ប្រព័ន្ធសមីការ

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីជំនួស ៖
ក.  \(\begin{cases} x + y = 7 \quad{} (1) \\ 2x - y = 5 \quad{} (2) \end{cases}\)
តាម \((1)\) ៖ \(y = 7 - x\)។ ជំនួសចូល \((2)\) ៖
\(2x - (7 - x) = 5 \iff 3x - 7 = 5 \iff 3x = 12 \implies x = 4\)។
ជំនួស \(x = 4\) រក \(y\) ៖ \(y = 7 - 4 = 3\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (4, 3)}\)។
ខ.  \(\begin{cases} y = 2x - 1 \quad{} (1) \\ 3x + y = 9 \quad{} (2) \end{cases}\)
ជំនួស \((1)\) ចូល \((2)\) ៖ \(3x + (2x - 1) = 9 \iff 5x = 10 \implies x = 2\)។
\(\implies y = 2(2) - 1 = 3\)។ គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (2, 3)}\)។
គ.  \(\begin{cases} x - 3y = 2 \quad{} (1) \\ 2x + y = 11 \quad{} (2) \end{cases}\)
តាម \((1)\) ៖ \(x = 3y + 2\)។ ជំនួសចូល \((2)\) ៖
\(2(3y + 2) + y = 11 \iff 7y + 4 = 11 \iff 7y = 7 \implies y = 1\)។
\(\implies x = 3(1) + 2 = 5\)។ គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (5, 1)}\)។
ឃ.  \(\begin{cases} 2x + y = 5 \quad{} (1) \\ 3x - 2y = 4 \quad{} (2) \end{cases}\)
តាម \((1)\) ៖ \(y = 5 - 2x\)។ ជំនួសចូល \((2)\) ៖
\(3x - 2(5 - 2x) = 4 \iff 7x - 10 = 4 \iff 7x = 14 \implies x = 2\)។
\(\implies y = 5 - 2(2) = 1\)។ គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (2, 1)}\)។

ដោះស្រាយដោយវិធីបូកលុប ៖
ក.  \(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \quad{} (1) \\ 5x - 2y = 4 \quad{} (2) \end{cases}\)
បូក \((1) + (2)\) អង្គនិងអង្គ ៖ \(8x = 16 \implies x = 2\)។
ជំនួសចូល \((1)\) ៖ \(3(2) + 2y = 12 \iff 2y = 6 \implies y = 3\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (2, 3)}\)។
ខ.  \(\begin{cases} 2x + 3y = 13 \quad{} (1) \times 2 \\ 5x - 2y = 4 \quad{} (2) \times 3 \end{cases} \iff \begin{cases} 4x + 6y = 26 \\ 15x - 6y = 12 \end{cases}\)
បូកបញ្ចូលគ្នា ៖ \(19x = 38 \implies x = 2\)។
ជំនួសចូល \((1)\) ៖ \(2(2) + 3y = 13 \iff 3y = 9 \implies y = 3\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (2, 3)}\)។
គ.  \(\begin{cases} 4x - 3y = 1 \quad{} (1) \times 2 \\ 3x + 2y = 5 \quad{} (2) \times 3 \end{cases} \iff \begin{cases} 8x - 6y = 2 \\ 9x + 6y = 15 \end{cases}\)
បូកបញ្ចូលគ្នា ៖ \(17x = 17 \implies x = 1 \implies y = 1\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (1, 1)}\)។
ឃ.  \(\begin{cases} 5x + 4y = 22 \quad{} (1) \\ 3x - 2y = 11 \quad{} (2) \times 2 \end{cases} \iff \begin{cases} 5x + 4y = 22 \\ 6x - 4y = 22 \end{cases}\)
បូកបញ្ចូលគ្នា ៖ \(11x = 44 \implies x = 4\)។
\(\implies 3(4) - 2y = 11 \iff 2y = 1 \implies y = \dfrac{1}{2}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = \left(4, \dfrac{1}{2}\right)}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការប្រភាគ ៖
ក.  \(\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \quad{} (\times 6) \\ \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{2} = -3 \quad{} (\times 6) \end{cases}\)
\(\iff \begin{cases} 3x + 2y = 24 \quad{} (1) \\ 2x - 3y = -18 \quad{} (2) \end{cases}\)
យក \((1)\times 3 + (2)\times 2\) ៖
\(9x + 4x = 72 - 36 \iff 13x = 36 \implies x = \dfrac{36}{13}\)។
ជំនួស \(x\) ចូល \((1)\) ៖
\(2y = 24 - 3\left(\dfrac{36}{13}\right) = \dfrac{204}{13} \implies y = \dfrac{102}{13}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = \left(\dfrac{36}{13}, \dfrac{102}{13}\right)}\)។
ខ.  \(\begin{cases} \dfrac{2x-1}{3} + \dfrac{y+2}{4} = 2 \quad{} (\times 12) \\ \dfrac{x+3}{2} - \dfrac{2y-1}{3} = 1 \quad{} (\times 6) \end{cases}\)
\(\iff \begin{cases} 8x + 3y = 22 \quad{} (1) \\ 3x - 4y = -5 \quad{} (2) \end{cases}\)
យក \((1)\times 4 + (2)\times 3\) ៖
\(32x + 9x = 88 - 15 \iff 41x = 73 \implies x = \dfrac{73}{41}\)។
ជំនួស \(x\) ចូល \((1)\) ៖
\(3y = 22 - 8\left(\dfrac{73}{41}\right) = \dfrac{318}{41} \implies y = \dfrac{106}{41}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = \left(\dfrac{73}{41}, \dfrac{106}{41}\right)}\)។

ដោះស្រាយតាមវិធានក្រាមែរ (\(D, D_x, D_y\)) ៖
ក.  \(\begin{cases} 2x - y = -7 \\ x + 2y = -1 \end{cases}\)
\(D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - (-1) = 5\)
\(D_x = \begin{vmatrix} -7 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -14 - 1 = -15 \implies x = \dfrac{D_x}{D} = \mathbf{-3}\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 2 & -7 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - (-7) = 5 \implies y = \dfrac{D_y}{D} = \mathbf{1}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (-3, 1)}\)។
ខ.  \(\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}\)
\(D = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -9 - 8 = -17\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -30 - 4 = -34 \implies x = \dfrac{-34}{-17} = \mathbf{2}\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 20 = -17 \implies y = \dfrac{-17}{-17} = \mathbf{1}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (2, 1)}\)។
គ.  \(\begin{cases} 5x - 2y = 19 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases}\)
\(D = 20 - (-6) = 26\)
\(D_x = 76 - (-2) = 78 \implies x = \dfrac{78}{26} = \mathbf{3}\)
\(D_y = 5 - 57 = -52 \implies y = \dfrac{-52}{26} = \mathbf{-2}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (3, -2)}\)។
ឃ.  \(\begin{cases} 4x + 3y = 7 \\ 2x - 5y = 10 \end{cases}\)
\(D = -20 - 6 = -26\)
\(D_x = -35 - 30 = -65 \implies x = \dfrac{-65}{-26} = \mathbf{\dfrac{5}{2}}\)
\(D_y = 40 - 14 = 26 \implies y = \dfrac{26}{-26} = \mathbf{-1}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = \left(\dfrac{5}{2}, -1\right)}\)។

ដោះស្រាយ និងពិភាក្សាប្រព័ន្ធសមីការ ៖
ក.  \(\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}\)
\(D = \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 4 = 0\)។
\(D_x = \begin{vmatrix} 6 & -4 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 12 - 12 = 0\) និង \(D_y = 0\)។
សមីការទាំងពីរសមមូលគ្នា (\(2x - 4y = 6 \iff x - 2y = 3\))។
\(\implies\) ប្រព័ន្ធមានចម្លើយរាប់មិនអស់ ទម្រង់ \((x, y) = (2t + 3, t)\) ចំពោះ \(t \in \mathbb{R}\)។
ខ.  \(\begin{cases} 3x + 6y = 9 \\ x + 2y = 5 \end{cases}\)
\(D = \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 6 = 0\)។
\(D_x = \begin{vmatrix} 9 & 6 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 18 - 30 = -12 \neq 0\)។
ដោយ \(D = 0\) តែ \(D_x \neq 0\) នាំឱ្យប្រព័ន្ធគ្មានចម្លើយ (បន្ទាត់ស្របគ្នាដាច់ខាត)។

ប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} mx + 2y = 4 \\ 2x + my = 4 \end{cases}\) ៖
\(D = \begin{vmatrix} m & 2 \\ 2 & m \end{vmatrix} = m^2 - 4 = (m - 2)(m + 2)\)។
\(D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 4 & m \end{vmatrix} = 4m - 8 = 4(m - 2)\)។
\(D_y = \begin{vmatrix} m & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4m - 8 = 4(m - 2)\)។
ក.  មានគូចម្លើយតែមួយគត់ \(\iff D \neq 0 \iff m^2 - 4 \neq 0 \iff \mathbf{m \neq \pm 2}\)។
ចម្លើយនោះគឺ \(x = y = \dfrac{4(m-2)}{(m-2)(m+2)} = \mathbf{\dfrac{4}{m+2}}\)។
ខ.  គ្មានចម្លើយ \(\iff D = 0\) និង \(D_x \neq 0\) ៖
\(m = -2 \implies D = 0, D_x = -16 \neq 0 \implies \mathbf{m = -2}\)។
គ.  មានចម្លើយរាប់មិនអស់ \(\iff D = D_x = D_y = 0\) ៖
\(m = 2 \implies D = 0, D_x = 0, D_y = 0 \implies \mathbf{m = 2}\)។

ប្រព័ន្ធ \(\begin{cases} (m-1)x + 2y = 3 \\ 2x + my = 2 \end{cases}\) គ្មានចម្លើយ \(\iff D = 0\) និង \(D_x \neq 0\) ៖
\(D = m(m - 1) - 4 = m^2 - m - 4 = 0\)
\(\Delta = 1 - 4(1)(-4) = 17 \implies \mathbf{m = \dfrac{1 \pm \sqrt{17}}{2}}\)។
ត្រួតពិនិត្យ \(D_x = 3m - 4\) ៖ ចំពោះតម្លៃ \(m\) ទាំងពីរនេះ ឃើញថា \(D_x \neq 0\) ពិតប្រាកដ ដូច្នេះប្រព័ន្ធគ្មានចម្លើយ។

ប្រព័ន្ធទទួល \((x, y) = (2, -1)\) ជាចម្លើយ ៖
ជំនួស \(x = 2, y = -1\) ចូលប្រព័ន្ធ ៖
\(\begin{cases} a(2) + b(-1) = 7 \\ 2a(2) - 3b(-1) = -6 \end{cases} \iff \begin{cases} 2a - b = 7 \quad{} (1) \\ 4a + 3b = -6 \quad{} (2) \end{cases}\)
យក \((1)\times 3 + (2)\) ៖ \(10a = 15 \implies \mathbf{a = \dfrac{3}{2}}\)។
\(\implies b = 2a - 7 = 2\left(\dfrac{3}{2}\right) - 7 = 3 - 7 = \mathbf{-4}\)។

ដោះស្រាយតាមវិធីតាងអថេរជំនួយ ៖
ក.  \(\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5 \\ \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{y} = -5 \end{cases}\) (\(x, y \neq 0\)) ៖
តាង \(X = \dfrac{1}{x}, Y = \dfrac{1}{y}\) ៖
\(\begin{cases} X + Y = 5 \quad{} (\times 3) \\ 2X - 3Y = -5 \end{cases} \implies 5X = 10 \implies X = 2 \implies Y = 3\)។
\(\implies x = \dfrac{1}{X} = \mathbf{\dfrac{1}{2}},\; y = \dfrac{1}{Y} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)។
ខ.  \(\begin{cases} \dfrac{4}{x-1} + \dfrac{3}{y+2} = 5 \\ \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{1}{y+2} = 0 \end{cases}\) (\(x \neq 1, y \neq -2\)) ៖
តាង \(U = \dfrac{1}{x-1}, V = \dfrac{1}{y+2}\) ៖
\(\begin{cases} 4U + 3V = 5 \\ 2U - V = 0 \implies V = 2U \end{cases} \implies 4U + 6U = 5 \implies U = \dfrac{1}{2}, V = 1\)។
- \(x - 1 = \dfrac{1}{U} = 2 \implies \mathbf{x = 3}\)។
- \(y + 2 = \dfrac{1}{V} = 1 \implies \mathbf{y = -1}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (3, -1)}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖
ក.  \(\begin{cases} \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 2 \\ \dfrac{9}{x} - \dfrac{2}{y} = 1 \end{cases}\) ៖
តាង \(X = \dfrac{1}{x}, Y = \dfrac{1}{y}\) ៖
\(\begin{cases} 3X + 4Y = 2 \quad{} (1) \\ 9X - 2Y = 1 \quad{} (2) \end{cases}\)
យក \((1) + 2\times (2)\) ៖ \(21X = 4 \implies X = \dfrac{4}{21}\)។
ជំនួស \(X\) ចូល \((1)\) ៖ \(4Y = 2 - 3\left(\dfrac{4}{21}\right) = \dfrac{10}{7} \implies Y = \dfrac{5}{14}\)។
\(\implies x = \dfrac{1}{X} = \dfrac{21}{4}, \quad{} y = \dfrac{1}{Y} = \dfrac{14}{5}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) = \left(\dfrac{21}{4}, \dfrac{14}{5}\right)}\)។
ខ.  \(\begin{cases} \dfrac{1}{2x+y} + \dfrac{1}{x-2y} = 1 \\ \dfrac{2}{2x+y} - \dfrac{3}{x-2y} = -3 \end{cases}\) ៖
តាង \(U = \dfrac{1}{2x+y}, V = \dfrac{1}{x-2y}\) (លក្ខខណ្ឌ \(2x+y \neq 0, x-2y \neq 0\)) ៖
\(\begin{cases} U + V = 1 \quad{} (1) \\ 2U - 3V = -3 \quad{} (2) \end{cases}\)
យក \(3\times (1) + (2) \implies 5U = 0 \implies U = 0\)។
ដោយសារ \(U = \dfrac{1}{2x+y} \neq 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x, y\) នោះសមីការ \(U = 0\) គ្មានតម្លៃ \(x, y\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ឡើយ។
ដូចនេះ ប្រព័ន្ធសមីការគ្មានដំណោះស្រាយ។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៣ អញ្ញាត ៖
ក.  \(\begin{cases} x + y + z = 6 \quad{} (1) \\ 2x - y + z = 3 \quad{} (2) \\ x + 2y - z = 2 \quad{} (3) \end{cases}\)
បូក \((1) + (2)\) ៖ \(3x + 2z = 9 \quad{} (4)\)។
បូក \((2) + (3)\) ៖ \(3x + y = 5 \implies y = 5 - 3x\)។
ជំនួស \(y\) ចូល \((1)\) ៖ \(x + (5 - 3x) + z = 6 \implies z = 2x + 1\)។
ជំនួស \(z\) ចូល \((4)\) ៖ \(3x + 2(2x + 1) = 9 \iff 7x = 7 \implies x = 1\)។
\(\implies z = 2(1) + 1 = 3, \quad{} y = 5 - 3(1) = 2\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}\)។
ខ.  \(\begin{cases} x + 2y - z = 2 \quad{} (1) \\ 2x - y + 3z = 9 \quad{} (2) \\ 3x + y + 2z = 11 \quad{} (3) \end{cases}\)
ដោះស្រាយតាមវិធីបំបាត់ហ្គោស ៖
\((2) - 2(1) \implies -5y + 5z = 5 \iff -y + z = 1 \implies z = y + 1\)។
\((3) - 3(1) \implies -5y + 5z = 5\) (សមីការស្របគ្នា)។
ជំនួស \(x = 2 - 2y + z = 2 - 2y + y + 1 = 3 - y\)។
គូចម្លើយមានទម្រង់ \(\mathbf{(x, y, z) = (3 - t, t, t + 1)}\) ចំពោះ \(t \in \mathbb{R}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៣ អញ្ញាត ៖
ក.  \(\begin{cases} 2x + y - z = 1 \quad{} (1) \\ x - y + 2z = 5 \quad{} (2) \\ 3x + 2y + z = 8 \quad{} (3) \end{cases}\)
បូក \((1) + (2)\) ៖ \(3x + z = 6 \implies z = 6 - 3x\)។
យក \(2\times (1) + (2)\) ៖ \(5x + y = 7 \implies y = 7 - 5x\)។
ជំនួស \(y, z\) ចូល \((3)\) ៖
\(3x + 2(7 - 5x) + (6 - 3x) = 8 \iff -10x + 20 = 8 \implies x = \dfrac{6}{5}\)។
\(\implies y = 7 - 5\left(\dfrac{6}{5}\right) = 1, \quad{} z = 6 - 3\left(\dfrac{6}{5}\right) = \dfrac{12}{5}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y, z) = \left(\dfrac{6}{5}, 1, \dfrac{12}{5}\right)}\)។
ខ.  \(\begin{cases} x + y = 3 \quad{} (1) \\ y + z = 5 \quad{} (2) \\ z + x = 4 \quad{} (3) \end{cases}\)
បូកសមីការទាំងបីអង្គនិងអង្គ ៖
\(2(x + y + z) = 3 + 5 + 4 = 12 \implies x + y + z = 6\)។
- \(z = (x+y+z) - (x+y) = 6 - 3 = \mathbf{3}\)។
- \(x = (x+y+z) - (y+z) = 6 - 5 = \mathbf{1}\)។
- \(y = (x+y+z) - (z+x) = 6 - 4 = \mathbf{2}\)។
ដូចនេះ \(\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៖
\(\begin{cases} 2x + 3y + z = 13 \quad{} (1) \\ x - 2y + 3z = 8 \quad{} (2) \\ 3x + y - 2z = 1 \quad{} (3) \end{cases}\)
តាម \((2)\) ៖ \(x = 2y - 3z + 8\)។ ជំនួសចូល \((1)\) និង \((3)\) ៖
- \(2(2y - 3z + 8) + 3y + z = 13 \iff 7y - 5z = -3 \quad{} (4)\)
- \(3(2y - 3z + 8) + y - 2z = 1 \iff 7y - 11z = -23 \quad{} (5)\)
យក \((4) - (5)\) ៖ \(6z = 20 \implies z = \dfrac{10}{3}\)។
តាម \((4)\) ៖ \(7y = 5\left(\dfrac{10}{3}\right) - 3 = \dfrac{41}{3} \implies y = \dfrac{41}{21}\)។
តាម \((2)\) ៖ \(x = 2\left(\dfrac{41}{21}\right) - 3\left(\dfrac{10}{3}\right) + 8 = \dfrac{40}{21}\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y, z) = \left(\dfrac{40}{21}, \dfrac{41}{21}, \dfrac{10}{3}\right)}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៤ អញ្ញាត ៖
\(\begin{cases} x + y + z + t = 10 \quad{} (1) \\ 2x - y + z - t = 0 \quad{} (2) \\ x + 2y - z + 2t = 11 \quad{} (3) \\ 3x + y + 2z - t = 8 \quad{} (4) \end{cases}\)
អនុវត្តវិធីបំបាត់អថេរហ្គោស (Gauss Elimination) ៖
- បូក \((1) + (2)\) ៖ \(3x + 2z = 10 \quad{} (5)\)
- បូក \((1) + (4)\) ៖ \(4x + 2y + 3z = 18 \quad{} (6)\)
- យក \((3) + 2(2)\) ៖ \(5x - 3y + z = 11 \quad{} (7)\)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ គេទទួលបានចម្លើយពិតប្រាកដ ៖
\(\mathbf{(x, y, z, t) = \left(\dfrac{12}{7}, \dfrac{27}{14}, \dfrac{17}{7}, \dfrac{55}{14}\right)}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធមិនលីនេអ៊ែរ (ដឺក្រេទីមួយ និងដឺក្រេទីពីរ) ៖
ក.  \(\begin{cases} x + y = 5 \implies y = 5 - x \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}\)
\(x^2 + (5 - x)^2 = 13 \iff 2x^2 - 10x + 25 = 13 \iff x^2 - 5x + 6 = 0\)
\((x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2 \implies y = 3\) ឬ \(x = 3 \implies y = 2\)។
\(\implies \mathbf{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2)\}}\)។
ខ.  \(\begin{cases} x - y = 2 \implies x = y + 2 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}\)
\((y + 2)^2 + y^2 = 20 \iff 2y^2 + 4y - 16 = 0 \iff y^2 + 2y - 8 = 0\)
\((y + 4)(y - 2) = 0 \implies y = 2 \implies x = 4\) ឬ \(y = -4 \implies x = -2\)។
\(\implies \mathbf{(x, y) \in \{(4, 2), (-2, -4)\}}\)។
គ.  \(\begin{cases} 2x + y = 7 \implies y = 7 - 2x \\ x^2 + xy = 6 \end{cases}\)
\(x^2 + x(7 - 2x) = 6 \iff -x^2 + 7x - 6 = 0 \iff x^2 - 7x + 6 = 0\)
\((x - 1)(x - 6) = 0 \implies x = 1 \implies y = 5\) ឬ \(x = 6 \implies y = -5\)។
\(\implies \mathbf{(x, y) \in \{(1, 5), (6, -5)\}}\)។
ឃ.  \(\begin{cases} x + 2y = 4 \implies x = 4 - 2y \\ x^2 + 4y^2 = 10 \end{cases}\)
\((4 - 2y)^2 + 4y^2 = 10 \iff 16 - 16y + 4y^2 + 4y^2 = 10\)
\(8y^2 - 16y + 6 = 0 \iff 4y^2 - 8y + 3 = 0 \iff (2y - 1)(2y - 3) = 0\)
\(\implies y = \dfrac{1}{2} \implies x = 3\) ឬ \(y = \dfrac{3}{2} \implies x = 1\)។
\(\implies \mathbf{(x, y) \in \left\{\left(3, \dfrac{1}{2}\right), \left(1, \dfrac{3}{2}\right)\right\}}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការឆ្លាស់ (\(S = x+y, P = xy\)) ៖
\(x, y\) ជាឫសនៃសមីការ \(X^2 - SX + P = 0\) ៖
ក.  \(X^2 - 9X + 20 = 0 \iff (X - 4)(X - 5) = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(4, 5), (5, 4)\}}\)។
ខ.  \(X^2 - 7X + 12 = 0 \iff (X - 3)(X - 4) = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(3, 4), (4, 3)\}}\)។
គ.  \(X^2 + 3X - 10 = 0 \iff (X + 5)(X - 2) = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(2, -5), (-5, 2)\}}\)។
ឃ.  \(X^2 - X - 6 = 0 \iff (X - 3)(X + 2) = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(3, -2), (-2, 3)\}}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៖
ក.  \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} \implies (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 24 = 49\)
\(\implies x + y = \pm 7\)។
- បើ \(x + y = 7, xy = 12 \implies (x, y) \in \{(3, 4), (4, 3)\}\)។
- បើ \(x + y = -7, xy = 12 \implies (x, y) \in \{(-3, -4), (-4, -3)\}\)។
\(\implies \mathbf{(x, y) \in \{(3, 4), (4, 3), (-3, -4), (-4, -3)\}}\)។
ខ.  \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 34 \\ x + y = 8 \end{cases} \implies 2xy = (x+y)^2 - (x^2+y^2) = 64 - 34 = 30\)
\(\implies xy = 15\)។
\(X^2 - 8X + 15 = 0 \iff (X - 3)(X - 5) = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(3, 5), (5, 3)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2 y + xy^2 = 30 \end{cases}\) ៖
តាង \(S = x + y\) និង \(P = xy\) ៖
\(\begin{cases} S + P = 11 \\ SP = 30 \end{cases}\)
\(S, P\) ជាឫសនៃ \(T^2 - 11T + 30 = 0 \iff (T - 5)(T - 6) = 0\) ៖
- ករណី \(S = 5, P = 6 \implies X^2 - 5X + 6 = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2)\}}\)។
- ករណី \(S = 6, P = 5 \implies X^2 - 6X + 5 = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(1, 5), (5, 1)\}}\)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5 \end{cases}\) ៖
ប្រើរូបមន្ត \(x^3 + y^3 = (x + y)[(x + y)^2 - 3xy]\) ៖
\(5(5^2 - 3xy) = 35 \iff 25 - 3xy = 7 \iff 3xy = 18 \implies xy = 6\)។
សមីការមាន \(S = 5, P = 6 \implies X^2 - 5X + 6 = 0\) ៖
\(\implies \mathbf{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7 \\ x + y = 5 \end{cases}\) ៖
\((x + y)^2 - 3xy = 7 \iff 5^2 - 3xy = 7 \iff 25 - 3xy = 7 \implies xy = 6\)។
\(\implies X^2 - 5X + 6 = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ xy + x + y = 11 \end{cases}\) ៖
តាង \(S = x + y\) និង \(P = xy\) ៖
\(\begin{cases} S^2 - 2P + S = 18 \quad{} (1) \\ P + S = 11 \implies P = 11 - S \quad{} (2) \end{cases}\)
ជំនួស \((2)\) ចូល \((1)\) ៖
\(S^2 - 2(11 - S) + S = 18 \iff S^2 + 3S - 22 = 18 \iff S^2 + 3S - 40 = 0\)
\((S - 5)(S + 8) = 0 \implies S = 5 \lor S = -8\)។
- បើ \(S = 5 \implies P = 6 \implies X^2 - 5X + 6 = 0 \implies \mathbf{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2)\}}\)។
- បើ \(S = -8 \implies P = 19 \implies X^2 + 8X + 19 = 0\) (\(\Delta = 64 - 76 < 0\) គ្មានឫសពិត)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} x^2 + y = 7 \quad{} (1) \\ y^2 + x = 7 \quad{} (2) \end{cases}\) ៖
យក \((1) - (2)\) ៖ \((x^2 - y^2) - (x - y) = 0 \iff (x - y)(x + y - 1) = 0\) ៖
- ករណី ១ ៖ \(x = y\) ៖
ជំនួសចូល \((1)\) ៖ \(x^2 + x - 7 = 0 \implies \mathbf{x = y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}}\)។
- ករណី ២ ៖ \(x + y = 1 \implies y = 1 - x\) ៖
ជំនួសចូល \((1)\) ៖ \(x^2 + (1 - x) = 7 \iff x^2 - x - 6 = 0\)
\((x - 3)(x + 2) = 0 \implies x = 3 \implies y = -2\) ឬ \(x = -2 \implies y = 3\)។
\(\implies \mathbf{(x, y) \in \{(3, -2), (-2, 3)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 0 \quad{} (1) \\ x^2 + 2xy - y^2 = 7 \quad{} (2) \end{cases}\) ៖
តាម \((1)\) ៖ \((2x - y)(x - y) = 0 \implies y = 2x \lor y = x\) ៖
- បើ \(y = 2x\) ជំនួសចូល \((2)\) ៖
\(x^2 + 2x(2x) - (2x)^2 = 7 \iff x^2 + 4x^2 - 4x^2 = 7 \iff x^2 = 7 \implies x = \pm\sqrt{7}\)។
\(\implies \mathbf{(x, y) = (\sqrt{7}, 2\sqrt{7}) \lor (-\sqrt{7}, -2\sqrt{7})}\)។
- បើ \(y = x\) ជំនួសចូល \((2)\) ៖
\(x^2 + 2x^2 - x^2 = 7 \iff 2x^2 = 7 \implies x = \pm\sqrt{\dfrac{7}{2}} = \pm\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)។
\(\implies \mathbf{(x, y) = \left(\dfrac{\sqrt{14}}{2}, \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right) \lor \left(-\dfrac{\sqrt{14}}{2}, -\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)}\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x + y = 13 \end{cases}\) (\(x, y \ge 0\)) ៖
តាង \(u = \sqrt{x} \ge 0, v = \sqrt{y} \ge 0\) ៖
\(\begin{cases} u + v = 5 \\ u^2 + v^2 = 13 \end{cases} \implies 2uv = (u+v)^2 - (u^2+v^2) = 25 - 13 = 12 \implies uv = 6\)។
\(u, v\) ជាឫសនៃ \(T^2 - 5T + 6 = 0 \implies (u, v) \in \{(2, 3), (3, 2)\}\)។
- បើ \((u, v) = (2, 3) \implies x = 2^2 = 4,\; y = 3^2 = 9\)។
- បើ \((u, v) = (3, 2) \implies x = 9,\; y = 4\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) \in \{(4, 9), (9, 4)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} \sqrt{\dfrac{x}{y}} + \sqrt{\dfrac{y}{x}} = \dfrac{5}{2} \\ x + y = 10 \end{cases}\) (\(x, y > 0\)) ៖
តាង \(t = \sqrt{\dfrac{x}{y}} > 0 \implies t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2} \iff 2t^2 - 5t + 2 = 0 \implies t = 2 \lor t = \dfrac{1}{2}\) ៖
- បើ \(t = 2 \implies \dfrac{x}{y} = 4 \implies x = 4y\)។ ជំនួសចូល \(x + y = 10\) ៖
\(4y + y = 10 \iff 5y = 10 \implies y = 2 \implies x = 8\)។
- បើ \(t = \dfrac{1}{2} \implies y = 4x \implies 5x = 10 \implies x = 2 \implies y = 8\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) \in \{(8, 2), (2, 8)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} |x| + y = 5 \quad{} (1) \\ x + |y| = 3 \quad{} (2) \end{cases}\) ៖
- បើ \(x \ge 0, y \ge 0\) ៖ \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}\) (គ្មានចម្លើយ)។
- បើ \(x < 0, y \ge 0\) ៖ \(\begin{cases} -x + y = 5 \implies y = x + 5 \\ x + y = 3 \end{cases}\)
\(\implies x + (x + 5) = 3 \iff 2x = -2 \implies x = -1\)។
\(\implies y = -1 + 5 = 4 \ge 0\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់)។
- បើ \(x \ge 0, y < 0\) ៖ \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} \implies 2x = 8 \implies x = 4, y = 1 \not< 0\) (មិនយក)។
- បើ \(x < 0, y < 0\) ៖ \(\begin{cases} -x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases}\) (ផ្ទុយគ្នា គ្មានចម្លើយ)។
ដូចនេះ ប្រព័ន្ធមានចម្លើយតែមួយគត់គឺ ៖ \(\mathbf{(x, y) = (-1, 4)}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} |x - 1| + |y - 2| = 3 \\ x + y = 6 \end{cases}\) ៖
តាមសមីការទីពីរ ៖ \(y = 6 - x\)។ ជំនួសចូលសមីការទីមួយ ៖
\(|x - 1| + |(6 - x) - 2| = 3 \iff |x - 1| + |4 - x| = 3\)។
តាមវិសមីការត្រីកោណ \(|x - 1| + |4 - x| \ge |(x - 1) + (4 - x)| = 3\)។
សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ \((x - 1)\) និង \((4 - x)\) មានសញ្ញាដូចគ្នា ៖
\((x - 1)(4 - x) \ge 0 \iff 1 \le x \le 4\)។
ដូចនេះ សំណុំចម្លើយគឺជាគ្រប់គូ \((x, y)\) ដែល ៖
\(\mathbf{(x, y) = (x, 6 - x)\text{ ចំពោះ } x \in [1, 4]}\)។
(ចំពោះចំនួនគត់ ៖ \((1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2)\))។

តាងពីរចំនួននោះដោយ \(x\) និង \(y\) (\(x \ge y\)) ៖
\(\begin{cases} x + y = 85 \\ x - y = 15 \end{cases}\)
បូកសមីការទាំងពីរ ៖ \(2x = 100 \implies x = 50\)។
ជំនួសចូលសមីការទីមួយ ៖ \(50 + y = 85 \implies y = 35\)។
ដូចនេះ ពីរចំនួននោះគឺ \(50\) និង \(35\)។

តាងពីរចំនួនដោយ \(x\) និង \(y\) (\(x > y\)) ៖
\(\begin{cases} x - y = 12 \quad{} (1) \\ x + y = 2(x - y) \quad{} (2) \end{cases}\)
តាម \((1)\) ជំនួសចូល \((2)\) ៖ \(x + y = 2(12) = 24\)។
យើងបានប្រព័ន្ធ ៖ \(\begin{cases} x - y = 12 \\ x + y = 24 \end{cases} \implies 2x = 36 \implies x = 18, y = 6\)។
ដូចនេះ ពីរចំនួននោះគឺ \(18\) និង \(6\)។

តាងចំនួនមាន់ដោយ \(x\) និងចំនួនជ្រូកដោយ \(y\) (\(x, y \in \mathbb{N}\)) ៖
- សរុបក្បាល ៖ \(x + y = 40 \quad{} (1)\)
- សរុបជើង (មាន់មាន ២ ជើង, ជ្រូកមាន ៤ ជើង) ៖ \(2x + 4y = 110 \quad{} (2)\)
យក \((2) - 2(1)\) ៖ \(2y = 110 - 80 = 30 \implies y = 15\)។
\(\implies x = 40 - 15 = 25\)។
ដូចនេះ មានមាន់ចំនួន \(25\) ក្បាល និងជ្រូកចំនួន \(15\) ក្បាល។

តាងល្បឿនទូកក្នុងទឹកស្ងប់ដោយ \(v\) និងល្បឿនខ្សែទឹកដោយ \(v_w\) (\(v > v_w > 0\), km/h) ៖
- ល្បឿនចុះទឹក ៖ \(v + v_w = \dfrac{36}{2} = 18\text{ km/h}\)
- ល្បឿនបញ្ច្រាសទឹក ៖ \(v - v_w = \dfrac{36}{3} = 12\text{ km/h}\)
\(\begin{cases} v + v_w = 18 \\ v - v_w = 12 \end{cases} \implies 2v = 30 \implies v = 15\text{ km/h}, v_w = 3\text{ km/h}\)។
ដូចនេះ ល្បឿនទូកគឺ \(15\text{ km/h}\) និងល្បឿនខ្សែទឹកគឺ \(3\text{ km/h}\)។

តាងអាយុឪពុកបច្ចុប្បន្នដោយ \(x\) និងអាយុកូនដោយ \(y\) (ឆ្នាំ) ៖
\(\begin{cases} x = 3y \quad{} (1) \\ x + 12 = 2(y + 12) \quad{} (2) \end{cases}\)
ជំនួស \((1)\) ចូល \((2)\) ៖ \(3y + 12 = 2y + 24 \implies y = 12\) ឆ្នាំ។
\(\implies x = 3(12) = 36\) ឆ្នាំ។
ដូចនេះ ឪពុកមានអាយុ \(36\) ឆ្នាំ និងកូនមានអាយុ \(12\) ឆ្នាំ។

តាងចំនួនពីរខ្ទង់ដោយ \(\overline{xy} = 10x + y\)
(\(1 \le x \le 9, 0 \le y \le 9\)) ៖
\(\begin{cases} x + y = 9 \\ (10y + x) - (10x + y) = 27 \end{cases}\)
\(\iff \begin{cases} x + y = 9 \\ y - x = 3 \end{cases}\)
បូកសមីការទាំងពីរ ៖ \(2y = 12 \implies y = 6 \implies x = 3\)។
ដូចនេះ ចំនួនដើមនោះគឺ \(36\)។

តាងបរិមាណសូលុយស្យុង \(10\%\) ដោយ \(x\) និងសូលុយស្យុង \(30\%\) ដោយ \(y\) (លីត្រ) ៖
\(\begin{cases} x + y = 100 \\ 0.10x + 0.30y = 0.18(100) = 18 \end{cases}\)
គុណសមីការទីពីរនឹង \(10\) ៖ \(x + 3y = 180\)។
ដកសមីការទីមួយ ៖ \(2y = 80 \implies y = 40\text{ L} \implies x = 60\text{ L}\)។
ដូចនេះ ត្រូវប្រើសូលុយស្យុង \(10\%\) ចំនួន \(60\text{ L}\) និងសូលុយស្យុង \(30\%\) ចំនួន \(40\text{ L}\)។

តាងបណ្តោយដោយ \(x\) និងទទឹងដោយ \(y\) (\(x > y > 0\), m) ៖
- \((x + 2)(y + 3) = xy + 54 \iff 3x + 2y = 48 \quad{} (1)\)
- \((x - 1)(y - 1) = xy - 17 \iff x + y = 18 \quad{} (2)\)
យក \((1) - 2(2)\) ៖ \(x = 48 - 36 = 12\text{ m}\)។
\(\implies y = 18 - 12 = 6\text{ m}\)។
ដូចនេះ បណ្តោយស្មើ \(12\text{ m}\) និងទទឹងស្មើ \(6\text{ m}\)។

ប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} x + my = 1 \quad{} (1) \\ mx + y = m^2 \quad{} (2) \end{cases}\) ៖
\(D = 1 - m^2\)។
\(D_x = 1 - m^3\) និង \(D_y = m^2 - m = m(m - 1)\)។
ចំពោះ \(m \neq \pm 1\) ៖
\(x = \dfrac{1 - m^3}{1 - m^2} = \dfrac{m^2 + m + 1}{m + 1}\) និង \(y = \dfrac{m(m-1)}{-(m-1)(m+1)} = \dfrac{-m}{m + 1}\)។
លក្ខខណ្ឌ \(x > 0\) និង \(y > 0\) ៖
- \(m^2 + m + 1 > 0\) ជានិច្ចគ្រប់ \(m\) នាំឱ្យ \(x > 0 \iff m + 1 > 0 \iff m > -1\)។
- \(y = \dfrac{-m}{m + 1} > 0\) ដោយ \(m + 1 > 0 \implies -m > 0 \iff m < 0\)។
ផ្សំលក្ខខណ្ឌទាំងពីរ ៖ \(\mathbf{-1 < m < 0}\)។

សមីការ \(xy + 2x - 3y = 11\) (\(x, y \in \mathbb{Z}\)) ៖
\(x(y + 2) - 3(y + 2) - 6 = 11 \iff (x - 3)(y + 2) = 5\)។
ដោយ \(x, y \in \mathbb{Z}\) នាំឱ្យ \((x-3)\) និង \((y+2)\) ជាតួចែកនៃ \(5\) (\(\pm 1, \pm 5\)) ៖
1. \(\begin{cases} x - 3 = 1 \implies x = 4 \\ y + 2 = 5 \implies y = 3 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} x - 3 = 5 \implies x = 8 \\ y + 2 = 1 \implies y = -1 \end{cases}\)
3. \(\begin{cases} x - 3 = -1 \implies x = 2 \\ y + 2 = -5 \implies y = -7 \end{cases}\)
4. \(\begin{cases} x - 3 = -5 \implies x = -2 \\ y + 2 = -1 \implies y = -3 \end{cases}\)
គូចំនួនគត់ ៖ \(\mathbf{(x, y) \in \{(4, 3), (8, -1), (2, -7), (-2, -3)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} xy = 6 \quad{} (1) \\ yz = 12 \quad{} (2) \\ zx = 8 \quad{} (3) \end{cases}\) ៖
គុណសមីការទាំងបីបញ្ចូលគ្នា ៖
\((xy)(yz)(zx) = (xyz)^2 = 6 \times 12 \times 8 = 576 = 24^2\)
\(\implies xyz = 24 \lor xyz = -24\)។
- បើ \(xyz = 24\) ៖
\(z = \dfrac{xyz}{xy} = \dfrac{24}{6} = 4,\; x = \dfrac{xyz}{yz} = \dfrac{24}{12} = 2,\; y = \dfrac{xyz}{zx} = \dfrac{24}{8} = 3\)។
- បើ \(xyz = -24\) ៖ \(x = -2, y = -3, z = -4\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y, z) \in \{(2, 3, 4), (-2, -3, -4)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} xy + xz = 8 \quad{} (1) \\ yz + xy = 18 \quad{} (2) \\ zx + yz = 20 \quad{} (3) \end{cases}\) ៖
បូកសមីការទាំងបីបញ្ចូលគ្នា ៖
\(2(xy + yz + zx) = 8 + 18 + 20 = 46 \implies xy + yz + zx = 23\)។
- \(yz = 23 - (xy + xz) = 23 - 8 = 15\)។
- \(zx = 23 - (yz + xy) = 23 - 18 = 5\)។
- \(xy = 23 - (zx + yz) = 23 - 20 = 3\)។
\((xyz)^2 = (xy)(yz)(zx) = 3 \times 15 \times 5 = 225 = 15^2 \implies xyz = \pm 15\)។
- បើ \(xyz = 15 \implies \mathbf{x = 1, y = 3, z = 5}\)។
- បើ \(xyz = -15 \implies \mathbf{x = -1, y = -3, z = -5}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3 \\ x^4 + x^2 y^2 + y^4 = 21 \end{cases}\) ៖
ប្រើកត្តាសមភាព ៖ \(x^4 + x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)\) ៖
\(21 = 3(x^2 - xy + y^2) \implies x^2 - xy + y^2 = 7\)។
យកសមីការទាំងពីរដកគ្នា ៖ \(2xy = 3 - 7 = -4 \implies xy = -2\)។
បូកគ្នា ៖ \(2(x^2 + y^2) = 10 \implies x^2 + y^2 = 5\)។
\((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 5 - 4 = 1 \implies x + y = \pm 1\)។
- \(x + y = 1, xy = -2 \implies X^2 - X - 2 = 0 \implies (2, -1) \lor (-1, 2)\)។
- \(x + y = -1, xy = -2 \implies X^2 + X - 2 = 0 \implies (1, -2) \lor (-2, 1)\)។
គូចម្លើយ ៖ \(\mathbf{(x, y) \in \{(2, -1), (-1, 2), (1, -2), (-2, 1)\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} x + y + z = 9 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1 \\ xy + yz + zx = 27 \end{cases}\) ៖
ពីសមីការទីពីរ ៖ \(\dfrac{xy + yz + zx}{xyz} = 1 \implies xyz = xy + yz + zx = 27\)។
តាមទ្រឹស្តីបទវីយ៉ែត \(x, y, z\) ជាឫសនៃសមីការដឺក្រេទី ៣ ៖
\(T^3 - 9T^2 + 27T - 27 = 0 \iff (T - 3)^3 = 0 \implies T = 3\) (ឫសត្រួត ៣ ដង)។
ដូចនេះ ចម្លើយតែមួយគត់គឺ ៖ \(\mathbf{(x, y, z) = (3, 3, 3)}\)។

ដោះស្រាយ \(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1 \quad{} (1) \\ 3xy + 2y^2 = 8 \quad{} (2) \end{cases}\) ៖
គុណ \((1)\) នឹង \(8\) រួចដក \((2)\) ដើម្បីទទួលបានសមីការអូម៉ូសែន ៖
\(8(2x^2 - y^2) - (3xy + 2y^2) = 0 \iff 16x^2 - 3xy - 10y^2 = 0\)។
ដោយ \(y \neq 0\) (បើ \(y=0\) នោះ \(3xy+2y^2=0 \neq 8\)) តាង \(x = ty\) ៖
\(16t^2 - 3t - 10 = 0 \implies t = \dfrac{3 \pm \sqrt{649}}{32}\)។
ជំនួស \(x = ty\) ចូល \((1)\) ៖
\(y^2(2t^2 - 1) = 1 \implies y = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2t^2 - 1}}\) និង \(x = ty\)។
ដូចនេះ គូចម្លើយនៃប្រព័ន្ធគឺ \((x, y) = (\pm ty_0, \pm y_0)\)
ដែល \(y_0 = \dfrac{1}{\sqrt{2t^2 - 1}}\) និង \(t = \dfrac{3 \pm \sqrt{649}}{32}\)។

ប៉ារ៉ាបូល \(y = ax^2 + bx + c\) កាត់តាមចំណុច
\(A(1, 2)\), \(B(-1, 8)\), \(C(2, 5)\) ៖
ជំនួសចំណុចនីមួយៗ ៖
\(\begin{cases} a + b + c = 2 \quad{} (1) \\ a - b + c = 8 \quad{} (2) \\ 4a + 2b + c = 5 \quad{} (3) \end{cases}\)
យក \((1) - (2)\) ៖ \(2b = -6 \implies \mathbf{b = -3}\)។
យក \((1) + (2)\) ៖ \(2a + 2c = 10 \implies a + c = 5 \implies c = 5 - a\)។
ជំនួស \(b = -3\) និង \(c = 5 - a\) ចូល \((3)\) ៖
\(4a + 2(-3) + (5 - a) = 5 \iff 3a - 1 = 5 \iff 3a = 6 \implies \mathbf{a = 2}\)។
\(\implies c = 5 - 2 = \mathbf{3}\)។
ដូចនេះ សមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ ៖ \(\mathbf{y = 2x^2 - 3x + 3}\)។

រង្វង់ \(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\) កាត់តាម \(P(1, 1), Q(2, -1), R(3, 2)\) ៖
ជំនួសចំណុចនីមួយៗបង្កើតបានប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ ៣ អញ្ញាត ៖
\(\begin{cases} a + b + c = -2 \\ 2a - b + c = -5 \\ 3a + 2b + c = -13 \end{cases}\)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ ទទួលបាន \(a = -4, b = -2, c = 4\)។
សមីការរង្វង់គឺ ៖ \(\mathbf{x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0}\) (ឬ \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 1\))។

លំហាត់ PISA - ការលក់សំបុត្រទស្សនាការប្រគំតន្ត្រី ៖
តាង \(x\) ជាចំនួនសំបុត្រធម្មតា (\(8\$\)) និង \(y\) ជាចំនួនសំបុត្រ VIP (\(15\$\)) ៖
ក.  ប្រព័ន្ធសមីការតំណាងឱ្យស្ថានភាព ៖
\(\mathbf{\begin{cases} x + y = 500 \\ 8x + 15y = 5400 \end{cases}}\)
ខ.  គុណសមីការទីមួយនឹង \(8\) ៖ \(8x + 8y = 4000\)។
ដកពីសមីការទីពីរ ៖ \(7y = 1400 \implies \mathbf{y = 200}\) សន្លឹក VIP។
\(\implies x = 500 - 200 = \mathbf{300}\) សន្លឹកធម្មតា។

លំហាត់ PISA - យុទ្ធសាស្ត្រវិនិយោគហិរញ្ញវត្ថុ ៖
តាង \(x\) ជាទុនវិនិយោគក្នុងគម្រោងទីមួយ (\(5\%\)) និង \(y\) ក្នុងគម្រោងទីពីរ (\(8\%\)) ៖
ក.  ប្រព័ន្ធសមីការ ៖
\(\mathbf{\begin{cases} x + y = 40\,000 \\ 0.05x + 0.08y = 2600 \end{cases}}\)
ខ.  គុណសមីការទីពីរនឹង \(20\) ៖ \(x + 1.6y = 52\,000\)។
ដកសមីការទីមួយ ៖ \(0.6y = 12\,000 \implies \mathbf{y = 20\,000\$}\)។
\(\implies x = 40\,000 - 20\,000 = \mathbf{20\,000\$}\)។
ដូចនេះ វិនិយោគក្នុងគម្រោងនីមួយៗចំនួន \(20\,000\$\) ស្មើគ្នា។

លំហាត់ PISA - សៀគ្វីអគ្គិសនីច្បាប់ Kirchhoff ៖
\(\begin{cases} 4I_1 + 2I_2 = 16 \quad{} (1) \\ 2I_1 + 5I_2 = 20 \quad{} (2) \end{cases}\) ៖
ក.  គុណ \((2)\) នឹង \(2\) ៖ \(4I_1 + 10I_2 = 40\)។
ដក \((1)\) ៖ \(8I_2 = 24 \implies \mathbf{I_2 = 3\text{ A}}\)។
ជំនួសចូល \((1)\) ៖ \(4I_1 + 6 = 16 \iff 4I_1 = 10 \implies \mathbf{I_1 = 2.5\text{ A}}\)។
ខ.  ចរន្តរួម ៖ \(I = I_1 + I_2 = 2.5 + 3 = \mathbf{5.5\text{ A}}\)។

លំហាត់ PISA ៖
ការរៀបចំរបបអាហាររូបត្ថម្ភ ៖
តាង \(A\) និង \(B\) ជាចំនួនកញ្ចប់អាហារប្រភេទ A និង B ៖
\(\begin{cases} 10A + 15B = 65 \quad{} (\text{ប្រូតេអ៊ីន}) \\ 20A + 10B = 70 \quad{} (\text{កាបូអ៊ីដ្រាត}) \end{cases}\)
\(\iff \begin{cases} 2A + 3B = 13 \quad{} (\times 2) \\ 2A + B = 7 \end{cases}\)
\(\implies 4A + 6B = 26\)។
យក \((2A + 3B) - (2A + B) = 13 - 7 \iff 2B = 6 \implies \mathbf{B = 3}\) កញ្ចប់។
\(\implies 2A + 3 = 7 \iff 2A = 4 \implies \mathbf{A = 2}\) កញ្ចប់។
ដូចនេះ ត្រូវប្រើ អាហារ A ចំនួន ២ កញ្ចប់ និងអាហារ B ចំនួន ៣ កញ្ចប់។

លំហាត់ PISA - ភស្តុភារកម្ម និងការដឹកជញ្ជូន ៖
តាង \(x\) ជាចំនួនជើងរថយន្តតូច (\(3\text{ t}\)) និង \(y\) ជាចំនួនជើងរថយន្តធំ (\(5\text{ t}\)) ៖
\(\begin{cases} x + y = 16 \quad{} (\text{ចំនួនជើងសរុប}) \\ 3x + 5y = 62 \quad{} (\text{ទម្ងន់ទំនិញសរុប}) \end{cases}\)
គុណសមីការទីមួយនឹង \(3\) ៖ \(3x + 3y = 48\)។
ដកពីសមីការទីពីរ ៖ \(2y = 14 \implies \mathbf{y = 7}\) ជើង (រថយន្តធំ)។
\(\implies x = 16 - 7 = \mathbf{9}\) ជើង (រថយន្តតូច)។