ការដោះស្រាយវិសមីការតាមក្រាប

សង់តំបន់ចម្លើយនៃវិសមីការដឺក្រេទីមួយមានពីរអញ្ញាត ៖
ក.  \(x - y \le 2\) ៖
បន្ទាត់ព្រំដែន \((d): x - y = 2\) កាត់តាម \((2, 0)\) និង \((0, -2)\)។
ជំនួសគល់ \(O(0, 0)\) ៖ \(0 - 0 = 0 \le 2\) (ពិត)។
ដូចនេះ តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះប្លង់ដែលមានព្រំប្រទល់ជាបន្ទាត់ \((d)\) (គូសបន្ទាត់ជាប់) និងផ្ទុកគល់កូអរដោនេ \(O(0, 0)\)។

ខ.  \(2x + y > 4\) ៖
បន្ទាត់ព្រំដែន \((d): 2x + y = 4\) កាត់តាម \((2, 0)\) និង \((0, 4)\)។
ជំនួស \(O(0, 0)\) ៖ \(2(0) + 0 = 0 > 4\) (មិនពិត)។
ដូចនេះ តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះប្លង់ដែលមិនផ្ទុកគល់ \(O(0, 0)\) ហើយមិនរាប់បញ្ចូលបន្ទាត់ព្រំដែនទេ (គូសបន្ទាត់ដាច់ៗ)។

គ.  \(3x - 2y \ge 6\) ៖
បន្ទាត់ព្រំដែន \((d): 3x - 2y = 6\) កាត់តាម \((2, 0)\) និង \((0, -3)\)។
ជំនួស \(O(0, 0)\) ៖ \(0 \ge 6\) (មិនពិត)។
ដូចនេះ តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះប្លង់ដែលមិនផ្ទុកគល់ \(O(0, 0)\) ដោយរាប់បញ្ចូលទាំងបន្ទាត់ព្រំដែន \((d)\) ផងដែរ។

ឃ.  \(x + 2y < 0\) ៖
បន្ទាត់ព្រំដែន \((d): x + 2y = 0\) កាត់តាម \(O(0, 0)\) និង \((2, -1)\) (គូសដាច់ៗ)។
សាកល្បងចំណុច \((1, 0)\) ៖ \(1 + 0 = 1 < 0\) (មិនពិត)។
ដូចនេះ តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះប្លង់ដែលផ្ទុកចំណុច \((-1, 0)\) (នៅខាងក្រោមបន្ទាត់)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃវិសមីការ ៖
ក.  \(x \ge -2\) ៖
តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះប្លង់នៅខាងស្តាំបន្ទាត់ឈរ \(x = -2\) រួមទាំងបន្ទាត់ព្រំដែន \(x = -2\)។

ខ.  \(y \le 3\) ៖
តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះប្លង់នៅខាងក្រោមបន្ទាត់ផ្ដេក \(y = 3\) រួមទាំងបន្ទាត់ព្រំដែន \(y = 3\)។

គ.  \(-x + 4y \le 8\) ៖
បន្ទាត់ព្រំដែន \(-x + 4y = 8\) កាត់តាម \((-8, 0)\) និង \((0, 2)\)។
ជំនួស \(O(0, 0)\) ៖ \(0 \le 8\) (ពិត) នាំឱ្យតំបន់ចម្លើយផ្ទុកគល់ \(O(0, 0)\)។

ឃ.  \(5x + 3y \ge 15\) ៖
បន្ទាត់ព្រំដែន \(5x + 3y = 15\) កាត់តាម \((3, 0)\) និង \((0, 5)\)។
ជំនួស \(O(0, 0)\) ៖ \(0 \ge 15\) (មិនពិត) នាំឱ្យតំបន់ចម្លើយមិនផ្ទុកគល់ \(O\) ទេ។

ពិនិត្យចំណុចធៀបនឹងតំបន់ \(2x - 3y + 6 \ge 0\) ៖
តាង \(f(x, y) = 2x - 3y + 6\) ៖

• \(A(1, 1) \implies f(1, 1) = 2(1) - 3(1) + 6 = 5 \ge 0 \implies A\) ស្ថិតក្នុងតំបន់ចម្លើយ

• \(B(2, -1) \implies f(2, -1) = 4 + 3 + 6 = 13 \ge 0 \implies B\) ស្ថិតក្នុងតំបន់ចម្លើយ

• \(C(-1, 3) \implies f(-1, 3) = -2 - 9 + 6 = -5 < 0 \implies C\) មិនស្ថិតក្នុងតំបន់ចម្លើយ

• \(D(0, 2) \implies f(0, 2) = 0 - 6 + 6 = 0 \ge 0 \implies D\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ព្រំដែន។

សរសេរវិសមីការកន្លះប្លង់កាត់តាម \((0, 2)\) និង \((4, 0)\) ផ្ទុក \(O(0, 0)\) ៖
សមីការបន្ទាត់ព្រំដែនតាមទម្រង់កាត់អ័ក្ស ៖
\(\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{2} = 1 \iff x + 2y = 4 \iff x + 2y - 4 = 0\)
ជំនួសគល់ \(O(0, 0)\) ៖ \(0 + 0 - 4 = -4 \le 0\)
ដើម្បីឱ្យកន្លះប្លង់ផ្ទុកគល់កូអរដោនេ \(O(0, 0)\) វិសមីការត្រូវមានរាង ៖
\(x + 2y \le 4\) (ឬ \(x + 2y - 4 \le 0\))។

សរសេរវិសមីការកន្លះប្លង់ព្រំប្រទល់ \(y = 2x - 1\) មិនផ្ទុក \(O(0, 0)\) ៖
សរសេរសមីការបន្ទាត់ ៖ \(2x - y - 1 = 0\)
ជំនួសគល់ \(O(0, 0)\) ៖ \(2(0) - 0 - 1 = -1 < 0\)
ដើម្បីកុំឱ្យផ្ទុកគល់ \(O(0, 0)\) តំបន់ចម្លើយត្រូវយកសញ្ញាផ្ទុយ ៖
\(2x - y - 1 > 0\) (ឬ \(2x - y \ge 1\) ឬ \(y \le 2x - 1\))។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} \le 1\) ៖
គុណនឹង \(6\) ៖ \(3x + 2y \le 6\)
បន្ទាត់ព្រំដែន \(3x + 2y = 6\) កាត់តាម \((2, 0)\) និង \((0, 3)\)។
ជំនួស \(O(0, 0)\) ៖ \(0 \le 6\) (ពិត)។
ដូចនេះ តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះប្លង់នៅខាងក្រោមបន្ទាត់ \(3x + 2y = 6\) រួមទាំងបន្ទាត់ព្រំដែននេះផងដែរ។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(2(x - 1) + 3(y + 2) > 4\) ៖
\(\iff 2x - 2 + 3y + 6 > 4 \iff 2x + 3y > 0\)
បន្ទាត់ព្រំដែន \(2x + 3y = 0\) កាត់តាម \(O(0, 0)\) និង \((-3, 2)\) (គូសដាច់ៗ)។
សាកល្បងចំណុច \((1, 1)\) ៖ \(2(1) + 3(1) = 5 > 0\) (ពិត)។
ដូចនេះ តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះប្លង់ដែលផ្ទុកចំណុច \((1, 1)\) ដោយមិនរាប់បញ្ចូលបន្ទាត់ព្រំដែន។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(\dfrac{2x - y}{3} - \dfrac{x + y}{2} \le 1\) ៖
គុណអង្គទាំងពីរនឹង \(6\) ៖
\(2(2x - y) - 3(x + y) \le 6 \iff 4x - 2y - 3x - 3y \le 6\)
\(\iff x - 5y \le 6\)
បន្ទាត់ព្រំដែន \(x - 5y = 6\) កាត់តាម \((6, 0)\) និង \((1, -1)\)។
ជំនួស \(O(0, 0)\) ៖ \(0 \le 6\) (ពិត) នាំឱ្យតំបន់ចម្លើយផ្ទុកគល់ \(O(0, 0)\) រួមទាំងបន្ទាត់ព្រំដែន។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃវិសមីការទ្វេ \(-2 \le x \le 4\) ៖
តំបន់ចម្លើយគឺជាបន្ទះបញ្ឈរ (Vertical Strip) ស្ថិតនៅចន្លោះបន្ទាត់ឈរពីរស្របគ្នា \(x = -2\) និង \(x = 4\) ដោយរួមបញ្ចូលទាំងបន្ទាត់ព្រំដែនទាំងពីរនេះផងដែរ។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃវិសមីការទ្វេ \(1 \le y \le 5\) ៖
តំបន់ចម្លើយគឺជាបន្ទះផ្ដេក (Horizontal Strip) ស្ថិតនៅចន្លោះបន្ទាត់ផ្ដេកពីរស្របគ្នា \(y = 1\) និង \(y = 5\) ដោយរួមបញ្ចូលទាំងបន្ទាត់ព្រំដែនទាំងពីរនេះផងដែរ។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
ក.  \(\begin{cases} x + y \ge 2 \\ x - y \le 2 \end{cases}\) ៖
ប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងពីរ ៖ \(2x = 4 \iff x = 2, y = 0 \implies (2, 0)\)។
តំបន់ចម្លើយជាតំបន់រួមគ្នានៅខាងលើ \(x + y = 2\) និងខាងលើ \(x - y = 2\)។

ខ.  \(\begin{cases} 2x - y \ge 1 \\ x + y \le 5 \end{cases}\) ៖
ប្រសព្វបន្ទាត់ ៖ \(3x = 6 \iff x = 2, y = 3 \implies (2, 3)\)។
តំបន់ចម្លើយស្ថិតនៅខាងស្តាំ/ក្រោម \(2x - y = 1\) និងខាងក្រោម \(x + y = 5\)។

គ.  \(\begin{cases} 3x + 2y \le 12 \\ x \ge 0 \end{cases}\) ៖
តំបន់ចម្លើយនៅខាងស្តាំអ័ក្ស \(Oy\) (\(x \ge 0\)) និងនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ \(3x + 2y = 12\)។

ឃ.  \(\begin{cases} x - 2y \le 4 \\ y \ge -1 \end{cases}\) ៖
ប្រសព្វត្រង់ \(x - 2(-1) = 4 \iff x = 2 \implies (2, -1)\)។
តំបន់ចម្លើយនៅខាងលើបន្ទាត់ផ្ដេក \(y = -1\) និងខាងលើបន្ទាត់ \(x - 2y = 4\)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
ក.  \(\begin{cases} x + y \le 4 \\ 2x - y \ge -1 \end{cases}\) ៖
ចំណុចប្រសព្វ ៖ \(3x = 3 \iff x = 1, y = 3 \implies (1, 3)\)។

ខ.  \(\begin{cases} 2x + 3y \ge 6 \\ 2x + 3y \le 12 \end{cases}\) ៖
តំបន់ចម្លើយគឺជាបន្ទះស្របគ្នារវាងបន្ទាត់ \(2x + 3y = 6\) និង \(2x + 3y = 12\)។

គ.  \(\begin{cases} x - y \ge -2 \\ x - y \le 3 \end{cases} \iff -2 \le x - y \le 3\) ៖
តំបន់ចម្លើយគឺជាបន្ទះស្របគ្នារវាងបន្ទាត់ \(x - y = -2\) និង \(x - y = 3\)។

ឃ.  \(\begin{cases} y \ge x \\ y \le 4 \end{cases}\) ៖
តំបន់ចម្លើយនៅខាងលើបន្ទាត់ពុះ \(y = x\) និងនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ផ្ដេក \(y = 4\) (កំពូលត្រង់ \((4, 4)\))។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
ក.  \(\begin{cases} x + 2y \ge 4 \\ 3x + y \ge 6 \end{cases}\) ៖
ប្រសព្វបន្ទាត់ ៖ \(x = 4 - 2y \implies 3(4 - 2y) + y = 6 \iff 5y = 6 \implies y = \dfrac{6}{5}, x = \dfrac{8}{5}\)។
កំពូលប្រសព្វគឺ \(\left(\dfrac{8}{5}, \dfrac{6}{5}\right)\)។

ខ.  \(\begin{cases} 2x - y \le 4 \\ x + 3y \ge 3 \end{cases}\) ៖
ប្រសព្វត្រង់ \(\left(\dfrac{15}{7}, \dfrac{2}{7}\right)\)។

គ.  \(\begin{cases} 3x - 4y \le 12 \\ x + 2y \ge 2 \end{cases}\) ៖
ប្រសព្វត្រង់ \(\left(\dfrac{16}{5}, -\dfrac{3}{5}\right)\)។

ឃ.  \(\begin{cases} 4x + 3y \le 24 \\ x - y \le 2 \end{cases}\) ៖
ប្រសព្វត្រង់ \(\left(\dfrac{30}{7}, \dfrac{16}{7}\right)\)។

រកកូអរដោនេកំពូល និងផ្ទៃក្រឡានៃតំបន់ ៖
\(\begin{cases} x + y \le 4 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
តំបន់ចម្លើយជាត្រីកោណកែងក្នុងចតុកោណភាគទី ១ ដែលមានកំពូល ៖
\(O(0, 0), \quad{} A(4, 0), \quad{} B(0, 4)\)
ផ្ទៃក្រឡាតំបន់ចម្លើយ ៖
\(S = \dfrac{1}{2} \times OA \times OB = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8\) ឯកតាផ្ទៃ។

រកកូអរដោនេកំពូលនៃតំបន់ចម្លើយ ៖
\(\begin{cases} 2x + y \le 6 \quad{} (1) \\ x + 2y \le 6 \quad{} (2) \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
- គល់កូអរដោនេ ៖ \(O(0, 0)\)
- ប្រសព្វលើ \(Ox\) ៖ \(A(3, 0)\) (ពី \(2x + y = 6\))
- ប្រសព្វលើ \(Oy\) ៖ \(C(0, 3)\) (ពី \(x + 2y = 6\))
- ប្រសព្វរវាង \((1)\) និង \((2)\) ៖
បូក \((1)\) និង \((2)\) ៖ \(3x + 3y = 12 \iff x + y = 4 \iff x = 4 - y\)
ជំនួសចូល \((1)\) ៖ \(2(4 - y) + y = 6 \iff 8 - y = 6 \iff y = 2\)
ទាញបាន \(x = 4 - 2 = 2 \implies B(2, 2)\)។
ដូចនេះ កំពូលទាំង ៤ គឺ \(O(0, 0), A(3, 0), B(2, 2), C(0, 3)\)។

រកកូអរដោនេកំពូលទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ៖
\(\begin{cases} x + y \le 5 \\ 2x + y \le 8 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
- គល់កូអរដោនេ ៖ \(O(0, 0)\)
- លើ \(Ox\) ៖ យកតម្លៃតូចជាង \(x = \min(5, 4) = 4 \implies A(4, 0)\)
- លើ \(Oy\) ៖ យកតម្លៃតូចជាង \(y = \min(5, 8) = 5 \implies C(0, 5)\)
- ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ ៖
\((2x + y) - (x + y) = 8 - 5 \iff x = 3\)
\(y = 5 - 3 = 2 \implies B(3, 2)\)។
ដូចនេះ កំពូលទាំង ៤ គឺ \(O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2), C(0, 5)\)។

រកកូអរដោនេកំពូលនៃតំបន់ចម្លើយ ៖
\(\begin{cases} x - y \le 2 \\ x + y \le 6 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
- គល់កូអរដោនេ ៖ \(O(0, 0)\)
- លើ \(Ox\) ៖ \(x - 0 \le 2 \implies A(2, 0)\)
- ប្រសព្វរវាង \(x - y = 2\) និង \(x + y = 6\) ៖
\(2x = 8 \iff x = 4 \implies y = 6 - 4 = 2 \implies B(4, 2)\)
- លើ \(Oy\) ៖ \(0 + y \le 6 \implies C(0, 6)\)
ដូចនេះ កំពូលទាំងបួនគឺ \(O(0, 0), A(2, 0), B(4, 2), C(0, 6)\)។

រកកូអរដោនេកំពូលនៃតំបន់ចម្លើយ ៖
\(\begin{cases} 3x + 4y \le 24 \\ x \le 4, \quad{} y \le 3 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
ត្រង់ \(x = 4\) និង \(y = 3\) ៖
\(3(4) + 4(3) = 12 + 12 = 24\) (សមភាពផ្ទៀងផ្ទាត់)។
ដូចនេះ ចំណុច \((4, 3)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(3x + 4y = 24\) ស្រាប់។
តំបន់ចម្លើយគឺជាចតុកោណកែងដែលមានកំពូល ៖
\(O(0, 0), \quad{} A(4, 0), \quad{} B(4, 3), \quad{} C(0, 3)\)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធ ៖
\(\begin{cases} x + 2y \ge 2 \\ x + y \le 4 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
តំបន់ចម្លើយជាចតុកោណពន្លាតក្នុងចតុកោណភាគទី ១ ដែលមានកំពូល ៖
\(A(2, 0), \quad{} B(4, 0), \quad{} C(0, 4), \quad{} D(0, 1)\)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធ ៖
\(\begin{cases} x - y \ge -1 \iff y \le x + 1 \\ x + 2y \ge 2 \iff y \ge 1 - \dfrac{1}{2}x \\ x \le 3 \end{cases}\)
កំពូលប្រសព្វនៃតំបន់ ៖
- ប្រសព្វ \(y = x + 1\) និង \(y = 1 - \dfrac{1}{2}x\) គឺ \(A(0, 1)\)
- ប្រសព្វ \(y = x + 1\) និង \(x = 3\) គឺ \(B(3, 4)\)
- ប្រសព្វ \(y = 1 - \dfrac{1}{2}x\) និង \(x = 3\) គឺ \(C\left(3, -\dfrac{1}{2}\right)\)។

តំបន់កំណត់ដោយ \(|x| \le 3\) និង \(|y| \le 2\) ៖
\(\iff -3 \le x \le 3\) និង \(-2 \le y \le 2\)
តំបន់ចម្លើយគឺជាចតុកោណកែងផ្ចិត \(O(0, 0)\) ដែលមានបណ្តោយ \(2 \times 3 = 6\) និងទទឹង \(2 \times 2 = 4\) ៖
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = 6 \times 4 = 24\) ឯកតាផ្ទៃ។

តំបន់កំណត់ដោយ \(|x| + |y| \le 4\) ៖
តំបន់ចម្លើយជាការ៉េបែរមុំ \(45^\circ\) (ចតុកោណស្មើ) ដែលមានកំពូលបួនគឺ \((4, 0), (0, 4), (-4, 0), (0, -4)\)។
ប្រវែងអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរគឺ \(d_1 = 8\) និង \(d_2 = 8\) ៖
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32\) ឯកតាផ្ទៃ។

តំបន់ \(|x - y| \le 2\) និង \(0 \le x \le 4\) ៖
\(|x - y| \le 2 \iff -2 \le x - y \le 2 \iff x - 2 \le y \le x + 2\)
តំបន់ចម្លើយជាប្រលេឡូក្រាមដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ឈរ \(x = 0, x = 4\) និងបន្ទាត់ទ្រេត \(y = x - 2, y = x + 2\)។
កំពូលទាំង ៤ គឺ \((0, -2), (0, 2), (4, 6), (4, 2)\)។
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \) បាត \( \times \) កម្ពស់ \( = 4 \times 4 = 16\) ឯកតាផ្ទៃ។

ពិនិត្យភាពបិទជិតនៃតំបន់ចម្លើយ ៖
ក.  \(\begin{cases} x + y \ge 3 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}\) ៖
តំបន់នេះរីកធំទៅរកអនន្តតាមទិស \(x \to +\infty, y \to +\infty\) នាំឱ្យជា តំបន់បើកចំហ (Unbounded Region)។

ខ.  \(\begin{cases} x + y \le 5 \\ x \ge 1, y \ge 2 \end{cases}\) ៖
តំបន់នេះកំណត់ដោយកំពូល \((1, 2), (3, 2), (1, 4)\) ដែលអាចផ្ទុកទាំងស្រុងក្នុងរង្វង់កំណត់មួយ នាំឱ្យជា តំបន់បិទជិត (Bounded Region)។

កំណត់តម្លៃអតិបរមានៃ \(F(x, y) = 3x + 2y\) លើ ៖
\(\begin{cases} x + y \le 4 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
កំពូលនៃតំបន់ចម្លើយ ៖ \((0, 0), (4, 0), (0, 4)\)
គណនាតម្លៃ \(F\) ត្រង់កំពូលនីមួយៗ ៖

• \(F(0, 0) = 3(0) + 2(0) = 0\)

• \(F(4, 0) = 3(4) + 2(0) = 12\)

• \(F(0, 4) = 3(0) + 2(4) = 8\)

ដូចនេះ តម្លៃអតិបរមាគឺ \(F_{\max} = 12\) ត្រង់ចំណុច \((4, 0)\)។

កំណត់តម្លៃអតិបរមានៃ \(F(x, y) = 2x + 5y\) លើ ៖
\(\begin{cases} 2x + y \le 6 \\ x + 2y \le 6 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
កំពូលនៃតំបន់ចម្លើយ ៖ \((0, 0), (3, 0), (2, 2), (0, 3)\)
គណនាតម្លៃ \(F\) ត្រង់កំពូលនីមួយៗ ៖

• \(F(0, 0) = 0\)

• \(F(3, 0) = 2(3) + 5(0) = 6\)

• \(F(2, 2) = 2(2) + 5(2) = 4 + 10 = 14\)

• \(F(0, 3) = 2(0) + 5(3) = 15\)

ដូចនេះ តម្លៃអតិបរមាគឺ \(F_{\max} = 15\) ត្រង់ចំណុច \((0, 3)\)។

កំណត់តម្លៃអប្បបរមានៃ \(C(x, y) = 4x + 3y\) លើ ៖
\(\begin{cases} x + y \ge 3 \\ 2x + y \ge 4 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
កំពូលនៃតំបន់ចម្លើយ ៖ \((0, 4), (1, 2), (3, 0)\)
គណនាតម្លៃ \(C\) ត្រង់កំពូលនីមួយៗ ៖

• \(C(0, 4) = 4(0) + 3(4) = 12\)

• \(C(1, 2) = 4(1) + 3(2) = 4 + 6 = 10\)

• \(C(3, 0) = 4(3) + 3(0) = 12\)

ដូចនេះ តម្លៃអប្បបរមាគឺ \(C_{\min} = 10\) ត្រង់ចំណុច \((1, 2)\)។

កំណត់តម្លៃអតិបរមានៃ \(P(x, y) = 5x + 4y\) លើ ៖
\(\begin{cases} x + 2y \le 10 \\ 3x + y \le 15 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
កំពូលនៃតំបន់ចម្លើយ ៖ \((0, 0), (5, 0), (4, 3), (0, 5)\)
គណនាតម្លៃ \(P\) ត្រង់កំពូលនីមួយៗ ៖

• \(P(0, 0) = 0\)

• \(P(5, 0) = 5(5) + 4(0) = 25\)

• \(P(4, 3) = 5(4) + 4(3) = 20 + 12 = 32\)

• \(P(0, 5) = 5(0) + 4(5) = 20\)

ដូចនេះ ប្រាក់ចំណេញអតិបរមាគឺ \(P_{\max} = 32\) ត្រង់ \((4, 3)\)។

កំណត់តម្លៃអប្បបរមានៃ \(Z = 2x + 7y\) លើពហុកោណកំពូល \((1, 4), (2, 1), (5, 2), (4, 6)\) ៖
គណនាតម្លៃ \(Z\) ត្រង់កំពូលនីមួយៗ ៖

• \(Z(1, 4) = 2(1) + 7(4) = 2 + 28 = 30\)

• \(Z(2, 1) = 2(2) + 7(1) = 4 + 7 = 11\)

• \(Z(5, 2) = 2(5) + 7(2) = 10 + 14 = 24\)

• \(Z(4, 6) = 2(4) + 7(6) = 8 + 42 = 50\)

ដូចនេះ តម្លៃអប្បបរមាគឺ \(Z_{\min} = 11\) ត្រង់ចំណុច \((2, 1)\)។

កំណត់តម្លៃអតិបរមានៃ \(Z = 6x + 8y\) លើកំពូល \((0, 0), (5, 0), (4, 3), (0, 4)\) ៖

• \(Z(0, 0) = 0\)

• \(Z(5, 0) = 6(5) + 0 = 30\)

• \(Z(4, 3) = 6(4) + 8(3) = 24 + 24 = 48\)

• \(Z(0, 4) = 6(0) + 8(4) = 32\)

ដូចនេះ តម្លៃអតិបរមាគឺ \(Z_{\max} = 48\) ត្រង់ចំណុច \((4, 3)\)។

កំណត់តម្លៃអតិបរមានៃ \(F = 4x + y\) លើ ៖
\(\begin{cases} x + y \le 5 \\ 3x + y \le 9 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
កំពូលនៃតំបន់ចម្លើយ ៖ \((0, 0), (3, 0), (2, 3), (0, 5)\)

• \(F(0, 0) = 0\)

• \(F(3, 0) = 4(3) + 0 = 12\)

• \(F(2, 3) = 4(2) + 3 = 11\)

• \(F(0, 5) = 4(0) + 5 = 5\)

ដូចនេះ \(F_{\max} = 12\) ត្រង់ចំណុច \((3, 0)\)។

រកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃ \(Z = x - 2y\) លើ ៖
\(\begin{cases} x + y \ge 1 \\ x - y \le 1 \\ x \le 3, \quad{} y \le 2 \end{cases}\)
កំពូលនៃតំបន់ ៖ \((1, 0), (3, 2), (-1, 2)\)

• \(Z(1, 0) = 1 - 2(0) = 1\)

• \(Z(3, 2) = 3 - 2(2) = -1\)

• \(Z(-1, 2) = -1 - 2(2) = -5\)

ដូចនេះ \(Z_{\max} = 1\) ត្រង់ \((1, 0)\) និង \(Z_{\min} = -5\) ត្រង់ \((-1, 2)\)។

បង្ហាញថាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរមានចម្លើយប្រសើរបំផុតរាប់មិនអស់ ៖
រកអតិបរមានៃ \(F(x, y) = 2x + 4y\) ក្រោម \(x + 2y \le 8, x \ge 0, y \ge 0\)។
សង្កេតឃើញថាបន្ទាត់កម្រិតនៃអនុគមន៍គោលដៅ \(2x + 4y = c \iff x + 2y = \dfrac{c}{2}\) ស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ព្រំដែននៃលក្ខខណ្ឌកម្រិត \(x + 2y = 8\)។
- ត្រង់កំពូល \((0, 4)\) ៖ \(F = 2(0) + 4(4) = 16\)
- ត្រង់កំពូល \((8, 0)\) ៖ \(F = 2(8) + 4(0) = 16\)
ដោយសារតម្លៃអតិបរមា \(16\) កើតមានលើកំពូលជាប់គ្នាទាំងពីរ នោះគ្រប់ចំណុចស្ថិតនៅលើអង្កត់តភ្ជាប់ \((0, 4)\) និង \((8, 0)\) សុទ្ធតែផ្តល់តម្លៃ \(F = 16\) ដូចៗគ្នា។
ដូចនេះ កម្មវិធីលីនេអ៊ែរនេះមាន ចម្លើយប្រសើរបំផុតរាប់មិនអស់។

បង្ហាញថាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរគ្មានតម្លៃអតិបរមា (Unbounded) ៖
រកអតិបរមានៃ \(F(x, y) = 3x + 4y\) ក្រោម \(x + y \ge 2, x \ge 0, y \ge 0\)។
តំបន់ដំណោះស្រាយជាតំបន់បើកចំហក្នុងចតុកោណភាគទី ១ ទៅរក \(+\infty\)។
ចំពោះតម្លៃពិត \(M > 0\) ធំតាមចិត្ត យើងអាចជ្រើសរើស \(x = M, y = 0\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(M + 0 \ge 2\) (កាលណា \(M \ge 2\))។
នៅពេលនោះ តម្លៃអនុគមន៍គោលដៅគឺ \(F(M, 0) = 3M \to +\infty\) នៅពេល \(M \to +\infty\)។
ដូចនេះ អនុគមន៍គោលដៅ \(F(x, y)\) កើនឡើងឥតព្រំដែន ពោលគឺ គ្មានតម្លៃអតិបរមាឡើយ។

រកតម្លៃអប្បបរមានៃ \(F(x, y) = 2x + y\) ក្រោមលក្ខខណ្ឌ ៖
\(\begin{cases} x + 3y \ge 6 \\ x + y \ge 4 \\ 3x + y \ge 6 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
កំពូលនៃតំបន់ដំណោះស្រាយ ៖
\((0, 6), \quad{} (1, 3), \quad{} (3, 1), \quad{} (6, 0)\)
គណនាតម្លៃ \(F\) ត្រង់កំពូលនីមួយៗ ៖

• \(F(0, 6) = 2(0) + 6 = 6\)

• \(F(1, 3) = 2(1) + 3 = 5\)

• \(F(3, 1) = 2(3) + 1 = 7\)

• \(F(6, 0) = 2(6) + 0 = 12\)

ដូចនេះ តម្លៃអប្បបរមាគឺ \(F_{\min} = 5\) ត្រង់ចំណុច \((1, 3)\)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(x^2 + y^2 \le 9\) និង \(y \ge 0\) ៖
- \(x^2 + y^2 \le 9\) គឺជាផ្ទៃក្នុង និងព្រំប្រទល់នៃរង្វង់ផ្ចិត \(O(0, 0)\) កាំ \(R = 3\)
- \(y \ge 0\) គឺជាកន្លះប្លង់ខាងលើអ័ក្ស \(Ox\)
ដូចនេះ តំបន់ចម្លើយគឺជា កន្លះថាសរង្វង់ខាងលើ (Upper Semi-disk) ដែលមានផ្ចិត \(O(0, 0)\), កាំ \(R = 3\) កំណត់ដោយអង្កត់ផ្ចិត \([-3, 3]\) លើអ័ក្ស \(Ox\) និងធ្នូរង្វង់ខាងលើ \(y = \sqrt{9 - x^2}\)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(x^2 + y^2 \le 16\) និង \(x + y \ge 0\) ៖
- \(x^2 + y^2 \le 16\) គឺជាថាសរង្វង់ផ្ចិត \(O(0, 0)\) កាំ \(R = 4\)
- \(x + y \ge 0 \iff y \ge -x\) គឺជាកន្លះប្លង់ខាងលើបន្ទាត់ពុះ \(y = -x\)
តំបន់ចម្លើយគឺជាកន្លះថាសរង្វង់កាំ \(R = 4\) ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ \(y = -x\)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(4 \le x^2 + y^2 \le 16\) ៖
តំបន់ចម្លើយគឺជា ក្រវាត់រង្វង់ (Annulus) ដែលស្ថិតនៅចន្លោះរង្វង់រួមផ្ចិតពីរ \(O(0, 0)\) ដែលរង្វង់ខាងក្នុងមានកាំ \(r = 2\) និងរង្វង់ខាងក្រៅមានកាំ \(R = 4\) រួមទាំងព្រំប្រទល់ទាំងពីរ។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(y \ge x^2 - 4\) និង \(y \le 0\) ៖
- \(y \ge x^2 - 4\) គឺជាតំបន់ខាងក្នុងប៉ារ៉ាបូល \(y = x^2 - 4\) (កំពូល \((0, -4)\), កាត់ \(Ox\) ត្រង់ \(-2\) និង \(2\))
- \(y \le 0\) គឺជាកន្លះប្លង់ខាងក្រោមអ័ក្ស \(Ox\)
តំបន់ចម្លើយជាបំណែកប៉ារ៉ាបូលបិទជិតចន្លោះអ័ក្ស \(Ox\) និងប៉ារ៉ាបូលចំពោះ \(x \in [-2, 2]\)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(y \ge |x|\) និង \(y \le 3\) ៖
តំបន់ចម្លើយជាត្រីកោណសមបាតដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ \(y = x\), \(y = -x\) និងបន្ទាត់ផ្ដេក \(y = 3\)។
កំពូលទាំងបីគឺ \(O(0, 0), A(3, 3), B(-3, 3)\)។
ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ ៖ \(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9\) ឯកតាផ្ទៃ។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(x^2 + y^2 \le 25\) និង \(|x| \le 3\) ៖
- \(x^2 + y^2 \le 25\) គឺជាថាសរង្វង់ផ្ចិត \(O(0, 0)\) កាំ \(R = 5\)
- \(|x| \le 3 \iff -3 \le x \le 3\) គឺជាបន្ទះបញ្ឈរចន្លោះ \(x = -3\) និង \(x = 3\)
តំបន់ចម្លើយគឺជាចំណែកថាសរង្វង់ដែលកាត់ដោយបន្ទាត់ឈរទាំងពីរ \(x = -3\) និង \(x = 3\)។

សង់តំបន់ចម្លើយនៃ \(y \ge x^2\) និង \(y \le x + 2\) ៖
រកចំណុចប្រសព្វរវាងប៉ារ៉ាបូល និងបន្ទាត់ ៖
\(x^2 = x + 2 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff (x + 1)(x - 2) = 0\)
\(\implies x = -1 \implies y = 1\) និង \(x = 2 \implies y = 4\)
តំបន់ចម្លើយគឺជាតំបន់បិទជិតរវាងប៉ារ៉ាបូល \(y = x^2\) (នៅខាងក្រោម) និងបន្ទាត់ \(y = x + 2\) (នៅខាងលើ) ចំពោះ \(x \in [-1, 2]\)។

សរសេរប្រព័ន្ធវិសមីការតំណាងផ្ទៃត្រីកោណ \(O(0, 0)\), \(A(4, 0)\), \(B(0, 3)\) ៖
- ជ្រុង \(OA\) លើ \(Ox\) ៖ \(y \ge 0\)
- ជ្រុង \(OB\) លើ \(Oy\) ៖ \(x \ge 0\)
- ជ្រុង \(AB\) ៖ \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} \le 1 \iff 3x + 4y \le 12\)
ប្រព័ន្ធវិសមីការគឺ ៖
\(\begin{cases} 3x + 4y \le 12 \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)

សរសេរប្រព័ន្ធវិសមីការតំណាងផ្ទៃការ៉េកំពូល \((1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1)\) ៖
ជ្រុងទាំងបួនកំណត់ដោយ \(x = 1, x = -1, y = 1, y = -1\) ៖
ប្រព័ន្ធវិសមីការគឺ ៖
\(\begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases} \iff \begin{cases} |x| \le 1 \\ |y| \le 1 \end{cases}\)

សរសេរប្រព័ន្ធវិសមីការតំណាងផ្ទៃចតុកោណស្មើ (Rhombus) ៖
អង្កត់ទ្រូងប្រវែង \(6\) លើ \(Ox\) (កាត់ត្រង់ \(-3\) និង \(3\)) និងប្រវែង \(8\) លើ \(Oy\) (កាត់ត្រង់ \(-4\) និង \(4\)) ៖
ប្រព័ន្ធសមីការជ្រុងទាំងបួនតាមតម្លៃដាច់ខាត ៖
\(\dfrac{|x|}{3} + \dfrac{|y|}{4} \le 1 \iff 4|x| + 3|y| \le 12\)។

លំហាត់ PISA - ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពផលិតកម្មគ្រឿងសង្ហារិម ៖
តាង \(x\) ជាចំនួនតុ និង \(y\) ជាចំនួនកៅអី (\(x \ge 0, y \ge 0\)) ៖
- លក្ខខណ្ឌបរិមាណឈើ ៖ \(2x + y \le 100\)
- លក្ខខណ្ឌកម្លាំងពលកម្ម ៖ \(x + y \le 80\)
- អនុគមន៍ប្រាក់ចំណេញ ៖ \(P(x, y) = 40x + 25y\) ($)
រកកំពូលនៃតំបន់ដំណោះស្រាយ ៖
- ប្រសព្វបន្ទាត់ទាំងពីរ ៖ \(x = 100 - 80 = 20 \implies y = 60\)
- កំពូលទាំងអស់ ៖ \((0, 0), (50, 0), (20, 60), (0, 80)\)
គណនាប្រាក់ចំណេញត្រង់កំពូល ៖

• \(P(0, 0) = 0\$\)

• \(P(50, 0) = 40(50) = 2000\$\)

• \(P(20, 60) = 40(20) + 25(60) = 800 + 1500 = 2300\$\)

• \(P(0, 80) = 25(80) = 2000\$\)

ដូចនេះ សិប្បកម្មត្រូវផលិត តុ \(20\) និង កៅអី \(60\) ដើម្បីទទួលបានប្រាក់ចំណេញអតិបរមា \(2300\$\) ក្នុងមួយសប្តាហ៍។

លំហាត់ PISA - ការបែងចែកផ្ទៃដីដាំដុះដំណាំកសិកម្ម ៖
តាង \(x\) ជាផ្ទៃដីដាំស្រូវ (ហិកតា) និង \(y\) ជាផ្ទៃដីដាំពោត (ហិកតា) ៖
\(\begin{cases} x + y \le 10 \quad{} (\text{ផ្ទៃដីសរុប}) \\ 3x + 2y \le 24 \quad{} (\text{ធនធានទឹក}) \\ x \ge 0, \quad{} y \ge 0 \end{cases}\)
អនុគមន៍ប្រាក់ចំណេញ ៖ \(P(x, y) = 500x + 400y\) ($)
កំពូលនៃតំបន់ ៖
ប្រសព្វ \(x + y = 10\) និង \(3x + 2y = 24 \implies x = 4, y = 6\)
កំពូលទាំងអស់ ៖ \((0, 0), (8, 0), (4, 6), (0, 10)\)
- \(P(0, 0) = 0\$\)
- \(P(8, 0) = 500(8) = 4000\$\)
- \(P(4, 6) = 500(4) + 400(6) = 2000 + 2400 = 4400\$\)
- \(P(0, 10) = 400(10) = 4000\$\)
ដូចនេះ កសិករគួរដាំ ស្រូវ \(4\) ហិកតា និង ពោត \(6\) ហិកតា ដើម្បីទទួលបានចំណេញអតិបរមា \(4400\$\)។

លំហាត់ PISA - ការកាត់បន្ថយថ្លៃដើមរបបអាហាររូបត្ថម្ភ ៖
តាង \(x, y\) ជាចំនួនកញ្ចប់អាហារ I និង II (\(x \ge 0, y \ge 0\)) ៖
\(\begin{cases} 2x + 4y \ge 16 \iff x + 2y \ge 8 \\ 4x + 2y \ge 24 \iff 2x + y \ge 12 \end{cases}\)
អនុគមន៍ចំណាយ ៖ \(C(x, y) = 3x + 2y\) ($)
ប្រសព្វបន្ទាត់ ៖ \(x = \dfrac{16}{3} \approx 5.33, \quad{} y = \dfrac{4}{3} \approx 1.33\)
- ត្រង់ \((0, 12) \implies C = 24\$\)
- ត្រង់ \(\left(\dfrac{16}{3}, \dfrac{4}{3}\right) \implies C = 3\left(\dfrac{16}{3}\right) + 2\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{56}{3} \approx 18.67\$\)
- ត្រង់ \((8, 0) \implies C = 24\$\)
បើគិតជាចំនួនកញ្ចប់គត់ដែលនៅជិតបំផុត ៖ ចំណុច \((5, 2)\) ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ (\(5+4=9 \ge 8\) និង \(10+2=12 \ge 12\)) មានចំណាយ \(C = 3(5) + 2(2) = 19\$\)។
ដូចនេះ ចំណាយទាបបំផុតគឺប្រមាណ \(18.67\$\) (ទ្រឹស្តី) ឬ \(19\$\) (ទិញជាក់ស្តែង ៥ កញ្ចប់ I និង ២ កញ្ចប់ II)។

លំហាត់ PISA ៖ ការផ្ទុកទំនិញតាមកប៉ាល់ដឹកជញ្ជូន ៖

តាង \(x\) ជាចំនួនកុងតឺន័រតូច និង \(y\) ជាកុងតឺន័រធំ (\(x \ge 0, y \ge 0\)) ៖
- លក្ខខណ្ឌទម្ងន់ ៖ \(2x + 4y \le 36 \iff x + 2y \le 18\)
- លក្ខខណ្ឌមាឌ ៖ \(3x + 5y \le 50\)
រកកំពូលនៃតំបន់ដំណោះស្រាយ ៖
- គល់កូអរដោនេ ៖ \((0, 0)\)
- ប្រសព្វលើ \(Ox\) ៖ \(3x \le 50 \implies \left(\dfrac{50}{3}, 0\right) \approx (16.67, 0)\)
- ប្រសព្វលើ \(Oy\) ៖ \(2y \le 18 \implies (0, 9)\)
- ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ ៖
\(x = 18 - 2y \implies 3(18 - 2y) + 5y = 50 \iff 54 - y = 50 \iff y = 4\)
\(x = 18 - 2(4) = 10 \implies (10, 4)\)។
ដូចនេះ កំពូលនៃតំបន់ដំណោះស្រាយគឺ \((0, 0)\), \((16.67, 0)\), \((10, 4)\), \((0, 9)\)។

លំហាត់ PISA - ផែនការរថយន្តក្រុងដឹកសិស្សសាលា ៖
តាង \(x\) ជាចំនួនរថយន្តតូច (\(30\) កៅអី) និង \(y\) ជាចំនួនរថយន្តធំ (\(50\) កៅអី) (\(x, y \in \mathbb{N}\)) ៖
- ចំនួនកៅអី ៖ \(30x + 50y \ge 400 \iff 3x + 5y \ge 40\)
- ចំនួនអ្នកបើកបរ ៖ \(x + y \le 12\)
- ចំណាយសរុប ៖ \(C(x, y) = 300x + 450y\) ($)
ពិនិត្យគូចំនួនគត់ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖
- ប្រើតែរថយន្តធំ ៖ \(x = 0, y = 8\) (ដឹកបាន \(400\) នាក់, អ្នកបើកបរ \(8 \le 12\)) ៖
\(C = 450 \times 8 = 3600\$\)
- ប្រើរថយន្តតូច ២ និងធំ ៧ ៖ \(3(2) + 5(7) = 41 \ge 40\) (\(x + y = 9 \le 12\)) ៖
\(C = 300(2) + 450(7) = 600 + 3150 = 3750\$\)
- ប្រើរថយន្តតូច ១០ និងធំ ២ ៖ \(3(10) + 5(2) = 40\) (\(x + y = 12 \le 12\)) ៖
\(C = 300(10) + 450(2) = 3000 + 900 = 3900\$\)
ដូចនេះ ផែនការចំណាយតិចបំផុតគឺជួល រថយន្តធំចំនួន ៨ គ្រឿង (មិនជួលរថយន្តតូច) ដោយចំណាយត្រឹមតែ \(3600\$\)។