មេរៀនទី ២ : ស៊ីតនព្វន្ត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

កំណត់និយមន័យនិងផលសងរួមនៃស៊ីតនព្វន្ត
កំណត់តួទី \(n\) នៃស៊ីតនព្វន្ត
ផលបូកតួស្មើចម្ងាយពីតួចុង
គណនាផលបូកតួនៃស៊ីតនព្វន្ត ។

និយមន័យស៊ីតនព្វន្ត

ឧទាហរណ៍

គេមានស៊ីត \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} a_1 &= 1,\ a_2 = 2 = 1 + 1 = a_1 + 1,\ a_3 = 3 = 2 + 1\\ &= a_2 + 1, \end{aligned}\]

\[\begin{gathered} \begin{aligned} a_4 &= 4 = 3 + 1 = a_3 + 1,\ a_5 = 5 = 4 + 1\\ &= a_4 + 1,\\ \ldots,\ a_{n+1} = a_n + 1 \text{ ។} \end{aligned} \end{gathered}\]

គេសង្កេតឃើញថា តួនីមួយៗនៃស៊ីត (ក្រៅពីតួទី \(1\)) ស្មើនឹងតួមុនបន្ទាប់បូកនឹងចំនួនថេរ (ស្មើនឹង \(1\)) ។ ចំនួន \(1\) ហៅថាផលសងរួមនៃស៊ីត ។ ស៊ីត \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) ហៅថា ស៊ីតនព្វន្តដែលមានផលសងស្មើ \(1\) ។

និយមន័យ

ស៊ីតនព្វន្ត គឺជាស៊ីតនៃចំនួនពិតដែលមានតួនីមួយៗ (ក្រៅពីតួទី \(1\)) ស្មើនឹងតួមុនបន្ទាប់បូកចំនួនថេរ \(d\) មួយ ហៅថាផលសងរួម ។

ជាទូទៅ

ផលសងរួមនៃស៊ីតនព្វន្តតាងដោយ \(d\) កំណត់ដោយ

\[d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = a_{n+1} - a_n \text{ ។}\]

តួទី \(n\) នៃស៊ីតនព្វន្ត

ឧទាហរណ៍

គេមានស៊ីត \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) គឺជាស៊ីតនព្វន្តដែលមានតួទី \(1\) ៖ \(a_1 = 1\) និងផលសងរួម \(d = 1\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} a_1 &= 1,\ a_2 = 2 = 1 + 1 = a_1 + d,\ a_3 = 3 = 2 + 1\\ &= a_1 + 2d, \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} a_4 &= 4 = 3 + 1 = a_1 + 3d,\ a_5 = 5 = 4 + 1\\ &= a_1 + 4d,\ \ldots \end{aligned}\]

គេសង្កេតឃើញ តួនីមួយៗនៃស៊ីត (ក្រៅពីតួទី \(1\)) ស្មើនឹងតួទី \(1\) បូក \(d, 2d, 3d, \ldots\) រៀងគ្នា ។

ជាទូទៅ

\((a_n)\) ជាស៊ីតនព្វន្តដែលមានតួទី \(1\) \(a_1\) និងផលសងរួម \(d\) ។ តួទី \(n\) នៃស៊ីតនព្វន្តកំណត់ដោយ

\[a_n = a_1 + (n - 1) \times d \text{ ។}\]

លំហាត់គំរូ ១

គេមានស៊ីតនព្វន្ត \(2, 8, 14, 20, \ldots\) ។

គណនាតួទី \(20\)
តើចំនួន \(236\) ជាតួទីប៉ុន្មាននៃស៊ីត?

ដំណោះស្រាយ

តាងតួទីមួយ \(a_1 = 2\) តួទីពីរ \(a_2 = 8\) ។ គេបានផលសងរួម \(d = a_2 - a_1 = 8 - 2 = 6\) ។

ដោយ \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) គេបានតួទី \(20\) នៃស៊ីតនព្វន្ត
\[a_{20} = 2 + (20 - 1) \times 6 = 116\]
ដូច្នេះតួទី \(20\) នៃស៊ីតគឺ \(116\) ។
តាង \(a_n = 236\) គេបាន \(a_n = 2 + (n - 1) \times 6\)
\[\begin{gathered} \begin{aligned} 236 &= 2 + (n - 1) \times 6 \iff 236 = 6n - 4\\ \iff 6n\\ &= 240 \Rightarrow n = 40 \end{aligned} \end{gathered}\]
ដូច្នេះចំនួន \(236\) ជាតួទី \(40\) នៃស៊ីត ។

លំហាត់គំរូ ២

តំណាងក្រុមហ៊ុនធានារ៉ាប់រងមួយទទួលប្រាក់បៀវត្សក្នុងឆ្នាំទី \(1\) គឺ \(30\) លានរៀល និងក្នុងឆ្នាំទី \(7\) គឺ \(60\) លានរៀល ។ ឧបមាថា តួលេខនៃប្រាក់បៀវត្សប្រចាំឆ្នាំរបស់គាត់បង្កើតបានជាស៊ីតនព្វន្ត ។ កំណត់ប្រាក់បៀវត្សរបស់គាត់ក្នុងឆ្នាំទី \(10\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេមានប្រាក់បៀវត្សក្នុងឆ្នាំទី \(1\) គឺ \(a_1 = 30\) លានរៀល និងប្រាក់បៀវត្សក្នុងឆ្នាំទី \(7\) \(a_7 = 60\) លានរៀល នោះគឺ \(a_7 = a_1 + (7 - 1)d\)

\[\begin{gathered} 60 = 30 + (7 - 1)d\\ \text{គេបាន } d = 5 \text{ លានរៀល} \end{gathered}\]

ដូច្នេះប្រាក់បៀវត្សក្នុងឆ្នាំទី \(10\) គឺ

\[\begin{gathered} a_{10} = a_7 + (10 - 7)d,\\ a_{10} = 60 + 3 \times 5 = 75 \text{ លានរៀល ។} \end{gathered}\]

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យស៊ីតនព្វន្តមួយដែល \(a_1 = 2\) និង \(a_2 = 9\) ។ កំណត់តួទី \(5\) និងគណនា \(a_6\) ។
សៀវភៅមួយក្បាលមាន \(100\) ទំព័រចុះលេខទំព័រពី \(1\) ដល់ \(100\) ។ រកចំនួនទំព័រដែលមានលេខខាងចុង \(5\) ។

មើលចម្លើយ

\(a_5 = 30\), \(a_6 = 37\)
មាន \(10\) ទំព័រ ។

ផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនព្វន្ត

គេមានស៊ីតនព្វន្ត \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) ។ \(a_1\) និង \(a_6\) ហៅថា តួចុង ។ \(a_2\) និង \(a_5\) ហើយ \(a_3\) និង \(a_4\) ហៅថា តួនៅស្មើចម្ងាយពីតួចុង ។

តាមរូបមន្តតួទី \(n\) នៃស៊ីតនព្វន្ត ៖ \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) គេបាន

\[\begin{aligned} a_1 + a_6 &= a_1 + a_1 + 5d = 2a_1 + 5d &\quad{} (1)\\ a_2 + a_5 &= a_1 + d + a_1 + 4d = 2a_1 + 5d &\quad{} (2)\\ a_3 + a_4 &= a_1 + 2d + a_1 + 3d = 2a_1 + 5d &\quad{} (3) \end{aligned}\]

គេបាន \(a_1 + a_6 = a_2 + a_5 = a_3 + a_4\) ។

ជាទូទៅ បើគេមានស៊ីតនព្វន្ត \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n\) គេបានផលបូកតួចុងស្មើនឹងផលបូកតួស្មើចម្ងាយពីតួចុង

\[a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \ldots\]

គេប្រើលក្ខណៈនេះដើម្បីគណនាផលបូកតួនៃស៊ីតនព្វន្ត

\[\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n\\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 \end{aligned}\]

បូកអង្គនិងអង្គ គេបាន

\[\begin{aligned} 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \ldots\\ &\quad{} + (a_{n-1} + a_2) + (a_1 + a_n)\\ &= \underbrace{(a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \ldots + (a_1 + a_n)}_{n \text{ តួ}} \end{aligned}\]

\[\begin{gathered} 2S_n = (a_1 + a_n)n \quad{} \text{នោះ}\\ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \text{ ។} \end{gathered}\]

ជាទូទៅ

ផលបូក \(n\) តួដំបូងនៃស៊ីតនព្វន្ត ដែលមាន \(a_1\) ជាតួទី \(1\) និង \(a_n\) ជាតួទី \(n\) កំណត់ដោយ

\[\begin{gathered} S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \quad{} \text{ឬ}\\ S_n = \frac{n\left(2a_1 + (n - 1)d\right)}{2} \text{ ។} \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ១

គេមានស៊ីតនព្វន្ត \(51, 47, 43, \ldots\) ។ កំណត់តម្លៃ \(n\) ដែលគេឱ្យផលបូក \(n\) តួដំបូង \(S_n\) មានតម្លៃអតិបរមា និងកំណត់តម្លៃនៃ \(S_n\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(a_n\) ជាតួទូទៅនៃស៊ីតនព្វន្ត ។ ដោយផលសងរួម \(d = -4\) និង \(a_1 = 51\) ។ គេបាន

\[a_n = a_1 + (n - 1)d = 51 + (n - 1)(-4) = 55 - 4n\]

នាំឱ្យ \(a_n > 0\) ចំពោះ \(n = 1, 2, \ldots, 13\) និង \(a_n < 0\) ចំពោះ \(n = 14, 15, \ldots\) ។

ដូច្នេះ \(S_n\) អតិបរមានៅពេលដែល \(n = 13\) និង

\[S_{13} = \frac{51 + (55 - 4 \times 13)}{2} \times 13 = 351 \text{ ។}\]

លំហាត់គំរូ ២

គេរៀបឥដ្ឋទីធ្លាមុខផ្ទះមួយដែលមានរាងជាចតុកោណព្នាយ (មើលរូប) ។ ទីធ្លានោះមានឥដ្ឋ \(18\) ជួរ ។ ជួរទី \(1\) មានឥដ្ឋ \(14\) ដុំ ហើយជួរបន្តបន្ទាប់មានចំនួនឥដ្ឋលើសជួរមុន \(1\) ដុំ រហូតដល់ជួរទី \(18\) មាន \(31\) ដុំ ។ តើគេត្រូវចំណាយឥដ្ឋប៉ុន្មានដុំដើម្បីរៀបឱ្យពេញទីធ្លានោះ?

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនឥដ្ឋតាមជួរដែលរៀបទីធ្លាមុខផ្ទះនេះបង្កើតបានជាស៊ីតនព្វន្តដែលមានតួទី \(1\) គឺ \(a_1 = 14\), \(a_{18} = 31\) និងមាន \(18\) ជួរ ។ តាមរូបមន្តផលបូកតួនៃស៊ីតនព្វន្ត គេបាន

\[S_{18} = \frac{(a_1 + a_{18}) \times 18}{2} = \frac{(14 + 31) \times 18}{2} = 405\]

ការរៀបចំទីធ្លាមុខផ្ទះ គេត្រូវចំណាយឥដ្ឋអស់ \(405\) ដុំ ។

លំហាត់គំរូ ៣

គេមានការងាររដូវក្តៅ \(2\) សម្រាប់រយៈពេល \(3\) ខែឬ \(12\) សប្តាហ៍ ។ ការងារ \(A\) ទទួលបានប្រាក់បៀវត្ស \(400\,000\) រៀលក្នុងមួយខែ ហើយដំឡើង \(100\,000\) រៀលរៀងរាល់ខែ ។ ការងារ \(B\) ទទួលប្រាក់បៀវត្ស \(100\,000\) រៀលក្នុងមួយសប្តាហ៍ហើយដំឡើង \(5\,000\) រៀលរៀងរាល់សប្តាហ៍ ។ តើគេគួរជ្រើសរើសយកការងារណាមួយប្រសើរជាង?

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះការងារ \(A\) ប្រាក់បៀវត្សសរុបសម្រាប់រយៈពេល \(3\) ខែគឺ

\[S_3 = 400\,000 + 500\,000 + 600\,000 = 1\,500\,000 \text{ រៀល}\]

ការងារ \(B\) ប្រាក់បៀវត្សគឺ \(100\,000, 105\,000, 110\,000, \ldots, a_{12}\) ។ នេះជាស៊ីតនព្វន្តដែលមានតួទី \(1\) គឺ \(a_1 = 100\,000\) និងផលសងរួម \(d = 5\,000\) ។ តាមរូបមន្ត ប្រាក់បៀវត្សនៅសប្តាហ៍ទី \(12\) គឺ

\[\begin{aligned} a_{12} &= a_1 + (12 - 1)d = 100\,000 + 11 \times 5\,000\\ &= 155\,000 \text{ ។} \end{aligned}\]

ចំពោះការងារ \(B\) ប្រាក់បៀវត្សសរុបរយៈពេល \(3\) ខែ ឬ \(12\) សប្តាហ៍គឺ

\[\begin{aligned} S_B &= 100\,000 + 105\,000 + 110\,000 + \ldots + 155\,000\\ &= \frac{(100\,000 + 155\,000) \times 12}{2}\\ &= 255\,000 \times 6 = 1\,530\,000 \text{ រៀល ។} \end{aligned}\]

ប្រាក់បានពីការងារ \(B\) ច្រើនជាងបានពីការងារ \(A\) ដូច្នេះគេរើសយកការងារ \(B\) ។

ប្រតិបត្តិ

1. គណនាផលបូក \((-6) + (-1) + 4 + 9 + \ldots + 64\) ។
2. គណនាផលបូក \(25\) តួដំបូងនៃស៊ីតនព្វន្ត \(2, 7, 12, 17, \ldots\)
គេមានការងាររដូវក្តៅ \(2\) សម្រាប់រយៈពេល \(3\) ខែឬ \(12\) សប្តាហ៍ ។ ការងារ \(A\) ទទួលបានប្រាក់បៀវត្ស \(325\,000\) រៀលក្នុងមួយខែ ហើយដំឡើង \(100\,000\) រៀលរៀងរាល់ខែ ។ ការងារ \(B\) ទទួលបានប្រាក់បៀវត្ស \(80\,000\) រៀលក្នុងមួយសប្តាហ៍ ហើយដំឡើង \(3\,000\) រៀលរៀងរាល់សប្តាហ៍ ។ តើគេគួរជ្រើសរើសយកការងារណាមួយប្រសើរជាង?

មើលចម្លើយ

ក. \(S_{15} = 435\) ខ. \(S_{25} = 1550\) ។
គេរើសយកការងារ \(A\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ៨–១៣។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

សរសេររូបមន្តតួទី \(n\) នៃស៊ីតនព្វន្តខាងក្រោម ៖

\(4, 15, 26, 37, \ldots\)
\(5, 1, -3, -7, -11, \ldots\)
\(-2, -9, -16, -23, \ldots\)
\(7, 12, 17, 22, 27, \ldots\) ។

២លំហាត់ទី ២

សរសេរប្រាំតួដំបូងនៃស៊ីតនព្វន្តដែលកំណត់ដោយតួ

\(a_1 = 3\), \(a_2 = 10\)
\(a_n = -7 + 3n\)

៣លំហាត់ទី ៣

គេមានស៊ីតនព្វន្ត \(-8, -3, 2, 7, \ldots\) ។

គណនា \(a_{17}\) និង \(a_{43}\)
តើតួទីប៉ុន្មាននៃស៊ីតស្មើនឹង \(322\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

កំណត់ចំនួនតួនៃស៊ីតនព្វន្តខាងក្រោម ៖

\(18, 13, 8, \ldots, -102\)
\(-9, -4, 1, \ldots, 171\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

ក្នុងចំណោមស៊ីតខាងក្រោម តើស៊ីតណាជាស៊ីតនព្វន្ត?

\(a_n = 13 + 6(n - 1)\)
\(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = a_n - \dfrac{1}{4}\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

គេឱ្យ \((a_n)\) ជាស៊ីតនព្វន្ត បើគេដឹងថា

\(a_{35} = 9\), \(a_{45} = 17\) ។ គណនា \(a_{40}\) ។
\(a_7 = \dfrac{7}{2}\), \(a_{13} = \dfrac{13}{2}\) ។ គណនា \(a_1\) ។
\(a_2 = -12\), \(S_{12} = 18\) ។ គណនា \(a_1\), \(d\) និង \(U_6\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

គេឱ្យស៊ីតនព្វន្ត \(2, 7, 12, \ldots\) និងស៊ីតនព្វន្ត \(2, 5, 8, \ldots\) ។ តើក្នុងចំណោម \(121\) តួនៃស៊ីតទាំងពីរនេះមានប៉ុន្មានតួដែលមានតម្លៃស្មើៗគ្នា?

៨លំហាត់ទី ៨

បង្ហាញថាស៊ីត \((a_n)\) ដែលមានតួទី \(n\) កំណត់ដោយ \(a_n = \dfrac{2n+3}{4}\) ជាស៊ីតនព្វន្តកើន ។

៩លំហាត់ទី ៩

គេឱ្យប្រាំចំនួនជាស៊ីតនព្វន្ត ។ គណនាចំនួនទាំងនោះបើគេដឹងថាផលបូកវាស្មើនឹង \(125\) ហើយផលបូកពីរតួដំបូងស្មើនឹង \(38\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

បើផលបូក \(9\) តួដំបូងនៃស៊ីតស្មើនឹង \(162\) ហើយផលបូក \(12\) តួដំបូងនៃស៊ីតនព្វន្តស្មើនឹង \(288\) ។ គណនាផលបូក \(30\) តួដំបូងនៃស៊ីតនព្វន្ត ។

១១លំហាត់ទី ១១

បីចំនួនតគ្នាជាស៊ីតនព្វន្តដោយដឹងថាផលបូកនៃបីចំនួននេះស្មើនឹង \(36\) និងផលគុណវាស្មើនឹង \(1428\) ។

១២លំហាត់ទី ១២

គណនាផលបូកស៊ីតនព្វន្តខាងក្រោម ៖

\(2 + 4 + 6 + \ldots + 146\)
\(100 + 95 + 90 + 85 + \ldots - 20\)
\(-193 - 189 - 185 - \ldots - 21 - 17\)
\(5\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} + 3\frac{3}{4} + \ldots - 3\) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

អ្នកជិះកង់ម្នាក់ធ្វើដំណើរតាមផ្លូវ \(A\) បានចម្ងាយ \(15\) គីឡូម៉ែត្រក្នុង \(1\) ថ្ងៃ ។ ប្រាំបីថ្ងៃក្រោយមក ទើបអ្នកជិះកង់ទីពីរចាប់ផ្តើមធ្វើដំណើរតាមផ្លូវ \(A\) ដូចគ្នាដោយថ្ងៃទីមួយ គាត់ជិះកង់បានចម្ងាយ \(14\) គីឡូម៉ែត្រក្នុង \(1\) ថ្ងៃ ហើយថ្ងៃបន្តបន្ទាប់មកទៀតគាត់ត្រូវជិះកើនបានចម្ងាយ \(2\) គីឡូម៉ែត្រក្នុង \(1\) ថ្ងៃជារៀងរាល់ថ្ងៃដើម្បីឱ្យទាន់អ្នកជិះកង់ទីមួយ \(A\) ។ តើអ្នកជិះកង់ទីពីរត្រូវចំណាយរយៈពេលអស់ប៉ុន្មានថ្ងៃ ដើម្បីជិះទៅកាន់អ្នកជិះកង់ទីមួយ?

១៤លំហាត់ទី ១៤

សាលាប្រជុំមួយមានរាងចតុកោណព្នាយ ហើយតាមជ្រុងទ្រេតនៃសាលាប្រជុំនោះ គេរៀបកៅអីជា \(15\) ជួរដែលជួរមុខគេបង្អស់រៀបបាន \(25\) កៅអី ហើយជួរទី \(2\) រៀបបាន \(27\) កៅអី ជួរទី \(3\) រៀបបាន \(29\) កៅអី ។ គេរៀបកៅអីតាមលំនាំខាងលើរហូតដល់ជួរខាងក្រោយ ។ គណនាកៅអីសម្រាប់អង្គុយទាំងអស់ដែលមានក្នុងសាលប្រជុំ ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២ ស៊ីតនព្វន្ត (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត