មេរៀនទី ២៤ : ការបំប្លែងឆ្លុះ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃការបំប្លែងឆ្លុះ ភាពស៊ីមេទ្រី និងស្ថាបត្យកម្មបុរាណ

គំនិតនៃការបំប្លែងឆ្លុះ (Reflection) មានតាំងពីយូរលង់ណាស់មកហើយ ពិសេសក្នុងការបង្កើតសិល្បៈ សំណង់ស្ថាបត្យកម្ម និងការត្បាញ ដែលទាមទារនូវភាពស៊ីមេទ្រី (Symmetry)។ ក្រោយមក នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ អ្នកប្រាជ្ញដូចជា រ៉ឺនេ ដេកាត (René Descartes) បានផ្តល់វិធីសាស្រ្តក្នុងការគណនាការឆ្លុះចំណុចធៀបនឹងអ័ក្ស $x$ ឬ $y$ នៅក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ ដែលធ្វើឲ្យការគណនាកាន់តែមានភាពងាយស្រួលនិងសុក្រឹត។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ទី៩៖
១. សញ្ញាណនៃបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់
២. ការរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល
៣. រូបរាងនៃតម្រុយអរតូណរមេ

ការបំប្លែងឆ្លុះចំណុច

គេមានបន្ទាត់ $L$ មួយ និងចំណុច $P$ មួយ ដែល $P$ មិននៅលើ $L$ ។ $P'$ ជាចំណុចមួយដែលបន្ទាត់ $L$ ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $PP'$ ។ ចំណុច $P'$ នេះហៅជារូបភាពនៃចំណុច $P$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $L$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

រូបភាពនៃចំណុច $P$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $L$ គឺ

ចំណុច $P'$ ដែលបន្ទាត់ $L$ ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $PP'$ បើ $P$ មិននៅលើ $L$
ចំណុច $P$ ខ្លួនឯង បើចំណុច $P$ នៅលើ $L$ ។
គេកំណត់សរសេរ $P \xrightarrow{S_L} P'$ ឬ $S_L(P) = P'$ ។

ឧទាហរណ៍

៖ គេមានបន្ទាត់ $M$ និងចំណុច $A$ មួយ ។ គេបំប្លែងឆ្លុះចំណុច $A$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $M$ ។ គេបានចំណុច $A'$ ជារូបភាពនៃចំណុច $A$ ។ គេកំណត់សរសេរ $A \xrightarrow{S_M} A'$ ឬ $S_M(A) = A'$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ការបំប្លែងឆ្លុះនៃរូបធៀបនឹងបន្ទាត់

ចំពោះរូបនៅខាងស្ដាំ គេឃើញថារូប ត្រីកោណ $A$ ឆ្លុះគ្នាជាមួយរូបភាព ត្រីកោណ $B$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $XY$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ត្រីកោណ $A$ ហៅថា រូបដើម នៃការបំប្លែងឆ្លុះ ហើយត្រីកោណ $B$ ដែលបានតាមការបំប្លែងឆ្លុះហៅថារូបភាព ។ ត្រីកោណ $A$ និងរូបភាពត្រីកោណ $B$ មានចម្ងាយស្មើគ្នាធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ $XY$ ហើយដែលបន្ទាត់ $XY$ នេះហៅថា អ័ក្សបំប្លែងឆ្លុះ ឬបន្ទាត់បំប្លែងឆ្លុះ ឬហៅថា មេដ្យាទ័រ នៃអង្កត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចត្រូវគ្នានៃកំពូលត្រីកោណ $A$ និងកំពូលរូបភាពត្រីកោណ $B$ ។

ឧទាហរណ៍

៖ រូបខាងក្រោមនេះជារូបឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ការបំប្លែងឆ្លុះ $XY$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមនិយមន័យ និងឧទាហរណ៍ គេអាចសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម៖

សន្និដ្ឋាន	ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់
	១. រូបភាពនៃអង្កត់មួយជាអង្កត់មួយទៀត ដែលអង្កត់ទាំងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា ហើយឆ្លុះគ្នាធៀបទៅនឹងអ័ក្សឆ្លុះ ។
	២. រូបភាពនៃរូប $F$ មួយ ជារូប $F'$ មួយទៀត ដែលប៉ុនគ្នានឹងរូប $F$ ។

ប្រតិបត្តិ

ចូរគូសរូបឆ្លុះនៃចតុកោណព្នាយ $ABCD$ មួយធៀបនឹងបន្ទាត់ដេក $XY$ ។

ការបកស្រាយនៃការបំប្លែងឆ្លុះក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ

ឧទាហរណ៍

រករូបភាពនៃចំណុច $M(4, 3)$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាងចំណុច $M_1$ ជារូបភាពនៃចំណុច $M$ ធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។ គេបានអ័ក្សអាប់ស៊ីសជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $MM_1$ នាំឱ្យអ័ក្សអាប់ស៊ីសកែងនឹង $MM_1$ ហើយ $MH = HM_1$ ។ ដូច្នេះ $M_1(4, -3)$ ។

តាង $M_2$ ជារូបភាពនៃ $M$ ធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។ គេបានអ័ក្សអរដោនេជាមេដ្យាទ័រនៃ $MM_2$ នាំឱ្យអ័ក្សអរដោនេកែងនឹង $MM_2$ ហើយ $MP = PM_2$ ។ ដូច្នេះ $M_2(-4, 3)$ ។

ជាទូទៅ

ការបំប្លែងឆ្លុះចំណុច $M \xrightarrow{S} M'$ គេបាន
១. $(x, y) \xrightarrow{S_x} (x, -y)$ ធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស
២. $(x, y) \xrightarrow{S_y} (-x, y)$ ធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។

១លំហាត់គំរូ ១

គេមានត្រីកោណ $MNP$ ដែល $M(-1, -3)$, $N(-2, 2)$ និង $P(-4, -3)$ ។ រករូបភាពនៃត្រីកោណ $MNP$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។

ដំណោះស្រាយ

តាងត្រីកោណ $M'N'P'$ ជារូបភាពនៃត្រីកោណ $MNP$ ។

តាមការបំប្លែងឆ្លុះ $(x, y) \xrightarrow{S_y} (-x, y)$

គេបាន $M(-1, -3) \xrightarrow{S_y} M'(1, -3)$

$N(-2, 2) \xrightarrow{S_y} N'(2, 2)$

$P(-4, -3) \xrightarrow{S_y} P'(4, -3)$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ករណីពិសេសចំពោះការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់

អ័ក្សបំប្លែងឆ្លុះ	រូបភាព
(1) អ័ក្សអាប់ស៊ីស	(1) $(a, b) \rightarrow (a, -b)$
(2) អ័ក្សអរដោនេ	(2) $(a, b) \rightarrow (-a, b)$
(3) $y = k$	(3) $(a, b) \rightarrow (a, 2k - b)$
(4) $x = h$	(4) $(a, b) \rightarrow (2h - a, b)$
(5) $y = x$	(5) $(a, b) \rightarrow (b, a)$
(6) $y = -x$	(6) $(a, b) \rightarrow (-b, -a)$

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថាលក្ខណៈ (3), (4), (5), (6) ខាងលើ ។

២លំហាត់គំរូ ២

គេមានត្រីកោណ $ABC$ ដែល $A(0, 1)$, $B(3, 4)$ និង $C(5, 2)$ ។ រករូបភាពនៃត្រីកោណ $ABC$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ និង $y = -x$ ។

ដំណោះស្រាយ

តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ គេបាន $P(a, b) \rightarrow P'(b, a)$ និងតាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = -x$ គេបាន $P(a, b) \rightarrow P''(-b, -a)$ ។

ដូច្នេះ $A(0, 1) \rightarrow A'(1, 0)$ និង $A(0, 1) \rightarrow A''(-1, 0)$

$B(3, 4) \rightarrow B'(4, 3)$ និង $B(3, 4) \rightarrow B''(-4, -3)$

$C(5, 2) \rightarrow C'(2, 5)$ និង $C(5, 2) \rightarrow C''(-2, -5)$ ។

ប្រតិបត្តិ

គេមានត្រីកោណ $PQR$ ដែលមានកូអរដោនេកំពូល $P(-2, 3)$, $Q(-3, 1)$ និង $R(-1, 1)$ ។ រករូបភាពនៃ $\Delta PQR$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $x = 2$ និង $y = x$ ។

មើលចម្លើយ

ធៀបនឹងបន្ទាត់ $x = 2$ គេបាន $P'(6, 3)$, $Q'(7, 1)$, $R'(5, 1)$
ធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ គេបាន $P'(3, -2)$, $Q'(1, -3)$, $R'(1, -1)$ ។

ប្រតិបត្តិ

កូអរដោនេនៃកំពូល $\Delta ABC$ គឺ $A(0, 1)$, $B(3, 4)$ និង $C(5, 2)$ ។ កំណត់កូអរដោនេនៃកំពូលរបស់រូបភាព $\Delta ABC$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹង
ក. អ័ក្សអាប់ស៊ីស
ខ. អ័ក្សអរដោនេ
គ. $y = x$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $A'(0, -1)$, $B'(3, -4)$, $C'(5, -2)$
ខ. $A'(0, 1)$, $B'(-3, 4)$, $C'(-5, 2)$
គ. $A'(1, 0)$, $B'(4, 3)$, $C'(2, 5)$ ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យចំណុច $R(6, 1)$ និងចំណុច $P(1, 2)$ ។ រកកូអរដោនេរូបភាពរបស់ $R$ ឆ្លុះធៀបនឹង $P$ ។

មើលចម្លើយ

$(-4, 3)$ ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

កំណត់រូបភាពនៃចំណុចខាងក្រោម តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ៖

$(7, 4)$
$(9, -2)$
$(0, 6)$
$(-5, 0)$
$(-1, -1)$
$(-3, 6)$
$(1, 8)$
$(0, 0)$

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តនៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ($Ox$) គឺ៖

\[(x, y) \xrightarrow{S_{Ox}} (x, \, -y)\]

ពោលគឺ រក្សាទុកអាប់ស៊ីស $x$ ដដែល ហើយប្តូរសញ្ញានៃអរដោនេ $y$។

ក. $(7, 4) \xrightarrow{S_{Ox}} (7, -4)$ ខ. $(9, -2) \xrightarrow{S_{Ox}} (9, 2)$ គ. $(0, 6) \xrightarrow{S_{Ox}} (0, -6)$ ឃ. $(-5, 0) \xrightarrow{S_{Ox}} (-5, 0)$
ង. $(-1, -1) \xrightarrow{S_{Ox}} (-1, 1)$ ច. $(-3, 6) \xrightarrow{S_{Ox}} (-3, -6)$ ឆ. $(1, 8) \xrightarrow{S_{Ox}} (1, -8)$ ជ. $(0, 0) \xrightarrow{S_{Ox}} (0, 0)$

២លំហាត់ទី ២

គេឱ្យរូបខាងស្ដាំ ។ ចូរជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវ ដោយគ្រាន់តែគូសសញ្ញា "$\checkmark$" ក្នុងប្រអប់ចំពោះការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹង $MN$

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

$A \rightarrow C$ $\square$
$D \rightarrow B$ $\square$
$A \rightarrow D$ $\square$

មើលដំណោះស្រាយ

ពិនិត្យរូបចតុកោណកែង $ABCD$ និងបន្ទាត់ឆ្លុះ $MN$ កាត់ពុះកណ្តាលចតុកោណកែងជាពីរស្មើគ្នា៖

បន្ទាត់ $MN$ គឺជាបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃជ្រុងឈម $[AD]$ និង $[BC]$។

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $MN$ ($S_{MN}$)៖

ដោយសារ $MN$ ជាមេដ្យាទ័រនៃ $[AD]$ នាំឱ្យរូបភាពនៃ $A$ គឺ $D$ ($A \to D$)។
រូបភាពនៃ $B$ គឺ $C$ ($B \to C$)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូចនេះ ចម្លើយត្រឹមត្រូវដែលត្រូវគូសសញ្ញា $\checkmark$ គឺ៖

\[\text{\textbf{គ.}~ } A \rightarrow D \quad{} \text{$\text{\rlap{$\checkmark$}}\square$}\]

៣លំហាត់ទី ៣

រករូបភាពនៃចំណុចខាងក្រោម តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។

$(5, 2)$
$(-4, 2)$
$(3, 4)$
$(6, -8)$
$(2, -1)$
$(11, 7)$

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តនៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ($Oy$) គឺ៖

\[(x, y) \xrightarrow{S_{Oy}} (-x, \, y)\]

ពោលគឺ ប្តូរសញ្ញានៃអាប់ស៊ីស $x$ ហើយរក្សាទុកអរដោនេ $y$ ដដែល។

ក. $(5, 2) \xrightarrow{S_{Oy}} (-5, 2)$ ខ. $(-4, 2) \xrightarrow{S_{Oy}} (4, 2)$ គ. $(3, 4) \xrightarrow{S_{Oy}} (-3, 4)$
ឃ. $(6, -8) \xrightarrow{S_{Oy}} (-6, -8)$ ង. $(2, -1) \xrightarrow{S_{Oy}} (-2, -1)$ ច. $(11, 7) \xrightarrow{S_{Oy}} (-11, 7)$

៤លំហាត់ទី ៤

រករូបភាពនៃចំណុច $P(7, 2)$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ខាងក្រោម៖

$x = 4$
$y = 4$
$y = x$
$x + y = 0$

មើលដំណោះស្រាយ

រកចំណុចរូបភាព $P'(x', y')$ នៃ $P(7, 2)$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះ៖

ក. ធៀបនឹងបន្ទាត់ឈរ $x = 4$៖ អរដោនេមិនប្រែប្រួល ($y' = 2$)។ អាប់ស៊ីសផ្ទៀងផ្ទាត់ $\dfrac{x + x'}{2} = 4$៖

\[x' = 2(4) - x = 8 - 7 = 1 \implies P'(1, 2)\]

ខ. ធៀបនឹងបន្ទាត់ដេក $y = 4$៖ អាប់ស៊ីសមិនប្រែប្រួល ($x' = 7$)។ អរដោនេផ្ទៀងផ្ទាត់ $\dfrac{y + y'}{2} = 4$៖

\[y' = 2(4) - y = 8 - 2 = 6 \implies P'(7, 6)\]

គ. ធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះទីមួយ $y = x$៖ ត្រឡប់កូអរដោនេ $(x', y') = (y, x)$៖

\[P'(2, 7)\]

ឃ. ធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះទីពីរ $x + y = 0$ ($y = -x$)៖ ត្រឡប់និងប្តូរសញ្ញា $(x', y') = (-y, -x)$៖

\[P'(-2, -7)\]

៥លំហាត់ទី ៥

គេឱ្យ $\Delta ABC$ ដែល $A(-1, -1)$, $B(-1, 6)$ និង $C(5, 6)$ ។

រករូបភាពនៃ $\Delta ABC$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។
តើត្រីកោណទាំងពីរនេះប៉ុនគ្នាឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ($Ox$) មានរូបមន្ត $(x, y) \xrightarrow{S_{Ox}} (x, \, -y)$។

អនុវត្តចំពោះកំពូលទាំងបីនៃ $\triangle ABC$៖

\[\begin{aligned} A(-1, -1) &\xrightarrow{S_{Ox}} A'(-1, \, -(-1)) = (-1, 1) \\ B(-1, 6) &\xrightarrow{S_{Ox}} B'(-1, \, -6) = (-1, -6) \\ C(5, 6) &\xrightarrow{S_{Ox}} C'(5, \, -6) \end{aligned}\]

ដូចនេះ កំពូលនៃត្រីកោណរូបភាពគឺ $A'(-1, 1), B'(-1, -6)$ និង $C'(5, -6)$។

៦លំហាត់ទី ៦

រកបន្ទាត់ការបំប្លែងឆ្លុះ ចំពោះរូបខាងស្ដាំ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

ពិនិត្យកំពូលត្រូវគ្នានៃរូបដើម និងរូបភាពបំប្លែងឆ្លុះ៖

យកគូកំពូលត្រូវគ្នា $A(1, y)$ និង $A'(-2, y)$។ បន្ទាត់ឆ្លុះត្រូវតែកាត់តាមចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $[AA']$៖

\[x = \frac{x_A + x_{A'}}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5\]

ដោយសារគ្រប់ចំណុចត្រូវគ្នាមានអរដោនេដូចគ្នា ហើយអាប់ស៊ីសមានចំណុចកណ្តាលស្មើ $-0.5$ នាំឱ្យបន្ទាត់ឆ្លុះគឺជាបន្ទាត់ឈរដែលមានសមីការ៖

\[x = -0.5 \quad{} \left(\text{ឬ } 2x + 1 = 0\right)\]

៧លំហាត់ទី ៧

គេមាន $\Delta ABC$ ដែលមានកំពូល $A(-2, 3), B(5, 1)$ និង $C(4, 5)$ ។

ធ្វើការបំប្លែងឆ្លុះ $\Delta ABC$ ធៀបអ័ក្សអាប់ស៊ីស
ធ្វើការបំប្លែងឆ្លុះ $\Delta ABC$ ធៀបអ័ក្សអរដោនេ
តើ $\Delta ABC$ ប៉ុនទៅនឹងរូបបំប្លែងឆ្លុះរបស់វាដែរឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ($Ox$) មានរូបមន្ត $(x, y) \xrightarrow{S_{Ox}} (x, \, -y)$។

អនុវត្តចំពោះកំពូលទាំងបីនៃ $\triangle ABC$៖

\[\begin{aligned} A(-2, 3) &\to A'(-2, \, -3) \\ B(5, 1) &\to B'(5, \, -1) \\ C(4, 5) &\to C'(4, \, -5) \end{aligned}\]

ដូចនេះ កំពូលនៃ $\triangle A'B'C'$ គឺ $A'(-2, -3), B'(5, -1)$ និង $C'(4, -5)$។

៨លំហាត់ទី ៨

រកបន្ទាត់បំប្លែងឆ្លុះចំពោះរូបខាងក្រោម ៖

(ក)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

(ខ)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

(គ)

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់បន្ទាត់បំប្លែងឆ្លុះ (អ័ក្សស៊ីមេទ្រី) ចំពោះរូបភាពនីមួយៗ៖

ក. រូបដើម និងរូបភាពស្ថិតនៅសងខាងនៃអ័ក្សដេក ដោយចំណុចកណ្តាលនៃគ្រប់គូចំណុចត្រូវគ្នាស្ថិតនៅលើអ័ក្សដេក ($y = 0$)។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ឆ្លុះគឺ អ័ក្សអាប់ស៊ីស ($y = 0$)។

ខ. រូបដើម និងរូបភាពឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ទ្រូងទ្រេតចុះក្រោម។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ឆ្លុះគឺបន្ទាត់ $y = -x$ (បន្ទាត់ពុះទីពីរ)។

គ. រូបដើម និងរូបភាពស្ថិតនៅសងខាងនៃអ័ក្សឈរ ដោយចម្ងាយពីចំណុចត្រូវគ្នាទៅអ័ក្សឈរស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ឆ្លុះគឺ អ័ក្សអរដោនេ ($x = 0$)។

៩លំហាត់ទី ៩

គូសរូបនីមួយៗ រួចគូសរូបភាពបំប្លែងឆ្លុះរបស់វាធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីសនិងអ័ក្សអរដោនេ ។

$\Delta MNP$ មានកំពូល $M(-8, 4)$, $N(-3, 8)$ និង $P(-2, 2)$
ការេ $WXYZ$ មានកំពូល $W(-3, 2)$, $X(1, -2)$, $Y(-3, -6)$ និង $Z(-7, -2)$
ចតុកោណព្នាយ $PQRS$ មានកំពូល $P(4, -2)$, $Q(8, -2)$, $R(8, 5)$ និង $S(2, 5)$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$ គឺ $(x, -y)$ និងធៀបនឹង $Oy$ គឺ $(-x, y)$។

ក. $\Delta MNP$ មាន $M(-8, 4), N(-3, 8), P(-2, 2)$៖

ឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$៖ $M_1(-8, -4), N_1(-3, -8), P_1(-2, -2)$
ឆ្លុះធៀបនឹង $Oy$៖ $M_2(8, 4), N_2(3, 8), P_2(2, 2)$

ខ. ការេ $WXYZ$ មាន $W(-3, 2)$, $X(1, -2)$, $Y(-3, -6)$, $Z(-7, -2)$៖

ឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$៖ $W_1(-3, -2), X_1(1, 2)$,
$Y_1(-3, 6), Z_1(-7, 2)$
ឆ្លុះធៀបនឹង $Oy$៖ $W_2(3, 2), X_2(-1, -2)$,
$Y_2(3, -6), Z_2(7, -2)$

គ. ចតុកោណព្នាយ $PQRS$ មាន $P(4, -2)$, $Q(8, -2)$, $R(8, 5)$, $S(2, 5)$៖

ឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$៖ $P_1(4, 2), Q_1(8, 2)$,
$R_1(8, -5), S_1(2, -5)$
ឆ្លុះធៀបនឹង $Oy$៖ $P_2(-4, -2), Q_2(-8, -2)$,
$R_2(-8, 5), S_2(-2, 5)$

១០លំហាត់ទី ១០

គេមានចតុកោណកែង $RECT$ ដែលមានកំពូល $R(-3, 3)$, $E(3, 3)$, $C(3, -3)$ និង $T(-3, -3)$ ។

ធ្វើការបំប្លែងឆ្លុះ $RECT$ ធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។
ធ្វើការបំប្លែងឆ្លុះ $RECT$ ធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។
តើគេសង្កេតឃើញរូបទាំងបីយ៉ាងដូចម្ដេច?

មើលដំណោះស្រាយ

ចតុកោណកែង $RECT$ មានកំពូល $R(-3, 3)$, $E(3, 3)$, $C(3, -3)$, $T(-3, -3)$ ។

ក. ឆ្លុះ $RECT$ ធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ($Ox$)៖

\[\begin{aligned} R(-3, 3) &\to R'(-3, -3) = T \\ E(3, 3) &\to E'(3, -3) = C \\ C(3, -3) &\to C'(3, 3) = E \\ T(-3, -3) &\to T'(-3, 3) = R \end{aligned}\]

រូបភាពគឺចតុកោណកែង $TCER$។

ខ. ឆ្លុះ $RECT$ ធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ($Oy$)៖

\[\begin{aligned} R(-3, 3) &\to R''(3, 3) = E \\ E(3, 3) &\to E''(-3, 3) = R \\ C(3, -3) &\to C''(-3, -3) = T \\ T(-3, -3) &\to T''(3, -3) = C \end{aligned}\]

រូបភាពគឺចតុកោណកែង $ERTC$។

គ. ការសង្កេត៖ រូបភាពទាំងពីរត្រួតស៊ីគ្នាទាំងស្រុងលើរូបដើម $RECT$ ដដែល ដោយសារអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេគឺជាអ័ក្សឆ្លុះ (អ័ក្សស៊ីមេទ្រី) នៃចតុកោណកែង (ការេ) នេះ។

១១លំហាត់ទី ១១

គេមាន $A(2, 6)$ និង $B(5, 5)$ ។

ធ្វើការបំប្លែងឆ្លុះ $A$ និង $B$ ធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។
តើចតុកោណ $A'ABB'$ ជាចតុកោណអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(2, 6)$ និង $B(5, 5)$។

ក. បំប្លែងឆ្លុះ $A$ និង $B$ ធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ($Oy$)៖ តាមរូបមន្ត $(x, y) \xrightarrow{S_{Oy}} (-x, \, y)$៖

\[A'(-2, 6) \quad{} \text{និង} \quad{} B'(-5, 5)\]

ខ. កំណត់ប្រភេទចតុកោណ $A'ABB'$៖

អង្កត់ $[A'A]$ ជាអង្កត់ដេកលើបន្ទាត់ $y = 6$ មានប្រវែង $A'A = 2 - (-2) = 4$។
អង្កត់ $[B'B]$ ជាអង្កត់ដេកលើបន្ទាត់ $y = 5$ មានប្រវែង $B'B = 5 - (-5) = 10$។
ដោយសារ $A'A \parallel B'B$ និង $A'A \ne B'B$ នាំឱ្យ $A'ABB'$ ជាចតុកោណព្នាយ។
គណនាប្រវែងជ្រុងទ្រេត៖
\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \\ A'B' &= \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \end{aligned}\]

ដោយសារ $AB = A'B' = \sqrt{10}$ នាំឱ្យចតុកោណ $A'ABB'$ ជា ចតុកោណព្នាយសមបាត (Isosceles trapezoid)។

១២លំហាត់ទី ១២

ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេឱ្យបន្ទាត់ $(L)$ មានសមីការ $2x + 3y = 6$ ។

រកកូអរដោនេចំណុច $A$ និង $B$ ដែលជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $(L)$ ជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេរៀងគ្នា ។
រកកូអរដោនេចំណុច $A'$ និង $B'$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃចំណុច $A$ និង $B$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។
សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(L')$ កាត់តាមពីរចំណុច $A'$ និង $B'$ ។
តើបន្ទាត់ $(L')$ និង $(L)$ មានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្ដេច?

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ $(L): 2x + 3y = 6$។

ក. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ $A$ និង $B$៖

ប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស ($y = 0$)៖ $2x = 6 \implies x = 3 \implies A(3, 0)$
ប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអរដោនេ ($x = 0$)៖ $3y = 6 \implies y = 2 \implies B(0, 2)$

ខ. រកកូអរដោនេ $A'$ និង $B'$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$៖ រូបមន្តឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$ គឺ $(x, y) \to (x, -y)$៖

\[\begin{aligned} A(3, 0) &\to A'(3, 0) \quad{} (\text{ព្រោះ } A \in Ox) \\ B(0, 2) &\to B'(0, -2) \end{aligned}\]

គ. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(L')$ កាត់តាម $A'$ និង $B'$៖ មេគុណប្រាប់ទិស៖ $m = \dfrac{-2 - 0}{0 - 3} = \dfrac{2}{3}$។

សមីការបន្ទាត់ $(L')$ គឺ៖

\[y = \frac{2}{3}x - 2 \iff 2x - 3y = 6\]

ឃ. ទំនាក់ទំនងរវាងបន្ទាត់ $(L')$ និង $(L)$៖ បន្ទាត់ទាំងពីរកាត់គ្នាត្រង់ចំណុច $A(3, 0)$ ដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សឆ្លុះ $Ox$។ មេគុណប្រាប់ទិសរបស់វាផ្ទុយគ្នា ($m_1 = -\dfrac{2}{3}$ និង $m_2 = \dfrac{2}{3}$)។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ចំណុច $M(x, y)$ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ $(L)$ ដែលមានសមីការ $3x + 2y = 6$ ។ តាង $M'$ ជារូបភាពនៃចំណុច $M$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ ។

បង្ហាញថាបីចំណុច $M, M'$ និង $O$ បង្កើតបានជាត្រីកោណសមបាតជានិច្ច ។
បើបីចំណុច $M, M'$ និង $O$ បង្កើតបានត្រីកោណសម័ង្ស ចូរកំណត់កូអរដោនេចំណុច $M$ និង $M'$ រួចរកផ្ទៃក្រឡារបស់ត្រីកោណសម័ង្សនេះ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $M(x, y)$ លើបន្ទាត់ $(L): 3x + 2y = 6$។ រូបភាពតាម $S_{Oy}$ គឺ $M'(-x, y)$។

ក. បង្ហាញថា $\triangle MM'O$ បង្កើតបានជាត្រីកោណសមបាតជានិច្ច៖ គណនាចម្ងាយពីគល់ $O(0, 0)$ ទៅចំណុចទាំងពីរ៖

\[\begin{aligned} OM &= \sqrt{x^2 + y^2} \\ OM' &= \sqrt{(-x)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \end{aligned}\]

ដោយសារ $OM = OM'$ ចំពោះគ្រប់ចំណុច $M$ នាំឱ្យ $\triangle MM'O$ ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល $O$ ជានិច្ច (ចំពោះ $x \ne 0$)។

ខ. កំណត់ចំណុច $M$ ដើម្បីឱ្យ $\triangle MM'O$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស និងរកផ្ទៃក្រឡា៖ ដើម្បីឱ្យ $\triangle MM'O$ សម័ង្ស លុះត្រាតែ $MM' = OM$៖

\[\begin{aligned} MM'^2 = OM^2 &\iff (2|x|)^2 = x^2 + y^2 \\ &\iff 4x^2 = x^2 + y^2 \iff y^2 = 3x^2 \\ &\iff y = \pm\sqrt{3}x \end{aligned}\]

ជំនួស $y$ ចូលក្នុងសមីការ $(L): 3x + 2y = 6$៖

- ករណីទី ១៖ $y = \sqrt{3}x$៖

\[\begin{aligned} 3x + 2\sqrt{3}x &= 6 \implies x(3 + 2\sqrt{3}) = 6 \\ x &= \frac{6}{3 + 2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} - 6 \approx 0.928 \end{aligned}\]

ទាញរក $y = \sqrt{3}(4\sqrt{3} - 6) = 12 - 6\sqrt{3} \approx 1.608$។

ប្រវែងជ្រុងសម័ង្សគឺ $a = 2x = 8\sqrt{3} - 12$។

ផ្ទៃក្រឡា $\triangle MM'O$ គឺ៖

\[\begin{aligned} S &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(8\sqrt{3} - 12)^2 \\ &= 84\sqrt{3} - 144 \approx 1.49 \text{ ឯកតាផ្ទៃ} \end{aligned}\]

- ករណីទី ២៖ $y = -\sqrt{3}x$៖

\[\begin{aligned} 3x - 2\sqrt{3}x &= 6 \implies x(3 - 2\sqrt{3}) = 6 \\ x &= -(4\sqrt{3} + 6), \quad{} y = 12 + 6\sqrt{3} \end{aligned}\]

ផ្ទៃក្រឡា៖ $S = 84\sqrt{3} + 144 \approx 289.49$ ឯកតាផ្ទៃ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ចំណុច $M(1, \alpha)$ បំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស បានចំណុច $M_1$ ។ ចំណុច $M_1$ បំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹង $y = x$ បានចំណុច $M_2(3, \beta)$ ។ រកតម្លៃ $\alpha$ និង $\beta$ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $M(1, \alpha)$ ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ($Ox$) បានចំណុច $M_1$៖

\[M_1(1, \, -\alpha)\]

ចំណុច $M_1(1, -\alpha)$ ឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ បានចំណុច $M_2$៖

\[M_2(-\alpha, \, 1)\]

ដោយសមត្ថកម្ម $M_2(3, \beta)$ យើងបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

\[\begin{cases} -\alpha = 3 \implies \alpha = -3 \\ \beta = 1 \end{cases}\]

ដូចនេះ $\alpha = -3$ និង $\beta = 1$។

១៥លំហាត់ទី ១៥

ការឆ្លុះលើផ្ទៃទឹក៖ ស្ពានតូចមួយមានរាងជាប៉ារ៉ាបូល ដែលអាចតាងដោយចំណុចបីនៅលើប្លង់កូអរដោនេគឺ $A(-2, 3), B(0, 5)$ និង $C(2, 3)$។ ផ្ទៃទឹកត្រូវបានតាងដោយអ័ក្សអាប់ស៊ីស ($x$-axis)។ នៅពេលព្រះអាទិត្យរះ គេឃើញស្រមោលស្ពានឆ្លុះលើផ្ទៃទឹក។

ចូររកកូអរដោនេនៃចំណុច $A', B', C'$ ដែលជាស្រមោលឆ្លុះនៃចំណុច $A, B, C$ ធៀបនឹងផ្ទៃទឹក។
ប្រសិនបើកម្ពស់ទឹកឡើងខ្ពស់ជាងមុន ដោយផ្ទៃទឹកថ្មីតាងដោយបន្ទាត់ $y = 1$ តើកូអរដោនេនៃចំណុចកំពូលស្ពាន $B$ ឆ្លុះធៀបនឹងផ្ទៃទឹកថ្មីមានកូអរដោនេប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេ $A', B', C'$ ឆ្លុះធៀបនឹងផ្ទៃទឹក (អ័ក្ស $Ox$)៖ រូបមន្តឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$ គឺ $(x, y) \to (x, -y)$៖

\[\begin{aligned} A(-2, 3) &\to A'(-2, -3) \\ B(0, 5) &\to B'(0, -5) \\ C(2, 3) &\to C'(2, -3) \end{aligned}\]

ខ. ឆ្លុះចំណុចកំពូល $B(0, 5)$ ធៀបនឹងផ្ទៃទឹកថ្មី $y = 1$៖ ផ្ទៃទឹកថ្មីជាបន្ទាត់ដេក $y = 1$ នាំឱ្យអាប់ស៊ីសមិនប្រែប្រួល ($x_{B''} = 0$)។

អរដោនេផ្ទៀងផ្ទាត់រូបមន្តចំណុចកណ្តាល $\dfrac{y_B + y_{B''}}{2} = 1$៖

\[y_{B''} = 2(1) - y_B = 2 - 5 = -3\]

ដូចនេះ កំពូលឆ្លុះធៀបនឹងផ្ទៃទឹកថ្មីគឺ $B''(0, -3)$។

១៦លំហាត់ទី ១៦

ការឌីហ្សាញសម្លៀកបំពាក់៖ អ្នកច្នៃម៉ូដម្នាក់ចង់បង្កើតកអាវដែលមានលក្ខណៈឆ្លុះគ្នាសងខាង (ស៊ីមេទ្រី)។ គាត់បានគូសពាក់កណ្តាលនៃកអាវនៅខាងស្តាំអ័ក្សអរដោនេ ($y$-axis) ដែលមានកំពូល $P(1, 4), Q(4, 3), R(3, 1)$ និង $S(0, 2)$។

ដើម្បីបញ្ចប់កអាវនេះ គាត់ត្រូវគូសផ្នែកម្ខាងទៀតដោយការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ។ ចូររកកូអរដោនេនៃកំពូលផ្នែកខាងឆ្វេង $P', Q', R'$ និង $S'$។
តើបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ចំណុច $Q$ និង $Q'$ មានលក្ខណៈយ៉ាងដូចម្តេចធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃកំពូលពាក់កណ្តាលខាងឆ្វេង $P', Q', R', S'$៖ អ័ក្សកណ្តាលនៃអាវគឺអ័ក្សអរដោនេ ($Oy$) ដែលមានសមីការ $x = 0$។

រូបមន្តឆ្លុះធៀបនឹង $Oy$ គឺ $(x, y) \to (-x, y)$៖

\[\begin{aligned} P(1, 4) &\to P'(-1, 4) \\ Q(4, 3) &\to Q'(-4, 3) \\ R(3, 1) &\to R'(-3, 1) \\ S(1, 1) &\to S'(-1, 1) \end{aligned}\]

ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃក្បាច់ទាំងសងខាង៖ ផ្ទៃក្រឡាពាក់កណ្តាលខាងស្តាំ $PQRS$ គណនាតាមរូបមន្តកូអរដោនេ (Shoelace formula)៖

\[\begin{aligned} S_1 &= \frac{1}{2} |x_P y_Q - x_Q y_P + x_Q y_R - x_R y_Q \\ &\quad{} + x_R y_S - x_S y_R + x_S y_P - x_P y_S| \\ &= \frac{1}{2} |3 - 16 + 4 - 9 + 3 - 1 + 4 - 1| \\ &= \frac{1}{2} |-13| = 6.5 \text{ ឯកតាផ្ទៃ} \end{aligned}\]

ដោយសារការបំប្លែងឆ្លុះរក្សាផ្ទៃក្រឡា ផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃក្បាច់ទាំងសងខាងគឺ៖

\[S_{\text{total}} = 2 \times S_1 = 2 \times 6.5 = 13 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

១៧លំហាត់ទី ១៧

គេឱ្យចំណុច $A(1, 8)$ និងបន្ទាត់ $(\Delta): y = 2x + 1$។

រកសមីការបន្ទាត់ $(d)$ កាត់តាមចំណុច $A$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ $(\Delta)$។
រកកូអរដោនេចំណុច $H$ ជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $(d)$ និង $(\Delta)$ (ចំណុច $H$ ជាចំណោលកែងនៃ $A$ លើ $(\Delta)$)។
កំណត់កូអរដោនេចំណុច $A'$ ជាភាពនៃចំណុច $A$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $(\Delta)$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(1, 8)$ និងបន្ទាត់ $(\Delta): y = 2x + 1$។

ក. រកសមីការបន្ទាត់ $(d)$ កាត់តាម $A$ និងកែងនឹង $(\Delta)$៖ បន្ទាត់ $(\Delta)$ មានមេគុណប្រាប់ទិស $m_1 = 2$។

បន្ទាត់ $(d) \perp (\Delta)$ មានមេគុណប្រាប់ទិស $m_2 = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac{1}{2}$។

សមីការបន្ទាត់ $(d)$ កាត់តាម $A(1, 8)$ គឺ៖

\[\begin{aligned} y - 8 = -\frac{1}{2}(x - 1) &\iff 2y - 16 = -x + 1 \\ &\iff x + 2y - 17 = 0 \end{aligned}\]

ខ. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ $H$ រវាង $(d)$ និង $(\Delta)$៖ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

\[\begin{cases} y = 2x + 1 \\ x + 2y = 17 \end{cases}\]

ជំនួសចូល៖

\[\begin{aligned} x + 2(2x + 1) = 17 &\iff 5x + 2 = 17 \\ &\implies 5x = 15 \implies x = 3 \end{aligned}\]

ទាញរក $y = 2(3) + 1 = 7$។ ដូចនេះ ចំណោលកែងគឺ $H(3, 7)$។

គ. រកកូអរដោនេនៃចំណុច $A'$ ជាភាពឆ្លុះនៃ $A$ ធៀបនឹង $(\Delta)$៖ ចំណុច $H$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $[AA']$៖

\[\begin{cases} x_{A'} = 2x_H - x_A = 2(3) - 1 = 5 \\ y_{A'} = 2y_H - y_A = 2(7) - 8 = 6 \end{cases} \implies A'(5, 6)\]

១៨លំហាត់ទី ១៨

គេឱ្យចំណុច $A(3, -5)$។ កំណត់កូអរដោនេនៃភាពរបស់ $A$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹង៖

អ័ក្សអាប់ស៊ីស ($Ox$)
អ័ក្សអរដោនេ ($Oy$)
គល់តម្រុយ $O$ (ឆ្លុះកណ្តាល)
បន្ទាត់ពុះទីមួយ $y = x$

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(3, -5)$៖

ក. ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $Ox$៖ រូបមន្ត $(x, y) \to (x, -y)$៖

\[A_1(3, \, -(-5)) = (3, 5)\]

ខ. ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $Oy$៖ រូបមន្ត $(x, y) \to (-x, y)$៖

\[A_2(-3, \, -5)\]

គ. ឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$៖ រូបមន្ត $(x, y) \to (y, x)$៖

\[A_3(-5, \, 3)\]

ឃ. ឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = -x$៖ រូបមន្ត $(x, y) \to (-y, -x)$៖

\[A_4(5, \, -3)\]

១៩លំហាត់ទី ១៩

គេឱ្យបន្ទាត់ $(d): 3x - 4y + 12 = 0$។ រកសមីការនៃបន្ទាត់ $(d')$ ជាភាពនៃ $(d)$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹង៖

អ័ក្ស $Ox$
អ័ក្ស $Oy$

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ $(d): 3x - 4y + 12 = 0$។

ក. ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $Ox$៖ កន្សោមបំប្លែង៖ $x = x', y = -y'$។ ជំនួសចូលសមីការ $(d)$៖

\[3x' - 4(-y') + 12 = 0 \iff 3x' + 4y' + 12 = 0\]

សមីការរូបភាពគឺ $3x + 4y + 12 = 0$។

ខ. ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $Oy$៖ កន្សោមបំប្លែង៖ $x = -x', y = y'$។ ជំនួសចូលសមីការ $(d)$៖

\[\begin{aligned} 3(-x') - 4y' + 12 = 0 &\iff -3x' - 4y' + 12 = 0 \\ &\iff 3x' + 4y' - 12 = 0 \end{aligned}\]

សមីការរូបភាពគឺ $3x + 4y - 12 = 0$។

គ. ឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$៖ កន្សោមបំប្លែង៖ $x = y', y = x'$។ ជំនួសចូលសមីការ $(d)$៖

\[\begin{aligned} 3(y') - 4(x') + 12 = 0 &\iff -4x' + 3y' + 12 = 0 \\ &\iff 4x' - 3y' - 12 = 0 \end{aligned}\]

សមីការរូបភាពគឺ $4x - 3y - 12 = 0$។

២០លំហាត់ទី ២០

គេឱ្យរង្វង់ $(C): (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$។ រកសមីការរង្វង់ $(C')$ ជាភាពនៃ $(C)$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះ $y = x$។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់ $(C): (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$ មានផ្ចិត $I(3, 4)$ និងកាំ $R = \sqrt{16} = 4$។

ដោយសារការបំប្លែងឆ្លុះជាអ៊ីសូមេទ្រី រង្វង់រូបភាពមានកាំស្មើនឹងរង្វង់ដើម គឺ $R' = R = 4$។

ក. ឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$៖ ផ្ចិតថ្មី $I_1(3, -4)$។ សមីការរូបភាពគឺ $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$។

ខ. ឆ្លុះធៀបនឹង $Oy$៖ ផ្ចិតថ្មី $I_2(-3, 4)$។ សមីការរូបភាពគឺ $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$។

គ. ឆ្លុះធៀបនឹង $y = x$៖ ផ្ចិតថ្មី $I_3(4, 3)$។ សមីការរូបភាពគឺ $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 16$។

២១លំហាត់ទី ២១

គេឱ្យចំណុច $M(2, 3)$ និងបន្ទាត់ $(\Delta): x = 1$។

រកកូអរដោនេនៃចំណុច $M'$ ជាភាពនៃ $M$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះអ័ក្ស $S_\Delta$។
បង្ហាញថា $(\Delta)$ ជាបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $[MM']$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $M(2, 3)$ និងបន្ទាត់ឈរ $(\Delta): x = 1$។

ក. រកកូអរដោនេនៃភាព $M'$ តាម $S_\Delta$៖ ដោយ $(\Delta)$ ជាបន្ទាត់ឈរ អរដោនេមិនប្រែប្រួល ($y_{M'} = 3$)។

អាប់ស៊ីសផ្ទៀងផ្ទាត់ $\dfrac{x_M + x_{M'}}{2} = 1$៖

\[x_{M'} = 2(1) - x_M = 2 - 2 = 0 \implies M'(0, 3)\]

ខ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $(\Delta)$ ជាមេដ្យាទ័រនៃ $[MM']$៖

ចំណុចកណ្តាលនៃ $[MM']$ គឺ $H\left(\dfrac{2 + 0}{2}, \, \dfrac{3 + 3}{2}\right) = (1, 3)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x = 1 \implies H \in (\Delta)$។
បន្ទាត់ $(MM')$ ជាបន្ទាត់ដេក ($y = 3$) ស្របនឹង $Ox$ ហេតុនេះវាពិតជាកែងនឹងបន្ទាត់ឈរ $(\Delta): x = 1$។

ដូចនេះ $(\Delta)$ ពិតជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $[MM']$។

២២លំហាត់ទី ២២

គេឱ្យចំណុច $A(4, 1)$ និងបន្ទាត់ $(\Delta): y = -2$។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $A'$ ជាភាពនៃ $A$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះ $S_\Delta$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(4, 1)$ និងបន្ទាត់ដេក $(\Delta): y = -2$។

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ដេក $y = c$ រក្សាទុកអាប់ស៊ីសដដែល ($x_{A'} = x_A = 4$)។

អរដោនេនៃរូបភាព $A'$ ផ្ទៀងផ្ទាត់រូបមន្តចំណុចកណ្តាល៖

\[\begin{aligned} \frac{y_A + y_{A'}}{2} = -2 &\implies y_{A'} = 2(-2) - y_A \\ &= -4 - 1 = -5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុចរូបភាពគឺ $A'(4, -5)$។

២៣លំហាត់ទី ២៣

បង្ហាញថាការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់មួយ ជាអ៊ីសូមេទ្រីប្រឆាំង (Opposite Isometry) ដែលត្រឡប់ទិសដៅតម្រង់ទិសនៃប្លង់ (Orientation)។

មើលដំណោះស្រាយ

១. ការបំប្លែងឆ្លុះជាអ៊ីសូមេទ្រី (Isometry)៖ យកពីរចំណុច $A(x_A, y_A)$ និង $B(x_B, y_B)$។ ចំពោះការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $Ox$ រូបភាពគឺ $A'(x_A, -y_A)$ និង $B'(x_B, -y_B)$។

ប្រវែងអង្កត់រូបភាពគឺ៖

\[\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (-y_B - (-y_A))^2} \\ &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = AB \end{aligned}\]

ដូចនេះ ការបំប្លែងឆ្លុះរក្សាទុកប្រវែងអង្កត់ ហេតុនេះវាជាអ៊ីសូមេទ្រី (Isometry)។

២. ជាអ៊ីសូមេទ្រីប្រឆាំង (Opposite Isometry)៖ ពិនិត្យទិសដៅនៃមុំតម្រង់ទិស៖ បើតេត្រាកោណ ឬត្រីកោណ $ABC$ មានកំពូលរៀបតាមទិសច្រាសទ្រនិចនាឡិកា (ទិសវិជ្ជមាន) នោះរូបភាពឆ្លុះ $A'B'C'$ នឹងត្រូវរៀបតាមទិសទ្រនិចនាឡិកា (ទិសអវិជ្ជមាន) វិញ ពោលគឺវាត្រឡប់ទិសដៅតម្រង់ទិស (Orientation) នៃប្លង់។

ម៉្យាងទៀត ម៉ាទ្រីសតំណាងនៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹង $Ox$ គឺ $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ដែលមានដេទែរមីណង់ $\det = 1(-1) - 0 = -1 < 0$។

ហេតុនេះ ការបំប្លែងឆ្លុះជាអ៊ីសូមេទ្រីប្រឆាំង (Opposite Isometry)។

២៤លំហាត់ទី ២៤

គេឱ្យចំណុច $P(x, y)$ និងបន្ទាត់ $(\Delta): y = -x$។

បង្ហាញថារូបភាពនៃ $P$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះ $S_\Delta$ គឺ $P'(-y, -x)$។
អនុវត្ត៖ រកភាពនៃ $A(2, -3)$ និង $B(-4, 5)$ តាម $S_\Delta$។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បង្ហាញថារូបភាពនៃ $P(x, y)$ តាម $S_\Delta$ គឺ $P'(-y, -x)$៖ បន្ទាត់ $(\Delta): y = -x \iff x + y = 0$ មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n} = (1, 1)$។

បន្ទាត់ $(d)$ កាត់តាម $P(x, y)$ កែងនឹង $(\Delta)$ មានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

\[\begin{cases} x(t) = x + t \\ y(t) = y + t \end{cases}\]

ចំណោលកែង $H$ លើ $(\Delta)$ ត្រូវនឹងតម្លៃ $t$ ដែល $(x + t) + (y + t) = 0 \implies 2t = -(x + y) \implies t = -\dfrac{x + y}{2}$។

ចំណុចឆ្លុះ $P'$ ត្រូវនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $2t = -(x + y)$៖

\[\begin{aligned} x' &= x + 2t = x - (x + y) = -y \\ y' &= y + 2t = y - (x + y) = -x \end{aligned}\]

ដូចនេះ រូបភាពគឺ $P'(-y, -x)$។

ខ. អនុវត្តចំពោះចំណុច $A(2, -3)$ និង $B(-4, 5)$៖

\[\begin{aligned} A(2, -3) &\xrightarrow{S_\Delta} A'(-(-3), \, -2) = (3, -2) \\ B(-4, 5) &\xrightarrow{S_\Delta} B'(-5, \, -(-4)) = (-5, 4) \end{aligned}\]

២៥លំហាត់ទី ២៥

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា $(d_1): x = 1$ និង $(d_2): x = 4$។

កំណត់ការបំប្លែងបណ្តាក់ $S_{d_2} \circ S_{d_1}$។
បញ្ជាក់ថាការបំប្លែងបណ្តាក់នេះជាការបំប្លែងកិល និងកំណត់វ៉ិចទ័រកិល $\vec{u}$។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ពីរស្របគ្នា $(d_1): x = 1$ និង $(d_2): x = 4$។

ក. កំណត់ការបំប្លែងបណ្តាក់ $S_{d_2} \circ S_{d_1}$៖ យកចំណុច $M(x, y)$ ណាមួយក្នុងប្លង់៖

ឆ្លុះធៀបនឹង $(d_1): x = 1$ បាន $M_1(x_1, y_1)$ ដោយ $x_1 = 2(1) - x = 2 - x$ និង $y_1 = y$។
ឆ្លុះ $M_1$ ធៀបនឹង $(d_2): x = 4$ បាន $M'(x', y')$ ដោយ៖
\[x' = 2(4) - x_1 = 8 - (2 - x) = x + 6, \quad{} y' = y_1 = y\]

ខ. បញ្ជាក់ប្រភេទនៃការបំប្លែង និងកំណត់វ៉ិចទ័រកិល $\vec{u}$៖ កន្សោមបំប្លែងលទ្ធផលគឺ $\begin{cases} x' = x + 6 \\ y' = y \end{cases}$ ដែលជាកន្សោមនៃការបំប្លែងកិល $t_{\vec{u}}$។

វ៉ិចទ័រកិលគឺ $\vec{u} = (6, 0)$។

ចំណាំ៖ ប្រវែងវ៉ិចទ័រកិលស្មើពីរដងនៃចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ស្របគ្នាទាំងពីរ៖ $\|\vec{u}\| = 2 \times |4 - 1| = 2 \times 3 = 6$។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរកាត់គ្នា $(d_1): y = 0$ ($Ox$) និង $(d_2): y = x$ (បង្កើតមុំ $45^\circ$)។

កំណត់ការបំប្លែងបណ្តាក់ $S_{d_2} \circ S_{d_1}$។
បញ្ជាក់ថាការបំប្លែងបណ្តាក់នេះជាការបំប្លែងវិល និងកំណត់ផ្ចិតនិងមុំវិល។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ពីរកាត់គ្នា $(d_1): y = 0$ (អ័ក្ស $Ox$) និង $(d_2): y = x$ (មុំ $\theta = 45^\circ$)។

ក. កំណត់ការបំប្លែងបណ្តាក់ $S_{d_2} \circ S_{d_1}$៖ យកចំណុច $M(x, y)$ ណាមួយក្នុងប្លង់៖

ឆ្លុះធៀបនឹង $(d_1): y = 0$ បាន $M_1(x, -y)$។
ឆ្លុះ $M_1(x, -y)$ ធៀបនឹង $(d_2): y = x$ បាន $M'(-y, x)$។

ដូចនេះ កន្សោមនៃការបំប្លែងបណ្តាក់គឺ $\begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases}$។

ខ. បញ្ជាក់ប្រភេទនៃការបំប្លែង និងកំណត់ផ្ចិតនិងមុំវិល៖ កន្សោម $\begin{cases} x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha \end{cases}$ ជាមួយ $\alpha = 90^\circ$ ផ្ដល់ $\begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases}$។

ដូចនេះ ការបំប្លែងបណ្តាក់នៃបន្ទាត់កាត់គ្នាទាំងពីរនេះ គឺជាការបំប្លែងវិល (Rotation) $R_{(O, 90^\circ)}$ ដែលមាន៖

ផ្ចិតវិលគឺគល់ $O(0, 0)$ (ចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ)
មុំវិលគឺ $\alpha = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$ (ពីរដងនៃមុំរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ)

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេឱ្យប៉ារ៉ាបូល $(P): y = x^2 - 2x$។ រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូល $(P')$ ជាភាពនៃ $(P)$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $Ox$។

មើលដំណោះស្រាយ

ប៉ារ៉ាបូល $(P): y = x^2 - 2x$។

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ($Ox$) មានរូបមន្ត៖

\[\begin{cases} x' = x \implies x = x' \\ y' = -y \implies y = -y' \end{cases}\]

ជំនួស $x$ និង $y$ ចូលក្នុងសមីការប៉ារ៉ាបូលដើម $(P)$៖

\[\begin{aligned} -y' &= x'^2 - 2x' \\ y' &= -x'^2 + 2x' \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការប៉ារ៉ាបូលរូបភាព $(P')$ គឺ $y = -x^2 + 2x$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

គេឱ្យត្រីកោណ $ABC$ មានកំពូល $A(1, 2), B(4, 1), C(2, 5)$។

រកកូអរដោនេកំពូលនៃ $\triangle A'B'C'$ ជាភាពនៃ $\triangle ABC$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $Oy$។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ $\triangle ABC$ និង $\triangle A'B'C'$ រួចប្រៀបធៀប។

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណ $ABC$ មានកំពូល $A(1, 2), B(4, 1), C(2, 5)$។

ក. រកកូអរដោនេកំពូលនៃ $\triangle A'B'C'$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹង $Oy$៖ រូបមន្តឆ្លុះធៀបនឹង $Oy$ គឺ $(x, y) \to (-x, y)$៖

\[\begin{aligned} A(1, 2) &\to A'(-1, 2) \\ B(4, 1) &\to B'(-4, 1) \\ C(2, 5) &\to C'(-2, 5) \end{aligned}\]

ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ $\triangle ABC$ និង $\triangle A'B'C'$ រួចប្រៀបធៀប៖ តាមរូបមន្តកូអរដោនេនៃផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ៖

\[\begin{aligned} S_{ABC} &= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) \\ &\quad{} + x_C(y_A - y_B)| \\ &= \frac{1}{2} |-4 + 12 + 2| = \frac{10}{2} = 5 \text{ ឯកតាផ្ទៃ} \end{aligned}\]

គណនាផ្ទៃក្រឡា $\triangle A'B'C'$៖

\[\begin{aligned} S_{A'B'C'} &= \frac{1}{2} |(-1)(1 - 5) + (-4)(5 - 2) \\ &\quad{} + (-2)(2 - 1)| \\ &= \frac{1}{2} |4 - 12 - 2| = \frac{10}{2} = 5 \text{ ឯកតាផ្ទៃ} \end{aligned}\]

យើងឃើញថា $S_{A'B'C'} = S_{ABC} = 5$ ឯកតាផ្ទៃ (ការបំប្លែងឆ្លុះរក្សាផ្ទៃក្រឡា)។

២៩លំហាត់ទី ២៩

កំណត់សំណុំចំណុចមិនប្រែប្រួល (Fixed points) នៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $(d)$។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមនិយមន័យ ចំណុច $M$ គឺជាចំណុចមិនប្រែប្រួល (Fixed point) នៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $(d)$ លុះត្រាតែរូបភាពរបស់វាជាចំណុចខ្លួនឯង៖

\[S_d(M) = M\]

តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រនៃការបំប្លែងឆ្លុះអ័ក្ស៖

បើ $M \notin (d)$ នោះ $(d)$ ជាមេដ្យាទ័រនៃ $[MM']$ ដែលនាំឱ្យ $M' \ne M$ ជានិច្ច។
បើ $M \in (d)$ នោះចម្ងាយពី $M$ ទៅបន្ទាត់ $(d)$ ស្មើ $0$ នាំឱ្យរូបភាពរបស់វាត្រួតស៊ីគ្នាលើខ្លួនឯង ពោលគឺ $S_d(M) = M$។

ដូចនេះ សំណុំចំណុចមិនប្រែប្រួលទាំងអស់នៃការបំប្លែងឆ្លុះ $S_d$ គឺបន្ទាត់ $(d)$ ទាំងមូល។

៣០លំហាត់ទី ៣០

បង្ហាញថា ប្រសិនបើបន្ទាត់ $(\Delta)$ កែងនឹងអ័ក្សឆ្លុះ $(d)$ នោះភាពនៃ $(\Delta)$ តាម $S_d$ គឺបន្ទាត់ $(\Delta)$ ខ្លួនឯង ($(\Delta') \equiv (\Delta)$)។

មើលដំណោះស្រាយ

យកបន្ទាត់ $(\Delta)$ ដែលកែងនឹងអ័ក្សឆ្លុះ $(d)$ ត្រង់ចំណុច $H$ ($(\Delta) \cap (d) = \{H\}$)។

យកចំណុច $M$ ណាមួយនៅលើបន្ទាត់ $(\Delta)$៖

បើ $M \equiv H$ នោះ $S_d(H) = H \in (\Delta)$។
បើ $M \ne H$ នោះរូបភាពឆ្លុះ $M' = S_d(M)$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $(d)$ ជាមេដ្យាទ័រនៃ $[MM']$ នាំឱ្យ $(MM') \perp (d)$ ត្រង់ចំណុចកណ្តាល $K \in (d)$។

ដោយសារតាមចំណុច $M$ មានបន្ទាត់តែមួយគត់ដែលកែងនឹង $(d)$ នោះគឺបន្ទាត់ $(\Delta)$ នាំឱ្យបន្ទាត់ $(MM')$ ត្រូវតែត្រួតស៊ីគ្នាលើបន្ទាត់ $(\Delta)$។

ហេតុនេះ ចំណុចរូបភាព $M'$ ត្រូវតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ $(\Delta)$ ជានិច្ច ($M' \in (\Delta)$)។

ដោយគ្រប់ចំណុចនៃភាពសុទ្ធតែស្ថិតនៅលើ $(\Delta)$ យើងទាញបានថា៖

\[S_d(\Delta) \equiv (\Delta)\]

ពោលគឺរូបភាពនៃបន្ទាត់កែងនឹងអ័ក្សឆ្លុះ គឺបន្ទាត់ខ្លួនឯងដដែល។

៣១លំហាត់ទី ៣១

គេឱ្យរង្វង់ $(C): x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$។ រកសមីការរង្វង់ $(C')$ ជាភាពនៃ $(C)$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់ $(C): x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$។

សរសេរជាទម្រង់ស្ដង់ដា៖

\[\begin{aligned} (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) - 9 - 16 &= 0 \\ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 &= 25 \end{aligned}\]

នាំឱ្យ $(C)$ មានផ្ចិត $I(3, -4)$ និងកាំ $R = \sqrt{25} = 5$។

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ប្តូរកូអរដោនេ $(x, y) \to (y, x)$៖

ផ្ចិតថ្មី $I'$ នៃ $(C')$៖
\[I'(-4, 3)\]
កាំថ្មីរក្សាដដែល៖ $R' = R = 5$

សមីការរង្វង់រូបភាព $(C')$ គឺ៖

\[(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 25\]

(ឬពន្លាត៖ $x^2 + y^2 + 8x - 6y = 0$)។

៣២លំហាត់ទី ៣២

គេឱ្យចំណុច $A(1, 4)$ និង $B(5, 2)$ ស្ថិតនៅខាងតែមួយនៃបន្ទាត់ $(d): y = 0$ ($Ox$)។

រកចំណុច $A'$ ជាភាពនៃ $A$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះ $S_d$។
រកកូអរដោនេនៃចំណុច $M \in (d)$ ដើម្បីឱ្យផលបូកចម្ងាយ $MA + MB$ មានតម្លៃតូចបំផុត (បញ្ហា Heron)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(1, 4)$ និង $B(5, 2)$ ស្ថិតនៅខាងលើអ័ក្ស $Ox$។

ក. រកចំណុចឆ្លុះ $A'$ នៃ $A$ ធៀបនឹង $Ox$៖

\[A'(1, -4)\]

ខ. កំណត់ចំណុច $M \in Ox$ ដើម្បីឱ្យ $AM + MB$ មានតម្លៃតូចបំផុត៖ ចំពោះគ្រប់ចំណុច $M \in Ox$ ដោយសារ $Ox$ ជាមេដ្យាទ័រនៃ $[AA']$ នាំឱ្យ $AM = A'M$។

ផលបូកចម្ងាយក្លាយជា៖

\[AM + MB = A'M + MB \ge A'B\]

តម្លៃតូចបំផុតសម្រេចបាននៅពេល $M$ ស្ថិតនៅលើអង្កត់ត្រង់ $[A'B]$ ពោលគឺ $M$ ជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $(A'B)$ និងអ័ក្ស $Ox$។

សមីការបន្ទាត់ $(A'B)$ កាត់តាម $A'(1, -4)$ និង $B(5, 2)$៖

\[m = \frac{2 - (-4)}{5 - 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

\[\begin{aligned} y - 2 = \frac{3}{2}(x - 5) &\iff 2y - 4 = 3x - 15 \\ &\iff 3x - 2y - 11 = 0 \end{aligned}\]

ប្រសព្វជាមួយ $Ox$ ($y = 0$)៖ $3x - 11 = 0 \implies x = \dfrac{11}{3}$។

ដូចនេះ ចំណុចត្រូវការគឺ $M\left(\dfrac{11}{3}, 0\right)$។

ចម្ងាយតូចបំផុតគឺ $A'B = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21$ ឯកតា។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គេឱ្យការបំប្លែងឆ្លុះ $S_d$។ បង្ហាញថា $S_d \circ S_d = \text{Id}$ (ការបំប្លែងឆ្លុះជាការបំប្លែងច្រាសនៃខ្លួនឯង Involution)។

មើលដំណោះស្រាយ

យកចំណុច $M$ ណាមួយក្នុងប្លង់។

តាង $M' = S_d(M)$ ជារូបភាពនៃ $M$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $(d)$។

តាមនិយមន័យនៃការបំប្លែងឆ្លុះ បន្ទាត់ $(d)$ គឺជាបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $[MM']$។

នៅពេលយើងអនុវត្តការបំប្លែងឆ្លុះ $S_d$ ម្តងទៀតលើចំណុច $M'$៖

\[M'' = S_d(M')\]

ដោយសារ $(d)$ ជាបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $[MM']$ ដែលជាអង្កត់ $[M'M]$ ដដែល នាំឱ្យរូបភាពនៃ $M'$ តាម $S_d$ គឺជាចំណុច $M$ វិញ៖

\[M'' = M \iff S_d(S_d(M)) = M\]

សមភាពនេះផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចំណុច $M$ ក្នុងប្លង់ នាំឱ្យ៖

\[S_d \circ S_d = \text{Id}\]

ពោលគឺការបំប្លែងឆ្លុះជាការបំប្លែងស្វ័យច្រាស (Involutory transformation)។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គេឱ្យចំណុច $A(2, 3)$ និងបន្ទាត់ $(d): x + y - 1 = 0$។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $A'$ ជាភាពនៃ $A$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះ $S_d$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(2, 3)$ និងបន្ទាត់ $(d): x + y - 1 = 0$។

បន្ទាត់ $(d)$ មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n} = (1, 1)$។

បន្ទាត់ $(\Delta)$ កាត់តាម $A$ និងកែងនឹង $(d)$ មានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

\[\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + t \end{cases}\]

រកប្រសព្វ $H$ រវាង $(\Delta)$ និង $(d)$ ដោយជំនួសចូលសមីការ $(d)$៖

\[\begin{aligned} (2 + t) + (3 + t) - 1 = 0 &\iff 2t + 4 = 0 \\ &\implies t = -2 \end{aligned}\]

ចំណោលកែងគឺ $H(2 - 2, 3 - 2) = (0, 1)$។

ចំណុចឆ្លុះ $A'$ ត្រូវនឹងតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $2t = -4$៖

\[\begin{cases} x_{A'} = 2 + (-4) = -2 \\ y_{A'} = 3 + (-4) = -1 \end{cases} \implies A'(-2, -1)\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុចឆ្លុះគឺ $A'(-2, -1)$។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គេឱ្យត្រីកោណ $ABC$។ សង់ភាពនៃត្រីកោណ $ABC$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះមុំ $\widehat{A}$។ បង្ហាញថាបើសិនជា $\triangle ABC$ សមបាតត្រង់ $A$ នោះភាពនៃ $\triangle ABC$ ត្រួតស៊ីគ្នាលើខ្លួនឯង។

មើលដំណោះស្រាយ

តាង $(\Delta)$ ជាបន្ទាត់ពុះនៃមុំ $\widehat{A}$ នៃត្រីកោណ $ABC$។

បន្ទាត់ $(\Delta)$ ចែកមុំ $\widehat{A}$ ជាពីរមុំស្មើគ្នា គឺ $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (ដែល $M \in (\Delta)$)។

តាមការបំប្លែងឆ្លុះ $S_\Delta$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះនេះ៖

កំពូល $A \in (\Delta)$ នាំឱ្យ $S_\Delta(A) = A$ (ចំណុចមិនប្រែប្រួល)។
កន្លះបន្ទាត់ $[AB)$ ប្លែងទៅជាកន្លះបន្ទាត់ $[AC)$។

បើសិនជា $\triangle ABC$ សមបាតត្រង់ $A$ នោះគេមាន $AB = AC$។

ដោយសារការបំប្លែងឆ្លុះរក្សាប្រវែងអង្កត់ ចំណុច $B$ លើកន្លះបន្ទាត់ $[AB)$ ដែលមានចម្ងាយ $AB$ ពី $A$ នឹងត្រូវប្លែងទៅជាចំណុចលើកន្លះបន្ទាត់ $[AC)$ ដែលមានចម្ងាយស្មើ $AB = AC$ ពី $A$ នោះគឺចំណុច $C$៖

\[S_\Delta(B) = C \quad{} \text{និង} \quad{} S_\Delta(C) = B\]

ដូចនេះ រូបភាពនៃត្រីកោណ $ABC$ តាម $S_\Delta$ គឺត្រីកោណ $ACB$ ដែលត្រួតស៊ីគ្នាទាំងស្រុងលើ $\triangle ABC$ ដើម។

ហេតុនេះ បន្ទាត់ពុះមុំកំពូលនៃត្រីកោណសមបាត គឺជាអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃត្រីកោណនោះ។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

រកអ័ក្សឆ្លុះ (អ័ក្សស៊ីមេទ្រី) នៃក្រាបអនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$)។

មើលដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$)។

សរសេរជាទម្រង់កាណូនិច៖

\[\begin{aligned} y &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \end{aligned}\]

កំពូលនៃប៉ារ៉ាបូលគឺចំណុច $V\left(-\dfrac{b}{2a}, \, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$។

ក្រាបប៉ារ៉ាបូលមានលក្ខណៈស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងបន្ទាត់ឈរដែលកាត់តាមកំពូល $V$។

ដូចនេះ អ័ក្សឆ្លុះ (អ័ក្សស៊ីមេទ្រី) នៃក្រាបប៉ារ៉ាបូលគឺបន្ទាត់ឈរដែលមានសមីការ៖

\[x = -\frac{b}{2a}\]

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

(PISA - ច្បាប់ចំណាំងផ្លាតនៃពន្លឺ) កាំរស្មីពន្លឺមួយចេញពីប្រភព $S(2, 5)$ ទៅប៉ះកញ្ចក់រាបដែលតាងដោយអ័ក្ស $Ox$ ត្រង់ចំណុច $P$ រួចជះត្រឡប់ទៅប៉ះចំណុចទទួល $R(8, 3)$។

រកចំណុចឆ្លុះ $S'$ នៃ $S$ ធៀបនឹងអ័ក្ស $Ox$។
រកកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ $P$ លើកញ្ចក់រាប។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាមុំចាំងស្មើនឹងមុំផ្លាត ($\theta_i = \theta_r$)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកចំណុចឆ្លុះ $S'$ នៃ $S(2, 5)$ ធៀបនឹងអ័ក្ស $Ox$៖

\[S'(2, -5)\]

ខ. រកកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ $P$ លើកញ្ចក់រាប $Ox$៖ តាមគោលការណ៍ Fermat ពន្លឺធ្វើដំណើរតាមផ្លូវខ្លីបំផុត។ ចំណុចប៉ះ $P$ គឺជាប្រសព្វរវាងអង្កត់ត្រង់ $[S'R]$ ជាមួយអ័ក្ស $Ox$។

បន្ទាត់ $(S'R)$ កាត់តាម $S'(2, -5)$ និង $R(8, 3)$៖

\[m = \frac{3 - (-5)}{8 - 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\]

សមីការបន្ទាត់ $(S'R)$៖

\[y - 3 = \frac{4}{3}(x - 8) \iff y = \frac{4}{3}x - \frac{23}{3}\]

ប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស $Ox$ ($y = 0$)៖

\[\frac{4}{3}x - \frac{23}{3} = 0 \implies 4x = 23 \implies x = \frac{23}{4} = 5.75\]

ដូចនេះ ចំណុចប៉ះលើកញ្ចក់គឺ $P(5.75, 0)$ ឬ $P\left(\dfrac{23}{4}, 0\right)$។

គ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាមុំចាំងស្មើនឹងមុំផ្លាត ($\theta_i = \theta_r$)៖ ក្នុង $\triangle SPS'$ ដោយសារ $Ox$ ជាមេដ្យាទ័រនៃ $[SS']$ នាំឱ្យ $\triangle SPS'$ ជាត្រីកោណសមបាតត្រង់ $P$ ហេតុនេះ $\widehat{SPO} = \widehat{S'PO}$។

ម៉្យាងទៀត មុំ $\widehat{S'PO}$ និងមុំ $\widehat{RPO'}$ ជាមុំទល់កំពូល នាំឱ្យ $\widehat{S'PO} = \widehat{RPO'}$។

ពីសមភាពទាំងពីរ យើងទាញបាន $\widehat{SPO} = \widehat{RPO'}$។ ដោយសារមុំចាំងនិងមុំផ្លាតជាមុំបំពេញនៃមុំទាំងនេះ នាំឱ្យមុំចាំងស្មើនឹងមុំផ្លាត ($\theta_i = \theta_r$)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គេឱ្យចំណុច $M(x, y)$ និងរូបភាព $M'(x', y')$ កំណត់ដោយ $\begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases}$។

បញ្ជាក់ប្រភេទនៃការបំប្លែងធរណីមាត្រនេះ។
រកភាពនៃបន្ទាត់ $(D): 2x + 5y - 7 = 0$ តាមការបំប្លែងនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បញ្ជាក់ប្រភេទនៃការបំប្លែងធរណីមាត្រ៖ កន្សោមបំប្លែង $\begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases}$ គឺជាការប្តូរតួនាទីរវាងកូអរដោនេ $x$ និង $y$។

នេះគឺជាកន្សោមវិភាគនៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះទីមួយ $y = x$ ($S_{y=x}$)។

ខ. រកភាពនៃបន្ទាត់ $(D): 2x + 5y - 7 = 0$ តាមការបំប្លែងនេះ៖ រូបមន្តបំប្លែងច្រាសគឺ $x = y'$ និង $y = x'$។

ជំនួសចូលសមីការបន្ទាត់ $(D)$៖

\[\begin{aligned} 2(y') + 5(x') - 7 &= 0 \\ 5x' + 2y' - 7 &= 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សមីការបន្ទាត់រូបភាព $(D')$ គឺ $5x + 2y - 7 = 0$។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គេឱ្យការ៉េ $ABCD$។ តើការ៉េនេះមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រី (អ័ក្សឆ្លុះ) ប៉ុន្មាន? ចូររៀបរាប់ឈ្មោះអ័ក្សនីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

ការ៉េ $ABCD$ មានអ័ក្សស៊ីមេទ្រី (អ័ក្សឆ្លុះ) សរុបចំនួន ៤ រួមមាន៖

អ័ក្សមេដ្យាទ័រទី ១៖ បន្ទាត់កាត់តាមចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងឈម $[AB]$ និង $[CD]$។
អ័ក្សមេដ្យាទ័រទី ២៖ បន្ទាត់កាត់តាមចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងឈម $[AD]$ និង $[BC]$។
អ័ក្សអង្កត់ទ្រូងទី ១៖ បន្ទាត់កាត់តាមអង្កត់ទ្រូង $(AC)$។
អ័ក្សអង្កត់ទ្រូងទី ២៖ បន្ទាត់កាត់តាមអង្កត់ទ្រូង $(BD)$។

ការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សទាំង ៤ នេះ សុទ្ធតែប្លែងការ៉េឱ្យត្រួតស៊ីគ្នាលើខ្លួនឯងដដែល។

៤០លំហាត់ទី ៤០

គេឱ្យបន្ទាត់ $(d_1): y = 2$ និង $(d_2): y = 6$។ រករូបភាពនៃចំណុច $A(3, 1)$ តាមការបំប្លែងបណ្តាក់ $S_{d_2} \circ S_{d_1}$ និងតាម $S_{d_1} \circ S_{d_2}$។ តើលទ្ធផលទាំងពីរដូចគ្នាឬទេ? ហេតុអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(3, 1)$ និងបន្ទាត់ស្របគ្នា $(d_1): y = 2$ និង $(d_2): y = 6$។

១. គណនា $(S_{d_2} \circ S_{d_1})(A)$៖

ឆ្លុះធៀបនឹង $(d_1): y = 2$៖ $x_1 = 3, y_1 = 2(2) - 1 = 3 \implies A_1(3, 3)$
ឆ្លុះ $A_1$ ធៀបនឹង $(d_2): y = 6$៖ $x' = 3, y' = 2(6) - 3 = 9 \implies (S_{d_2} \circ S_{d_1})(A) = (3, 9)$

២. គណនា $(S_{d_1} \circ S_{d_2})(A)$៖

ឆ្លុះធៀបនឹង $(d_2): y = 6$៖ $x_2 = 3, y_2 = 2(6) - 1 = 11 \implies A_2(3, 11)$
ឆ្លុះ $A_2$ ធៀបនឹង $(d_1): y = 2$៖ $x'' = 3, y'' = 2(2) - 11 = -7 \implies (S_{d_1} \circ S_{d_2})(A) = (3, -7)$

ការប្រៀបធៀប និងពន្យល់៖ លទ្ធផលទាំងពីរមិនដូចគ្នាទេ ($(3, 9) \ne (3, -7)$) ពីព្រោះការបំប្លែងបណ្តាក់នៃការឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ស្របគ្នាពីរជាការបំប្លែងកិល ហើយ $S_{d_2} \circ S_{d_1} = t_{\vec{u}}$ និង $S_{d_1} \circ S_{d_2} = t_{-\vec{u}}$ ជាការកិលតាមវ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នា ($\vec{u} = (0, 8)$ និង $-\vec{u} = (0, -8)$)។

៤១លំហាត់ទី ៤១

គេឱ្យចំណុច $A(1, 3)$ និង $B(5, 7)$។ រកសមីការនៃអ័ក្សឆ្លុះ $(d)$ ដែលប្លែងចំណុច $A$ ទៅជាចំណុច $B$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $A(1, 3)$ និង $B(5, 7)$។

អ័ក្សឆ្លុះ $(d)$ ដែលប្លែង $A$ ទៅជា $B$ គឺជាបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $[AB]$។

កូអរដោនេចំណុចកណ្តាល $M$ នៃ $[AB]$៖
\[M\left(\frac{1 + 5}{2}, \, \frac{3 + 7}{2}\right) = M(3, 5)\]
វ៉ិចទ័រ $\overrightarrow{AB} = (5 - 1, \, 7 - 3) = (4, 4) = 4(1, 1)$។

ដោយសារ $(d) \perp [AB]$ នោះ $\vec{n} = (1, 1)$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់ $(d)$។

សមីការបន្ទាត់ $(d)$ កាត់តាម $M(3, 5)$ និងមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n} = (1, 1)$ គឺ៖

\[1(x - 3) + 1(y - 5) = 0 \iff x + y - 8 = 0\]

ដូចនេះ សមីការអ័ក្សឆ្លុះគឺ $(d): x + y - 8 = 0$។

៤២លំហាត់ទី ៤២

បង្ហាញថា រូបភាពនៃរង្វង់មួយតាមការបំប្លែងឆ្លុះអ័ក្ស គឺជារង្វង់មួយដែលមានកាំស្មើនឹងកាំដើម ហើយផ្ចិតរបស់វាជាចំណុចឆ្លុះនៃផ្ចិតដើម។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងរង្វង់ $(C)$ មានផ្ចិត $I$ និងកាំ $R$។ តាមនិយមន័យ រង្វង់គឺជាសំណុំចំណុច $M$ ក្នុងប្លង់ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $IM = R$៖

\[(C) = \{M : IM = R\}\]

តាង $(d)$ ជាអ័ក្សឆ្លុះ ហើយតាង $I' = S_d(I)$ និង $M' = S_d(M)$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $I$ និង $M$ តាម $S_d$។

ដោយសារការបំប្លែងឆ្លុះជាអ៊ីសូមេទ្រី (Isometry) វារក្សាទុកប្រវែងអង្កត់រវាងពីរចំណុចណាក៏ដោយ៖

\[I'M' = IM = R\]

សមភាពនេះបង្ហាញថា ចម្ងាយពីរូបភាព $M'$ ទៅកាន់ចំណុចថេរ $I'$ តែងតែស្មើនឹងចំនួនថេរ $R$ ជានិច្ច។

ដូចនេះ សំណុំនៃចំណុចរូបភាព $M'$ គឺជារង្វង់ $(C')$ ដែលមានផ្ចិត $I' = S_d(I)$ និងកាំ $R' = R$ ដដែល។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = 2^x$។ រកសមីការនៃក្រាបដែលឆ្លុះគ្នានឹងក្រាបនៃ $f(x)$ ធៀបនឹង៖

អ័ក្ស $Oy$
អ័ក្ស $Ox$
បន្ទាត់ $y = x$

មើលដំណោះស្រាយ

អនុគមន៍ $f(x) = 2^x$។

ក. ឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $Oy$៖ រូបមន្តបំប្លែងគឺជំនួស $x$ ដោយ $-x$៖

\[y = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x\]

ខ. ឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$៖ ការឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ផ្ដល់អនុគមន៍ច្រាស ដោយប្តូរតួនាទីរវាង $x$ និង $y$៖

\[x = 2^y \iff y = \log_2 x \quad{} (x > 0)\]

ដូចនេះ សមីការក្រាបរូបភាពគឺ $y = \log_2 x$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យត្រីកោណកែង $ABC$ កែងត្រង់ $A$។ តាង $(\Delta)$ ជាបន្ទាត់កាត់តាម $A$ និងស្របនឹង $BC$។ សង់រូបភាពនៃត្រីកោណ $ABC$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះ $S_\Delta$។

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណកែង $ABC$ កែងត្រង់ $A$។ $(\Delta)$ ជាបន្ទាត់កម្ពស់គូសចេញពីកំពូល $A$ កែងនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស $[BC]$។

របៀបសង់រូបភាព $\triangle A'B'C'$ តាម $S_\Delta$៖

ដោយសារកំពូល $A$ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ឆ្លុះ $(\Delta)$ នាំឱ្យ $A' = S_\Delta(A) \equiv A$។
តាមចំណុច $B$ គូសបន្ទាត់កែងនឹង $(\Delta)$ កាត់ $(\Delta)$ ត្រង់ $H$ រួចកំណត់ $B'$ ដោយ $HB' = HB$។
តាមចំណុច $C$ គូសបន្ទាត់កែងនឹង $(\Delta)$ កាត់ $(\Delta)$ ត្រង់ $H$ រួចកំណត់ $C'$ ដោយ $HC' = HC$។
ភ្ជាប់ $A, B', C'$ បង្កើតបាន $\triangle AB'C'$។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដោយសារការបំប្លែងឆ្លុះរក្សាប្រវែងជ្រុង និងរង្វាស់មុំ នាំឱ្យ $\triangle AB'C' \cong \triangle ABC$ ហើយវានៅតែជាត្រីកោណកែងត្រង់ $A$ ដដែល។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

(PISA - ការរចនាឡូហ្គោប្រកបដោយភាពស៊ីមេទ្រី) ក្រុមហ៊ុនមួយចង់បង្កើតឡូហ្គោដែលមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីឈរមួយ ($Oy$)។ ពាក់កណ្តាលខាងស្តាំនៃឡូហ្គោត្រូវបានកំណត់ដោយខ្សែបាក់ភ្ជាប់ចំណុច $O(0, 0) \to A(3, 2) \to B(2, 6) \to C(0, 8)$។

រកកូអរដោនេនៃកំពូល $A'$ និង $B'$ នៅពាក់កណ្តាលខាងឆ្វេងតាមការបំប្លែងឆ្លុះ $S_{Oy}$។
គណនាផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃឡូហ្គោទាំងមូល។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃកំពូល $A'$ និង $B'$ នៅពាក់កណ្តាលខាងឆ្វេងតាម $S_{Oy}$៖ រូបមន្តឆ្លុះធៀបនឹង $Oy$ គឺ $(x, y) \to (-x, y)$៖

\[\begin{aligned} A(3, 2) &\to A'(-3, 2) \\ B(2, 6) &\to B'(-2, 6) \end{aligned}\]

ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃឡូហ្គោទាំងមូល៖ ផ្ទៃក្រឡាពាក់កណ្តាលខាងស្តាំ $OABC$ បំបែកជាបីផ្នែកតាមអ័ក្សឈរ $Oy$៖

ត្រីកោណខាងក្រោម (ពី $y = 0$ ដល់ $y = 2$) មានបាតលើ $Oy$ ប្រវែង $2$ និងកម្ពស់ $x_A = 3$៖
\[S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]
ចតុកោណព្នាយកណ្តាល (ពី $y = 2$ ដល់ $y = 6$) មានបាតស្រប $x_A = 3, x_B = 2$ និងកម្ពស់ $h = 6 - 2 = 4$៖
\[S_2 = \frac{3 + 2}{2} \times 4 = 10 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]
ត្រីកោណខាងលើ (ពី $y = 6$ ដល់ $y = 8$) មានបាតលើ $Oy$ ប្រវែង $8 - 6 = 2$ និងកម្ពស់ $x_B = 2$៖
\[S_3 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

ផ្ទៃក្រឡាពាក់កណ្តាលខាងស្តាំគឺ $S_{\text{ស្តាំ}} = 3 + 10 + 2 = 15$ ឯកតាផ្ទៃ។

ដោយឡូហ្គោមានភាពស៊ីមេទ្រី ផ្ទៃក្រឡាសរុបគឺ៖

\[S_{\text{total}} = 2 \times S_{\text{ស្តាំ}} = 2 \times 15 = 30 \text{ ឯកតាផ្ទៃ}\]

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គេឱ្យចំណុច $M(a, b)$។ រកកូអរដោនេនៃភាពរបស់ $M$ តាមការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $(d): x - y = 0$ រួចបន្តឆ្លុះធៀបនឹង $(d'): x + y = 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុច $M(a, b)$។

ជំហានទី ១៖ ឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $(d): x - y = 0 \iff y = x$៖

\[M_1 = S_{y=x}(M) = (b, a)\]

ជំហានទី ២៖ ឆ្លុះ $M_1(b, a)$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $(d'): x + y = 0 \iff y = -x$៖

\[M' = S_{y=-x}(M_1) = (-a, -b)\]

ចំណាំ៖ ការបំប្លែងបណ្តាក់ $S_{d'} \circ S_d$ នៃបន្ទាត់ពីរកែងគ្នាត្រង់គល់ $O$ គឺជាការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងចំណុចកណ្តាល $O(0, 0)$ ឬជាការបំប្លែងវិល $R_{(O, 180^\circ)}$។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

គេឱ្យរង្វង់ពីរ $(C_1): (x - 1)^2 + y^2 = 4$ និង $(C_2): (x - 5)^2 + y^2 = 4$។ រកអ័ក្សឆ្លុះ $(d)$ ដែលប្លែង $(C_1)$ ទៅជា $(C_2)$។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់ $(C_1): (x - 1)^2 + y^2 = 4$ មានផ្ចិត $I_1(1, 0)$ និងកាំ $R = 2$។

រង្វង់ $(C_2): (x - 5)^2 + y^2 = 4$ មានផ្ចិត $I_2(5, 0)$ និងកាំ $R = 2$។

ដោយសាររង្វង់ទាំងពីរមានកាំស្មើគ្នា អ័ក្សឆ្លុះ $(d)$ ដែលប្លែង $(C_1)$ ទៅជា $(C_2)$ គឺជាបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់តភ្ជាប់ផ្ចិត $[I_1 I_2]$៖

ចំណុចកណ្តាលនៃ $[I_1 I_2]$៖
\[M\left(\frac{1 + 5}{2}, \, \frac{0 + 0}{2}\right) = M(3, 0)\]
អង្កត់ $[I_1 I_2]$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សដេក $Ox$ ($y = 0$) នាំឱ្យបន្ទាត់មេដ្យាទ័រត្រូវតែកែងនឹង $Ox$ ត្រង់ចំណុច $M(3, 0)$។

ដូចនេះ អ័ក្សឆ្លុះគឺជាបន្ទាត់ឈរដែលមានសមីការ $(d): x = 3$។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

(PISA - ល្បែងប៊ីយ៉ា (Billiards)) លើតុប៊ីយ៉ាមួយដែលតាងដោយប្លង់កូអរដោនេ កូនបាល់ $A$ ស្ថិតនៅ $(2, 3)$ និងកូនបាល់ $B$ ស្ថិតនៅ $(7, 6)$។ ច្រាំងតុប៊ីយ៉ាខាងក្រោមតាងដោយអ័ក្ស $Ox$ ($y = 0$)។ អ្នកលេងចង់វាយកូនបាល់ $A$ ឱ្យទៅប៉ះច្រាំង $Ox$ ត្រង់ចំណុច $C$ រួចផ្លាតទៅប៉ះកូនបាល់ $B$។

រកកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ $C$ លើច្រាំងតុ។
គណនាចម្ងាយសរុបដែលកូនបាល់ $A$ ត្រូវរមៀលរហូតដល់ប៉ះ $B$។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ $C$ លើច្រាំងតុ $Ox$៖ ចំណុចឆ្លុះនៃ $A(2, 3)$ ធៀបនឹងច្រាំងតុ $Ox$ ($y = 0$) គឺ $A'(2, -3)$។

បន្ទាត់ $(A'B)$ កាត់តាម $A'(2, -3)$ និង $B(7, 6)$ មានមេគុណប្រាប់ទិស៖

\[m = \frac{6 - (-3)}{7 - 2} = \frac{9}{5} = 1.8\]

សមីការបន្ទាត់ $(A'B)$៖

\[y - 6 = 1.8(x - 7) \iff y = 1.8x - 6.6\]

ចំណុចប៉ះ $C$ លើច្រាំងតុ $Ox$ ($y = 0$) ត្រូវនឹង៖

\[1.8x - 6.6 = 0 \implies x = \frac{6.6}{1.8} = \frac{66}{18} = \frac{11}{3} \approx 3.67\]

ដូចនេះ ចំណុចប៉ះលើច្រាំងតុគឺ $C\left(\dfrac{11}{3}, 0\right)$។

ខ. គណនាចម្ងាយសរុបដែលកូនបាល់ $A$ ត្រូវរមៀល៖ ចម្ងាយសរុបគឺ $d = AC + CB = A'C + CB = A'B$៖

\[\begin{aligned} d &= \sqrt{(7 - 2)^2 + (6 - (-3))^2} \\ &= \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106} \approx 10.30 \text{ ឯកតា} \end{aligned}\]

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរ $(d_1): 2x - y + 1 = 0$ និង $(d_2): 2x - y - 5 = 0$។ រកសមីការនៃបន្ទាត់អ័ក្សឆ្លុះ $(d)$ ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ពីរស្របគ្នា $(d_1): 2x - y + 1 = 0$ និង $(d_2): 2x - y - 5 = 0$។

បន្ទាត់ទាំងពីរមានមេគុណប្រាប់ទិសដូចគ្នា និងស្របគ្នា។

បន្ទាត់អ័ក្សឆ្លុះ $(d)$ ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ ត្រូវតែស្របនឹងបន្ទាត់ទាំងពីរ និងមានសមីការទម្រង់៖

\[(d): 2x - y + c = 0\]

តម្លៃថេរ $c$ គឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃតួថេរនៃបន្ទាត់ទាំងពីរ៖

\[c = \frac{c_1 + c_2}{2} = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

ដូចនេះ សមីការនៃបន្ទាត់អ័ក្សឆ្លុះគឺ $(d): 2x - y - 2 = 0$។

៥០លំហាត់ទី ៥០

(PISA - ការឆ្លុះរូបក្នុងបឹងទឹកអង្គរវត្ត) ប្រាសាទបុរាណមួយមានកម្ពស់ $h = 65\text{ m}$ ស្ថិតនៅមាត់កសិន្ធុទឹក (បឹង) ថ្លាដូចកញ្ចក់។ អ្នកទេសចរម្នាក់សម្លឹងមើលកំពូលប្រាសាទ និងរូបភាពឆ្លុះរបស់កំពូលប្រាសាទក្នុងទឹក។

ពន្យល់តាមធរណីមាត្រនៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងផ្ទៃទឹក (ប្លង់ដេក) ថាតើរូបភាពកំពូលប្រាសាទក្នុងទឹកស្ថិតនៅជម្រៅប៉ុន្មានក្រោមផ្ទៃទឹក។
បង្ហាញថាមុំធ្លាក់នៃកែវភ្នែកសម្លឹងរូបភាពក្នុងទឹក ស្មើនឹងមុំងើយសម្លឹងកំពូលប្រាសាទពិត បើភ្នែកស្ថិតនៅកម្រិតផ្ទៃទឹក។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ជម្រៅនៃរូបភាពកំពូលប្រាសាទក្នុងទឹក៖ តាងប្លង់ផ្ទៃទឹកជាប្លង់ឆ្លុះ $z = 0$ (ប្លង់ដេក)។ កំពូលប្រាសាទពិតស្ថិតនៅកម្ពស់ $+65\text{ m}$ ធៀបនឹងផ្ទៃទឹក។

តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រនៃការបំប្លែងឆ្លុះធៀបនឹងប្លង់ទឹក ចម្ងាយពីរូបភាពទៅផ្ទៃទឹកស្មើនឹងចម្ងាយពីរូបពិតទៅផ្ទៃទឹក។

ដូចនេះ រូបភាពនៃកំពូលប្រាសាទស្ថិតនៅទីតាំងកូអរដោនេ $-65\text{ m}$ ពោលគឺស្ថិតនៅជម្រៅ $65\text{ m}$ ក្រោមផ្ទៃទឹក ចំពីក្រោមកំពូលពិត។

ខ. បង្ហាញថាមុំធ្លាក់ស្មើនឹងមុំងើយ៖ តាង $O$ ជាទីតាំងភ្នែកអ្នកសង្កេតលើផ្ទៃទឹក, $T$ ជាកំពូលប្រាសាទពិត, $T'$ ជារូបភាពឆ្លុះក្នុងទឹក, និង $B$ ជាបាតប្រាសាទលើផ្ទៃទឹក។

យើងបាន $\triangle OBT$ និង $\triangle OBT'$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $B$ ដែលមាន៖

ជ្រុងរួម $OB$
$BT = BT' = 65\text{ m}$

នាំឱ្យ $\triangle OBT \cong \triangle OBT'$ (ករណី ជ.ម.ជ)។

ហេតុនេះ មុំត្រូវគ្នាស្មើគ្នា៖ $\widehat{BOT} = \widehat{BOT'}$ ពោលគឺមុំងើយសម្លឹងកំពូលពិត ស្មើនឹងមុំធ្លាក់សម្លឹងរូបភាពក្នុងទឹក។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៩ ការបំប្លែងរូបក្នុងប្លង់ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

អ័ក្សបំប្លែងឆ្លុះ	រូបភាព
(1) អ័ក្សអាប់ស៊ីស	(1) \((a, b) \rightarrow (a, -b)\)
(2) អ័ក្សអរដោនេ	(2) \((a, b) \rightarrow (-a, b)\)
(3) \(y = k\)	(3) \((a, b) \rightarrow (a, 2k - b)\)
(4) \(x = h\)	(4) \((a, b) \rightarrow (2h - a, b)\)
(5) \(y = x\)	(5) \((a, b) \rightarrow (b, a)\)
(6) \(y = -x\)	(6) \((a, b) \rightarrow (-b, -a)\)