KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ៤២
៤២
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម · ជំពូកទី ៥ លីមីតនិងដេរីវេ · មេរៀនទី ៤២ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គមទំព័រ ១៨៨–២១២
វត្ថុបំណង

  1. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី \(3\)

  2. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ប៊ីការេ

  3. រកអាស៊ីមតូតឈរនិងអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាបតាងអនុគមន៍សនិទាន

  4. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍សនិទានងាយៗ ។

អនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី 3

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី 3

ឧទាហរណ៍ ១

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃ \(f(x) = -x^3 - 3x^2 + 4\) ។

  • ដែនកំណត់ ៖ អនុគមន៍ \(f\) មានន័យចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) គឺ \(D = \mathbb{R}\) ។

  • ទិសដៅអថេរភាព ៖ ដេរីវេ \(y' = f'(x) = -3x^2 - 6x = 3x(-x - 2)\) ។ \(f'(x) = 0\) សមមូល \(3x(-x - 2) = 0\) នាំឱ្យ \(x = 0\) ឬ \(x = -2\) ។

  • តម្លៃបរមាធៀប ៖ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x = -2\) ហើយតម្លៃអប្បបរមាធៀបគឺ \(y = f(-2) = 0\) ។ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x = 0\) ហើយតម្លៃអតិបរមាធៀបគឺ \(y = f(0) = 4\) ។

  • លីមីត ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty}\left[x^3\left(-1 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^3}\right)\right] = +\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty}\left[x^3\left(-1 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^3}\right)\right] = -\infty\) ។

  • តារាងអថេរភាព

  • ភាពប៉ោង ផត និងចំណុចរបត់ ៖ \(f''(x) = -6x - 6\) ។ \(f''(x) = 0\) សមមូល \(x = -1\) ហើយ \(y = f(-1) = 2\) ។ ក្រាបផតលើ \((-\infty, -1)\) ព្រោះ \(f'' > 0\) និងប៉ោងលើ \((-1, +\infty)\) ព្រោះ \(f'' < 0\) ។ ចំណុច \(I(-1, 2)\) ជាចំណុចរបត់ ។

  • ក្រាប ៖ ចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាបនិងអ័ក្ស ។ ក្រាបប្រសព្វអ័ក្ស \((y'oy)\) នោះ \(x = 0\) គេបាន \(y = 4\) ។ ក្រាបប្រសព្វអ័ក្ស \((x'ox)\) នោះ \(y = 0\) គេបាន

    \[\begin{aligned} -x^3 - 3x^2 + 4 = 0 &\Leftrightarrow -x^3 + x^2 - 4x^2 + 4 = 0\\ &\Leftrightarrow -x^2(x - 1) - 4(x^2 - 1) = 0\\ &\Leftrightarrow -(x - 1)(x + 2)^2 = 0 \end{aligned}\]
    នាំឱ្យ \(x = 1\) ឬ \(x = -2\) ។

  • បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចរបត់ \(I(-1, 2)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(f'(-1) = 3\) ។ សមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(I(-1, 2)\) គឺ \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) = 3(x + 1) + 2 = 3x + 5\) ។

  • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ តាមការបំប្លែងកិលនៃ \(\overrightarrow{OI}\) គេបានរូបមន្តប្ដូរតម្រុយ \(\begin{cases} x = X + x_0\\ y = Y + y_0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = X - 1\\ y = Y + 2 \end{cases}\) ។ រកសមីការបង្រួម ៖ \(Y + 2 = -(X - 1)^3 - 3(X - 1)^2 + 4\) នាំឱ្យសមីការបង្រួម \(Y = -X^3 + 3X\) ។ គេបាន \(F(-X) = -(-X)^3 + 3(-X) = X^3 - 3X = -(-X^3 + 3X) = -F(X)\) \(\Rightarrow Y = F(X) = -X^3 + 3X\) ជាអនុគមន៍សេស ។ ដូច្នេះ ចំណុច \(I(-1, 2)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាបតាង \(f\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃ \(y = x^3 - 3x^2 + 4x - 2\) ។

  • ដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R}\) ។

  • ទិសដៅអថេរភាព ៖ ដេរីវេ \(y' = 3x^2 - 6x + 4\) ។ បើ \(y' = 0\), \(3x^2 - 6x + 4 = 0\) មាន \(\Delta = -12 < 0\) នាំឱ្យ \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(y' > 0\) ។ ដូច្នេះអនុគមន៍ \(y\) កើនជានិច្ចលើ \(\mathbb{R}\) ។

  • លីមីត ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(x^3 - 3x^2 + 4x - 2) = -\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x^3 - 3x^2 + 4x - 2) = +\infty\) ។

  • តារាងអថេរភាព

  • ភាពប៉ោង ផត និងចំណុចរបត់ ៖ \(y'' = 6x - 6\) ។ ក្រាបប៉ោងលើ \((-\infty, 1)\) និងផតលើ \((1, +\infty)\) ហើយមានចំណុចរបត់ \((1, 0)\) ។

  • ក្រាប ៖ បើ \(x = 0\) គេបាន \(y = -2\) ។ បើ \(y = 0\) គេបាន \(x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0\) ។ ចំពោះ \(x = 1\) គេបាន \(1^3 - 3\times 1^2 + 4\times 1 - 2 = 0\) ។ គេអាចសរសេរ

    \[\begin{aligned} (x^3 - 1^3) - 3(x^2 - 1^2) + 4(x - 1) &= 0\\ &\Leftrightarrow (x - 1)(x^2 - 2x + 2) = 0 \end{aligned}\]
    នាំឱ្យ \(x - 1 = 0\) ឬ \(x^2 - 2x + 2 = 0\) ។ ព្រោះ \(x^2 - 2x + 2 = 0\) គ្មានឫសជាចំនួនពិត \((\Delta < 0)\) នោះ \(x = 1\) ។

  • បន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបត្រង់ចំណុចរបត់ \(I(1, 0)\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(y'(1) = 1\) ។ សមីការបន្ទាត់ប៉ះ \(y = 1(x - 1) + 0 = x - 1\) ។

  • ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ តាមការបំប្លែងកិលនៃ \(\overrightarrow{OI}\) គេបាន \(\begin{cases} x = X + 1\\ y = Y \end{cases}\) ។ សមីការបង្រួម \(Y = (X + 1)^3 - 3(X + 1)^2 + 4(X + 1) - 2 = X^3 + X\) ។ \(F(-X) = (-X)^3 + (-X) = -(X^3 + X) = -F(X)\) នោះ \(F(X)\) ជាអនុគមន៍សេស ។ ដូច្នេះ ចំណុច \(I(1, 0)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប ។

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)

  • ដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R}\) ។

  • ទិសដៅអថេរភាព ៖ \(y' = 3ax^2 + 2bx + c\) ។ បើ \(y' = 0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត នោះអនុគមន៍មានអតិបរមាធៀបមួយនិងអប្បបរមាធៀបមួយ ។ បើ \(y' = 0\) មានឫសឌុបឬគ្មានឫសជាចំនួនពិត នោះអនុគមន៍គ្មានបរមាធៀបទេ ។

  • លីមីត ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(ax^3 + bx^2 + cx + d) = \begin{cases} -\infty & \text{បើ } a > 0\\ +\infty & \text{បើ } a < 0 \end{cases}\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(ax^3 + bx^2 + cx + d) = \begin{cases} +\infty & \text{បើ } a > 0\\ -\infty & \text{បើ } a < 0 \end{cases}\) ។

  • តារាងអថេរភាព (ករណី \(y' = 0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា \(x_1 < x_2\)) ៖

    (ឆ្វេង ៖ \(a > 0\) ស្ដាំ ៖ \(a < 0\))

    បើ \(y' = 0\) មានឫសឌុប ឬគ្មានឫស នោះ \(y\) កើនជានិច្ច (បើ \(a > 0\)) ឬចុះជានិច្ច (បើ \(a < 0\)) ។

  • ចំណុចរបត់ ៖ \(y'' = 6ax + 2b\) ។ ក្រាបតាងអនុគមន៍មានចំណុចរបត់ \(I\left(-\dfrac{b}{3a}, y\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)\) ហើយដែលជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប ។

ប្រតិបត្តិ

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖ ក. \(y = -x^3 + x^2 - x - 1\) ខ. \(y = 2x^3 - 3x^2 + 1\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(y' = -3x^2 + 2x - 1 < 0\) ជានិច្ច (\(\Delta' = -2 < 0\)) ៖ អនុគមន៍ចុះជានិច្ចលើ \(\mathbb{R}\) ។ ចំណុចរបត់ \(\left(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{34}{27}\right)\) ។

ខ. \(y' = 6x(x - 1)\) ៖ អតិបរមាធៀប \(y(0) = 1\), អប្បបរមាធៀប \(y(1) = 0\) ។ ចំណុចរបត់ \(\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\) ។

អនុគមន៍ប៊ីការេ

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ប៊ីការេ

ឧទាហរណ៍

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃ \(y = -x^4 + 2x^2 - 2\) ។

  • ដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R}\) ។

  • ទិសដៅអថេរភាព ៖ ដេរីវេ \(y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1)\) ។ បើ \(y' = 0\) ៖ \(-4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0\) ឬ \(x = \pm 1\) ។

  • តម្លៃបរមាធៀប ៖ អនុគមន៍មានអតិបរមាធៀបពីរត្រង់ \(x = -1\) និង \(x = 1\) ហើយតម្លៃអតិបរមាធៀប \(y(-1) = y(1) = -1\) ។ អប្បបរមាធៀបមួយត្រង់ \(x = 0\) ហើយតម្លៃអប្បបរមាធៀប \(y(0) = -2\) ។

  • លីមីត ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} x^4\left(-1 + \frac{2}{x^2} - \frac{2}{x^4}\right) = -\infty\) ។

  • តារាងអថេរភាព

  • ភាពប៉ោង ផត និងចំណុចរបត់ ៖ \(y'' = -12x^2 + 4\) ។ បើ \(y'' = 0\), \(x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ហើយ \(y\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\dfrac{13}{9}\) ។ ក្រាបប៉ោងលើ \(\left(-\infty, -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\) និង \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)\), ផតលើ \(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\) ។ ចំណុចរបត់ \(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, -\dfrac{13}{9}\right)\) និង \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}, -\dfrac{13}{9}\right)\) ។

  • ក្រាប ៖ ក្រាបប្រសព្វអ័ក្សអរដោនេនោះ \(x = 0\) គេបាន \(y = -2\) ។ ក្រាបប្រសព្វអ័ក្សអាប់ស៊ីសនោះ \(y = 0\) គេបាន \(-x^4 + 2x^2 - 2 = 0\) ។ តាង \(t = x^2\) \((t \ge 0)\) គេបាន \(-t^2 + 2t - 2 = 0\), \(\Delta' = -1 < 0\) សមីការគ្មានឫសជាចំនួនពិត ហើយក្រាបមិនជួបអ័ក្ស \(x'ox\) ទេ ។

  • អ័ក្សឆ្លុះ ៖ គេបាន \(y(-x) = -(-x)^4 + 2(-x)^2 - 2 = -x^4 + 2x^2 - 2 = y(x)\) \(\Rightarrow y\) ជាអនុគមន៍គូ នោះអ័ក្សអរដោនេ \((y'oy)\) ជាអ័ក្សឆ្លុះនៃក្រាប ។

  • តារាងតម្លៃលេខ ៖ \(y\left(\pm\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{41}{16} \approx -2.5\) ។

អថេរភាពនិងក្រាបនៃ \(y = ax^4 + bx^2 + c\)

  • ដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R}\) ។

  • ទិសដៅអថេរភាព ៖ \(y' = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\) ។ \(y' = 0\) មានឫសតែមួយគត់ជាចំនួនពិត (\(x = 0\)) បើ \(\dfrac{b}{a} \ge 0\) ។ \(y' = 0\) មានឫសបីផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត បើ \(\dfrac{b}{a} < 0\) ។

  • លីមីត ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} ax^4\left(1 + \frac{b}{ax^2} + \frac{c}{ax^4}\right) = \begin{cases} +\infty & \text{បើ } a > 0\\ -\infty & \text{បើ } a < 0 \end{cases}\) ។

  • ចំណុចរបត់ ៖ \(y'' = 12ax^2 + 2b\) ។ \(y'' = 0\) គ្មានឫស ឬមានឫសឌុបជាចំនួនពិត បើ \(\dfrac{b}{a} \ge 0\) ហើយក្រាបគ្មានចំណុចរបត់ ។ \(y'' = 0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត បើ \(\dfrac{b}{a} < 0\) ហើយក្រាបមានចំណុចរបត់ពីរ ។

  • ក្រាប ៖ អ័ក្សអរដោនេ ជាអ័ក្សឆ្លុះនៃក្រាប ។

ប្រតិបត្តិ

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖ ក. \(y = -x^4 - x^2 + 2\) ខ. \(y = x^4 - 2x^2 + 1\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(y' = -2x(2x^2 + 1)\) ៖ កើនលើ \((-\infty, 0)\) ចុះលើ \((0, +\infty)\) ៖ អតិបរមា \(y(0) = 2\) ។ គ្មានចំណុចរបត់ ។ ក្រាបកាត់អ័ក្ស \(x'ox\) ត្រង់ \(x = \pm 1\) ។

ខ. \(y' = 4x(x^2 - 1)\) ៖ អប្បបរមាធៀប \(y(\pm 1) = 0\), អតិបរមាធៀប \(y(0) = 1\) ។ ចំណុចរបត់ \(\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{4}{9}\right)\) ។

អនុគមន៍សនិទាន

ក្នុងផ្នែកនេះ យើងសិក្សាអនុគមន៍សនិទាន \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\) ដែល \(c \ne 0\) និង \(ad - bc \ne 0\) ។

អាស៊ីមតូតនៃក្រាប

និយមន័យ

បន្ទាត់ \(L\) ជាអាស៊ីមតូតនៃក្រាប \(C\) តាងអនុគមន៍ \(y = f(x)\) កាលណាចម្ងាយ \(MH\) ពីចំណុច \(M\) នៃ \(C\) ទៅបន្ទាត់ \(L\) ខិតជិតសូន្យ នៅពេលចំណុច \(M\) រត់លើក្រាប \(C\) ខិតទៅជិតអនន្ត ។

អាស៊ីមតូតឈរ
ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{x - 2}\) និងតារាងតម្លៃលេខ

\[\begin{array}{c|ccc|c|ccc} x & 1.99 & 1.999 & 1.9999 & 2 & 2.0001 & 2.001 & 2.01\\ \hline y = \frac{1}{x - 2} & -10^2 & -10^3 & -10^4 & \| & 10^4 & 10^3 & 10^2 \end{array}\]

តាមតារាងតម្លៃលេខខាងលើ បើ \(x\) យកតម្លៃកាន់តែជិត \(2\) ពីខាងឆ្វេង នោះអនុគមន៍មានតម្លៃអវិជ្ជមាន ហើយកាន់តែតូចទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ ។ គេបាន \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} y = -\infty\) ។ ម្យ៉ាងទៀតបើ \(x\) យកតម្លៃកាន់តែជិត \(2\) ពីខាងស្ដាំនោះ អនុគមន៍មានតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ ។ គេបាន \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} y = +\infty\) ។

ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ ចម្ងាយ \(MH\) ពីចំណុច \(M\) ទៅបន្ទាត់មានសមីការ \(x = 2\) ខិតជិតសូន្យ កាលណាចំណុច \(M\) រត់លើក្រាបខិតទៅជិតអនន្ត ។ គេថាបន្ទាត់មានសមីការ \(x = 2\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ ។

ជាទូទៅ

បន្ទាត់ \(L\) មានសមីការ \(x = x_0\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ \(y = f(x)\) កាលណា \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty\) (ពីខាងឆ្វេង ឬពីខាងស្ដាំ) ។

លំហាត់គំរូ

រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាបតាង \(y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}\) ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ រកតម្លៃឫសនៃភាគបែង ៖ \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1\) ។

ជំហានទី \(2\) ៖ រកលីមីតខាងស្ដាំនិងខាងឆ្វេងត្រង់ \(x = -1\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} \lim_{x \to -1^+}\frac{2x - 1}{x + 1} &= -\infty \text{ ព្រោះ } \lim_{x \to -1^+}(2x - 1)\\ &= -3, \ \lim_{x \to -1^+}(x + 1) = 0^+ \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \lim_{x \to -1^-}\frac{2x - 1}{x + 1} &= +\infty \text{ ព្រោះ } \lim_{x \to -1^-}(2x - 1)\\ &= -3, \ \lim_{x \to -1^-}(x + 1) = 0^- \end{aligned}\]
ដូច្នេះ បន្ទាត់ \(L : x = -1\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប ។

សម្គាល់

បើភាគបែងនៃអនុគមន៍ប្រភាគសនិទានមានឫស \(x_0\) (ហើយភាគយកមិនសូន្យត្រង់ \(x_0\)) នោះបន្ទាត់មានសមីការ \(x = x_0\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប ។

ប្រតិបត្តិ

រកអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោមនេះ ៖ ក. \(y = \dfrac{2(x + 1)}{x - 1}\) ខ. \(y = \dfrac{x^2}{x + 2}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(x = 1\) ខ. \(x = -2\) ។

អាស៊ីមតូតដេក
ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) = \dfrac{-2x}{x - 1}\) ។ គេអាចសរសេរ \(f(x) = \dfrac{-2x}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = \dfrac{-2}{1 - \frac{1}{x}}\), \(x \ne 0\) ។

\[\begin{gathered} \lim_{x \to -\infty} f(x) = -2,\\ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -2\\ \text{ព្រោះ } \lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x} = 0 \end{gathered}\]

ក្នុងករណីនេះ ចម្ងាយ \(MH\) ពីចំណុច \(M\) ទៅបន្ទាត់ \(L : y = -2\) ខិតជិតសូន្យ កាលណាចំណុច \(M\) រត់លើក្រាបនៃ \(f\) ទៅអនន្ត ។ គេថាបន្ទាត់ \(L : y = -2\) ជាអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាបតាង \(f\) ។

ជាទូទៅ

បន្ទាត់ \(L\) មានសមីការ \(y = b\) ជាអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ \(y = f(x)\) កាលណា \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = b\) ឬ \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = b\), \(b \in \mathbb{R}\) ។

លំហាត់គំរូ

រកអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាបតាង \(y = \dfrac{2x + 3}{x - 1}\) ។

ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី \(1\) ៖ ពិនិត្យដឺក្រេនៃភាគយកនិងភាគបែង ។ ដឺក្រេភាគយក ស្មើដឺក្រេភាគបែង ដូច្នេះក្រាបតាងអនុគមន៍មានអាស៊ីមតូតដេក ។

ជំហានទី \(2\) ៖ រកលីមីតនៃអនុគមន៍នៅត្រង់អនន្ត ៖ \(\dfrac{2x + 3}{x - 1} = \dfrac{x\left(2 + \frac{3}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = \dfrac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\) \((x \ne 0)\)

\[\begin{gathered} \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2\\ \text{ព្រោះ} \quad{} \lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x} = 0 \end{gathered}\]
ដូច្នេះ បន្ទាត់មានសមីការ \(y = 2\) ជាអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប ។

សម្គាល់

បើដឺក្រេភាគយកតូចជាងឬស្មើដឺក្រេភាគបែង នោះក្រាបនៃអនុគមន៍សនិទានមានអាស៊ីមតូតដេក ហើយក្រៅពីនេះក្រាបគ្មានអាស៊ីមតូតដេកទេ ។

ប្រតិបត្តិ

រកអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖ ក. \(y = \dfrac{x + 2}{1 - 2x}\) ខ. \(y = \dfrac{x - 1}{x^2 + 1}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(y = -\dfrac{1}{2}\) ខ. \(y = 0\) ។

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\)

ឧទាហរណ៍

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃ \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}\) ។

  • ដែនកំណត់ ៖ អនុគមន៍ \(f\) មានន័យកាលណា \(x \ne -1\) គឺ \(D = \mathbb{R} - \{-1\}\) ។

  • ទិសដៅអថេរភាព ៖ ដេរីវេ \(f'(x) = \dfrac{(2x - 1)'(x + 1) - (2x - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2}\) ។ ដោយ \((x + 1)^2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in D\) នោះ \(f'(x) > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in D\) ។ \(f\) ជាអនុគមន៍កើនជានិច្ចលើ \(D\) ហើយគ្មានបរមាទេ ។

  • លីមីតនិងអាស៊ីមតូត ៖ \(\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty\) ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់មានសមីការ \(x = -1\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប ។

    \[\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{x\left(2 - \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2\]
    ដូច្នេះ បន្ទាត់មានសមីការ \(y = 2\) ជាអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប ។

  • តារាងអថេរភាព

  • ក្រាប ៖ ចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាបនិងអ័ក្ស ៖ \(x = 0\) គេបាន \(y = -1\) និង \(y = 0\) គេបាន \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\) ។

  • ផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប ៖ អាស៊ីមតូតទាំងពីរកាត់គ្នាត្រង់ចំណុច \(S(-1, 2)\) ។ តាមការបំប្លែងកិលវិចទ័រ \(\overrightarrow{OS}\) គេបានរូបមន្តប្ដូរតម្រុយ \(\begin{cases} x = X - 1\\ y = Y + 2 \end{cases}\) ។ គេមាន \(Y + 2 = \dfrac{2(X - 1) - 1}{X - 1 + 1} = \dfrac{2X - 3}{X} = 2 - \dfrac{3}{X}\) ។ សមីការបង្រួម \(Y = -\dfrac{3}{X}\) ជាអនុគមន៍សេស ព្រោះ \(F(-X) = \dfrac{3}{X} = -F(X)\) ។ ដូច្នេះ \(S(-1, 2)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ ។

ករណីទូទៅ

សិក្សាអថេរភាពនិងក្រាបនៃ \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\) ដែល \(c \ne 0\) និង \(ad - bc \ne 0\) ។

  • ដែនកំណត់ ៖ \(D = \mathbb{R} - \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ។

  • ទិសដៅអថេរភាព ៖ ដេរីវេ \(y' = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}\) ។ បើ \(ad - bc > 0\) នោះ \(y' > 0\) ហើយអនុគមន៍កើនលើ \(D\) និងគ្មានបរមា ។ បើ \(ad - bc < 0\) នោះ \(y' < 0\) ហើយអនុគមន៍ចុះលើ \(D\) និងគ្មានបរមា ។

  • លីមីតនិងអាស៊ីមតូត ៖ ដោយ \(\displaystyle\lim_{x \to (-\frac{d}{c})^{\pm}} f(x) = \pm\infty\) នោះបន្ទាត់មានសមីការ \(x = -\dfrac{d}{c}\) ជាអាស៊ីមតូតឈរ និង \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \dfrac{a}{c}\) នោះបន្ទាត់មានសមីការ \(y = \dfrac{a}{c}\) ជាអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប ។

  • ក្រាប ៖ អាស៊ីមតូតឈរ \(x = -\dfrac{d}{c}\) ជួបអាស៊ីមតូតដេក \(y = \dfrac{a}{c}\) ត្រង់ចំណុច \(S\left(-\dfrac{d}{c}, \dfrac{a}{c}\right)\) ដែល \(S\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ ។

(ឆ្វេង ៖ \(ad - bc > 0\) ស្ដាំ ៖ \(ad - bc < 0\))

ប្រតិបត្តិ

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖ ក. \(y = \dfrac{x - 1}{x + 2}\) ខ. \(y = \dfrac{2 - x}{2x + 1}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(y' = \dfrac{3}{(x + 2)^2} > 0\) ៖ កើនលើ \((-\infty, -2)\) និង \((-2, +\infty)\) ។ អាស៊ីមតូត \(x = -2\), \(y = 1\) ។ ផ្ចិតឆ្លុះ \(S(-2, 1)\) ។

ខ. \(y' = \dfrac{-5}{(2x + 1)^2} < 0\) ៖ ចុះលើ \(\left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right)\) និង \(\left(-\dfrac{1}{2}, +\infty\right)\) ។ អាស៊ីមតូត \(x = -\dfrac{1}{2}\), \(y = -\dfrac{1}{2}\) ។ ផ្ចិតឆ្លុះ \(S\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)\) ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ៥

មេរៀនសង្ខេប

  1. បើ \(x \to a\) ហើយ \(f(x) \to b\) នោះកំណត់សរសេរដោយ \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = b\) ។

  2. \(\displaystyle\lim_{x \to a} c = c\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនថេរ \(c\) ។ \(\displaystyle\lim_{x \to a} x = a\) ។

  3. \(\displaystyle\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)\) ។ \(\displaystyle\lim_{x \to a}[f(x)\times g(x)] = \lim_{x \to a} f(x)\times\lim_{x \to a} g(x)\) ។

  4. \(\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\) បើ \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \ne 0\) ។

  5. បើ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L\) នោះ \(L\) ជាលីមីតខាងឆ្វេងនៃ \(y = f(x)\) ។ បើ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = R\) នោះ \(R\) ជាលីមីតខាងស្ដាំនៃ \(y = f(x)\) ។ \(f\) មានលីមីតត្រង់ \(x_0\) លុះត្រាតែ \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)\) ។

  6. លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធានៅត្រង់អនន្ត គឺជាលីមីតនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេ ។ លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាននៅត្រង់អនន្ត គឺជាផលធៀបរវាងលីមីតនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៅភាគយក និងលីមីតនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៅភាគបែង ។

  7. ផលធៀប \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\) ជាអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃ \(y = f(x)\) កាលណា \(x\) បម្រែបម្រួលពី \(a\) ទៅ \(b\) ។

  8. \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\) ជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(y = f(x)\) នៅត្រង់ \(x = a\) ។

  9. \((c)' = 0\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនថេរ \(c\) ។ \((x^n)' = nx^{n-1}\) ចំពោះ \(n \in \mathbb{N}\) និង \(r \in \mathbb{Q}\), \((x^r)' = rx^{r-1}\) ។ \([kf(x)]' = kf'(x)\) ដែល \(k\) ជាមេគុណថេរ ។

  10. \([f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)\) ។ \([f(x)\times g(x)]' = f'(x)\times g(x) + f(x)\times g'(x)\) ។ \(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]' = \dfrac{f'(x)\times g(x) - f(x)\times g'(x)}{[g(x)]^2}\) បើ \(g(x) \ne 0\) ។

  11. \(f''(x)\) ជាដេរីវេទី \(1\) នៃ \(f'(x)\) ហើយ \(f''(x)\) ជាដេរីវេទី \(2\) នៃអនុគមន៍ \(y = f(x)\) ។

  12. មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាង \(f\) ត្រង់ \((x_0, y_0)\) ៖ \(m = \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{dy}{dx}(x_0) = f'(x_0)\) ។ សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖ \(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\) ឬ \(y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0\) ។

  13. ទិសដៅអថេរភាពនៃអនុគមន៍ ៖ \(f\) កើនលើ \((a, b)\) លុះត្រាតែ \(f'(x) > 0\), ចុះលើ \((a, b)\) លុះត្រាតែ \(f'(x) < 0\), ថេរលើ \((a, b)\) លុះត្រាតែ \(f'(x) = 0\) គ្រប់ \(x \in (a, b)\) ។

  14. អតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបនៃអនុគមន៍តាមដេរីវេទី \(1\) ៖ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) កាលណា \(f'\) ដូរសញ្ញាពី \(+\) ទៅ \(-\) ត្រង់ \(x_0\) ។ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) កាលណា \(f'\) ដូរសញ្ញាពី \(-\) ទៅ \(+\) ត្រង់ \(x_0\) ។

  15. អតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបតាមដេរីវេទី \(2\) ៖ \(f\) មានអតិបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) កាលណា \(f'(x_0) = 0\) និង \(f''(x_0) < 0\) ។ \(f\) មានអប្បបរមាធៀបត្រង់ \(x_0\) កាលណា \(f'(x_0) = 0\) និង \(f''(x_0) > 0\) ។

  16. ចំណុច \(I(x_0, y_0)\) ជាចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាង \(f\) កាលណាខ្សែកោងប៉ោងឬផតលើ \([a, x_0]\) ហើយផតឬប៉ោងលើ \([x_0, b]\) ។ របៀបរក ៖ រក \(f''(x)\), ដោះស្រាយ \(f''(x) = 0\) និងសិក្សាសញ្ញានៃ \(f''(x)\) ។

  17. ល្បឿននៃចលនា ៖ ចំណុច \(M(x = f(t))\) មានល្បឿននៅខណៈពេល \(t\) គឺ \(V = \dfrac{dx}{dt} = f'(t)\) ។

  18. ចំណុចរបត់ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ដឺក្រេទី \(3\) ។ អ័ក្សអរដោនេជាអ័ក្សឆ្លុះនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ \(y = ax^4 + bx^2 + c\) ។

  19. អាស៊ីមតូត ៖ បន្ទាត់ \(x = x_0\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាបតាង \(y = f(x)\) កាលណា \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty\) ។ បន្ទាត់ \(y = b\) ជាអាស៊ីមតូតដេកកាលណា \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b\), \(b \in \mathbb{R}\) ។

  20. ចំណុច \(S\left(-\dfrac{d}{c}, \dfrac{a}{c}\right)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\) ហើយជាចំណុចប្រសព្វរវាងអាស៊ីមតូតឈរនិងដេក ។

លំហាត់ជំពូកទី ៥

  1. \(f\) ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ \(f(x) = \dfrac{3x^2 - 4x - 4}{x^2 - x - 2}\) បើ \(x > 2\), \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{\sqrt{x + 2} - 2}\) បើ \(x < 2\) និង \(f(2) = \dfrac{8}{3}\) ។ គណនា \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x \to -2^+} f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)\) ។

  2. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} 5 - ax^2 & \text{បើ } x > 2\\ x + 1 & \text{បើ } x \le 2 \end{cases}\) ។ កំណត់តម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យ \(f\) មានលីមីតត្រង់ \(x = 2\) ។

  3. គេឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} & \text{បើ } x > 1\\ \dfrac{m^2 + m - 7}{2} + 2x - 2 & \text{បើ } x \le 1 \end{cases}\) ។ តើតម្លៃ \(m\) ស្មើប៉ុន្មានដែលធ្វើឱ្យ \(f\) ជាអនុគមន៍មានលីមីតត្រង់ \(x = 1\) ។

  4. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

    1. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 5x + 6}{9 - x^2}\)

    2. \(\displaystyle\lim_{x \to -5}\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 4x - 5}\)

    3. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x^2 - 2x}\)

    4. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}{x^3 - 4x^2 + 4x}\)

    5. \(\displaystyle\lim_{x \to 5}\frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5}\)

    6. \(\displaystyle\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{2x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2}\)

  5. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

    1. \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\)

    2. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{8 - 2x}}\)

    3. \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x - 6}{\sqrt{x + 6} - 3}\)

    4. \(\displaystyle\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 12} - \sqrt{x} - 2}\)

    5. \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{1}{x - 1}\left(x + 1 + \frac{2}{x - 2}\right)\)

    6. \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x^2 + 3x}{|x|}\)

  6. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

    1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{1 + 2\sqrt{x} - x}{x + 2}\)

    2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2 + 5x} - 3}{2x + 1}\)

    3. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{(x - 1)^2(7x^2 + 2)}{(2x + 3)^4}\)

    4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x - \sqrt{x^2 + 3})\)

    5. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2 + 2x} + x - 1)\)

    6. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x + 1 - \sqrt{x^2 + 3x})\)

  7. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

    1. \(y = (x^2 + 1)(x^3 - 2x + 4)\)

    2. \(y = \dfrac{1}{x^4} + 2\sqrt{x} + \dfrac{7}{\sqrt[3]{x}}\)

    3. \(y = \dfrac{x^2 + 2x - 2}{x^2 + 1}\)

    4. \(y = \dfrac{1}{(x^2 + x + 1)^2}\)

    5. \(y = x\sqrt{x} + \sqrt[5]{x^3}\)

    6. \(y = (x^2 + 3x - 2)^{10}\)

  8. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

    1. \(y = \sqrt{9 - x^2}\)

    2. \(y = (x^2 - x)^2(x + 1)\)

    3. \(y = \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1}}\)

    4. \(y = x\sqrt[3]{1 + x^2}\)

  9. កំណត់តម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យលីមីត \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x + a} - 3}{x^2 - 5x + 6}\) ជាចំនួនកំណត់ ។

  10. កំណត់តម្លៃ \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យលីមីត \(\displaystyle\lim_{x \to 8}\frac{ax^2 + bx + 8}{\sqrt[3]{x} - 2} = 84\) ។

  11. រកតម្លៃអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖ ក. \(y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1\) ខ. \(y = x^4 - 4x^2 + 5\) ។

  12. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(y = 2x^3 + 3(m - 1)x^2 + 6(m - 2)x - 1\) មានអតិបរមាធៀបមួយនិងអប្បបរមាធៀបមួយ ។

  13. រកចំណុចរបត់នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

    1. \(y = x^3 - 8\)

    2. \(y = -\dfrac{x^3}{3} + 3x^2 - 9x + 5\)

    3. \(y = x^3 + 6x^2 + 9x + 7\)

    4. \(y = -\dfrac{x^4}{12} + 2x^2 - 3\)

  14. គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = (m^2 - 2)x^3 + (m + 4)x^2\) ។ ក. កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍នេះមាន \(I(1, 2)\) ជាចំណុចរបត់ ។ ខ. ចំពោះតម្លៃ \(m\) ដែលបានរកឃើញ ចូរសិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាប \(C\) តាងអនុគមន៍នេះ ។

  15. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាប \(C\) តាងអនុគមន៍ \(y = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\) ។

  16. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាប \(C\) តាងអនុគមន៍ \(y = \dfrac{2x - 1}{x + 2}\) ។

  17. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

    1. \(y = x^3 - 3x\)

    2. \(y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4\)

    3. \(y = x^4 - 5x^2 + 4\)

    4. \(y = -x^4 + 3x^2 - 5\)

    5. \(y = \dfrac{2x - 2}{x - 2}\)

    6. \(y = \dfrac{3 - 2x}{x + 1}\)

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) ទំព័រ ១៨៨–២១២។
ទំព័រ ១៨៨
ទំព័រ ១៨៨
ទំព័រ ១៨៩
ទំព័រ ១៨៩
ទំព័រ ១៩០
ទំព័រ ១៩០
ទំព័រ ១៩១
ទំព័រ ១៩១
ទំព័រ ១៩២
ទំព័រ ១៩២
ទំព័រ ១៩៣
ទំព័រ ១៩៣
ទំព័រ ១៩៤
ទំព័រ ១៩៤
ទំព័រ ១៩៥
ទំព័រ ១៩៥
ទំព័រ ១៩៦
ទំព័រ ១៩៦
ទំព័រ ១៩៧
ទំព័រ ១៩៧
ទំព័រ ១៩៨
ទំព័រ ១៩៨
ទំព័រ ១៩៩
ទំព័រ ១៩៩
ទំព័រ ២០០
ទំព័រ ២០០
ទំព័រ ២០១
ទំព័រ ២០១
ទំព័រ ២០២
ទំព័រ ២០២
ទំព័រ ២០៣
ទំព័រ ២០៣
ទំព័រ ២០៤
ទំព័រ ២០៤
ទំព័រ ២០៥
ទំព័រ ២០៥
ទំព័រ ២០៦
ទំព័រ ២០៦
ទំព័រ ២០៧
ទំព័រ ២០៧
ទំព័រ ២០៨
ទំព័រ ២០៨
ទំព័រ ២០៩
ទំព័រ ២០៩
ទំព័រ ២១០
ទំព័រ ២១០
ទំព័រ ២១១
ទំព័រ ២១១
ទំព័រ ២១២
ទំព័រ ២១២

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = x^3 + 4x\)

  2. \(y = -2x^3 - 6x - 8\)

  3. \(y = x^3 - 6x^2 + 9x - 4\)

  4. \(y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x - \frac{1}{3}\)

  5. \(y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. កើនជានិច្ច (\(y' = 3x^2 + 4 > 0\)), ចំណុចរបត់ \((0, 0)\) ខ. ចុះជានិច្ច (\(y' = -6x^2 - 6 < 0\)), ចំណុចរបត់ \((0, -8)\) គ. អតិបរមាធៀប \(y(1) = 0\), អប្បបរមាធៀប \(y(3) = -4\), ចំណុចរបត់ \((2, -2)\) ឃ. \(y' = (x - 1)^2 \ge 0\) កើនជានិច្ច, ចំណុចរបត់ \((1, 0)\) ង. អតិបរមាធៀប \(y(1) = \dfrac{7}{3}\), អប្បបរមាធៀប \(y(3) = 1\), ចំណុចរបត់ \(\left(2, \dfrac{5}{3}\right)\) ។

២លំហាត់ទី ២

អនុគមន៍ \(f\) កំណត់ដោយ \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) ហើយមានក្រាប \(C\) ។

  1. បង្ហាញថាចំណុច \(I(0, 2)\) ជាចំណុចរបត់និងជាផ្ចិតឆ្លុះនៃ \(C\) ។

  2. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ត្រង់ចំណុចរបត់ \(I\) ។

  3. សង់តារាងអថេរភាពនៃ \(f\) និងក្រាប \(C\) ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(f''(x) = 6x\) ប្ដូរសញ្ញាត្រង់ \(x = 0\) និង \(f(0) = 2\) ។ \(f(x) - 2 = x^3 - 3x\) ជាអនុគមន៍សេស ដូច្នេះ \(I(0, 2)\) ជាផ្ចិតឆ្លុះ ខ. \(y = -3x + 2\) គ. អតិបរមាធៀប \(f(-1) = 4\), អប្បបរមាធៀប \(f(1) = 0\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

អនុគមន៍ \(y = x^3 + mx + 5\) កំណត់លើ \(\mathbb{R}\) ហើយ \(m\) ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ។

  1. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍មានអតិបរមាធៀបនិងអប្បបរមាធៀប ។

  2. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ចំពោះ \(m = -3\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(y' = 3x^2 + m = 0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា លុះត្រាតែ \(m < 0\) ខ. \(y = x^3 - 3x + 5\) ៖ អតិបរមាធៀប \(y(-1) = 7\), អប្បបរមាធៀប \(y(1) = 3\), ចំណុចរបត់ \((0, 5)\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

អនុគមន៍ \(f\) កំណត់នៅលើ \(\mathbb{R}\) ដោយ \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) ។

  1. រកតម្លៃនៃលេខមេគុណ \(a, b, c\) និង \(d\) ដោយដឹងថាអនុគមន៍មានអតិបរមាធៀប \(y = 4\) ត្រង់ \(x = 1\) ហើយក្រាបប៉ះនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ \(x = 3\) ។

  2. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបតាង \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\), \(d = 0\) ខ. អតិបរមាធៀប \(f(1) = 4\), អប្បបរមាធៀប \(f(3) = 0\), ចំណុចរបត់ \((2, 2)\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

អនុគមន៍ \(f_a(x) = x^3 - 1 - a(x - 1)\) មានក្រាប \(C_a\) ទៅតាមតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(a\) នីមួយៗ ។

  1. រកតម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យក្រាប \(C_a\) ប៉ះនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

  2. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ចំពោះតម្លៃ \(a\) ដែលរកបាន ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(f_a(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1 - a)\) ។ ក្រាបប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីស កាលណា \(a = 3\) (ពេលនោះ \(f_3(x) = (x - 1)^2(x + 2)\)) ឬ \(a = \dfrac{3}{4}\) (ពេលនោះ \(f_{3/4}(x) = (x - 1)\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2\)) ។

៦លំហាត់ទី ៦

អនុគមន៍ \(y = x^3 - x\) មានក្រាប \(C\) ។

  1. បង្ហាញថា \(A(-1, 0)\) ជាចំណុចប្រសព្វមួយរវាងក្រាប \(C\) និងបន្ទាត់ \(L\) មានសមីការ \(y = a(x + 1)\) ។

  2. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ត្រង់ចំណុច \(A\) ។

  3. រកតម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យ \(L\) កាត់ក្រាប \(C\) ត្រង់ពីរចំណុចផ្សេងគ្នា \(M_1\) និង \(M_2\) ក្រៅពីចំណុច \(A\) ។ រកសំណុំចំណុចកណ្ដាល \(I\) នៃអង្កត់ \([M_1M_2]\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ខ. \(y = 2x + 2\) គ. \(x^3 - x = a(x + 1) \Leftrightarrow (x + 1)(x^2 - x - a) = 0\) ។ លក្ខខណ្ឌ ៖ \(a > -\dfrac{1}{4}\) និង \(a \ne 2\) ។ ចំណុចកណ្ដាល \(I\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3a}{2}\right)\) ៖ សំណុំចំណុច \(I\) គឺផ្នែកនៃបន្ទាត់ \(x = \dfrac{1}{2}\) ដែល \(y > -\dfrac{3}{8}\) (ដកចំណុច \(\left(\dfrac{1}{2}, 3\right)\) ចេញ) ។

៧លំហាត់ទី ៧

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = x^4 + 2x^2 - 3\)

  2. \(y = -\frac{1}{2}x^4 - x^2 + \frac{3}{2}\)

  3. \(y = x^4 - 4x^2\)

  4. \(y = x^4 - 2x^2 + 2\)

  5. \(y = 2x^2 - x^4\)

  6. \(y = x^4 - 6x^2 + 5\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. អប្បបរមា \(y(0) = -3\), គ្មានចំណុចរបត់ ខ. អតិបរមា \(y(0) = \dfrac{3}{2}\), គ្មានចំណុចរបត់ គ. អប្បបរមា \(y(\pm\sqrt{2}) = -4\), អតិបរមាធៀប \(y(0) = 0\), ចំណុចរបត់ \(\left(\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}, -\dfrac{20}{9}\right)\) ឃ. អប្បបរមា \(y(\pm 1) = 1\), អតិបរមាធៀប \(y(0) = 2\), ចំណុចរបត់ \(\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{13}{9}\right)\) ង. អតិបរមា \(y(\pm 1) = 1\), អប្បបរមាធៀប \(y(0) = 0\), ចំណុចរបត់ \(\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{5}{9}\right)\) ច. អប្បបរមា \(y(\pm\sqrt{3}) = -4\), អតិបរមាធៀប \(y(0) = 5\), ចំណុចរបត់ \((\pm 1, 0)\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = x^4 - mx^2 + 3\) ដែល \(m\) ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ។

  1. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យក្រាបនៃអនុគមន៍នេះមានចំណុចរបត់ពីរ ។

  2. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យក្រាបនៃអនុគមន៍គ្មានចំណុចរបត់ ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(y'' = 12x^2 - 2m\) ៖ ក. \(m > 0\) ខ. \(m \le 0\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

អនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{2}x^4 - 3x^2 + \dfrac{3}{2}\) មានក្រាប \(C\) ។

  1. សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍នេះ ។ រកចំណុចរបត់នៃក្រាប \(C\) ។

  2. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចរបត់ ។

  3. សង់បន្ទាត់ប៉ះនោះនិងក្រាប \(C\) ។

  4. រកសមីការបន្ទាត់ទាំងអស់ដែលកាត់តាមចំណុច \(A\left(0, \dfrac{3}{2}\right)\) ហើយប៉ះនឹងក្រាប \(C\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. អតិបរមាធៀប \(y(0) = \dfrac{3}{2}\), អប្បបរមា \(y(\pm\sqrt{3}) = -3\) ។ ចំណុចរបត់ \((-1, -1)\) និង \((1, -1)\) ខ. \(y = -4x + 3\) (ត្រង់ \((1, -1)\)) និង \(y = 4x + 3\) (ត្រង់ \((-1, -1)\)) ឃ. \(y = \dfrac{3}{2}\), \(y = -2\sqrt{2}x + \dfrac{3}{2}\) និង \(y = 2\sqrt{2}x + \dfrac{3}{2}\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

អនុគមន៍ \(f\) កំណត់ដោយ \(f(x) = -x^4 + 2mx^2 - 2m + 1\) ហើយមានក្រាប \(C_m\) ។

  1. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ \(f\) មានអតិបរមាធៀបពីរនិងអប្បបរមាធៀបមួយ ។

  2. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ \(f\) ចំពោះ \(m = 5\) ។

  3. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យក្រាប \(C_m\) កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់បួនចំណុចផ្សេងគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(f'(x) = -4x(x^2 - m)\) ៖ \(m > 0\) ខ. \(f(x) = -x^4 + 10x^2 - 9\) ៖ អតិបរមា \(f(\pm\sqrt{5}) = 16\), អប្បបរមាធៀប \(f(0) = -9\) គ. \(f(x) = -(x^2 - 1)(x^2 - 2m + 1)\) ៖ \(m > \dfrac{1}{2}\) និង \(m \ne 1\) ។

១១លំហាត់ទី ១១

បង្ហាញថាបន្ទាត់ដែលបានឱ្យ គឺជាអាស៊ីមតូតនៃក្រាបតាង \(f\) ។

  1. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x}\), បន្ទាត់ \(L_1 : x = 0\), \(L_2 : y = 2\) ។

  2. \(f(x) = \dfrac{-3x + 1}{x + 2}\), បន្ទាត់ \(L_1 : x = -2\), \(L_2 : y = -3\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{\pm}} f(x) = \pm\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2\) ខ. \(\displaystyle\lim_{x \to -2^{\pm}} f(x) = \pm\infty\) និង \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -3\) ។

១២លំហាត់ទី ១២

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = \dfrac{1}{x - 3}\)

  2. \(y = \dfrac{x + 1}{x - 1}\)

  3. \(y = \dfrac{2x}{x + 1}\)

  4. \(y = \dfrac{1 - 2x}{2(x - 2)}\)

  5. \(y = \dfrac{2 - 3x}{1 - x}\)

  6. \(y = \dfrac{1 - x}{x - 3}\) ចំពោះ \(x \in (3, +\infty)\)

  7. \(y = \dfrac{x - 2}{2x}\) ចំពោះ \(x \in (-\infty, 2)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ចុះ; អាស៊ីមតូត \(x = 3\), \(y = 0\) ខ. ចុះ; \(x = 1\), \(y = 1\) គ. កើន; \(x = -1\), \(y = 2\) ឃ. កើន; \(x = 2\), \(y = -1\) ង. ចុះ; \(x = 1\), \(y = 3\) ច. កើន; \(x = 3\), \(y = -1\) ឆ. កើន (លើ \((-\infty, 0)\) និង \((0, 2)\)); \(x = 0\), \(y = \dfrac{1}{2}\) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

អនុគមន៍ \(f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}\) មានក្រាប \(H\) ។

  1. រកមេគុណ \(a, b, c\) និង \(d\) ដោយដឹងថា ក្រាប \(H\) កាត់តាមចំណុច \(E(-3, -1)\), \(F(0, 5)\) និង \(G(3, 2)\) ។

  2. រកមេគុណ \(a, b, c\) និង \(d\) ដោយដឹងថា បន្ទាត់ \(L_1 : x = 2\) ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប \(H\) ហើយបន្ទាត់ \(L_2 : y = \dfrac{3}{2}x + 1\) ប៉ះនឹងក្រាប \(H\) ត្រង់ចំណុច \(A(0, 1)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(f(x) = \dfrac{x + 5}{x + 1}\) (\(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 1\), \(d = 1\)) ខ. \(f(x) = \dfrac{-2x - 2}{x - 2}\) (\(a = -2\), \(b = -2\), \(c = 1\), \(d = -2\)) ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

អនុគមន៍ \(y = \dfrac{x + b}{cx + d}\) មានក្រាប \(H\) ។

  1. រកមេគុណ \(b, c, d\) ដើម្បីឱ្យក្រាប \(H\) កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ \(x = -1\) កាត់អ័ក្សអរដោនេត្រង់ \(y = -1\) និងកាត់តាម \(A(2, 3)\) ។

  2. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាប \(H\) នៃ \(f\) ។

  3. កំណត់ចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប \(H\) និងបន្ទាត់ \(L : y = x\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(b = 1\), \(c = 1\), \(d = -1\) ដូច្នេះ \(y = \dfrac{x + 1}{x - 1}\) ខ. ចុះ; អាស៊ីមតូត \(x = 1\), \(y = 1\) គ. \((1 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})\) និង \((1 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2})\) ។

១៥លំហាត់ទី ១៥

គេឱ្យអនុគមន៍ \(y = \dfrac{2px + 1}{x - p}\) ដែលមានក្រាប \(H_p\) និង \(p\) ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ។

  1. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាប \(H_1\) នៃអនុគមន៍ចំពោះ \(p = 1\) ។

  2. រកកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ \(A\) រវាងក្រាប \(H_1\) និងបន្ទាត់តែមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(-\dfrac{1}{3}\) ។

  3. រកសមីការអាស៊ីមតូតទាំងពីរនៃក្រាប \(H_p\) ។ រកសំណុំចំណុចនៃចំណុចប្រសព្វរវាងអាស៊ីមតូតទាំងពីរ កាលណា \(p\) ប្រែប្រួលតម្លៃ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\), \(y' = -\dfrac{3}{(x - 1)^2} < 0\) ចុះ; អាស៊ីមតូត \(x = 1\), \(y = 2\) ខ. \((4, 3)\) និង \((-2, 1)\) គ. \(x = p\) និង \(y = 2p\) ៖ ចំណុចប្រសព្វ \((p, 2p)\) រត់លើបន្ទាត់ \(y = 2x\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៤២ អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ (វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត