មេរៀនទី ៤៨ : រូបធរណីមាត្រក្នុងលំហ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

ជំពូកទី ៨ ៖ ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ជំពូកនេះមានមេរៀន ៖ ១. រូបធរណីមាត្រក្នុងលំហ ២. បន្ទាត់និងប្លង់ស្របក្នុងលំហ ៣. ភាពអរត្តូកូណាល់ក្នុងលំហ ។

អេស៊ីប (Egypt) ជាប្រទេសមួយសំបូរទៅដោយសំណង់ពីរ៉ាមីតជាច្រើន ប៉ុន្តែក្នុងបណ្ដាពីរ៉ាមីតទាំងនេះមានតែពីរ៉ាមីតឈ្មោះ Giza ប៉ុណ្ណោះដែលមានវ័យចំណាស់ ហើយធំជាងគេនៅលើពិភពលោក ។ ពីរ៉ាមីតនេះកាលពីមុនវាមានកម្ពស់ \(146.6\) m ឥឡូវនៅសល់តែ \(138.8\) m ហើយបានសាងសង់នៅឆ្នាំ \(2570\) មុនគ្រិស្តសករាជ បេតិកភណ្ឌពីរ៉ាមីតនេះ បានផ្ដល់នូវគំនិតជាច្រើនសម្រាប់ការសិក្សាធរណីមាត្រក្នុងលំហ ។

វត្ថុបំណង

គូសរូបក្នុងលំហនៅលើប្លង់
ប្រាប់បានពីស្វ័យសត្យបន្ទាត់ ស្វ័យសត្យប្លង់
កំណត់ប្លង់បាន
បង្ហាញថាបន្ទាត់មួយនៅក្នុងប្លង់ឬមិននៅក្នុងប្លង់
កំណត់ប្លង់ពីរប្រសព្វគ្នា
កំណត់ទីតាំងបន្ទាត់និងបន្ទាត់ បន្ទាត់និងប្លង់ ប្លង់និងប្លង់ក្នុងលំហ ។

ការគូសរូបក្នុងលំហនៅលើប្លង់

នៅក្នុងជីវភាពរស់នៅ មានវត្ថុជាច្រើនជារូបធរណីមាត្រក្នុងលំហ ។ គេចង់គូសរូបទាំងនេះនៅលើផ្ទៃរាប ដែលជាប្លង់មួយ ។

ឧទាហរណ៍

គេចង់គូសរូបគូបមួយក្នុងផ្ទៃរាបដែលជាប្លង់មួយហើយ ដើម្បីឱ្យរូបនេះបង្ហាញឱ្យឃើញវិមាត្រនៃបាតនិងកម្ពស់នៃគូប ដូច្នេះគេប្រើវិធីដូចខាងក្រោម ៖

គ្រប់ទ្រនុងស្របគ្នាទាំងអស់នៃគូប គឺគូសដោយបន្ទាត់ស្របគ្នា ។ ចំពោះទ្រនុងដែលគេមើលឃើញ ត្រូវគូសដោយគំនូសជាប់ ។ ចំពោះទ្រនុងដែលបាំងត្រូវគូសដោយគំនូសដាច់ ។
មុខ \(ABFE\) ដែលគេមើលឃើញចំពីមុខវានៅរក្សារាងដើមជាការេដដែល ។
មុខ \(BCGF\) និង \(ADHE\) ជាមុខដែលគេមើលពីចំហៀង ។

ដូច្នេះ មុំត្រូវខុសពីទម្រង់ដើមហើយទ្រនុងខ្លះអាចខុសពីប្រវែងពិតរបស់វា ។ ក្នុងករណីនេះមុខទាំងនោះតាងដោយប្រលេឡូក្រាម ។

សន្និដ្ឋាន

ដើម្បីគូសរូបក្នុងលំហ គេត្រូវស្គាល់ច្បាស់អំពីទ្រង់ទ្រាយដើម
បន្ទាត់ស្របគ្នាក្នុងលំហ តាងដោយបន្ទាត់ស្របគ្នាក្នុងប្លង់
អង្កត់ពីរដែលមានប្រវែងស្មើគ្នានៅក្នុងលំហអាចមិនចាំបាច់ តាងដោយអង្កត់ពីរដែលមានប្រវែងស្មើគ្នានៅក្នុងប្លង់ទេ ។

ប្រតិបត្តិ

គូសរូបឡើងវិញដោយអង្កត់ដាច់ៗឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ៖ ក. ប្រលេពីប៉ែតកែង ខ. ពីរ៉ាមីតបាតការេ គ. រូបផ្គុំដោយគូបបី ។

មើលចម្លើយ

គូសទ្រនុងដែលមើលឃើញដោយគំនូសជាប់ និងទ្រនុងដែលបាំងដោយគំនូសដាច់ ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ ក និង ខ ៖

ប្រតិបត្តិ

សង់រូបដែលកើតបានពីការបង្វិលរូបនីមួយៗខាងក្រោមជុំវិញអ័ក្ស \(XY\) ត្រូវនឹងមុំ \(360^\circ\) ៖ ក. ត្រីកោណកែង \(OHA\) (កែងត្រង់ \(H\)) ដែល \(OH\) នៅលើ \(XY\) ខ. ចតុកោណកែង \(OABO'\) ដែល \(OO'\) នៅលើ \(XY\) ។

មើលចម្លើយ

ក. កោណបរិវត្តន៍ដែលមានកំពូល \(O\) កម្ពស់ \(OH\) និងកាំបាត \(HA\) ។ ខ. ស៊ីឡាំងបរិវត្តន៍ដែលមានកម្ពស់ \(OO'\) និងកាំបាត \(OA = O'B\) ។

លក្ខណៈគ្រឹះ

ស្វ័យសត្យបន្ទាត់

គេយកអំបោះពីរសរសៃទៅពាក់សន្ទឹងពីលើម្ជុលបារាំងពីរ \(A\) និង \(B\) ដែលគេដោតជាប់នឹងបន្ទះក្ដារមួយ ។ គេឃើញថាអំបោះទាំងពីរសរសៃនេះត្រួតស៊ីគ្នា ។

ស្វ័យសត្យ

តាមពីរចំណុចផ្សេងគ្នា គេអាចគូសបន្ទាត់បានតែមួយគត់ ។

ស្វ័យសត្យប្លង់

ជាងឈើម្នាក់ធ្វើតុមួយមានជើងបី ហើយគាត់យកតុនេះទៅដាក់លើផ្ទៃរាបមួយ គេសង្កេតឃើញថាតុមានលំនឹងល្អ ។

ស្វ័យសត្យ

តាមបីចំណុចមិនស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយ គេអាចកំណត់បានប្លង់តែមួយគត់ ។

ការកំណត់ប្លង់

តាមស្វ័យសត្យប្លង់ គេអាចកំណត់ប្លង់បានដូចខាងក្រោម ៖

ការកំណត់ប្លង់

បីចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយកំណត់បានប្លង់តែមួយគត់ ។
បន្ទាត់មួយ និងចំណុចមួយដែលមិនស្ថិតលើបន្ទាត់នោះ កំណត់បានប្លង់មួយគត់ ។
បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នា កំណត់បានប្លង់មួយ ។
បន្ទាត់ពីរស្របគ្នា កំណត់បានប្លង់មួយ ។

លំហាត់គំរូ ១

គេមានបួនចំណុច \(A, B, C\) និង \(D\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ ។ កំណត់ប្លង់ទាំងអស់ដែលកំណត់ដោយចំណុចបីៗ ។

ដំណោះស្រាយ

តាមស្វ័យសត្យប្លង់គេបានប្លង់ \(ABC\), \(ABD\), \(DBC\) និង \(ACD\) ។

សម្គាល់

រូបធរណីមាត្រ \(ABCD\) ហៅថា ចតុមុខ ឬតេត្រាអែត ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យការេ \(ABCD\) និង ចំណុច \(O\) មួយស្ថិតនៅខាងក្រៅប្លង់នៃការេនេះ ។ តើតាមចំណុច \(O\) គេអាចគូសបានប្លង់ប៉ុន្មាន ជាមួយនឹងជ្រុងនៃការេនោះ?

មើលចម្លើយ

\(4\) ប្លង់ (\(OAB\), \(OBC\), \(OCD\), \(ODA\)) ។

អនុវត្តន៍ ៖ គេធ្វើទម្រនៃម៉ាស៊ីនថតរូបមានជើងបី ទើបមានលំនឹងល្អ ពីព្រោះចុងនៃជើងម៉ាស៊ីនថតរូបស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ (តាមចំណុចបីរត់មិនត្រង់គ្នាគេគូសបានប្លង់តែមួយគត់) ។ ផ្ទុយទៅវិញ បើទម្រវាមានជើងបួន ចុងនៃជើងម៉ាស៊ីនថតរូបអាចស្ថិតនៅលើប្លង់ច្រើន ក្នុងករណីនេះជើងម៉ាស៊ីនថតរូបមិនអាចមានលំនឹងល្អបានទេ ។

លំហាត់គំរូ ២

គេឱ្យ \(A, B, C, D\) ជាចំណុចនៅលើបន្ទាត់ \(a\) មួយ ដែលមិនស្រប និងមិនកាត់ទៅនឹងបន្ទាត់ \(\Delta\) ។ តើគេអាចកំណត់បានប្លង់ប៉ុន្មាន ដែលកាត់តាមបន្ទាត់ \(\Delta\) និងចំណុចនីមួយៗ?

ដំណោះស្រាយ

តាមការកំណត់នៃប្លង់ បន្ទាត់មួយ និងចំណុចមួយមិនស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយ កំណត់បានប្លង់មួយគត់ ។ ដូច្នេះ គេអាចកំណត់បានប្លង់បួនគឺ ៖ ប្លង់ដែលមាន \(A\) ជាមួយនឹង \(\Delta\), ប្លង់ដែលមាន \(B\) ជាមួយនឹង \(\Delta\), ប្លង់ដែលមាន \(C\) ជាមួយនឹង \(\Delta\) និងប្លង់ដែលមាន \(D\) ជាមួយនឹង \(\Delta\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានបីបន្ទាត់ \(d_1\), \(d_2\) និង \(d_3\) ដែល \(d_1 \parallel d_2 \parallel d_3\) នៅក្នុងប្លង់ \(P\) មួយ និងបន្ទាត់ \(d\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់ \(P\) តែស្របទៅនឹងបន្ទាត់ទាំងបីខាងលើ ។ តើតាមបន្ទាត់ \(d_1\), \(d_2\) និង \(d_3\) គេអាចកំណត់បានប្លង់ប៉ុន្មានជាមួយនឹងបន្ទាត់ \(d\)?

មើលចម្លើយ

\(3\) ប្លង់ ។

បន្ទាត់នៅក្នុងប្លង់

គេដៅចំណុចពីរ \(A\) និង \(B\) នៅលើប្លង់ក្ដារខៀនឬក្រដាសមួយរួចយកបន្ទាត់មួយដាក់ឱ្យកាត់តាមពីរចំណុចនេះ យើងបានបន្ទាត់នេះស្ថិតជាប់នឹងផ្ទៃក្ដារខៀនឬក្រដាស ។ គេថាបន្ទាត់នេះស្ថិតក្នុងប្លង់ក្ដារខៀនឬក្រដាស ។

លក្ខណៈ

បើបន្ទាត់មួយ និងប្លង់មួយមានចំណុចរួមពីរផ្សេងគ្នា នោះបន្ទាត់ស្ថិតក្នុងប្លង់នោះ ៖

\[\left.\begin{aligned} A, B &\in P\\ A, B &\in L \end{aligned}\right\} \Rightarrow L \subset P\]

លំហាត់គំរូ

គេមានបួនចំណុច \(A, B, C, D\) ក្នុងប្លង់ \(P\) ដែលបីចំណុចមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។ តើតាមបួនចំណុចនេះ គេអាចគូសបានបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ \(P\) បានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ

គេដឹងថាតាមពីរចំណុចផ្សេងគ្នា គេអាចគូសបន្ទាត់បានតែមួយគត់ ។ ដូច្នេះ តាមបួនចំណុច \(A, B, C, D\) មិនស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយ គេអាចគូសបានបន្ទាត់ចំនួន \(6\) គឺបន្ទាត់ \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(CD\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានប្រាំចំណុច \(A, B, C, D, E\) ក្នុងប្លង់ \(P\) ដែលចំណុចបីៗមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។ តើតាមប្រាំចំណុចនេះអាចគូសបានបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ \(P\) បានប៉ុន្មាន?

មើលចម្លើយ

\({}_5C_2 = 10\) បន្ទាត់ ។

ប្រសព្វរវាងប្លង់និងប្លង់

ការបើកសៀវភៅអាន ឬការធ្វើជញ្ជាំងផ្ទះអាចផ្ដល់ជារូបភាពប្លង់ពីរប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់មួយ ។ គេមានចំណុច \(A\) នៅក្នុងប្លង់ \(P\) មួយ និងបន្ទាត់ \(BC\) នៅក្រៅប្លង់ \(P\) ។ បន្លាយ \(BA\) ហើយជ្រើសរើសចំណុច \(F\) នៅលើ \(BA\) ឱ្យបាន \(AF\) ។ រួចភ្ជាប់ពីចំណុច \(C\) មក \(F\) កាត់ប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(G\) ។ គេបានចំណុច \(A, G\) ទាំងពីរស្ថិតក្នុងប្លង់ \(ABC\) និងប្លង់ \(P\) ។ ដូច្នេះ គេបានបន្ទាត់ \(AG\) ជាបន្ទាត់រួមនៃប្លង់ \(ABC\) និងប្លង់ \(P\) ។

សន្និដ្ឋាន

បើប្លង់ពីរមានចំណុចរួមមួយ វាប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់មួយដែលកាត់តាមចំណុចរួមនោះ ។

លំហាត់គំរូ

ក្នុងរូបធរណីមាត្រ (ចតុមុខ \(ABCD\)) \(B' \in BD\) និង \(C' \in DC\) ដែល \(B'C'\) មិនស្របនឹង \(BC\) កំណត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(ABC\) និង \(AB'C'\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេឃើញថាប្លង់ \(ABC\) និង \(AB'C'\) មាន \(A\) ជាចំណុចរួម ។ ហេតុនេះត្រូវរកចំណុចរួមមួយទៀត ។ គូសបន្ទាត់ \(BC\) និង \(B'C'\) ដែលកាត់គ្នាត្រង់ \(E\) ។

\[\left.\begin{aligned} E &\in B'C'\\ B'C' &\subset AB'C' \end{aligned}\right\} \Rightarrow E \in AB'C' \qquad{} \left.\begin{aligned} E &\in BC\\ BC &\subset ABC \end{aligned}\right\} \Rightarrow E \in ABC\]

ដូច្នេះ \(AE\) ជាប្រសព្វរវាងប្លង់ \(ABC\) និង \(AB'C'\) ។

ប្រតិបត្តិ

នៅក្នុងប្លង់ \(P\) មានការេ \(ABCD\) មួយ ។ ចំណុច \(O\) មួយនៅក្រៅប្លង់ \(P\) ។

កំណត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(OAC\) និង \(OBD\) ។
\(A'\) កណ្ដាលនៃ \(OA\) ចូរកំណត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(A'BC\) និង \(OAD\), \(A'BC\) និង \(ODC\) ។

មើលចម្លើយ

ក. តាង \(I = AC \cap BD\) (ផ្ចិតការេ) ។ ប្លង់ទាំងពីរមាន \(O\) និង \(I\) ជាចំណុចរួម ដូច្នេះប្រសព្វគឺបន្ទាត់ \(OI\) ។ ខ. ដោយ \(BC \parallel AD\) ប្រសព្វនៃប្លង់ \(A'BC\) និង \(OAD\) គឺបន្ទាត់កាត់តាម \(A'\) ហើយស្របនឹង \(AD\) ដែលកាត់ \(OD\) ត្រង់ \(D'\) កណ្ដាលនៃ \(OD\) គឺ \(A'D'\) ។ ដូច្នេះប្លង់ \(A'BC\) គឺប្លង់ \(A'BCD'\) ហើយប្រសព្វនៃ \(A'BC\) និង \(ODC\) គឺបន្ទាត់ \(CD'\) ។

ទីតាំងរវាងបន្ទាត់និងប្លង់

ទីតាំងរវាងបន្ទាត់ពីរក្នុងលំហ

បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នានៅក្នុងប្លង់តែមួយ ៖ បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នាត្រង់មួយចំណុច នៅក្នុងប្លង់តែមួយ ។ បន្ទាត់ \(d_1\) និង \(d_2\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច \(I\) មួយ ។ គេកំណត់សរសេរ \(d_1 \cap d_2 = \{I\}\) ។

បន្ទាត់ពីរស្របគ្នានៅក្នុងប្លង់តែមួយ ៖ បន្ទាត់ \(d_1\) និង \(d_2\) គ្មានចំណុចរួម គេថាបន្ទាត់ \(d_1\) ស្រប \(d_2\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(d_1 \parallel d_2\) ។

បន្ទាត់ពីរមិនប្រសព្វនិងមិនស្របគ្នា ៖ បន្ទាត់ពីរមិនប្រសព្វ និងមិនស្របគ្នា គឺមិនអាចនៅក្នុងប្លង់តែមួយទេ ។ គេកំណត់សរសេរ \(\begin{cases} d_1 \cap d_2 = \varnothing\\ d_1 \nparallel d_2 \end{cases}\) ។

មុំបង្កើតដោយបន្ទាត់ពីរក្នុងលំហ ៖ ក្នុងករណីបន្ទាត់ពីរ \(d'\) និង \(d\) មិនប្រសព្វ និងមិនស្របគ្នាគេអាចកំណត់មុំដែលផ្គុំដោយបន្ទាត់ទាំងពីរនេះបាន ។ ដំបូងគេគូសបន្ទាត់ \(d'_1\) មួយផ្សេងទៀតឱ្យស្របទៅនឹង \(d'\) ហើយកាត់បន្ទាត់ \(d\) ត្រង់ចំណុចណាមួយដែលគេតាងដោយ \(O\) ។ ដូច្នេះ គេបានមុំដែលផ្គុំឡើងដោយបន្ទាត់ \(d'_1\) និង \(d\) ត្រង់ទីតាំងនៃចំណុច \(O\) គឺជាមុំផ្គុំឡើងដោយបន្ទាត់ \(d'\) និង \(d\) ក្នុងលំហ ។

លំហាត់គំរូ

គេមានគូបមួយ (\(ACDB\) ជាបាត, \(EFGH\) ជាមុខលើ ដែល \(E, F, G, H\) នៅពីលើ \(A, C, D, B\) រៀងគ្នា) ។ កំណត់មុំដែលបង្កើតឡើង ដោយគូអង្កត់ដូចខាងក្រោម ៖ ក. \(BC\) និង \(HG\) ខ. \(BA\) និង \(CF\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេសង្កេតឃើញថា \(BC\) និង \(HG\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ ។ ប៉ុន្តែ \(HG\) ស្របនឹង \(BD\) ។ \(BD\) និង \(BC\) នៅក្នុងប្លង់តែមួយ និងមុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ទាំងពីរនេះគឺ \(45^\circ\) (\(BC\) ជាអង្កត់ទ្រូងនៃការេ \(ACDB\)) ។ ដូច្នេះ មុំដែលបង្កើតឡើងដោយអង្កត់ \(BC\) និង \(HG\) គឺ \(45^\circ\) ។
ដូចសំណួរ ក ដែរ គេបាន \(CF \parallel BH\) ។ មុំដែលបង្កើតឡើងដោយអង្កត់ \(BA\) និង \(BH\) គឺ \(90^\circ\) ។ ដូច្នេះ មុំដែលបង្កើតឡើងដោយគូអង្កត់ \(BA\) និង \(CF\) គឺ \(90^\circ\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យ \(I, J, K\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃជ្រុង \(BC\), \(AD\) និង \(AC\) នៃតេត្រាអែត \(ABCD\) ។

បង្ហាញថាមុំ \(\angle I\) និង \(\angle J\) នៃត្រីកោណ \(IJK\) គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(IJ\) ជាមួយនឹងបន្ទាត់ \(AB\) និង \(CD\) រៀងគ្នា ។
បើ \(AB = CD\) បង្ហាញថាត្រីកោណ \(IJK\) ជាត្រីកោណសមបាត ។

មើលចម្លើយ

ក. ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) ៖ \(IK\) ជាបន្ទាត់កណ្ដាល ដូច្នេះ \(IK \parallel AB\) ។ ក្នុងត្រីកោណ \(ACD\) ៖ \(JK \parallel CD\) ។ ហេតុនេះ \(\angle KIJ\) ជាមុំរវាង \(IJ\) និង \(AB\) ហើយ \(\angle IJK\) ជាមុំរវាង \(IJ\) និង \(CD\) ។ ខ. \(IK = \dfrac{AB}{2}\) និង \(JK = \dfrac{CD}{2}\) ។ បើ \(AB = CD\) នោះ \(IK = JK\) ដូច្នេះ \(IJK\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(K\) ។

ទីតាំងរវាងបន្ទាត់ និងប្លង់

ឧទាហរណ៍

បន្ទប់មួយរាងប្រលេពីប៉ែតកែង (\(ABDC\) ជាបាត និង \(EFHG\) ជាពិដាន ដែល \(E, F, G, H\) នៅពីលើ \(A, B, C, D\) រៀងគ្នា) ។ ប្រសិនបើគេជ្រើសរើសបន្ទាត់ \(AB\) មួយ គេបាន ៖

បន្ទាត់ \(AB\) កាត់ប្លង់ជញ្ជាំង \(ACGE\) ត្រង់ \(A\) ។ គេបាន \(AB \cap ACGE = \{A\}\) ។
បន្ទាត់ \(AB\) ស្របនឹងប្លង់ពិដាន \(EFHG\) ។
បន្ទាត់ \(AB\) នៅក្នុងប្លង់ \(ABDC\) ។

ប្រតិបត្តិ

តាមបីចំណុច \(A, B, C\) រត់មិនត្រង់គ្នា គេគូសអង្កត់ \(AA'\), \(BB'\) និង \(CC'\) ស្របគ្នាហើយប៉ុនគ្នា ។ \(K, L, M, N, P\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃ \(AB\), \(A'C'\), \(B'C'\), \(KL\) និង \(KM\) ។ បង្ហាញថា ៖

បន្ទាត់ \(NP\) ប្រសព្វប្លង់ \(AA'C'C\)
បន្ទាត់ \(NP\) ប្រសព្វប្លង់ \(BB'C'C\) ។

មើលចម្លើយ

ក្នុងត្រីកោណ \(KLM\) ៖ \(NP\) ជាបន្ទាត់កណ្ដាល ដូច្នេះ \(NP \parallel LM\) ។ ក្នុងត្រីកោណ \(A'B'C'\) ៖ \(LM \parallel A'B'\) ។ ដូច្នេះ \(NP \parallel A'B'\) ។ ក. បន្ទាត់ \(A'B'\) កាត់ប្លង់ \(AA'C'C\) ត្រង់ \(A'\) ហើយ \(NP\) ស្របនឹង \(A'B'\) និងមិនស្ថិតក្នុងប្លង់នោះ ដូច្នេះ \(NP\) ប្រសព្វប្លង់ \(AA'C'C\) ។ ខ. ដូចគ្នា \(A'B'\) កាត់ប្លង់ \(BB'C'C\) ត្រង់ \(B'\) ដូច្នេះ \(NP\) ប្រសព្វប្លង់ \(BB'C'C\) ។

ទីតាំងរវាងប្លង់ពីរ

ប្លង់ត្រួតស៊ីគ្នា ៖ បើគ្រប់ចំណុចនៃប្លង់ \(P\) ជាចំណុចរបស់ប្លង់ \(Q\) នោះគេថា \(P\) ត្រួតលើ \(Q\) ។

ប្លង់ស្របគ្នា ៖ បើប្លង់ពីរ \(P\) និង \(Q\) គ្មានចំណុចរួមនោះគេថា \(P\) ស្របនឹង \(Q\) ហើយគេសរសេរ \(P \cap Q = \varnothing\) ឬ \(P \parallel Q\) ។

ប្លង់ប្រសព្វគ្នា ៖ បើប្លង់ពីរ \(P\) និង \(Q\) មិនត្រួតស៊ីគ្នា ឬមិនស្របគ្នានោះ ប្លង់ \(P\) និង \(Q\) ប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ \(\Delta\) មួយហើយគេសរសេរ \(P \cap Q = \Delta\) ។

លំហាត់គំរូ

គេមានប្រលេពីប៉ែតកែង \(ABCDEFGH\) មួយ (\(ABCD\) ជាមុខខាងក្រោម និង \(EFGH\) ជាមុខខាងលើ ដែល \(E, F, G, H\) នៅពីលើ \(A, B, C, D\) រៀងគ្នា) ។

កំណត់ប្លង់ដែលស្របទៅនឹងប្លង់ \(ABCD\)
កំណត់បន្ទាត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(ABCD\) និងប្លង់ \(ACGE\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបគេសង្កេតឃើញថាប្លង់ដែលស្របទៅនឹងប្លង់ \(ABCD\) គឺប្លង់ \(EFGH\) ៖ \(ABCD \cap EFGH = \varnothing \Rightarrow ABCD \parallel EFGH\) ។
ប្លង់ \(ABCD\) ប្រសព្វ និងប្លង់ \(ACGE\) បានបន្ទាត់ \(AC\) ៖
\[\left.\begin{aligned} AC &\subset ABCD\\ AC &\subset ACGE \end{aligned}\right\} \Leftrightarrow ABCD \cap ACGE = AC\]

ប្រតិបត្តិ

គេមានចតុមុខ \(OABC\) ។ \(M, N, P\) នៅលើជ្រុង \(OA\), \(OB\), \(OC\) ។ បើប្លង់ \(ABC\) មិនស្របនឹងប្លង់ \(MNP\) ទេ ៖

សង់ប្រសព្វរវាងប្លង់ \(ABC\) និង \(MNP\) ។
រកលក្ខខណ្ឌ \(M, N, P\) ដើម្បីឱ្យប្លង់ \(ABC \parallel MNP\) ។

មើលចម្លើយ

ក. តាង \(I = MN \cap AB\) និង \(J = NP \cap BC\) (ឬ \(MP \cap AC\)) ។ \(I, J\) ជាចំណុចរួមនៃប្លង់ទាំងពីរ ដូច្នេះប្រសព្វគឺបន្ទាត់ \(IJ\) ។ ខ. \(\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{OP}{OC}\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) ទំព័រ ២៨៩–២៩៩។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

\(ABCDEFGH\) ជាប្រលេពីប៉ែតកែង (\(ABCD\) ជាបាត, \(H, G, F, E\) នៅពីលើ \(A, B, C, D\) រៀងគ្នា) ហើយប្លង់ \(MNPQ\) ស្របនឹងមុខ \(ABCD\) ដែល \(M \in CF\), \(N \in DE\), \(P \in AH\), \(Q \in BG\) ។ បំពេញចម្លើយក្នុងចន្លោះ ៖ ក. ប្លង់ \(MPQ\) ប្រសព្វនឹងប្លង់ \(ABG\) បានបន្ទាត់ ...... ។ ខ. បន្ទាត់ \(QM\) និង \(BC\) ស្របគ្នា កាលណា \(M\) និង \(Q\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង ...... និង ...... រៀងគ្នា ។ គ. បន្ទាត់ \(PN\) និង \(QM\) ស្របគ្នា កាលណា \(M, N, P\) និង \(Q\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង ......, ......, ...... និង ...... រៀងគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(PQ\) ខ. \(CF\) និង \(BG\) គ. \(CF\), \(DE\), \(AH\) និង \(BG\) ។ (តាមពិត ដោយប្លង់ \(MNPQ \parallel ABCD\) នោះ \(QM \parallel BC\) និង \(PN \parallel QM\) ជានិច្ច ។)

២លំហាត់ទី ២

សង់រូបនីមួយៗឡើងវិញ រួចដាក់អង្កត់ដាច់ៗនៃរូបខាងក្រោម ៖ ក. រូបប្រអប់មានរន្ធរាង U ខ. រូបជណ្ដើរបីកាំ ។

មើលដំណោះស្រាយ

គូសទ្រនុងដែលបាំង (មិនអាចមើលឃើញ) ដោយគំនូសដាច់ៗ និងរក្សាទ្រនុងស្របគ្នាឱ្យនៅស្របគ្នា ។

៣លំហាត់ទី ៣

សង់រូប ៖ ក. ស្វ៊ែមួយ ខ. ព្រីសត្រង់មួយដែលមានមុខខាងចំនួន \(7\) គ. ស៊ីឡាំងចារឹកក្នុងស្វ៊ែមួយ ដែលអង្កត់ផ្ចិតនៃស៊ីឡាំងនេះមានប្រវែងស្មើនឹងកម្ពស់របស់វា ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គូសរង្វង់មួយ និងអេលីបអេក្វាទ័រ (ពាក់កណ្ដាលខាងក្រោយគូសដាច់ៗ) ។ ខ. ព្រីសដែលមានបាតជាពហុកោណ \(7\) ជ្រុង ។ គ. ស៊ីឡាំងមានកាំ \(r\) និងកម្ពស់ \(2r\) ចារឹកក្នុងស្វ៊ែកាំ \(R = r\sqrt{2}\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

គេឱ្យចតុមុខ \(OABC\) មួយ ដែល \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(OC\) និង \(N, P\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃត្រីកោណ \(\triangle OAC\), \(\triangle OBC\) រៀងគ្នា ។ ក. បង្ហាញថា \(BM\) ប្រសព្វជាមួយនឹង \(AP\) ខ. រកលក្ខខណ្ឌនៃចំណុច \(S\) ក្នុងត្រីកោណ \(\triangle ABC\) ដើម្បីឱ្យ \(OS\) ប្រសព្វជាមួយនឹង \(NP\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. \(P\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃ \(\triangle OBC\) ដូច្នេះ \(P\) នៅលើមេដ្យាន \(BM\) ។ ហេតុនេះ \(AP\) និង \(BM\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \(ABM\) តែមួយ ហើយប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(P\) ។ ខ. តាង \(I, J\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(AC\) និង \(BC\) ។ \(N \in OI\) និង \(P \in OJ\) (\(ON = \tfrac{2}{3}OI\), \(OP = \tfrac{2}{3}OJ\)) ដូច្នេះប្លង់ \(ONP\) កាត់ប្លង់ \(ABC\) តាមបន្ទាត់ \(IJ\) ។ \(OS\) ប្រសព្វ \(NP\) លុះត្រាតែ \(S\) ស្ថិតនៅលើអង្កត់ \(IJ\) (បន្ទាត់កណ្ដាលនៃ \(\triangle ABC\) ស្របនឹង \(AB\)) ។

៥លំហាត់ទី ៥

គេមានចំណុច \(B, C\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \(P\) មួយ និងចំណុច \(A\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់ \(P\) ។ ដៅចំណុច \(M\) មួយជារបស់ប្លង់ \(ABC\) រួចបន្លាយ \(AM\) កាត់ប្លង់ \(P\) ត្រង់ \(N\) ។ បង្ហាញថា \(B, C, N\) ស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយ ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(N \in AM \subset ABC\) និង \(N \in P\) ។ ចំណុច \(B, C\) ក៏ស្ថិតក្នុងប្លង់ទាំងពីរ \(ABC\) និង \(P\) ដែរ ។ ប្លង់ទាំងពីរខុសគ្នា (\(A \notin P\)) ដូច្នេះវាប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់តែមួយ គឺបន្ទាត់ \(BC\) ។ ហេតុនេះ \(B, C, N\) ស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយ ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៤៨ រូបធរណីមាត្រក្នុងលំហ (វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត