការ ៖
   \(x^2 + (1-m)x + m - 1 = 0 \iff f(x) = m\) ៖

   • \(m < 1\) ៖ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា \(x_1 < 0 < x_2 < 1\) ។

   • \(m = 1\) ៖ មានឫសឌុប \(x = 0\) ។

   • \(1 < m < 5\) ៖ គ្មានឫសក្នុង \(\mathbb{R}\) ។

   • \(m = 5\) ៖ មានឫសឌុប \(x = 2\) ។

   • \(m > 5\) ៖ មានឫសវិជ្ជមានពីរផ្សេងគ្នា \(1 < x_1 < 2 < x_2\) ។

ដំណោះស្រាយ

1. សិក្សាលីមីតនៃអនុគមន៍ \(f\) ត្រង់ \(-\infty\) និង \(+\infty\) ៖

   • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2\left(1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1 - \frac{2}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty\) ។

   • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2\left(1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1 - \frac{2}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty\) ។

   ម្យ៉ាងទៀត ត្រង់ \(x = 2\) ៖

   \[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2-x-1}{x-2} = \dfrac{1}{0^-} = -\infty, \quad{} \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2-x-1}{x-2} = \dfrac{1}{0^+} = +\infty\]
   នាំឱ្យបន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(x = 2\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប \((C)\) ។

2. សិក្សាអថេរភាព និងសង់តារាងអថេរភាព ៖
   ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}\) ៖

   \[f'(x) = \dfrac{(2x-1)(x-2) - (x^2-x-1)(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x+3}{(x-2)^2} = \dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\]
   \(f'(x) = 0 \iff (x-1)(x-3) = 0 \iff x = 1 \) ឬ \( x = 3\) ។
   ដោយ \((x-2)^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \neq 2\) នាំឱ្យសញ្ញានៃ \(f'(x)\) អាស្រ័យលើ \((x-1)(x-3)\) ៖

   • \(f'(x) > 0 \iff x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) \implies f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត ។

   • \(f'(x) < 0 \iff x \in (1, 2) \cup (2, 3) \implies f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាត ។

   • ត្រង់ \(x = 1\), \(f\) មានតម្លៃអតិបរមាធៀបគឺ \(f(1) = \dfrac{1^2-1-1}{1-2} = \boxed{1}\) ។

   • ត្រង់ \(x = 3\), \(f\) មានតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ \(f(3) = \dfrac{3^2-3-1}{3-2} = \boxed{5}\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

3. 1. រកចំនួនពិត \(a, b, c\) ៖
      ធ្វើវិធីចែកពហុធាភាគយក \(x^2-x-1\) នឹងភាគបែង \(x-2\) ៖

      \[x^2 - x - 1 = (x + 1)(x - 2) + 1 \implies f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x-2}\]
      ដូចនេះ \(\boxed{a = 1, \quad{} b = 1, \quad{} c = 1}\) ។

   2. អាស៊ីមតូតទ្រេត \((d)\) និងទីតាំងធៀប ៖
      គណនាលីមីតផលដក ៖

      \[\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x+1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x-2} = 0\]
      ដូចនេះ បន្ទាត់ \((d) \colon y = x + 1\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \((C)\) ត្រង់ \(-\infty\) និង \(+\infty\) ។
      ទីតាំងធៀបនៃ \((C)\) ធៀបនឹង \((d)\) តាមសញ្ញានៃ \(f(x) - y_d = \dfrac{1}{x-2}\) ៖

      • \(x \in (2, +\infty) \implies \dfrac{1}{x-2} > 0 \implies (C)\) ស្ថិតនៅខាងលើអាស៊ីមតូត \((d)\) ។

      • \(x \in (-\infty, 2) \implies \dfrac{1}{x-2} < 0 \implies (C)\) ស្ថិតនៅខាងក្រោមអាស៊ីមតូត \((d)\) ។

   3. សង់ក្រាប \((C)\) និងបន្ទាត់ \((d)\) ៖

      

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ \(f\) ៖
   អនុគមន៍ \(f\) មានន័យកាលណា \(x + 1 \neq 0 \iff x \neq -1\) ។
   ដូចនេះ ដែនកំណត់គឺ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}}\) ។

2. បង្ហាញថា \(f(x) = x - 2 - \dfrac{1}{x+1}\) ៖
   តម្រូវភាគបែង ៖

   \[x - 2 - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x-2)(x+1) - 1}{x+1} = \dfrac{x^2 - x - 2 - 1}{x+1} = \dfrac{x^2 - x - 3}{x+1} = f(x)\]
   ដូចនេះ \(f(x) = x - 2 - \dfrac{1}{x+1}\) ពិតប្រាកដមែន ។

3. បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(y = x - 2\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ៖
   គណនាលីមីតផលដក ៖

   \[\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x-2)] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\dfrac{1}{x+1}\right) = 0\]
   ដូចនេះ បន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(\boxed{y = x - 2}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប \((C)\) ។

4. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាបនៃ \(f\) ៖

   • លីមីត និងអាស៊ីមតូតឈរ ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\) ។
     \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty\) និង \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty \implies\) បន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(\boxed{x = -1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃ \((C)\) ។

   • ដេរីវេ ៖ ចំពោះគ្រប់ \(x \neq -1\) ៖

     \[f'(x) = 1 - \left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right) = 1 + \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0, \quad{} \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\]
     នាំឱ្យអនុគមន៍ \(f\) កើនជានិច្ចលើចន្លោះ \((-\infty, -1)\) និង \((-1, +\infty)\) ព្រមទាំងគ្មានតម្លៃបរមាធៀបឡើយ ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

   ក្រាបតំណាង \((C)\) ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ ៖ \(1 - x \neq 0 \iff x \neq 1 \implies \boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{1\}}\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{-x^2 + 4}{x - 1} = \dfrac{-(x^2 - 1) + 3}{x - 1} = -(x + 1) + \dfrac{3}{x - 1} = \boxed{-x - 1 - \dfrac{3}{1 - x}}\) ។

3. អាស៊ីមតូត ៖

   • \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \ \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \implies \boxed{x = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - (-x-1)] = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = -x - 1}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

4. ដេរីវេ ៖

   \[f'(x) = -1 - \dfrac{3}{(x-1)^2} = -\left(1 + \dfrac{3}{(x-1)^2}\right) < -1 < 0, \quad{} \forall x \neq 1\]
   ដូចនេះ \(f\) ជាអនុគមន៍ចុះដាច់ខាតលើ \((-\infty, 1)\) និងលើ \((1, +\infty)\) ជានិច្ច និងគ្មានបរមាធៀបឡើយ ។

5. តារាងអថេរភាព ៖

   
   

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}}\) ។
   សរសេរ \(f(x) = x + \dfrac{4}{x+1}\) នាំឱ្យ ៖

   \[f'(x) = 1 - \dfrac{4}{(x+1)^2} = \dfrac{(x+1)^2 - 4}{(x+1)^2} = \dfrac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}\]

2. អាស៊ីមតូត ៖

   • \(\lim_{x \to -1^\pm} f(x) = \pm\infty \implies \boxed{x = -1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - x] = \lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{4}{x+1} = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = x}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

3. \(f'(x) = 0 \iff x = -3 \) ឬ \( x = 1\) ៖

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(-3) = -3 + \dfrac{4}{-2} = \boxed{-5}\) ត្រង់ \(x = -3\) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(1) = 1 + \dfrac{4}{2} = \boxed{3}\) ត្រង់ \(x = 1\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

4. ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(f(-2-x) + f(x) = (-2-x + \frac{4}{-1-x}) + (x + \frac{4}{x+1}) = -2 = 2(-1) \implies \boxed{I(-1, -1)}\) ជាផ្ចិតឆ្លុះ ។

   

ដំណោះស្រាយ

1. អថេរភាព និងអាស៊ីមតូត ៖
   \(f(x) = x + 1 + \dfrac{4}{x+2}\) ។
   \(\lim_{x \to -2^\pm} f(x) = \pm\infty \implies \boxed{x = -2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។
   \(\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - (x+1)] = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = x + 1}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។
   \(f'(x) = 1 - \dfrac{4}{(x+2)^2} = \dfrac{x(x+4)}{(x+2)^2}\) ។ \(f'(x) = 0 \iff x = -4 \) ឬ \( x = 0\) ៖

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(-4) = -4 + 1 + \dfrac{4}{-2} = \boxed{-5}\) ត្រង់ \(x = -4\) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(0) = 0 + 1 + \dfrac{4}{2} = \boxed{3}\) ត្រង់ \(x = 0\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

2. សមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(x_0 = 1\) និងចំណុច \(A\) ៖
   គណនា \(f(1) = 1 + 1 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{10}{3}\) និង \(f'(1) = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\) ។
   សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((T)\) ៖

   \[y = f'(1)(x - 1) + f(1) = \dfrac{5}{9}(x - 1) + \dfrac{10}{3} = \dfrac{5}{9}x - \dfrac{5}{9} + \dfrac{30}{9} \implies \boxed{y = \dfrac{5}{9}x + \dfrac{25}{9}}\]
   រកប្រសព្វ \(A\) ជាមួយអាស៊ីមតូតទ្រេត \(y = x + 1\) ៖
   \[x + 1 = \dfrac{5}{9}x + \dfrac{25}{9} \iff \dfrac{4}{9}x = \dfrac{16}{9} \implies x = 4 \implies y = 4 + 1 = 5\]
   ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វគឺ \(\boxed{A(4, 5)}\) ។

3. គណនាផ្ទៃក្រឡា \(S\) ៖
   ចំពោះ \(x \in [1, 2]\) ក្រាប \((C)\) នៅខាងលើអាស៊ីមតូតទ្រេត \((d)\) ៖

   \[S = \int_1^2 [f(x) - (x+1)]\,dx = \int_1^2 \dfrac{4}{x+2}\,dx = 4[\ln|x+2|]_1^2 = 4(\ln 4 - \ln 3) = \boxed{4\ln\dfrac{4}{3}} \approx 1.15 \text{ (ឯកតាផ្ទៃ)}\]

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{2\}}\) ។
   លីមីត ៖ \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty, \ \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \ \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\) ។

2. \(f(x) = \dfrac{x^2-2x-3x+6+1}{x-2} = x - 3 + \dfrac{1}{x-2} \implies \boxed{a = 1, \ b = -3, \ c = 1}\) ។

3. អាស៊ីមតូតឈរ ៖ \(\boxed{x = 2}\) ; អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ \(\boxed{y = x - 3}\) ។

4. \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-2)^2} = \dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\) ៖

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(1) = 1 - 3 - 1 = \boxed{-3}\) ត្រង់ \(x = 1\) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(3) = 3 - 3 + 1 = \boxed{1}\) ត្រង់ \(x = 3\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   
   

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x^2-2x-x+2-6}{x-2} = x - 1 - \dfrac{6}{x-2}\) ៖

   • \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty, \ \lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty \implies \boxed{x = 2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - (x-1)] = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = x - 1}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

2. \(f'(x) = 1 + \dfrac{6}{(x-2)^2} > 1 > 0, \forall x \neq 2\) នាំឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \((-\infty, 2)\) និងលើ \((2, +\infty)\) ជានិច្ច និងគ្មានបរមាធៀបឡើយ ។

3. ប្រសព្វអ័ក្ស ៖

   • ប្រសព្វ \((Oy)\) ៖ \(x = 0 \implies y = \dfrac{-4}{-2} = 2\) គឺចំណុច \((0, 2)\) ។

   • ប្រសព្វ \((Ox)\) ៖ \(y = 0 \iff x^2-3x-4 = 0 \iff (x-4)(x+1) = 0 \implies x = -1, x = 4\) ។

   ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ ប្រសព្វអាស៊ីមតូតគឺ \(\boxed{I(2, 1)}\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   
   

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{1\}}\) ។
   \(f(x) = x + 1 - \dfrac{3}{x-1}\) នាំឱ្យ ៖

   • \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty, \ \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty \implies \boxed{x = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - (x+1)] = 0 \implies \boxed{y = x + 1}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

2. \(f'(x) = 1 + \dfrac{3}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x+4}{(x-1)^2} > 0, \forall x \neq 1\) នាំឱ្យ \(f\) កើនជានិច្ចលើ \((-\infty, 1)\) និងលើ \((1, +\infty)\) ។

3. កាត់អ័ក្ស ៖ \((0, 4), (2, 0), (-2, 0)\) ។ ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(I(1, 2)\) ។

   

ដំណោះស្រាយ

1. \(f(x) = \dfrac{x(x-1)+9}{x-1} = x + \dfrac{9}{x-1}\) ៖

   • \(\lim_{x \to 1^\pm} f(x) = \pm\infty \implies \boxed{x = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - x] = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = x}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

2. \(f'(x) = 1 - \dfrac{9}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 - 9}{(x-1)^2} = \dfrac{(x+2)(x-4)}{(x-1)^2}\) ៖

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(-2) = -2 + \dfrac{9}{-3} = \boxed{-5}\) ត្រង់ \(x = -2\) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(4) = 4 + \dfrac{9}{3} = \boxed{7}\) ត្រង់ \(x = 4\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

3. ផ្ចិតឆ្លុះ \(I(1, 1)\) ។ ក្រាបកាត់អ័ក្ស \((Oy)\) ត្រង់ \((0, -9)\) ។

   

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ ៖ \(\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{1\}}\) ។
   \(f(x) = x + 4 + \dfrac{1}{x-1}\) នាំឱ្យ ៖

   • \(\lim_{x \to 1^\pm} f(x) = \pm\infty \implies \boxed{x = 1}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - (x+4)] = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = x + 4}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

2. \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\) ៖

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(0) = 0 + 4 - 1 = \boxed{3}\) ត្រង់ \(x = 0\) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(2) = 2 + 4 + 1 = \boxed{7}\) ត្រង់ \(x = 2\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

3. \(f(x) - (x+4) = \dfrac{1}{x-1}\) ៖

   • លើ \((1, +\infty)\) ៖ \((C)\) ស្ថិតនៅខាងលើអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

   • លើ \((-\infty, 1)\) ៖ \((C)\) ស្ថិតនៅខាងក្រោមអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

   ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(I(1, 5)\) ។

   

ដំណោះស្រាយ

1. អាស៊ីមតូត ៖
   ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) ។ សរសេរ \(f(x) = x - 2 + \dfrac{4}{x-2}\) ៖

   • \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \ \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \implies \boxed{x = 2}\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតឈរ ។

   • \(\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - (x-2)] = \lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{4}{x-2} = 0 \implies (d) \colon \boxed{y = x - 2}\) ជាសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

2. ដេរីវេ និងអថេរភាព ៖
   \(f'(x) = 1 - \dfrac{4}{(x-2)^2} = \dfrac{(x-2)^2 - 4}{(x-2)^2} = \dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}\) ។
   \(f'(x) = 0 \iff x = 0 \) ឬ \( x = 4\) ៖

   • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(0) = 0 - 2 + \dfrac{4}{-2} = \boxed{-4}\) ត្រង់ \(x = 0\) ។

   • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(4) = 4 - 2 + \dfrac{4}{2} = \boxed{4}\) ត្រង់ \(x = 4\) ។

   តារាងអថេរភាព ៖

   

3. ចំណុចកាត់អ័ក្ស និងផ្ចិតឆ្លុះ ៖

   • ប្រសព្វ \((Oy)\) ៖ \(x = 0 \implies y = -4\) គឺចំណុច \((0, -4)\) ។

   • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ ចំណុចប្រសព្វរវាងអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតទ្រេតគឺ \(\boxed{I(2, 0)}\) ។
     ពិតណាស់ ៖ \(f(4-x) + f(x) = (2-x - \frac{4}{x-2}) + (x-2 + \frac{4}{x-2}) = 0 = 2(0)\) ។

4. សមីការបន្ទាត់ប៉ះស្របនឹង \((\Delta) \colon y = -3x + 1\) ៖
   មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះត្រូវស្មើនឹង \(-3\) ៖

   \[f'(x_0) = -3 \iff 1 - \dfrac{4}{(x_0-2)^2} = -3 \iff \dfrac{4}{(x_0-2)^2} = 4 \iff (x_0-2)^2 = 1 \iff x_0 = 1 \text{ ឬ } x_0 = 3\]

   • ចំពោះ \(x_0 = 1 \implies y_0 = f(1) = 1 - 2 + \dfrac{4}{-1} = -5\) ៖

     \[(T_1) \colon y = -3(x - 1) - 5 \implies \boxed{(T_1) \colon y = -3x - 2}\]

   • ចំពោះ \(x_0 = 3 \implies y_0 = f(3) = 3 - 2 + \dfrac{4}{1} = 5\) ៖

     \[(T_2) \colon y = -3(x - 3) + 5 \implies \boxed{(T_2) \colon y = -3x + 14}\]

5. ក្រាបតំណាង \((C)\) និងបន្ទាត់ប៉ះ ៖

   

ដំណោះស្រាយ

1. ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\) ។
   ភាគបែងស្មើសូន្យត្រង់ \(x = -2\) ។ ជំនួស \(x = -2\) ចូលភាគយក ៖

   \[m(-2)^2 + 3m(-2) + 2m + 1 = 4m - 6m + 2m + 1 = 1 \neq 0, \quad{} \forall m\]
   ដោយភាគយកស្មើ \(1 \neq 0\) ជានិច្ច នោះ \(\lim_{x \to -2^\pm} f_m(x) = \pm\infty\) គ្រប់តម្លៃ \(m\) ។
   ដូចនេះ ក្រាប \((C_m)\) តែងតែមានបន្ទាត់ \(\boxed{x = -2}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរជានិច្ចគ្រប់ \(m\) ។

2. ចែកពហុធាភាគយកនឹងភាគបែង ៖

   \[mx^2 + 3mx + 2m + 1 = (mx + m)(x + 2) + 1\]
   នាំឱ្យ ៖
   \[f_m(x) = mx + m + \dfrac{1}{x+2} = m(x + 1) + \dfrac{1}{x+2}\]
   ដោយ \(\lim_{x \to \pm\infty}[f_m(x) - m(x+1)] = \lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{1}{x+2} = 0\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \((d_m) \colon \boxed{y = m(x+1)}\) ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ \((C_m)\) ។
   ពិនិត្យចំណុចនឹង ៖ ឱ្យ \(x + 1 = 0 \iff x = -1 \implies y = m(0) = 0\) (ឯករាជ្យពី \(m\)) ។
   ដូចនេះ អាស៊ីមតូតទ្រេត \((d_m)\) តែងតែកាត់តាមចំណុចនឹង \(\boxed{A(-1, 0)}\) ជានិច្ចគ្រប់តម្លៃ \(m\) ។

3. ចំពោះ \(m = 1\) ៖
   អនុគមន៍ក្លាយជា \(f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{x^2+3x+3}{x+2}\) ៖

   • អាស៊ីមតូត ៖ \(x = -2\) (ឈរ) និង \(y = x + 1\) (ទ្រេត) ។

   • ដេរីវេ ៖ \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x+2)^2} = \dfrac{(x+2)^2 - 1}{(x+2)^2} = \dfrac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}\) ៖

     • អតិបរមាធៀប ៖ \(f(-3) = -3 + 1 - 1 = \boxed{-3}\) ត្រង់ \(x = -3\) ។

     • អប្បបរមាធៀប ៖ \(f(-1) = -1 + 1 + 1 = \boxed{1}\) ត្រង់ \(x = -1\) ។

   • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ \(I(-2, -1)\) ។

   តារាងអថេរភាព (\(m=1\)) ៖