KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១០
  3. មេរៀនទី ១៩
១៩
ជំពូកទី ៧ ស្ថិតិ · មេរៀនទី ១៩ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

បំណែងចែកប្រេកង់និងការតាងក្រាប

ស្ថិតិ៤ ផ្នែកលំហាត់ ៥០សំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០
ប្រវត្តិនៃស្ថិតិវិទ្យា និងការរៀបចំទិន្នន័យតាមសម័យកាល

ការសិក្សាពីស្ថិតិ (Statistics) មានតាំងពីបុរាណកាល ពិសេសនៅសម័យអេស៊ីប និងរ៉ូម ដើម្បីស្រង់ចំនួនប្រជាជន និងទិន្នផលកសិកម្មសម្រាប់ការប្រមូលពន្ធ។ នៅសតវត្សទី១៧ អ្នកប្រាជ្ញអង់គ្លេស ចន ហ្គ្រូន (John Graunt) ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាបិតាស្ថិតិសាស្ត្រប្រជាសាស្ត្រ ដោយគាត់បានវិភាគទិន្នន័យមរណភាពនៅឡុងដ៍។ ក្រោយមក ស្ថិតិសាស្ត្រទំនើបត្រូវបានអភិវឌ្ឍយ៉ាងខ្លាំងដោយអ្នកប្រាជ្ញដូចជា កាល ភៀរសុន (Karl Pearson) និង រ៉ូណាល់ ហ្វីស្ស័រ (Ronald Fisher) ដើម្បីយកទៅប្រើប្រាស់គ្រប់វិស័យរួមទាំងវិទ្យាសាស្ត្រ សេដ្ឋកិច្ច និងសង្គមវិទ្យា។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ទី៩៖
១. សញ្ញាណនៃប្រភាគ និងភាគរយ
២. ការបូក និងដកចំនួនទសភាគ
៣. ការអានតារាងទិន្នន័យ និងក្រាបសាមញ្ញ (ក្រាបសសរ, ក្រាបផ្លិត)

អថេរបរិមាណនិងអថេរគុណភាព

ឧទាហរណ៍

គ្រូចង់ស្រង់ព័ត៌មានពីសិស្សអំពីចំនួនបងប្អូន ចំនួនសៀវភៅដែលបានអាននៅឆមាសមុន រយៈពេលធ្វើដំណើរពីផ្ទះមកសាលារៀន ភាសាបរទេសដែលសិស្សចង់រៀនប្រភេទឈាម ... ។

  • អ្នកដែលត្រូវគ្រូសួរព័ត៌មានគឺសិស្ស ។ សំណុំសិស្សទាំងអស់ហៅថា សំណុំសកល ។

  • បើគ្រូសាកសួរព័ត៌មានចំពោះតែសិស្សក្នុងថ្នាក់រៀនមួយនោះសំណុំសិស្សមួយថ្នាក់នេះហៅថា សំណុំសំណាក ។

  • ព័ត៌មានទាំងឡាយដូចជា ចំនួនបងប្អូន ចំនួនសៀវភៅ ភាសាបរទេស រយៈពេលធ្វើដំណើរ ... ជាលក្ខណៈសម្គាល់របស់សំណុំសកលហៅថា អថេរតាងដោយ \(x_i\) ។ ចំនួនបងប្អូនបង្កើតរបស់សិស្សម្នាក់ៗអាចជាចំនួន \(0, 1, 2, 3...\) ។ ចំនួនសៀវភៅដែលបានអានអាចជាចំនួន \(0, 1, 2, 3, 4...\) ។ រយៈពេលធ្វើដំណើរពីផ្ទះមកសាលារៀនអាចជាចំនួន \(5\text{ mn}, 10\text{ mn}, 15\text{ mn}, \dots\) ។

  • ចំនួនទាំងនេះហៅថា តម្លៃរបស់អថេរ ។

  • អថេរទាំងនេះមានតម្លៃជាលេខ ហៅថា អថេរបរិមាណ ។

  • ភាសាបរទេសដែលសិស្សចង់រៀនជាអថេរមួយអាចជាភាសាអង់គ្លេស បារាំង ចិន ជប៉ុន... ។ ប្រភេទឈាមរបស់សិស្ស អាចជាប្រភេទ : \(A, B, AB, O\) ។ អថេរទាំងនេះគ្មានតម្លៃជាលេខទេ ហៅថា អថេរគុណភាព ។

  • ព័ត៌មានជាលេខ ឬជាអក្សរដែលបានពីសិស្សទាំងអស់ហៅថា ទិន្នន័យ ។

បំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យមិនផ្ដុំជាថ្នាក់និងការតាងក្រាប

ឧទាហរណ៍

គ្រូបានស្រង់ចំនួនសៀវភៅដែលសិស្សម្នាក់ៗបានអាននៅឆមាសមុន ។ គ្រូបានទិន្នន័យដូចខាងក្រោម៖

3 4 4 2 1 0 1 4 3 2
2 5 1 2 3 4 2 1 2 2
3 3 4 2 4 3 2 3 1 4
2 3 4 2 2 4 5 2 4 3

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ សំណុំសិស្សជា សំណុំសកលចំនួនសៀវភៅដែលសិស្សម្នាក់ៗបានអានជាអថេរ ។

  • គេឃើញថាតម្លៃអថេរមាន \(0, 1, 2, 3, 4, 5\) ជាអថេរបរិមាណ ។

  • បន្ទាប់ពីបានទិន្នន័យ គេរាប់ចំនួនដងដែលកើតឡើងចំពោះតម្លៃអថេរស៊ីមួយៗ រួចគេរៀបចំដាក់ក្នុងតារាងមួយហៅថា តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ។

  • ចំនួនដងដែលកើតឡើងលើតម្លៃអថេរស៊ីមួយៗហៅថា ប្រេកង់ តាងដោយ \(f_i\) ។

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់

ចំនួនសៀវភៅដែលសិស្សបានអាន \(x_i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
របាប់ចំនួនដង | |||| || ||||
ចំនួនសិស្ស ឬប្រេកង់ \(f_i\) \(1\) \(9\) \(14\) \(12\) \(10\) \(4\)

  • គេឃើញថា ផលបូកប្រេកង់របស់តម្លៃអថេរនីមួយៗស្មើនឹង \(50\) ដែលជាចំនួនសិស្សទាំងអស់បានផ្ដល់ចម្លើយឱ្យគ្រូ ។ \(50\) ហៅថា ប្រេកង់សរុបតាងដោយ \(N\) ។

ជាទូទៅ

\(N = f_1 + f_2 + \dots + f_n\)

ឧទាហរណ៍

គ្រូសួរសិស្ស \(38\) នាក់អំពីភាសាបរទេសមាន អង់គ្លេស \(E\) បារាំង \(F\) ជប៉ុន \(J\) ចិន \(C\) កូរ៉េ \(K\) ដែលសិស្សម្នាក់ៗចង់រៀន ។ គ្រូបានចម្លើយដូចខាងក្រោម៖

E E C F J E E C F E J E C
F J E C E K F E J E C E F
C F E E F J C E F E J K

  • គេឃើញថា តម្លៃអថេរ ភាសាបរទេសដែលសិស្សរៀនគឺ អង់គ្លេស បារាំង ជប៉ុន ចិន កូរ៉េ ដែលមិនអាចជាចំនួនបាន ។ អថេរនេះហៅថា អថេរគុណភាព ។

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់

ភាសាបរទេស\(x_i\) អង់គ្លេស បារាំង ជប៉ុន ចិន កូរ៉េ
របាប់ចំនួនដង ||| | || ||
ប្រេកង់ \(f_i\) \(15\) \(8\) \(6\) \(7\) \(2\)

  • តាមតារាងនេះ គេឃើញថាសិស្សរៀនភាសាអង់គ្លេស \(15\) នាក់ បារាំង \(8\) នាក់ ជប៉ុន \(6\) នាក់ ចិន \(7\) នាក់ និងកូរ៉េ \(2\) នាក់ ។

ការតាងក្រាប

ដើម្បីឱ្យងាយមើលគេអាចបកស្រាយទិន្នន័យក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ដោយប្រើក្រាប ។ ចំពោះទិន្នន័យមិនផ្ដុំជាថ្នាក់អាចតាងដោយ ក្រាបសសរ និងក្រាបផ្លិត ។

របៀបសង់ក្រាបសសរ : នៅក្នុងប្លង់កូអរដោនេគេដៅតម្លៃរបស់អថេរ \(x_i\) នៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីសនិងប្រេកង់ \(f_i\) នៅលើអ័ក្សអរដោនេ រួចសង់សសរដែល \(x_i\) ជាបាតនៃសសរ និងប្រេកង់ \(f_i\) ជាកម្ពស់សសរ ។

របៀបសង់ក្រាបផ្លិត : គេចែកថាសជាចម្រៀកថាសដែលមានមុំផ្ចិត សមាមាត្រនឹងប្រេកង់នីមួយៗ ។

\[\text{មុំផ្ចិត} = \frac{360^{\circ} \times \text{ប្រេកង់ } f_i}{\text{ប្រេកង់សរុប } N}\]

គេអាចគណនាជាប្រេកង់ នីមួយៗធៀបនឹងប្រេកង់សរុបដែលគេហៅថា ប្រេកង់ធៀប តាងដោយ \(f_i\%\) ។

\[\text{ប្រេកង់ធៀប} = \frac{\text{ប្រេកង់}}{\text{ប្រេកង់សរុប}} \quad{} \text{ឬ } f_i\% = \frac{f_i}{N}\]

សម្គាល់

ប្រវត្តិសាស្ត្រក្រាបសម្រាប់តាងកុំផ្លិច ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅឆ្នាំ 1801 ដោយ Ecossais William Playfair ។

ឧទាហរណ៍

បកស្រាយទិន្នន័យនៃចំនួនសៀវភៅដែលសិស្សបានអានក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោមនេះដោយប្រើក្រាប ។

\(x_i\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(f_i\) \(1\) \(9\) \(14\) \(12\) \(10\) \(4\)
\(f_i\%\) \(0.02\) \(0.18\) \(0.28\) \(0.24\) \(0.20\) \(0.08\)

មុំផ្ចិតនៃចម្រៀកថាសរបស់តម្លៃអថេរនីមួយៗគឺ \(x_1 = 1 \quad{} : \quad{} \frac{360^{\circ} \times 1}{50} = 7.2^{\circ}\) \(x_2 = 2 \quad{} : \quad{} \frac{360^{\circ} \times 9}{50} = 64.8^{\circ}\) \(x_3 = 3 \quad{} : \quad{} \frac{360^{\circ} \times 14}{50} = 100.8^{\circ}\) \(x_4 = 4 \quad{} : \quad{} \frac{360^{\circ} \times 12}{50} = 86.4^{\circ}\) \(x_5 = 5 \quad{} : \quad{} \frac{360^{\circ} \times 10}{50} = 72^{\circ}\) \(x_6 = 6 \quad{} : \quad{} \frac{360^{\circ} \times 4}{50} = 28.8^{\circ}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

សម្គាល់

គេអាចបកស្រាយទិន្នន័យដែលជាអថេរគុណភាពដោយប្រើក្រាបសសរនិងក្រាបផ្លិត ដូចក្នុងអថេរបរិមាណនៃទិន្នន័យមិនផ្ដុំជាថ្នាក់ដែរ ។

ប្រតិបត្តិ

អ្នកជំនាញការក្នុងរោងចក្រកាត់ដេរមួយចុះត្រួតពិនិត្យគុណភាពអាវដែលបានផលិត ដើម្បីស្រង់ចំនួនអាវដែលបានខូចប្រចាំនីមួយៗ ។ គេពិនិត្យឃើញថាការដេរក្នុងមួយថ្ងៃគ្មានខូចអាវសោះមានចំនួន \(15\) ថ្ងៃ ដេរក្នុងមួយថ្ងៃខូចអាវមួយមានចំនួន \(20\) ថ្ងៃ ខូចអាវ \(2\) មានចំនួន \(10\) ថ្ងៃ ខូចអាវ \(3\) មានចំនួន \(7\) ថ្ងៃ និងខូចអាវ \(4\) មានចំនួន \(8\) ថ្ងៃ ។
ក.  ប្រាប់ឈ្មោះសំណុំសកលអថេរ ប្រភេទអថេរ តម្លៃអថេរ និងប្រេកង់សរុប ។
ខ.  សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ រួចបកស្រាយទិន្នន័យដោយប្រើក្រាបសសរនិងក្រាបផ្លិត ។

១លំហាត់គំរូ ១

ក្រាបខាងក្រោមនេះជារបាយការណ៍របស់មន្ទីរពិសោធន៍មួយស្ដីពីប្រភេទឈាមរបស់អ្នកជំងឺ \(40\) នាក់ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ក.  ប្រាប់ឈ្មោះសំណុំសកល អថេរ និងតម្លៃអថេរ ។
ខ.  បកស្រាយលទ្ធផលនេះ រួចសង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ។

ដំណោះស្រាយ


ក.  សំណុំសកល គឺសំណុំអ្នកជំងឺ អថេរ គឺប្រភេទឈាមដែលជាអថេរគុណភាព តម្លៃអថេរគឺប្រភេទឈាម \(A, B, O\) និង \(AB\) ។
ខ.  អ្នកជំងឺមាន \(40\) នាក់ ។ \(40\) ជាប្រេកង់សរុប អ្នកជំងឺឈាមប្រភេទ \(A\) មាន \(27.5\%\) ត្រូវនឹងប្រេកង់ \(\frac{27.5 \times 40}{100} = 11\) នាក់ ។ អ្នកជំងឺឈាមប្រភេទ \(B\) មាន \(25\%\) ត្រូវនឹងប្រេកង់ \(\frac{25 \times 40}{100} = 10\) នាក់ ។ អ្នកជំងឺឈាម \(O\) មាន \(37.5\%\) ត្រូវនឹងប្រេកង់ \(\frac{37.5 \times 40}{100} = 15\) នាក់ ។ អ្នកជំងឺឈាម \(AB\) មាន \(10\%\) ត្រូវនឹងប្រេកង់ \(\frac{10 \times 40}{100} = 4\) នាក់ ។ តារាងបំណែងចែកប្រេកង់

ប្រភេទឈាម \(A\) \(B\) \(O\) \(AB\)
ចំនួនអ្នកជំងឺ ឬប្រេកង់ \(11\) \(10\) \(15\) \(4\)
ប្រតិបត្តិ

ក្រាបខាងក្រោមនេះតាងអាយុ (គិតជាឆ្នាំ) របស់សិស្សមួយក្រុម ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ក.  តើក្រុមនេះ មានសិស្សប៉ុន្មាននាក់?
ខ.  សិស្សមានអាយុ \(17\) ឆ្នាំមានប៉ុន្មាននាក់? ស្មើនឹងប៉ុន្មានភាគរយ?
គ.  តើក្នុងអាយុមួយណាដែលមានសិស្សច្រើនជាងគេ?
ឃ.  សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ។

មើលចម្លើយ


ក.  \(52\) នាក់ ខ.  \(8\) នាក់, \(13.33\%\) គ.  \(15\) នាក់ ។

បំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យដែលផ្ដុំជាថ្នាក់ និងការតាងក្រាប

ឧទាហរណ៍

ក្នុងការពិនិត្យសុខភាពសិស្ស \(52\) នាក់ដំបូងគេត្រូវស្ទាល់ម៉ាស (គិតជា \(\text{kg}\)) របស់សិស្សម្នាក់ៗដែលមានក្នុងតារាងខាងក្រោម៖

44 50 48 47 46 39 37 41 42 60 58 40 37
38 47 44 40 50 51 41 40 57 38 40 44 42
46 56 55 39 45 40 44 57 60 42 39 51 50
36 53 52 47 40 39 41 43 63 44 45 63 41

ដោយតម្លៃរបស់អថេរ មានច្រើនពេកនោះគេរៀបទិន្នន័យទៅតាមលំដាប់នៃចំនួនតូចផ្ដុំជាថ្នាក់ ។

ការរៀបចំជាថ្នាក់

ការរៀបចំថ្នាក់នៃទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ គេត្រូវកំណត់ចំនួនថ្នាក់ តាងដោយ \(k\) និងប្រវែងចន្លោះថ្នាក់តាងដោយ \(i\) ។ តាមតារាងតម្លៃខាងលើ តម្លៃអថេរដែលតូចជាងគេគឺ \(36\) និងធំជាងគេគឺ \(63\) ។

  • បើគេរៀបចំទិន្នន័យនេះជា \(7\) ថ្នាក់ នោះថ្នាក់នីមួយៗមានប្រវែងចន្លោះ :

    \[\frac{\text{តម្លៃធំបំផុត} - \text{តម្លៃតូចបំផុត}}{\text{ចំនួនថ្នាក់}} = \frac{63 - 36}{7} = 3.85 , \quad{} \text{គេយក } i = 4\]

  • ថ្នាក់ទាំង \(7\) គឺ \(36 - 40\) , \(40 - 44\) , \(44 - 48\) , \(48 - 52\) , \(52 - 56\) , \(56 - 60\) , \(60 - 64\) ។

  • \(36 - 40\) ជាថ្នាក់ទី 1 ដែល \(36\) ហៅថា គោលក្រោមនៃថ្នាក់ តាងដោយ \(c_0\) និង \(40\) ហៅថា គោលលើនៃថ្នាក់ តាងដោយ \(c_1\) ។

  • \(40 - 44\) ជាថ្នាក់ទី 2 ដែល \(40\) ជាគោលក្រោមតាង \(c_1\) និង \(44\) ជាគោលលើតាងដោយ \(c_2\) ។

  • ប្រេកង់សម្រាប់ថ្នាក់នីមួយៗ គេមិនរាប់តម្លៃនៃគោលលើទេ ។ តម្លៃគោលលើនៃថ្នាក់នីមួយៗគេរាប់បញ្ចូលទៅក្នុងថ្នាក់បន្ទាប់ ។

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ៖

ចន្លោះថ្នាក់ \(c_{i-1} - c_i\) \(36-40\) \(40-44\) \(44-48\) \(48-52\) \(52-56\) \(56-60\) \(60-64\)
ប្រេកង់ \(f_i\) \(9\) \(14\) \(12\) \(6\) \(3\) \(4\) \(4\)

ការតាងក្រាប

នៅក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេដៅតម្លៃនៃចន្លោះថ្នាក់នីមួយៗលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងតម្លៃប្រេកង់នៅលើអ័ក្សអរដោនេ ។ សង់ចតុកោណកែងដែលមានបាតជាប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ និងមានកម្ពស់ជាប្រេកង់នៃថ្នាក់នីមួយៗ ។ រូបដែលសង់បានហៅថា អ៊ីស្តូក្រាម ។

បកស្រាយទិន្នន័យខាងលើជាក្រាប

ចន្លោះថ្នាក់ ប្រេកង់
\(36-40\) \(9\)
\(40-44\) \(14\)
\(44-48\) \(12\)
\(48-52\) \(6\)
\(52-56\) \(3\)
\(56-60\) \(4\)
\(60-64\) \(4\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២លំហាត់គំរូ ២

ទិន្នន័យខាងក្រោមនេះជារយៈពេលធ្វើដំណើររបស់សិស្ស \(50\) នាក់ពីផ្ទះសិស្សម្នាក់ៗ មកសាលារៀន (រយៈពេលគិតជានាទី) ។

15 11 22 5 32 16 20 18 12 8 18 28 12 19 5 23 17
6 21 30 7 14 25 16 25 24 20 18 24 15 29 17 34 12
8 24 9 10 8 18 20 19 15 13 7 22 19 17 25 10

ក.  រៀបចំទិន្នន័យតាមលំដាប់ដោយបង្ដុំជា \(6\) ថ្នាក់ ដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ រួចបកស្រាយទិន្នន័យដោយប្រើក្រាបអ៊ីស្តូក្រាម ។
ខ.  តើសិស្សភាគច្រើនប្រើថ្នាក់នៃរយៈពេលណាក្នុងការធ្វើដំណើរពីផ្ទះមកសាលារៀន?

ដំណោះស្រាយ


ក.  រៀបចំទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ តម្លៃតូចបំផុតនៃទិន្នន័យគឺ \(5\) និងតម្លៃធំបំផុតគឺ \(35\) ។ ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់គឺ \(\frac{\text{តម្លៃធំបំផុត} - \text{តម្លៃតូចបំផុត}}{\text{ចំនួនថ្នាក់}} = \frac{30}{6} = 5\)

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ និងបកស្រាយទិន្នន័យជាក្រាប

រយៈពេល ប្រេកង់ ប្រវែង កម្ពស់
\(\text{mn}\) ចន្លោះថ្នាក់ ចតុកោណកែង
\(5-10\) \(9\) \(5\) \(9\)
\(10-15\) \(8\) \(5\) \(8\)
\(15-20\) \(15\) \(5\) \(15\)
\(20-25\) \(10\) \(5\) \(10\)
\(25-30\) \(5\) \(5\) \(5\)
\(30-35\) \(3\) \(5\) \(3\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ.  សិស្សភាគច្រើនប្រើពេលពី \(15\text{ mn}\) ទៅ \(20\text{ mn}\) ដើម្បីធ្វើដំណើរពីផ្ទះទៅសាលារៀន ។

៣លំហាត់គំរូ ៣

ក្រាបខាងក្រោមនេះ តាងពិន្ទុគណិតវិទ្យារបស់សិស្សមួយក្រុម ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ក.  តើពិន្ទុតូចបំផុតប៉ុន្មាន? ធំបំផុតប៉ុន្មាន?
ខ.  តើពិន្ទុគណិតវិទ្យានេះជារបស់សិស្សប៉ុន្មាននាក់?
គ.  រៀបចំទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ។

ដំណោះស្រាយ


ក.  ពិន្ទុតូចបំផុត \(15\) និងធំបំផុត \(95\)
ខ.  ពិន្ទុនេះជារបស់សិស្ស \(95\) នាក់
គ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ។

ពិន្ទុ \(15-25\) \(25-35\) \(35-45\) \(45-55\) \(55-65\) \(65-75\) \(75-85\) \(85-95\)
ចំនួនសិស្ស \(5\) \(10\) \(13\) \(16\) \(25\) \(12\) \(9\) \(5\)
ប្រតិបត្តិ

ទិន្នន័យខាងក្រោមនេះជាអាយុរបស់បុគ្គលិកកម្មករនៅក្នុងរោងចក្រមួយ ។

អាយុ (គិតជាឆ្នាំ) \(15-25\) \(25-35\) \(35-45\) \(45-55\) \(55-65\)
ចំនួនមនុស្ស \(3\) \(10\) \(19\) \(27\) \(24\)

ក.  បុគ្គលិកកម្មករក្នុងរោងចក្រមានអាយុពីប៉ុន្មានឆ្នាំ ដល់ប៉ុន្មានឆ្នាំ ?
ខ.  ក្នុងរោងចក្រមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់ ?
គ.  តើអ្នកមានអាយុពី \(25\) ឆ្នាំដល់ \(35\) ឆ្នាំមានប៉ុន្មាននាក់ ?

មើលចម្លើយ


ក.  ពី \(15\) ទៅ \(65\) ឆ្នាំ ខ.  \(83\) នាក់ គ.  \(10\) នាក់ ។

បំណែងចែកប្រេកង់កើននិងប្រេកង់ថយ

ប្រេកង់កើននិងប្រេកង់ថយ

ឧទាហរណ៍

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោមនេះមានអថេរជាចំនួនសៀវភៅដែលសិស្សបានអាននៅឆមាសមុន :

\(x_i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(f_i\) \(1\) \(9\) \(14\) \(12\) \(10\) \(4\)

  • បើគេចង់ដឹងថា តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលបានអានសៀវភៅសោះ (\(0\) ក្បាល) អានបាន \(1\) ក្បាល និងអានបាន \(2\) ក្បាល ។ ដូច្នេះ សិស្សដែលបានអានសៀវភៅយ៉ាងច្រើន \(2\) ក្បាលមាន \(1 + 9 + 14 = 24\) នាក់ ។ \(24\) ហៅថាប្រេកង់កើន តាងដោយ \(F_i\) ។

  • បើគេចង់ដឹងថាតើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលបានអានសៀវភៅយ៉ាងតិចណាស់ \(2\) ក្បាល នោះ គឺជាចំនួនសិស្សដែលបានអានសៀវភៅ \(2\) ក្បាល \(3\) ក្បាល \(4\) ក្បាល និង \(5\) ក្បាល ។ ចំនួនសិស្សនោះ គឺ \(14 + 12 + 10 + 4 = 40\) នាក់ ។ \(40\) ហៅថាប្រេកង់ថយតាងដោយ \(G_i\) ។ គេបានតារាងបំណែងចែកប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ

\(x_i\) ប្រេកង់ \(f_i\) ប្រេកង់កើន \(F_i\) ប្រេកង់ថយ \(G_i\)
\(0\) \(1\) \(1\) \(1 + 9 + 14 + 12 + 10 + 4 = 50\)
\(1\) \(9\) \(1 + 9 = 10\) \(9 + 14 + 12 + 10 + 4 = 49\)
\(2\) \(14\) \(1 + 9 + 14 = 24\) \(14 + 12 + 10 + 4 = 40\)
\(3\) \(12\) \(1 + 9 + 14 + 12 = 36\) \(12 + 10 + 4 = 26\)
\(4\) \(10\) \(1 + 9 + 14 + 12 + 10 = 46\) \(10 + 4 = 14\)
\(5\) \(4\) \(1 + 9 + 14 + 12 + 10 + 4 = 50\) \(4\)
៤លំហាត់គំរូ ៤

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃរយៈពេលធ្វើដំណើររបស់សិស្ស

ចន្លោះថ្នាក់ \(5-10\) \(10-15\) \(15-20\) \(20-25\) \(25-30\) \(30-35\)
\(f_i\) \(9\) \(8\) \(15\) \(10\) \(5\) \(3\)

ក.  តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ប្រើពេលតិចជាង \(25\) នាទី? ត្រូវប៉ុន្មានភាគរយ?
ខ.  តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ប្រើពេលច្រើនជាងឬស្មើ \(20\) នាទី? ត្រូវប៉ុន្មានភាគរយ?

ដំណោះស្រាយ


ក.  សិស្សប្រើពេលតិចជាង \(25\) នាទីមានចំនួន : \(9 + 8 + 15 + 10 = 42\) នាក់ត្រូវនឹង \(\frac{42 \times 100}{50} = 84\%\) ។
ខ.  សិស្សប្រើពេលតិចជាង \(20\) នាទីមានចំនួន : \(10 + 5 + 3 = 18\) នាក់ត្រូវនឹង \(\frac{18 \times 100}{50} = 36\%\) ។

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់កើន ប្រេកង់ថយ

ចន្លោះថ្នាក់ ប្រេកង់ \(f_i\) ប្រេកង់កើន \(F_i\) ប្រេកង់ថយ \(G_i\) ប្រេកង់ធៀបកើន ប្រេកង់ធៀបថយ
\(5 - 10\) \(9\) \(9\) \(50\) \(0.18\) \(1\)
\(10 - 15\) \(8\) \(17\) \(41\) \(0.34\) \(0.82\)
\(15 - 20\) \(15\) \(32\) \(33\) \(0.64\) \(0.66\)
\(20 - 25\) \(10\) \(42\) \(18\) \(0.84\) \(0.36\)
\(25 - 30\) \(5\) \(47\) \(8\) \(0.94\) \(0.16\)
\(30 - 35\) \(3\) \(50\) \(3\) \(1\) \(0.06\)
និយមន័យ

ប្រេកង់កើន គឺជាប្រេកង់បានដោយបូកប្រេកង់នៃថ្នាក់នីមួយៗបន្តបន្ទាប់ពីលើចុះក្រោម ។

ប្រេកង់ថយ គឺជាប្រេកង់បានមកពីការបូកប្រេកង់នៃថ្នាក់នីមួយៗបន្តបន្ទាប់ពីក្រោមឡើងលើ ។

សម្គាល់

ចំពោះអថេរគុណភាព គេមិនអាចកំណត់ប្រេកង់កើន ឬថយបានទេ ពីព្រោះតម្លៃអថេរនេះគ្មានលំដាប់ ឬតូច ។

ការតាងក្រាប

ពហុកោណប្រេកង់

  • ដើម្បីសង់ពហុកោណប្រេកង់ គេត្រូវស្គាល់ចំណុចកណ្ដាលនៃថ្នាក់នីមួយៗហៅថាផ្ចិតនៃថ្នាក់ ។

  • ពហុកោណប្រេកង់គឺជាខ្សែបាក់ដែលគូសភ្ជាប់តភ្ជាប់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីសជាផ្ចិតនៃថ្នាក់ និងអរដោនេជាប្រេកង់ ។ ផ្ចិតនៃថ្នាក់ : \(x_i = \frac{c_{i-1} + c_i}{2}\) ។

ចន្លោះថ្នាក់ ប្រេកង់ ផ្ចិតនៃថ្នាក់
\(5 - 10\) \(9\) \(\frac{10 + 5}{2} = 7.5\)
\(10 - 15\) \(8\) \(\frac{15 + 10}{2} = 12.5\)
\(15 - 20\) \(15\) \(\frac{20 + 15}{2} = 17.5\)
\(20 - 25\) \(10\) \(\frac{25 + 20}{2} = 22.5\)
\(25 - 30\) \(5\) \(\frac{30 + 25}{2} = 27.5\)
\(30 - 35\) \(3\) \(\frac{35 + 30}{2} = 32.5\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

  • ផ្ទៃនៅក្រោមពហុកោណប្រេកង់តាងឱ្យប្រេកង់សរុប ។

ពហុកោណប្រេកង់កើននិងប្រេកង់ថយ

ពហុកោណប្រេកង់កើននៃទិន្នន័យនេះគឺជាខ្សែបាក់ដែលភ្ជាប់ដោយចំណុចដែលមានកូអរដោនេ :

  • \((5, 0)\) ជាចំណុចទីមួយដែលមានអាប់ស៊ីសជាគោលក្រោមនៃថ្នាក់ទី 1 និងអរដោនេ 0

ចន្លោះថ្នាក់ ប្រេកង់ \(f_i\) ប្រេកង់កើន \(F_i\) ប្រេកង់ថយ \(G_i\)
\(5 - 10\) \(9\) \(9\) \(50\)
\(10 - 15\) \(8\) \(17\) \(41\)
\(15 - 20\) \(15\) \(32\) \(33\)
\(20 - 25\) \(10\) \(42\) \(18\)
\(25 - 30\) \(5\) \(47\) \(8\)
\(30 - 35\) \(3\) \(50\) \(3\)

  • \((10, 9)\) , \((15, 17)\) , \((20, 32)\) , \((25, 42)\) , \((30, 47)\) , \((35, 50)\) ជាចំណុចមានអាប់ស៊ីសជាគោលលើនៃថ្នាក់នីមួយៗនិងអរដោនេជាប្រេកង់កើនត្រូវនឹងថ្នាក់នោះ ។

ពហុកោណប្រេកង់ថយជាខ្សែបាក់ភ្ជាប់ដោយចំណុច ដែលមានកូអរដោនេ : \((5, 50)\) , \((10, 41)\) , \((15, 33)\) , \((20, 18)\) , \((25, 8)\) , \((30, 3)\) ដែលអាប់ស៊ីសជាគោលក្រោមនៃថ្នាក់នីមួយៗ និងអរដោនេជាប្រេកង់ថយត្រូវគ្នានឹងថ្នាក់នេះ និង \((35, 0)\) មានអាប់ស៊ីសជាគោលលើនៃថ្នាក់ចុងក្រោយ និងអរដោនេ \(0\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៥លំហាត់គំរូ ៥

តេស្តសាកល្បងដែក (គិតជា \(\text{dm}\)) ចំនួន \(80\) គេបានទិន្នន័យដូចខាងក្រោម៖

ចន្លោះថ្នាក់ \(90 - 92\) \(92 - 94\) \(94 - 96\) \(96 - 98\) \(98 - 100\) \(100 - 102\) \(102 - 104\)
ប្រេកង់ \(5\) \(4\) \(20\) \(15\) \(10\) \(10\) \(6\)

ក.  កំណត់ចំនួនសរសៃដែកមានប្រវែងពី \(100\text{ dm}\) ទៅ \(102\text{ dm}\) ហើយគិតជាភាគរយ ។
ខ.  កំណត់ចំនួនសរសៃដែកមានប្រវែងយ៉ាងតិច \(100\text{ dm}\) ហើយគិតជាភាគរយ ។
គ.  កំណត់ចំនួនសរសៃដែកមានប្រវែងជាង \(96\text{ dm}\) ហើយគិតជាភាគរយ ។
ឃ.  សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ប្រេកង់ធៀប ប្រេកង់កើន ប្រេកង់ថយ ។
ង.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម និងពហុកោណប្រេកង់កើន ។

ដំណោះស្រាយ


ក.  ចំនួនសរសៃដែកដែលមានប្រវែងពី \(100\text{ dm}\) ទៅ \(102\text{ dm}\) មាន \(10\) ចំនួនភាគរយគឺ \(\frac{10 \times 100}{80} = 12.5\%\) ។
ខ.  ចំនួនសរសៃដែកដែលមានប្រវែងយ៉ាងតិច \(100\text{ dm}\) មាន \(10 + 6 = 16\) ចំនួនភាគរយគឺ \(\frac{16 \times 100}{80} = 20\)
គ.  ចំនួនសរសៃដែក មានប្រវែងខ្លីជាង \(96\text{ dm}\) មាន \(5 + 4 + 20 = 29\) ចំនួនភាគរយគឺ \(\frac{29 \times 100}{80} = 36.5\%\) ។
ឃ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ប្រេកង់ធៀប ប្រេកង់កើន ប្រេកង់ថយ ។

ចន្លោះថ្នាក់ ផ្ចិតនៃថ្នាក់ \(x_i\) ប្រេកង់ \(f_i\) ប្រេកង់ធៀប\(\%\) ប្រេកង់កើន \(F_i\) ប្រេកង់ថយ \(G_i\)
\(90 - 92\) \(91\) \(5\) \(0.062\) \(5\) \(80\)
\(92 - 94\) \(93\) \(4\) \(0.050\) \(9\) \(75\)
\(94 - 96\) \(95\) \(20\) \(0.250\) \(29\) \(71\)
\(96 - 98\) \(97\) \(15\) \(0.187\) \(44\) \(51\)
\(98 - 100\) \(99\) \(20\) \(0.250\) \(64\) \(36\)
\(100 - 102\) \(101\) \(10\) \(0.125\) \(74\) \(16\)
\(102 - 104\) \(103\) \(6\) \(0.075\) \(80\) \(6\)

ង.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម និងពហុកោណប្រេកង់កើន

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

តារាងខាងក្រោមបង្ហាញពីប្រាក់បៀវត្សរបស់បុគ្គលិកក្នុងស្ថាប័នមួយ (គិតជាម៉ឺនរៀល) ៖

បៀវត្ស \(15 - 25\) \(25 - 35\) \(35 - 45\) \(45 - 55\) \(55 - 65\)
ចំនួនបុគ្គលិក \(12\) \(18\) \(15\) \(10\) \(5\)
ក.  តើបុគ្គលិកទាំងអស់មានប៉ុន្មាននាក់? ខ.  បៀវត្សពី \(35\) ម៉ឺនមានប៉ុន្មាននាក់? ត្រូវនឹងប៉ុន្មានភាគរយ?
គ.  បៀវត្សតិចជាង \(45\) ម៉ឺនមានប៉ុន្មានភាគរយ? ឃ.  បៀវត្សយ៉ាងតិច \(35\) ម៉ឺនមានប៉ុន្មានភាគរយ?
ង.  សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ប្រេកង់ធៀប ប្រេកង់កើន ប្រេកង់ថយ ។
ច.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម ពហុកោណប្រេកង់ថយ និងពហុកោណប្រេកង់កើន ។
មើលចម្លើយ


ក.  \(60\) នាក់ ខ.  \(30\) នាក់, \(50\%\) គ.  \(45\) នាក់, \(75\%\) ឃ.  \(30\) នាក់, \(50\%\) ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ចូរប្រាប់ឈ្មោះសំណុំសកល អថេរ និងប្រភេទនៃអថេរចំពោះការសិក្សាស្ថិតិនីមួយៗ :

  1. ពិន្ទុតេស្តភាសាអង់គ្លេសក្នុងថ្នាក់រៀនមួយ

  2. ល្បឿនរថយន្តបើកបរលើកំណាត់ផ្លូវមួយ

  3. សញ្ញាតិរបស់ភ្ញៀវស្នាក់នៅក្នុងសណ្ឋាគារមួយ

  4. ទីកន្លែងកំណើតរបស់សិស្សមួយក្រុម

  5. ចំនួនអាវយឺតដែលបានលក់ចេញរបស់ហាងមួយទៅតាមទំហំអាវ

  6. ចំនួនអាវយឺតដែលបានលក់ចេញក្នុងមួយថ្ងៃរបស់ហាងមួយអស់ពេល \(100\) ថ្ងៃ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ពិន្ទុតេស្តភាសាអង់គ្លេសក្នុងថ្នាក់រៀនមួយ៖

  • សំណុំសកល (Population)៖ សិស្សទាំងអស់ដែលរៀនក្នុងថ្នាក់រៀននោះ។

  • អថេរ (Variable)៖ ពិន្ទុតេស្តភាសាអង់គ្លេសរបស់សិស្សម្នាក់ៗ។

  • ប្រភេទអថេរ៖ អថេរបរិមាណ (Quantitative variable) — ជាអថេរបរិមាណដាច់ពីគ្នា ឬជាប់ (អាស្រ័យលើការផ្តល់ពិន្ទុជាលេខក្បៀស)។

ខ.  ល្បឿនរថយន្តបើកបរលើកំណាត់ផ្លូវមួយ៖

  • សំណុំសកល៖ រថយន្តទាំងអស់ដែលកំពុងបើកបរលើកំណាត់ផ្លូវនោះ។

  • អថេរ៖ ល្បឿនបើកបររបស់រថយន្ត (គិតជា \(\text{km/h}\))។

  • ប្រភេទអថេរ៖ អថេរបរិមាណជាប់ (Continuous quantitative variable) ព្រោះល្បឿនអាចទទួលតម្លៃណាមួយក្នុងចន្លោះជាក់លាក់។

គ.  សញ្ជាតិរបស់ភ្ញៀវស្នាក់នៅក្នុងសណ្ឋាគារមួយ៖

  • សំណុំសកល៖ ភ្ញៀវទាំងអស់ដែលស្នាក់នៅក្នុងសណ្ឋាគារនោះ។

  • អថេរ៖ សញ្ជាតិរបស់ភ្ញៀវ (ខ្មែរ បារាំង ចិន អាមេរិកាំង...)។

  • ប្រភេទអថេរ៖ អថេរគុណភាព (Qualitative variable / Nominal)។

ឃ.  ទីកន្លែងកំណើតរបស់សិស្សមួយក្រុម៖

  • សំណុំសកល៖ សិស្សទាំងអស់នៅក្នុងក្រុមដែលត្រូវបានសិក្សា។

  • អថេរ៖ ទីកន្លែងកំណើត (រាជធានី ខេត្ត ឬប្រទេស)។

  • ប្រភេទអថេរ៖ អថេរគុណភាព (Qualitative variable)។

ង.  ចំនួនអាវយឺតដែលបានលក់ចេញទៅតាមទំហំអាវ៖

  • សំណុំសកល៖ អាវយឺតទាំងអស់ដែលបានលក់ចេញក្នុងហាងនោះ។

  • អថេរ៖ ទំហំអាវយឺត (S, M, L, XL, XXL)។

  • ប្រភេទអថេរ៖ អថេរគុណភាពតាមលំដាប់ (Ordinal qualitative variable)។

ច.  ចំនួនអាវយឺតដែលបានលក់ចេញក្នុងមួយថ្ងៃអស់ពេល ១០០ ថ្ងៃ៖

  • សំណុំសកល៖ រយៈពេល ១០០ ថ្ងៃនៃការលក់របស់ហាង។

  • អថេរ៖ ចំនួនអាវយឺតដែលលក់ចេញក្នុងមួយថ្ងៃ។

  • ប្រភេទអថេរ៖ អថេរបរិមាណដាច់ពីគ្នា (Discrete quantitative variable) ព្រោះជាចំនួនគត់រាប់បាន (\(0, 1, 2, \dots\))។

២លំហាត់ទី ២

ទិន្នន័យខាងក្រោមនេះជាចំនួនបងប្អូនបង្កើតរបស់សិស្សម្នាក់ៗ :

1 0 3 2 5 2 1 1 4 3 1 2 3 1 2
2 2 3 1 2 0 0 5 1 4 1 1 1 4 0
1 1 1 2 1 3 1 2 2 3 0 4 2 1 0
2 1 2 0 2 1 3 2 1 1 2 2 2 1 1

  1. រៀបចំទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់

  2. តើករណីណាភើកញឹកញាប់ជាងគេ?

  3. សង់ក្រាបនៃទិន្នន័យនេះ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃចំនួនបងប្អូនបង្កើត៖ ទិន្នន័យមានចំនួនសរុប \(N = 60\) នាក់។ តាមរយៈការរាប់របាប់ (Tally) យើងទទួលបាន៖

បងប្អូន (\(x_i\)) របាប់
(\(f_i\))
(\(f_{ri}\)) ភាគរយ (%)
(\(F_i\))
\(0\) \(\cancel{||||}\ ||\) \(7\) \(\frac{7}{60} \approx 0.1167\) \(11.67\%\) \(7\)
\(1\) \(\cancel{||||}\ \cancel{||||}\ \cancel{||||}\ \cancel{||||}\ ||\) \(22\) \(\frac{22}{60} \approx 0.3667\) \(36.67\%\) \(29\)
\(2\) \(\cancel{||||}\ \cancel{||||}\ \cancel{||||}\ |||\) \(18\) \(\frac{18}{60} = 0.3000\) \(30.00\%\) \(47\)
\(3\) \(\cancel{||||}\ ||\) \(7\) \(\frac{7}{60} \approx 0.1167\) \(11.67\%\) \(54\)
\(4\) \(||||\) \(4\) \(\frac{4}{60} \approx 0.0667\) \(6.67\%\) \(58\)
\(5\) \(||\) \(2\) \(\frac{2}{60} \approx 0.0333\) \(3.33\%\) \(60\)
សរុប \(N = 60\) \(1.0000\) \(100\%\) —

ខ.  ករណីដែលកើតញឹកញាប់ជាងគេ៖ ផ្អែកលើតារាង តម្លៃដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ (ម៉ូត) គឺ \(x = 1\) ដែលមានប្រេកង់រហូតដល់ \(f_2 = 22\) (ស្មើនឹង \(36.67\%\))។ ដូច្នេះ សិស្សដែលមានបងប្អូនបង្កើត ១ នាក់កើតឡើងញឹកញាប់ជាងគេបំផុត។

គ.  ការសង់ក្រាប (ដ្យាក្រាមសសរ Bar Chart)៖

  • អ័ក្សដេក (\(Ox\))៖ តាងចំនួនបងប្អូនបង្កើត \(0, 1, 2, 3, 4, 5\)។

  • អ័ក្សឈរ (\(Oy\))៖ តាងប្រេកង់ (ចំនួនសិស្ស) ពី \(0\) ដល់ \(25\)។

  • សង់សសរឈរដាច់ៗពីគ្នាដោយកម្ពស់សសរនីមួយៗស្មើនឹងប្រេកង់រៀងគ្នា៖ កម្ពស់ \(7, 22, 18, 7, 4, 2\)។

៣លំហាត់ទី ៣

ទិន្នន័យនេះបង្ហាញពីម៉ាសសិស្ស \(47\) នាក់ (គិតជា \(\text{kg}\))

48.3 57.2 50.5 56.1 60.7 65.7 45.0 43.7 47.5 51.0 55.4 61.5
68.5 59.7 66.1 52.5 53.1 51.2 64.0 60.7 69.2 40.8 44.0 51.0
57.5 60.6 63.5 71.5 70.5 58.1 54.8 48.2 47.9 56.5 65.0 57.0
74.5 69.5 70.0 73.7 51.5 52.5 54.5 56.5 60.5 45.5 50.5

  1. ប្រមូលទិន្នន័យជា \(9\) ថ្នាក់ រួចសង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ប្រេកង់កើន ប្រេកង់ធៀប

  2. សង់អ៊ីស្តូក្រាម និងពហុកោណប្រេកង់

  3. សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  រៀបចំទិន្នន័យជា ៩ ថ្នាក់ និងសង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់៖

  • ចំនួនទិន្នន័យសរុប \(N = 47\) នាក់។

  • តម្លៃតូចបំផុត \(X_{\min} = 40.8\text{ kg}\) និងធំបំផុត \(X_{\max} = 74.5\text{ kg}\)។

  • ទំហំប្រែប្រួល៖ \(R = X_{\max} - X_{\min} = 74.5 - 40.8 = 33.7\text{ kg}\)។

  • ប្រវែងថ្នាក់៖ \(h = \dfrac{R}{k} = \dfrac{33.7}{9} \approx 3.74\) គេជ្រើសយក \(h = 4\)។

  • ចន្លោះថ្នាក់ទាំង ៩ គឺ៖ \([40, 44)\), \([44, 48)\), \([48, 52)\), …, \([72, 76)\)។

(\(\text{kg}\))
(\(m_i\))
(\(f_i\))
ធៀប ភាគរយ (%)
(\(F_i\))
\([40, 44)\) \(42\) \(2\) \(0.0426\) \(4.26\%\) \(2\)
\([44, 48)\) \(46\) \(5\) \(0.1064\) \(10.64\%\) \(7\)
\([48, 52)\) \(50\) \(8\) \(0.1702\) \(17.02\%\) \(15\)
\([52, 56)\) \(54\) \(6\) \(0.1277\) \(12.77\%\) \(21\)
\([56, 60)\) \(58\) \(8\) \(0.1702\) \(17.02\%\) \(29\)
\([60, 64)\) \(62\) \(6\) \(0.1277\) \(12.77\%\) \(35\)
\([64, 68)\) \(66\) \(4\) \(0.0851\) \(8.51\%\) \(39\)
\([68, 72)\) \(70\) \(6\) \(0.1277\) \(12.77\%\) \(45\)
\([72, 76)\) \(74\) \(2\) \(0.0426\) \(4.26\%\) \(47\)
សរុប \(N = 47\) \(1.0000\) \(100\%\) —

ខ.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម និងពហុកោណប្រេកង់៖

  • អ៊ីស្តូក្រាម៖ គូសចតុកោណកែងជាប់ៗគ្នាលើអ័ក្សដេកដោយបាតចតុកោណកែងជាព្រំដែនថ្នាក់ (\(40, 44, 48, \dots, 76\)) និងកម្ពស់ជាប្រេកង់ \(f_i\) (\(2, 5, 8, 6, 8, 6, 4, 6, 2\))។

  • ពហុកោណប្រេកង់៖ ដៅចំណុច \((m_i, f_i)\) រួមមាន \((42, 2)\), \((46, 5)\), \((50, 8)\), \((54, 6)\), \((58, 8)\), \((62, 6)\), \((66, 4)\), \((70, 6)\), \((74, 2)\) រួចភ្ជាប់ដោយអង្កត់បន្ទាត់ និងបិទចុងសងខាងលើអ័ក្សដេកត្រង់ \((38, 0)\) និង \((78, 0)\)។

គ.  សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive)៖ ភ្ជាប់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេជាព្រំដែនថ្នាក់ខាងលើ និងប្រេកង់កើន៖ \((40, 0)\), \((44, 2)\), \((48, 7)\), \((52, 15)\), \((56, 21)\), \((60, 29)\), \((64, 35)\), \((68, 39)\), \((72, 45)\), \((76, 47)\)។

អ៊ីស្តូក្រាម និងពហុកោណប្រេកង់

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive)

៤លំហាត់ទី ៤

អ៊ីស្តូក្រាមនេះជាពិន្ទុគណិតវិទ្យារបស់សិស្សថ្នាក់ទី \(10A\) :

  1. ចូររកផ្ចិតនៃថ្នាក់

  2. តើថ្នាក់ទី \(10A\) មានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ ?

  3. ចូរសង់ពហុកោណប្រេកង់

  4. ចូរសង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់កើននិងពហុកោណប្រេកង់កើន ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

តាមអ៊ីស្តូក្រាមដែលបានឱ្យ ចន្លោះថ្នាក់និងប្រេកង់រៀងគ្នាគឺ៖ \([30, 40): 2\), \([40, 50): 5\), \([50, 60): 6\), \([60, 70): 10\), \([70, 80): 12\), \([80, 90): 10\), \([90, 100): 5\)។

ក.  ផ្ចិតនៃថ្នាក់នីមួយៗ (\(m_i = \dfrac{L_i + U_i}{2}\))៖

  • ថ្នាក់ \([30, 40)\)៖ \(m_1 = \frac{30 + 40}{2} = 35\)

  • ថ្នាក់ \([40, 50)\)៖ \(m_2 = \frac{40 + 50}{2} = 45\)

  • ថ្នាក់ \([50, 60)\)៖ \(m_3 = \frac{50 + 60}{2} = 55\)

  • ថ្នាក់ \([60, 70)\)៖ \(m_4 = \frac{60 + 70}{2} = 65\)

  • ថ្នាក់ \([70, 80)\)៖ \(m_5 = \frac{70 + 80}{2} = 75\)

  • ថ្នាក់ \([80, 90)\)៖ \(m_6 = \frac{80 + 90}{2} = 85\)

  • ថ្នាក់ \([90, 100)\)៖ \(m_7 = \frac{90 + 100}{2} = 95\)

ខ.  ចំនួនសិស្សសរុបក្នុងថ្នាក់ទី \(10A\)៖

\[N = 2 + 5 + 6 + 10 + 12 + 10 + 5 = 50 \text{ នាក់}\]
គ.  សង់ពហុកោណប្រេកង់៖ ដៅចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងលើនៃចតុកោណកែងនីមួយៗគឺ \((35, 2)\), \((45, 5)\), \((55, 6)\), \((65, 10)\), \((75, 12)\), \((85, 10)\), \((95, 5)\) រួចភ្ជាប់ដោយអង្កត់បន្ទាត់ និងបិទចុងត្រង់ \((25, 0)\) និង \((105, 0)\) នៅលើអ័ក្សដេក។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឃ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ និងប្រេកង់កើន៖

ពិន្ទុ ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([30, 40)\) \(35\) \(2\) \(2\)
\([40, 50)\) \(45\) \(5\) \(7\)
\([50, 60)\) \(55\) \(6\) \(13\)
\([60, 70)\) \(65\) \(10\) \(23\)
\([70, 80)\) \(75\) \(12\) \(35\)
\([80, 90)\) \(85\) \(10\) \(45\)
\([90, 100)\) \(95\) \(5\) \(50\)
៥លំហាត់ទី ៥

ទិន្នន័យជាប្រាក់ចំណាយលើសេវាកម្មទឹកប្រចាំខែរបស់អតិថិជន (គិតជាពាន់រៀល) :

ប្រាក់ចំណាយ \(10-20\) \(20-30\) \(30-40\) \(40-50\) \(50-60\) \(60-70\) \(70-80\) \(80-90\) \(90-100\)
ចំនួនអតិថិជន \(1\) \(2\) \(2\) \(3\) \(4\) \(11\) \(17\) \(8\) \(2\)

  1. សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន

  2. តើមានអតិថិជនប៉ុន្មានគ្រួសារដែលប្រើទឹកក្នុងមួយខែអស់យ៉ាងតិច \(70~000\) ៛ ? តិចជាង \(70~000\) ៛ ស្មើនឹងប៉ុន្មានភាគរយ ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive)៖ គណនាប្រេកង់កើនតាមព្រំដែនថ្នាក់ខាងលើ៖

ប្រាក់ចំណាយ (ពាន់រៀល) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ព្រំដែនលើ (\(U_i\)) ប្រេកង់កើន (\(F_i\)) ភាគរយ (%)
\([10, 20)\) \(1\) \(20\) \(1\) \(2\%\)
\([20, 30)\) \(2\) \(30\) \(3\) \(6\%\)
\([30, 40)\) \(2\) \(40\) \(5\) \(10\%\)
\([40, 50)\) \(3\) \(50\) \(8\) \(16\%\)
\([50, 60)\) \(4\) \(60\) \(12\) \(24\%\)
\([60, 70)\) \(11\) \(70\) \(23\) \(46\%\)
\([70, 80)\) \(17\) \(80\) \(40\) \(80\%\)
\([80, 90)\) \(8\) \(90\) \(48\) \(96\%\)
\([90, 100)\) \(2\) \(100\) \(50\) \(100\%\)
សរុប \(N = 50\) — — \(100\%\)

សង់ Ogive ដោយភ្ជាប់ចំណុច \((10, 0)\), \((20, 1)\), \((30, 3)\), \((40, 5)\), \((50, 8)\), \((60, 12)\), \((70, 23)\), \((80, 40)\), \((90, 48)\), \((100, 50)\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ.  ការវិភាគទិន្នន័យ៖

  • ចំនួនអតិថិជនដែលចំណាយអស់យ៉ាងតិច \(70~000\) ៛ (គឺ \(\ge 70\) ពាន់រៀល)៖

    \[N_{\ge 70} = 17 + 8 + 2 = 27 \text{ គ្រួសារ}\]
    (ឬ \(50 - 23 = 27\) គ្រួសារ)។

  • ចំនួនអតិថិជនដែលចំណាយតិចជាង \(70~000\) ៛៖ មាន \(23\) គ្រួសារ។ គិតជាភាគរយគឺ៖

    \[\frac{23}{50} \times 100\% = 46\%\]

៦លំហាត់ទី ៦

ពហុកោណប្រេកង់កើននេះបង្ហាញពីទិន្នន័យនៃការស្ទង់មតិមនុស្ស \(100\) គ្រួសារអំពីប្រាក់ចំណាយប្រចាំខែលើសេវាកម្មអគ្គិសនី (គិតម៉ឺនរៀល) ។

  1. សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃប្រាក់ចំណាយ

  2. សង់អ៊ីស្តូក្រាមតាងប្រាក់ចំណាយ

  3. តើមានប៉ុន្មានគ្រួសារដែលចំណាយច្រើនជាងឬស្មើនឹង \(30\) ម៉ឺនរៀលទៅតិចជាង \(90\) ម៉ឺនរៀល?

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃប្រាក់ចំណាយ៖ តាមចំណុចនៃក្រាបពហុកោណប្រេកង់កើន \((10, 0)\), \((30, 10)\), \((50, 20)\), \((70, 40)\), \((90, 65)\), \((110, 85)\), \((130, 95)\), \((150, 100)\) គេបានប្រេកង់ដាច់ខាត \(f_i = F_i - F_{i-1}\)៖

ប្រាក់ចំណាយ (ម៉ឺនរៀល) ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([10, 30)\) \(20\) \(10 - 0 = 10\) \(10\)
\([30, 50)\) \(40\) \(20 - 10 = 10\) \(20\)
\([50, 70)\) \(60\) \(40 - 20 = 20\) \(40\)
\([70, 90)\) \(80\) \(65 - 40 = 25\) \(65\)
\([90, 110)\) \(100\) \(85 - 65 = 20\) \(85\)
\([110, 130)\) \(120\) \(95 - 85 = 10\) \(95\)
\([130, 150)\) \(140\) \(100 - 95 = 5\) \(100\)
សរុប — \(N = 100\) —

ខ.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម៖ គូសចតុកោណកែងលើអ័ក្សដេកលើចន្លោះ \([10, 30)\), \([30, 50)\), \([50, 70)\), \([70, 90)\), \([90, 110)\), \([110, 130)\), \([130, 150)\) ដោយកម្ពស់សសររៀងគ្នា \(10, 10, 20, 25, 20, 10, 5\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គ.  ចំនួនគ្រួសារដែលចំណាយពី \(30\) ដល់តិចជាង \(90\) ម៉ឺនរៀល (\(30 \le x < 90\))៖

\[N_{30 \le x < 90} = f_2 + f_3 + f_4 = 10 + 20 + 25 = 55 \text{ គ្រួសារ}\]
(ឬគណនាតាមប្រេកង់កើន៖ \(F(90) - F(30) = 65 - 10 = 55\) គ្រួសារ)។

៧លំហាត់ទី ៧

ទិន្នន័យប្រាក់ចំណាយរបស់អតិថិជនក្នុងហាងទំនិញមួយ តាងដោយ \(x\) (គិតជាដុល្លារ)

74 85 65 88 80 54 78 80 55 63
58 73 70 72 75 75 75 78 75 95
66 70 80 74 100 69 80 80 68 62
90 71 60 62 96 77 52 110 115 90

  1. ដោយប្រើថ្នាក់ \(50 \leq x < 60\) , \(60 \leq x < 70\) , \(\dots\) ចូរសង់តារាងប្រេកង់តាងទិន្នន័យ ។

  2. សង់អ៊ីស្តូក្រាមតាងទិន្នន័យ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សង់តារាងប្រេកង់តាងទិន្នន័យ (៤០ តម្លៃ)៖

ថ្នាក់ចំណាយ ($) ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ភាគរយ (%) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([50, 60)\) \(55\) \(4\) \(10\%\) \(4\)
\([60, 70)\) \(65\) \(8\) \(20\%\) \(12\)
\([70, 80)\) \(75\) \(14\) \(35\%\) \(26\)
\([80, 90)\) \(85\) \(7\) \(17.5\%\) \(33\)
\([90, 100)\) \(95\) \(4\) \(10\%\) \(37\)
\([100, 110)\) \(105\) \(1\) \(2.5\%\) \(38\)
\([110, 120]\) \(115\) \(2\) \(5\%\) \(40\)
សរុប — \(N = 40\) \(100\%\) —

ខ.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម៖

  • អ័ក្សដេក (\(Ox\))៖ ប្រាក់ចំណាយគិតជាដុល្លារ ចែកជា ៧ ចន្លោះស្មើៗគ្នាពី \(50\) ដល់ \(120\) (ប្រវែងថ្នាក់ \(h = 10\))។

  • អ័ក្សឈរ (\(Oy\))៖ ប្រេកង់ (ចំនួនអតិថិជន) ពី \(0\) ដល់ \(16\)។

  • គូសចតុកោណកែងជាប់ៗគ្នាដែលមានកម្ពស់រៀងគ្នា៖ \(4, 8, 14, 7, 4, 1, 2\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៨លំហាត់ទី ៨

តារាងខាងក្រោមបង្ហាញពីរយៈពេលនៃការហែលទឹក (គិតជាវិនាទី) របស់កីឡាការិនី ក្នុងរយៈចម្ងាយ \(100\text{ m}\) ព្រឹត្តិការណ៍កីឡាអូឡាំពិកពីឆ្នាំ 1920 ដល់ 2012 :

ឆ្នាំ រយៈពេល \(x\) ឆ្នាំ រយៈពេល \(x\) ឆ្នាំ រយៈពេល \(x\) ឆ្នាំ រយៈពេល \(x\)
1920 73.6 1948 66.3 1964 59.5 1980 54.79
1924 72.4 1952 66.8 1968 60.0 1984 55.92
1928 71.0 1956 62.0 1972 58.59 1988 54.93
1936 66.8 1960 61.2 1976 55.65 1992 54.64

  1. បំពេញតារាងប្រេកង់

    រយៈពេល \(x\) \(50 \leq x < 55\) \(55 \leq x < 60\) \(60 \leq x < 65\) \(65 \leq x < 70\) \(70 \leq x < 75\)
    ប្រេកង់

  2. សង់អ៊ីស្តូក្រាមតាងទិន្នន័យ ។

  3. តើមានកីឡាការិនីប៉ុន្មាននាក់ដែលប្រើរយៈពេលហែលតិចជាង \(55\) វិនាទីគិតជាភាគរយ?

  4. តើមានកីឡាការិនីប៉ុន្មាននាក់ដែលប្រើរយៈពេលហែលយ៉ាងតិច \(65\) វិនាទីតាមព្រឹត្តិការណ៍នេះ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  បំពេញតារាងប្រេកង់ (កីឡាការិនី ១៦ នាក់)៖

រយៈពេល \(x\) (វិនាទី) ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ភាគរយ (%) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([50, 55)\) \(52.5\) \(3\) \(18.75\%\) \(3\)
\([55, 60)\) \(57.5\) \(4\) \(25.00\%\) \(7\)
\([60, 65)\) \(62.5\) \(3\) \(18.75\%\) \(10\)
\([65, 70)\) \(67.5\) \(3\) \(18.75\%\) \(13\)
\([70, 75)\) \(72.5\) \(3\) \(18.75\%\) \(16\)
សរុប — \(N = 16\) \(100\%\) —

ខ.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម៖ គូសចតុកោណកែងលើចន្លោះ \([50, 55)\), \([55, 60)\), \([60, 65)\), \([65, 70)\), \([70, 75)\) ដែលមានកម្ពស់រៀងគ្នា \(3, 4, 3, 3, 3\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គ.  ភាគរយនៃកីឡាការិនីដែលហែលតិចជាង \(55\) វិនាទី (\(x < 55\))៖ ស្ថិតក្នុងថ្នាក់ \([50, 55)\) មានចំនួន \(3\) នាក់៖

\[\frac{3}{16} \times 100\% = 18.75\%\]
ឃ.  ចំនួនកីឡាការិនីដែលហែលយ៉ាងតិច \(65\) វិនាទី (\(x \ge 65\))៖ ស្ថិតក្នុងថ្នាក់ \([65, 70)\) និង \([70, 75)\)៖
\[N_{\ge 65} = 3 + 3 = 6 \text{ នាក់}\]

៩លំហាត់ទី ៩

ការស្ទង់មតិចំណាយប្រចាំថ្ងៃ៖ សិស្សមួយក្រុមបានធ្វើការស្ទង់មតិសិស្ស ៤០ នាក់អំពីប្រាក់ចំណាយប្រចាំថ្ងៃរបស់ពួកគេនៅសាលារៀន (គិតជាពាន់រៀល)។ ទិន្នន័យត្រូវបានបង្ហាញជារបាយការណ៍ដូចខាងក្រោម៖

ប្រាក់ចំណាយ (ពាន់រៀល) \(0-5\) \(5-10\) \(10-15\) \(15-20\) \(20-25\)
ចំនួនសិស្ស \(4\) \(12\) \(15\) \(6\) \(3\)

  1. តើអថេរក្នុងការសិក្សានេះជាអថេរប្រភេទអ្វី (បរិមាណ ឬគុណភាព)? ហេតុអ្វី?

  2. តើសិស្សដែលចំណាយចាប់ពី ១០ ពាន់រៀលឡើងទៅ មានចំនួនប៉ុន្មាននាក់? គិតជាភាគរយស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

  3. បើសាលារៀនចង់ផ្តល់អាហារូបករណ៍ដល់សិស្សដែលចំណាយតិចជាង ១០ ពាន់រៀលក្នុងមួយថ្ងៃ តើមានសិស្សប៉ុន្មានភាគរយដែលមានសិទ្ធិទទួលបាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ប្រភេទនៃអថេរ៖ អថេរ «ប្រាក់ចំណាយប្រចាំថ្ងៃ» ជា អថេរបរិមាណ (Quantitative variable) ពីព្រោះវាត្រូវបានតាងដោយចំនួនលេខដែលអាចធ្វើប្រមាណវិធីគណិតវិទ្យាបាន (បូក ដក មធ្យម...) និងអាចវាស់វែងជាខ្នាតរូបិយវត្ថុជាក់លាក់។

ខ.  សិស្សដែលចំណាយចាប់ពី ១០ ពាន់រៀលឡើងទៅ (\(x \ge 10\))៖ រួមមានសិស្សក្នុងថ្នាក់ \([10, 15), [15, 20), [20, 25)\)៖

\[N_{\ge 10} = 15 + 6 + 3 = 24 \text{ នាក់}\]
គិតជាភាគរយធៀបនឹងសិស្សសរុប \(N = 40\) នាក់៖
\[\frac{24}{40} \times 100\% = 60\%\]
គ.  ភាគរយសិស្សដែលមានសិទ្ធិទទួលបានអាហារូបករណ៍ (\(x < 10\))៖ សិស្សដែលចំណាយតិចជាង ១០ ពាន់រៀល គឺក្នុងថ្នាក់ \([0, 5)\) និង \([5, 10)\)៖
\[N_{< 10} = 4 + 12 = 16 \text{ នាក់}\]
ភាគរយសិស្សដែលទទួលបានអាហារូបករណ៍គឺ៖
\[\frac{16}{40} \times 100\% = 40\%\]

១០លំហាត់ទី ១០

ការផលិតអំពូលភ្លើង៖ រោងចក្រមួយបានត្រួតពិនិត្យអាយុកាលប្រើប្រាស់របស់អំពូលភ្លើង (គិតជាម៉ោង) ចំនួន ៥០ អំពូល។ គេបានសង់ពហុកោណប្រេកង់កើន កាត់តាមចំណុច \((500, 0)\), \((600, 5)\), \((700, 15)\), \((800, 35)\), \((900, 45)\) និង \((1000, 50)\)។

  1. តើមានអំពូលភ្លើងប៉ុន្មានដែលមានអាយុកាលតិចជាង ៨០០ ម៉ោង?

  2. តើមានអំពូលភ្លើងប៉ុន្មានដែលមានអាយុកាលពី ៧០០ ទៅ ៩០០ ម៉ោង?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ចំនួនអំពូលភ្លើងដែលមានអាយុកាលតិចជាង ៨០០ ម៉ោង៖ តាមចំណុចនៃពហុកោណប្រេកង់កើន \((800, 35)\) តម្លៃអាប់ស៊ីស \(800\) ត្រូវនឹងប្រេកង់កើន \(F(800) = 35\)។ ដូច្នេះ មានអំពូលភ្លើងចំនួន \(35\) អំពូលដែលមានអាយុកាលតិចជាង ៨០០ ម៉ោង។

ខ.  ចំនួនអំពូលភ្លើងដែលមានអាយុកាលពី ៧០០ ទៅ ៩០០ ម៉ោង (\(700 \le x < 900\))៖ ចំនួនអំពូលស្មើនឹងផលដកនៃប្រេកង់កើនត្រង់ព្រំដែនទាំងពីរ៖

\[N = F(900) - F(700) = 45 - 15 = 30 \text{ អំពូល}\]

១១លំហាត់ទី ១១

គេមានទិន្នន័យពីចំនួនសិស្សអវត្តមានក្នុងមួយខែៗក្នុងសាលាមួយ៖ \(2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 3, 1, 2, 3, 4\)។

  1. ចូរបង្កើតតារាងបំណែងចែកប្រេកង់។

  2. គណនាប្រេកង់ធៀប និងប្រេកង់ធៀបជាភាគរយនៃតម្លៃនីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  កំណត់តម្លៃអប្បបរមា អតិបរមា និងទំហំប្រែប្រួល (Range)៖ ទិន្នន័យ៖ \(2\), \(4\), \(1\), \(3\), \(5\), \(2\), \(6\), \(3\), \(4\), \(2\), \(1\), \(3\) (\(12\) ខែ)។

  • តម្លៃអប្បបរមា៖ \(X_{\min} = 1\) នាក់

  • តម្លៃអតិបរមា៖ \(X_{\max} = 6\) នាក់

  • ទំហំប្រែប្រួល៖ \(R = X_{\max} - X_{\min} = 6 - 1 = 5\) នាក់

ខ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ និងភាគរយ៖

ចំនួនសិស្សអវត្តមាន (\(x_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ភាគរយ (%) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\(1\) \(2\) \(16.67\%\) \(2\)
\(2\) \(3\) \(25.00\%\) \(5\)
\(3\) \(3\) \(25.00\%\) \(8\)
\(4\) \(2\) \(16.67\%\) \(10\)
\(5\) \(1\) \(8.33\%\) \(11\)
\(6\) \(1\) \(8.33\%\) \(12\)
សរុប \(N = 12\) \(100\%\) —
១២លំហាត់ទី ១២

ចន្លោះថ្នាក់មួយមានព្រំដែនក្រោម \(24.5\) និងព្រំដែនលើ \(34.5\)។

  1. កំណត់ផ្ចិតនៃថ្នាក់នេះ។

  2. កំណត់ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ (ទំហំថ្នាក់)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ (Class width)៖

\[h = \text{ព្រំដែនលើ} - \text{ព្រំដែនក្រោម} = 34.5 - 24.5 = 10\]
ខ.  ផ្ចិតនៃថ្នាក់ (Class mark)៖
\[\begin{aligned} m &= \frac{\text{ព្រំដែនក្រោម} + \text{ព្រំដែនលើ}}{2} \\ &= \frac{24.5 + 34.5}{2} = \frac{59}{2} = 29.5 \end{aligned}\]

១៣លំហាត់ទី ១៣

គេធ្វើការស្ទង់មតិលើគ្រួសារចំនួន \(40\) អំពីចំនួនកូនក្នុងបន្ទុក៖ មាន \(6\) គ្រួសារគ្មានកូន, \(12\) គ្រួសារមានកូន \(1\) នាក់, \(14\) គ្រួសារមានកូន \(2\) នាក់, \(5\) គ្រួសារមានកូន \(3\) នាក់, \(2\) គ្រួសារមានកូន \(4\) នាក់ និង \(1\) គ្រួសារមានកូន \(5\) នាក់។

  1. ចូរសង់តារាងប្រេកង់កើន។

  2. គណនាភាគរយនៃគ្រួសារដែលមានកូនយ៉ាងតិច \(2\) នាក់។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ និងប្រេកង់កើន៖ ប្រេកង់សរុប \(N = 40\) គ្រួសារ។

ចំនួនកូន (\(x_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់ធៀប ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\(0\) \(6\) \(\frac{6}{40} = 0.15\) \(6\)
\(1\) \(12\) \(\frac{12}{40} = 0.30\) \(18\)
\(2\) \(14\) \(\frac{14}{40} = 0.35\) \(32\)
\(3\) \(5\) \(\frac{5}{40} = 0.125\) \(37\)
\(4\) \(3\) \(\frac{3}{40} = 0.075\) \(40\)
សរុប \(N = 40\) \(1.000\) —

ខ.  ភាគរយនៃគ្រួសារដែលមានកូនយ៉ាងតិច ២ នាក់ (\(x \ge 2\))៖ ចំនួនគ្រួសារមានកូនចាប់ពី ២ នាក់ឡើងទៅ៖ \(14 + 5 + 3 = 22\) គ្រួសារ។

\[\text{ភាគរយ} = \frac{22}{40} \times 100\% = 55\%\]

១៤លំហាត់ទី ១៤

គេមានតារាងទិន្នន័យកម្ពស់ដើមកៅស៊ូ (គិតជា \(\text{m}\)) ដែលចែកជា ៥ ថ្នាក់៖

កម្ពស់ (\(\text{m}\)) \([2, 4)\) \([4, 6)\) \([6, 8)\) \([8, 10)\) \([10, 12)\)
ចំនួនដើម \(5\) \(12\) \(18\) \(10\) \(5\)

  1. ចូរសង់អ៊ីស្តូក្រាមនៃទិន្នន័យខាងលើ។

  2. សង់ពហុកោណប្រេកង់លើក្រាបតែមួយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  កំណត់ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ និងផ្ចិតនៃថ្នាក់នីមួយៗ៖ តាមតារាង ថ្នាក់ទីមួយគឺ \([10, 15)\) នាំឱ្យប្រវែងថ្នាក់គឺ \(h = 15 - 10 = 5\text{ m}\)។ ផ្ចិតនៃថ្នាក់នីមួយៗ (\(m_i = \frac{L_i + U_i}{2}\))៖

  • \([10, 15)\)៖ \(m_1 = \frac{10 + 15}{2} = 12.5\text{ m}\)

  • \([15, 20)\)៖ \(m_2 = \frac{15 + 20}{2} = 17.5\text{ m}\)

  • \([20, 25)\)៖ \(m_3 = \frac{20 + 25}{2} = 22.5\text{ m}\)

  • \([25, 30)\)៖ \(m_4 = \frac{25 + 30}{2} = 27.5\text{ m}\)

  • \([30, 35)\)៖ \(m_5 = \frac{30 + 35}{2} = 32.5\text{ m}\)

ខ.  ចំនួនដើមកៅស៊ូសរុប៖

\[N = 12 + 28 + 35 + 18 + 7 = 100 \text{ ដើម}\]

១៥លំហាត់ទី ១៥

តាមតារាងទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 14៖

  1. ចូរបង្កើតតារាងប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ។

  2. សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ចំនួនដើមកៅស៊ូដែលមានកម្ពស់តិចជាង \(25\text{ m}\) (\(x < 25\))៖ រួមមានដើមកៅស៊ូក្នុងថ្នាក់ \([10, 15), [15, 20), [20, 25)\)៖

\[N_{< 25} = 12 + 28 + 35 = 75 \text{ ដើម}\]
គិតជាភាគរយធៀបនឹងដើមសរុប \(100\) ដើមគឺ \(\dfrac{75}{100} \times 100\% = 75\%\)។

ខ.  ចំនួនដើមកៅស៊ូដែលមានកម្ពស់ចាប់ពី \(20\text{ m}\) ឡើងទៅ (\(x \ge 20\))៖ រួមមានដើមកៅស៊ូក្នុងថ្នាក់ \([20, 25), [25, 30), [30, 35)\)៖

\[N_{\ge 20} = 35 + 18 + 7 = 60 \text{ ដើម}\]
គិតជាភាគរយគឺ \(\dfrac{60}{100} \times 100\% = 60\%\)។

១៦លំហាត់ទី ១៦

ក្នុងការប្រឡងមួយ ពិន្ទុសិស្ស \(50\) នាក់ត្រូវបានរៀបជាថ្នាក់៖ \([40, 50): 6\), \([50, 60): 10\), \([60, 70): 16\), \([70, 80): 11\), \([80, 90): 5\), \([90, 100): 2\)។

  1. រកចំនួនសិស្សដែលមានពិន្ទុចាប់ពី \(70\) ឡើងទៅ។

  2. រកភាគរយនៃសិស្សដែលទទួលបានពិន្ទុតិចជាង \(60\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ចំនួនសិស្សដែលមានពិន្ទុចាប់ពី \(70\) ឡើងទៅ (\(x \ge 70\))៖ រួមមានសិស្សក្នុងថ្នាក់ \([70, 80), [80, 90), [90, 100)\)៖

\[N_{\ge 70} = 11 + 5 + 2 = 18 \text{ នាក់}\]
ខ.  ចំនួនសិស្សដែលទទួលបានពិន្ទុតិចជាង \(60\) (\(x < 60\))៖ រួមមានសិស្សក្នុងថ្នាក់ \([40, 50)\) និង \([50, 60)\)៖
\[N_{< 60} = 6 + 12 = 18 \text{ នាក់}\]
គិតជាភាគរយធៀបនឹងសិស្សសរុប \(N = 50\) នាក់៖
\[\frac{18}{50} \times 100\% = 36\%\]

១៧លំហាត់ទី ១៧

ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់មួយ បើប្រេកង់សរុប \(N = 80\) ហើយប្រេកង់ធៀបនៃថ្នាក់មួយគឺ \(0.15\)៖

  1. ចូររកប្រេកង់ដាច់ខាតនៃថ្នាក់នោះ។

  2. បើថ្នាក់មួយទៀតមានប្រេកង់ដាច់ខាតស្មើ \(20\) ចូររកប្រេកង់ធៀបជាភាគរយនៃថ្នាក់នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ប្រេកង់ដាច់ខាតនៃថ្នាក់នោះ៖ តាមរូបមន្តប្រេកង់ធៀប \(f_r = \dfrac{f}{N} \implies f = f_r \times N\)៖

\[f = 0.15 \times 80 = 12\]
ខ.  ប្រេកង់ធៀបជាភាគរយនៃថ្នាក់ដែលមានប្រេកង់ \(20\)៖
\[\% = \frac{f}{N} \times 100\% = \frac{20}{80} \times 100\% = 25\%\]

១៨លំហាត់ទី ១៨

គេមានទិន្នន័យបរិមាណទឹកភ្លៀងប្រចាំខែ (គិតជា \(\text{mm}\)) នៅរាជធានីភ្នំពេញក្នុងមួយឆ្នាំ៖ \(15\), \(20\), \(35\), \(80\), \(150\), \(180\), \(220\), \(210\), \(250\), \(280\), \(120\), \(40\)។

  1. ចូររៀបចំជា \(5\) ថ្នាក់ស្មើៗគ្នាដោយថ្នាក់ទីមួយចាប់ពី \([0, 60)\)។

  2. សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ពេញលេញ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  រៀបចំទិន្នន័យជា ៥ ថ្នាក់ស្មើៗគ្នា៖

  • តម្លៃតូចបំផុត \(X_{\min} = 15\text{ mm}\) និងធំបំផុត \(X_{\max} = 280\text{ mm}\)។

  • ទំហំប្រែប្រួល៖ \(R = 280 - 15 = 265\text{ mm}\)។

  • ប្រវែងថ្នាក់៖ \(h = \dfrac{265}{5} = 53 \implies\) គេជ្រើសយក \(h = 60\) ដោយចាប់ពី \(0\)។

  • ចន្លោះថ្នាក់ទាំង ៥ គឺ៖ \([0, 60)\), \([60, 120)\), \([120, 180)\), \([180, 240)\), \([240, 300)\)។

ខ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់៖

កម្រិតទឹកភ្លៀង (\(\text{mm}\)) តម្លៃទិន្នន័យ ប្រេកង់ (\(f_i\)) ភាគរយ (%)
\([0, 60)\) \(15, 20, 35, 40\) \(4\) \(33.33\%\)
\([60, 120)\) \(80\) \(1\) \(8.33\%\)
\([120, 180)\) \(120, 150\) \(2\) \(16.67\%\)
\([180, 240)\) \(180, 210, 220\) \(3\) \(25.00\%\)
\([240, 300)\) \(250, 280\) \(2\) \(16.67\%\)
សរុប — \(N = 12\) \(100\%\)
១៩លំហាត់ទី ១៩

ផ្ចិតនៃថ្នាក់ ៤ បន្តបន្ទាប់គ្នាក្នុងតារាងស្ថិតិមួយគឺ \(15, 25, 35, 45\)។

  1. កំណត់ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់នីមួយៗ។

  2. កំណត់ព្រំដែនក្រោម និងព្រំដែនលើនៃថ្នាក់ទាំង ៤ នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  កំណត់ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់នីមួយៗ (\(h\))៖ ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ស្មើនឹងគម្លាតរវាងផ្ចិតថ្នាក់ពីរជាប់គ្នា៖

\[h = m_2 - m_1 = 25 - 15 = 10\]
ខ.  កំណត់ព្រំដែនក្រោម និងព្រំដែនលើនៃថ្នាក់ទាំង ៤៖ ដោយផ្ចិតថ្នាក់ \(m_i = \dfrac{L_i + U_i}{2}\) និងប្រវែង \(h = U_i - L_i = 10\) នាំឱ្យ \(L_i = m_i - \frac{h}{2} = m_i - 5\) និង \(U_i = m_i + 5\)៖

  • ថ្នាក់ទី១៖ \([15 - 5, 15 + 5) = [10, 20)\)

  • ថ្នាក់ទី២៖ \([25 - 5, 25 + 5) = [20, 30)\)

  • ថ្នាក់ទី៣៖ \([35 - 5, 35 + 5) = [30, 40)\)

  • ថ្នាក់ទី៤៖ \([45 - 5, 45 + 5) = [40, 50)\)

២០លំហាត់ទី ២០

ចូរពន្យល់ពីលក្ខណៈនៃអ៊ីស្តូក្រាម៖

  1. តើផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃចតុកោណកែងទាំងអស់ក្នុងអ៊ីស្តូក្រាមតំណាងឱ្យអ្វី?

  2. ហេតុអ្វីបានជាចតុកោណកែងក្នុងអ៊ីស្តូក្រាមត្រូវគូសជាប់ៗគ្នា មិនឱ្យមានចន្លោះទំនេរ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  អត្ថន័យនៃផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃចតុកោណកែងទាំងអស់ក្នុងអ៊ីស្តូក្រាម៖ ផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃចតុកោណកែងទាំងអស់សមាមាត្រទៅនឹង ប្រេកង់សរុប \(N\) នៃសំណុំទិន្នន័យ (ឬស្មើនឹង \(1\) ឬ \(100\%\) ប្រសិនបើគិតជាប្រេកង់ធៀប)។ ផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងនីមួយៗតំណាងឱ្យប្រេកង់នៃថ្នាក់នីមួយៗ។

ខ.  មូលហេតុដែលចតុកោណកែងត្រូវគូសជាប់ៗគ្នាគ្មានចន្លោះទំនេរ៖ ដោយសារតែអ៊ីស្តូក្រាមប្រើសម្រាប់តំណាង អថេរបរិមាណជាប់ (Continuous quantitative variable) ដែលតម្លៃទិន្នន័យមានលក្ខណៈបន្តឥតដាច់ ព្រំដែនលើនៃថ្នាក់មុនជាព្រំដែនក្រោមនៃថ្នាក់បន្ទាប់ ដូច្នេះគ្មានគម្លាតរវាងថ្នាក់ជាប់គ្នានោះឡើយ។

២១លំហាត់ទី ២១

គេមានតារាងប្រេកង់កើននៃទិន្នន័យមួយ៖

តម្លៃទិន្នន័យ តិចជាង \(10\) តិចជាង \(20\) តិចជាង \(30\) តិចជាង \(40\) តិចជាង \(50\)
ប្រេកង់កើន \(4\) \(11\) \(25\) \(34\) \(40\)

ចូរទាញរកប្រេកង់ដាច់ខាតនៃថ្នាក់នីមួយៗ៖ \([0, 10), [10, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បំប្លែងតារាងប្រេកង់កើនទៅជាតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ដាច់ខាត៖ ប្រេកង់ដាច់ខាតគណនាតាមរូបមន្ត \(f_i = F_i - F_{i-1}\) (ដោយ \(F_0 = 0\))៖

  • ថ្នាក់ \([0, 10)\)៖ \(f_1 = F_1 = 4\)

  • ថ្នាក់ \([10, 20)\)៖ \(f_2 = F_2 - F_1 = 11 - 4 = 7\)

  • ថ្នាក់ \([20, 30)\)៖ \(f_3 = F_3 - F_2 = 25 - 11 = 14\)

  • ថ្នាក់ \([30, 40)\)៖ \(f_4 = F_4 - F_3 = 34 - 25 = 9\)

  • ថ្នាក់ \([40, 50)\)៖ \(f_5 = F_5 - F_4 = 40 - 34 = 6\)

ចន្លោះថ្នាក់ ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់កើន (\(F_i\)) ភាគរយ (%)
\([0, 10)\) \(4\) \(4\) \(10.0\%\)
\([10, 20)\) \(7\) \(11\) \(17.5\%\)
\([20, 30)\) \(14\) \(25\) \(35.0\%\)
\([30, 40)\) \(9\) \(34\) \(22.5\%\)
\([40, 50)\) \(6\) \(40\) \(15.0\%\)
សរុប \(N = 40\) — \(100\%\)
២២លំហាត់ទី ២២

ចូរប្រៀបធៀបភាពខុសគ្នាសំខាន់ៗចំនួនបីរវាង អ៊ីស្តូក្រាម (Histogram) និង ដ្យាក្រាមសសរ (Bar Chart)។

មើលដំណោះស្រាយ

ភាពខុសគ្នាសំខាន់ៗចំនួន ៣ រវាងអ៊ីស្តូក្រាម និងដ្យាក្រាមសសរ៖

  1. ប្រភេទអថេរ៖ អ៊ីស្តូក្រាម (Histogram) ប្រើសម្រាប់បង្ហាញទិន្នន័យនៃអថេរបរិមាណជាប់ដែលផ្ដុំជាថ្នាក់ ខណៈដែលដ្យាក្រាមសសរ (Bar Chart) ប្រើសម្រាប់អថេរគុណភាព ឬអថេរបរិមាណដាច់ពីគ្នា។

  2. គម្លាតរវាងសសរ៖ ក្នុងអ៊ីស្តូក្រាម សសរចតុកោណកែងត្រូវគូសជាប់ៗគ្នាគ្មានចន្លោះទំនេរទេ (លើកលែងតែថ្នាក់នោះមានប្រេកង់សូន្យ)។ ចំណែកដ្យាក្រាមសសរ ត្រូវតែមានចន្លោះទំនេរស្មើៗគ្នារវាងសសរនីមួយៗ។

  3. អត្ថន័យផ្ទៃក្រឡា៖ ក្នុងអ៊ីស្តូក្រាម ផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងសមាមាត្រទៅនឹងប្រេកង់ (កម្ពស់អាស្រ័យលើដង់ស៊ីតេប្រេកង់)។ ក្នុងដ្យាក្រាមសសរ កម្ពស់សសរតែមួយមុខគត់ដែលសមាមាត្រទៅនឹងប្រេកង់ ដោយទទឹងសសរគ្មានអត្ថន័យគណិតវិទ្យាឡើយ។

២៣លំហាត់ទី ២៣

គេកត់ត្រាទម្ងន់ត្រីដែលនេសាទបាន \(30\) ក្បាល (គិតជា \(\text{kg}\))៖ \(0.8\), \(1.2\), \(1.5\), \(2.1\), \(0.9\), \(1.7\), \(2.3\), \(1.1\), \(1.4\), \(1.8\), \(2.0\), \(0.7\), \(1.3\), \(1.6\), \(2.5\), \(1.9\), \(1.0\), \(1.4\), \(2.2\), \(1.5\), \(0.9\), \(1.8\), \(1.6\), \(2.4\), \(1.1\), \(1.3\), \(1.7\), \(2.0\), \(1.5\), \(1.2\)។

  1. ចូររៀបចំទិន្នន័យជា \(4\) ថ្នាក់ស្មើៗគ្នាដោយយកថ្នាក់ទីមួយ \([0.5, 1.0)\)។

  2. សង់តារាងប្រេកង់ និងប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  និង ខ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃទម្ងន់ត្រី ៣០ ក្បាល៖ តម្លៃតូចបំផុត \(0.7\text{ kg}\), ធំបំផុត \(2.5\text{ kg}\)។ បែងចែកជា ៥ ថ្នាក់ដែលមានប្រវែង \(h = 0.5\text{ kg}\)៖

ថ្នាក់ទម្ងន់ (\(\text{kg}\)) ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់ធៀប ភាគរយ (%) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([0.5, 1.0)\) \(0.75\) \(4\) \(0.1333\) \(13.33\%\) \(4\)
\([1.0, 1.5)\) \(1.25\) \(9\) \(0.3000\) \(30.00\%\) \(13\)
\([1.5, 2.0)\) \(1.75\) \(9\) \(0.3000\) \(30.00\%\) \(22\)
\([2.0, 2.5)\) \(2.25\) \(7\) \(0.2333\) \(23.33\%\) \(29\)
\([2.5, 3.0]\) \(2.75\) \(1\) \(0.0333\) \(3.33\%\) \(30\)
សរុប — \(N = 30\) \(1.0000\) \(100\%\) —
២៤លំហាត់ទី ២៤

តើពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive) ផ្តល់អត្ថប្រយោជន៍អ្វីខ្លះក្នុងការវិភាគទិន្នន័យស្ថិតិ? ចូរលើកឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងពីរមកបញ្ជាក់។

មើលដំណោះស្រាយ

អត្ថប្រយោជន៍នៃពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive) ក្នុងការវិភាគស្ថិតិ៖

  1. ប៉ាន់ប្រមាណរង្វាស់ទីតាំងដោយផ្ទាល់៖ គេអាចអានរកតម្លៃមេដ្យាន (\(Me\) ត្រង់ \(50\%\)), ចតុតភាគទីមួយ (\(Q_1\) ត្រង់ \(25\%\)) និងចតុតភាគទីបី (\(Q_3\) ត្រង់ \(75\%\)) ឬសេនទីលនានាបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយផ្ទាល់ពីក្រាប ដោយមិនបាច់គណនាតាមរូបមន្តស្មុគស្មាញ។

  2. កំណត់ចំនួនឬភាគរយទិន្នន័យក្រោមឬលើកម្រិតកំណត់៖ ជួយដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង ដូចជាការកំណត់ចំនួនសិស្សដែលប្រឡងជាប់ (ពិន្ទុលើសកម្រិតមធ្យម) ឬចំនួនប្រជាពលរដ្ឋដែលមានប្រាក់ចំណូលក្រោមបន្ទាត់នៃភាពក្រីក្រ។

២៥លំហាត់ទី ២៥

ទិន្នន័យមួយមានតម្លៃតូចបំផុត \(X_{min} = 12\) និងតម្លៃធំបំផុត \(X_{max} = 78\)។

  1. គណនាទំហំប្រែប្រួល (Range) នៃទិន្នន័យ។

  2. បើគេចង់បែងចែកជា \(6\) ថ្នាក់ស្មើៗគ្នា ចូរកំណត់ប្រវែងថ្នាក់សមស្រប \(i\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  គណនាទំហំប្រែប្រួល (Range)៖

\[R = X_{\max} - X_{\min} = 78 - 12 = 66\]
ខ.  កំណត់ប្រវែងថ្នាក់សមស្រប \(h\)៖ បែងចែកជា \(k = 6\) ថ្នាក់ស្មើៗគ្នា៖
\[h \ge \frac{R}{k} = \frac{66}{6} = 11\]
ដើម្បីឱ្យងាយស្រួលក្នុងការគណនា និងគ្របដណ្តប់គ្រប់ទិន្នន័យ គេអាចជ្រើសយកប្រវែងថ្នាក់ \(h = 11\) (ចន្លោះថ្នាក់ \([12, 23)\), \([23, 34)\), …, \([67, 78]\)) ឬយក \(h = 12\) ដោយចាប់ពី \(10\) ដល់ \(82\)។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេមានតារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃអាយុបុគ្គលិកក្នុងសហគ្រាសមួយ៖

អាយុ (ឆ្នាំ) \([20, 30)\) \([30, 40)\) \([40, 50)\) \([50, 60)\)
ចំនួនបុគ្គលិក \(8\) \(15\) \(12\) \(5\)

  1. សង់ពហុកោណប្រេកង់។

  2. កំណត់ផ្ចិតថ្នាក់ដែលត្រូវនឹងចំណុចកំពូលខ្ពស់បំផុតនៃពហុកោណប្រេកង់។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  គណនាចំនួនបុគ្គលិកសរុប \(N\)៖

\[N = 8 + 22 + 35 + 20 + 15 = 100 \text{ នាក់}\]
ខ.  តារាងប្រេកង់ធៀប និងភាគរយ៖

អាយុ (ឆ្នាំ) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់ធៀប (\(f_{ri}\)) ភាគរយ (%) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([20, 30)\) \(8\) \(0.08\) \(8\%\) \(8\)
\([30, 40)\) \(22\) \(0.22\) \(22\%\) \(30\)
\([40, 50)\) \(35\) \(0.35\) \(35\%\) \(65\)
\([50, 60)\) \(20\) \(0.20\) \(20\%\) \(85\)
\([60, 70)\) \(15\) \(0.15\) \(15\%\) \(100\)
សរុប \(N = 100\) \(1.00\) \(100\%\) —
២៧លំហាត់ទី ២៧

ផ្អែកលើទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 26៖

  1. គណនាប្រេកង់កើន និងប្រេកង់កើនធៀបជាភាគរយ។

  2. តើមានបុគ្គលិកប៉ុន្មានភាគរយដែលមានអាយុតិចជាង \(40\) ឆ្នាំ?

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 26៖

ក.  ភាគរយនៃបុគ្គលិកដែលមានអាយុចាប់ពី ៤០ ឆ្នាំឡើងទៅ (\(x \ge 40\))៖ រួមមានថ្នាក់ \([40, 50), [50, 60), [60, 70)\)៖

\[N_{\ge 40} = 35 + 20 + 15 = 70 \text{ នាក់}\]
គិតជាភាគរយគឺ៖
\[\frac{70}{100} \times 100\% = 70\%\]
ខ.  ភាគរយនៃបុគ្គលិកដែលមានអាយុតិចជាង ៥០ ឆ្នាំ (\(x < 50\))៖ រួមមានថ្នាក់ \([20, 30), [30, 40), [40, 50)\)៖
\[N_{< 50} = 8 + 22 + 35 = 65 \text{ នាក់} \implies 65\%\]

២៨លំហាត់ទី ២៨

ក្នុងការស្ទង់មតិលើមនុស្ស \(100\) នាក់អំពីមធ្យោបាយធ្វើដំណើរទៅធ្វើការ៖ ម៉ូតូ \(55\) នាក់, រថយន្ត \(20\) នាក់, កង់ \(10\) នាក់, ដើរ \(15\) នាក់។

  1. គណនាមុំផ្ចិត (គិតជាដឺក្រេ) នៃផ្នែកនីមួយៗសម្រាប់សង់ដ្យាក្រាមផ្លិត។

  2. សង់ដ្យាក្រាមផ្លិតរង្វង់តំណាងទិន្នន័យនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  គណនាមុំផ្ចិតសម្រាប់ដ្យាក្រាមផ្លិតរង្វង់ (Pie Chart)៖ មុំផ្ចិតគណនាតាមរូបមន្ត \(\alpha_i = \dfrac{f_i}{N} \times 360^\circ\) ដោយ \(N = 100\) នាក់៖

  • ម៉ូតូ (\(55\) នាក់)៖ \(\alpha_1 = \frac{55}{100} \times 360^\circ = 198^\circ\) (\(55\%\))

  • រថយន្ត (\(25\) នាក់)៖ \(\alpha_2 = \frac{25}{100} \times 360^\circ = 90^\circ\) (\(25\%\))

  • កង់ (\(12\) នាក់)៖ \(\alpha_3 = \frac{12}{100} \times 360^\circ = 43.2^\circ\) (\(12\%\))

  • ដើរ (\(8\) នាក់)៖ \(\alpha_4 = \frac{8}{100} \times 360^\circ = 28.8^\circ\) (\(8\%\))

ផលបូកមុំផ្ចិត៖ \(198^\circ + 90^\circ + 43.2^\circ + 28.8^\circ = 360^\circ\)។

ខ.  ការសង់ដ្យាក្រាមផ្លិតរង្វង់៖ គូសរង្វង់មួយ រួចប្រើរង្វាស់មុំចែកផ្លិតតាមមុំផ្ចិតខាងលើ និងដាក់ស្លាកសម្គាល់មធ្យោបាយនីមួយៗព្រមទាំងភាគរយ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២៩លំហាត់ទី ២៩

គេមានតារាងប្រេកង់ថយនៃទិន្នន័យមួយ៖

តម្លៃ យ៉ាងតិច \(0\) យ៉ាងតិច \(10\) យ៉ាងតិច \(20\) យ៉ាងតិច \(30\) យ៉ាងតិច \(40\) យ៉ាងតិច \(50\)
ប្រេកង់ថយ \(50\) \(45\) \(32\) \(18\) \(6\) \(0\)

ចូរទាញរកប្រេកង់ដាច់ខាតនៃថ្នាក់នីមួយៗ៖ \([0, 10), [10, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បំប្លែងតារាងប្រេកង់ថយទៅជាតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ដាច់ខាត៖ ប្រេកង់ថយ \(F'_i\) បង្ហាញពីចំនួនទិន្នន័យដែលធំជាងឬស្មើព្រំដែនក្រោម។ ដូចនេះ ប្រេកង់ដាច់ខាតនៃថ្នាក់នីមួយៗគឺ \(f_i = F'_i - F'_{i+1}\)៖

  • ថ្នាក់ \([10, 20)\)៖ \(f_1 = 50 - 42 = 8\)

  • ថ្នាក់ \([20, 30)\)៖ \(f_2 = 42 - 27 = 15\)

  • ថ្នាក់ \([30, 40)\)៖ \(f_3 = 27 - 12 = 15\)

  • ថ្នាក់ \([40, 50)\)៖ \(f_4 = 12 - 4 = 8\)

  • ថ្នាក់ \([50, 60)\)៖ \(f_5 = 4 - 0 = 4\)

ចន្លោះថ្នាក់ ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់ថយ (\(F'_i\)) ភាគរយ (%)
\([10, 20)\) \(8\) \(50\) \(16\%\)
\([20, 30)\) \(15\) \(42\) \(30\%\)
\([30, 40)\) \(15\) \(27\) \(30\%\)
\([40, 50)\) \(8\) \(12\) \(16\%\)
\([50, 60)\) \(4\) \(4\) \(8\%\)
សរុប \(N = 50\) — \(100\%\)
៣០លំហាត់ទី ៣០

ចូរពន្យល់ពីលក្ខខណ្ឌដែលអ្នកស្រាវជ្រាវគួរជ្រើសរើសប្រើ «ទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់» ជំនួសឱ្យ «ទិន្នន័យមិនផ្ដុំជាថ្នាក់»។

មើលដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌដែលគួរជ្រើសរើសប្រើ «ទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់»៖

  1. ទំហំសំណាកធំ (\(N \ge 30\))៖ នៅពេលទិន្នន័យមានចំនួនច្រើន ការរៀបចំជាទិន្នន័យទោលធ្វើឱ្យតារាងវែងអន្លាយ ពិបាកមើល និងពិបាកទាញការសន្និដ្ឋាន។ ការផ្ដុំជាថ្នាក់ជួយបង្រួមទិន្នន័យឱ្យមានសណ្តាប់ធ្នាប់។

  2. ទិន្នន័យជាអថេរបរិមាណជាប់ (Continuous variable)៖ ដូចជា កម្ពស់ ម៉ាស រយៈពេល ឬសីតុណ្ហភាព ដែលតម្លៃអាចជាចំនួនទសភាគគ្មានដែនកំណត់។ ការប្រើចន្លោះថ្នាក់ជាវិធីតែមួយគត់ដើម្បីរៀបចំទិន្នន័យប្រភេទនេះឱ្យមានប្រសិទ្ធភាព។

៣១លំហាត់ទី ៣១

ចូរកំណត់ប្រភេទនៃអថេរនីមួយៗខាងក្រោម (អថេរគុណភាព ឬ អថេរបរិមាណដាច់ពីគ្នា ឬ អថេរបរិមាណជាប់)៖

  1. កម្រិតវប្បធម៌របស់ពលរដ្ឋ (បឋមភូមិ, ទុតិយភូមិ, ឧត្តមសិក្សា)

  2. ចំនួនបន្ទប់គេងក្នុងផ្ទះនីមួយៗ

  3. ទម្ងន់របស់ទារកកើតថ្មី

  4. សម្ពាធឈាមរបស់អ្នកជំងឺ

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  កម្រិតវប្បធម៌របស់ពលរដ្ឋ (បឋមភូមិ ទុតិយភូមិ ឧត្តមសិក្សា)៖ ជា អថេរគុណភាពតាមលំដាប់ (Ordinal qualitative variable) ព្រោះទិន្នន័យមិនមែនជាលេខ ប៉ុន្តែអាចរៀបតាមលំដាប់ថ្នាក់ខ្ពស់ទាបបាន។

ខ.  ចំនួនបន្ទប់គេងក្នុងផ្ទះនីមួយៗ (\(1, 2, 3, \dots\))៖ ជា អថេរបរិមាណដាច់ពីគ្នា (Discrete quantitative variable) ព្រោះវាជាចំនួនគត់រាប់បានច្បាស់លាស់។

គ.  ទម្ងន់របស់ទារកកើតថ្មី (គិតជា \(\text{kg}\))៖ ជា អថេរបរិមាណជាប់ (Continuous quantitative variable) ព្រោះវាជាទំហំរង្វាស់ដែលអាចយកតម្លៃជាចំនួនទសភាគណាមួយក្នុងចន្លោះបន្ត។

៣២លំហាត់ទី ៣២

គេឱ្យតារាងបំណែងចែកប្រេកង់មួយដែលបាត់ប្រេកង់ \(f\) នៃថ្នាក់ \([30, 40)\)៖ \([10, 20): 5\), \([20, 30): 8\), \([30, 40): f\), \([40, 50): 7\), \([50, 60): 4\)។

  1. បើដឹងថាប្រេកង់សរុបគឺ \(N = 35\) ចូររកតម្លៃ \(f\)។

  2. គណនាប្រេកង់ធៀប និងប្រេកង់កើននៃថ្នាក់ \([30, 40)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  រកតម្លៃ \(f\) នៃថ្នាក់ \([30, 40)\)៖ ប្រេកង់សរុប \(N = 35\)៖

\[5 + 8 + f + 7 + 4 = 35 \implies 24 + f = 35 \implies f = 11\]
ខ.  ប្រេកង់ធៀប និងភាគរយនៃថ្នាក់ \([30, 40)\)៖

  • ប្រេកង់ធៀប៖ \(f_r = \dfrac{11}{35} \approx 0.3143\)

  • ភាគរយ៖ \(\% = 0.3143 \times 100\% \approx 31.43\%\)

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

សង់ដ្យាក្រាមដើម-ស្លឹក (Stem-and-Leaf display) សម្រាប់សំណុំទិន្នន័យពិន្ទុតេស្តខាងក្រោម៖ \(23\), \(25\), \(28\), \(31\), \(34\), \(34\), \(39\), \(40\), \(42\), \(45\), \(48\), \(51\), \(55\)។ តើតម្លៃពិន្ទុណាខ្លះដែលកើតឡើងញឹកញាប់ជាងគេ? គូសបញ្ជាក់ពីដើម និងស្លឹក។

មើលដំណោះស្រាយ

ដ្យាក្រាមដើម-ស្លឹក (Stem-and-Leaf display)៖ សំណុំទិន្នន័យ៖ \(23\), \(25\), \(28\), \(31\), \(34\), \(34\), \(39\), \(40\), \(42\), \(45\), \(48\), \(51\), \(55\)។ គេយកខ្ទង់ដប់ធ្វើជា «ដើម» និងខ្ទង់រាយធ្វើជា «ស្លឹក»៖

ដើម ស្លឹក
\(2\) \(3, 5, 8\)
\(3\) \(1, 4, 4, 9\)
\(4\) \(0, 2, 5, 8\)
\(5\) \(1, 5\)

កំណត់សម្គាល់៖ \(3 \mid 4\) មានន័យថា \(34\) ពិន្ទុ។

តម្លៃពិន្ទុដែលកើតឡើងញឹកញាប់ជាងគេគឺ \(34\) (ស្លឹក \(4\) កើតឡើង ២ ដងលើដើម \(3\))។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

ក្នុងប្លង់កូអរដោនេមួយ ពហុកោណប្រេកង់កើន និងពហុកោណប្រេកង់ថយនៃទិន្នន័យតែមួយបានកាត់គ្នាត្រង់ចំណុច \(P(x_0, y_0)\)។

  1. តើតម្លៃ \(y_0\) ស្មើនឹងប៉ុន្មាននៃប្រេកង់សរុប \(N\)?

  2. តើតម្លៃអាប់ស៊ីស \(x_0\) តំណាងឱ្យរង្វាស់ទីតាំងណា?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  តម្លៃអ័ក្សឈរ \(y_0\) ត្រង់ចំណុចប្រសព្វ៖ ពហុកោណប្រេកង់កើន និងពហុកោណប្រេកង់ថយកាត់គ្នាត្រង់ចំណុចដែលមានតម្លៃប្រេកង់ស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃប្រេកង់សរុប៖

\[y_0 = \frac{N}{2} \quad{} (\text{ឬ } 50\% \text{ ប្រសិនបើគិតជាប្រេកង់ធៀប})\]
ខ.  អត្ថន័យនៃតម្លៃអាប់ស៊ីស \(x_0\)៖ តម្លៃអាប់ស៊ីស \(x_0\) គឺជាតម្លៃ មេដ្យាន (\(Me\) - Median) នៃសំណុំទិន្នន័យ ព្រោះវាជាចំណុចដែលបែងចែកទិន្នន័យជាពីរផ្នែកស្មើគ្នា (\(50\%\) នៅក្រោម និង \(50\%\) នៅលើ)។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គេមានទិន្នន័យពិន្ទុគណិតវិទ្យា៖ \(5, 6, 7, 8, 9, 10\) ដោយមានប្រេកង់រៀងគ្នា \(3, 7, 12, 10, 5, 3\)។

  1. សង់ដ្យាក្រាមសសរតំណាងទិន្នន័យនេះ។

  2. គណនាភាគរយនៃសិស្សដែលទទួលបានពិន្ទុចាប់ពី \(8\) ឡើងទៅ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សង់ដ្យាក្រាមសសរ៖

  • អ័ក្សដេក៖ ពិន្ទុ \(5, 6, 7, 8, 9, 10\)។

  • អ័ក្សឈរ៖ ប្រេកង់ពី \(0\) ដល់ \(14\)។

  • កម្ពស់សសររៀងគ្នាគឺ \(3, 7, 12, 10, 5, 3\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ.  ភាគរយនៃសិស្សដែលទទួលបានពិន្ទុចាប់ពី ៨ ឡើងទៅ (\(x \ge 8\))៖ ចំនួនសិស្សសរុប៖ \(N = 3 + 7 + 12 + 10 + 5 + 3 = 40\) នាក់។

សិស្សដែលបានពិន្ទុ \(8, 9, 10\) មានចំនួន៖

\[N_{\ge 8} = 10 + 5 + 3 = 18 \text{ នាក់}\]
ភាគរយគឺ៖
\[\frac{18}{40} \times 100\% = 45\%\]

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ក្នុងរោងចក្រមួយ ទិន្នផលផលិតកម្មប្រចាំថ្ងៃ (គិតជាឯកតា) រយៈពេល \(20\) ថ្ងៃមាន៖ \(105\), \(112\), \(124\), \(135\), \(118\), \(122\), \(140\), \(145\), \(130\), \(128\), \(115\), \(120\), \(138\), \(142\), \(150\), \(125\), \(132\), \(110\), \(127\), \(136\)។

  1. រៀបចំទិន្នន័យជា \(5\) ថ្នាក់ស្មើៗគ្នាដោយយកថ្នាក់ទីមួយ \([100, 110)\) ដល់ \([140, 150]\)។

  2. សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  និង ខ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ៥ ថ្នាក់ស្មើៗគ្នា (\(h = 10\))៖ ទិន្នន័យ ២០ ថ្ងៃ៖ \(105\), \(112\), \(124\), \(135\), \(118\), \(122\), \(140\), \(145\), \(130\), \(128\), \(115\), \(120\), \(138\), \(142\), \(150\), \(125\), \(132\), \(110\), \(127\), \(136\)។

ថ្នាក់ទិន្នផល ផ្ចិត (\(m_i\)) របាប់ ប្រេកង់ (\(f_i\)) ភាគរយ (%) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([100, 110)\) \(105\) \(|\) \(1\) \(5\%\) \(1\)
\([110, 120)\) \(115\) \(||||\) \(4\) \(20\%\) \(5\)
\([120, 130)\) \(125\) \(\cancel{||||}\ |\) \(6\) \(30\%\) \(11\)
\([130, 140)\) \(135\) \(\cancel{||||}\) \(5\) \(25\%\) \(16\)
\([140, 150]\) \(145\) \(||||\) \(4\) \(20\%\) \(20\)
សរុប — — \(N = 20\) \(100\%\) —
៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ចូរពន្យល់ពីរបៀបបិទចុងសងខាងនៃពហុកោណប្រេកង់នៅលើអ័ក្សដេកឱ្យបានត្រឹមត្រូវតាមក្បួនខ្នាតស្ថិតិវិទ្យា។

មើលដំណោះស្រាយ

របៀបបិទចុងសងខាងនៃពហុកោណប្រេកង់នៅលើអ័ក្សដេក៖ តាមក្បួនខ្នាតស្ថិតិ ដើម្បីឱ្យពហុកោណប្រេកង់ក្លាយជាខ្សែបិទជិត និងមានផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹងផ្ទៃក្រឡាអ៊ីស្តូក្រាម៖

  1. គេត្រូវសន្មតបន្ថែមថ្នាក់ពីរដែលមានប្រេកង់ស្មើនឹងសូន្យ (\(f = 0\))៖

    • ថ្នាក់សន្មតមួយនៅពីមុខថ្នាក់ដំបូងគេ ដោយមានផ្ចិតថ្នាក់ \(m_0 = m_1 - h\)។

    • ថ្នាក់សន្មតមួយទៀតនៅបន្ទាប់ពីថ្នាក់ចុងក្រោយគេ ដោយមានផ្ចិតថ្នាក់ \(m_{k+1} = m_k + h\)។

  2. ភ្ជាប់ចុងទាំងសងខាងនៃពហុកោណប្រេកង់ចុះមកលើអ័ក្សដេកត្រង់ចំណុច \((m_0, 0)\) និង \((m_{k+1}, 0)\)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

ទិន្នន័យល្បឿនរថយន្ត (គិតជា \(\text{km/h}\)) លើផ្លូវល្បឿនលឿនភ្នំពេញ-ព្រះសីហនុ៖ \([60, 80): 14\), \([80, 100): 36\), \([100, 120): 40\), \([120, 140): 10\)។

  1. រកចំនួនរថយន្តសរុបដែលបានត្រួតពិនិត្យ។

  2. រកភាគរយនៃរថយន្តដែលបើកបរលើសល្បឿនកំណត់ \(100\text{ km/h}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ចំនួនរថយន្តសរុបដែលបានត្រួតពិនិត្យ៖

\[N = 14 + 36 + 40 + 10 = 100 \text{ គ្រឿង}\]
ខ.  ភាគរយនៃរថយន្តដែលបើកបរលើសពី \(100\text{ km/h}\) (\(v \ge 100\))៖ រថយន្តក្នុងថ្នាក់ \([100, 120)\) និង \([120, 140)\)៖
\[N_{\ge 100} = 40 + 10 = 50 \text{ គ្រឿង}\]
ភាគរយគឺ៖
\[\frac{50}{100} \times 100\% = 50\%\]
គ.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម៖ គូសចតុកោណកែងលើចន្លោះ \([60, 80)\), \([80, 100)\), \([100, 120)\), \([120, 140)\) ដោយមានកម្ពស់រៀងគ្នា \(14, 36, 40, 10\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

តាមទិន្នន័យល្បឿនរថយន្តក្នុងលំហាត់ទី 38 ចូរសង់ពហុកោណប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ពហុកោណប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ៖

  • ផ្ចិតថ្នាក់នីមួយៗ៖ \(m_1 = 70\), \(m_2 = 90\), \(m_3 = 110\), \(m_4 = 130\)។

  • ភាគរយប្រេកង់រៀងគ្នា៖ \(14\%, 36\%, 40\%, 10\%\)។

  • ចំណុចត្រូវដៅគឺ \((70, 14)\), \((90, 36)\), \((110, 40)\), \((130, 10)\)។

  • បិទចុងសងខាងលើអ័ក្សដេកត្រង់ផ្ចិតសន្មត \((50, 0)\) និង \((150, 0)\)។

  • អ័ក្សឈរមានខ្នាតជាភាគរយ (%) ពី \(0\%\) ដល់ \(50\%\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៤០លំហាត់ទី ៤០

គេស្ទង់មតិការប្រើប្រាស់អ៊ីនធឺណិតប្រចាំថ្ងៃ (គិតជាម៉ោង) របស់យុវជន \(60\) នាក់៖ \([1, 3): 8\), \([3, 5): 18\), \([5, 7): 22\), \([7, 9): 12\)។

  1. សង់តារាងប្រេកង់កើន និងប្រេកង់កើនធៀប។

  2. សង់ក្រាប Ogive។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  តារាងប្រេកង់កើន និងប្រេកង់កើនធៀប (\(N = 60\))៖

ថ្នាក់ (ម៉ោង) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ព្រំដែនលើ (\(U_i\)) ប្រេកង់កើន (\(F_i\)) ប្រេកង់កើនធៀប (%)
\([1, 3)\) \(8\) \(3\) \(8\) \(\frac{8}{60} \approx 13.33\%\)
\([3, 5)\) \(18\) \(5\) \(26\) \(\frac{26}{60} \approx 43.33\%\)
\([5, 7)\) \(22\) \(7\) \(48\) \(\frac{48}{60} = 80.00\%\)
\([7, 9)\) \(12\) \(9\) \(60\) \(\frac{60}{60} = 100.00\%\)
សរុប \(N = 60\) — — \(100\%\)

ខ.  សង់ក្រាប Ogive៖ ភ្ជាប់ចំណុច \((1, 0)\), \((3, 8)\), \((5, 26)\), \((7, 48)\), \((9, 60)\) ដោយខ្សែបន្ទាត់បន្ត។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គ.  ចំនួនយុវជនដែលប្រើអ៊ីនធឺណិតតិចជាង ៥ ម៉ោង៖ តាមតារាងត្រង់ព្រំដែនលើ \(5\) ម៉ោង ប្រេកង់កើនគឺ \(F(5) = 26\) នាក់ (ស្មើនឹង \(43.33\%\))។

៤១លំហាត់ទី ៤១

(PISA - ការវិភាគក្រាបប្រៀបធៀប) សាលារៀនមួយចង់ប្រៀបធៀបលទ្ធផលប្រឡងគណិតវិទ្យារបស់ថ្នាក់ពីរគឺ \(10A\) (\(40\) នាក់) និង \(10B\) (\(50\) នាក់)។

  1. ហេតុអ្វីបានជាគេមិនគួរប្រើប្រាស់ពហុកោណប្រេកង់ដាច់ខាតដើម្បីប្រៀបធៀបថ្នាក់ទាំងពីរ?

  2. តើក្រាបប្រភេទណាដែលស័ក្តិសមបំផុតសម្រាប់ប្រៀបធៀបករណីនេះ? ពន្យល់។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  មូលហេតុដែលមិនគួរប្រើពហុកោណប្រេកង់ដាច់ខាត៖ ដោយសារទំហំសំណាកនៃថ្នាក់ទាំងពីរមិនស្មើគ្នា (\(N_A = 40\) នាក់ និង \(N_B = 50\) នាក់)។ ប្រសិនបើប្រើប្រេកង់ដាច់ខាត កម្ពស់នៃក្រាបថ្នាក់ \(B\) នឹងខ្ពស់ជាងថ្នាក់ \(A\) ដោយស្វ័យប្រវត្តិនឹងបណ្តាលឱ្យការប្រៀបធៀបមានការលម្អៀង និងមិនឆ្លុះបញ្ចាំងពីសមត្ថភាពពិតប្រាកដ។

ខ.  ប្រភេទក្រាបដែលគួរប្រើប្រាស់៖ គេគួរប្រើ ពហុកោណប្រេកង់ធៀប (Relative Frequency Polygon) ឬ ពហុកោណភាគរយ ពីព្រោះវាបានបំប្លែងទិន្នន័យនៃសំណាកទាំងពីរឱ្យទៅជាខ្នាតរួមមួយ (គិតជាភាគរយលើ \(100\%\)) ដែលអនុញ្ញាតឱ្យប្រៀបធៀបលើប្រព័ន្ធកូអរដោនេតែមួយបានយ៉ាងសុក្រឹត និងយុត្តិធម៌។

៤២លំហាត់ទី ៤២

(PISA - ការយល់ច្រឡំដោយសារក្រាប) ក្រាបដ្យាក្រាមសសរមួយបង្ហាញពីការកើនឡើងនៃប្រាក់ចំណេញរបស់ក្រុមហ៊ុន ប៉ុន្តែអ័ក្សឈរមិនចាប់ផ្តើមពី \(0\) ទេ (កាត់ត្រឹម ៩០ ម៉ឺនដុល្លារ)។

  1. តើការធ្វើបែបនេះផ្តល់ផលប៉ះពាល់យ៉ាងដូចម្តេចដល់ការយល់ឃើញរបស់អ្នកអាន?

  2. ចូរផ្តល់អនុសាសន៍ដើម្បីបង្ហាញទិន្នន័យឱ្យមានតម្លាភាព។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ផលប៉ះពាល់នៃការកាត់អ័ក្សឈរ (Truncated vertical axis)៖ ការមិនចាប់ផ្តើមអ័ក្សឈរពី \(0\) (កាត់ត្រង់ \(90\) ម៉ឺនដុល្លារ) បណ្តាលឱ្យមាន ការយល់ច្រឡំដោយសារក្រាប (Misleading Graph)។ កម្ពស់នៃសសរមើលទៅមានគម្លាតខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងបំផ្លើសពីការពិត ដែលធ្វើឱ្យអ្នកមើលយល់ថាប្រាក់ចំណេញកើនឡើងរាប់សិបដង ទាំងដែលតាមពិតវាគ្រាន់តែកើនឡើងក្នុងកម្រិតភាគរយតិចតួចប៉ុណ្ណោះ។

ខ.  អនុសាសន៍ដើម្បីបង្ហាញក្រាបឱ្យមានតម្លាភាព៖

  1. ត្រូវឱ្យអ័ក្សឈរចាប់ផ្តើមពីចំណុច \(0\) ជានិច្ច ដើម្បីឆ្លុះបញ្ចាំងពីសមាមាត្រពិតនៃទិន្នន័យ។

  2. ប្រសិនបើចាំបាច់ត្រូវកាត់អ័ក្សឈរដើម្បីផ្តោតលើភាពលម្អិត ត្រូវដាក់សញ្ញាកាត់អ័ក្ស (Axis break symbol \(\approx\)) ឱ្យបានច្បាស់លាស់ និងបញ្ជាក់ភាគរយកំណើនលើសសរនីមួយៗ។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

គេមានទិន្នន័យសីតុណ្ហភាពអតិបរមាប្រចាំថ្ងៃ (គិតជា \(^\circ\text{C}\)) នៅខេត្តបាត់ដំបងក្នុងខែមេសា៖

សីតុណ្ហភាព (\(^\circ\text{C}\)) \([32, 34)\) \([34, 36)\) \([36, 38)\) \([38, 40)\)
ចំនួនថ្ងៃ \(4\) \(10\) \(12\) \(4\)

  1. សង់អ៊ីស្តូក្រាមនៃសីតុណ្ហភាព។

  2. តើមានប៉ុន្មានថ្ងៃដែលសីតុណ្ហភាពឡើងដល់ចាប់ពី \(36^\circ\text{C}\) ឡើងទៅ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សង់អ៊ីស្តូក្រាម៖

  • អ័ក្សដេក៖ សីតុណ្ហភាព \([32, 34)\), \([34, 36)\), \([36, 38)\), \([38, 40)\) (ប្រវែងថ្នាក់ \(h = 2^\circ\text{C}\))។

  • អ័ក្សឈរ៖ ចំនួនថ្ងៃពី \(0\) ដល់ \(14\)។

  • កម្ពស់សសររៀងគ្នាគឺ \(4, 10, 12, 4\) ថ្ងៃ (សរុប \(N = 30\) ថ្ងៃក្នុងខែមេសា)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ.  ចំនួនថ្ងៃដែលមានសីតុណ្ហភាពចាប់ពី \(36^\circ\text{C}\) ឡើងទៅ (\(T \ge 36^\circ\text{C}\))៖ រួមមានថ្ងៃក្នុងថ្នាក់ \([36, 38)\) និង \([38, 40)\)៖

\[N_{\ge 36} = 12 + 4 = 16 \text{ ថ្ងៃ}\]
គិតជាភាគរយនៃខែមេសា៖
\[\frac{16}{30} \times 100\% \approx 53.33\%\]

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

តារាងប្រេកង់មួយមានប្រវែងថ្នាក់មិនស្មើគ្នា៖ \([0, 10): 5\), \([10, 30): 16\), \([30, 60): 18\)។

  1. ចូរពន្យល់ពីគំនិត «ដង់ស៊ីតេប្រេកង់» (Frequency Density)។

  2. តើកម្ពស់នៃចតុកោណកែងក្នុងអ៊ីស្តូក្រាមត្រូវគណនាយ៉ាងដូចម្តេចពេលប្រវែងថ្នាក់មិនស្មើគ្នា?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  គំនិត «ដង់ស៊ីតេប្រេកង់» (Frequency Density)៖ ដង់ស៊ីតេប្រេកង់ គឺជាផលធៀបរវាងប្រេកង់នៃថ្នាក់ និងប្រវែងនៃថ្នាក់នោះ៖

\[\text{ដង់ស៊ីតេប្រេកង់ } (d_i) = \frac{\text{ប្រេកង់ } (f_i)}{\text{ប្រវែងថ្នាក់ } (w_i)}\]
វាត្រូវបានប្រើនៅពេលចន្លោះថ្នាក់មានប្រវែងមិនស្មើគ្នា ដើម្បីធានាថា ផ្ទៃក្រឡា នៃចតុកោណកែងនីមួយៗសមាមាត្រទៅនឹងប្រេកង់ពិតនៃថ្នាក់នោះ។

ខ.  កម្ពស់នៃចតុកោណកែងក្នុងអ៊ីស្តូក្រាម៖ កម្ពស់នៃចតុកោណកែងមិនត្រូវយកស្មើនឹងប្រេកង់ដាច់ខាត \(f_i\) ឡើយ ប៉ុន្តែត្រូវយកស្មើនឹង ដង់ស៊ីតេប្រេកង់ (\(d_i\)) ឬប្រេកង់កែសម្រួល (\(f_{\text{adj}} = \dfrac{f_i}{w_i} \times w_0\)) ដើម្បីកុំឱ្យមានការបំផ្លើសទិន្នន័យ។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

តាមទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 44 ចូរគណនាដង់ស៊ីតេប្រេកង់នៃថ្នាក់នីមួយៗ ដោយយកប្រវែងថ្នាក់ស្តង់ដារ \(w_0 = 10\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាដង់ស៊ីតេប្រេកង់ដោយយកប្រវែងស្តង់ដារ \(w_0 = 10\)៖ រូបមន្តប្រេកង់កែសម្រួល៖ \(d_i = \dfrac{f_i}{w_i} \times w_0\)

  • ថ្នាក់ \([0, 10)\)៖ ប្រវែង \(w_1 = 10\), ប្រេកង់ \(f_1 = 5 \implies d_1 = \frac{5}{10} \times 10 = 5\)

  • ថ្នាក់ \([10, 30)\)៖ ប្រវែង \(w_2 = 20\), ប្រេកង់ \(f_2 = 16 \implies d_2 = \frac{16}{20} \times 10 = 8\)

  • ថ្នាក់ \([30, 60)\)៖ ប្រវែង \(w_3 = 30\), ប្រេកង់ \(f_3 = 18 \implies d_3 = \frac{18}{30} \times 10 = 6\)

ចន្លោះថ្នាក់ ប្រវែងថ្នាក់ (\(w_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) កម្ពស់សសរ (\(d_i\))
\([0, 10)\) \(10\) \(5\) \(5\)
\([10, 30)\) \(20\) \(16\) \(8\)
\([30, 60)\) \(30\) \(18\) \(6\)

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គេមានទិន្នន័យប្រាក់សន្សំប្រចាំខែរបស់កម្មករ (គិតជាម៉ឺនរៀល)៖ \([10, 30): 12\), \([30, 50): 25\), \([50, 70): 38\), \([70, 90): 15\), \([90, 110): 10\)។ សង់ពហុកោណប្រេកង់កើននៃប្រាក់សន្សំ។

មើលដំណោះស្រាយ

សង់ពហុកោណប្រេកង់កើននៃប្រាក់សន្សំ (កម្មករ ១០០ នាក់)៖

ប្រាក់សន្សំ (ម៉ឺនរៀល) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ព្រំដែនលើ (\(U_i\)) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([10, 30)\) \(12\) \(30\) \(12\)
\([30, 50)\) \(25\) \(50\) \(37\)
\([50, 70)\) \(38\) \(70\) \(75\)
\([70, 90)\) \(15\) \(90\) \(90\)
\([90, 110)\) \(10\) \(110\) \(100\)
សរុប \(N = 100\) — —

សង់ Ogive ដោយភ្ជាប់ចំណុច \((10, 0)\), \((30, 12)\), \((50, 37)\), \((70, 75)\), \((90, 90)\), \((110, 100)\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

តាមក្រាបពហុកោណប្រេកង់កើននៃលំហាត់ទី 46៖

  1. រកចំនួនកម្មករដែលសន្សំតិចជាង \(50\) ម៉ឺនរៀល។

  2. ប៉ាន់ប្រមាណចំនួនកម្មករដែលសន្សំតិចជាង \(60\) ម៉ឺនរៀល។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមក្រាបពហុកោណប្រេកង់កើននៃលំហាត់ទី 46៖

ក.  ចំនួនកម្មករដែលសន្សំតិចជាង ៥០ ម៉ឺនរៀល (\(x < 50\))៖ តាមចំណុច \((50, 37)\) ប្រេកង់កើនត្រង់ព្រំដែនលើ \(50\) គឺ \(F(50) = 37\) នាក់។

ខ.  ប៉ាន់ប្រមាណចំនួនកម្មករដែលសន្សំតិចជាង ៦០ ម៉ឺនរៀល (\(x < 60\))៖ តម្លៃ \(60\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃចន្លោះ \([50, 70)\) ដែលមានប្រេកង់កើនពី \(37\) ដល់ \(75\)។

តាមវិធីបន្ទាត់កាត់ (Linear interpolation)៖

\[\begin{aligned} F(60) &\approx 37 + \frac{60 - 50}{70 - 50} \times (75 - 37) \\ &= 37 + \frac{10}{20} \times 38 = 37 + 19 = 56 \text{ នាក់} \end{aligned}\]

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

(PISA - បរិស្ថាន) ក្នុងការសិក្សាអំពីកម្រិតធូលីល្អិត PM2.5 (\(\mu\text{g/m}^3\)) ក្នុងរាជធានីភ្នំពេញ រយៈពេល \(30\) ថ្ងៃ គេទទួលបាន៖ \([15, 25): 6\), \([25, 35): 10\), \([35, 50): 9\), \([50, 75): 5\)។

  1. សង់តារាងប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ។

  2. រកចំនួនថ្ងៃ និងភាគរយដែលកម្រិត PM2.5 លើស \(35\,\mu\text{g/m}^3\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សង់តារាងប្រេកង់ធៀបជាភាគរយ (\(N = 30\) ថ្ងៃ)៖

កម្រិត PM2.5 (\(\mu\text{g/m}^3\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់ធៀប ភាគរយ (%)
\([15, 25)\) \(6\) \(\frac{6}{30} = 0.200\) \(20.0\%\)
\([25, 35)\) \(10\) \(\frac{10}{30} \approx 0.333\) \(33.3\%\)
\([35, 50)\) \(9\) \(\frac{9}{30} = 0.300\) \(30.0\%\)
\([50, 75)\) \(5\) \(\frac{5}{30} \approx 0.167\) \(16.7\%\)
សរុប \(N = 30\) \(1.000\) \(100\%\)

ខ.  ភាគរយនៃថ្ងៃដែលកម្រិត PM2.5 លើសស្តង់ដារសុវត្ថិភាព (\(> 35\,\mu\text{g/m}^3\))៖ ចំនួនថ្ងៃក្នុងថ្នាក់ \([35, 50)\) និង \([50, 75)\)៖

\[N_{> 35} = 9 + 5 = 14 \text{ ថ្ងៃ}\]
ភាគរយគឺ៖
\[\frac{14}{30} \times 100\% \approx 46.67\%\]
ការបកស្រាយ៖ ជិតពាក់កណ្តាលនៃខែ (\(46.67\%\)) គុណភាពខ្យល់ស្ថិតក្នុងកម្រិតដែលបង្កគ្រោះថ្នាក់ដល់សុខភាពផ្លូវដង្ហើម អាជ្ញាធរគួរបង្កើនវិធានការកាត់បន្ថយការបំភាយផ្សែងពុល។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ផ្ចិតនៃថ្នាក់ ៥ ជាប់ៗគ្នាគឺ \(12, 17, 22, 27, 32\)។

  1. រកប្រវែងថ្នាក់ \(i\)។

  2. កំណត់ចន្លោះថ្នាក់នីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  រកប្រវែងថ្នាក់ \(h\)៖ ប្រវែងថ្នាក់ស្មើនឹងគម្លាតរវាងផ្ចិតថ្នាក់ពីរជាប់គ្នា៖

\[h = 17 - 12 = 5\]
ខ.  កំណត់ចន្លោះថ្នាក់នីមួយៗ៖ ដោយផ្ចិតថ្នាក់ \(m_i\) និងប្រវែង \(h = 5\) នាំឱ្យព្រំដែនក្រោមគឺ \(L_i = m_i - 2.5\) និងព្រំដែនលើគឺ \(U_i = m_i + 2.5\)៖

  • ថ្នាក់ទី១៖ \([12 - 2.5, 12 + 2.5) = [9.5, 14.5)\)

  • ថ្នាក់ទី២៖ \([17 - 2.5, 17 + 2.5) = [14.5, 19.5)\)

  • ថ្នាក់ទី៣៖ \([22 - 2.5, 22 + 2.5) = [19.5, 24.5)\)

  • ថ្នាក់ទី៤៖ \([27 - 2.5, 27 + 2.5) = [24.5, 29.5)\)

  • ថ្នាក់ទី៥៖ \([32 - 2.5, 32 + 2.5) = [29.5, 34.5)\)

៥០លំហាត់ទី ៥០

(PISA - សេដ្ឋកិច្ចកសិកម្ម) សហគមន៍កសិកម្មមួយកត់ត្រាទិន្នផលស្រូវ (តោន/ហិកតា) លើដីស្រែចំនួន \(50\) កន្លែង៖ \([2.0, 3.0): 8\), \([3.0, 4.0): 15\), \([4.0, 5.0): 18\), \([5.0, 6.0): 7\), \([6.0, 7.0): 2\)។

  1. សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់។

  2. សង់អ៊ីស្តូក្រាម និងពហុកោណ។

  3. វាយតម្លៃទិន្នផលភាគច្រើន។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  និង ខ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ពេញលេញ (ដីស្រែ ៥០ កន្លែង)៖

ទិន្នផល (តោន/ហ) ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ភាគរយ (%) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([2.0, 3.0)\) \(2.5\) \(8\) \(16\%\) \(8\)
\([3.0, 4.0)\) \(3.5\) \(15\) \(30\%\) \(23\)
\([4.0, 5.0)\) \(4.5\) \(18\) \(36\%\) \(41\)
\([5.0, 6.0)\) \(5.5\) \(7\) \(14\%\) \(48\)
\([6.0, 7.0)\) \(6.5\) \(2\) \(4\%\) \(50\)
សរុប — \(N = 50\) \(100\%\) —

គ.  ការវិភាគសេដ្ឋកិច្ចកសិកម្ម៖

  • ចំនួនដីស្រែដែលមានទិន្នផលចាប់ពី \(4.0\) តោន/ហ ឡើងទៅ៖ \(18 + 7 + 2 = 27\) កន្លែង (\(54\%\))។

  • ទិន្នផលប្រមូលផ្តុំច្រើនបំផុតក្នុងថ្នាក់ \([4.0, 5.0)\) ដែលមានរហូតដល់ \(36\%\) នៃផ្ទៃដីសរុប បង្ហាញថាកសិករភាគច្រើនទទួលបានទិន្នផលមធ្យមកម្រិតខ្ពស់។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៧ ស្ថិតិ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត