មេរៀនទី ៥ : ទំនាក់ទំនងតួនៃស៊ីត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

កំណត់តួទី \(n\) ដោយប្រើស៊ីតជំនួយ
កំណត់តួទី \(n\) តាមទំនាក់ទំនងរវាង \(a_n\) និង \(S_n\)
កំណត់តួទូទៅនៃទំនាក់ទំនងតួក្នុងទម្រង់ \(a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0\) ។

កំណត់តួទី \(n\) ដោយប្រើស៊ីតជំនួយ

គេបានសិក្សារួចមកហើយនូវទំនាក់ទំនងតួនៃស៊ីតនព្វន្ត និងស៊ីតធរណីមាត្រ ។

ចំពោះស៊ីតនព្វន្ត \(a_{n+1} = a_n + d\), \(d\) ជាផលសងរួម ។

ចំពោះស៊ីតធរណីមាត្រ \(a_{n+1} = a_n \times q\), \(q\) ជាផលធៀបរួម ។

តទៅទៀតគេនឹងសិក្សាអំពីទំនាក់ទំនងតួនៃស៊ីតផ្សេងៗទៀតដោយកំណត់រកតួទី \(n\) នៃស៊ីតនោះ ។

លំហាត់គំរូ ១

កំណត់តួទូទៅនៃស៊ីត \((a_n)\) ដោយទំនាក់ទំនងកំណើន \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = 1 + 4a_n\) ។

ដំណោះស្រាយ

របៀបទី ១ ៖ គេមាន \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = 1 + 4a_n\) គេអាចកំណត់

\[\begin{aligned} a_2 &= 1 + 4a_1 = 1 + 4\\ a_3 &= 1 + 4a_2 = 1 + 4 \times (1 + 4) = 1 + 4 + 4^2\\ a_4 &= 1 + 4a_3 = 1 + 4 \times (1 + 4 + 4^2) = 1 + 4 + 4^2 + 4^3\\ &\ \,\vdots \end{aligned}\]

នោះ \(a_n = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{n-1}\) ។ គេបាន

\[a_n = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{n-1} = \frac{1 \times (4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4^n - 1}{3} \text{ ។}\]

ដូច្នេះ តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ \(a_n = \dfrac{4^n - 1}{3}\) ។

របៀបទី ២ ៖ ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន \(a_{n+1} = 1 + 4a_n\), \(a_n = 1 + 4a_{n-1}\) នោះ

\[\begin{gathered} \begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= 1 + 4a_n - (1 + 4a_{n-1})\\ &= 4(a_n - a_{n-1}) \end{aligned}\\ (1) \end{gathered}\]

បើគេតាង \(b_n = a_{n+1} - a_n\) នោះពី \((1)\) គេបាន \(b_n = 4b_{n-1} \Rightarrow \dfrac{b_n}{b_{n-1}} = 4\) នោះស៊ីត \((b_n)\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានផលធៀបរួមស្មើនឹង \(4\) និងមានតួទី \(1\) និងតួទី \(n\) គឺ \(b_1 = a_2 - a_1 = 1 + 4 \times 1 - 1 = 4\), \(b_n = 4 \times 4^{n-1} = 4^n\) ។

ស៊ីត \((b_n)\) ជាផលសងស៊ីត \((a_n)\) តាមរូបមន្ត ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន

\[\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 1 + 4^1 + 4^2 + \ldots + 4^{n-1}\\ &= \frac{1 \times (4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4^n - 1}{3} \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូច្នេះ តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ \(a_n = \dfrac{4^n - 1}{3}\) ។

របៀបទី ៣ ៖ គេប្រើស៊ីតជំនួយ \((r_n)\) រួចធ្វើផលដក \(a_{n+1} - r_n\) ។

គេឱ្យ \(r_n = -\dfrac{1}{3}\) គេបាន \(a_{n+1} + \dfrac{1}{3} = 1 + 4a_n + \dfrac{1}{3} = 4a_n + \dfrac{4}{3} = 4 \cdot \left(a_n + \dfrac{1}{3}\right)\) ។

តាង \(V_{n+1} = a_{n+1} + \dfrac{1}{3}\) ហើយ \(V_n = a_n + \dfrac{1}{3}\) \((1)\)

គេបាន \(V_{n+1} = 4V_n\) ហើយ \(V_n = 4^{n-1} \cdot V_1\) ។ គេអាចគណនា \(V_1\) តាមទំនាក់ទំនង \((1)\) គឺ \(V_1 = a_1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}\) ។

គេបាន \(V_n = 4^{n-1} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot 4^n\) ។ គេអាចគណនា \(a_n\) តាមទំនាក់ទំនង \((1)\) គឺ \(a_n = V_n - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot 4^n - \dfrac{1}{3} = \dfrac{4^n - 1}{3}\) ។

សម្គាល់

ដើម្បីកំណត់រកតម្លៃនៃស៊ីតជំនួយ \((r_n)\) គេតាង \(r_n = \alpha \cdot n + \beta\) (\(\alpha, \beta\) ថេរ) ជាស៊ីតដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(a_{n+1} = 1 + 4a_n\) ។ ជំនួសស៊ីតជំនួយទៅក្នុងស៊ីត \((a_n)\) គេបានសមីការដែលអាចឱ្យ គេកំណត់រក \(\alpha\) និង \(\beta\) ។

\[\begin{aligned} a_{n+1} &= 1 + 4a_n \iff \alpha \cdot (n + 1) + \beta\\ &= 1 + 4 \cdot (\alpha \cdot n + \beta) \text{ ឬ } 3 \cdot \alpha \cdot n + 3 \cdot \beta - \alpha + 1 = 0 \end{aligned}\]

គេបាន \(\begin{cases} 3 \cdot \alpha = 0\\ 3 \cdot \beta - \alpha + 1 = 0 \end{cases}\) ហើយ \(\alpha = 0\), \(\beta = -\dfrac{1}{3}\) ។

ដូច្នេះ \(r_n = -\dfrac{1}{3}\) ដូច្នេះស៊ីត \((r_n)\) ហៅថា ស៊ីតជំនួយ ។

ជាទូទៅ

គេប្រើស៊ីតជំនួយ \((r_n)\) ដែល \(r_n = \alpha \cdot n + \beta\) (\(\alpha, \beta\) ថេរ) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនងនៃស៊ីត ។ ក្នុងករណីនេះ គេជំនួស \((r_n)\) ក្នុងទំនាក់ទំនងនៃស៊ីត រួចគណនា តម្លៃ \(\alpha\) និង \(\beta\) បន្ទាប់មកកំណត់បានស៊ីត \((r_n)\) គេនឹងធ្វើផលសង \(a_{n+1} - r_n\) ។

លំហាត់គំរូ ២

គេឱ្យស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយ \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = 2a_n - n + 1\) ។ កំណត់តួទី \(n\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \((r_n)\) ដែល \(r_n = \alpha n + \beta\) ជាស៊ីតជំនួយ ។ គេបាន

\[\begin{aligned} a_{n+1} = 2a_n - n + 1 &\iff \alpha \cdot (n + 1) + \beta\\ &= 2(\alpha \cdot n + \beta) - n + 1\\ &\iff n \cdot (\alpha - 1) + \beta - \alpha + 1 = 0 \end{aligned}\]

គេបានប្រព័ន្ធ \(\begin{cases} \alpha - 1 = 0\\ \beta - \alpha + 1 = 0 \end{cases}\) ហើយ \(\alpha = 1\), \(\beta = 0\) ។

នោះ \((r_n) = n\) ធ្វើផលសងរវាងស៊ីត \(a_{n+1} - r_n\) គេបាន ៖

\[\begin{gathered} a_{n+1} - n = 2a_n - n + 1 - n = 2a_n - 2n + 1,\\ a_{n+1} - (n + 1) = 2(a_n - n) \end{gathered}\]

តាង \(V_n = a_n - n\) \((1)\) នោះ \(V_{n+1} = a_{n+1} - (n + 1)\) គេបាន \(V_{n+1} = 2 \cdot V_n\) ហើយ \(V_n = 2^{n-1} \cdot V_1\) ។

គេគណនា \(V_1\) តាម \(V_n = a_n - n\), \(V_1 = a_1 - 1 = 3 - 1 = 2\), \(V_n = 2^{n-1} \cdot 2 = 2^n\) ។

គេអាចគណនា \(V_n\) តាម \((1)\) គឺ \(V_n = a_n - n\) នោះ \(a_n = V_n + n = 2^n + n\) ។

ដូច្នេះ \(a_n = 2^n + n\) ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយ \(a_1 = 5\), \(a_n = 2a_{n-1} - n\) ។

មើលចម្លើយ

\(a_n = 2^n + (n + 2)\) ។

ទំនាក់ទំនងរវាង \(a_n\) និង \(S_n\)

ឧទាហរណ៍

គេមានផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ \(S_n = n^2 + n\) ។ កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។

គេមានផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ

\[S_n = n^2 + n \iff S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n = n^2 + n\]

\[\Rightarrow S_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} = (n - 1)^2 + (n - 1) \text{ ។}\]

ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន \(S_n - S_{n-1} = a_n = n^2 + n - [(n - 1)^2 + (n - 1)]\)

\[\begin{gathered} \begin{aligned} a_n &= n^2 + n - (n - 1)^2 - n + 1\\ &= n^2 + n - n^2 + 2n - 1 - n + 1 = 2n \end{aligned}\\ \text{នោះ } a_n = 2n \text{ ។} \end{gathered}\]

ចំពោះ \(n = 1\) គេបាន \(S_1 = 1^2 + 1 = 2\) ពិត ព្រោះ (\(S_1 = a_1 = 2\)) ។

ដូច្នេះ \(a_n = 2n\) ។

ឧបមាថា \(S_n\) គឺជាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) នោះ \(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n\) និង \(S_{n-1} = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1}\) ។

ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន \(S_n - S_{n-1} = a_n\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(S_1 = a_1\) ។

ជាទូទៅ

ចំពោះ \(n \ge 2\) គេបាន \(S_n - S_{n-1} = a_n\) និង \(S_1 = a_1\) ។

សម្គាល់

\(S_n\) និង \(S_{n+1}\) មានភាពចាំបាច់ដើម្បីរក \(a_{n+1}\) គឺ \(a_{n+1} = S_{n+1} - S_n\) ។

លំហាត់គំរូ

គេមានផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ \(S_n = n^3 + 2n\) ។ កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេមានផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ \(S_n = n^3 + 2n \Rightarrow S_{n-1} = (n - 1)^3 + 2(n - 1)\)

\[\begin{aligned} a_n = S_n - S_{n-1} &= n^3 + 2n - (n - 1)^3 - 2(n - 1)\\ &= n^3 + 2n - 2n + 2 - n^3\\ &\quad{} + 3n^2 - 3n + 1\\ &= 3n^2 - 3n + 3 \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូច្នេះ តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ \(a_n = 3n^2 - 3n + 3\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមាន \(S_n = 4 - a_n - \dfrac{1}{2^{n-2}}\) \((n = 1, 2, 3, \ldots)\) ជាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) ។

កំណត់ទំនាក់ទំនងកំណើនរវាង \(a_{n+1}\) និង \(a_n\) ។
កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។

មើលចម្លើយ

\(2a_{n+1} = a_n + \dfrac{1}{2^{n-1}}\)
\(a_n = \dfrac{2n}{2^n}\) ។

ទំនាក់ទំនងកំណើនតួក្នុងទម្រង់ \(a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0\)

ឧទាហរណ៍

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ដោយ \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\) ដែល \(a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n\) \((n = 1, 2, \ldots)\) ។

គេស្គាល់ \(a_1\), \(a_2\) គេអាចគណនាតួ \(a_3\) និងតួបន្តបន្ទាប់ដើម្បីពិនិត្យមើលលំនាំគំរូ

\[\begin{aligned} a_3 &= 3 \cdot a_2 - 2 \cdot a_1 = 9 - 2 = 7\\ a_4 &= 3 \cdot a_3 - 2 \cdot a_2 = 21 - 6 = 15\\ a_5 &= 3 \cdot a_4 - 2 \cdot a_3 = 45 - 14 = 31\\ a_6 &= 3 \cdot a_5 - 2 \cdot a_4 = 93 - 30 = 63 \end{aligned}\]

គណនាផលសងតួនៃស៊ីតនេះ

\[\begin{gathered} a_2 - a_1 = 2, \quad{} a_3 - a_2 = 2^2,\\ a_4 - a_3 = 2^3, \quad{} \ldots,\\ a_n - a_{n-1} = 2^{n-1} \end{gathered}\]

\[\begin{gathered} a_n - a_1 = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{n-1} \quad{} \text{នោះ}\\ a_n = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{n-1} \end{gathered}\]

ជាផលបូកតួនៃស៊ីតធរណីមាត្រដែលមាន \(1\) ជាតួទី \(1\) និងផលធៀបរួមស្មើនឹង \(2\) គេបាន \(a_n = 2^n - 1\) ។

ជាទូទៅគេអាចគណនា \(a_n\) តាមវិធីខាងក្រោម ៖

\[\begin{aligned} &a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n\\ &\iff a_{n+2} - 2a_{n+1} = a_{n+1} - 2a_n\\ &= a_n - 2a_{n-1} = a_{n-1} - 2a_{n-2} = \ldots\\ &= a_2 - 2a_1 = 3 - 2 \times 1 = 1 \end{aligned}\]

នោះ \(a_{n+2} - 2a_{n+1} = a_{n+1} - 2a_n = 1\) \((1)\) ។

ម្យ៉ាងទៀត \(a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n \iff a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_n)\) ។

តាង \(b_n = a_{n+1} - a_n\) នោះ \((b_n)\) ឬ \((a_{n+1} - a_n)\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានផលធៀបរួមស្មើនឹង \(2\) និងតួទី \(1\) ស្មើនឹង \(b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\) ហើយ \(b_n = 2 \cdot (2)^{n-1} = 2^n\) \((2)\)

តាម \((1)\) និង \((2)\) គេបាន

\[\begin{cases} a_{n+1} - 2a_n = 1 & (1)\\ a_{n+1} - a_n = 2^n & (2) \end{cases}\]

ដក \((1) - (2)\) គេបាន \(-a_n = 1 - 2^n\) ។

ដូច្នេះ តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ \(a_n = 2^n - 1\) ។

គេបានរបៀបរកតួទូទៅតាមទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោម ៖

ជាទូទៅ

របៀបដោះស្រាយ \(a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0\)

បើទំនាក់ទំនងនៃស៊ីត \((a_n)\) មានទម្រង់ \(a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0\) គេពិចារណាពីរចំនួន \(\alpha\) និង \(\beta\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(\alpha + \beta = -p\), \(\alpha\beta = q\) នោះគេបាន \(a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha\beta a_n = 0\) ។

ទំនាក់ទំនងនេះអាចបម្លែងតាមរបៀបពីរយ៉ាងដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{gathered} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)\\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha(a_{n+1} - \beta a_n) \end{gathered}\]

ទំនាក់ទំនងទាំង \(2\) ខាងលើនេះ គឺជាស៊ីតធរណីមាត្រអាចឱ្យគេរក \(a_n\) បាន ។

គេអាចរក \(\alpha\) និង \(\beta\) ដោយដោះស្រាយសមីការ \(x^2 + px + q = 0\) ព្រោះគេស្គាល់ផលបូកនិងផលគុណវា ។

សមីការ \(x^2 + px + q = 0\) ហៅថា “សមីការសម្គាល់នៃ \(a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha\beta a_n = 0\)” ។

លំហាត់គំរូ

ស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយ \(a_1 = 1\), \(a_2 = 13\), \(a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n\) \((n = 1, 2, \ldots)\) ។ កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត ។

ដំណោះស្រាយ

កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ៖ \(a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n \iff a_{n+2} - a_{n+1} - 6a_n = 0\)

សមីការសម្គាល់ ៖ \(x^2 - x - 6 = 0\) សមីការមានឫស \(x = 3\) ឬ \(x = -2\) ។ គេបាន

\[\begin{cases} a_{n+2} + 2a_{n+1} = 3(a_{n+1} + 2a_n) & (i)\\ a_{n+2} - 3a_{n+1} = -2(a_{n+1} - 3a_n) & (ii) \end{cases}\]

\((i)\) \(a_{n+2} + 2a_{n+1} = 3(a_{n+1} + 2a_n)\) ។ តាង \(b_n = a_{n+1} + 2a_n\) នោះស៊ីត \((b_n)\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានផលធៀបរួមស្មើនឹង \(3\) ហើយតួទី \(1\) គឺ \(b_1 = a_2 + 2a_1 = 13 + 2 \times 1 = 15\) និង \(b_n = 15 \cdot (3)^{n-1}\) ។ គេបាន \(a_{n+1} + 2a_n = 15 \cdot (3)^{n-1}\) \((1)\) ។

\((ii)\) \(a_{n+2} - 3a_{n+1} = -2(a_{n+1} - 3a_n)\) ។ តាង \(c_n = a_{n+1} - 3a_n\) នោះស៊ីត \((c_n)\) ជាស៊ីតធរណីមាត្រដែលមានផលធៀបរួមស្មើនឹង \(-2\) ហើយតួទី \(1\) គឺ \(c_1 = a_2 - 3a_1 = 13 - 3 \times 1 = 10\) និង \(c_n = 10 \cdot (-2)^{n-1}\) ។ គេបាន \(a_{n+1} - 3a_n = 10 \cdot (-2)^{n-1}\) \((2)\) ។

តាម \((1)\) និង \((2)\) គេបាន

\[\begin{cases} a_{n+1} + 2a_n = 15 \cdot (3)^{n-1} & (1)\\ a_{n+1} - 3a_n = 10 \cdot (-2)^{n-1} & (2) \end{cases}\]

ដក \((1) - (2)\) ៖ \(5a_n = 15(3)^{n-1} - 10(-2)^{n-1}\)

\[a_n = 3 \times 3^{n-1} - 2 \times (-2)^{n-1} = 3^n + (-2)^n\]

ដូច្នេះ តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) គឺ \(a_n = 3^n + (-2)^n\) ។

ប្រតិបត្តិ

ស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយទំនាក់ទំនង \(a_1 = 0\), \(a_2 = 3\), \(a_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n\) \((n = 1, 2, \ldots)\) ។ កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។

មើលចម្លើយ

\(a_n = \dfrac{1}{2}(3^n - 3)\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ៣៦–៤៣។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយទំនាក់ទំនងកំណើនដូចខាងក្រោម ៖

\(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = 2a_n - 4\)
\(a_1 = 5\), \(a_{n+1} = 3a_n - 2n\) ។

កំណត់តួទី \(4\) នៃស៊ីតនេះ ។

២លំហាត់ទី ២

ស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយទំនាក់ទំនងកំណើន \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\) ។ កំណត់តួទី \(7\) នៃស៊ីតនេះ ។

៣លំហាត់ទី ៣

ស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយទំនាក់ទំនងកំណើន \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = pa_n + q\) ។ គណនាតម្លៃ \(p\) និង \(q\) បើគេដឹងតួទី \(3\) ស្មើនឹង \(6\) និងតួទី \(5\) ស្មើនឹង \(86\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

កំណត់តួទូទៅនៃស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយទំនាក់ទំនងកំណើនដូចខាងក្រោម ៖

\(a_1 = 1\), \(3a_{n+1} = 2a_n + 3\) \((n = 1, 2, \ldots)\)
\(a_1 = 1\), \(3a_{n+1} = 3a_n + 4\) \((n = 1, 2, \ldots)\)
\(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + n\) \((n = 1, 2, \ldots)\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

គេមានស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយ \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = \dfrac{4a_n - 9}{a_n - 2}\) \((n = 1, 2, 3, \ldots)\) ។

ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(a_n \ne 3\) ចំពោះគ្រប់ \(n\) ។
យក \(b_n = \dfrac{1}{a_n - 3}\) និងកំណត់តួទូទៅនៃស៊ីត \((b_n)\) ។ កំណត់តួទូទៅនៃស៊ីត \((a_n)\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

គេមាន \(S_n\) ជាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) ។ បើ \(S_n\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(S_n = 4 - a_n - \dfrac{1}{2^{n-2}}\) \((n = 1, 2, 3, \ldots)\) នោះចូរ ៖

កំណត់ដោយទំនាក់ទំនងកំណើនរវាង \(a_{n+1}\) និង \(a_n\) ។
កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

គេមាន \(S_n\) ជាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) ហើយបំពេញលក្ខខណ្ឌ \((a_n)\) ៖ \(a_1 = 1\), \(S_n = a_{n+1} + n^2\) \((n \ge 1)\) ។ កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \((a_n)\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

គេមាន \(S_n\) ជាផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីត \((a_n)\) ហើយ \(S_n\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(S_n = \dfrac{n}{n-1} \cdot a_n\), \(n \ge 2\) ។

បញ្ជាក់រក \(a_n\) \((n \ge 3)\) អនុគមន៍នឹង \(n\) និង \(a_{n-1}\) ។
បញ្ជាក់រក \(S_n\) \((n \ge 2)\) អនុគមន៍នឹង \(n\) និង \(S_{n-1}\) ។
ឧបមាថា \(a_1 = 1\) រកតួទី \(n\) នៃស៊ីត \(S_n\) ដែល \(n \ge 1\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

គេមានស៊ីត \((a_n)\) កំណត់ដោយទំនាក់ទំនងកំណើន \((a_n)\) ៖ \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{a_n + 3}\) \((n = 1, 2, 3, \ldots)\) ។

តាង \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\) ។ កំណត់ទំនាក់ទំនងកំណើនរវាង \(b_n\) និង \(b_{n+1}\) ។
កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីត \(a_n\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៥ ទំនាក់ទំនងតួនៃស៊ីត (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត