KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ១៣
១៣
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ៣ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ · មេរៀនទី ១៣ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

សមីការនិងវិសមីការត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ១៤២–១៦០
វត្ថុបំណង

  1. ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ

  2. ដោះស្រាយវិសមីការត្រីកោណមាត្រ ។

យើងបានសិក្សារួចមកហើយពីសមីការនិងវិសមីការត្រីកោណមាត្រងាយៗ នៅក្នុងសៀវភៅគណិតវិទ្យាកម្រិតមូលដ្ឋាន ។ ក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងសិក្សាពីសមីការនិងវិសមីការត្រីកោណមាត្រដែលមានទម្រង់ផ្សេងៗទៀត ។

សមីការត្រីកោណមាត្រ

សមីការដឺក្រេទី 1 ធៀបនឹង \(\sin x\) និង \(\cos x\)

ជាសមីការត្រីកោណមាត្រដែលក្រោយពីបង្រួមហើយមានរាង \(a\cos x + b\sin x = c\) ។ ដំណោះស្រាយសមីការនេះមានពីររបៀប ៖

របៀបទី ១ ៖

  • បំប្លែងសមីការនេះជារាង \(\cos(x - \theta) = \dfrac{c}{r}\) ដែល \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), \((r \ge 0)\) និង \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\), \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\) ។ ដោយ \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\) នាំឱ្យ \(a = r\cos\theta\), \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\) នាំឱ្យ \(b = r\sin\theta\) ។

    សមីការ \(a\cos x + b\sin x = r\cos\theta\cos x + r\sin\theta\sin x = c\)

    \[\begin{gathered} r(\cos x\cos\theta + \sin x\sin\theta) = c \quad{} \text{សមមូល}\\ r\cos(x - \theta) = c \quad{} \text{ឬ}\\ \cos(x - \theta) = \frac{c}{r} \text{ ។} \end{gathered}\]

  • ដោះស្រាយសមីការ \(\cos(x - \theta) = \dfrac{c}{r}\) តាមរូបមន្ត \(\cos x = \cos\alpha\) ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0\)  (1) ។

គេបាន \(r = \sqrt{1 + 3} = 2\), \(\cos\theta = \dfrac{a}{r} = \dfrac{1}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{b}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) នាំឱ្យ \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\) ។

\[\begin{aligned} \sin x + \sqrt{3}\cos x &= 2\cos\frac{\pi}{3}\sin x + 2\sin\frac{\pi}{3}\cos x = 0\\ 2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\sin\frac{\pi}{3}\right) &= 0\\ 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \quad{} &\text{ឬ} \quad{} \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \end{aligned}\]
សមីការ (1) មានចម្លើយ \(\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = 0\) នាំឱ្យ \(x + \dfrac{\pi}{3} = k\pi\) ។

ដូច្នេះ \(x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។ ចំនួនចុងធ្នូចម្លើយមានពីរ ។

របៀបទី ២ ៖ គណនា \(\sin x\) និង \(\cos x\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\tan\dfrac{x}{2}\) ដោយ \(x \ne \pi + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

គេជំនួស \(\cos x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\) និង \(\sin x = \dfrac{2t}{1 + t^2}\) នោះសមីការ \(a\cos x + b\sin x = c\) ទៅជាសមីការដឺក្រេទី \(2\) ដែលមាន \(t\) ជាអញ្ញាត ៖ \((c + a)t^2 - 2bt + c - a = 0\) ។

ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី \(2\) រកឫសរួចដោះស្រាយសមីការតាមរូបមន្ត \(\tan\dfrac{x}{2} = \tan\alpha\) ។

សម្គាល់

វិធីនេះអាចបាត់ឫសត្រង់ \(x = \pi + 2k\pi\) ។ ដូច្នេះ ដំបូងគេត្រូវពិនិត្យមើលថាតើ \(x = \pi + 2k\pi\) ជាឫសរបស់សមីការ \(a\cos x + b\sin x = c\) ឬទេ?

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ \(\sin x + 7\cos x = 5\) ។

តាង \(t = \tan\dfrac{x}{2}\) \((x \ne \pi + 2k\pi)\) នោះសមីការសរសេរ \(\dfrac{2t}{1 + t^2} + 7\left(\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\right) = 5\)

\[2t + 7 - 7t^2 = 5 + 5t^2 \quad{} \text{ឬ} \quad{} 6t^2 - t - 1 = 0\]
សមីការមានឫស \(t_1 = \dfrac{1}{2}\), \(t_2 = -\dfrac{1}{3}\) ។

  • បើ \(t_1 = \dfrac{1}{2}\) គេបាន \(\tan\dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{2}\) នោះមាន \(\alpha_1 \in \mathbb{R}\) ដែល \(\tan\alpha_1 = \dfrac{1}{2}\) ។ គេបាន \(\tan\dfrac{x}{2} = \tan\alpha_1\) នាំឱ្យ \(\dfrac{x}{2} = \alpha_1 + k\pi\) ឬ \(x = 2\alpha_1 + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  • បើ \(t_2 = -\dfrac{1}{3}\) គេបាន \(\tan\dfrac{x}{2} = -\dfrac{1}{3}\) នោះមាន \(\alpha_2 \in \mathbb{R}\) ដែល \(\tan\alpha_2 = -\dfrac{1}{3}\) ។ គេបាន \(\tan\dfrac{x}{2} = \tan\alpha_2\) នាំឱ្យ \(\dfrac{x}{2} = \alpha_2 + k\pi\) ឬ \(x = 2\alpha_2 + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ ៖ \(x = 2\alpha_1 + 2k\pi\), \(x = 2\alpha_2 + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(\sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2}\)  (1) ។

ដំណោះស្រាយ

គេបាន \(\cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x = \sqrt{2}\) ហើយ \(r = \sqrt{3 + 1} = 2\), \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{b}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ។

សមីការសរសេរ \(2\left(\dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right) = \sqrt{2}\) ឬ \(\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{4}\) ។

សមីការ (1) មានចម្លើយ ៖

\[\begin{gathered} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ x = \frac{7\pi}{24} + k\pi \quad{} \text{និង}\\ 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ x = \frac{\pi}{24} + k\pi, \ (k \in \mathbb{Z}) \end{gathered}\]
ចំនួនចុងធ្នូចម្លើយមាន \(4\) ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការ

  1. \(\sin x + \sqrt{3}\cos x = \sqrt{2}\)

  2. \(\cos 2x - \sin 2x = -1\)

  3. \(\cos x + \sqrt{3}\sin x = 1\)

  4. \(\cos x - \sqrt{3}\sin x = -\sqrt{2}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(x = \dfrac{5\pi}{12} + 2k\pi\), \(x = -\dfrac{\pi}{12} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  2. \(x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  3. \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \(x = 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  4. \(x = \dfrac{5\pi}{12} + 2k\pi\), \(x = -\dfrac{13\pi}{12} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សមីការដឺក្រេទី 2 ធៀបនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនពិត \(x\)

សមីការទាំងនោះមានរាង ៖ \(a\cos^2 x + b\cos x + c = 0\), \(a\sin^2 x + b\sin x + c = 0\), \(a\tan^2 x + b\tan x + c = 0\) និង \(a\cot^2 x + b\cot x + c = 0\) ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ គេត្រូវ ៖

  1. បំប្លែងសមីការឱ្យទៅជាសមីការដឺក្រេទី \(2\) ដូចខាងលើសិន ។

  2. តាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនពិត \(x\) ដោយ \(X\) ឬ \(Y\) ឬ \(t \ldots\) ។

  3. ដាក់លក្ខខណ្ឌទៅតាមអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលឱ្យ ។

  4. ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី \(2\) ដែលមានអញ្ញាត \(X\) ឬ \(Y\) ឬ \(t \ldots\) ។

  5. យកឫសដែលបានមកជំនួសជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រវិញ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងលើ ហើយដោះស្រាយតាមរូបមន្តសមីការត្រីកោណមាត្រ ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(4 - \cos 2x - 7\sin x = 0\) ។

ដោយ \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) សមីការអាចសរសេរ \(2\sin^2 x - 7\sin x + 3 = 0\)  (1) ។ តាង \(t = \sin x\) ដែលមានលក្ខខណ្ឌ \(-1 \le t \le 1\) ។

សមីការ (1) អាចសរសេរ \(2t^2 - 7t + 3 = 0\), \(\Delta = 25\), \(t_1 = \dfrac{1}{2}\), \(t_2 = 3\) មិនផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងលើ ។

ដូច្នេះ \(t_1 = \sin x = \dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{\pi}{6}\) យើងបាន \(x_1 = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\), \(x_2 = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ \(\tan^2\dfrac{x}{2} - (1 - \sqrt{3})\tan\dfrac{x}{2} - \sqrt{3} = 0\) ។

គេតាង \(\tan\dfrac{x}{2} = t\) សមីការ (1) សរសេរ \(t^2 - (1 - \sqrt{3})t - \sqrt{3} = 0\) ។ ដោះស្រាយសមីការនេះ គេបាន \(t_1 = -1\), \(t_2 = \sqrt{3}\)

\[\begin{gathered} t_1 = \tan\frac{x}{2} = -1 = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right),\\ t_2 = \tan\frac{x}{2} = \sqrt{3} = \tan\frac{\pi}{3} \text{ ។} \end{gathered}\]
ដូច្នេះ \(\tan\dfrac{x}{2} = \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\), \(\dfrac{x}{2} = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\), \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) ។

\(\tan\dfrac{x}{2} = \tan\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\), \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ ៖ \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) និង \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ២

ដោះស្រាយសមីការ \(\dfrac{\cos x(2\sin x + 3\sqrt{2}) - 2\cos^2 x - 1}{1 + \sin 2x} = 1\) ។

ដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌ \(1 + \sin 2x \ne 0\), \(\sin 2x \ne -1\), \(2x \ne -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), \(x \ne -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សមីការសរសេរ \(\cos x(2\sin x + 3\sqrt{2}) - 2\cos^2 x - 1 = 1 + \sin 2x\)

\[\begin{gathered} 2\sin x\cos x + 3\sqrt{2}\cos x - 2\cos^2 x - 1 = 1 + \sin 2x,\\ 2\cos^2 x - 3\sqrt{2}\cos x + 2 = 0 \end{gathered}\]
តាង \(t = \cos x\) សមីការទៅជា \(2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0\) ។ ដោះស្រាយសមីការនេះ គេបាន \(t_1 = \sqrt{2}\), \(t_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) ។

\(t_1 = \cos x = \sqrt{2}\) (មិនយក) ។ \(t_2 = \cos x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \cos\dfrac{\pi}{4}\) ។ ដូច្នេះ \(\cos x = \cos\dfrac{\pi}{4}\) នាំឱ្យ \(x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

តាមលក្ខខណ្ឌខាងលើសមីការមានឫស \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការ

  1. \(2\cos^2 x - 3\sqrt{2}\cos x + 2 = 0\)

  2. \(\dfrac{1}{\sin^2 x} = \cot x + 3\)

  3. \(5\tan^2 y + 5\tan y = 2(1 + \tan^2 y)\)

  4. \(8\sin^2 x - 6\sin x = 5\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  2. \(\cot x = -1\) ឬ \(\cot x = 2\) ៖ \(x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi\) ឬ \(x = \alpha + k\pi\) ដែល \(\cot\alpha = 2\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  3. \(\tan y = \dfrac{1}{3}\) ឬ \(\tan y = -2\) ៖ \(y = \alpha + k\pi\) ឬ \(y = \beta + k\pi\) ដែល \(\tan\alpha = \dfrac{1}{3}\), \(\tan\beta = -2\)

  4. \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) ៖ \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ឬ \(x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សមីការដែលមានរាង \(a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = d\)

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ គេត្រូវចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង \(\cos^2 x \ne 0\), \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) ។ (បើ \(d \ne 0\) គេសរសេរ \(d = d(\sin^2 x + \cos^2 x)\) ជាមុន ។) គេបានសមីការ \(a\tan^2 x + b\tan x + c = 0\) រួចដោះស្រាយតាមសមីការដឺក្រេទី \(2\) ដូចខាងលើ ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(3\sin^2 x + 3\sin x\cos x - 6\cos^2 x = 0\) ។

ចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង \(\cos^2 x\) សមីការសរសេរ \(3\tan^2 x + 3\tan x - 6 = 0\) ។ តាង \(t = \tan x\) គេបាន \(3t^2 + 3t - 6 = 0\) សមីការនេះមានឫសពីរគឺ \(t_1 = 1\), \(t_2 = -2\) ។

\(t_1 = \tan x = 1\) គេបាន \(\tan x = \tan\dfrac{\pi}{4}\), \(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

\(t_2 = -2\) តាង \(\tan\alpha = -2\), \(x = \alpha + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។ សមីការមានចម្លើយ \(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\) និង \(x = \alpha + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ \(\dfrac{\sin^4\frac{x}{2} + \cos^4\frac{x}{2}}{1 - \sin x} - \tan^2 x\sin x = \dfrac{1 + \sin x}{2} + \tan^2 x\) ។

លក្ខខណ្ឌ \(\sin x \ne 1\), \(\cos x \ne 0\), \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) ។ សមីការអាចសរសេរ

\[\begin{aligned} &\frac{\left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right)^2 - 2\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}{1 - \sin x}\\ &= \frac{1 + \sin x}{2}\\ &\quad{} + \tan^2 x(1 + \sin x)\\ \frac{1 - \frac{1}{2}\sin^2 x}{1 - \sin x} &= (1 + \sin x)\left(\frac{1}{2} + \tan^2 x\right)\\ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 x &= (1 - \sin^2 x)\left(\frac{\cos^2 x + 2\sin^2 x}{2\cos^2 x}\right)\\ \frac{2 - \sin^2 x}{2} &= (1 - \sin^2 x)\frac{\cos^2 x + \sin^2 x + \sin^2 x}{2(1 - \sin^2 x)}\\ 2 - \sin^2 x &= 1 + \sin^2 x \end{aligned}\]
\(\sin^2 x = \dfrac{1}{2}\), \(\sin x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(x = \pm\dfrac{\pi}{4} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ជាចម្លើយរបស់សមីការ ។

លំហាត់គំរូ ៣

ដោះស្រាយសមីការ \(3\sin^2 x + 2\sin x\cos x = 2\) ។

ដំណោះស្រាយ

សមីការសរសេរ \(3\sin^2 x + 2\sin x\cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)\)

\[\begin{gathered} \sin^2 x + 2\sin x\cos x - 2\cos^2 x = 0\\ \text{ចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង } \cos^2 x \ne 0 \text{ ។} \end{gathered}\]
គេបាន \(\tan^2 x + 2\tan x - 2 = 0\), \(\tan x = -1 \pm \sqrt{3}\) ។ តាង \(\tan\alpha = -1 \pm \sqrt{3}\) ៖ \(\tan x = \tan\alpha\), \(x = \alpha + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ៤

រកតម្លៃ \(m\) ដែលនាំឱ្យសមីការ \(1 + m\cos x = m^2 - \cos^2 x\) មានឫស ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(\cos x = t\) ដែល \(-1 \le t \le 1\) ។ គេបាន \(t^2 + mt + 1 - m^2 = 0\) ។ តាង \(f(t) = t^2 + mt + 1 - m^2\) ។

សមីការមានឫសមួយលើចន្លោះ \([-1, 1]\) កាលណា \(f(-1) \times f(1) \le 0\) ។ គេបាន \((2 - m - m^2)(2 + m - m^2) \le 0\)

\[\begin{gathered} (m^2 + m - 2)(m^2 - m - 2) \le 0,\\ -2 \le m \le -1 \ \text{ឬ} \ (1 \le m \le 2) \quad{} (1) \end{gathered}\]
សមីការមានឫសពីរលើ \([-1, 1]\) កាលណា
\[\begin{cases} \Delta \ge 0\\ f(-1) > 0\\ f(1) > 0\\ -1 < \frac{S}{2} < 1 \end{cases} \quad{} \begin{cases} m^2 - 4(1 - m^2) \ge 0\\ -m^2 - m + 2 > 0\\ -m^2 + m + 2 > 0\\ -1 < -\frac{m}{2} < 1 \end{cases} \quad{} \begin{cases} m \le -\frac{2}{\sqrt{5}}, \ \frac{2}{\sqrt{5}} \le m\\ -2 < m < 1\\ -1 < m < 2\\ -2 < m < 2 \end{cases}\]
\[-1 < m \le -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad{} \frac{2\sqrt{5}}{5} \le m < 1 \quad{} (2)\]
តាម (1) និង (2) នាំឱ្យសមីការមានឫសកាលណា \(-2 \le m \le -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) ឬ \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \le m \le 2\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

    1. \(7\cos^2 x + 6\sqrt{3}\sin x\cos x - \sin^2 x + 2 = 0\)

    2. \(2\cos^2 x + \cot^2 x = \dfrac{\sin^3 x + 1}{\sin^2 x}\)

    3. \(\tan^3 x + \tan^2 x - 3\tan x = 3\)

    4. \(\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2\sin 2x = 0\) ។

  2. រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យសមីការ \(\sin 4x = m\tan x\) មានឫស ។

មើលចម្លើយ

    1. \(\tan x = -3\sqrt{3}\) ៖ \(x = \alpha + k\pi\) ដែល \(\tan\alpha = -3\sqrt{3}\), \((k \in \mathbb{Z})\)

    2. \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

    3. \(x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi\), \(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\), \(x = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

    4. \(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\) ឬ \(x = \alpha + k\pi\) ដែល \(\tan\alpha = 3\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  2. \(-\dfrac{1}{2} \le m < 4\)  (\(x \ne k\pi\)) ។

ប្រព័ន្ធសមីការត្រីកោណមាត្រ

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} x + y = \dfrac{\pi}{3}\\ \sin x + \sin y = 1 \end{cases}\) ។

ប្រើរូបមន្តបំប្លែងពីផលបូកទៅជាផលគុណ គេបានសមីការ \(\sin x + \sin y = 2\sin\left(\dfrac{x + y}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x - y}{2}\right) = 1\) ដោយ \(x + y = \dfrac{\pi}{3}\) គេបាន \(2\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\left(\dfrac{x - y}{2}\right) = 1\) ។

គេមាន \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) នាំឱ្យ \(\cos\left(\dfrac{x - y}{2}\right) = 1 = \cos 0\) គេបាន \(\dfrac{x - y}{2} = 2k\pi\) ឬ \(x - y = 4k\pi\) ។

\[\text{គេបានប្រព័ន្ធ} \quad{} \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3}\\ x - y = 4k\pi \end{cases}, \qquad{} \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\\ y = \frac{\pi}{6} - 2k\pi \end{cases}, \ (k \in \mathbb{Z}) \text{ ។}\]
ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធសមីការមានគូចម្លើយ \(\left(x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \ y = \dfrac{\pi}{6} - 2k\pi\right)\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} x + y = \dfrac{\pi}{2} & (1)\\ \tan x + \tan y = \sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} & (2) \end{cases}\)

លក្ខខណ្ឌ \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(y \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។ ដោយ \(\tan y = \cot x\) តាមមុំបំពេញ គេបាន

\[\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2}\\ \tan^2 x - \left(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\tan x + 1 = 0 \end{cases}\]
សមីការ \(\tan^2 x - \left(\sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\tan x + 1 = 0\) មានឫសពីរគឺ \(t_1 = \sqrt{3}\), \(t_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ។ ដូច្នេះ គេបាន
\[\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2}\\ \tan x = \sqrt{3} = \tan\frac{\pi}{3} \end{cases} \ \text{ឬ} \ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2}\\ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \tan\frac{\pi}{6} \end{cases}\]
\[\begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k\pi\\ y = \frac{\pi}{6} - k\pi \end{cases} \ \text{ឬ} \ \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k\pi\\ y = \frac{\pi}{3} - k\pi \end{cases}, \ (k \in \mathbb{Z}) \text{ ជាចម្លើយរបស់ប្រព័ន្ធសមីការ ។}\]

លំហាត់គំរូ ៥

រកតម្លៃ \(m\) ដែលនាំឱ្យប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមមានឫស

\[\begin{cases} x - y = m & (1)\\ 2(\cos 2x + \cos 2y) - 1 - 4\cos^2 m = 0 & (2) \end{cases}\]

ដំណោះស្រាយ

គេបានសមីការ (2) សរសេរ ៖ \(4\cos(x + y)\cos(y - x) - 1 - 4\cos^2 m = 0\) តាម (1) ជំនួសចូល គេបាន ៖

\[\begin{gathered} 4\cos^2 m - 4\cos(x + y)\cos m + 1 = 0,\\ [2\cos m - \cos(x + y)]^2 + \sin^2(x + y) = 0 \end{gathered}\]
\[\begin{cases} \sin(x + y) = 0\\ \cos(x + y) = 2\cos m \end{cases}, \quad{} \begin{cases} x + y = 2k\pi\\ \cos m = \frac{1}{2} \end{cases} \ \text{ឬ} \ \begin{cases} x + y = \pi + 2k\pi\\ \cos m = -\frac{1}{2} \end{cases}\]

  • ចំពោះ \(\cos m = \dfrac{1}{2}\), \(m = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) នោះ \(\cos(x + y) = 1\) គេបាន \(\begin{cases} x + y = 2k\pi\\ x - y = m \end{cases}\) ។

  • ចំពោះ \(\cos m = -\dfrac{1}{2}\), \(m = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) នោះ \(\cos(x + y) = -1\) គេបាន \(\begin{cases} x + y = (2k + 1)\pi\\ x - y = m \end{cases}\),  \(\begin{cases} x = \frac{m}{2} + (2k + 1)\frac{\pi}{2}\\ y = -\frac{m}{2} + (2k + 1)\frac{\pi}{2} \end{cases}\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ដូច្នេះ ៖

  • \(m = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ប្រព័ន្ធមានឫស \(\begin{cases} x = \frac{m}{2} + k\pi\\ y = -\frac{m}{2} + k\pi \end{cases}\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  • \(m = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) ប្រព័ន្ធមានឫស \(\begin{cases} x = \frac{m}{2} + (2k + 1)\frac{\pi}{2}\\ y = -\frac{m}{2} + (2k + 1)\frac{\pi}{2} \end{cases}\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

    1. \(\begin{cases} \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}\\ x + y = \frac{5\pi}{6} \end{cases}\)

    2. \(\begin{cases} \sin x\cos y = \frac{1}{4}\\ 3\tan x = \tan y \end{cases}\) ។

  2. គេឱ្យប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} \sin x\cos 2y = m^2 + 1\\ \cos x\sin 2y = m \end{cases}\) ។

    1. បញ្ជាក់តម្លៃ \(m\) ដែលនាំឱ្យប្រព័ន្ធសមីការមានឫស ដែល \(m\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ។

    2. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការតាមតម្លៃ \(m\) ដែលរកបាននោះ ។

មើលចម្លើយ

  1. ក. \(x - y = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ៖ \(\left(x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \ y = \dfrac{\pi}{3} - k\pi\right)\) ឬ \(\left(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi, \ y = \dfrac{\pi}{2} - k\pi\right)\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

    ខ. \(\sin(x + y) = 1\), \(\sin(x - y) = -\dfrac{1}{2}\) ៖ \(\left(x = \dfrac{\pi}{6} + n\pi, \ y = \dfrac{\pi}{3} + (2k - n)\pi\right)\) ឬ \(\left(x = \dfrac{5\pi}{6} + n\pi, \ y = -\dfrac{\pi}{3} + (2k - n)\pi\right)\), \((k, n \in \mathbb{Z})\) ។

  2. ក. \(m = 0\) ខ. \(\left(x = \dfrac{\pi}{2}, \ y = 0\right)\) (តាម \(2\pi\)) ។

វិសមីការត្រីកោណមាត្រ

វិសមីការដែលមានរាង \(a\cos x + b\sin x > c\)

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយវិសមីការ \(\sin x - \cos x > 0\) ។

\[\begin{gathered} \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) > 0,\\ \sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4}\cos x\right) > 0,\\ \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > 0 \text{ ។} \end{gathered}\]
\(\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0\) ត្រូវនឹងចុងធ្នូនៅលើកន្លះរង្វង់ខាងលើ ។

ដូច្នេះ វិសមីការមានសំណុំចម្លើយ \(2k\pi < x - \dfrac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi\) ឬ \(\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

សម្គាល់

បើវិសមីការដែលមានទម្រង់ជាកន្សោមប្រភាគ ឬវិសមីការដឺក្រេទី \(2\) គេត្រូវដោះស្រាយរកសំណុំចម្លើយដោយសិក្សាសញ្ញា ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយវិសមីការ \(\sin x + \dfrac{1}{\sin x} \ge \dfrac{5}{2}\) ។

គេមាន \(\sin x + \dfrac{1}{\sin x} - \dfrac{5}{2} \ge 0\)

\[\begin{gathered} \frac{2\sin^2 x - 5\sin x + 2}{2\sin x} \ge 0,\\ \frac{(\sin x - 2)(2\sin x - 1)}{2\sin x} \ge 0 \end{gathered}\]
ដោយ \(\sin x - 2 < 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) គេបាន \(\dfrac{2\sin x - 1}{2\sin x} \le 0\)  (1) ។ វិសមីការមានចម្លើយលុះត្រាតែ \(\sin x \ne 0\) ឬ \(x \ne k\pi\) ។

តាង \(\sin x = X\) ដែល \(-1 \le X \le 1\) វិសមីការ (1) ទៅជា \(\dfrac{2X - 1}{2X} \le 0\) ។ សិក្សាសញ្ញាគេបាន

\[\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline X & -1 & & 0 & & \frac{1}{2} & & 1\\ \hline 2X - 1 & & - & & - & 0 & + & \\ \hline X & & - & 0 & + & & + & \\ \hline \frac{2X - 1}{X} & & + & \| & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}\]
គេបាន \(0 < X \le \dfrac{1}{2}\),  \(0 < \sin x \le \dfrac{1}{2}\) ត្រូវនឹង \(2k\pi < x \le \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ឬ \(\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \le x < \pi + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ៦

ដោះស្រាយវិសមីការ \(2\cos 2x + \sin^2 x\cos x + \sin x\cos^2 x > 2(\sin x + \cos x)\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន

\[\begin{aligned} &2(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin x\cos x(\sin x + \cos x)\\ &\quad{} - 2(\sin x + \cos x) > 0\\ &(\sin x + \cos x)[2(\cos x - \sin x) + \sin x\cos x - 2] > 0 \end{aligned}\]
តាង \(f(x) = (\sin x + \cos x)[2(\cos x - \sin x) + \sin x\cos x - 2]\) ។ ដោយ \(f(x)\) ជាអនុគមន៍ដែលមានខួប \(2\pi\) នោះគេអាចសិក្សាវិសមីការក្នុងចន្លោះ \((0, 2\pi)\) ។

គេបាន \(f(x) = 0\),  \(\cos x + \sin x = 0\)  (1) ឬ \(2(\cos x - \sin x) + \sin x\cos x - 2 = 0\)  (2)

(1)  \(\tan x = -1\),  \(\left(x = \dfrac{3\pi}{4}, \ x = \dfrac{7\pi}{4}\right)\) ។

(2)  តាង \(t = \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\) ដែល \(-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}\) ។ \(t^2 = 1 - 2\sin x\cos x\),  \(\sin x\cos x = \dfrac{1 - t^2}{2}\) ។

(2) អាចសរសេរ \(2t + \dfrac{1 - t^2}{2} - 2 = 0\) ឬ \(t^2 - 4t + 3 = 0\) ។ ដោះស្រាយសមីការនេះ គេបាន \(t = 1\), \(t = 3\) (មិនយក)

\(t = 1\),  \(\sqrt{2}\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1\),  \(\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{4}\) ។ គេបាន \(x = 0\), \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) ។

គេបានសញ្ញាដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline x & 0 & & \frac{3\pi}{4} & & \frac{3\pi}{2} & & \frac{7\pi}{4} & & 2\pi\\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}\]
ដូច្នេះ វិសមីការមានសំណុំចម្លើយ \(\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\) ឬ \(\dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

លំហាត់គំរូ ៧

បង្ហាញថាក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) គេបាន \(\cos A + \cos B + \cos C \le \dfrac{3}{2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន

\[\begin{aligned} &\frac{3}{2} - (\cos A + \cos B + \cos C)\\ &= \frac{1}{2}[3 - 2(\cos A + \cos B + \cos C)]\\ &= \frac{1}{2}\left[1 - 4\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2} + 2(1 - \cos C)\right]\\ &= \frac{1}{2}\left[1 - 4\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2} + 4\sin^2\frac{C}{2}\right]\\ &= \frac{1}{2}\left[1 - 4\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2} + 4\sin^2\frac{C}{2}\right]\\ &\quad{} \left(\text{ព្រោះ } \cos\frac{A + B}{2} = \sin\frac{C}{2}\right)\\ &= \frac{1}{2}\left[\left(2\sin\frac{C}{2} - \cos\frac{A - B}{2}\right)^2 + 1 - \cos^2\frac{A - B}{2}\right]\\ &= \frac{1}{2}\left[\left(2\sin\frac{C}{2} - \cos\frac{A - B}{2}\right)^2 + \sin^2\frac{A - B}{2}\right]\\ &\ge 0 \end{aligned}\]
ដូច្នេះ \(\dfrac{3}{2} \ge \cos A + \cos B + \cos C\) ឬ \(\cos A + \cos B + \cos C \le \dfrac{3}{2}\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖

    1. \(\sin x + \cos x > \cos\dfrac{\pi}{4}\)

    2. \(\dfrac{2\cos x - 5\sin x}{\cos x} > 0\)

    3. \(\dfrac{\cos x}{1 - 3\cos x} < \dfrac{1 - \cos x}{1 - 9\cos^2 x}\)

    4. \(2\sin^2\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \sqrt{3}\cos 2x > 0\) ។

  2. បង្ហាញថាក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) គេបាន \(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \le \dfrac{9}{4}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(-\dfrac{\pi}{12} + 2k\pi < x < \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  2. \(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi < x < \alpha + k\pi\) ដែល \(\tan\alpha = \dfrac{2}{5}\), \((k \in \mathbb{Z})\)

  3. \(-\alpha + 2k\pi < x < \alpha + 2k\pi\) ដែល \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{3}\) (\(\cos x \ne \pm\dfrac{1}{3}\)), \((k \in \mathbb{Z})\)

  4. \(-\dfrac{\pi}{4} + k\pi < x < \dfrac{5\pi}{12} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ៣

មេរៀនសង្ខេប

  1. រូបមន្តផលបូកនិងផលដក  \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\),  \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \sin\beta\cos\alpha\),  \(\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}\) ។

  2. រូបមន្តមុំឌុប  \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\),  \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\) ។

  3. រូបមន្តកន្លះមុំ  \(\sin\alpha = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\),  \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \cos\alpha}{2}\),  \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}\),  \(\tan\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}\) ។ បើ \(\tan\dfrac{\alpha}{2} = t\) គេបាន \(\cos\alpha = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\), \(\sin\alpha = \dfrac{2t}{1 + t^2}\), \(\tan\alpha = \dfrac{2t}{1 - t^2}\) ។

  4. រូបមន្តបំប្លែង  \(\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\),  \(\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\),  \(\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\) ។

  5. បំប្លែងពីផលបូកទៅផលគុណ  \(\cos p + \cos q = 2\cos\dfrac{p + q}{2}\cos\dfrac{p - q}{2}\),  \(\cos p - \cos q = -2\sin\dfrac{p + q}{2}\sin\dfrac{p - q}{2}\),  \(\sin p + \sin q = 2\sin\dfrac{p + q}{2}\cos\dfrac{p - q}{2}\),  \(\sin p - \sin q = 2\sin\dfrac{p - q}{2}\cos\dfrac{p + q}{2}\),  \(\tan p \pm \tan q = \dfrac{\sin(p \pm q)}{\cos p\cos q}\) ។

  6. អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ  បើ \(a = f(b)\) នោះអនុគមន៍ច្រាសគឺ \(b = f^{-1}(a)\) ។ \(\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x)\), \(\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)\), \(\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}(x)\) ។ \(\sin^{-1}(\sin x) = x\), \(x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\); \(\cos^{-1}(\cos x) = x\), \(x \in [0, \pi]\); \(\sin(\sin^{-1}x) = x\), \(\cos(\cos^{-1}x) = x\), \(x \in [-1, 1]\) ។

  7. សមីការ \(\cos x = \cos\alpha\) មានចម្លើយពីរគឺ \(x = \alpha + 2k\pi\) និង \(x = -\alpha + 2k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  8. សមីការ \(\sin x = \sin\alpha\) មានចម្លើយពីរគឺ \(x = \alpha + 2k\pi\) និង \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  9. សមីការ \(\tan x = \tan\alpha\) មានចម្លើយ \(x = \alpha + k\pi\); សមីការ \(\cot x = \cot\alpha\) មានចម្លើយ \(x = \alpha + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

  10. វិសមីការ ៖ \(\sin x \le a\) ៖ \(-\pi - \alpha + 2k\pi \le x \le \alpha + 2k\pi\);  \(\sin x \ge a\) ៖ \(\alpha + 2k\pi \le x \le \pi - \alpha + 2k\pi\);  \(\cos x \le a\) ៖ \(\alpha + 2k\pi \le x \le 2\pi - \alpha + 2k\pi\);  \(\cos x \ge a\) ៖ \(-\alpha + 2k\pi \le x \le \alpha + 2k\pi\);  \(\tan x \le a\) ៖ \(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi < x \le \alpha + k\pi\);  \(\tan x \ge a\) ៖ \(\alpha + k\pi \le x < \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) ។

  11. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ \(a\cos x + b\sin x = c\) គេបំប្លែងជារាង \(\cos(x - \theta) = \dfrac{c}{r}\) ដែល \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\), \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\) ឬជំនួស \(t = \tan\dfrac{x}{2}\) \((x \ne \pi + 2k\pi)\) ទៅជាសមីការដឺក្រេទី \(2\) ៖ \((c + a)t^2 - 2bt + c - a = 0\) ។

  12. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ \(a\cos^2 x + b\cos x + c = 0\), \(a\sin^2 x + b\sin x + c = 0\), \(a\tan^2 x + b\tan x + c = 0\) …គេតាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដោយ \(t\), ដាក់លក្ខខណ្ឌ, ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី \(2\) រួចយកឫសមកដោះស្រាយតាមរូបមន្តសមីការត្រីកោណមាត្រ ។

  13. ដើម្បីដោះស្រាយវិសមីការ \(a\cos x + b\sin x < c\) …គេបំប្លែងអង្គទី \(1\) ជារាង \(\cos(x - \theta)\) ឬ \(\sin(x - \theta)\) ។ បើវិសមីការមានទម្រង់ជាកន្សោមប្រភាគ ឬដឺក្រេទី \(2\) គេដោះស្រាយដោយសិក្សាសញ្ញា ។

លំហាត់ជំពូកទី ៣

  1. អង្កត់ធ្នូ \(AB\) ចែករង្វង់មួយដែលមានកាំស្មើនឹង \(2\) cm ជាពីរអង្កត់ ។ គេដឹងថា \(AB\) ស្កាត់ធ្នូដែលមានមុំផ្ចិត \(= 60^\circ\) ។ គណនា

    1. ក្រឡាផ្ទៃចម្រៀកថាស \(AOB\) ។

    2. ក្រឡាផ្ទៃត្រីកោណ \(AOB\) ។

    3. ក្រឡាផ្ទៃអង្កត់ថាសតូច (ផ្នែកតូច) ។

  2. គណនា

    1. \(\sin 960^\circ\)

    2. \(\cos 1215^\circ\)

    3. \(\sin 2940^\circ\)

    4. \(\cos\dfrac{13\pi}{6}\)

    5. \(\tan\left(-\dfrac{19}{4}\pi\right)\)

    6. \(\sin\left(-\dfrac{17}{3}\pi\right)\) ។

  3. គណនា

    1. \(\sin\theta + \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) + \sin(\theta + \pi) + \sin\left(\theta + \dfrac{3}{2}\pi\right)\)

    2. \(\cos\dfrac{20}{3}\pi\tan\dfrac{7}{4}\pi + \sin\dfrac{5}{2}\pi\cos(-3\pi)\)

    3. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\theta\right) + \sin(\pi - 2\theta) + \cos(\pi - \theta)\) ។

  4. គេមាន \(\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma = \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma\) \(\left(-\dfrac{\pi}{2} < \alpha, \beta, \gamma < \dfrac{\pi}{2}\right)\) ។ គណនាមុំ \((\alpha + \beta + \gamma)\) ។

  5. គេមាន \(\alpha = \cos 10^\circ\), \(\beta = \cos 50^\circ\), \(\gamma = \cos 70^\circ\) ។ គណនា \(\alpha - \beta - \gamma\), \(\alpha^2 - \beta\gamma\) និង \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\) ។

  6. បង្ហាញថា

    1. \((1 - \sin A + \cos A)^2 = 2(1 - \sin A)(1 + \cos A)\)

    2. \(\cot A + \tan A = \dfrac{1}{\sin A\cos A}\)

    3. \((\tan\theta + \sin\theta)(\tan\theta - \sin\theta) = \tan^2\theta\sin^2\theta\)

    4. \(\left(1 + \dfrac{1}{\sin\theta}\right)(1 - \sin\theta) = \cos\theta\cot\theta\) ។

  7. ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

    1. \(4\cos^2 x - \cos 2x - 4\cos x + 1 = 0\)

    2. \(\sin^2 2x - \cos^2 8x = 0.5\cos 10x\)

    3. \(1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0\)

    4. \(\sin^4 x + \cos^4 x - \cos 2x + \dfrac{1}{4}\sin^2 2x - 2 = 0\)

    5. \(\sin^{2007} x + \cos^{2007} x = 1\)

    6. \(\tan x = \cot x + 2\cot^2 2x\) ។

    1. គេឱ្យ \(2\sin A\cos A + (\cos A + \sin A)^2 - (2\cos A + \sin A)^2 = p\sin^2 A + q\) ។ រកតម្លៃនៃចំនួនថេរ \(p\) និង \(q\) ។

    2. គេឱ្យ \(\sin x\cos x(5\tan x + 2\cot x) = a + b\sin^2 x\) ។ រកតម្លៃនៃចំនួនថេរ \(a\) និង \(b\) ។

  9. ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ដោយដឹងថា \(0 \le x < 2\pi\)

    1. \(\cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) \ge -\dfrac{1}{2}\)

    2. \(\tan\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) \ge -1\) ។

  10. ដោះស្រាយសមីការនិងវិសមីការខាងក្រោម ៖

    1. \(2\sin^2\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 0\)

    2. \(2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 > 0\) ។

  11. គេឱ្យ \(\triangle ABC\) មានមុំ \(3\) ជាមុំស្រួច ។

    1. បង្ហាញថា \(\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C\)

    2. តាង \(T = \tan A + \tan B + \tan C\) ។ បង្ហាញថា \(T \ge 3\sqrt{3}\) ។

  12. ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

    1. \(2\cos 3x + \sqrt{3}\sin x + \cos x = 0\)

    2. \(\sin^6 x + \cos^3 x = 2(\sin^6 x + \cos^8 x)\)

    3. \(\dfrac{\sin 5x}{5\sin x} = 1\)

    4. \(\sin^2 x + \sin^2 3x = \cos^2 2x + \cos^2 4x\)

    5. \(\cos^3 x + \dfrac{3\sqrt{2}}{4}\sin 2x - 2\cos x = 0\)

    6. \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \sin 5x + \sin 6x = 0\) ។

  13. ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖

    1. \(2\cos^2 x - \cos x + 1 \le 0\) ក្នុង \([0, \pi]\)

    2. \(\dfrac{2\sin^2 x - \sin x - 1}{\sin x} > 0\) ក្នុង \([0, \pi]\)

    3. \(\dfrac{\sin x - \cos x + 1}{\sin x + \cos x - 1} > 0\) ។

    1. ពន្លាតកន្សោម \(\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 8)(x - 1)\) ។

    2. ដោះស្រាយសមីការ \(2\sin^3 x - 17\sin^2 x + 7\sin x + 8 = 0\) ។

  15. គេឱ្យសមីការ \(\cos 2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0\)  (1) ។

    1. ដោះស្រាយសមីការ (1) កាលណា \(m = 1\)

    2. រកតម្លៃ \(m\) ដែលធ្វើឱ្យសមីការមានឫសនៅចន្លោះ \([0, \pi]\) ។

  16. គេមានវិសមីការ \((E)\) ៖ \(2\sin^2 x - 5\sin x + 2 > 0\) ។ គេតាង \(X = \sin x\) វិសមីការសរសេរ \(2X^2 - 5X + 2 > 0\) ។

    1. ដាក់ជាផលគុណកត្តាកន្សោម \(2x^2 - 5x + 2\) ។

    2. បង្ហាញថាវិសមីការ \((E)\) សរសេរជារាង \(2(\sin x - 2)\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right) > 0\) ។

    3. សិក្សាសញ្ញា \((\sin x - 2)\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right)\) នៅលើចន្លោះ \([0, 2\pi]\) ។

    4. រកសំណុំចម្លើយនៃវិសមីការ \((E)\) ។

  17. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម ៖

    1. \(\begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{3}{2}\\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{5}{4} \end{cases}\)

    2. \(\begin{cases} \cos^3 x + \cos x + \sin y = 0\\ \sin^3 x - \sin y + \cos x = 0 \end{cases}\)

    3. \(\begin{cases} \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan y\\ x - y = \frac{\pi}{6} \end{cases}\) ។

  18. គេមាន \(\triangle ABC\) ដែលមានមុំនិងជ្រុងបំពេញលក្ខខណ្ឌ ៖ \(\dfrac{1 + \cos A}{1 + \cos B} = \dfrac{2a + c}{2a - c}\) ។ បង្ហាញ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាត ។

  19. មុំ \(A\), \(B\), \(C\) នៃ \(\triangle ABC\) មួយមាន \(\dfrac{A + C}{2} = B\) ។ រករង្វាស់មុំនៃត្រីកោណនោះបើគេដឹងថា \(\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១៤២–១៦០។
ទំព័រ ១៤២
ទំព័រ ១៤២
ទំព័រ ១៤៣
ទំព័រ ១៤៣
ទំព័រ ១៤៤
ទំព័រ ១៤៤
ទំព័រ ១៤៥
ទំព័រ ១៤៥
ទំព័រ ១៤៦
ទំព័រ ១៤៦
ទំព័រ ១៤៧
ទំព័រ ១៤៧
ទំព័រ ១៤៨
ទំព័រ ១៤៨
ទំព័រ ១៤៩
ទំព័រ ១៤៩
ទំព័រ ១៥០
ទំព័រ ១៥០
ទំព័រ ១៥១
ទំព័រ ១៥១
ទំព័រ ១៥២
ទំព័រ ១៥២
ទំព័រ ១៥៣
ទំព័រ ១៥៣
ទំព័រ ១៥៤
ទំព័រ ១៥៤
ទំព័រ ១៥៥
ទំព័រ ១៥៥
ទំព័រ ១៥៦
ទំព័រ ១៥៦
ទំព័រ ១៥៧
ទំព័រ ១៥៧
ទំព័រ ១៥៨
ទំព័រ ១៥៨
ទំព័រ ១៥៩
ទំព័រ ១៥៩
ទំព័រ ១៦០
ទំព័រ ១៦០

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\cos x + \sqrt{3}\sin x = \cos 3x\)

  2. \(\sin 3x + 2\cos x - 2 = 0\)

  3. \(\sin 2x + \tan x = 2\)

  4. \(\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2}\cos 13x\)

  5. \(6\sin x - 2\cos^3 x = 5\sin 2x\cos x\)

  6. \(\sqrt{5\cos x - \cos 2x} + 2\sin x = 0\) ។

២លំហាត់ទី ២

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(1 + \cot 2x = \dfrac{1 - \cos 2x}{\sin^2 2x}\)

  2. \(\cos^6 x + \sin^6 x = \dfrac{7}{16}\)

  3. \((1 - \tan x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tan x\)

  4. \(3\sin 3x - \sqrt{3}\cos 9x = 1 + 4\sin^3 3x\)

  5. \(1 + 3\cos x + \cos 2x = \cos 3x + 2\sin x\sin 2x\)

  6. \(\cos^4 x + \sin^6 x = \cos 2x\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

គេឱ្យសមីការ \(\cos 2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0\)  (1) ។

  1. ដោះស្រាយសមីការ (1) កាលណា \(m = \dfrac{3}{2}\) ។

  2. រកតម្លៃ \(m\) ដែលធ្វើឱ្យសមីការមានឫស \(x\) នៅចន្លោះ \(\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{3\pi}{2}\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម ៖

  1. \(\begin{cases} \sin(x + y) = \frac{1}{2}\\ \cos(x - y) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases} \sin x + \sin y = \sqrt{2}\\ \cos x + \sin y = \sqrt{2} \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} \sin(x + y) = \cos(x - y)\\ \tan x - \tan y = 1 \end{cases}\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\sin^2\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right) < \cos^2\dfrac{x}{2}\)

  2. \(6\sin^2 x - \sin x\cos x - \cos^2 x > 2\)

  3. \(\dfrac{\cos x}{1 + 2\cos x} > \dfrac{1 - \cos x}{1 - 2\cos x}\)

  4. \(\dfrac{1 - \sin x}{1 - 3\sin x} < \dfrac{1 + \sin x}{1 - 9\sin^2 x}\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

បង្ហាញថា ក. \(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha \ge \dfrac{1}{2}\) ខ. \(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha \ge \dfrac{1}{4}\) គ. \(\sin^8\alpha + \cos^8\alpha \ge \dfrac{1}{8}\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

បង្ហាញថាក្នុង \(\triangle ABC\) គេបាន ៖ \(\sin\dfrac{A}{2} \cdot \sin\dfrac{B}{2} \cdot \sin\dfrac{C}{2} \le \dfrac{1}{8}\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

បង្ហាញថាក្នុង \(\triangle ABC\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(\tan A\tan B\tan^2\dfrac{C}{2} = 1\) ជាត្រីកោណកែងសមបាត ។

៩លំហាត់ទី ៩

  1. នៅពេលដែល \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{1}{3}\) ហើយ \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) រកតម្លៃ \(\sin\theta + \cos\theta\)

  2. នៅពេលដែល \(\sin\alpha + \sin\beta = \sqrt{3}\), \(\cos\alpha + \cos\beta = 1\) ហើយ \(0^\circ < \alpha \le \beta < 180^\circ\) រកតម្លៃ \(\alpha\) និង \(\beta\)

  3. នៅពេលដែល \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{17}{13}\) ហើយ \(45^\circ \le \theta \le 90^\circ\) រកតម្លៃ \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) និង \(\tan\theta\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

ដោះស្រាយវិសមីការ បើ \(-180^\circ \le x \le 180^\circ\) និង \(\sin x + \sqrt{3}\cos x \ge 1\) ។

១១លំហាត់ទី ១១

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} \sin 2x + \cos y = 1\\ \sin y + \cos 2x = 1 \end{cases}\)  \((0^\circ \le x < 360^\circ, \ 0^\circ \le y < 360^\circ)\) ។

១២លំហាត់ទី ១២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} \sin x = \sqrt{2}\sin y\\ \tan x = \sqrt{2}\tan y \end{cases}\)  \((0^\circ < x < 180^\circ, \ 0^\circ < y < 180^\circ)\) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ឧបមាថាកន្លះបន្ទាត់ពុះ \(\angle A\) នៃ \(\triangle ABC\) កាត់ជ្រុង \(BC\) ត្រង់ចំណុច \(D\) ។ ពេលដែល \(AB = 8\), \(AC = 4\) និង \(BD = 4\) រកប្រវែង \(AD\) ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ពិចារណា \(\triangle ABC\) មួយដែល \(\angle A = 120^\circ\), \(AB = 3\) និង \(AC = 1\) ។ តាង \(D\) ជាចំណុចប្រសព្វរវាង \(BC\) និងកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\angle A\) រកប្រវែងនៃ \(AD\) ។

១៥លំហាត់ទី ១៥

ឧបមាថាចតុកោណ \(ABCD\) មួយ ចារឹកក្នុងរង្វង់មួយដែល \(AB = 1\), \(BC = 3\), \(CD = 2\) និង \(DA = 2\) ។ តាង \(E\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង \(AC\) និង \(BD\) ។ ក. រកផលធៀបនៃ \(BE : ED\) ខ. រកមុំ \(BAD\) ។

១៦លំហាត់ទី ១៦

ឧបមាថា \(0^\circ < a < 180^\circ < b < 360^\circ\) ។ កំណត់តម្លៃនៃចំនួនថេរ \(a\) និង \(b\) ដែល \(\sin x + \sin(x + a) + \sin(x + b) = 0\) ចំពោះតម្លៃនៃ \(x\) ។

១៧លំហាត់ទី ១៧

ឧបមាថា \(0^\circ \le x \le 180^\circ\) និង \(y = 3\sin 2x + a(\sin x + \cos x) + 1\) ដែល \(a\) ជាចំនួនវិជ្ជមានថេរ ។

  1. យក \(t = \sin x + \cos x\) រួចគណនា \(f(x)\) ដោយប្រើ \(t\)

  2. រកដែនតម្លៃនៃ \(t\)

  3. រកតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមានៃ \(f(x)\) ។

១៨លំហាត់ទី ១៨

ពេលដែល \(0^\circ \le x \le 180^\circ\) ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖

  1. \(\cos x + \cos(x + 30^\circ) + \cos(x + 60^\circ) = 0\)

  2. \(4\sqrt{2}\cos(x + 60^\circ)\cos(x + 45^\circ) = 3 + \sqrt{3}\) ។

១៩លំហាត់ទី ១៩

ឆ្លើយនឹងសំណួរខាងក្រោមអំពីត្រីកោណ \(ABC\) ដែល \(A = 60^\circ\) ។ ក. រកដែននៃ \(\sin B + \sin C\) ខ. រកដែននៃ \(\sin B\sin C\) ។

២០លំហាត់ទី ២០

រកតម្លៃនៃ \(\sin\theta\) ចំពោះ \(\theta = 18^\circ\) (ការណែនាំ ៖ \(2\theta = 90^\circ - 3\theta\)) ។

២១លំហាត់ទី ២១

ឧបមាថាចតុកោណ \(ABCD\) មួយ ចារឹកក្នុងរង្វង់មួយដែល \(AB = 2\), \(BC = 6\), \(CD = 4\) និង \(B = 60^\circ\) ។

  1. រកប្រវែងនៃ \(AC\) និង \(AD\)

  2. រកតម្លៃ \(\sin C\)

  3. ឧបមាថាបន្លាយនៃ \(AB\) ជួបនិងបន្លាយ \(CD\) ត្រង់ចំណុច \(E\) ។ រកប្រវែងនៃ \(AE\) និង \(DE\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១៣ សមីការនិងវិសមីការត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត