មេរៀនទី ១១ : អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

សេចក្តីផ្តើម

អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងសាមញ្ញថាជាអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររបស់អនុគមន៍ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់ ។ អនុគមន៍ច្រាសទាំងនេះត្រូវបានប្រើជាមួយមុំមួយចំនួននៃផលធៀបត្រីកោណមាត្រណាមួយ ។ អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានអនុវត្តន៍យ៉ាងសំខាន់ក្នុងវិស័យវិស្វកម្ម រូបវិទ្យា ធរណីមាត្រ និងការរុករក ។

អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

យើងបានសិក្សាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅមេរៀនមុនរួចរាល់ហើយអំពី \(\sin x\), \(\cos x\) និង \(\tan x\) ដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីរកប្រវែងជ្រុងមួយមិនស្គាល់នៃត្រីកោណកែង ប្រសិនបើប្រវែងជ្រុងមួយ និងរង្វាស់មុំមួយត្រូវបានគេស្គាល់ ។

គេតាងអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រតាមក្បួនដូចខាងក្រោម ៖

និយមន័យ

បើ \(a = f(b)\) នោះអនុគមន៍ច្រាសគឺ \(b = f^{-1}(a)\) ។

ដូច្នេះអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃ \(\sin x\), \(\cos x\) និង \(\tan x\) ត្រូវបានកំណត់ដោយ \(\sin^{-1}(x)\), \(\cos^{-1}(x)\) និង \(\tan^{-1}(x)\) ឬតាងដោយ \(\arcsin(x)\), \(\arccos(x)\) និង \(\arctan(x)\) ។ អនុគមន៍ច្រាសនេះ ត្រូវបានប្រើដើម្បីរករង្វាស់មុំមិនស្គាល់នៃត្រីកោណកែងមួយ នៅពេលដែលប្រវែងជ្រុងពីរទៀតមិនស្គាល់ ។

ឧទាហរណ៍

បាតនៃជណ្តើរមួយ ត្រូវបានដាក់នៅចម្ងាយ \(3\) ម៉ែត្រ ពីជញ្ជាំងកម្ពស់ \(10\) ម៉ែត្រ និងផ្នែកខាងលើនៃជណ្តើរប៉ះនឹងកំពូលនៃជញ្ជាំង ។ តើរង្វាស់មុំដែលបង្កើតឡើងដោយជណ្តើរ និងដីមានរង្វាស់ស្មើនឹងប៉ុន្មានដឺក្រេ?

នៅទីនេះយើងមានត្រីកោណកែងមួយ ដែលយើងដឹងពីប្រវែងជ្រុងទាំងពីរ ពោលគឺ ជ្រុងទល់មុខ និងជ្រុងនៅជាប់នឹងមុំ ។ ដូច្នេះ យើងប្រើអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍តង់សង់ ។ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលវាទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខដែលគិតជា “ដឺក្រេ” នោះយើងបាន \(\tan^{-1}\left(\dfrac{10}{3}\right) \approx 73.3^\circ\) ។ ប្រសិនបើអ្នកបានកំណត់ម៉ាស៊ីនគិតលេខទៅជារបៀបរ៉ាដ្យង់ អ្នកនឹងទទួលបាន \(\tan^{-1}\left(\dfrac{10}{3}\right) \approx 1.28\) rd ។

ប្រសិនបើប្រើផលធៀបជ្រុងរបស់ត្រីកោណដែលមានមុំ \((45^\circ, 45^\circ, 90^\circ)\) និង \((30^\circ, 60^\circ, 90^\circ)\) នោះគេអាចរកឃើញតម្លៃមួយចំនួននៃអនុគមន៍ច្រាសត្រីកោណមាត្របានដោយមិនប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ។

លំហាត់គំរូ ១

រកតម្លៃនៃ \(\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

អ្នកអាចចាំថានៅក្នុងត្រីកោណដែលមានមុំ \((30^\circ, 60^\circ, 90^\circ)\) ប្រសិនបើអ៊ីប៉ូតេនុសមានប្រវែងស្មើនឹង \(1\) នោះជ្រុងវែងមានប្រវែង \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ។ ដោយសារកូស៊ីនុសគឺជាសមាមាត្រនៃផ្នែកដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស នោះតម្លៃច្រាសនៃកូស៊ីនុសគឺមុំ \(30^\circ\) ឬប្រហែល \(0.52\) រ៉ាដ្យង់ ។

ចូរប្រយ័ត្ន

ចំពោះអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ \(\sin^{-1}x \ne \dfrac{1}{\sin x}\), \(\cos^{-1}x \ne \dfrac{1}{\cos x}\) និង \(\tan^{-1}x \ne \dfrac{1}{\tan x}\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកតម្លៃមុំដូចខាងក្រោម ៖

ចំពោះត្រីកោណកែង \(ABC\) គេឱ្យជ្រុងមុំកែង \(AB = 65\), \(BC = 35\) ។ រកមុំ \(\alpha\) នៃជ្រុង \(AB\) និង \(AC\) ។
ចំពោះត្រីកោណកែង \(LMN\) គេឱ្យជ្រុងមុំកែង \(LM = 6\), \(MN = 4\) ។ រកមុំ \(\alpha\) នៃជ្រុង \(LM\) និង \(LN\) ។
ចំពោះត្រីកោណកែង \(PQR\) គេឱ្យជ្រុងមុំកែង \(QR = 8\) និងអ៊ីប៉ូតេនុស \(PR = 10\) ។ រកមុំ \(\alpha\) នៃជ្រុង \(PQ\) និង \(PR\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\alpha \approx 28.30^\circ\) ខ. \(\alpha \approx 33.69^\circ\) គ. \(\alpha \approx 53.13^\circ\) ។

រូបមន្តអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ខាងក្រោមជារូបមន្តគ្រឹះនៃអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

\[\begin{array}{|c|l|}\hline \text{អនុគមន៍ច្រាស} & \text{រូបមន្ត}\\ \hline \arcsin(x) & \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x), \ x \in [-1, 1]\\ \hline \arccos(x) & \cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x), \ x \in [-1, 1]\\ \hline \arctan(x) & \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}(x), \ x \in \mathbb{R}\\ \hline \text{arccot}(x) & \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x), \ x \in \mathbb{R}\\ \hline \end{array}\]

ក្រាបនៃអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ក្រាបនៃអនុគមន៍ច្រាសរបស់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ អាចបានពីក្រាបនៃអនុគមន៍ដើម ដោយការផ្លាស់ប្តូរអ័ក្ស \(x\) និងអ័ក្ស \(y\) ។ ប្រសិនបើ \((a, b)\) គឺជាចំណុចនៅលើក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ បន្ទាប់មក \((b, a)\) ក្លាយជាចំណុចដែលត្រូវគ្នានៅលើក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាសរបស់វា ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា ក្រាបនៃអនុគមន៍ច្រាសអាចបានពីក្រាបដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ដើមជារូបភាពឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin^{-1}(x)\) ឬ \(y = \arcsin(x)\)

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ដែនកំណត់នៃ } \sin x & \text{រ៉ង់}\\ \hline -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} & -1 \le y \le 1\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ដែនកំណត់នៃ } \arcsin x & \text{រ៉ង់}\\ \hline -1 \le x \le 1 & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}\\ \hline \end{array}\]

ប្រសិនបើយើងដាក់លក្ខខណ្ឌដែនកំណត់របស់ \(f(x) = \sin(x)\) នៅចន្លោះ \(\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\) នោះយើងបានវាជាអនុគមន៍មួយទល់មួយ ហើយរ៉ង់របស់វាគឺចន្លោះ \([-1, 1]\) ។ យើងកំណត់អនុគមន៍ច្រាសនៃ \(f(x) = \sin(x)\) ដោយ \(y = \sin^{-1}(x)\) ។ គេអានថា \(y\) បញ្ច្រាសស៊ីនុស \(x\) ហើយមានន័យថា \(y\) ជាមុំចំនួនពិតដែលតម្លៃស៊ីនុសគឺ \(x\) ។ សូមប្រយ័ត្នចំពោះសញ្ញាដែលបានប្រើ ។ សញ្ញា \((-1)\) មិនមែនជាស្វ័យគុណទេ មានន័យថា \(\sin^{-1}x \ne \dfrac{1}{\sin x}\) ។ ដើម្បីជៀសវាងការសម្គាល់នេះ សៀវភៅខ្លះប្រើសញ្ញាណ \(y = \arcsin(x)\) ជំនួសវិញ ។

គេឃើញថាក្រាបនៃអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) នៃអនុគមន៍ស៊ីនុស ។

សូមកត់សម្គាល់ថា ដែនកំណត់ឥឡូវវាជារ៉ង់ ហើយរ៉ង់ឥឡូវវាជាដែនកំណត់ ។ ដោយសារដែនកំណត់ត្រូវបានដាក់លក្ខខណ្ឌ នោះមុំមានតម្លៃវិជ្ជមានគឺស្ថិតក្នុងកាដ្រង់ទី \(1\) ហើយមុំតម្លៃអវិជ្ជមានស្ថិតនៅក្នុងកាដ្រង់ទី \(4\) ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចដាក់លក្ខខណ្ឌដែនកំណត់នៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស និងតង់សង់ ដើម្បីធ្វើឱ្យវាជាអនុគមន៍មួយទល់មួយ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \cos^{-1}(x)\) ឬ \(y = \arccos(x)\)

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ដែនកំណត់នៃ } \cos x & \text{រ៉ង់}\\ \hline 0 \le x \le \pi & -1 \le y \le 1\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ដែនកំណត់នៃ } \arccos x & \text{រ៉ង់}\\ \hline -1 \le x \le 1 & 0 \le y \le \pi\\ \hline \end{array}\]

ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសគឺ \([-1, 1]\) ហើយរ៉ង់គឺ \([0, \pi]\) ។ នោះមានន័យថាមុំមានតម្លៃវិជ្ជមានស្ថិតនៅក្នុងកាដ្រង់ទី \(1\) ហើយមុំមានតម្លៃអវិជ្ជមានស្ថិតក្នុងកាដ្រង់ទី \(2\) ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \tan^{-1}(x)\) ឬ \(y = \arctan(x)\)

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ដែនកំណត់នៃ } \tan x & \text{រ៉ង់}\\ \hline \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) & (-\infty, +\infty)\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ដែនកំណត់នៃ } \arctan x & \text{រ៉ង់}\\ \hline (-\infty, +\infty) & \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \hline \end{array}\]

ដែនកំណត់អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍តង់សង់គឺ \((-\infty, +\infty)\) ហើយរ៉ង់គឺ \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ។ អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍តង់សង់មានតម្លៃក្នុងកាដ្រង់ទី \(1\) និងទី \(4\) ។ ដំណើរការដូចគ្នានេះត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកអនុគមន៍ច្រាសសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលនៅសេសសល់ ដូចជាអនុគមន៍កូតង់សង់ជាដើម ។ល។

តារាងអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{អនុគមន៍} & \text{ដែនកំណត់} & \text{រ៉ង់}\\ \hline \sin^{-1}(x) & [-1, 1] & \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\\ \hline \cos^{-1}(x) & [-1, 1] & [0, \pi]\\ \hline \tan^{-1}(x) & (-\infty, +\infty) & \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \hline \cot^{-1}(x) & (-\infty, +\infty) & (0, \pi)\\ \hline \end{array}\]

លំហាត់គំរូ ២

រកតម្លៃនៃ \(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(x = \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) នាំឱ្យ \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) ។ ដោយរ៉ង់នៃ \(\cos^{-1}x\) គឺ \([0, \pi]\) នោះយើងបានតម្លៃ \(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3}\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកតម្លៃមុំនៃ \(\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
រកតម្លៃមុំនៃ \(\tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)
រកតម្លៃមុំនៃ \(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \cot^{-1}(-\sqrt{3})\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{\pi}{6}\) ខ. \(\dfrac{3\pi}{4}\) គ. \(-\dfrac{\pi}{2}\) ។

លក្ខណៈអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

លក្ខណៈ

\(\sin^{-1}(\sin x) = x\) ចំពោះ \(-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos^{-1}(\cos x) = x\) ចំពោះ \(0 \le x \le \pi\)
\(\tan^{-1}(\tan x) = x\) ចំពោះ \(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\)
\(\sin(\sin^{-1}x) = x\) ចំពោះ \(-1 \le x \le 1\)
\(\cos(\cos^{-1}x) = x\) ចំពោះ \(-1 \le x \le 1\)
\(\tan(\tan^{-1}x) = x\) ចំពោះ \(x \in \mathbb{R}\)
\(\cot^{-1}(\cot x) = x\) ចំពោះ \(x \in (0, \pi)\)

ឧទាហរណ៍

\(\sin(\sin^{-1}0.5) = 0.5\), \(\sin(\sin^{-1}1.5) \ne 1.5\) ព្រោះ \(-1 \le x \le 1\)
\(\sin^{-1}[\sin(-1.5)] = -1.5\), \(\sin^{-1}[\sin(-2)] \ne -2\) ព្រោះ \(-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}\) ។

☞ ការគណនាដោយមិនចាំបាច់ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ

លំហាត់គំរូ ៣

រកតម្លៃនៃ \(\sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(y = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) \(\sin y = \sin\left(\sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\) នោះ \(\sin y = -\dfrac{1}{2}\) ដែល \(-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}\) តាមតារាងត្រីកោណមាត្រយើងបាន \(y = -\dfrac{\pi}{6} = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) ទោះបីជា \(\sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\) ក៏វាមិនមែនជាចម្លើយដែរ ព្រោះ \(y\) នៅក្នុងចន្លោះ \(\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\) ។ ដូច្នេះ \(\sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6}\) ។

☞ ការគណនាដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ

មានប្រភេទម៉ាកផ្សេងៗគ្នានៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ដូច្នេះសូមអានការណែនាំនៅក្នុងសៀវភៅណែនាំរបស់អ្នកប្រើប្រាស់ ។
ត្រូវប្រាកដថាកំណត់ម៉ាស៊ីនគិតលេខនៅលើទម្រង់រ៉ាដ្យង់ ។
ប្រសិនបើម៉ាស៊ីនគិតលេខបង្ហាញកំហុស នោះតម្លៃឬលេខដែលប្រើមិនស្ថិតនៅក្នុងដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទេ ។

ឧទាហរណ៍ ១

បើអ្នកចុច \(\sin^{-1}(1.548)\) នៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់អ្នកឧបករណ៍នឹងបញ្ជាក់ថាមានកំហុស គឺដោយសារតែ \(1.548\) មិនស្ថិតនៅក្នុងដែនកំណត់នៃ \(\sin^{-1}\) ទេ ។

ឧទាហរណ៍ ២

\(\cos(\cos^{-1}0.5) = 0.5\)
\(\cos(\cos^{-1}1.5) \ne 1.5\) ព្រោះ \(-1 \le x \le 1\)
\(\cos^{-1}[\cos(0.5)] = 0.5\)
\(\cos^{-1}[\cos(-2)] \ne -2\) ព្រោះ \(0 \le x \le \pi\) ។

☞ ការគណនាដោយមិនចាំបាច់ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ

ឧទាហរណ៍

រកតម្លៃនៃ \(\cos(\cos^{-1}0.6)\) ដោយ \(-1 < 0.6 < 1\) នោះ \(\cos(\cos^{-1}0.6) = 0.6\) ។

លំហាត់គំរូ ៤

រកតម្លៃនៃ \(\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\) គឺដូចគ្នាទៅនឹង \(\cos y = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) ដែល \(0 < y < \pi\) ។ តាមតារាងត្រីកោណមាត្រនិងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ គេបាន \(\dfrac{3\pi}{4}\) ជាចម្លើយ នោះគេបាន \(y = \dfrac{3\pi}{4} = \arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\) ។

☞ ការគណនាដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ

ឧទាហរណ៍ ៣

ប្រសិនបើអ្នកចុច \(\cos^{-1}(1.238)\) នៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់អ្នកឧបករណ៍នឹងបញ្ជាក់ថាមានកំហុស គឺដោយសារតែ \(1.238\) មិនស្ថិតនៅក្នុងដែនកំណត់នៃ \(\cos^{-1}\) ទេ ។

ឧទាហរណ៍ ៤

\(\tan(\tan^{-1}2) = 2\)
\(\tan[\tan^{-1}(-1.5)] = -1.5\)
\(\tan^{-1}[\tan(-0.5)] = -0.5\)
\(\tan^{-1}[\tan(-2)] \ne -2\) ព្រោះ \(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\) ។

លំហាត់គំរូ ៥

រកតម្លៃមុំនៃ \(y = \tan^{-1}(\sqrt{3})\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយ \(\tan^{-1}(\sqrt{3})\) ដូចគ្នាជាមួយនឹង \(\tan y = \sqrt{3}\) ដែល \(-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}\) ។ ដូច្នេះ \(y = \dfrac{\pi}{3} = \tan^{-1}(\sqrt{3})\) ។

លំហាត់គំរូ ៦

រកតម្លៃនៃ \(\tan[\tan^{-1}(56)]\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយ \(\tan(\tan^{-1}x) = x\) ដែល \(-\infty < x < \infty\) នោះយើងបាន \(\tan[\tan^{-1}(56)] = 56\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកតម្លៃនៃ \(\cos^{-1}x\) ចំពោះ \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ។
រកតម្លៃ \(\tan^{-1}\left(\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\) ។
រកតម្លៃ \(\cos^{-1}\left(\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)\right)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{\pi}{6}\) ខ. \(-\dfrac{\pi}{4}\) គ. \(\dfrac{\pi}{6}\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១២០–១២៧។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

រកតម្លៃនៃ \(\sin^{-1}\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\) ។

២លំហាត់ទី ២

រកតម្លៃ \(\sin\left(\cos^{-1}\dfrac{3}{5}\right)\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

រកតម្លៃ \(\tan^{-1}\left(\tan\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\right)\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

រកតម្លៃ \(\tan(\tan^{-1}(-4))\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

រកតម្លៃ \(\sin^{-1}\left(\cos\left(\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\right)\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

បង្ហាញថា \(\tan(\cot^{-1}x) = \cot(\tan^{-1}x)\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

បង្ហាញថា \(2\sin^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right) - \tan^{-1}\left(\dfrac{17}{31}\right) = \dfrac{\pi}{4}\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

បង្ហាញថា \(\cot^{-1}7 + \cot^{-1}8 + \cot^{-1}18 = \cot^{-1}3\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

ប្រៀបធៀប \(\tan^{-1}1\) និង \(\tan 1\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

រកតម្លៃនៃ \(\sin\left(2\tan^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)\right) + \cos(\tan^{-1}\sqrt{3})\) ។

១១លំហាត់ទី ១១

ដោះស្រាយសមីការ \(\tan^{-1}\left\{\dfrac{1 - x}{1 + x}\right\} = \left(\dfrac{1}{2}\right)\tan^{-1}x\), \(x > 0\) ។

១២លំហាត់ទី ១២

រកតម្លៃ \(x\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ \(\sin^{-1}x + \sin^{-1}(1 - x) = \cos^{-1}x\) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ដោះស្រាយសមីការ \(\sin^{-1}6x + \sin^{-1}6\sqrt{3}x = -\dfrac{\pi}{2}\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១១ អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត